Atividade_F_sica_II_Semana_2

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FÍSICA II SEMANA 2 
1 
 
 
 
a) A frequência angular natural de oscilação (𝜔0) é dada pela relação: 
𝜔0
2 =
𝑘
𝑚
=
1,5∗103
1,5
= 1000 → 𝜔0 = √1000 = 31,623 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
 
b) Considerando 𝛾 < 2𝜔0 (amortecimento subcrítico ou sub-amortecido), a amplitude 
após n ciclos é dada por: 
𝐴𝑛 = 𝐴0e
−
𝑛
2
𝛾𝑇 
Após 4 ciclos (n=4): 
A4 = A0e
−
4
2γT = A0e
−2γT 
A amplitude neste momento corresponde a 1/3 da amplitude inicial: A4 =
1
3
A0 
Assim: 
A0e
−2γT =
1
3
A0 ou e
−2γT =
1
3
 
Como ln e−𝑥 = −𝑥: 
ln 𝑒−2γT = ln
1
3
 então −2γT = −1,09861 
 
γ =
1,09861
2𝑇
 
Como b (𝑏 = 𝛾𝑚) é suposto pequeno, o período T é dado por: 
𝑇 =
2𝜋
𝜔
 → 𝑇 =
2𝜋
31,6
= 0,1988 𝑠 
Assim: 
 γ =
1,09861
0,3976
= 2,763 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
 
Frequência angular das oscilações amortecidas: 
 𝜔2 = 𝜔0
2 −
1
4
𝛾2 → 𝜔2 = 1000 −
1
4
∗ 2,7632 
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2 
 
𝜔2 = 1000 − 1,908 = 998,092 
𝜔 = 31,59 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
c) A força externa é do tipo: 
 𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝐹𝑜𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) 
Por comparação direta com a equação dada obtém-se a frequência angular das 
oscilações forçadas: 
𝜔 = 30 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
d) Condição de ressonância: 
𝜔𝑒𝑥𝑡 = 𝜔0 
Assim, como 𝜔 ≠ 𝜔0 não haverá ressonância. Ocorre ressonância quando 
𝜔 = 𝜔0 = 31,6 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
 
 
a) A frequência angular 𝜔0 do oscilador sem amortecimento é dada pela relação: 
𝜔0 = √
𝑘
𝑚
= √
10
1
= 3,162 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
Fator 𝛾: 
𝛾 = 𝑏 𝑚⁄ = 
1,6
1⁄ = 1,6 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
Como 𝛾 < 2𝜔0 a oscilação amortecida em regime subcrítico. 
 
b) O oscilador com amortecimento subcrítico possui equação característica: 
𝑥(𝑡) = 𝐴 e−
1
2
𝛾𝑡cos(𝜔𝑡 + 𝜙), onde 𝜔2 = 𝜔0
2 −
1
4
𝛾2 
 𝜔2 = 3,1622 −
1
4
1,62 = 9,358 → 𝜔 = 3,06 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
 
Assim: 
𝑥(𝑡) = 𝐴 e−0,8𝑡cos(3,06𝑡 + 𝜙) 
Derivando 𝑥(𝑡) em relação ao tempo - através da regra da cadeia (𝑢 ∗ 𝑣)′ = 𝑢′𝑣 + 𝑣′𝑢: 
𝑣(𝑡) =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= −0,8𝐴𝑒−0,8𝑡 cos(3,06𝑡 + 𝜙) − 𝐴𝑒−0,8𝑡3,06𝑠𝑒𝑛(3,06𝑡 + 𝜙) 
Aplicando a condição de contorno 𝑣(0) = 0: 
𝑣(0) = 0 = −0,8𝐴𝑒−0,8∗0 cos(3,06 ∗ 0 + 𝜙) − 𝐴𝑒−0,8∗03,06𝑠𝑒𝑛(3,06 ∗ 0 + 𝜙) 
 
0 = −0,8𝐴 cos(𝜙) − 3,06𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜙) 
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3,06𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜙) = −0,8𝐴 cos(𝜙) 
 
𝑠𝑒𝑛(𝜙)
𝑐𝑜𝑠(𝜙)
= 𝑡𝑔𝜙 = −
0,8
3,06
= −0,261 
𝜙 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔(−0,261) = −0,255 𝑟𝑎𝑑 
Substituindo o valor de 𝜙 na equação da posição e aplicando a condição de contorno 
𝑥(0) = 0,2 m: 
𝑥(0) = 0,2 = 𝐴 e−0,8∗0cos(3,06 ∗ 0 − 0,255) 
 
0,2 = 𝐴 cos(−0,255) 
 
𝐴 =
0,2
cos(−0,255)
=
0,2
0,968
= 0,206 𝑚 
 
Portanto, a equação horária da posição é: 
𝑥(𝑡) = 0,206 e−0,8𝑡cos(3,06𝑡 − 0,255) 𝑚 
 
c) 
Amplitude: Energia: 
𝐴𝑛 = 𝐴0e
−
1
2
𝑛𝛾𝑇 𝐸𝑛 = 𝐸0𝑒
−𝑛𝛾𝑇 
Amplitude inicial: 𝐴0 = 0,206 𝐸0 =
1
2
𝑘𝐴0
2 =
1
2
∗ 10 ∗ 0,2062 = 0,212 𝐽 
O período de oscilação: 
𝑇 =
2𝜋
𝜔
 → 𝑇 =
2𝜋
3,06
= 2,053𝑠 
Após 2 ciclos (n=2): 
𝐴2 = 𝐴0e
−
1
2∗2∗1,6∗2,053 = 0,206e−3,28 = 0,206 ∗ 0,0376 ≈ 7,7 ∗ 10−3𝑚 
𝐸2 = 𝐸0𝑒
−2∗1,6∗2,053 = 0,212 ∗ 𝑒−6,57 = 0,212 ∗ 1,4 ∗ 10−3 ≈ 2,97 ∗ 10−4𝐽