Lista de Exercícios 03 - Derivadas

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Universidade Federal Rural do Semi-Árido – UFERSA 
Centro de Ciências Exatas e Naturais 
Departamento de Ciências Naturais, Matemática e Estatística 
 
Lista de Exercícios 03 - Derivadas 
 Professora: Luiza Helena Felix de Andrade 
 Aluno: Macelino Juracelho G. Peixoto Junior 
 
 
Livro: Cálculo A, Diva Marília FLEMMING e Mirian Buss GONÇALVES. 
Seção 4.7 
Respostas: 
1ª 
A) 
m(x) = lim (x+x)² - 1 - x² + 1 
 x-> 0 x 
 
 lim x² + 2xx + (x)² - x² 
 x-> 0 x 
 
 lim x (2x + x) = 2x 
 x-> 0 x 
m (1) = 2.1 = 2 
 
y − y1 = m (x − 1) 
y − 0 = 2 (x − 1) 
y = 2x − 2 
 
m (0) = 2.0 = 0 
y + 1 = (x − 0) y + 1 = 0 
y = −1 
 
m (a) = 2a 
y − a 2 + 1 = 2a (x − a) 
y − a 2 + 1 = 2ax − 2a 2 
y = 2ax − a 2 − 1 
As figuras que seguem mostram as retas tangentes para os pontos x = 1 e 
x = 0 . Como o valor de a é genérico o gráfico só pode ser apresentado com o valor definido. 
 
http://sigaa.ufersa.edu.br/luizafelix
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B) 
 m (x) = lim (x + x)2 − 3 (x + x) + 6 − x 2 + 3x − 6 
 x→0 x 
 
 = lim x 2 + 2xx + (x)2 − 3x − 3x − x 2 + 3x 
 
 x→0 x 
 
 x (2x + x − 3) 
= 2x − 3
 
 x 
 Temos: 
m (−1) = 2(−1) − 3 = −2 − 3 = −5 
y − 10 = −5x − 5 
y = −5x + 5 
 
 
m (2) = 2.2 − 3 = 4 − 3 = 1 
y − 4 = 1 (x − 2) 
y = x − 2 + 4 
y = x + 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
 8ª 
 A) f(x) = 1 – 4x² 
 f’(x)= lim 1- 4(x+x)² - 4x² 
 x->0 x 
 
 = lim 1-4x² -8xx – 4(x)² - 1 +4x² 
 x->0 x 
 
 = lim = (8x-4x) = -8x 
 x->0 
 B) f (x) = 2x2 − x − 1. 
 f’(x)lim 1 − 4 (x + x)2 − 1 − 4x2 
 x →0 
 x 
 
 lim 1 − 4x2 − 8xx − 4 (x)2 − 1 + 4x2 
 x →0 
 x 
 
 lim = (−8x − 4x) = −8x 
 x →0 
 
 C) f(x) = 1 
 X + 2 
 
 1 - 1 
 f ’(x) = lim x - x +2 x + 2 
 x →0 x 
 
 = lim x + 2 – x - x – 2 1 
 x →0 (x = x + 2)(x + 2) x 
 
 = lim = - 1 
 x →0 (x – 2)² 
 
Livro: Outros. 
Resposta: 
1ª 
 m1. m2 = - 1 com m ≠ 0 
Analizando a reta Y = -x 
Concluimos que m1 = - 1 
Por tanto a reta tangente a curva Y = x³-1 tera: 
m1 . m2 = -1 
- 1 . m2 = -1 
m2 = 1 
Sabemos que, o coeficiente de inclinação da reta tengente a curva sera: 
Y’ (x0) = m2 
Vamos achar o Y' que é a derivada da curva Y=x³-1 
Y = x³-1 
Y' = 3x² 
Igualando a derivada com a inclinação teremos: 
Acahmos o valor de "xo" 
Vamos substituir na função para obter o valor de "Yo" 
Agora só montarmos a equação: 
Formula: 
Y - yo = m(X-xo) 
Yo e Xo são os pontos. M é a inclinação: 
9Y – √3 + 9 = 9X – 3 √ 3 
9Y = 9x – 2 √ 3 – 9 
Y = X – 2 √3 - 1 
 9 
 
Cálculo A, Diva Marília FLEMMING e Mirian Buss GONÇALVES. 
Seção 4.12 
Respostas: 
 
 1ª f (r) = r 2 
 f (r) = 2r 
 
 2ª f (x) = 3x2 + 6x − 10 
 f (x) = 6x + 6 
 
 
 3ª f (w) = aw2 + b 
 f (w) = 2aw 
 
 4ª f (x) = 14 - 1 x -3 
 2 
 f ’ (x) = 3 x -4 
 2 
 
 5ª f (x) = (2x + 1) (3x2 + 6) 
 
 f ( x ) = (2 x + 1) . 6 x + (3 x 2 + 6). 2 
 = 12 x 2 + 6 x + 6 x 2 + 12 
 = 18 x 2 + 6 x + 12 
 
 
 15ª f ( t ) = 3t² + 5t – 1 
 t - 1 
 
 f ’ ( t ) = ( t – 1 ) ( 6t + 5 ) – ( 3t² + 5t – 1 ) . 1 
 ( t – 1 )² 
 = 3t² - 6t – 4 
 ( t – 1 )² 
 
 22ª f (x) = 1 x4 + 2 
 2 x6 
 
 f ’ (x) = 1 x4 + -2 . 6x
5 
 2 x¹² 
 
 = 2x³ - 12 
 x7 
 
 
 
 
Seção 4.16 
Respostas: 
 
 5ª f(x) = 10 (3x2 + 7x − 3)10 
 
 f ’(x) = 100 (3x2 + 7x - 3)9 (6x + 7) 
 12ª f(x)= 1 e3-x 
 3 
 f ’(x)= 1 e3-x(-1) 
 3 
 23ª f( ) = 2 cos 2. sen 2 
 f ’( ) = 2 cos 2 . cos 2 . 2 + sen 2 . 2 . (−sen  2 ) . 2 
 = 4 cos  2 cos 2 − 4 sen 2 sen  2 
 24ª f(x) = sen3(3x2 + 6x) 
 f ’(x) = 3 sen2 (3x2 + 6x) . cos (3x2 + 6x) . (6x + 6) 
 
 
 31ª f( ) = acot g , a > 0 
 f ’( )= acotg  lna . (-cossc2) 
 
 32ª f (x) = (arc sen x)² 
 f ’ (x) = 2 (arc sen x) 1 
 √1 – x²