Exercícios - Aritmética (lista 2)

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Matemática em Exerćıcios
Aritmética - Lista de Exerćıcios
Professor Guilherme Miguel Rosa
1. Seja n um número natural. Mostre que (n + 1, n2 + n + 1) = 1.
2. Determine os números inteiros m e n tais que (56, 26) = 56m + 26n.
3. De quantas maneiras pode-se comprar selos de R$3, 00 e de R$5, 00 gastando exatamente R$50, 00?
4. Verifique que o número 137 é primo.
5. Ache os posśıveis valores de n, m inteiros ≥ 0 de modo que o número 9m10n tenha 27 divisores.
6. Mostre que todo número primo maior do que 3 é da forma 6k + 1 ou 6k + 5, com k inteiro.
7. Encontre o resto da divisão de:
• a) 2100 por 11;
• b) 14258 por 17.
8. Mostre que para todo n natural, 102n ≡ 1 (mod 11).
9. É posśıvel o dobro de um número natural deixar resto igual a 9 quando dividido por 26?
Justifique sua resposta.
10. Encontre o menor número natural que deixa restos 2, 3 e 4 quando dividido, respectivamente, por
3, 4 e 5.
Gabarito e soluções:
• 1) (n + 1, n2 + n + 1) = (n + 1, n2 + n + 1− n(n + 1)) = (n + 1, 1) = 1.
• 2) (56, 26) = (26, 56− 2 · 26) = (56, 4) = 4. Pelo algoritmo de Euclides:
56 = 2 · 26 + 4
26 = 6 · 4 + 2
4 = 2 · 2 + 0
Substituindo os restos:
4 = 2 · (26− 6 · 4)
4 = 2 · (26− 6 · (56− 2 · 26))
4 = 2(26− 6 · 56 + 12 · 26)
4 = 2 · 26− 12 · 56 + 24 · 26
4 = −12 · 56 + 26 · 26.
Logo, m = −12 e n = 26.
• 3) Precisamos encontrar o número de soluções inteiras não-negativas da equação diofantina
3x + 5y = 50, onde x é a quantidade de selos de três reais e y é a quantidade de selos de cinco
reais. A equação tem solução pois (3, 5) = 1. Uma solução particular é x = 10 e y = 4. Logo, as
soluções são da forma x = 10 + 3t e y = 4− 5t, t ∈ Z. Como x, y ≥ 0, 10 + 3t ≥ 0 =⇒ t ≥ −3
e 4− 5t ≥ 0 =⇒ t ≤ 0. Portanto, −3 ≤ t ≤ 0, e temos 4 soluções.
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• 4) 137 não deve ser diviśıvel por nenhum primo cujo quadrado é menor ou igual a 137. O maior
primo tal que seu quadrado não ultrapassa 137 é 11.
– 137 não é diviśıvel por 2, pois seu último algarismo não é par;
– 137 não é diviśıvel por 3 pois a soma de seus algarismos é 1 + 3 + 7 = 11 que não é diviśıvel
por 3;
– 137 não é diviśıvel por 5 pois não termina em zero ou 5;
– 137 não é diviśıvel por 7 pois 137 = 19 · 7 + 4;
– 137 não é diviśıvel por 11 pois 137 = 12 · 11 + 5.
Logo, 137 é primo.
• 5) Escrevendo 9m10n em fatores primos, temos 32m2n5n. Como a quantidade de divisores é
27, esse deve ser o resultado do produto dos expoentes dos fatores primos acrescidos de uma
unidade, ou seja, (2m+ 1)(n+ 1)2 = 27. Note que é necessário escrever 27 como produto de dois
fatores sendo um deles quadrado, logo, 27 = 3 · 32 ou 27 = 27 · 12. Assim, n + 1 = 3 =⇒ n = 2
e 2m + 1 = 3 =⇒ m = 1 ou n + 1 = 1 =⇒ n = 0 e 2m + 1 = 27 =⇒ m = 13.
• 6) Um número inteiro qualquer pode ser representado em uma, e somente uma das formas: 6k,
6k + 1, 6k + 2, 6k + 3, 6k + 4 ou 6k + 5, k ∈ Z. Se for primo, não pode ser da forma 6k,
6k + 2 = 2(3k + 1), 6k + 3 = 3(2k + 1) e 6k + 4 = 2(3k + 2), pois é, respectivamente, múltiplo
de 6, 2, 3, e 2. Logo, só pode ser da forma 6k + 1 ou 6k + 5.
• 7) a) 25 ≡ −1(mod 11) =⇒ (25)20 = 2100 ≡ (−1)20 = 1(mod 11).
• 7) b) Pelo Pequeno Teorema de Fermat, 1416 ≡ 1(mod 17). Logo, (1416)16 ≡ 116(mod 17) =⇒
14256 ≡ 1(mod 17) =⇒ (14256)142 ≡ 142(mod 17) =⇒ 14258 ≡ (−3)2 = 9(mod 17).
• 8) 10 ≡ −1(mod 11) =⇒ 102 ≡ 1(mod 11) =⇒ 102n ≡ 1n = 1(mod 11).
• 9) Seja X tal número, para que seu dobro deixe resto 9 na divisão por 26 devemos ter 2X ≡
9(mod 26). Essa congruência linear não possui solução, pois (2, 26) = 2 6 | 9.
• 10) 59.
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