EM_V08_MATEMÁTICA LIVRO DE ATIVIDADES

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Livro do Professor
Saymon Michel Sanches
Volume 8
Livro de 
atividades
Matemática
©Editora Positivo Ltda., 2017 
Proibida a reprodução total ou parcial desta obra, por qualquer meio, sem autorização da Editora.
Dados Internacionais para Catalogação na Publicação (CIP) 
(Maria Teresa A. Gonzati / CRB 9-1584 / Curitiba, PR, Brasil)
S211 Sanches, Saymon Michel.
 Matemática : livro de atividades : Saymon Michel Sanches. – 
Curitiba : Positivo, 2017.
 v. 8 : il.
 ISBN 978-85-467-1902-0 (Livro do aluno)
 ISBN 978-85-467-1901-3 (Livro do professor)
 1. Ensino médio. 2. Matemática – Estudo e ensino. I. Título.
CDD 373.33
Probabilidades 
22
Experimentos aleatórios; 
Espaço amostral e evento
• Todo experimento ou fenômeno que, ao ser repetido várias 
vezes sob as mesmas condições, pode apresentar resultados 
diferentes é denominado experimento aleatório.
• O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento 
aleatório é denominado espaço amostral.
• Todo subconjunto do espaço amostral é chamado de evento.
Probabilidade
Considere um espaço amostral finito e equiprovável, ou seja, que 
tem um determinado número de elementos e todos eles têm a 
mesma chance de ocorrência. A probabilidade de ocorrer o 
evento A, indicada por P(A), é a razão entre o número de elementos 
de A, n(A), e o número de elementos do espaço amostral S, n(S).
P A
n A
n S
( )
( )
( )
Ainda podemos escrever:
=( ) número de casos favoráveisP A
número de casos possíveis
Eventos complementares
Para dois eventos complementares A e A , podemos escrever que 
P(A) = 1 P(A).−
Probabilidade da união de eventos
A probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B, ou seja, de 
ocorrer o evento A B, é igual à probabilidade de ocorrer o 
evento A, mais a probabilidade de ocorrer o evento B, menos a 
probabilidade de ocorrer o evento A B .
P(A B) = P(A)+P(B) P(A B)∪ ∩−
Quando A e B são disjuntos, ou seja, A B∩ =∅, os eventos A e 
B são denominados mutuamente exclusivos. Para esses even-
tos, vale a igualdade
P A B P A P B( ) ( ) ( )∪ = +
Probabilidade condicional
A probabilidade de ocorrer o evento A B é igual à probabilidade 
de ocorrer o evento A multiplicada pela probabilidade de ocorrer o 
evento B na certeza de o evento A ter ocorrido.
P A B P A P B A( ) ( ) ( )∩ = ⋅ |
Dois eventos são independentes quando a ocorrência de um 
deles não altera a probabilidade de ocorrência do outro. Como 
consequência, se A e B são eventos independentes, então 
a probabilidade de ocorrer o evento A B é o produto da 
probabilidade de ocorrer A e da probabilidade de ocorrer B.
P A B P A P B( ) ( ) ( )∩ = ⋅
Quando P A B P A P B( ) ( ) ( )∩ ≠ ⋅ , os eventos são dependentes. 
Distribuição binomial
Considere um experimento aleatório realizado n vezes, nas 
mesmas condições, e que tenha as seguintes características:
• existem apenas dois resultados possíveis: A e B;
• em cada uma das vezes que o experimento for realizado, as 
probabilidades de ocorrência dos resultados A e B não se 
alteram;
• um resultado não altera a probabilidade de ocorrência de 
outro, ou seja, são independentes.
Assim:
– se p é a probabilidade de ocorrer o resultado A, então a 
probabilidade de ocorrer o resultado B é 1 – p;
– se o resultado A ocorre k vezes, então o resultado B ocorre 
n – k vezes; 
– a probabilidade de o resultado A ocorrer k vezes é dada por:
P k resultados A C p 1 pn
k k n k( ) ( )= ⋅ ⋅ − −
2 Volume 8
Atividades
Espaço amostral e evento
1. Determine o número de elementos do espaço amostral 
de cada experimento e de cada evento associado a ele.
a) Lançar uma moeda três vezes e observar a face vol-
tada para cima.
 Evento A = {a face voltada para cima é cara em ape-
nas dois dos lançamentos}
Número de elementos do espaço amostral: 
2 2 2 2 83⋅ ⋅ = =
A = {(cara, cara, coroa), (cara, coroa, cara), (coroa, cara, 
cara)}. O número de elementos do evento A é 3.
 
b) Retirar 2 bilhetes de uma urna que contêm 15 bilhe-
tes numerados de 1 a 15.
 Evento B = {um dos bilhetes retirados tem número 
par e o outro tem número ímpar}
Número de elementos do espaço amostral: 
C15
2 15 14
2 1
105= ⋅
⋅
= 
Número de elementos do evento B:
C C8
1
7
1 8 7 56⋅ = ⋅ =
O número de elementos do evento B é 56.
c) Um casal pretende ter três filhos. 
 Evento C = {pelo menos dois dos filhos são meninas}
Número de elementos do espaço amostral: 
2 2 2 2 83⋅ ⋅ = =
Número de elementos do evento C:
C = {(menino, menina, menina), (menina, menino, menina), 
(menina, menina, menino), (menina, menina, menina)}
O número de elementos do evento C é 4.
d) Formar uma comissão com 4 alunos de uma turma, 
sendo a turma composta por 7 meninos e 9 meninas. 
 Evento D = {a comissão é formada por dois meninos}
Número de elementos do espaço amostral: 
C16
4 16 15 14 13
4 3 2 1
1 820= ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
=
Número de elementos do evento D:
C C7
2
9
2 7 6
2 1
9 8
2 1
756⋅ = ⋅
⋅
⋅ ⋅
⋅
=
O número de elementos do evento D é 756.
 
2. (FGV – SP) Conta a lenda:
 Havia um rei que tinha costume de dar liberdade a um 
prisioneiro no dia do seu aniversário. Em certa ocasião 
levou três condenados a um quarto escuro, no qual 
havia três chapéus brancos e dois chapéus negros. 
Contou aos prisioneiros quantos chapéus havia e a cor 
de cada um. Colocou um chapéu em cada prisioneiro, 
depois os tirou do quarto e levou-os a um lugar onde 
cada um pudesse ver o chapéu dos outros dois, mas 
não o seu.
 Perguntou ao prisioneiro A a cor do seu chapéu e ele 
não soube responder.
 O mesmo aconteceu com o prisioneiro B.
 Finalmente, fez a mesma pergunta ao prisioneiro C, 
que era totalmente cego e havia escutado as respostas 
dos outros dois.
 “Não necessito enxergar para saber que meu chapéu é 
branco.”
 Foi colocado em liberdade assim que todos observa-
ram que havia acertado a resposta.
a) Faça uma tabela em que apareçam todas as 
possibilidades das cores dos chapéus colocados 
nos prisioneiros.
Possibilidade
Prisioneiro
A
Prisioneiro
B
Prisioneiro
C
1 Branco Branco Branco
2 Branco Branco Negro
3 Branco Negro Branco
4 Negro Branco Branco
5 Branco Negro Negro
6 Negro Branco Negro
7 Negro Negro Branco
Matemática 3
b) Explique por que o condenado C somente poderia 
estar com o chapéu branco.
O prisioneiro A viu dois chapéus brancos ou um branco 
e um negro, pois não sabia a cor do dele. O prisioneiro 
B viu o chapéu do cego; se fosse negro, ele saberia 
que o dele era branco, porque A teria visto um chapéu 
negro e um branco. Como B não sabia responder, o 
chapéu do cego não era negro, era branco.
Probabilidade
3. Uma urna contém 30 bolinhas numeradas de 1 a 30. 
Sorteando-se uma bolinha, determine a probabilidade 
de que: O número de elementos do espaço amostral é n(S) = 30.
a) a bolinha tenha um número ímpar.
Como 15 das bolinhas são ímpares, o número de ele-
mentos do evento A = {o número observado é ímpar} 
é n(A) = 15.
P A( )
15
30
1
2
b) a bolinha tenha um número maior que 18.
Como 12 das bolinhas têm números maiores que 18, o 
número de elementos do evento A = {o número observado 
é maior que 18} é n(A) = 12.
P A( )
12
30
2
5
c) a bolinha tenha um número primo.
Como 10 das bolinhas são números primos (2, 3, 5, 7, 
11, 13, 17, 19, 23, 29), o número de elementos do evento 
A = {o número observado é primo} é n(A) = 10.
P A( )
10
30
1
3
d) a bolinha tenha um número múltiplo de 7.
Como 4 das bolinhas são múltiplos de 7, o número de 
elementos do evento A = {o número observado é um 
múltiplo de 7} é n(A) = 4.
P A( )
4
30
2
15
4. Joaquim lançou dois dados, um verde e um amarelo, 
e verificou os resultados mostrados nas faces voltadas 
para cima. 
a) Elabore uma tabela com os pares de resultados 
possíveis para representar o espaço amostral do 
experimento.
O número de elementos do espaço amostral é n(S) = 36.
Resultados possíveis:
V
A
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1)(2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
b) Determine a probabilidade de que o par obtido seja 
formado por dois números ímpares.
Como 9 dos resultados têm os dois núme-
ros ímpares, o número de elementos do evento 
A = {o par obtido é formado por dois números ímpares} 
é n(A) = 9.
P A( ) = =9
36
1
4
c) Elabore uma tabela com a soma dos pontos de cada 
par obtido e determine a probabilidade de que a 
soma dos dois números seja maior do que 5.
Somas possíveis:
V
A
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
Como 26 dos resultados têm soma maior que 5, o número 
de elementos do evento A = {a soma dos resultados obti-
dos é um número maior do que 5} é n(A) = 26.
P A( )
26
36
13
18
4 Volume 8
d) Determine a probabilidade de que os dois números 
sejam primos.
Como 9 dos resultados são formados por dois números 
primos, o número de elementos do evento A = {os dois 
números são primos} é n(A) = 9.
P A( )
9
36
1
4
e) Determine a probabilidade de que a soma dos dois 
números seja um múltiplo de 3.
Como 12 dos resultados têm como soma um múltiplo 
de 3, o número de elementos do evento A = {a soma 
dos resultados obtidos é um múltiplo de 3} é n(A) = 12.
P A( )
12
36
1
3
5. Considere um experimento que consiste em sortear um 
aluno entre os vinte de uma turma, numerados de 1 a 
20. Determine a probabilidade de: 
a) o aluno sorteado ser de número par.
Como 10 dos alunos têm número par, o número de 
elementos do evento A = {aluno com número par} é 
n(A) = 10.
P A( )
10
20
1
2
b) não ser sorteado um aluno cujo número seja um 
múltiplo de 5.
De 1 a 20, são 4 múltiplos de 5, portanto 16 alunos 
não têm números múltiplos de 5. Assim, o número de 
elementos do evento A = {número não é múltiplo de 5} 
é n(A) = 16.
P A( )
16
20
4
5
c) o aluno sorteado ter número menor que 12.
Como 11 dos alunos têm número menor do que 12, o 
número de elementos do evento A = {número menor 
do que 12} é n(A) = 11.
P A( )
11
20
O número de elementos do espaço amostral é n(S) = 20.
6. Considere uma carta retirada de um baralho comum, 
com 52 cartas. Determine a probabilidade de: 
a) ela ser vermelha.
Como 26 das cartas são vermelhas (13 de copas e 13 
de ouros), o número de elementos do evento A = {a 
carta retirada é vermelha} é n(A) = 26.
P A( )
26
52
1
2
b) ela ser uma carta de copas.
Como 13 das cartas são de copas, o número de ele-
mentos do evento A = {a carta retirada é de copas} é 
n(A) = 13.
P A( )
13
52
1
4
c) ser uma figura.
Como 12 das cartas são de figuras (4 valetes, 4 damas 
e 4 reis), o número de elementos do evento A = {a 
carta retirada é uma figura} é n(A) = 12.
P A( )
12
52
3
13
d) ser uma dama ou um seis.
Como há 4 damas e 4 seis em um baralho, o número 
de elementos do evento A = {a carta retirada é uma 
dama ou um seis} é n(A) = 8.
P A( )
8
52
2
13
e) ser um rei ou uma carta de paus.
Nesse caso, temos 4 reis e 13 cartas de paus, o que 
totalizaria 17, mas como um dos reis é de paus, o nú-
mero de elementos do evento A = {a carta retirada é 
um rei ou uma carta de paus} é n(A) = 4 + 13 – 1 = 16.
P A( ) = + − = =4
52
13
52
1
52
16
52
4
13
O número de elementos do espaço amostral é n(S) = 52.
Matemática 5
7. Uma pesquisa foi realizada com 800 habitantes de 
uma cidade. A pesquisa revelou que 350 são sócios do 
clube Sol de Verão, 250 do clube Curta as Férias e 150 
são sócios dos dois clubes. Escolhendo-se uma pessoa 
ao acaso, qual a probabilidade: 
a) de ela ser sócia somente do clube Curta as Férias?
Curta as 
Férias
350 – 150 = 200 250 – 150 = 100150
350
Sol de
Verão
O número de elementos do espaço amostral é n(S) = 800.
Como 100 das pessoas são sócias somente do clube 
Curta as Férias, o número de elementos do evento A = 
{a pessoa é sócia somente do clube Curta as Férias} é 
n(A) = 100.
P A( )
100
800
1
8
b) de ela não ser sócia do clube Sol de Verão?
Como 450 das pessoas não são sócias do clube Sol de 
Verão (100 que são sócias somente do clube Curta as 
Férias e 350 que não são sócias de nenhum dos dois 
clubes), o número de elementos do evento A = {a pessoa 
não é sócia do clube Sol de Verão} é n(A) = 450.
P A( )
450
800
9
16
c) de ela ser sócia do clube Sol de Verão ou do clube 
Curta as Férias?
Como 450 das pessoas são sócias do clube Sol de Verão 
ou do clube Curta as Férias (200 somente do clube Sol 
de Verão, 100 somente do clube Curta as Férias e 150 
de ambos os clubes), o número de elementos do evento 
A = {a pessoa é sócia do clube Sol de Verão ou do clube 
Curta as Férias} é n(A) = 450.
P A( )
450
800
9
16
8. O painel de seleção de um jogo apresenta 15 persona-
gens, 8 masculinos e 7 femininos.
 Sabe-se que cada time é formado por 2 integrantes, 
sem a possibilidade de selecionar duas vezes o mesmo 
personagem. 
a) Determine o total de duplas possíveis.
Existem 15 personagens disponíveis, para serem 
selecionados dois a dois. Então, o total de duplas 
possíveis para a formação do time é:
C15
2 15 14
2 1
105= ⋅
⋅
=
b) Carlos usou o modo aleatório de escolha das duplas, 
que define automaticamente o time. Determine 
a probabilidade de que o time escolhido tenha 
como integrante o personagem número 5, que é o 
preferido do garoto.
O número de elementos do espaço amostral é n(S) = 105.
Como um escolhido é o personagem número 5, o segun-
do deve ser escolhido entre os 14 personagens restantes, 
assim:
P
C
C
=
⋅
= ⋅ = =
1 1 14
105
14
105
2
15
14
1
15
2
c) Usando o modo aleatório de escolha, qual a 
probabilidade de que a dupla seja formada por 
um personagem do sexo masculino e um do sexo 
feminino?
Como existem 8 maneiras de escolher um personagem 
do sexo masculino e 7 maneiras de escolher um perso-
nagem do sexo feminino, a probabilidade pedida é:
P =
⋅
= =
8 7
105
56
105
8
15
9. De um grupo de 10 meninas e 6 meninos, serão 
sorteados 3 integrantes para formarem uma comissão 
responsável por representar o corpo discente nos 
6 Volume 8
assuntos escolares. Qual a probabilidade de que essa 
comissão seja formada por 2 meninas e 1 menino?
a) 
3
56
 
b) 
9
56
c) 
15
56
 
X d) 
27
56
e) 
33
56
56 56
O número de elementos do espaço amostral é dado 
pela combinação das 16 pessoas tomadas 3 a 3:
C16
3 16 15 14
3 2 1
560= ⋅ ⋅
⋅ ⋅
=
Assim, n(S) = 560.
Como a equipe deve ser formada por 2 meninas e 1 
menino temos:
C C10
2
6
1 10 9
2 1
6 45 6 270⋅ = ⋅
⋅
⋅ = ⋅ =
O número de elementos do evento A = {a equipe é for-
mada por 2 meninas e 1 menino} é n(A) = 270.
P A( )
270
560
27
56
Portanto, a probabilidade de ocorrência desse evento é 
27
56
.
10. Escolhendo-se por sorteio um estudante de uma clas-
se, a probabilidade de que seja um rapaz é o quádruplo 
da probabilidade de que seja uma moça. Qual é a pro-
babilidade de que:
a) seja escolhido um rapaz?
Como sabemos que a probabilidade de sortear um rapaz 
mais a probabilidade de sortear uma moça tem que ser 
igual a 1 e que a probabilidade de sortear um rapaz é o 
quádruplo da probabilidade de sortear uma moça, temos 
o seguinte sistema:
P(rapaz) P(moça) 1 P(moça) 1 P(rapaz) (I)
P(rapaz) 4 P(moça)
+ = ⇒ = −⎧
⎨ = ⋅⎩
Assim, substituindo (I) na segunda equação, temos:
P rapaz P rapaz
P rapaz P rapaz
P rapaz
P
( ) ( ( ) )
( ) ( )
( )
(
= ⋅ −
= − ⋅
⋅ =
4 1
4 4
5 4
rrapaz) = 4
5
Portanto, a probabilidade de sortear um rapaz é 
4
5
.
b) seja escolhida uma moça?
Como a probabilidade de sortear um rapaz é 
4
5
, a 
probabilidade de sortear uma moça é 1
4
5
1
5
− = .
11. Na central de telemarketing de um provedor de 
internet, 55% dos funcionários são do sexo masculino. 
Avaliando-se o relatório de rendimento dos funcionários 
dessa central, obtiveram-se as seguintes conclusões:
 I.40% dos problemas informados pelos clientes são 
resolvidos na primeira chamada quando o cliente é 
atendido por um homem.
 II. 55% dos problemas informados pelos clientes são 
resolvidos na primeira chamada quando o cliente é 
atendido por uma mulher.
 Quando um cliente liga para a central, o sistema di-
reciona a ligação, aleatoriamente, para um de seus 
atendentes. Qual a probabilidade de esse atendente 
resolver o problema do cliente na primeira ligação?
Do enunciado, sabemos que:
I. 55% dos funcionários são do sexo masculino e, por-
tanto, 45% são do sexo feminino.
II. 40% dos problemas são resolvidos na primeira liga-
ção quando o atendente é do sexo masculino e 55% dos 
problemas são resolvidos na primeira ligação quando o 
atendente é do sexo feminino.
Assim, há duas situações:
P (problema resolvido na primeira ligação por um ho-
mem) = 0,55 ∙ 0,40 = 0,22 = 22%.
ou
P (problema resolvido na primeira ligação por uma mu-
lher) = 0,45 ∙ 0,55 = 0,2475 = 24,75%.
Portanto, a probabilidade de o cliente ter seu problema 
resolvido na primeira ligação é de 22 + 24,75 = 46,75%.
12. A tabela a seguir mostra a distribuição das idades dos 
alunos de uma turma do 1.º ano do Ensino Médio.
14 anos 15 anos 16 anos
Meninos 7 4 2
Meninas 5 5 2
 Escolhendo um aluno ao acaso, determine a probabili-
dade de que ele: 
a) tenha 14 anos.
Como 12 dos alunos têm 14 anos, o número de ele-
mentos do evento A = {o aluno escolhido tem 14 anos} 
é n(A) = 12.
P A( )= 12
25
O número de elementos do espaço amos-
tral é n(S) = 7 + 4 + 2 + 5 + 5 + 2 = 25.
Matemática 7
b) seja uma menina.
Como 12 dos alunos são meninas, o número de elemen-
tos do evento A = {o aluno escolhido é uma menina} é 
n(A) = 12.
P A( )
12
25
c) seja um menino de 16 anos.
Como 2 dos meninos têm 16 anos, o número de ele-
mentos do evento A = {o aluno escolhido é um menino 
de 16 anos} é n(A) = 2.
P A( )
2
25
13. Num saquinho, foram colocadas bolas brancas e pre-
tas, totalizando 50 bolas. Sabendo que a chance de 
tirar uma bola branca é de 34%, pode-se concluir que 
o total de bolas pretas dentro do saquinho é:
X a) 33.
b) 16.
c) 25.
d) 17.
e) 24.
Primeiramente, determinamos o número de bolas bran-
cas existentes no saquinho:
P branca
n brancas
n brancas
n brancas
n
( )
( )
,
( )
( ) ,
=
=
= ⋅
50
0 34
50
50 0 34
(( )brancas = 17
Como o número de bolas brancas é 17, o número de 
bolas pretas é 50 – 17 = 33.
14. Jogando certo dado viciado, a chance de sair um nú-
mero par é o quíntuplo da chance de sair um número 
ímpar. Lançando-se esse dado uma única vez, determi-
ne a probabilidade de a face voltada para cima mostrar 
um número ímpar.
Como sabemos que a probabilidade de sair um núme-
ro par mais a probabilidade de sair um número ímpar é 
igual a 1 e que a probabilidade de sair um número par é 
o quíntuplo da probabilidade de sair um número ímpar, 
temos o seguinte sistema:
+ = ⇒ = −⎧
⎨ = ⋅⎩
P(par) P(ímpar) 1 P(par) 1 P(ímpar) (I)
P(par) 5 P(ímpar)
Assim, substituindo (I) na segunda equação, temos:
1 P(ímpar) 5 P(ímpar)
1 6 P(ímpar)
1
P(ímpar)
6
− = ⋅
= ⋅
=
Portanto, a probabilidade de sair um número ímpar é 
1
6
.
É possível resolver esse problema usando raciocínio de 
proporcionalidade. 
Se a probabilidade de sair um número par é o quíntuplo da 
probabilidade de sair um número ímpar, é como se 
tivéssemos, por exemplo, 3 números ímpares e 5 ∙ 3 = 15 
números pares. Portanto, a probabilidade de sair um número 
ímpar é de 3 em 18, ou seja, 
1
6
.
15. Considere todos os números com quatro algarismos 
distintos obtidos pela permutação dos algarismos 4, 
6, 7 e 8. Escolhendo um desses números, ao acaso, 
determine a probabilidade de: 
a) ele ser um número ímpar;
Os números ímpares formados com esses quatro 
algarismos têm como algarismo da unidade o número 7.
UM C D U
 3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 1 = 6.
Assim, o número de elementos do evento A = {o número 
formado da permutação dos quatro algarismos é ímpar} 
é n(A) = 6.
P A( ) = =6
24
1
4
b) ele ser um múltiplo de 2;
Os números múltiplos de 2 formados com esses quatro 
algarismos têm como algarismo da unidade um número 
par.
UM C D U
 3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 3 = 18.
Assim, o número de elementos do evento A = {o número 
formado da permutação dos quatro algarismos é 
múltiplo de 2} é n(A) = 18.
P A( ) = =6
24
1
4
c) de ele ser maior que 7000.
Os números maiores que 7 000 formados com esses 
quatro algarismos têm como algarismo da unidade 
de milhar o número 7 ou o número 8.
UM C D U
 2 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 12.
Assim, o número de elementos do evento A = {o nú-
mero formado da permutação dos quatro algarismos 
é maior que 7 000} é n(A) = 12.
P A( )
12
24
1
2
O número de elementos do espaço amostral é n S P( ) !4 4 24.
8 Volume 8
16. Complete a tabela abaixo usando as informações que 
seguem.
 Dos 200 funcionários de uma empresa, sabe-se que 
30% têm nível universitário, 60% são do sexo masculino 
e 55% das mulheres não têm nível universitário. 
a) O número de elementos do espaço amostral é n(S) = 200.
Masculino Feminino Total
Têm nível 
universitário
60 – 36 = 24 80 – 44 = 36
30%
de 200 = 60
Não têm nível 
universitário
120 – 24 = 96
55% 
de 80 = 44
70% 
de 200 = 140
Total
60% 
de 200 = 120
80 200
b) Determine a probabilidade de um funcionário sele-
cionado ser do sexo feminino.
Como 80 funcionários são do sexo feminino, o núme-
ro de elementos do evento A = {o funcionário escolhi-
do é do sexo feminino} é n(A) = 80.
P A( )
80
200
2
5
c) Determine a probabilidade de ser selecionado um 
funcionário que não tenha nível universitário.
Como 140 funcionários não têm nível universitário, o 
número de elementos do evento A = {selecionar um 
funcionário que não tem nível universitário} é n(A) = 140.
P A( )
140
200
7
10
d) Qual é a probabilidade de ser selecionado um fun-
cionário do sexo feminino ou um que tenha nível 
universitário?
Nesse caso, temos 80 funcionários do sexo feminino e 
60 funcionários com nível universitário, o que totalizaria 
140. Entretanto, como 36 funcionários do sexo feminino 
têm nível universitário, o número de elementos do evento 
A = {selecionar um funcionário do sexo feminino ou um 
funcionário que tenha nível universitário} é 
n(A) = 80 + 60 – 36 = 104.
P A( ) = + − = =80
200
60
200
36
200
104
200
13
25
e) Determine a probabilidade de ser selecionado um 
funcionário do sexo masculino que não tenha nível 
universitário.
Como 96 funcionários do sexo masculino não têm nível 
universitário, o número de elementos do evento A = {se-
lecionar um funcionário do sexo masculino que não tem 
nível universitário} é n(A) = 96.
P A( ) = =96
200
12
25
17. (FGV – SP) As seis faces do dado A estão marcadas 
com 1, 2, 3, 3, 5, 6; e as seis faces do dado B estão 
marcadas com 1, 2, 4, 4, 5 e 6. Considere que os da-
dos A e B são honestos no sentido de que a chance 
de ocorrência de cada uma de suas faces é a mesma. 
Se os dados A e B forem lançados simultaneamente, a 
probabilidade de que a soma dos números obtidos seja 
ímpar é igual a 
X a) 
5
9
b) 
1
2
 
c) 
4
9
d) 
1
3
e) 
2
9
2 3
As somas possíveis podem ser representadas por meio 
de uma tabela:
 B
A
1 2 4 4 5 6
1 2 3 5 5 6 7
2 3 4 6 6 7 8
3 4 5 7 7 8 9
3 4 5 7 7 8 9
5 6 7 9 9 10 11
6 7 8 10 10 11 12
O número de elementos do espaço amostral é n(S) = 36. 
Como 20 dos resultados têm soma ímpar, o número de 
elementos do evento A = {a soma dos resultados obti-
dos é um número ímpar} é n(A) = 20.
P A( )
20
36
5
9
18. (ACAFE – SC) Uma indústria de calçados recolheu em 
seus revendedores produtos defeituosos e, entre os 
pares defeituosos, observou o seguinte:
• 25% haviam descolado a sola.
• 17% havia problemas com costuras.
Matemática 9
• 15% dos calçados recolhidos tinham descolado a 
sola e possuíam problemas na costura.
• em 18%, o único defeito era a falta de um dos ca-
darços.
 Nessesentido, analise as seguintes afirmações:
 l. A probabilidade que um dos calçados recolhidos te-
nha como defeito as costuras ou a sola descolada é 
de 42%. F
 ll. 55% dos calçados recolhidos apresentaram outros 
defeitos não listados acima. V
 lll. A probabilidade do calçado recolhido não ter como 
defeito a sola ou as costuras descoladas é de 73%. V 
 Assinale a alternativa correta.
X a) As afirmações II e III estão corretas.
b) Apenas a afirmação II está correta.
c) Apenas a afirmação III está correta.
d) Nenhuma das afirmações está correta.
Sola descolada
17 – 15 = 2% 25 – 15 = 10%15%
55%
18%
Costura
Falta 
cadarço
De acordo com a situação descrita, temos:
I. 2 + 15 + 10 = 27%
II. 100 – 2 – 15 – 10 – 18 = 55%
III. 55 + 18 = 73%
19. (ACAFE – SC) Para a realização de uma olimpíada es-
colar, os professores de Educação Física montam as 
turmas por meio da distribuição das idades dos alunos. 
O gráfico abaixo representa a quantidade de alunos por 
suas idades.
 Considere as seguintes informações:
( V ) Se um deles é sorteado aleatoriamente, a proba-
bilidade de que tenha idade abaixo da média da 
turma é de 44%.
O número de elementos do espaço amostral é 
n(S) = 250. Como 60 + 50 = 110 alunos têm idade 
abaixo da média, o número de elementos do evento 
A = {alunos com idade abaixo da média da turma} 
é n(A) = 110.
P A( ) , %
110
250
0 44 44
Média das idades
60 16 50 17 40 18 30 19 50 20 20 21
250
960 850 720 570 1000 420
250
4520
18 anos
250
=
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =
+ + + + += =
=
 
( V ) O percentual de alunos de uma turma constituída 
por alunos cuja idade é maior ou igual a 18 anos é 
56.
O número de elementos do espaço amostral é 
n(S) = 250. Como 40 + 30 + 50 + 20 = 140 alunos 
têm idade maior ou igual a 18 anos, o número de 
elementos do evento A = {alunos com idade maior ou 
igual a 18 anos} é n(A) = 140.
P A( ) , %
140
250
0 56 56
 
( V ) A média de idade aproximada (em anos) de uma 
equipe formada por alunos cuja idade é menor ou 
igual a 18 anos é 17.
⋅ + ⋅ + ⋅= =
+ += =
60 16 50 17 40 18
Média das idades
150
960 850 720 2530
17 anos
150 150
 
 A sequência correta, de cima para baixo, é:
X a) V – V – V
b) V – V – F
c) V – F – F
d) F – F – V
10 Volume 8
20. (IFG – GO) Uma criança ganhou dois saquinhos, um azul 
e outro vermelho, com 10 bombons de mesmo tamanho 
em cada um. A tabela a seguir indica as quantidades de 
bombons recheados de cada sabor em cada saquinho:
Sabor
Saquinho 
Azul
Saquinho 
Vermelho
Morango 3 1
Coco 2 4
Leite condensado 5 5
 A probabilidade de a criança tirar, aleatoriamente, do 
saquinho azul, um bombom recheado com coco e, do 
saquinho vermelho, um bombom recheado com leite 
condensado, é de: 
a) 70%
b) 50%
X c) 10%
d) 25% 
e) 30%
I. Para o saquinho azul: o número de elementos do es-
paço amostral é n(S) = 10. Como 2 bombons são de 
coco, o número de elementos do evento A = {retirar um 
bombom de coco do saquinho azul} é n(A) = 2.
P A( )
2
10
1
5
II. Para o saquinho vermelho: o número de elementos 
do espaço amostral é n(S) = 10. Como 5 bombons 
são recheados com leite condensado, o número de 
elementos do evento B = {retirar um bombom recheado 
com leite condensado do saquinho vermelho} é 
n(B) = 5.
P B( )
5
10
1
2
Assim, a probabilidade de a criança tirar do saquinho 
azul um bombom recheado com coco e do saquinho 
vermelho um bombom recheado com leite condensado 
é de P A P B( ) ( ) , %.⋅ = ⋅ = = =1
5
1
2
1
10
0 1 10
 (ENEM) Texto para as questões 21 e 22.
 Em um concurso de televisão, apresentam-se ao 
participante 3 fichas voltadas para baixo, estando re-
presentada em cada uma delas as letras T, V e E. As 
fichas encontram-se alinhadas em uma ordem qual-
quer. O participante deve ordenar as fichas ao seu 
gosto, mantendo as letras voltadas para baixo, ten-
tando obter a sigla TVE. Ao desvirá-las, para cada letra 
que esteja na posição correta ganhará um prêmio de 
R$ 200,00. 
21. A probabilidade de o participante não ganhar qualquer 
prêmio é igual a:
a) 0
X b) 
1
3
c) 
1
4
d) 
1
2
e) 
1
6
4
O número de elementos do espaço amostral é 
n(S) = P3 3 6! que são: TVE, TEV, ETV, EVT, VTE e 
VET. Como 2 delas apresentam as três cartas em 
ordem incorreta (ETV e VET), o número de elementos 
do evento A = {o participante não ganhar qualquer 
prêmio} é n(A) = 2.
P A( )
2
6
1
3
22. A probabilidade de o concorrente ganhar exatamente o 
valor de R$ 400,00 é igual a:
X a) 0
b) 
1
3
c) 
1
2
d) 
2
3
e) 
1
6
2
O número de elementos do espaço amostral é 
n(S) = P3 3 6! que são: TVE, TEV, ETV, EVT, VTE e VET. 
Como nenhuma delas apresenta somente 2 cartas em 
ordem correta, pois, se duas letras estiverem em ordem 
correta, automaticamente a terceira também estará, o 
número de elementos do evento A = {o participante 
ganhar exatamente o valor de R$ 400,00} é n(A) = 0.
P A( )
0
6
0
23. (UFAC) Um dado e uma urna contendo 10 bolas enu-
meradas de 1 a 10 são postos sobre uma mesa ampla. 
O dado é lançado sobre a mesa e o número m, da 
Matemática 11
face que fica voltada para cima, é anotado. Em se-
guida, uma bola é retirada aleatoriamente da urna e o 
seu número n é também anotado. A probabilidade de 
m + n ser um número primo é igual a:
a) 
1
10
b) 
1
13
c) 
7
30
d) 
13
60
X e) 
23
60
 
30
I. Para o dado, os possíveis resultados são 1, 2, 3, 4, 
5 ou 6.
II. Para a retirada da bola da urna, os possíveis resulta-
dos são 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ou 10.
As somas possíveis podem ser representadas por meio 
de uma tabela:
m
n
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
7 8 9 10 11 12 13
8 9 10 11 12 13 14
9 10 11 12 13 14 15
10 11 12 13 14 15 16
O número de elementos do espaço amostral é n(S) = 60. 
Como 23 das somas são números primos, o número de 
elementos do evento A = {a soma dos resultados obtidos 
no dado e na bola retirada da urna é um número primo} 
é n(A) = 23.
P A( )
23
60
24. (ENEM) A tabela ao lado indica a posição relativa de 
quatro times de futebol na classificação geral de um 
torneio, em dois anos consecutivos. O símbolo • signi-
fica que o time indicado na linha ficou, no ano de 2004, 
à frente do indicado na coluna. O símbolo significa 
que o time indicado na linha ficou, no ano de 2005, à 
frente do indicado na coluna.
A B C D
A
B
C
D
 A probabilidade de que um desses quatro times, esco-
lhido ao acaso, tenha obtido a mesma classificação no 
torneio, em 2004 e 2005, é igual a 
X a) 0,00.
b) 0,25.
c) 0,50.
d) 0,75.
e) 1,00.
A simples observação da tabela pode nos indicar que 
esse fato não ocorreu, pois pelo menos um dos times 
teria que apresentar quantidades iguais dos dois sím-
bolos para obter a mesma classificação nos dois anos. 
Podemos também resolver a questão montando uma 
tabela que mostre a classificação em 2004 e 2005: 
2004 2005
1°. B C
2°. D B
3°. C A
4°. A D
Portanto, a probabilidade de que um dos times tenha obti-
do a mesma classificação nos anos de 2004 e 2005 é zero. 
25. (IFRS) Na composição de um painel de arte, são utili-
zadas seis peças iguais, com lados iguais, como a que 
aparece ilustrada na figura A. As peças são dispostas 
em duas filas, cada qual com três peças e de forma 
que cada uma delas pode apontar para um dos qua-
tro sentidos possíveis, como aparece ilustrado em um 
exemplo de montagem na figura B.
 Colocadas ao acaso as seis peças, a probabilidade de 
que todas as setas estejam apontando no mesmo sen-
tido é de
a) 
1
24
b) 
1
180
c) 
1
324
X d) 
1
1 024
e) 
1
4 096
Cada uma das seis peças pode ser colocada na compo-
sição da figura em 4 sentidos diferentes, assim, exis-
tem 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 = 4 096 possíveis composições 
de um painel. E existem 4 formações em que todas as 
setas apontam para a mesma posição. Portanto, a pro-
babilidade de que todas as setas estejam apontandono 
mesmo sentido é de 
4
4 096
1
1 024
= . 
12 Volume 8
26. (IFSP) O gráfico representa o número de alunos de uma 
escola distribuídos por idade. Sabe-se que os alunos 
com exatamente 15 anos correspondem à quinta parte 
do grupo de idade a que pertence. Se um aluno dessa 
escola é escolhido ao acaso, a probabilidade de esse 
aluno ter exatamente 15 anos é:
a) 
2
5
b) 
4
15
c) 
2
9
d) 
9
50
 
X e) 
2
45
15 50
Como os alunos que tem exatamente 15 anos corres-
pondem a um quinto do total de alunos do grupo a que 
pertencem, então temos exatamente 
40
5
8 alunos 
com exatamente 15 anos de idade.
O número de elementos do espaço amostral é 
n(S) = 30 + 60 + 50 + 40 = 180. Como 8 dos alunos 
têm 15 anos, o número de elementos do evento 
A = {escolher um aluno com exatamente 15 anos} é 
n(A) = 8.
P A( )
8
180
2
45
27. (UFPR) Considere três caixas contendo bolas brancas e 
pretas, conforme ilustra a figura.
 Uma bola é retirada aleatoriamente da caixa 1 e coloca-
da na caixa 2. Então, uma bola é retirada aleatoriamente 
da caixa 2 e colocada na caixa 3. Finalmente, uma bola 
é retirada aleatoriamente da caixa 3. Calcule a probabi-
lidade de que essa última bola retirada seja branca.
A retirada da bola branca da caixa 3 depende das reti-
radas das caixas 1 e 2, dessa forma temos as seguintes 
possibilidades:
I. A = {Retirar uma bola branca da caixa 1, retirar uma bola 
branca da caixa 2 e retirar uma bola branca da caixa 3}
P A( ) = ⋅ ⋅ =1
3
3
5
2
3
6
45
II. B = {Retirar uma bola branca da caixa 1, retirar uma 
bola preta da caixa 2 e retirar uma bola branca da caixa 3}
P B( ) = ⋅ ⋅ =1
3
2
5
1
3
2
45
III. C = {Retirar uma bola preta da caixa 1, retirar uma bola 
branca da caixa 2 e retirar uma bola branca da caixa 3}
P C( ) = ⋅ ⋅ =2
3
2
5
2
3
8
45
IV. D = {Retirar uma bola preta da caixa 1, retirar uma 
preta da caixa 2 e retirar uma bola branca da caixa 3}
P D( ) = ⋅ ⋅ =2
3
3
5
1
3
6
45
Assim, a probabilidade da retirada de uma bola branca 
da caixa 3 é:
P A P B P C P D( ) ( ) ( ) ( )+ + + = + + + =6
45
2
45
8
45
6
45
22
45
28. (FUVEST – SP) Para a prova de um concurso vestibular, 
foram elaboradas 14 questões, sendo 7 de Português, 
4 de Geografia e 3 de Matemática. Diferentes versões 
da prova poderão ser produzidas, permutando-se livre-
mente essas 14 questões.
a) Quantas versões distintas da prova poderão ser 
produzidas?
A prova pode ser elaborada permutando-se as 14 
questões, ou seja, P14 14!
b) A instituição responsável pelo vestibular definiu as 
versões classe A da prova como sendo aquelas que 
seguem o seguinte padrão: as 7 primeiras questões 
são de Português, a última deve ser uma questão 
de Matemática e, ainda mais: duas questões de 
Matemática não podem aparecer em posições 
Matemática 13
consecutivas. Quantas versões classe A distintas da 
prova poderão ser produzidas?
De acordo com o que foi exposto, a sequência da prova 
classe A pode ser representada como se segue:
P P P P P P P G M
P7 7
4 3!
_ _ _ _ _� �� �� � �
I. As 7 primeiras questões são de Português, portanto 
temos a permutação de 7 elementos.
II. A última questão é de Matemática, portanto, a penúlti-
ma questão é de Geografia, obrigatoriamente, já que não 
pode haver duas questões consecutivas de Matemática.
III. Resta, ainda, posicionarmos 5 questões, 2 de Mate-
mática e 3 de Geografia, não podendo as de Matemática 
ocuparem posições consecutivas. Para isso, podemos 
permutar todas as 5 e descontar os casos em que as 
2 de Matemática ocupam posições consecutivas. Assim: 
5! – 4! ∙ 2! = 72.
Logo, existem 7! ∙ 72 ∙ 4 ∙ 3 = 864 ∙ 7! provas possíveis 
da versão classe A.
c) Dado que um candidato vai receber uma prova que 
começa com 7 questões de Português, qual é a pro-
babilidade de que ele receba uma versão classe A?
O número de casos possíveis em que o candidato 
recebe uma prova que começa com 7 questões de 
Português é 7! ∙ 7!. Assim, a probabilidade P pedida é:
P = ⋅
⋅
= =864 7
7 7
864
5 040
6
35
!
! !
29. (UFMG) Uma pesquisa em um segmento populacio-
nal registrou o número de filhos por mulher. Em uma 
comunidade, à época da pesquisa, foram consultadas 
1 200 mulheres, revelando uma distribuição conforme 
mostra o gráfico abaixo.
 Observe que o gráfico informa o número de filhos 
por mulher e a porcentagem correspondente de 
mulheres com esse número de filhos, exceto na 
faixa correspondente a 5 filhos. Com base nessas 
informações,
a) determine o número de mulheres entrevistadas com 
5 filhos.
Como a única informação que falta é a porcentagem de 
mulheres com 5 filhos, podemos obter esse valor por 
meio das informações do gráfico.
I. Mulheres com 0, 1, 2, 3 ou 4 filhos totalizam 
7% + 20% + 30% + 20% + 15% = 92%. Portanto, o 
número de mulheres que têm 5 filhos corresponde a 8% 
do total.
II. Fazendo uma regra de três simples, podemos deter-
minar esse valor:
mulheres porcentagem
 1 200 100
 x 8
100 ∙ x = 1200 ∙ 8
100x = 9600
x = 96
Portanto, 96 mulheres têm 5 filhos. 
b) calcule a média de filhos por mulher.
Média de filhos por mulher:
7 0 20 1 30 2 20 3 15 4 8 5
100
0 20 60 60 60 40
100
240
100
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =
= + + + + + = == 2 4,
Portanto, a média é de 2,4 filhos por mulher.
c) Calcule a probabilidade de uma mulher, escolhida 
ao acaso, ter 3 filhos ou mais.
A probabilidade de uma mulher, escolhida ao 
acaso, ter 3 filhos ou mais é a soma do percentual 
de mulheres com 3, 4 e 5 filhos: 
20% + 15% + 8% = 43% ou 0,43. 
30. Numa sala, há 9 crianças com os números de 1 a 9 
estampados nas camisetas que estão usando. Selecio-
nando-se conjuntamente duas crianças ao acaso, qual 
a probabilidade de que ambas tenham estampado um 
número par na camiseta?
P par par( , ) = ⋅ = =4
9
3
8
12
72
1
6
Portanto, a probabilidade de que as duas crianças 
escolhidas tenham estampado em suas camisetas um 
número par é 
1
6
.
14 Volume 8
31. As probabilidades de três jogadores acertarem uma 
cesta numa partida de basquete são, respectivamente 
 2
3
, 5
6
 e 7
10
. Se cada um lançar a bola uma única vez, 
qual a probabilidade de:
a) todos acertarem a cesta?
Considerando que a probabilidade de um jogador acertar 
a cesta não se altera pelo fato de outro jogador acertar 
ou não e, nomeando a probabilidade de os 3 jogado-
res acertarem a cesta, respectivamente, por P(A), P(B) 
e P(C), temos:
P A B C P A P B P C
P A B C
( ) ( ) ( ) ( )
( )
∩ ∩ = ⋅ ⋅
∩ ∩ = ⋅ ⋅ = =
2
3
5
6
7
10
70
180
7
18
b) só um acertar a cesta?
As probabilidades de que os jogadores não consigam 
acertar uma cesta são:
P A P B e P C
P P A P B P C P A P B P C P
( ) , ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
= = =
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +
1
3
1
6
3
10
AA P B P C
P
P
) ( ) ( )⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
= + +
2
3
1
6
3
10
1
3
5
6
3
10
1
3
1
6
7
10
6
180
15
180
7
1180
28
180
7
45
P = =
c) todos errarem a cesta?
P A B C P A P B P C
P A B C
( ) ( ) ( ) ( )
( )
∩ ∩ = ⋅ ⋅
∩ ∩ = ⋅ ⋅ = =1
3
1
6
3
10
3
180
1
60
32. (ENEM) Em uma central de atendimento, cem pessoas 
receberam senhas numeradas de 1 até 100. Uma das 
senhas é sorteada ao acaso. Qual é a probabilidade de 
a senha sorteada ser um número de 1 a 20?
a) 
1
100
b) 
19
100
X c) 
20
100
d) 
21
100
e) 
80
100
Como 20 das senhas têm números de 1 a 20, o número 
de elementos do evento A = {a senha sorteada é um 
número de 1 a 20} é n(A) = 20.
P A( )
20
100
1
5
33. (ENEM) No próximo final de semana, um grupo de 
alunos participará de uma aula de campo. Em dias 
chuvosos, aulas de campo não podem ser realizadas. 
A ideia é que essa aula seja no sábado, mas, se 
estiver chovendo no sábado, a aula será adiada para o 
domingo. Segundo a meteorologia, a probabilidade de 
chover no sábado é de 30% e a de chover no domingo 
é de 25%. A probabilidade de que a aulade campo 
ocorra no domingo é de: 
a) 5,0% 
b) 7,5%
X c) 22,5%
d) 30,0%
e) 75,0%
Com base no enunciado, sabe-se que:
I. há 30% de chance de chover no sábado e, portanto, 
70% de chance de não chover nesse dia;
II. há 25% de chance de chover no domingo e, portan-
to, 75% de chance de não chover nesse dia. 
Assim, temos a seguinte situação: para a aula de cam-
po ocorrer no domingo, é necessário haver sábado 
com chuva e domingo sem chuva, portanto: 
P (aula de campo ocorrer no domingo) = 
= 
chance de chance de
chover no não chover
sábado no domingo
30% 75% 0,3 0,75 0,225 22,5%⋅ = ⋅ = =
Assim, a chance de a aula acontecer no domingo é 
de 22,5%.
34. (ENEM) Uma competição esportiva envolveu 20 equipes 
com 10 atletas cada. Uma denúncia à organização dizia 
que um dos atletas havia utilizado substância proibida. 
Os organizadores, então, decidiram fazer um exame 
antidoping. Foram propostos três modos diferentes 
para escolher os atletas que irão realizá-lo: 
 Modo I: sortear três atletas dentre todos os participantes; 
 Modo II: sortear primeiro uma das equipes e, desta, 
sortear três atletas; 
 Modo III: sortear primeiro três equipes e, então, sortear 
um atleta de cada uma dessas três equipes. 
Matemática 15
 Considere que todos os atletas têm igual probabilidade 
de serem sorteados e que P(I), P(II) e P(III) sejam as 
probabilidades de que o atleta que utilizou a substância 
proibida seja um dos escolhidos para o exame no caso 
do sorteio ser feito pelo modo I, II ou III. Comparando-se 
essas probabilidades, obtém-se:
a) P(I) < P(III) < P(II)
b) P(II) < P(I) < P(III)
c) P(I) < P(II) = P(III)
d) P(I) = P(II) < P(III) 
X e) P(I) = P(II) = P(III)
De acordo com o enunciado, há 20 equipes com 10 
atletas, ou seja, um total de 20 ∙ 10 = 200 atletas, dos 
quais, segundo a denúncia, apenas um havia utilizado 
substância proibida. 
Acompanhe a probabilidade de o atleta ser um dos esco-
lhidos segundo cada modo. 
I. Modo I: P I( ) ,= ⋅ ⋅ ⋅ =3 1
200
199
199
198
198
3
200
 já que o atleta 
considerado pode ser o primeiro, o segundo ou o terceiro 
a ser sorteado. 
II. Modo II:
- a probabilidade de ser sorteada a equipe do atleta é 
1
20
.
- a probabilidade de o atleta ser sorteado dentro de cada 
uma das equipes é 3
1
10
9
9
8
8
3
10
⋅ ⋅ ⋅ = , já que o atleta 
considerado pode ser o primeiro, o segundo ou o terceiro 
a ser sorteado. 
Assim, P II( ) .= ⋅ =1
20
3
10
3
200
III. Modo III:
- a probabilidade de sorteio das três equipes é 
3
1
20
19
19
18
18
3
20
⋅ ⋅ ⋅ = , já que a equipe do atleta conside-
rado pode ser a primeira, a segunda ou a terceira a ser 
sorteada.
 - a probabilidade de o atleta ser sorteado na equipe é 
1
10
10
10
10
10
1
10
⋅ ⋅ = .
Assim, P II(I ) .= ⋅ =3
20
1
10
3
200
Portanto, P(I) = P(II) = P(III).
35. (ENEM) Em uma escola, a probabilidade de um aluno 
compreender e falar inglês é de 30%. Três alunos des-
sa escola, que estão em seleção final de intercâmbio, 
aguardam, em uma sala, serem chamados para uma 
entrevista. Mas, ao invés de chamá-los um a um, o en-
trevistador entra na sala e faz, oralmente, uma pergunta 
em inglês que pode ser respondida por qualquer um dos 
alunos. A probabilidade de o entrevistador ser entendido 
e ter sua pergunta oralmente respondida em inglês é: 
a) 23,7%
b) 30,0%
c) 44,1%
X d) 65,7%
e) 90,0%.
I. Cada aluno tem chance de 30% de compreender e fa-
lar inglês. Portanto, cada um deles tem 70% de chance 
de não compreender nem falar inglês. 
II. A única situação que não satisfaz o solicitado no enun-
ciado é aquela em que nenhum dos três alunos realiza a 
tarefa solicitada pelo entrevistador, ou seja, a probabilida-
de de nenhum dos três alunos responder à pergunta feita 
pelo entrevistador é P = 70% . 70% . 70% =
= 0,70 . 0,70 . 0,70 = 0,343 = 34,3%.
Assim, a probabilidade de o entrevistador ser enten-
dido e de ter sua pergunta respondida em inglês é: 
100% – 34,3% = 65,7%.
36. (UERJ – RJ) Os consumidores de uma loja podem 
concorrer a brindes ao fazerem compras acima de 
R$ 100,00. Para isso, recebem um cartão de raspar no 
qual estão registradas 23 letras do alfabeto em cinco 
linhas. Ao consumidor é informado que cada linha dis-
põe as seguintes letras, em qualquer ordem: 
• linha 1 – {A, B, C, D, E}; 
• linha 2 – {F, G, H, I, J}; 
• linha 3 – {L, M, N, O, P}; 
• linha 4 – {Q, R, S, T, U}; 
• linha 5 – {V, X, Z}. 
 Observe um exemplo desses cartões, com as letras 
ainda visíveis:
 Para que um consumidor ganhasse um secador, teria 
de raspar o cartão exatamente nas letras dessa pala-
vra, como indicado abaixo:
16 Volume 8
 Considere um consumidor que receba um cartão para concorrer a um ventilador. Se ele raspar as letras corretas em 
cada linha para formar a palavra VENTILADOR, a probabilidade de que ele seja premiado corresponde a:
X a) 
1
15 000
b) 
1
18 000
c) 
1
20 000
d) 
1
25 000
I. Raspar as letras E, A e D na linha 1: P( )1
3
5
2
4
1
3
6
60
1
10
= ⋅ ⋅ = = .
II. Raspar a letra I na linha 2: P( )2
1
5
.
III. Raspar as letras O, N e L na linha 3: P( )3
3
5
2
4
1
3
6
60
1
10
= ⋅ ⋅ = = .
IV. Raspar as letras R e T na linha 4: P( )4
2
5
1
4
2
20
1
10
= ⋅ = = .
V. Raspar a letra V na linha 5: P( )5
1
3
.
Assim, a probabilidade de o cliente ganhar o prêmio é de P(1)⋅P(2)⋅P(3)⋅P(4)⋅P(5) = 1
10
1
5
1
10
1
10
1
3
1
15 000
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = .
37. (VUNESP – SP) Um dado convencional e uma moeda, ambos não viciados, serão lançados simultaneamente. Uma das 
faces da moeda está marcada com o número 3, e a outra com o número 6. A probabilidade de que a média aritmética 
entre o número obtido da face do dado e o da face da moeda esteja entre 2 e 4 é igual a:
X a) 
1
3
b) 
2
3
c) 
1
2
d) 
3
4
e) 
1
43 3 2 4 4
Chamando de x o resultado do lançamento da moeda e de y o resultado do lançamento do dado, temos os espaços amostrais 
x = {3, 6} e y = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
As médias aritméticas possíveis com os pares (x, y) podem ser representadas por meio de uma tabela:
y
x
1 2 3 4 5 6
3 3 1
2
2
+
=
3 2
2
2 5
+
= ,
3 3
2
3
+
=
3 4
2
3 5
+
= ,
3 5
2
4
+
=
3 6
2
4 5
+
= ,
6 6 1
2
3 5
+
= ,
6 2
2
4
+
=
6 3
2
4 5
+
= ,
6 4
2
5
+
=
6 5
2
5 5
+
= ,
6 6
2
6
+
=
O número de elementos do espaço amostral é n(S) = 12. Como 4 dos pares (x, y) obtidos têm média aritmética entre 2 e 4, o 
número de elementos do evento A = {média aritmética entre o número obtido da face do dado e o da face da moeda está entre 
2 e 4} é n(A) = 4.
P A( )
4
12
1
3
38. (UFRN) Uma prova de Matemática contém trinta questões, das quais quatro são consideradas difíceis. Cada questão 
tem quatro opções de resposta, das quais somente uma é correta. Se uma pessoa marcar aleatoriamente uma opção 
em cada uma das questões difíceis, é correto afirmar que: 
a) a probabilidade de errar as questões difíceis é maior que a probabilidade de acertar pelo menos uma questão difícil. F
b) a probabilidade de errar as questões difíceis é maior que 
1
2
. F
Inicialmente temos: = 3P(errar uma questão difícil)
4
 e =
1
P(acertar uma questão difícil)
4
Matemática 17
X c) a probabilidade de errar as questões difíceis é menor que a probabilidade de acertar pelo menos uma questão difícil. 
d) a probabilidade de errar as questões difíceis está entre 
2
5
 e 
1
2
.
5 2
a) = ⋅ ⋅ ⋅ = =3 3 3 3 81P(errar todas as difíceis) 0,31 31%
4 4 4 4 256
.
= − = =P(acertar pelo menos uma difícil) 1 0,31 0,69 69%.
A probabilidade de errar todas as questões difíceis é menor que a de acertar pelo menos uma questão difícil.
b) = ⋅ ⋅ ⋅ = =3 3 3 3 81P(errar todas as difíceis) 0,31 31%
4 4 4 4 256
.
A probabilidade de errar todas as questões difíceis é menor que 
1
2
.
d) A probabilidade de errar todas as questões difíceis é de aproximadamente 31%, portanto não está entre 
2
5
0 4
1
2
0 5, ,( ) ( )e .
39. (UFPB) Uma escola de línguas estrangeiras sorteou uma bolsa de estudosentre 20 alunos de escola pública que 
demonstraram ter algum conhecimento de, pelo menos, um dos idiomas: inglês, espanhol e francês. Sobre os alunos 
sorteados sabe-se que: 
• 9 demonstraram ter algum conhecimento de espanhol; 
• 8 demonstraram ter algum conhecimento de francês; 
• 14 demonstraram ter algum conhecimento de inglês; 
• 4 demonstraram ter algum conhecimento de espanhol e de francês; 
• 5 demonstraram ter algum conhecimento de espanhol e de inglês; 
• 3 demonstraram ter algum conhecimento de francês e de inglês; 
• 1 demonstrou ter algum conhecimento dos três idiomas citados. 
 Com base nas informações apresentadas, identifique as afirmativas corretas: 
a) ( V ) A probabilidade de o aluno sorteado ter conhecimento apenas de espanhol é de 5%. 
b) ( V ) A probabilidade de o aluno sorteado ter apenas conhecimento de francês e de inglês é de 10%. 
c) ( V ) A probabilidade de o aluno sorteado não ter conhecimento de inglês é de 30%.
d) ( V ) A probabilidade de o aluno sorteado ter conhecimento apenas de inglês é de 35%. 
e) ( F ) A probabilidade de o aluno com conhecimento apenas de espanhol ter sido sorteado é maior que a probabili-
dade do aluno com conhecimento apenas de francês.
a) P apenas espanhol( ) , %
1
20
0 05 5
b) = = =2P(francês e inglês) 0,1 10%
20
c) = = =6P(não ter conhecimento de inglês) 0,3 30%
20
 
d) = = =7P(apenas inglês) 0,35 35%
20
e) A probabilidade de o aluno com conhecimento apenas de espanhol ter sido 
sorteado é de 5%, menor que a probabilidade do aluno com conhecimento 
apenas de francês, que é de 10%.
7
1
4 2
2
3
1
E F
I
18 Volume 8
Probabilidade condicional
40. Uma pessoa tem nas mãos um chaveiro com 5 chaves 
idênticas e somente uma delas abre um cofre. Determine 
a probabilidade de essa pessoa abrir o cofre na segunda 
tentativa, sabendo que a primeira chave escolhida não 
foi a correta.
P(Abrir na 2ª. tentativa | Falhou na 1ª. tentativa) = 
= 
n(chaves corretas)
n(chaves restantes)
 
P(Abrir na 2ª. tentativa | Falhou na 1ª. tentativa) = 
1
4
41. Em uma sala, estão reunidos 10 homens e 10 mulhe-
res para a discussão da pauta de melhorias de uma 
empresa. Entre os homens, 2 são engenheiros, 5 são 
arquitetos e os demais são advogados. Entre as mulhe-
res, 3 são engenheiras, 3 arquitetas e as demais são 
advogadas. Um desses profissionais foi escolhido ao 
acaso para a apresentação das pautas. Determine:
a) a probabilidade de que a pessoa escolhida seja um 
profissional da área de advocacia;
O número de elementos do espaço amostral é n(S) = 20. 
Como 7 pessoas são da área de advocacia, o número 
de elementos do evento A = {a pessoa escolhida é um 
profissional da área de advocacia} é n(A) = 7.
P A( )
7
20
b) a probabilidade de que a pessoa escolhida seja do 
sexo masculino;
O número de elementos do espaço amostral é n(S) = 20. 
Como 10 pessoas são do sexo masculino, o número de 
elementos do evento A = {a pessoa escolhida é do sexo 
masculino} é n(A) = 10.
P A( )
10
20
1
2
c) a probabilidade de que a pessoa escolhida seja pro-
fissional da área de arquitetura, sabendo que é uma 
mulher;
O número de elementos do espaço amostral é n(S) = 10, 
visto que se sabe que é uma mulher. Como 3 mulheres 
são da área de arquitetura, o número de elementos do 
evento A = {a pessoa escolhida é da área de arquitetura 
dado que é mulher} é n(A) = 3.
P arquitetura mulher( | )
3
10
c) a probabilidade de que a pessoa escolhida seja do 
sexo masculino, sabendo que é um profissional da 
área de engenharia.
O número de elementos do espaço amostral é n(S) = 5, 
uma vez que se sabe que é um profissional da área de 
engenharia. Como 2 dos engenheiros são do sexo mas-
culino, o número de elementos do evento A = {a pessoa 
escolhida é do sexo masculino dado que é profissional da 
área de engenharia} é n(A) = 2.
P homem engenharia( | )
2
5
42. Uma urna tem 5 bolas vermelhas, 3 marrons e 4 ama-
relas. Retirando-se duas bolas sucessivamente da urna 
sem reposição, determine a probabilidade de:
a) ambas serem da mesma cor;
A probabilidade P de que as duas bolas tenham a mesma 
cor é a soma da probabilidade de as duas bolas serem 
vermelhas com a probabilidade de ambas serem marrons 
e com a probabilidade de que as duas sejam amarelas.
P P V V P M M P A A
P P V P V V P M P M M
= ∩ + ∩ + ∩
= ⋅ + ⋅
( ) ( ) ( )
( ) ( | ) ( ) ( |
1 2 1 2 1 2
1 2 1 1 2 1)) ( ) ( | )+ ⋅
= ⋅ + ⋅ + ⋅
= + +
P A P A A
P
P
1 2 1
5
12
4
11
3
12
2
11
4
12
3
11
20
132
6
132
12
1332
38
132
19
66
P = =
b) ambas serem de cores diferentes.
A probabilidade P de que as duas bolas tenham cores 
diferentes é igual a 1 menos a probabilidade de duas 
bolas serem da mesma cor:
P P V V P M M P A A
P
P
P
= − ∩ + ∩ + ∩( )
= −
=
−
=
1
1
19
66
66 19
66
47
66
1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )
Matemática 19
c) a segunda bola retirada ser vermelha, sendo a pri-
meira marrom.
Sejam os eventos: 
=
=
1
2
M {a primeira bola é marrom}
V {a segunda bola é vermelha}
P P V M
P
( | )2 1
5
11
43. Num baleiro, há 17 balas de café, 5 de morango e 10 
de uva. Retiram-se sucessivamente e sem reposição 
3 balas do recipiente. Sabendo que as duas primeiras 
balas retiradas são de café, assinale a afirmação 
correta.
a) A probabilidade de a terceira ser de morango é 
5
32
. 
b) A probabilidade de a terceira ser de café é 
17
30
. 
c) A probabilidade de a terceira ser de morango é 
1
10
. 
X d) A probabilidade de a terceira ser de uva é 
1
3
.
 
3
a) P M C C( | )3 1 2
5
30
1
6
b) P C C C( | )3 1 2
15
30
1
2
= =
c) Ver item a.
d) P U C C( | )3 1 2
10
30
1
3
44. Numa escola, estudam 300 alunos no Ensino Médio, 
sendo 200 meninos e 100 meninas, e 500 alunos no 
Ensino Fundamental, sendo 200 meninos e 300 me-
ninas. Ao escolher um aluno dessa escola, calcule a 
probabilidade de ser:
a) menino, sabendo que é aluno do Ensino Médio.
O número de elementos do espaço amostral é n(S) = 300, 
já que se sabe que é aluno do Ensino Médio. Como 200 
dos alunos do Ensino Médio são meninos, a probabilidade 
pedida é:
= =200 2.P(menino |Ensino Médio)
300 3
b) aluno do Ensino Médio, sabendo que é menina.
O número de elementos do espaço amostral é n(S) = 400, 
uma vez que se sabe que o aluno é uma menina. Como 
100 das meninas são do Ensino Médio, a probabilidade 
pedida é:
= =100 1.P(Ensino Médio |menina)
400 4
c) menina, sabendo que é do Ensino Fundamental.
O número de elementos do espaço amostral é n(S) = 500, 
visto que se sabe que é aluno do Ensino Fundamental. 
Como 300 dos alunos do Ensino Fundamental são 
meninas, a probabilidade pedida é:
P menina En o Fundamental( | sin ) .= =300
500
3
5
d) aluno do Ensino Fundamental, sabendo que é menino.
O número de elementos do espaço amostral é n(S) = 400, 
uma vez que se sabe que o aluno é um menino. Como 
200 meninos são do Ensino Fundamental, a probabilidade 
pedida é:
P En o Fundamental menino( sin | ) .= =200
400
1
2
45. Dois garotos, Paulo e Victor, lançam um par de dados. 
Nas apostas, ficou definido que, se a soma for 7, Paulo 
ganha e, se a soma for 9, quem ganha é Victor. Deter-
mine a probabilidade de Victor ter ganhado a aposta, 
sabendo que Paulo não foi o ganhador.
As somas possíveis podem ser representadas por meio de 
uma tabela:
P
V
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
O número de elementos do espaço amostral é n(S) = 30, 
pois sabe-se que Paulo não ganhou. Como 4 dos resul-
tados têm soma 9, o número de elementos do evento 
A = {Victor ganha dado que Paulo não ganhou} é n(A) = 4.
= =4 2 .P(Victor ganha |Paulo não ganhou)
30 15
20 Volume 8
46. No lançamento de um dado honesto, o resultado ob-
servado na face superior foi um número maior do que 
3. Qual é a probabilidade de esse número ser ímpar?
a) 
1
6
b) 
1
2
 
X c) 
1
3
d) 
2
5
 
e) 
2
3
2 5
O número de elementos do espaço amostralé n(S) = 3, 
pois sabe-se que o resultado observado no dado é maior 
que 3, o número de elementos do evento A = {o número 
é ímpar, dado que o número observado é maior que 3} é 
n(A) = 1.
= 1P(ímpar |maior que 3)
3
.
47. (ENEM) As 23 ex-alunas de uma turma que completou 
o Ensino Médio há 10 anos se encontraram em uma 
reunião comemorativa. Várias delas haviam se casado 
e tido filhos. A distribuição das mulheres, de acordo 
com a quantidade de filhos, é mostrada no gráfico 
abaixo.
 Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos dessas 
ex-alunas. A probabilidade de que a criança premiada 
tenha sido um(a) filho(a) único(a) é 
a) 
1
3
b) 
1
4
c) 
7
15
d) 
7
23
X e) 
7
25
4 23
O número de elementos do espaço amostral é 
n(S) = 7 ∙ 1 + 6 ∙ 2 + 2 ∙ 3 = 25. Como 7 das crian-
ças são filhos únicos, o número de elementos do evento 
A = {a criança sorteada é filho único} é n(A) = 7.
P A( )
7
25
.
48. (UFPR) Para verificar a redução de efeitos colaterais de 
um novo tratamento, pesquisadores ministraram a dois 
grupos distintos de voluntários o tratamento conven-
cional e o novo tratamento. Os resultados obtidos estão 
descritos na tabela a seguir:
Apresentou Efeitos Colaterais
SIM NÃO
Tratamento Convencional 54 41
Novo Tratamento 51 34
a) Qual a probabilidade de um voluntário, escolhido 
aleatoriamente dentre os participantes dessa pes-
quisa, ter apresentado efeitos colaterais?
O número de elementos do espaço amostral é 
n(S) = 54 + 51 + 41 + 34 = 180. Como 54 + 51 = 105 
voluntários apresentaram efeito colateral, o número de 
elementos do evento A = {o voluntário escolhido teve 
efeito colateral} é n(A) = 105.
P A( ) .= =105
180
7
12
b) Qual a probabilidade de um voluntário ter sido 
submetido ao novo tratamento, dado que ele 
apresentou efeitos colaterais?
O número de elementos do espaço amostral é 
n(S) = 54 + 51 = 105, já que o voluntário escolhido 
apresentou efeitos colaterais. Como 51 voluntários apre-
sentaram efeito colateral quando submetidos ao novo 
tratamento, o número de elementos do evento A = {o vo-
luntário foi submetido ao novo tratamento, dado que ele 
apresentou efeitos colaterais} é n(A) = 51.
P A( ) .= =51
105
17
35
49. (ENEM) Um protocolo tem como objetivo firmar acor-
dos e discussões internacionais para conjuntamente 
estabelecer metas de redução de emissão de gases 
de efeito estufa na atmosfera. O quadro mostra alguns 
dos países que assinaram o protocolo, organizados de 
acordo com o continente ao qual pertencem.
Países da América do Norte Países da Ásia
Estados Unidos da América China
Canadá Índia
México Japão
Matemática 21
 Em um dos acordos firmados, ao final do ano, dois dos países relacionados serão escolhidos aleatoriamente, um após 
o outro, para verificar se as metas de redução do protocolo estão sendo praticadas. 
 A probabilidade de o primeiro país escolhido pertencer à América do Norte e o segundo pertencer ao continente 
asiático é:
a) 
1
9
b) 
1
4
X c) 
3
10
 d) 
2
3
e) 1
= ∩
= ⋅
= ⋅
= =
P P(primeiro país é da América do Norte segundo país é da Ásia)
P P(primeiro país é da América do Norte) P(segundo país é da Ásia |primeiro país é da América do Norte)
3 3
P
6 5
9 3
P
30 10
50. (ENEM) Um bairro residencial tem cinco mil moradores, dos quais mil são classificados como vegetarianos, 40% são 
esportistas, enquanto que, entre os não vegetarianos, essa porcentagem cai para 20%. Uma pessoa desse bairro, 
escolhida ao acaso, é esportista. A probabilidade de ela ser vegetariana é:
a) 
2
25
b) 
1
5
c) 
1
4
X d) 
1
3
e) 
5
625 5 4 3 6
Podemos elaborar uma tabela com os dados apresentados:
Esportista Não Esportista Total
Vegetariano 40% de 1 000 = 400 60% de 1000 = 600 1 000
Não vegetariano 20% de 4 000 = 800 80% de 4 000 = 3 200 4 000
Total 1 200 3 800 5 000
Já que se sabe que o morador é esportista, o número de elementos do espaço amostral é n(S) = 1 200.
Como 400 dos esportistas são vegetarianos, o número de elementos do evento A = {o morador escolhido é vegetariano dado que 
é um esportista} é n(A) = 400.
P vegetariano( | esportista)
400
1200
1
3
.
51. (UFRN) Uma escola do Ensino Médio possui 7 servidores administrativos e 15 professores. Destes, 6 são da área de 
Ciências Naturais, 2 são de Matemática, 2 são de Língua Portuguesa e 3 são da área de Ciências Humanas. Para 
organizar a Feira do Conhecimento dessa escola, formou-se uma comissão com 4 professores e 1 servidor adminis-
trativo.
 Admitindo-se que a escolha dos membros da comissão foi aleatória, a probabilidade de que nela haja exatamente um 
professor de Matemática é de, aproximadamente: 
a) 26,7%. b) 53,3%. c) 38,7%. X d) 41,9%.
I. Existem 15 professores disponíveis e 7 servidores administrativos para serem selecionados dois a dois. Então, o total de comissões 
possíveis com 4 professores e 1 servidor administrativo é:
C C15
4
7
1 15 14 13 12
4 3 2 1
7 9555⋅ =
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅ =
II. O total de comissões possíveis com 1 professor de Matemática, 3 professores de outras áreas e 1 servidor administrativo é:
C C C2
1
13
3
7
1 2
13 12 11
3 2 1
7 4004⋅ ⋅ = ⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ =
Portanto, a probabilidade de que, na comissão, haja exatamente um professor de Matemática é de 
4 004
9 555
0 419 419, , %.=
22 Volume 8
52. (ACAFE – SC) O Exame de Papanicolaou é um teste 
usado para o diagnóstico do câncer cervical (câncer de 
colo de útero), muitas vezes causado pela infecção do 
papiloma vírus humano, HPV. Para avaliar a qualidade 
de diagnóstico do Exame Papanicolaou, 600 mulheres 
de uma determinada região foram submetidas ao teste, 
sendo que 500 estavam sadias (sem câncer) e 100 
estavam doentes (com câncer). Após o teste, verificou-
-se que, dos resultados referentes às mulheres sadias, 
350 deram negativo e, dos resultados referentes às 
mulheres doentes, 94 deram positivo. Analise as pro-
posições abaixo e classifique-as em V – verdadeiras ou 
F – falsas.
( F ) A probabilidade do teste Papanicolaou ter resul-
tado negativo, dentre as pacientes que não têm 
câncer, é de 58%. 
( V ) A probabilidade do teste Papanicolaou ter resulta-
do positivo, dentre as pacientes que realmente têm 
câncer, é 0,94. 
( F ) A probabilidade de uma paciente realmente ter 
câncer, dentre aquelas com resultado positivo no 
teste Papanicolaou, é de 40,6%. 
( V ) A probabilidade de uma paciente não ter câncer, 
dentre aquelas com resultado negativo no teste 
Papanicolaou, é aproximadamente 98%. 
( V ) A probabilidade de uma paciente realmente ter 
câncer, dentre aquelas com resultado negativo no 
teste Papanicolaou, é inferior a 2%. 
 A sequência correta, de cima para baixo, é: 
a) V – V – F – F – V 
b) F – F – V – V – V 
c) V – F – V – F – F 
X d) F – V – F – V – V
Das 600 mulheres submetidas ao teste:
- 500 eram sadias, entretanto o teste apontou que ape-
nas 350 estavam sadias e que as outras 150 tinham o 
vírus do HPV.
- 100 eram doentes, entretanto o teste apontou que 94 
tinham o vírus do HPV e que as outras 6 estavam sadias.
( F ) P negativo sadia( | ) , %
350
500
0 7 70
( V ) P ositivo doente(p | ) ,
94
100
0 94
( F ) P doente ositivo( |p ) , , %
94
244
0 385 38 5
( V ) P sadio negativo( | ) , , %
350
356
0 983 98 3
( V ) P doente negativo( | ) , , %
6
356
0 017 17
53. (UFRGS) Um jogo consiste em responder corretamente 
a perguntas sorteadas, ao girar um ponteiro sobre uma 
roleta numerada de 1 a 10, no sentido horário. O nú-
mero no qual o ponteiro parar corresponde à pergunta 
a ser respondida. A cada número corresponde somente 
uma pergunta, e cada pergunta só pode ser sorteada 
uma vez. Caso o ponteiro pare sobre um número que 
já foi sorteado, o participante deve responder à próxi-
ma pergunta não sorteada, no sentido horário. Em um 
jogo, já foram sorteadas as perguntas 1, 2, 3, 5, 6, 7 e 
10. Assim, a probabilidade de que a pergunta 4 seja a 
próxima a ser respondida é de:
a) 
1
4
b) 
1
3
X c) 
1
2
d) 
2
3
e)3
4
Os números sorteados que possibilitam que a próxima 
questão seja a 4 são: {1, 2, 3, 4 ,10}. 
Portanto, a probabilidade pedida é P
5
10
1
2
.
Distribuição binomial
54. Um casal pretende ter 3 filhos. Supondo que a proba-
bilidade de nascer menino é igual à probabilidade de 
nascer menina, determine a probabilidade de:
a) somente 2 serem meninas.
P menino e P menina
P meninas C
( ) ( )
( )
= =
= ⋅⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
1
2
1
2
2
1
2
1
2
3
2
2
⎟⎟ =
⋅
⋅
⋅ ⋅
= =
1
3 2
2 1
1
4
1
2
2
6
16
3
8
P meninas( )
b) nascerem pelo menos 2 meninos.
P pelo menos meninos P meninos e menina
P meninos
P pel
( ) ( )
( )
(
2 2 1
3
= +
+
oo menos meninos C
C
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
2
2 1
3
3
3
) = ⋅⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
+ ⋅⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅
⎛⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
⋅
⋅
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
0
2
3 2
2 1
1
4
1
2
1
1
8
1P pelo menos meninos
P pelo meno
( )
( ss meninos2
6
16
1
8
3
8
1
8
4
8
1
2
) = + = + = =
Matemática 23
c) não nascer menina.
A probabilidade de não nascer menina acontece quando 
os três filhos são meninos.
P nenhuma menina P meninos
P nenhuma menina C
( ) ( )
( )
=
= ⋅⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
3
1
2
3
3
3
⋅⋅⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⋅ ⋅
=
1
2
1
1
8
1
1
8
0
P nenhuma menina( )
55. Um dado honesto é lançado seis vezes consecutivas. 
Qual a probabilidade de a face:
a) com o número 3 ser o resultado obtido em dois dos 
lançamentos?
P e P
P vezes a face C
P v
( ) ( )
( )
(
3
1
6
3
5
6
2 3
1
6
5
6
2
6
2
2 4
= =
= ⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
eezes a face 3
6 5
2 1
1
36
625
1 296
18 750
93 312
3 125
15 552
20 1
)
,
= ⋅
⋅
⋅ ⋅ = =
= %%
b) superior ser um número par em 3 dos lançamentos?
= = = =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⋅ ⋅= ⋅ ⋅ = = =
⋅ ⋅
3 3
3
6
3 1 3 1
P(par) e P(par)
6 2 6 2
1 1
P(3vezes par) C
2 2
6 5 4 1 1 120 5
P(3vezes par) 31,25%
3 2 1 8 8 384 16
c) com o número 5 ser o resultado obtido em todos os 
lançamentos?
P e P
P seis vezes a face C
( ) ( )
( )
5
1
6
5
5
6
6 5
1
6
5
6
6
6
6 0
= =
= ⋅⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
PP seis vezes a face( ) , %6 5 1
1
46656
1
1
46656
0 002= ⋅ ⋅ =
d) com o número 1 não aparecer nos lançamentos?
P e P
P nenhuma vez a face C
( ) ( )
( )
1
1
6
1
5
6
1
1
6
5
6
6
0
0 6
= =
= ⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅ ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
PP nenhuma vez a face
P nenhuma vez a face
( )
( )
1 1 1
15 625
46 656
1
15 6
= ⋅ ⋅
= 225
46 656
33 5, %
56. (UFPR) A linha de produção de uma fábrica produz 
milhares de peças por dia e apresenta, em média, 
quatro peças defeituosas a cada cem peças produzidas. 
Um inspetor de qualidade sorteia cinco peças de modo 
aleatório e verifica a quantidade de peças defeituosas. 
De acordo com as informações acima, considere as 
seguintes afirmativas: 
 1. A probabilidade de o inspetor encontrar 
no máximo uma peça defeituosa é 
( , , ) ( , , )0 04 0 96 5 0 04 0 960 5 1 4× + × × V
 2. A probabilidade de o inspetor encontrar pelo menos 
uma peça defeituosa é 1 0 04 0 960 5− ×( , , ) V
 3. É impossível o inspetor encontrar 5 peças 
defeituosas. F
24 Volume 8
 Assinale a alternativa correta. 
a) Somente a afirmativa 1 é verdadeira. 
X b) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. 
c) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. 
d) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. 
e) As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras.
1. Verdadeira. = = = =P(defeituosa) P(D) 0,04 e P(não defeituosa) P(D) 0,96
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
= +
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
= ⋅ + ⋅ ⋅
0 5 1 40 1
5 5
0 5 1 4
0 5 1 4
P(1D no máximo) P(0 D) P(1D)
P(1D no máximo) C 0,04 0,96 C 0,04 0,96
P(1D no máximo) 1 0,04 0,96 5 0,04 0,96
P(1D no máximo) 0,04 0,96 5 0,04 0,96
2. Verdadeira. A probabilidade de o inspetor encontrar pelo menos uma peça defeituosa é igual a 1 menos a probabilidade de não 
achar peça defeituosa.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
= = = =
= −
= − ⋅ ⋅
= − ⋅ ⋅
= − ⋅
0 50
5
0 5
0 5
P(defeituosa) P(D) 0,04 e P(não defeituosa) P(D) 0,96
P(pelo menos 1D) 1 P(0 D)
P(pelo menos 1D) 1 C 0,04 0,96
P(pelo menos 1D) 1 1 0,04 0,96
P(pelo menos 1D) 1 0,04 0,96
3. Falsa. 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
= = = =
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅
5 05
5
5 0
5 0
P(defeituosa) P(D) 0,04 e P(não defeituosa) P(D) 0,96
P(5 D) C 0,04 0,96
P(5 D) 1 0,04 0,96
P(5 D) 0,04 0,96
57. (UFPR) Dois matemáticos saíram para comer uma pizza. Para decidir quem pagaria a conta, eles resolveram lançar 
uma moeda 4 vezes: se não aparecessem duas caras seguidas, Alfredo pagaria a conta, caso contrário Orlando pa-
garia. Qual é a probabilidade de Alfredo pagar a conta?
a) 
7
16
X b) 
1
2
c) 
1
16
d) 
5
8
e) 
3
416 2 16 8 4
O número de elementos do espaço amostral é n S( ) = ⋅ ⋅ ⋅ = =2 2 2 2 2 164
Alfredo pagará a conta se não aparecerem duas caras seguidas, então as possibilidades de Alfredo pagar a conta são:
Nomeando cara por C e coroa por K
{(K, K, K, K), (K, K, K, C), (K, K, C, K), (K, C, K, K), (C, K, K, K), (C, K, K, C), (K, C, K, C), (C, K, C, K)}
Assim, o número de elementos do evento A = {Alfredo pagará a conta} é n(A) = 8.
P A( )
8
16
1
2
.
58. (MACKENZIE – SP) Em um torneio de futebol, participam cinco times, cada um jogando com os demais uma única vez, 
sendo igualmente possíveis os resultados empate, derrota ou vitória. Se os times Coringa e São Pedro irão se enfrentar 
somente na última partida, a probabilidade de ambos chegarem a essa partida sem derrotas é:
X a) 
4
9
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ b) 
2
3
9
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ c) 
1
3
6
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ d) 4
2
3
3
⋅⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ e) 9
1
3
6
⋅⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ 
Matemática 25
Antes de se enfrentarem na última partida, os times Coringa e São Pedro vão jogar, cada um, 3 partidas.
Os resultados possíveis para cada uma das três partidas antecedentes à final é formado de 3 possibilidades (vitória, empate ou 
derrota) e dois deles satisfazem à condição expressa no enunciado. Assim, a probabilidade de cada um dos times não ser derro-
tado em cada uma das 3 partidas que antecedem a final é P
2
3
 e, consequentemente, a de não ser derrotado nas três partidas 
é P = ⋅ ⋅ = ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
3
2
3
2
3
2
3
3
.
Portanto, a probabilidade de ambos chegarem à partida final sem derrotas é P = ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
3
2
3
2
3
2
3
4
9
3 3 3 3
59. (UFPR) O jogo de “par ou ímpar” é uma forma bastante usada para resolver aleatoriamente um impasse entre duas 
pessoas. Cada participante escolhe uma das opções – par ou ímpar – e a seguir ambos mostram as mãos, escon-
dendo ou não alguns dedos. Contam-se os dedos aparentes e vence quem tiver acertado a escolha (par ou ímpar) 
acordada previamente. Se duas pessoas jogarem par ou ímpar 5 vezes seguidas: 
a) Qual a probabilidade de se obterem no máximo 2 resultados pares? 
Os resultados de “par ou ímpar” de determinada rodada são independentes de qualquer outra. Sendo X e Y os jogadores, existem 
4 modos possíveis de ocorrer uma rodada qualquer, sendo em 2 deles o resultado par e nos outros 2 o resultado ímpar.
Jogador X Y Soma
Número par par par
Número par ímpar ímpar
Número ímpar par ímpar
Número ímpar ímpar par
Assim, em cada rodada, a probabilidade de se obter soma par é 
2
4
1
2
 e a probabilidade de se obter soma ímpar também é 
2
4
1
2
= + +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⋅= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
⋅
=
0 5 1 4 2 3
0 1 2
5 5 5
P(2 pares no máximo) P(0 par) P(1par) P(2 pares)
1 1 1 1 1 1
P(2 pares no máximo) C C C
2 2 2 2 2 2
1 1 1 5 4 1 1
P(2 pares no máximo) 1 1 5
32 2 16 2 1 4 8
1
P(2 pares no máximo)
32
+ +
= =
5 10
32 32
16 1
P(2 pares no máximo)
32 2
Portanto, a probabilidade de se obterem no máximo 2 resultados pares é igual a 50%.
b) Sabendo que na primeira rodada saiu um número par, qual é a probabilidade de ocorrerem exatamente 3 resulta-
dos pares?
Como na 1ª. rodada ocorreu um resultado par, então, para ocorrerem exatamente 3 resultados pares nas 5 rodadas,é preciso que 
nas próximas 4 rodadas ocorram exatamente 2 resultados pares.
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⋅= ⋅ ⋅
⋅
= = = =
2 2
2
4
1 1
P(2 pares) C
2 2
4 3 1 1
P(2 pares)
2 1 4 4
12 3
P(2 pares) 0,375 37,5%
32 8
Portanto, a probabilidade de, nessas condições, ocorrerem exatamente 3 resultados pares é 37,5%.
26 Volume 8
Trigonometria na 
circunferência
23
Arcos e ângulos
Em uma circunferência, quando escolhemos dois de seus pontos, 
ficam determinadas duas partes denominadas arcos de circunferência.
Medida e comprimento de um arco
Todo arco de circunferência está associado a um ângulo central.
A medida de um arco é a medida do ângulo central correspondente.
O comprimento é a medida linear, ou seja, do segmento que seria 
obtido caso pudéssemos retificar o arco.
Unidades de medida de um arco 
 • Grau (°)
Quando uma circunferência é dividida em 360 partes, cada uma 
dessas partes é um arco de medida 1 grau (1°).
1° = 60’ 1’ = 60”
 • Radiano (rad)
Quando o comprimento de um arco é igual ao raio da circunferên-
cia, a medida desse arco é 1 radiano (1 rad).
O raio da circunferência mede r.
O comprimento do arco AB é r.
A medida do arco AB é 1 radiano. 
A medida de uma circunferência é 360° ou 2 rad.
Circunferência trigonométrica 
y
x
A(1, 0)
O
2.o
quadrante
1.o
quadrante
3.o
quadrante
4.o
quadrante
sentido
positivo
sentido
negativo
 • O ponto A(1, 0) é sempre a origem dos arcos.
 • O sentido anti-horário é positivo e o sentido horário é negativo.
 • Os eixos cartesianos dividem a circunferência em 4 partes, deno-
minadas quadrantes. 
Arcos côngruos
Na circunferência trigonométrica, arcos que têm a mesma origem 
e a mesma extremidade são denominados arcos côngruos entre 
si. Generalizando, a expressão geral de todos os arcos côngruos 
ao arco AP, de medida α, com 0 360° ≤ < °α (α em graus) ou 
0 2≤ <α π (α em radianos), é dada por:
α + ⋅ °k 360 ou α π+ ⋅k 2 , com k
O arco AP, de medida α, é chamado de 1ª. determinação positiva.
Seno, cosseno e tangente de um arco
Em uma circunferência trigonométrica, seja P a extremidade 
do arco AP e T o ponto de intersecção da reta OP e da reta t, 
tangente à circunferência no ponto A e com a mesma orientação 
que o eixo y. A reta t é paralela ao eixo y.
y t
T
1
α
x
A
P
O
As coordenadas dos pontos P e T são:
P sen(cos , ) 
T tg( , )1 
As razões seno, cosseno e tangente são dadas por:
• cos (abscissa do ponto P)
• sen (ordenada do ponto P) 
• tg (ordenada do ponto T) 
Relação fundamental da trigonometria
Para todo arco de medida α, da circunferência trigonométrica, 
temos:
cos2 2 1α α+ =sen
Para todo arco de medida , com cosα ≠ 0, temos:
tg =
sen
cos
Matemática 27
Atividades
Arcos e ângulos
1. Escreva as medidas a seguir em radianos. 
a) 225º
graus radianos
x
x
x x ra
180
225
180
225
180 225
225
180
5
4
π
π
π
π π
⇒ = ⇒
⇒ = ⇒ = = dd
b) 300°
graus radianos
x
x
x x ra
180
300
180
300
180 300
300
180
5
3
π
π
π
π π
⇒ = ⇒
⇒ = ⇒ = = dd
c) 120°
graus radianos
x
x
x x ra
180
120
180
120
180 120
120
180
2
3
π
π
π
π π
⇒ = ⇒
⇒ = ⇒ = = dd
d) 270º 
graus radianos
x
x
x x ra
180
270
180
270
180 270
270
180
3
2
π
π
π
π π
⇒ = ⇒
⇒ = ⇒ = = dd
2. Escreva as medidas a seguir em graus. 
a) 
π
6
 rad
6
graus radianos
x
x
x x
180
6
180
6
180
6
30
π
π
π
π
π
π
⇒ = ⇒
⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = °
b) 
2
3
π
 rad 
3
graus radianos
x
x
x x
180
2
3
180
2
3
180
2
3
120
π
π
π
π
π
π
⇒ = ⇒
⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = °
c) 
5
18
π
 rad 
18
graus radianos
x
x
x x
180
5
18
180
5
18
180
5
18
50
π
π
π
π
π
π
⇒ = ⇒
⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = °
d) 
13
9
π
 rad
9
graus radianos
x
x
x x
180
13
9
180
13
9
180
13
9
260
π
π
π
π
π
π
⇒ = ⇒
⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = °
28 Volume 8
3. Calcule o menor ângulo formado entre os ponteiros de um relógio às: 
c) 9 h 20 min
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Inicialmente, note que às 9 h 20 min o ponteiro dos minu-
tos indica o número 4 e o ponteiro das horas indica um 
número entre 9 e 10. As marcações das horas dividem o 
relógio em 12 arcos, cada um de medida 30°. O ângulo 
solicitado mede + x, em que é a medida do ângulo 
formado entre as direções de 9 e 4, ou seja, 5 30° = 150° 
e x é a medida do ângulo descrito pelo ponteiro das horas 
de 9 h até 9 h 20 min. Em 60 minutos, o ponteiro das ho-
ras percorre um arco de 30°, e em 20 minutos percorrerá 
30
3
10
º
= °. 
Assim, x = 10° e + x = 150° + 10° = 160°.
d) 11 h 45 min
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Inicialmente, note que às 11 h 45 min o ponteiro dos 
minutos indica o número 9 e o ponteiro das horas indi-
ca um número entre 11 e 12. As marcações das horas 
dividem o relógio em 12 arcos, cada um de medida 30°. 
O ângulo solicitado mede + x, sendo a medida do 
ângulo formado entre as direções de 9 e 11, ou seja, 
2 30° = 60°, e x a medida do ângulo descrito pelo 
ponteiro das horas de 11 h até 11 h 45 min. Como em 
60 minutos o ponteiro das horas percorre um arco de 
30°, temos: 
min
,
utos graus
x
x
x x
60 30
45
60
45
30
60 1350 22 5
⇒ = ⇒
⇒ = ⇒ = °
Assim, x = 22,5° e + x = 60° + 22,5° = 82,5° ou 
82° 30’.
a) 10 h 30 min 
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Inicialmente, note que às 10 h 30 min o ponteiro dos mi-
nutos indica o número 6 e o ponteiro das horas indica um 
número entre 10 e 11. As marcações das horas dividem o 
relógio em 12 arcos, cada um de medida 30°. 
O ângulo solicitado mede + x, em que é a medida 
do menor ângulo formado entre as direções de 10 e de 6, 
ou seja, 4 ∙ 30º = 120º e x é a medida do ângulo descrito 
pelo ponteiro das horas de 10 h até 10 h 30 min. Em 
60 minutos, o ponteiro das horas percorre um ângulo de 
30°; em meia hora, percorrerá um ângulo de 15º. Assim, 
temos: 
 x = 15° e + x = 120º + 15° = 135°.
b) 2 h 15 min 
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Inicialmente, note que às 2 h 15 min o ponteiro dos mi-
nutos indica o número 3 e o ponteiro das horas indica um 
número entre 2 e 3. As marcações das horas dividem o 
relógio em 12 arcos, cada um de medida 30°. Portanto, 
 + x = 1∙30° = 30°, em que é a medida do menor 
ângulo procurado e x é a medida do ângulo já percorrido 
pelo ponteiro das horas de 2 h até 2 h 15 min. Como em 
60 minutos o ponteiro das horas percorre um arco de 
30°, em um quarto de hora percorrerá: 
x x= ⇒ = °
30
4
7 5
º
,
Assim, + x =30º + 7,5° = 30° = 22,5° 
ou 22° 30’.
Matemática 29
4. Quantos graus o ponteiro dos minutos de um relógio 
percorre em 50 minutos?
minutos graus
x
x
x x
60 360
50
60
50
360
60 18 000 300
⇒ = ⇒
⇒ = ⇒ = °
5. Um maratonista percorre uma pista circular de raio 
300 m com velocidade constante de 4 m/s, durante 
50 segundos. Determine o valor mais próximo, em 
graus, da medida do arco percorrido pelo corredor.
Em 50 segundos, o maratonista percorre 50 ∙ 4 = 200 m
medida do arco comprimento m
x
x
( ) ( )°
⋅ ⋅
=
360 2 300
200
360 600
200
600
π
π
ππ
π π
⋅ =
= ⇒ = ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
° °
x
x x
72 000
72 000
600
120
38
6. Qual o comprimento de um arco de 135° numa circun-
ferência de raio 20 cm?
medida do arco comprimento cm( ) ( )°
⋅ ⋅
=
⋅ =
360 2 20
135
360
135
40
360 5
π
π
4400
5 400
360
15 47 1
π
π
π
=
= cm cm,
ℓ
ℓ
ℓ
ℓ
ℓ
7. (FGV – SP) Quatro amigos, L, M, N e P estão em um 
mesmo ponto do contorno de uma praça circular. Em 
seguida, M move-se de 80° no sentido anti-horário, N 
move-se de 170° no sentido anti-horário, P move-se 
de 120° no sentido horário e L fica no mesmo lugar.
 Nessa situação, os amigos que estão mais próximos 
são:
a) L e M
b) M e P
c) M e N
X d) N e P
e) L e P
De acordo com o enunciado, pode-se esboçar a seguinte figura:
N
P
M
L
120o
70o
90o
80o
Os amigos que estão mais próximos são N e P.
8. (ENEM) No jogo mostrado na figura, uma bolinha des-
loca-se somente de duas formas: ao longo de linhas 
retas ou por arcos de circunferências centradas no 
ponto O e raios variando