Dicas do morgado

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AULÃO ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE
EDUARDO SAMPAIO
RIO DE JANEIRO, JUNHO DE 2017
 POSTURA ATIVA
 NÃO ADIAR DIFICULDADES
 DIVISÃO EM CASOS
DICAS DO MORGADO
VALE LEMBRAR OS PRINCÍPIOS DA CONTAGEM
ADITIVO (ou)
MULTIPLICATIVO (e)
SOLUÇÃO:
	DIVIDIR EM CASOS
(CASO 1) A PRIMEIRA CARTA É O ÁS DE OUROS
	1		(51 – 3) 48
	
 ÁS DE OUROS		NÃO ÁS
(CASO 2) A PRIMEIRA CARTA NÃO É O ÁS DE OUROS
 (13 – 1) 		(51 – 4) 12 X 47 564 
	
 CARTA DE OUROS NÃO ÁS
TOTAL DE 612 SEQUÊNCIAS POSSÍVEIS
AFA 01
MAIOR NÚMERO DE CASOS FAVORÁVEIS = MAIOR CHANCE DE VENCER
ANALISANDO OS CASOS FAVORÁVEIS , TEMOS :
 ANTÔNIO : 1, 2, 5 OU 6
 CARLOS : 1, 2, 3 OU 4
 JOSÉ : 2 OU 5
 VICENTE : APENAS 4
A PROBABILIDADE DE JOSÉ VENCER É O DOBRO DA DE VICENTE
AFA 02
PROBABILIDADE = Nº DE CASOS FAVORÁVEIS / Nº DE RESULTADOS POSSÍVEIS
ANALISANDO CADA ÍTEM, TEMOS :
A ) OFICIAL INTENDENTE OU QUE USE AGASALHO / TOTAL = (25 + 10)/45 = 7/9
B) USA AGASALHO / SABEMOS QUE É OFICIAL INTENDENTE / TOTAL = 15/25 = 3/5
C ) OFICIAIS AVIADORES QUE NÃO USEM AGASALHO / TOTAL = 10/45 = 2/9
D ) NÃO USA AGASALHO / SABEMOS QUE É OFICIAL AVIADOR = 10/20 = 1/2
AFA 03
 COMBINAÇÃO SIMPLES 
 FORMAR GRUPO ONDE A ORDEM NÃO IMPORTA = M!/P!.(M-P)!
 NA ESCOLHA DEVE HAVER PELO MENOS 3 DOS 5 PRIMEIROS CARTÕES
CASO 1 
 COMBINAÇÃO DOS 5 PRIMEIROS EM GRUPOS DE 3 E DOS 5 ÚLTIMOS EM GRUPOS DE 4 POIS ASSIM ESCOLHEREMOS 7 DOS 10 CARTÕES
 5!/(3!.2!) . 5!/(4!.1!) = 50
CASO 2 
 5 PRIMEIROS CARTÕES EM GRUPOS DE 4 E 5 ÚLTIMOS EM GRUPOS DE 3
5!/(4!.1!) . 5!/(3!.2!) = 50
CASO 3
 GRUPO DE 5 COM OS 5 PRIMEIROS E COMBINAÇÃO DE 5 DOIS A DOIS
 5!/(5!.0!) . 5!/(2!.3!) = 10 n = 50 + 50 + 10 = 110 FORMAS DE ESCOLHA
AFA 04
 OBSERVANDO O GRÁFICO, TEMOS QUE :
17 ANOS = 80 CADETES
18 ANOS = 70 CADETES
19 ANOS = 60 CADETES
20 ANOS = 50 CADETES
21 ANOS = 20 CADETES
P DESEJADA = ( TER 20 OU 21 ANOS )/ ( DENTRE TODOS OS CADETES )
P = ( 50 + 20 ) / 280 
P = 70 / 280 = 1/4
P = 25%
AFA 05
 ATENÇÃO POIS ESSA QUESTÃO TEVE DUPLICIDADE DE RESPOSTA
ANALISANDO CADA ITEM , TEMOS :
A ) (HOMEM OU VÔLEI)/ DENTRE TODOS = ( 45 + 15 ) / 100 = 60/100 = 3/5
B ) (HOMEM JOGADOR DE VÔLEI)/ DENTRE TODOS = 10/100 = 10%
C ) (HOMEM NADADOR)/ DENTRE OS HOMENS = 30/45
 (MULHER NADADORA)/ DENTRE AS MULHERES = 30/45
D )(TODOS OS NADADORES)/DENTRE TODOS =60/100=0,6(RESPOSTAS A/C)
AFA 06
 ERROS COMUNS
UM DADO É LANÇADO DUAS VEZES. QUAL A PROBABILIDADE DA SOMA DOS RESULTADOS SER IGUAL A 7?
 ESPAÇO AMOSTRAL COM ERRO { 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
PROBABILIDADE OBTIDA COM ERRO = 1/11 
CORRETO SERIA = 1/6
6FAVORÁVEIS{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}/36 POSSÍVEIS
2. UMA URNA CONTÉM 3 BOLAS BRANCAS E 4 PRETAS. RETIRA-SE UMA BOLA DE CADA VEZ , SEM REPOSIÇÃO. QUAL É A PROBABILIDADE DAS 2 PRIMEIRAS SEREM BRANCAS ?
ESPAÇO AMOSTRAL COM ERRO {BB, BP, PB, PP}
PROBABILIDADE OBTIDA COM ERRO = 1/4
CORRETO SERIA = 1/7
3 FAVORÁVEIS {(B1,B2), (B1,B3), (B2,B3)}/ 21 POSSÍVEIS=3/21=1/7
DEVEMOS FOCAR QUE AS COISAS OCORREM EM UMA CERTA ORDEM
TRABALHAR COM FACES DE CORES DIFERENTES FACILITA A VIDA
FACES DO DADO CÚBICO = {0,0,0,1,1,2} = 6 FACES
FACES DO DADO TETRAÉDRICO = {0,0,1,2} = 4 FACES
TOTAL DE CASOS = 6 . 4 = 24
ANALISANDO OS CASOS FAVORÁVEIS ( OBTER SOMA IGUAL A 3 )
( CÚBICO , TETRAÉDRICO )
{ (2,1), (1,1), (1,2) } = 3 CASOS FAVORÁVEIS
PROBABILIDADE DESEJADA = 3 / 24 = 1 / 8 = 12,5%
AFA 07
SITUAÇÃO 1
VISITAR O MARACANÃ E 2 ESTÁDIOS DENTRE 11
1 . 11! / (2!.9!) = 11.10.9! / 2.1.9! = 11.10 / 2 = 55
SITUAÇÃO 2 – PRECISAMOS DIVIDIR EM CASOS
1º ) MINEIRÃO, ARENA PANTANAL E MAIS UM
 1 . 1 . 10 = 10
OU
2º ) ESCOLHER 3 ESTÁDIOS DENTRE 10
10! / (3!.7!) = 10.9.8.7! / 3.2.1.7! = 10.9.8 / 3.2.1 = 720 / 6 = 120
SIT 1 / SIT2 = 55 / ( 10 + 120 ) = 55 / 130 = 11 / 26
AFA 08
VASO A ( 5E + 4 ) = 9 ROSAS ; VASO B ( 2E + 6 ) = 8 ROSAS
DIVIDIR EM CASOS
DE A PARA B COM ESPINHOS OU DE A PARA B SEM ESPINHOS
PROBABILIDADE DESEJADA = 5/9 . 3/9 + 4/9 . 2/9 = ( 15 + 8 ) / 81 = 23 / 81
 PODE SER MELHOR VISUALIZADO EM UMA ÁRVORE DE PROBABILIDADES
 								
AFA 09
5/9
4/9
COM ESPINHOS
SEM 
ESPINHOS
COM ESPINHOS
SEM 
ESPINHOS
3/9
6/9
3/9
7/9
5/9 X 3/9
4/9 X 2/9
RETIRAR DE A E COLOCAR EM B
RETIRAR DE B
COM ESPINHOS
SEM 
ESPINHOS
+
(15+8) /81 = 23/81
AFA 10
1
1
2
2
3
3
BOLAS DE MESMO Nº FIQUEM JUNTAS
MISTURAR TODOS OS 7 ELEMENTOS = 7!
2! PARA CADA PAR VERDE / AMARELO
MUDAR A ORDEM DE CADA PAR V/A MISTURANDO COM AS 4 BOLAS DE CORES DIFERENTES
7! . 2! . 2! . 2! = 7! . 8 = 8 . 7! 
 PAR 1 PAR 2 PAR 3 4 BOLAS LIVRES E DIFERENTES
RESTRIÇÃO : UMA MESMA CAIXA NÃO CONTENHA MAIS DO QUE 2 BOLAS
SITUAÇÕES POSSÍVEIS :
{ 2, 2, 0, 0 } OU { 2, 1, 1, 0 } OU { 1, 1, 1, 1 }
MENOR Nº DE REPETIÇÕES = MAIS POSSIBILIDADES DE EXECUTAR A TAREFA
{ 2, 1, 1, 0 }
ESCOLHER 2 BOLAS DENTRE 4 E ESCOLHER 1 BOLA DENTRE 2 E POSICIONAR A ÚLTIMA BOLA. POR FIM, MISTURAR OS ELEMENTOS.
4!/ (2!.2!) . 2!/ (1!.1!) .1. PERMUTAÇÃO DE 4 ELEMENTOS ONDE 2 REPETEM
6 . 2 . 1 . 4!/2! = 12 . 12 = 144 MANEIRAS
{ 2, 2, 0, 0 }
4!/ (2!.2!) . 1 . 4!/ (2!.2!) = 6 . 6 = 36 MANEIRAS
{ 1, 1, 1, 1 }
APENAS MISTURAR AS 4 BOLAS = 4! = 24 MANEIRAS
TOTAL DE 144 + 36 + 24 = 204 MANEIRAS DE GUARDAR AS BOLAS
AFA 11
CAIXA1 + CAIXA2 + CAIXA3 = 7 BOLAS
( X + 1 ) + ( Y + 1 ) + ( Z + 1 ) = 7
 X + Y + Z = 4
ANALISAR O NÚMERO DE SOLUÇÕES DISTINTAS DESSA EQUAÇÃO
UMA POSSÍVEL SOLUÇÃO ( 1, 1, 2 )
 _ + _ + _ _
OUTRA POSSÍVEL SOLUÇÃO ( 0, 2, 2 )
 + _ _ + _ _
BASTA PERMUTARMOS 6 ELEMENTOS ++ _ _ _ _ (OBS:ELEMENTOS REPETIDOS)
TOTAL DE SOLUÇÕES : 6! /(2! . 4!) = 6.5.4! / (2.1.4!) = 30/2 = 15 CASOS
DESEJADO : ( 4, 2, 1 ) EM QUALQUER ORDEM 3! = 6
PROBABILIDADE DESEJADA = 6 / 15 = 2 / 5 = 0,4 = 40% 
AFA 12
AFA 13
M1
M2
M3
M1
M2
M3
M
M
M
H
H
H
ESCOLHER 3 ALUNOS DENTRE 5 = 5! / (3!.2!) = 10 E
ESCOLHER 3 ALUNAS DENTRE 6 = 6! / (3!.3!) = 6.5.4.3! / 3.2.1.3! = 5.4 = 20 E
COLOCAR AS TRÊS MENINAS EM CÍRCULO = ( X – 1 )! = ( 3 – 1 )! = 2! = 2
 POR ÚLTIMO , MISTURAR OS ALUNOS NOS ESPAÇOS ENTRE AS ALUNAS = 3! = 6 
10 . 20 . 2 . 6 = 2400 MANEIRAS DISTINTAS
AFA 14
BARRACA 1 ( 4 SOLDADOS ) BARRACA 2 ( 3 SOLDADOS ) BARRACA 3 ( 3 SOLDADOS ) 
DESEJADO = SOLDADO A NA BARRACA 1 E B NÃO DEVE FICAR NA BARRACA 3
DESEJADO = TOTAL DE CASOS COM A EM B1 – CASOS EM QUE B FIQUE NA BARRACA 3
TOTAL DE CASOS = ESCOLHER 3 SOLDADOS DENTRE 9 PARA A BARRACA 1 POIS O SOLDADO A JÁ OCUPA UMA POSIÇÃO NA REFERIDA BARRACA. EM SEGUIDA ESCOLHER 3 SOLDADOS DENTRE OS 6 RESTANTES PARA A BARRACA 2.
9! /(3!.6!) . 6! /(3!.3!) = 9.8.7.6!/(3!.6!) .6.5.4.3!/(3!.3!) = 9.8.7/3! .6.5.4/3! = 3.4.7 .5.4 = 84.20
1680 MANEIRAS
SOLDADO B NA BARRACA 3 = ESCOLHER 3 SOLDADOS DENTRE 8 PARA A BARRACA 1 POIS O SOLDADO A ESTÁ EM B1 E O SOLDADO B EM B3. EM SEGUIDA, ESCOLHER PARA A BARRACA 3 DOIS SOLDADOS DENTRE 5.
8! /(3!.5!) . 1 . 5!/(2!.3!) = 8.7.6.5!/ (3.2.1.5!) . 5.4.3!/(2.1.3!) = 8.7.6/6 . 5.4/2 = 56 . 10 = 560
DESEJADO = 1680 – 560 = 1120 MANEIRAS DISTINTAS DE DISTRIBUÍ-LOS
 
DESEJAMOS A TODOS UMA EXCELENTE PROVA !!!
Lavf56.40.101