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NIVELAMENTO ON-LINE DE MATEMÁTICA 
Dra Clélia Maria Ignatius Nogueira 
Dr. João Dirceu Nogueira Carvalho 
APRESENTAÇÃO 
Clélia Maria Ignatius Nogueira é Licenciada em Matemática pela FAFIT – Faculdade de 
Filosofia Ciências e Letras de Tupã - Mestre em Matemática pela Universidade de São 
Paulo – USP –Doutora em Educação pela UNESP – Universidade Estadual Paulista Júlio 
de Mesquita Filho. Professora aposentada do Departamento de Matemática da 
Universidade Estadual de Maringá – DMA/UEM onde atuou por 33 anos principalmente 
como professora dos anos iniciais dos cursos de Licenciaturas em Matemática, Química, 
Física, Ciências Biológicas e Pedagogia, Ciências Econômicas, Administração de 
Empresas, Ciências Contábeis, Ciências da Computação, Engenharia Civil, Engenharia 
Química e Engenharia Elétrica. Atualmente é professora do Centro de Estudos Superiores 
de Maringá – UNICESUMAR. 
João Dirceu Nogueira Carvalho é Formado em Engenharia Civil pela Universidade de São 
Paulo – USP – Mestre em Engenharia Civil pela Universidade de São Paulo – USP – Doutor 
em Engenharia Civil pela Universidade Federal de Santa Catarina – UFSC. Professor 
aposentado do Departamento de Engenharia Civil da Universidade Estadual de Maringá – 
DEC/UEM, onde atuou por 35 anos como docente das disciplinas de Pontes, Concreto 
Protendido, Concreto Armado, Estática etc. Atualmente é professor do curso de Engenharia 
Civil da UNINGÁ. 
Primeiramente, gostaríamos de cumprimentar você por buscar este curso de nivelamento. 
Muitas pessoas apresentam dificuldades em Matemática e insistem em estudar os tópicos 
específicos que serão, por exemplo, “cobrados” em uma prova, sem considerar eventuais 
lacunas em seu conhecimento anterior. Talvez esta estratégia de estudo possa funcionar 
com disciplinas cujos conteúdos não sejam tão interligados. 
Para você ter uma ideia, se tivéssemos uma “máquina do tempo”, com um excelente 
tradutor de idiomas e se promovêssemos a viagem de um físico para a época de ouro da 
Grécia Antiga (mais de 300 a.C), certamente ele não teria o que discutir com os físicos 
daquela época pois, a Física atual não mais estuda os conhecimentos daquela época. 
Todavia, se o viajante fosse um matemático, ele se sentiria “em casa” e adoraria conversar 
sobre o Teorema de Pitágoras, por exemplo. 
Isto não significa que a Matemática não avançou! Avançou, e tanto que hoje não é mais 
humanamente possível que alguém se aproprie de todo conhecimento matemático. O que 
queremos mostrar com isso é que o conhecimento matemático é cumulativo. Um novo 
conhecimento não contradiz o anterior, ao contrário, nele se sustenta. 
Desta forma, para poder avançar em Matemática, precisamos preencher as lacunas 
existentes na base de nossos conhecimentos e este é o objetivo deste curso. 
Evidentemente que foi necessário um grande recorte para podermos “recordar” doze anos 
de ensino de Matemática na Educação Básica em um curso de nivelamento curto como 
este. Recorremos então à nossa experiência como veteranos professores - 35 anos de 
docência em uma instituição pública, da qual já nos afastamos, mediante a aposentadoria 
e mais três anos de atuação em instituições privadas, onde ainda atuamos. Em nossa longa 
docência, atuamos nas áreas das Ciências Exatas; Ciências Econômicas e Tecnológicas e 
sempre nos deparamos com estudantes com lacunas em seus conhecimentos 
matemáticos. 
Considerando o que é abordado nos cursos superiores nas diferentes áreas anteriormente 
citadas e as dificuldades de nossos alunos, estabelecemos os conteúdos para este curso 
de nivelamento, que é composto por três módulos, ao final de cada um, vocês encontram 
uma lista com dez questões objetivas para que possam avaliar o que aprenderam. 
O Módulo I trata de Noções gerais de Teoria dos Conjuntos; no Módulo II, estudamos os 
Conjuntos Numéricos e com o Módulo III, Polinômios e Equações Algébricas 
encerramos nossos estudos. 
Bons estudos! 
Clélia e João 
UNIDADE I 
NOÇÕES GERAIS DA TEORIA DOS CONJUNTOS 
Introdução 
Se você puxar por sua memória sobre como se iniciavam as aulas da disciplina Matemática 
em qualquer dos anos do Ensino Médio e mesmo da segunda fase do Ensino Fundamental, 
você certamente se lembrará do estudo de “Conjuntos”. Os conceitos de elemento, 
conjunto, “pertence”, “não pertence”, as operações de união e intersecção de conjuntos, 
mas, principalmente, um “montão” de símbolos. Ou seja, talvez, para você, da mesma 
maneira que para a maioria das pessoas este conteúdo se resume apenas a isto, um 
“montão” de símbolos. 
Isto não é de todo equivocado, uma vez que a Teoria dos Conjuntos, desenvolvida 
inicialmente pelo matemático alemão Georg Cantor é considerada como a “linguagem” da 
Matemática, em função de seu papel unificador dos diferentes campos da Matemática. 
Assim é que esta linguagem é amplamente utilizada na Geometria, na Álgebra, na Análise 
e em outros domínios matemáticos, como também em outras ciências como a Física e a 
Estatística. 
Entretanto, este conhecimento não é somente útil para as demonstrações matemáticas, ou 
seja, como “linguagem”. Os conceitos e as regras da “linguagem dos conjuntos” nos 
permitem resolver problemas não apenas no contexto matemático, mas, também, em 
problemas do cotidiano. 
Exemplo: 
Um casal pretende abrir um pequeno quiosque na praia e estão em dúvidas se deverão 
vender sorvetes, pastéis, churros ou as três coisas, resolveram fazer uma pequena 
pesquisa com 50 turistas que estavam hospedados em uma pousada em Camboriú/SC. 
Perguntaram então aos hóspedes se, caso estivessem em uma praia com três quiosques, 
um de sorvete, um de pastel e um de churros, em qual comprariam: 
O resultado foi o seguinte: 
 27 comprariam sorvete
 22 comprariam pastel
 18 comprariam churro
 14 comprariam sorvete e pastel
 13 comprariam sorvete e churro
 12 comprariam pastel e churro
 9 comprariam sorvete, pastel e churro
Esse resultado não foi suficiente para que o casal tomasse sua decisão, pois precisavam 
para isto, de informações importantes como: 
1. Quantas pessoas não comprariam nenhum desses produtos?
2. Quantas pessoas comprariam apenas sorvete?
3. Quantas pessoas comprariam apenas pastel?
4. Quantas pessoas comprariam apenas churros?
5. Quantas pessoas não comprariam pastel nem churros?
6. Quantas pessoas comprariam só sorvetes, só pastel ou ambos?
Para resolver problemas deste tipo, os conhecimentos de conjuntos são muito úteis. 
Vamos então recordar esses conceitos para posteriormente apresentarmos a solução deste 
problema. 
1.1 Conjuntos 
Conjunto é considerado um conceito primitivo em Matemática, isto é, não possui uma 
definição exata, entretanto, podemos falar da “noção de conjunto”, que é fundamental para 
o estabelecimento de diversos conceitos em Matemática. Assim, entendemos conjunto
como uma coleção qualquer de objetos. Como esta coleção pode ser vazia, finita ou infinita, 
os conjuntos podem ser vazios, finitos ou infinitos. Para representar um conjunto utilizamos 
uma letra do alfabeto latino maiúscula. Exemplos: 
Seja S o conjunto dos dias da semana. 
S = {segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira, sábado, domingo} 
S é um conjunto finito, pois possui sete elementos, ou seja, um número finito de elementos. 
Assim, quando contamos um a um os elementos de um conjunto A e encontramos um 
número x que representa o total dos elementos de A, dizemos que A é um conjunto finito. 
Seja agora D o conjunto dos dias da semana que começam com a letra d. 
D = {domingo} 
D é um conjunto finito, mas como ele possui apenas um elemento, dizemos que D é um 
conjunto unitário. 
Seja agora V o conjunto dos dias da semana que começam com z. Como não existe 
nenhum dia da semana que começa com z, V é um conjunto vazio e representamos assim: 
V = { } ou V = ∅ 
Finalmente, P é o conjunto dos números pares, P = {0,2,4,6,8,10,...} é um exemplo de um 
conjuntoinfinito. 
Já vimos que podemos entender um conjunto como uma coleção de objetos. Esses objetos 
são chamados de elementos. Os elementos de um conjunto são representados por letras 
minúsculas do alfabeto latino. 
Denominamos de número de elementos de um conjunto A e representamos por n(A) a 
quantidade de elementos distintos de A. Desta forma, se S é o conjunto dos dias da 
semana, n(S) = 7. 
Assim, se a é um elemento qualquer de um determinado conjunto A, dizemos que a 
pertence a A e representamos por: a ϵ A. Se a não é um elemento de A, dizemos que a 
não pertence a A, representamos por: a ∉ A. 
Nos exemplos anteriores temos que sábado ϵ S e fevereiro ∉ a S. 
Nos exemplos anteriores, nós explicitamos os elementos dos conjuntos, mas estes também 
podem ser expressos mediante uma propriedade. 
Por exemplo: 
S = {x tal que x é um dia da semana}. 
Assim, temos uma propriedade p, neste exemplo p: é um dia da semana, que pode ser 
expressa pelo conjunto S = {segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira, 
sábado, domingo}. Desta forma, é indiferente dizer que x possui a propriedade p ou que x 
ϵ S. 
Também podemos descrever os elementos de um conjunto estabelecendo as condições 
que eles precisam satisfazer para pertencer a ele. 
Por exemplo, consideremos a condição c: x é um número inteiro que satisfaz a equação: 
x2 – 16 = 0. 
O conjunto C definido por esta condição é: C= {-4, 4}. Também neste caso é indiferente 
dizer que x satisfaz a condição c ou que x ϵ C. 
Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos. Por exemplo: 
A = { 2,3,4,5} e B = { x é um número inteiro tal que 1<x<6}. A = B. 
Nesta situação, a igualdade entre A e B existe porque consideramos apenas os números 
inteiros entre 1 e 6. Se considerássemos também os números racionais, então a igualdade 
deixaria de existir, pois o número 1,5 também faz parte do intervalo mencionado. 
Já falamos sobre os conjuntos vazio, unitário, finitos, infinitos. Falamos também de 
igualdade de conjuntos e no exemplo apresentado anteriormente vimos que no conjunto B, 
o fato de termos considerado apenas os números inteiros foi determinante para o
estabelecimento da igualdade A = B. Assim, para desenvolvermos determinados estudos, 
é necessário admitirmos a existência de um conjunto ao qual pertençam os elementos 
envolvidos nesse estudo. Dito de outra forma é o conjunto formado por todos os elementos 
considerados para estudar uma determinada situação ou com os quais estamos 
trabalhando em um determinado problema. Trata-se do conjunto Universo, que é 
representado por U. 
O conjunto Universo é muito importante, principalmente no que se refere à solução de 
equações e inequações. Por exemplo, a equação x + 7 = 5 não tem solução se o conjunto 
Universo for o dos naturais (N={0,1,2,3,4,...}), entretanto, se U for o conjunto dos números 
inteiros (Z={... -4,-3,-2,-1,0, 1, 2, 3, 4, ...}) esta equação tem como solução x = -2. 
1.1.1 Relação de Inclusão e Subconjuntos 
Se todos os elementos de um conjunto A também pertencem ao conjunto B, dizemos que 
A está contido em B ou ainda, que A é um subconjunto de B, e representamos por A⊂B. 
Também podemos dizer que B contém A e representamos por B⊃A. 
Caso exista pelo menos um elemento a de A que não pertença a B, dizemos que A não 
está contido em B ou que A não é subconjunto de B e representamos por A⊄B ou B⊅A. 
Se A⊂B e B⊂A então A = B. 
A relação A⊂B é denominada relação de inclusão. São casos particulares de inclusão: 
 A⊂A , pois é evidente que qualquer elemento de A pertence a A.
 ∅⊂A qualquer que seja o conjunto A, pois ∅ não possui elemento algum.
Que tal você testar o que está aprendendo? Então, vamos lá, e procure resolver os 
exercícios que seguem: 
Analise os conjuntos e diga quais são vazios ou unitários, considerando o universo dos n 
úmeros naturais. 
 
  0 e 3A x x x  
 
  0 . 1B x x 
 
  é impar e 17 19C x x x  
 
  é par e 5 7D x x x  
 
 5 2E x x  
 
  1F x x 
 
 0G x x 
 
 7 . 35H x x 
Pensou? Conseguiu resolver? 
Então vejamos se você acertou; 
Os conjuntos A, B, C, E e G são vazios e as justificativas são: 
  0 e 3A x x x   é vazio porque não existe nenhum número natural (o universo é o 
conjunto dos naturais) que seja ao mesmo tempo menor que zero e maior que 3. Em 
linguagem matemática: 
  0 e 3A x x x    , pois ∄ 0 e 3x N x x  
Para o conjunto: 
  0 . 1B x x 
B é vazio porque qualquer que seja o número natural x, a multiplicação por 0 é sempre igual 
a 0. Em linguagem matemática: 
  0 . 1B x x   , pois ∀ , 0 . 0x N x 
Outra maneira de justificar: 
B é vazio porque não existe nenhum número natural x tal que 0. x = 1. Em linguagem 
matemática: 
B   , pois ∄ 0 . 1x N x 
Para C, E e G, vamos resolver utilizando apenas a linguagem matemática, 
  é impar e 17 19C x x x    , pois U N
Então, se e 17 19 18 e 18 é par.x N x x     
 5 2E x x    , pois U N e, 
Se 5 2 então 2 5 3 e 3x x x N        
 0G x x   , pois U N e 
 0,1,2,3,... ,N  ∄ 0x N x 
Os conjuntos D, F e H são unitários, pois possuem apenas um elemento. De fato: 
    é par e 5 7 6D x x x    , pois U N 
    1 0F x x   , pois U N é o único número natural menor do que 1 é o zero. 
   7 . 35 5H x x   , pois 7 . 35 35 7 5x x x    
1.1.2 Operações com conjuntos 
Chamamos de reunião ou união dos conjuntos A e B ao conjunto formado pelos elementos 
que pertencem a A, ou a B, ou a ambos e representamos por: A∪B. 
A∪B= {x tal que x ϵ A ou x ϵ B} 
Exemplos: 
1. A = {5,6,7,8,9} B = {1,2,3,4} 
A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9} 
2. A = {1,2,3,4} B = {2,4,6,8} 
A∪B = {1,2,3,4,6,8} 
3. A = {x tal que x é um número par} B = {0,2,4,6,8} 
A∪B = A 
4. A = {a,b,c,d} B = ∅ 
A∪B = A 
1.1.3 Intersecção de conjuntos 
Chamamos de intersecção de dois conjuntos A e B ao conjunto formado pelos elementos 
que pertencem a A e a B. Indicamos por: A∩B. 
A∩B= {x tal que x ϵ A “e” x ϵ B} 
Exemplos: 
Considere o universo dos naturais, ou seja 
a) Se    2,4,6,8 1,2,3,4,5,6,7,8A e B 
Então : 
   2,4,6,8 é par, e 2 8A B x N x x     
b) Se    1,3,5,7,9 2,4,6,8A e B 
Então:
A B 
c) Se   é múltiplo de 2 e 40A x x x 
  é B x x par , então ou sejaA B B A B  
Observações: 
i. Se então e x A B x A x B   
ii. Se A B  então os conjuntos A e B são chamados DISJUNTOS 
Vamos testar seus conhecimentos? Para isso selecionamos dois exercícios do livro 
MATEMÁTICA FUNDAMENTAL: UMA NOVA ABORDAGEM, de autoria de José Rui 
Giovanni, José Roberto Bonjorno e José Rui Giovannin Jr. 
Exercícios (GIOVANNI, BONJORNO, GIOVANNIN JR., 2002, p.63 e p.64) 
1. Sendo       e 0,1,2,3 ; 0,2,3,5 , é par e 10U N A B C x x x    
  é impar e 4 10D x x x   , determine:
a) A B
b) A C
c) A D
d) B C
e) B D
f) C D
g)  A B C 
h)  A C D 
2. Sendo       e 0,1,2,3,4 ; 0,1,2 , é par e 10U N A B C x x x    
  é impar e 4 6D x x x   , determine: 
a) A B
b) A C
c) A D
d) B C
e)  A B C 
f)  A C D 
Tente resolver antes de seguir adiante e ver a nossa solução. Para aprender e consolidar 
seu conhecimento você precisa refletir e, principalmente, buscar suas soluções. 
Então vamos seguir adiante e ver alguns exemplos das soluções: 
Para o exercício (1) 
a) A B
  A ou BA B x x x    todos os elementos de A ou de B 
Como      0,1,2,3 e 0,2,3,5 , 0,1,2,3,5A B A B    
b) A C
     0,1,2,3 e é par e 10 = 0,2,4,6,8A C x x x  
Então: 
 0,1,2,3,4,6,8A C 
A seguir colocamos apenas as respostas 
a)  0,1,2,3,5,7,9A D 
b)  0,2,3,4,5,6,8B C 
c)  0,2,3,5,7,9B D 
d)  0,2,5,6,7,8,9C D 
e)        0,1,2,3,5 0,2,4,6,8 0,1,2,3,5,6,8A BC    
f)        0,1,2,3,4,6,8 5,7,9 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9A C D    
Agora vejamos alguns exemplos de soluções para o exercício (2) 
a)   A "e" BA B x x x   
Como,    0,1,2,3,4 e 0,1,2A B  B A pois todos elementos de B são também
elementos de A 
Assim: 
 0,1,2A B B  
b)  0,2,4A C 
Pois,      0,1,2,3,4 e é par e 10 0,2,4,6,8A C x x x   
Então os números 0, 2 e 4 pertencem a A "e" a C. 
As respostas dos demais são: 
c)  1,3A D 
d)  0,2B C 
e)        0,2 pois 0,1,2 e 0,2,4,6,8A B C A B C     
Então os únicos elementos que estão em A B e também em C são 0 e 2. 
f)  A C D   pois      0,1,2 e é impar e 0 6 1,3,5A B D x x x     
E, portanto não existe nenhum número que pertence a A C e também a D.
E daí, como você se saiu? 
Você ja sabe que o número de elementos de um conjunto A qualquer, que representamos 
por n(A) é a quantidade de elementos de A. 
Consideremos agora os conjuntos: 
A = {1,2,3,4} e B = {5,6,7} 
Temos que n(A) = 4 e n(B) = 3 
Qual é o resultado de    e n A B n A B  ? 
   1,2,3,4,5,6,7 e 7A B n A B   
 e 0A B n A B    
Então, como      4, 3 e 7 4 3n A n B n A B      ,podemos afirmar que 
     n A B n A n B   ? 
A resposta é NEM SEMPRE! 
Isto acontece apenas quando A e B são conjuntos DISJUNTOS, ou seja, A B  ! 
Consideremos agora    1,2,3,4,5 e 2,4,6,8A B  
Determinemos  n A B 
Para isto vamos determinar A B 
   1,2,3,4,5,6,8 7A B n A B    
Como      5, 4 e 7n A n B n A B    vemos que neste caso o número de elementos da 
união   , A B n A B  NÃO É A SOMA do número elementos de   , A n A com o
número de elementos de   , B n B pois     9n A n B  . 
Em linguagem matemática: 
     n A B n A n B  
Você sabe dizer por que isto acontece? Porque nesta situação, os conjuntos A e B NÃO 
SÃO DISJUNTOS!, Isto é, A B  
De fato: 
Se A = {1,2,3,4,5} e B = {2,4,6,8) 
   2,4 e 2A B n A B    
Então vejamos:        7; 9 e 2n A B n A n B n A B      
Logo temos que:        ,n A B n A n B n A B     ou seja: 7 = 9 - 2 
Assim, sempre que quisermos determinar o  n A B , quaisquer que sejam os conjuntos A 
e B, basta fazermos: 
       n A B n A n B n A B    
Mas, e se tivermos três conjuntos A, B e C, quaisquer, como encontramos  n A B C  ? 
Neste caso precisamos considerar TODAS AS INTERSECÇÕES POSSÍVEIS ENTRE 
ELES: , , e A B A C B C A B C     , e daí: 
               n A B C n A n B n C n A B n A C n B C n A B C             
Vejamos um exemplo:
Sejam  1,2,3,4,5,6A ,  2,4,5,6,8B  e  3,4,6,8,10C  
Temos então:      6, 5 e 5n A n B n C   
   2,4,5,6 4A B n A B    
   3,4,6 3A C n A C    
   4,6,8 3B C n B C    
   4,6 2A B C n A B C      
Vamos agora determinar  n A B C  utilizando a fórmula anteriormente estabelecida. 
               n A B C n A n B n C n A B n A C n B C n A B C             
Assim: 
 n A B C  6 + 5 + 5 - 4 - 3 - 3 + 2 = 8  n A B C   8 
Vamos conferir
     1,2,3,4,5,6,8,10 8n A B C n A B C      
Com o que já estudamos até o momento, podemos resolver o problema proposto no início 
deste módulo, sobre o casal que deseja montar uma barraca na praia, lembra? 
Para isto, só nos resta recordar a representação de conjuntos por meio de diagramas. 
Consideremos o conjunto formado pelos cinco filhos do casal Clélia e João. Existem três 
maneiras de representar o conjunto F. 
1) Pela enumeração dos elementos de F
F = {Raul, Vitor, Lucas, Marília e Beatriz) 
2) Por uma propriedade característica de seus elementos
F = {x | x é filho de Clélia e João} 
3) Por meio de um Diagrama
Raul 
 Vitor Lucas 
 Marília 
Beatriz 
Os diagramas nos ajudam a visualizar as operações de conjuntos 
Por exemplo: Se A = {0,1,2,3} e B = {2,3,4,5} 
Então: 
Retornemos ao nosso problema inicial. 
Um casal pretende abrir um pequeno quiosque na praia e estão em dúvidas se deverão 
vender sorvetes, pastéis, churros ou as três coisas, resolveram fazer uma pequena 
pesquisa com 67 turistas que estavam hospedados em uma pousada em Camboriú/SC. 
Perguntaram então aos hóspedes se, caso estivessem em uma praia com três quiosques, 
um de sorvete, um de pastel e um de churros, em qual comprariam: 
0 
A = 1 
2 3 
2 
B = 3 
4 5 
0 4 
A ∩ 𝑩 = 2 
2 3 5 
0 4 
A ∪ 𝑩 = 2 
2 3 5 
O resultado foi o seguinte: 
 27 comprariam sorvete
 22 comprariam pastel
 18 comprariam churro
 14 comprariam sorvete e pastel
 13 comprariam sorvete e churro
 12 comprariam pastel e churro
 9 comprariam sorvete, pastel e churro
Esse resultado não foi suficiente para que o casal tomasse sua decisão, pois precisavam 
para isto, de informações importantes como: 
1. Quantas pessoas não comprariam nenhum desses produtos?
2. Quantas pessoas comprariam apenas sorvete?
3. Quantas pessoas comprariam apenas pastel?
4. Quantas pessoas comprariam apenas churros?
5. Quantas pessoas não comprariam pastel nem churros?
6. Quantas pessoas comprariam só sorvetes, só pastel ou ambos?
Sabemos que U = {conjunto de hóspedes} 
 Podemos dizer ainda que : n(U) = 50 
Vamos chamar de C = {x | x compraria churros} 
S = {x | x compraria sorvetes} 
P = {x | x compraria pasteis} 
Então: n(C) = 18 (pessoas que comprariam churros 
Então: n(S) = 27 (pessoas que comprariam sorvetes 
Então: n(P) = 22 (pessoas que comprariam pasteis 
n (S∩P) = 14 sorvetes e pasteis 
n (S∩C) = 13 sorvetes e churros 
n (C∩P) = 12 churros e pasteis 
n (S∩P∩C) = 9 sorvetes, pasteis e churros 
Vamos montar um diagrama com estas informações 
Para fazer este diagrama começamos marcando 
n (S∩P∩C) = 9 
Depois marcamos aqueles que só comprariam: 
Sorvetes e pasteis n (S∩P) - n (S∩P∩C) = 14 - 9 = 5 
Sorvetes e churros n (S∩C) - n (S∩P∩C) = 13 - 9 = 4 
Churros e pasteis n (C∩P) - n (S∩P∩C) = 12 - 9 = 3 
Feito isso marcaríamos aqueles que só comprariam churros, por exemplo. Para isso 
C S 
4 
9 
P 
3 5 
9 
5 
2 
precisamos considera: 
O número de pessoas que comprariam churros n(C) = 18 e retirar daí aquelas que só 
comprariam churros e sorvetes (4); só comprariam churros e pasteis (3) e que comprariam 
os três n (S∩P∩C) = 9. 
Assim, o número de pessoas que SÓ comprariam churros é determinados por 18 - 3 -4 - 9, 
ou seja, 2 pessoas. 
Analogamente, determinamos que o número de pessoas que SÓ comprariam sorvetes é 
27 - 9 - 4 - 5 = 9, e número de pessoas que SÓ comprariam pasteis é 22 - 9 - 3 - 5 = 5. 
Resumindo: Começamos marcando sempre a intersecção dos três conjuntos; depois as 
dos intersecções de dois a dois e finalmente a quantidade de pessoas que só comprariam 
um dos alimentos, SEMPRE DESCONSIDERANDO AS PESSOAS JÁ CONTADAS. 
Com o diagrama construído vamos responder as questões do problema: 
1. Quantas pessoas não comprariam nenhum desses produtos?
Para determinas o número de pessoas não comprariam nenhum dos alimentos
devemos considerar o número de pessoas entrevistadas e subtrair o número de
pessoas que comprariam pelo menos um desses produtos, ou seja, n (S∩P∩C).
Mas de acordo com a fórmula que vimos anteriormente
               n A B C n A n B n C n A B n A C n B C n A B C             
Logo:  n A B C   27 + 22 + 18 - 14 - 13 - 12 + 9 = 76 - 39 = 37 
Assim,  n A B C  37, ou seja, dos 50 hóspedes entrevistados, 37 comprariam pelo 
menos um dos produtos e (50-37) 13 HÓSPEDES NÃO COMPRARIAM NENHUM DELES. 
Observando o diagrama podemos afirmar ainda que: 
*9 pessoas comprariam apenas sorvete
*5 pessoas comprariam apenas pastel
*2 pessoas comprariam apenas churros
*22pessoas NÃO comprariam pastel NEM churros (9 pessoas que só comprariam sorvetes
e 13 que não comprariam nada) 
*18 pessoas NÃO COMPRARIAM sorvetes nem pastel (13+2 = 15)
*24 pessoas comprariam só churros, só sorvetes ou ambos (2+9+13)
Enfim, o diagrama construído permite obter muitas informações ainda, além das que 
estabelecemos aqui e esta é uma maneira muito eficiente de analisar pesquisas de opinião. 
Para finalizarmos nossa revisão de Teoria dos Conjuntos resta tratarmos de mais uma 
operação entre conjuntos: a DIFERENÇA. 
Dados dois conjuntos quaisquer A e B; o conjunto C formado pelos elementos que 
PERTENCEM a A mas NÃO PERTENCEM a B é chamado de DIFERENÇA ENTRE A e B 
e indicamos por C = A - B 
Exemplo: Seja A = {0,2,4,6,8,10,12} e B = {2,3,8,12,32,48} 
C = A - B = {0,4,6,10} 
Em linguagem matemática: 
  e A B x x A x B   
Utilizando diagramas: 
ATIVIDADES I 
A B 
A - B 
1) Numa pesquisa verificou-se que das pessoas consultadas, 100 liam o jornal A, 150
liam o jornal B, 20 liam os dois jornais e 110 não liam nenhum jornal. Quantas
pessoas foram consultadas? (Giovanni, Bonjorno e Giovannin Jr. 2002, p.67)
a. 360
b. 380
c. 340
d. 270
2) Dados os conjuntos A = { -1, 2x+y, 6, 7, 9} e B = {4, 6, 7, 9, x-y} os valores de x e
de y para que A = B são? (Youssef, Fernandez, Soares, 2000, p.14)
a. x = 2 e y = 1
b. x = 1 e y = 2
c. x = -1 e y = 4
d. x = 1 e y = -2
3) Em uma pesquisa sobre uma marca de margarina, 110 entrevistados acharam que
essa margarina não é cremosa e 65 acharam que é muito salgada. Sabendo que
foram entrevistadas 150 pessoas e que nenhuma delas achou simultaneamente a
margarina cremosa e não muito salgada, o número de pessoas que acharam a
margarina não cremosa e muito salgada é? (Barroso. 2010, p.47)
a. 40 pessoas
b. 175 pessoas
c. 55 pessoas
d. 25 pessoas
4) Considerar o conjunto A = {1, 3, 5, 7, 9}. Observe as alternativas a seguir e assinale
aquela que representa o conjunto A considerando uma propriedade dos elementos.
a)   é um número parA x x
b)   1 2 é é um número positivoA x x x x   
c)   é um número impar menor que 10A x x
d) Todas as anteriores
5) Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {c, d} e C = {b, c}, considere as seguintes
sentenças:
i. A C
ii. B A
iii. C A
iv. B C 
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente i e ii são verdadeiras
b) Somente ii e iii são verdadeiras
c) Somente i, ii e iii são verdadeiras
d) São todas verdadeiras
6) Considerando os conjuntos U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...},   é um múltiplo de 2A x U x 
e   é um múltiplo de 10B x U x  . Analise as afirmações a seguir e depois assinale a
alternativa verdadeira. 
i. A B 
ii. B A
iii. A B A 
iv. A B  
a) Somente i e iv são verdadeiras
b) Somente ii e iii são verdadeiras
c) Somente i, ii e iii são verdadeiras
d) São todas verdadeiras
7) Sabendo-se que os conjuntos A = {a}, B = {a, b}, C = {c}, D = {a, b, d} e E = ∅, e
que o conjunto F A B C D E     , então F é:
a)  , b, c, d, F a 
b)  , , , c, , , F a a b a b d
c)  , b, c, dF a
d) São todas verdadeiras
8) Sabendo-se que o conjunto dos losangos, L = {x | x é um paralelogramo com os
quatro lados com a mesma medida} e, R = {x | x é um paralelogramo com os quatro
lados ângulos retos} então L R é:
a) O próprio R
b) O conjuntos vazio: ∅
c) O conjunto dos quadrados
d) Nenhuma das anteriores
9) Um hospital está avaliando os resultados de uma pesquisa sobre os efeitos
colaterais de um medicamento com 50 voluntários, dos quais 12 tiveram dor de
cabeça, 12 sentiram náusea, e 4 sentiram dor de cabeça e náusea. O número de
voluntários que não sentiram nenhum sintoma?
a) 34
b) 30
c) 32
d) 28
10) Analise as afirmações a seguir e depois assinale a alternativa correta.
i. Se   3n A  e   4n B  então   7n A B  
ii. Se   2n A  e   3n B  então   2n A B  
iii. Se ( ) 5, e ( ) 4 , e entã 9o ( )A n B n A BA B n    
iv. Se então ( )( )n AA BB n A 
a) Somente i e ii são verdadeiras
b) Somente iii é verdadeira
c) Somente iii e iv são verdadeiras
d) Todas são verdadeiras
GABARITO 1- c 2- b
3- d 4- c
5-c 6- d
7- c 8- c
9- b 10-c
UNIDADE II 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
Introdução 
No Módulo I, abordamos algumas noções gerais da Teoria dos Conjuntos que nos 
possibilitam compreender melhor a linguagem da Matemática, usada tanto nas 
demonstrações de seus teoremas quanto na resolução de equações, no conjunto de figuras 
geométricas, ou em questões que envolvem conjuntos numéricos específicos, como 
números irracionais e reais e ainda em problemas do cotidiano. 
Vamos abordar neste Módulo II, os Conjuntos Numéricos, que é uma maneira mais 
apropriada de se referir a conteúdos que você estudou no Ensino Fundamental, como 
números inteiros, com a “famosa regra dos sinais” ou os números fracionários, com os 
“terrível” Mínimo Múltiplo Comum. 
Conjuntos numéricos são conjuntos cujos elementos são números que possuem alguma 
característica comum entre si. Vamos recordar aqui os conjuntos N (números naturais), Z 
(números inteiros), R (números reais), Q (números racionais) e R-Q (números irracionais, 
que são os conjuntos dos números usados na álgebra. 
Estes conjuntos evoluíram a partir da necessidade de representação da natureza e para 
permitir que determinados problemas com os quais o ser humano (e a própria matemática) 
foi desafiado no decorrer da sua existência. 
Os conjuntos anteriormente mencionados são todos subconjuntos de R, o conjunto dos 
números reais. Além disso, com exceção do conjunto dos números irracionais, eles 
obedecem a uma inclusão hierárquica, a saber: 
  
1.2 Conjunto dos números naturais 
O Conjunto dos números naturais é o conjunto de números que são empregados em 
processos de contagem e representamos por N. 
 0,1,2,3,..., ,.....n
Onde n representa um elemento genérico do conjunto e as reticências ao final da 
enumeração indica que trata-se de um conjunto INFINITO. 
Usamos o símbolo (*) para indicar a exclusão do ZERO de qualquer conjunto numérico, 
assim: 
 * 1,2,3,..., ,.....n
E é chamado conjunto dos números naturais não nulos. 
Assim: 
 * 0 
1.3 Conjunto dos números inteiros Z 
O Conjunto dos números inteiros ( Z ) é formado pelos números naturais acrescidos dos 
opostos dos naturais não nulos. 
Esta representação "Z" pode ser originaria da palavra ZAHL, que significa número em 
alemão. 
 ...., 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,.....    
Assim: 

Destacamos outros subconjuntos de Z: 
   * 0 ..., 3, 2, 1,1,2,3,...      (inteiros não nulos) 
 0,1,2,3,...  (inteiros não negativos), observe que  
 ..., 4, 3, 2, 1,0      (inteiros não positivos) 
 * 1,2,3,...  (inteiros positivos) 
 * ..., 4, 3, 2, 1      (inteiros negativos) 
Falamos que Z é N acrescido dos opostos de seus elementos não nulos porque, se 
considerarmos a reta numérica há uma simetria em relação ao ZERO, isto é, a distância 
deles ao zero é a mesma. 
Assim, o oposto ou simétrico de 2 é -2; o oposto ou simétrico de 11 é o -11, por exemplo. 
Chamamos de MÓDULO ou VALOR ABSOLUTO de um número inteiro a, á distância da 
origem (zero) ao ponto que representa a na reta numérica e indicamos por | a |. 
Assim, dizemos que o módulo de 2 é 2 ou seja, | 2 | = 2, e como -2 é o oposto ou simétrico 
de 2, o módulo de -2 também é 2. 
Assim: 
| 2 | = | -2 | = 2 
Vamos testar seus conhecimentos? 
a) Quantas unidades devemos diminuir de 9 para resultar -3?
b) Quantas unidades devemos somar a -3 para resultar 9?
c) Quantas unidades devemos diminuir de -3 para resultar -9?
d) Que número devemos somar a -3 para resultar -9?
e) Que número devemos somar a 9 para resultar -3?
f) O que podemos afirmar sobre dois números inteiros não nulos, diferentes mas que
possuem o mesmo módulo?
E daí, tentou resolver? Será que você acertou? 
Entãovejamos: 
a) Quantas unidades devemos diminuir de 9 para resultar -3?
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 
A resposta para a questão é 12. Veja bem, a pergunta é: Quantas unidades devemos 
DIMINUIR de 9 para resultar -3? 
Temos a seguinte situação: 9 - x = -3 
Então : 
-x = -3 – 9
- x = - 12
E multiplicando ambos os membros da equação por -1 temos que: 
x = 12. 
Você se lembra que para somar dois números inteiros que possuem o mesmo sinal o 
procedimento é SOMAR e CONSERVAR o sinal? 
Por isso que: - 3 - 9 = -12. 
b) Quantas unidades devemos somar a -3 para resultar 9?
A resposta aqui também é 12, pois temos a seguinte situação: 
-3 + x = 9
x = 9 + 3 
x = 12 
c) Quantas unidades devemos diminuir de -3 para resultar -9?
A resposta aqui é 6, pois a pergunta é: Quantas unidades devemos DIMINUIR de -3 para 
resultar -9? Temos então a seguinte situação: 
- 3 - x = - 9
- x = -9 + 3
- x = - 6
Como os sinais são diferentes devemos manter subtrair e manter o sinal do número de 
maior valor absoluto. Assim: 
- x = - 6
x = 6
Observem que as repostas para as questões a), b) e c) são sempre positivas pois estamos 
falando de UNIDADES, o que não é verdadeiro se falarmos de números. 
d) Que número devemos somar a -3 para resultar -9?
Aqui a questão muda pois se indaga que NÚMERO devemos SOMAR a -3 para resultar -
9? 
A situação aqui é: 
- 3 + x = - 9
x = - 9 + 3
x = - 6 
Então devemos somar -6 que é um número inteiro negativo. 
e) Que número devemos somar a 9 para resultar -3?
Em linguagem matemática: 
9 + x =-3 
x = -3 -9 
x = - 12 
Portanto devemos somar o número -12. 
f) O que podemos afirmar sobre dois números inteiros não nulos, diferentes mas que
possuem o mesmo módulo?
A resposta aqui é: Os números são opostos ou simétricos! 
Para terminarmos nossa revisão sobre os números inteiros, resta recordar a "regra dos 
sinais" para multiplicação e divisão. Você se lembra? Exemplos: 
 2 . (-3) = - 6 (sinais diferentes - multiplica e o sinal do produto é negativo!)
 2 . 3 = 6 (sinais iguais - multiplica e o sinal do produto é positivo!) 
 (-2) . (-3) = - 6 (sinais iguais - multiplica e o sinal do produto é positivo!)
Da mesma forma: 
 -8 / 2 = - 4 (sinais diferentes - divide e o sinal do quociente é negativo!) 
 -8 / -2 = 4 (sinais iguais - divide e o sinal do quociente é positivo!) 
 8 / 2 = 4 (sinais iguais - divide e o sinal do quociente é positivo!) 
Calcule agora: 
a) | 7 - 5 | =
b) | 8 - | 5 - 7 || =
c) | 16 - | (-2) . 3 + 4 . (-2) || =
d) | 1 - |17 - (-2) . (-4) || =
As respostas são: 
a) | 7 - 5 | = | 2 | = 2
b) | 8 - | 5 - 7 || = | 8 - | 2 || = | 8 - 2 | = | 6 | = 6
c) | 16 - | (-2) . 3 + 4 . (-2) || = | 16 - | (-6) + (-8) || = | 16 - | -14 || = | 16 - 14 | = | 2 | = 2
d) | 1 - |17 - (-2) . (-4) || = | 1 - |17 - (+8) || = | 1 - |9 || =| -8 | = 8
E daí? Você acertou? Que bom, agora vamos estudar o conjunto dos números racionais, o 
conjunto R, porem antes, faremos uma discussão sobre frações. 
1.4 As frações 
A palavra fração está relacionada à palavra “fratura”, que quer dizer “quebra”, por isso 
costumamos relacionar fração à quebra do inteiro, porém existem outros significados 
principalmente matemáticos para as frações. 
Como as frações se referem a partes de coisas, sua representação precisa indicar 
exatamente isso, ou seja, quantas partes de um determinado tamanho de uma coisa. 
Assim, por exemplo, se digo comi 2/3 de um pão, o número 2 indica o número de partes 
que comi do pão, por isso é chamado de numerador. Mas, apenas saber quantas partes 
não é suficiente para saber, com certeza, quanto de pão eu comi. É preciso saber ainda, 
de que tamanho eram as partes. Isto é indicado pelo número 3, ou seja, o pão foi dividido 
em três partes iguais. Como o número 3 indica de que tipo são as partes, ou seja, “indica 
o nome” das partes, ele é chamado de denominador (denomina, indica o nome).
Para ler uma fração, dizemos primeiro o numerador e depois o denominador, só que para 
este último, não utilizamos o nome do número. Por exemplo: 2/4 é lido como dois quartos. 
Se o denominador é 1, dizemos inteiros. Por exemplo 7/1 é lido como “sete inteiros”. 
Observe a tabela abaixo: 
Denominador 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Como se lê meio terço quarto quinto sexto sétimo oitavo nono décimo 
Para denominadores maiores do que 10 usamos a palavra “avos”, a mesma palavra usada 
no sistema monetário, para centavos, que é uma abreviação de cem avos, ou seja, 1/100. 
Exemplos: 
7
15
é lida como “sete quinze avos”; 
8
57
 é lida como “oito cinquenta e sete avos”. 
Mas, atenção! Se o denominador de uma fração for 100, 1000, 1.000.000, etc., não 
utilizamos mais a palavra avos e sim centésimo, milésimo, milionésimo, etc. 
Como 100 = 102; 1000 = 103; 1.000.000 = 106, etc., são potências de 10, as frações com 
estes denominadores são muito importantes, porque podem ser representadas por 
números decimais exatos. 
Além disso, as frações com numerador 100, estão associadas às porcentagens. Quando 
dizemos que os juros de um empréstimo são de 2%, queremos dizer que para cada 
R$100,00 que pegamos emprestados, vamos pagar R$2,00 de juros por mês! Se a quantia 
for R$200,00, os juros serão R$4,00, se for R$250,00, os juros serão de R$5,00. Isto 
significa que os juros correspondem a 2/100 do total emprestado, por isso falamos em 
porcento. 
Assim: 
2 4 5
2% 0,02
100 200 250
    . 
1.5 Números racionais e frações 
Já vimos que os números racionais são os números obtidos pela divisão de dois números 
inteiros. A fração 
p
q
 indica a divisão de dois números inteiros (p e q), e, por isso, são 
números racionais. 
Existem alguns fatos que tornam os números racionais muito interessantes, como: 
 A divisão, a soma, a diferença e a multiplicação entre racionais é sempre racional;
 Um mesmo número possui uma infinidade de representações:
Isto não acontece com os números naturais. Por exemplo: o quociente da divisão do 
número natural 27 pelo número natural 5, não é um número natural. Também não existe 
nenhum outro número natural que seja igual a 27, entretanto: 
54 27 81 270
2 1 3 10
   
E assim sucessivamente. Estas são diferentes representações do número 27. 
De fato, cada número racional tem infinitas representações. Podemos dizer que cada 
número racional é uma coleção de “números” e cada um desta coleção representa os 
demais da mesma coleção. 
Outra forma de entender frações é pensar no todo e em partes, porque em matemática, as 
frações também indicam uma razão entre parte e todo. É muito importante, do ponto de 
vista matemático, compreender que as partes devem ser iguais. O uso de frações como 
razão é muito comum nas escalas que aparecem nos mapas. 
1.5.1 Números mistos 
Lembre-se de que frações são usadas para contar partes de alguma coisa (relação 
parte/todo), expressam o resultado de uma medida, ou ainda podem indicar uma razão. 
Números mistos são usados quando necessitamos contar coisas inteiras e partes ao 
mesmo tempo. 
Exemplos: 
a) 3
1
4
 e lemos “três inteiros e um quarto” . Na realidade, o que temos é “ 3 + 
1
4
 “ Mas, 
não colocamos o “+” ... É por isso que dizemos "e." 
Vejamos agora como fazemos para transformar uma fração imprópria em um número misto. 
Na fração imprópria 
11
9
, podemos pensar na barra de fração como um símbolo de divisão, 
Então, computando, 11 9 temos 11 1 9 2   ; o quociente é 1 com resto 2 e escrevemos 
11 9 2 2
1
9 9 9 9
   . Observe que o denominador original fica sob o 2, que é o resto da divisão! 
E como fazemos o processo contrário, isto é, se começamos com um número misto, 
podemos transformá-lo em uma fração imprópria ? Sim, podemos fazê-lo! 
Vamos mostrar com um exemplo. Consideremos o número misto
5
2
6
? 
Vamos representar 
5
2
6
 como uma fração imprópria. 
I. multiplicamos 2 por 6 : 2 6 
II. adicionamos o numerador 5 ao resultado do produto: 2 6 5 
III. 2 6 5 17   , esse é o novo numerador 17. Logo, 
5 17
2
6 6
 .
1.5.2 Frações Equivalentes 
Compreender frações equivalentes é fundamental, pois é esta ideia que nos permite 
comparar, simplificar, somar, subtrair frações e a entender as relações entre frações e 
razões e proporções. 
Frações equivalentes são frações que representam a mesma quantidade, mesmo que 
estejam escritas de forma diferente. 
É muito importante entender que só podemos falar em frações equivalentes quando nos 
referimos ao mesmo inteiro ou todo. 
Como fazemos quando queremos encontrar frações equivalentes a uma fração dada? 
Existem duas maneiras de se encontrar frações equivalentes: 
 Multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número diferente de zero.
 Dividir o numerador e o denominador por um número diferente de zero.
Se multiplicarmos o numerador e o denominador da fração 1/3 por exemplo, por 
2,4,5,6,7,...11,...e assim por diante, vamos construir as frações equivalentes que 
quisermos. 
1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6
3 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6
    
     
    
1 2 3 4 5 6
3 6 9 12 15 18
      são frações equivalentes entre si e equivalentes a
1
3
. 
De maneira geral, se ,a b e c são números, com b e c diferentes de zero, então 
a a c
b b c



. 
Da mesma forma, se dividirmos o numerador e o denominador por um mesmo número 
diferente de zero, a fração obtida é equivalente à primeira. 
Exemplo: 
9 9 3 3
27 27 3 9

 

. 
O processo de achar frações equivalentes a uma dada, mas com denominadores menores 
é denominado simplificação de frações. 
1.5.3 Reduzindo (Simplificando) Frações 
Queremos agora saber o que podemos fazer para representar uma fração usando os 
menores números possíveis. Ou seja, encontrar a fração equivalente representada pelo 
menor denominador e menor numerador possíveis. Para isso, precisamos descobrir qual é 
o maior número pelo qual podemos dividir o numerador e o denominador da fração.
Por exemplo, tomemos 
100
200
. 
Qual é o maior número pelo qual podemos dividir o numerador e o denominador? Neste 
caso, a resposta é 100. 
O que acontece se dividimos o numerador e o denominador por 100? 
100 100 1
200 100 2



Assim, 
100 1
200 2
 .
Aqui estão as duas regras: 
1) Você pode dividir o numerador e o denominador por qualquer número diferente de
zero sem alterar a fração, desde que você use o mesmo número para ambos! Por
exemplo, você não pode dividir o numerador por 3 e o denominador por 5.
2) Você precisa obter os menores números possíveis para o numerador e o
denominador. Para isso a dica é dividir pelo maior número possível.
Vejamos mais um exemplo: 
Vamos simplificar a fração 
27
108
. 
Por qual número é possível dividir o numerador e o denominador? Por 3 é possível. Então, 
façamos a divisão! 
27 3 9
108 3 36



Então, agora é fácil! Você vê que é possível continuar dividindo? Vamos então dividir por 
9. 
9 9 1
36 9 4



, 
E assim, encontramos a fração equivalente mais simples possível. 
Logo 
27 1
108 4
 .
Como dividimos primeiro por 3, e depois por 9, dividimos o numerador e o denominador 
por 3 9 27  , isto é: 
27 27 1
108 27 4



. 
Mas, como poderíamos saber, antes de começarmos a dividir, qual é o maior número 
possível pelo qual podemos dividir o numerador e o denominador? 
A melhor forma de fazer a redução é obter o MDC (máximo divisor comum) de 27 e 108. 
Para isso, é necessário determinar todos os divisores de 27, isto é, todos os números 
naturais que dividem 27. 
Estes números são: 1, 3, 9, 27 
Os divisores de 108 são: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108 
O maior número que é ao mesmo tempo divisor de 27 e 108 é 27! 
O máximo divisor comum é: 27. 
Se dividirmos pelo MDC, fazemos a redução de uma só vez: 
27 27 1
108 27 4



. 
Assim, você reduzir uma fração usando o MDC ou como fizemos anteriormente, dividindo 
várias vezes. 
Resumindo: as frações 
a
b
 e 
c
d
 são equivalentes se vale ad bc . Em outras palavras, 
a c
ad bc
b d
 . 
Vamos testar seus conhecimentos? 
1) Determine quatro frações equivalentes a 2/3.
2) Verifique se
3 36
5 60

3) É verdade que
3 15
7 33
 ?
4) O que acontece com 
11 22
9 13
 ?
1.5.4 Qual fração é maior? 
Para comparar frações também utilizamos frações equivalentes. Pense na seguinte 
situação: Você tem duas frações, e você precisa saber qual delas é a maior. Como resolver? 
Algumas vezes é fácil e somente olhando para as frações conseguimos saber qual é a 
maior. Contudo, algumas vezes você precisará fazer algumas operações para resolver a 
questão. 
Vamos observar os casos mais simples: 
Qual é maior: 
1
4
 ou 
1
10
? 
Quanto maior o número de partes iguais, menor será uma parte. Assim, 
1
4
 de uma pizza, 
por exemplo, é maior do que 
1
10
dessa mesma pizza! 
Então, 
1 1
4 10
 .
Qual é maior 
2
9
 ou 
8
7
 ? 
Bem, 
2
9
 de uma pizza, por exemplo, não é muita pizza – somente 2 pedaços de 9. 
Mas, 
8
7
 é mais do que uma pizza inteira. De fato, é 
8 1
1
7 7
 . 
Uma pizza inteira e mais uma fatia. Então 
2
9
< 
8
7
. 
E agora, qual é maior, 
3
8
 ou 
7
8
? 
Quando o denominador é o mesmo, fica bem mais fácil, afinal, só precisamos comparar os 
numeradores! 
Então, segue que 
3 7
8 8
 . 
Vejamos como proceder. Você viu que tudo fica mais fácil quando as duas frações possuem 
o mesmo denominador. Então este é o procedimento. Se quisermos comparar as frações
3
4
e
7
10
 a saída é encontrar frações equivalentes às frações dadas que tenham o mesmo
denominador, isto é, um denominador comum.
Vamos obter um denominador comum as duas frações!
O mais rápido é usar 4 10 40  .
Muito bem, este é o denominador. Agora precisamos encontrar a fração que é equivalente 
à ¾ que tenha denominador 40. Bem se o denominador é 40, significa que fizemos 4X10, 
portanto, basta multiplicarmos o numerador e o denominador 10 (lembra de como 
procuramos frações equivalente a uma fração dada?). Então temos que 
3 10 30
4 10 40



Agora, fazemos o mesmo com a fração 
7
10
, isto é, vamos encontrar uma fração equivalente 
a esta e que tenha denominador 40. Para isto, vamos multiplicar o numerador e o 
denominador por 4: 
7 4 28
4 10 40



Assim, reduzimos as duas frações a frações com o mesmo denominador. 
3 10 30
4 10 40



 e 
7 4 28
4 10 40



Agora, qual é a maior 
30
40
 ou 
28
40
? 
30
40
 é maior do que 
28
40
. Então, 
3 7
4 10
 . 
Ou podemos usar o mínimo múltiplo comum (MMC) para nosso novo denominador: 
Para isso precisamos encontrar os múltiplos de 4 e os de 10 e encontrar o menor número 
que seja múltiplo dos dois. 
Os múltiplos de 4 são: 4,8,12,16,20,24, 28, 32, 36, 40, .... 
Os múltiplos de 10 são: 10,20, 30, 40, ... 
Podemos ver que os números 20 e 40, são, entre outros, múltiplos ao mesmo tempo de 4 
e de 10. Como 20 é o menor dos dois, 20 é o menor múltiplo comum entre 4 e 10, ou 20 é 
o Mínimo Múltiplo Comum - MMC de 4 e10.
Vamos agora buscar as frações equivalentes a ¾ e 7/10, que tenham denominador 20. 
Devemos nos perguntar: qual é o número que multiplicado por 5 resulta 20? Ou seja, quanto 
é 20÷4? A resposta é 5. Portanto, multiplicado por 5 , temos: 
3
4
 =
3 5 15
4 5 20



. 
Da mesma forma, 20÷10 = 2 e fazemos: 
7
10
 = 
7 2 14
10 2 20



E assim, 
15 14
20 20
 . Então, de novo!
3 7
4 10
 .
E agora? Qual é maior: 
2
5
 ou 
20
49
? 
Vamos usar 3 49 245  como nosso novo denominador (é o MMC): 
2 49 98
5 49 245



 e 
20 5 100
49 5 245



 . Logo, 
2
5
 < 
20
49
. 
1.5.5 Adicionando frações com os mesmos denominadores 
Neste caso, basta somar os numeradores 
Exemplo: 
3 2 5
8 8 8
 
Fácil, não? 
1.5.6 Subtraindo frações quando os denominadores são os mesmos 
Para subtrair frações com os mesmos denominadores, procedemos da mesma maneira 
que na adição, ou seja, apenas subtraímosos numeradores! 
Assim, 5/8 – 2/8 =3/8. 
1.5.7 Adicionando e subtraindo frações quando os denominadores são diferentes 
Para somarmos ou subtrairmos frações com denominadores diferentes precisamos reduzir 
as frações a um mesmo denominador. Vamos tentar fazer a seguinte soma: 
1 1
2 3
 . 
Não é possível fazer nada até que os denominadores sejam os mesmos! Podemos fazer 
algo, se tivermos um múltiplo comum qualquer, mas as contas são facilitadas se 
determinarmos o mínimo múltiplo comum (MMC) de nossos denominadores, 2 e 3. 
O MMC de 2 e 3 é 6. 
Agora, vamos proceder como anteriormente para encontrar frações equivalentes a ½ e 1/3, 
que tenham denominador 6. 
Portanto: 
½ = 
1 3 3
2 3 6



E 
1
3
 : 
1 2 2
3 2 6



. 
Agora, podemos somar! 
1 1 3 2 5
2 3 6 6 6
 . 
Vamos fazer outro exemplo: 
2 4
5 9

O MMC de 5 e 9 é 45. Logo, 
2 9 18
5 9 45



 e 
4 4 5 20
9 9 5 45

 

Então: 
24182038
59454545
  
A subtração funciona da mesma forma. Vejamos o exemplo: 
8 3
11 22
 . O MMC de 11 e 22 é
22. Então, precisamos somente encontrar a fração equivalente a
8
11
que tenha 
denominador 22. 
8 2 16
11 2 22



 Logo, 
8 316313
1122222222

Convém observar que o produto dos denominadores (ou um múltiplo dele) também serve. 
Vejamos um exemplo em que tomamos o produto dos denominadores 
1113624666
231272727272
. 
Como podemos observar, a fração resultante pode ser simplificada, e o resultado é 
11
12
. 
Esse resultado seria obtido mais rapidamente se tivéssemos escolhido o MMC dos 
denominadores. 
1.5.8 Adicionando e Subtraindo Frações com Números Inteiros e Mistos 
O que fazemos se queremos somar 
5
2
8
 ?
Nesse caso é fácil, basta lembrarmos que isso é o mesmo que 
5
2
8
 e transformar este 
número em fração imprópria. 
Mas, e se ambos forem números mistos? 
Como procedemos? 
2 4
3 1
5 7
 =?
Tudo que devemos fazer é mudar os números mistos para frações impróprias. Então, 
poderemos adicioná-las! 
Assim, 
24171117711511955174
31
57575775353535



. 
Para subtrair 
2 4
3 1
5 7
 o procedimento é o mesmo:
24171117711511955119
31
57575775353535



. 
De novo é um procedimento simples! Mas, e se quisermos realizar 
3
5
8
 ?
Nesse caso, não podemos operar diretamente como feito até agora. Precisamos obter um 
denominador comum. Mas o 5 não tem denominador! 
Para facilitar, pense em uma pizza cortada em 8 pedaços. 
Quantos pedaços existem em 5 pizzas iguais, também cortadas em 8 partes iguais? 
Temos 5 8 40  pedaços. 
Logo, 
40
5
8
 . 
Veja que: 
40
8
 é o mesmo que 40 8 o qual é 5.
De volta ao problema: 
340337 5
5 4
8888 8
 . 
1.5.9 Multiplicando frações 
Operacionalmente, é muito simples: 
Vamos fazer um exemplo: 
1 9
3 10
 .
Apenas multiplicamos os numeradores e denominadores. 
1 9 19 3
310 31010

  

Mas, qual o significado desse resultado? 
1 9
3 10
 é como
1
3
 de 
9
10
. 
Voltando ao exemplo das pizzas, cortamos uma pizza em 10 pedaços, 
e tomemos 
9
10
 desses pedaços: 
1
3
 de 
9
10
 significa que queremos 
1
3
 desses 
9
10
. 
Mas isso são 3 pedaços! Ou seja 
3
10
. 
Veja outro exemplo: 
3 2
5 7
 .
32 32 6
57 57 35

 

1.5.10 Multiplicando frações com números inteiros e números mistos 
Como determinamos 
1
6
3
 ?
Bem, queremos 
1
3
 de 6. Pensemos sobre isto: 
Você tem 6 pizzas. 
E você quer saber quanto é 
1
3
delas. 
Isso é o mesmo que dividir as 6 pizzas entre 3 pessoas: cada um fica com 2 pizzas. 
Então, 
1
3
 de 6 é 2. 
Mas como realizar essa operação com a matemática? 
Sabemos como multiplicar duas frações. 
Então, basta fazermos ambos os termos se tornarem frações. Veja: 
1
6
3
 = ?
1
3
 já é uma fração. Mas e o 6? Como 6 é o mesmo que 6 1 , podemos escrever 
6 como 
6
1
. 
De volta ao problema: 
1 16 6
6 2
3 31 3
. 
Conforme já tínhamos obtido! 
E agora? 
3 1
2 3
5 7
 ? 
Agora é melhor deixar as pizzas de lado e recorrer à matemática. 
De novo, vamos transformar essas frações em frações impróprias! Então: 
3113222866
23 8
575735 5
 . 
1.5.11 Dividindo frações 
Agora, queremos realizar operações do tipo 
1 1
2 4
 . Mas o que significa
1 1
2 4
 ?
Veja que quando dividimos 6 por 2 , queremos saber quantas vezes 2 cabe em 6. Assim, 
em 
1 1
2 4
 , queremos saber quantas vezes
1
4
 cabe em 
1
2
. 
Façamos as contas com uma pizza. Temos a nossa pizza de 8 pedaços e, desta, tomamos 
1
2
, ou seja, 4 pedaços. Agora, 
1
4
 da pizza são 2 pedaços, portanto, em 
1
2
 pizza (4 pedaços) 
cabem dois 
1
4
 de pizza (2 pedaços), assim: 
1 1
2 4
 = 2 .
Para ficarmos independentes de pensarmos em pizzas, temos uma regra muito simples na 
matemática: Para dividirmos duas frações, repetimos a primeira fração, invertemos a 
segunda e multiplicamos. 
Veja: 
1 4
3 5
 é o mesmo que 
1 5
3 4
 .
Assim, 
1 4 15 5
3 5 34 12

Veja mais um exemplo: 
4 1
7 2

41428 1
1
72717 7
 . 
1.5.12 Dividindo frações com números inteiros e números mistos 
Aqui usamos o mesmo procedimento de quando estamos multiplicando, representamos 
tudo como frações e fazemos a operação! 
Veja: 
10
5
13

10 1051012
5
13 13113513
. 
Veja outro exemplo! 
2
1 3
7

2 939193
13
7 7173217
. 
1.5.13 Porcentagem 
Comentamos anteriormente que porcentagens podem ser associadas a frações 
centesimais. Agora, vamos explicitar um pouco mais esta relação entre frações e 
porcentagens. Observe os quadrados as seguir. Qual a fração que representa a parte 
pintada em cada um deles? 
Cada quadrado está dividido em 100 partes. Em cada um deles, a relação entre o número 
de partes pintadas e o total pode ser representado como uma fração de denominador 100! 
Assim, o quadrado 1 tem 96 partes pintadas em 100, ou seja 
96
100
 do quadrado 1 está 
pintado. No quadrado 2, temos 
77
100
 e no quadrado 3 temos 
9
100
. 
As frações de denominador 100 são chamadas de porcentagem e o símbolo % 
tradicionalmente usado para representá-las. Por exemplo, 
96
100
 = 96% 
77
100
 = 77% 
9
100
 = 9% 
Definição: Uma porcentagem é uma razão em que o segundo termo é 100. Porcentagem 
significa partes por cem. A palavra porcentagem vem da expressão latina “per centum”, 
que significa “por cem”. Em matemática, usamos o símbolo % para porcentagem. 
Vejamos de novo os quadrados acima. 
No quadrado, 1 temos uma razão de 96 para 100, ou seja, uma fração de 
96
100
 de quadrados 
pintados, assim, temos 96%. 
No quadrado 3, temos uma razão de 9 para 100, ou seja, uma fração de 
9
100
 de quadrados 
pintados, assim, temos 9%. 
E no quadrado 2 temos uma razão de 77 para 100, ou seja uma fração de 
77
100
 de quadrados 
pintados, assim, temos 77%. 
1.5.14 Escrevendo frações como porcentagens 
Pensemos no seguinte problema: 
Na correção das provas de suas turmas, o professor Vitor verificou que, em 100 estudantes, 
15 estudantes tiraram nota 10. Já o professor Jorge verificou que em uma turma de 20 
estudantes, 3 tiraram nota 10. Qual a porcentagem de estudantes de cada professor que 
tirou nota 10? 
Veja que no caso do professor Vitor temos 15 estudantes em 100, ou seja, 
15
100
, logo, temos 
que 15% dos estudantes tiraram nota 10. Mas, e no caso do professor Jorge? Temos 3 
estudantes em 20! Qual é a porcentagem? 
Pense: 3 estudantes em 20, ou seja, 
3
20
, que é o mesmo que 
3 5 15
20 5 100



, ou seja, também 
15% dos estudantes do professor Jorge tirou nota 10. 
Assim, quando uma fração não tem denominador igual a 100, podemos sempre convertê-
la em uma fração equivalente com denominador 100 e então escrever a fração equivalente 
como porcentagem. 
O conjunto Q dos números racionais pode ser entendido como o conjunto dos 
QUOCIENTES entre dois números inteiros, por isso é representado por Q. 
Assim 
1 1 1 2 2 2 2 2
0, ; , ;..., ; , ; , ;..., ,...
1 2 3 1 2 3 4 5
p
q 
          
 
Com p e q inteiros e q  0. Observe que a restrição q  0 é necessária pois p/q é a divisão 
de p por q e esta divisão só existe se q  0. 
Utilizando então o elemento genérico p/q, podemos descrever o conjunto Q de uma maneira 
mais simples; 
 , e 0
p
p q q
q
  
   
  
 isto é, Q é o conjunto das frações p/q. como p/q pode ser também 
entendida como a RAZÃO entre os números inteiros p e q, dizemos que os elementos de 
Q são números RACIONAIS. 
Assim um número x é racional (x ∈ Q) quando pode ser escrito como uma fração p/q, com 
p e q inteiros e q  0. 
Assim, concluímos que: 
1) Os números inteiros também são racionais pois podem ser expressos por uma fração
com denominador 1,ou seja, por p/q, com q = 1.
Exemplo: 
27
3
9
 
8
4
2

 
2) Os DECIMAIS EXATOS, isto é, um número que tem um número finito de casa
decimais (representação finita)
Exemplo: 
1
0,25
4
 
14
2,8
5

Podemos transformar um número decimal exato em uma fração. Para isto, dado um 
número decimal exato, por exemplo 7,43; consideramos a fração cujo NUMERADOR 
é o número decimal SEM A VÍRGULA, no nosso caso 743 e o DENOMINADOR é 
composto pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quanto forem as casas decimais 
dom número decimal dado, no nosso caso 100. 
Assim, 
743
7,43
100

Mais exemplos: 
9 17 5 1
0,09 , 1,7 , 0,05
100 10 100 20

    
Da mesma forma, sempre podemos transformar uma fração em um número com 
representação decimal, para isto, basta efetuar a divisão do numerador pelo 
denominador. 
Exemplo: 
7
0,14 pois 7 50 = 0,14
50
  
27
0,75
36
 , pois 27 / 36 pode ser simplificada (o que significa dividir o numerador e o
denominador por um mesmo número) 
27 27 9 3 3
0,75
36 36 9 4 4
e

  

, 
Entretanto, nem sempre a divisão do numerador pelo denominador resulta em um decimal 
exato. 
Por exemplo: 
2
0,6666....
3

Números como 0,666..., ou 1,5777..., isto é que possuem infinitas casas decimais que se 
repetem periodicamente, são chamadas DÍZIMAS PERIÓDICAS e representamos assim: 
2
0, 6
3

Outros exemplos: 
1 1
0,333... 0, 3, 0,0454545... 0,045
3 22
   
177 167
0,1787878... 0,178, 2,5303030... 2,530
990 66
   
Desta forma os decimais exatos e as dízimas periódicas também são números racionais, 
pois podem ser representados por frações. 
O Conjunto Q dos números racionais pode ser entendido como o conjunto dos 
QUOCIENTES entre dois números inteiros, por isso é representado por Q. 
Vamos testar seus conhecimentos? Então resolva os exercícios a seguir, extraídos de 
IEZZI, DOLCE, DEGENSZAJN E PÉRIGO (1997, p.8) 
1. Assinale V ou F
a) 
3
4
 ( ) 
b) 
5
1
6
  ( ) 
c) 
17
9
  ( ) 
d) 62 ( ) 
e) 
62
31
  ( ) 
f) 1,57329... ( ) 
g) 0,111... ( ) 
h) 1,999 ( ) 
2. Resolva agora
a) 2,73485 3,962 
b) 4,9846 5,648  
c)    2 . 0,438 
d)    1,23 . 2,7  
e) 
1 1
5 3
3 1
5 15



f) 
4 3
7 5
  
g) 
2 4
 . 
5 9

Será que você acertou? 
Para o exercício (1) as respostas são 
a) 
3
4
 (V) 
b) (V) pois 
5 6 5 6 5 1
1
6 6 6 6 6

     
c) (V) pois  é o conjunto das frações sem os números inteiros
d) (V) pois 62 e  
e) (V) idem a (c)
f) (F) pois 1,57329... não é periódica
g) (V) pois é uma dízima periódica
h) (F) pois é o conjunto dos naturais 
Resolução do exercício (2) 
a) Aqui, como os sinais são diferentes, subtraímos o número de menor valor absoluto
do de maior valor absoluto, conservando o sinal do maior; então fazemos:
 3,96200 
- 2,73458
1,22715
Portanto: 3,96200 - 2,73458 = 1,22715 
b) Aqui, como os sinais são iguais, somamos e conservamos o sinal.
4,9876
 5,6480 
10,6356 
Portanto: - 4,9876 - 5,6480 = - 10,6356
c) Aqui, os sinais são diferentes, então multiplicamos normalmente e o produto é
negativo:
 0,438 
x 2,0 
 0,876 
Portanto: ( -2) x (0,476) = - 0,876
d) Aqui, os sinais são iguais, então o produto é positivo:
1,23
x 2,7
 3,321 
Portanto: ( - 1,23) x (- 2,7) = + 3,321
e) 
1 1 3 5 8
5 3 15 15 1
3 1 9 1 8
5 15 15 15


  


f) 
4 3 4 5 20
 . 
7 5 7 3 21
  
g) 
2 4 8
 . 
5 9 45

Está satisfeito com seus resultados? Se acha que precisa estudar mais, releia a teoria e 
refaça os exercícios. Para mais aprofundamento, consulte qualquer um dos livros 
relacionados na bibliografia. 
1.6 Os números irracionais 
Conforme já estudamos, existem números que podem ser escritos na forma fracionária com 
numerador inteiro e denominador inteiro diferente de zero. 
Os números que podem ser representados por frações ( e portanto são racionais) são os 
inteiros, os decimais exatos e as dízimas periódicas. 
Mas existem números que não podem ser representados por frações. São os números 
decimais não exatos que possuem representação infinita e não periódica; denominados 
números IRRACIONAIS 
Exemplos: 
a) 0,32322232242... não é uma dízima pois os algarismos depois da vírgula não se
repetem periodicamente.
b)  = 3,1415926.... 
c) 2  1,4142136... 
d) 3 1,7320508.... 
e) E = 2,7182818/.... (número de Euler) 
Estes números que possuem uma representação decimal infinita e não periódica são 
chamados de IRRACIONAIS. 
Observe que o conjunto dos números RACIONAIS e o conjunto dos IRRACIONAIS são 
DISJUNTOS, isto é : 
RACIONAIS IRRACIONAIS  RACIONAIS. 
Não existe uma representação convencional para o conjunto dos números irracionais, 
costumamos representá-lo por  , onde R é o conjuntos dos números REAIS. 
ATIVIDADES II 
1) Se e a b  , com a > b, qual das afirmações a seguir é verdadeira? 
a. 
1 1
a b

b. 
1 1
a b

c. 
b a
a b

d. 
2 2
b a

2) Dentre as afirmações a seguir:
i. Um número irracional não é um número racional
ii. A dízima periódica é um número irracional
iii. O produto de dois números racionais é um número racional
iv.    
v. *
vi. O produto de um número irracional por um número racional diferente de zero é
um número racional
a. Todas são verdadeiras
b. Todas são falsas
c. Três são verdadeiras
d. Duas são verdadeiras
3) O valor simplificado da expressão 
2 1 3 1 1 3
4 1
3 7 8 5 6 2
    
         
    
 é: 
a. 
929
2520

b. 
591
2520
c. 
197
840
d. Nenhuma das anteriores
4) Analise as afirmações a seguir e assinale a alternativa correta.
i. Todo número natural representa a quantidade de elementos de algum conjunto
finito.
ii. Existe um número natural que não tem sucessor
iii. Existe um número natural que não tem antecessor
iv. Os resultados da divisão de dois números naturais é sempre um número natural
a. Somente i e iii são verdadeiras
b. Somente ii e iii são verdadeiras
c. Somente i, ii e iii são verdadeiras
d. Todas são verdadeiras
5) Em relação aos conjuntos numéricos N, Z, Q, e R - Q, analise as afirmações abaixo
e assinale a alternativa verdadeira.
i. Para que a/3 ∈ N, a deve ser múltiplo de 3
ii. O número 12,123451122334455111... é um elemento de Q
iii. A seqüência: 
4 7 6 1 14
, , , , 0,38, 0,25, 
5 9 10 2 100
 está em ordem decrescente 
iv. O número 12,123412341234... pode ser representado como uma fração
a. Somente i e iv são verdadeiras
b. Somente ii e iii são verdadeiras
c. Somente i, iii e iv são verdadeiras
d. Todas são verdadeiras
6) Considere os números racionais
5 6
 e 
2 2
  . Das seqüências a seguir, qual está na
ordem crescente?
a. 
5 6
; 2,4, 2, 
2 2
   
b. 
6 6 5 5
; , , 
2 3 3 2
   
c. 
6 5
; 2,8, 2,7, 
2 2
   
d. 
5 6
; 2,7, 2,8, 
2 2
   
7) O valor da expressão 
4 4 4 4
1 3 5 7
   é aproximadamente igual a; 
a. 2,97
b. 2,89
c. 2,76
d. 2,83
8) Analise as afirmações a seguir sobre qual é o conjunto numérico mais adequado
para representar cada situação e, a seguir, assinale a alternativa correta.
i. N 'para o número de uma casa 
ii. Q para a temperaturade uma substância 
iii. Z para os andares de um prédio 
iv. Q para o grau da lente de um óculos 
a. Somente i e iv são verdadeiras
b. Somente i, ii e iv são verdadeiras
c. Somente i, ii são verdadeiras
d. Todas são verdadeiras
9) Considerando que os elementos dos conjuntos
7 28 4 9
; ; ; 0; ; 
2 10 2 3
A x y
 
    
 
e 
6 28 4
; ; 0; ; 
2 10 7
B x y
 
     
 
 estão relacionados em ordem crescente, então o valor 
de x e y para que A = B é? 
a) x = -1 e y = -4
b) x = 1/2 e y = 5/2
c) x = -1/2 e y = -7/2
d) nenhuma das anteriores
10) Considere as afirmações a seguir:
i) As frações 26/ 39; 30/45; 14/ 21 e 120/180 são todas frações equivalentes a 2/3.
ii) 
3 36
5 60

iii) 
3 15
7 33

iv) 11/9 > 22/13
a. Todas são verdadeiras
b. Todas são falsas
c. Três são verdadeiras
d. Duas são verdadeiras
GABARITO 1- b 2- d 3- c 4- b
5-a 6- c 7- c 8- b
9- d 10-d
UNIDADE III 
EQUAÇÕES COM RAÍZES REAIS 
Introdução: 
1.7 Conjunto dos números reais 
O conjunto dos números REAIS é o conjunto formado pela reunião dos números racionais 
com o conjunto dos números irracionais. 
  ou é irracionalx x x 
Como todo número racional é real, temos que:
  
1.8 Intervalos 
O conjunto dos números REAIS possui alguns subconjuntos importantes, denominados 
INTERVALOS, que são determinados por desigualdades. 
Exemplos: 
Conjunto dos números reais maiores que 5 e menores que 9 =      5 9 5,9 5,9x x    
. 
De maneira geral temos: sejam os números reais a e b com a < b 
a) O INTERVALO ABERTO de extremos a e b é o conjunto:
   ,a b x a x b   
b) O INTERVALO FECHADO de extremos a e b é o conjunto:
5 9 
   ,a b x a x b   
c) O INTERVALO ÀBERTO Á DIREITA (ou FECHADO À ESQUERDA) de extremos a
e b é o conjunto:
   ,a b x a x b   
d) O INTERVALO FECHADO Á DIREITA (ou ÀBERTO À ESQUERDA) de extremos a
e b é o conjunto:
   ,a b x a x b   
Temos ainda os intervalos: 
   ,a x x a   
   ,a x x a   
   ,a x x a   
   ,a x x a   
O intervalo  ,  
Vamos testar seus conhecimentos? 
Considere os conjuntos: 
 3 6A x x    e  4 9B x x    . 
Determine , , , A B A B A B B A    
Resolvendo: 
   3 6 3,6A x x    
   4 9 4,9B x x    
Representando na reta real temos: 
      e 4 6 4,6A B x x A x B x x        
      ou 3 9 3,9A B x x A x B x x        
      e 3 4 3,4A B x x A x B x x        
      e 6 9 6,9B A x x B x A x x        
1.9 Equações Lineares e Não-Lineares 
Uma EQUAÇÃO é uma afirmação que duas expressões são iguais. Para ser verdadeira 
uma equação depende do valor da variável. Para equações de uma variável, o valor da 
variável que torna a equação verdadeira é chamado SOLUÇÃO da equação. 
O CONJUNTO SOLUÇÃO da equação é o conjunto de todas as soluções desta equação. 
Exemplos: 5x  
2 25 0x  
2 3 5 8x x  
Duas soluções são EQUIVALENTES se possuem o mesmo conjunto solução. 
Por exemplo, as equações 7x  e 7 0x   são equivalentes pois o conjunto solução de 
cada uma delas é S={7}. 
Para resolver uma equação o que se faz é transforma-la em uma equação equivalente cuja 
solução é óbvia. Muitas operações podem ser feitas para se transformar uma equação em 
.... 2 3 6 7 8 9 10 11 12 ... 
.... 2 3 4 9 10 11 12 ... 
outra equivalente a ela, como: 
1) ADICIONAR o mesmo número a ambos os lados. Assim as equações x a e 
x b a b   são equivalentes. 
Por exemplo: 7 5; 7 7 5 7; e 12x x x       são equações equivalentes. 
2) SUBTRAIR o mesmo número a ambos os lados. Assim as equações x b a b   e
x a são equivalentes.
Por exemplo: 3 2; 3 3 2 3; e 1x x x        são equações equivalentes.
3) MULTIPLICAR o mesmo número a ambos os lados. Assim as equações x a e
 . . b x a b são equivalentes.
Por exemplo: 2 e 2 4x x  são equações equivalentes. 
4) DIVIDIR o mesmo número a ambos os lados. Assim as equações x a e 
x a
b b
 são
equivalentes.
Por exemplo: 
2 4
2 4; ; e 2
2 2
x
x x   são equações equivalentes. 
5) SIMPLIFICAR expressões em um dos lados da equação
Uma EQUAÇÃO LINEAR é aquela que está na forma 0ax b  com a  0, ou que pode 
ser transformada em uma equação equivalente da mesma forma. Toda equação linear 
tem exatamente UMA solução. 
Exemplo: 
3 9 0x   é uma equação linear que tem S = {-3}.
O autor americano Fred Safier faz o seguinte resumo do processo de solução de uma 
equação linear: 
"Equações lineares são resolvidas pelo processo de ISOLAR A VARIÁVEL. A equação é 
transformada em equações lineares equivalentes por simplificação, combinando todos os 
termos com variável de um lado todos os termos constantes do outro lado e, então, 
dividindo ambos os lados pelo coeficiente da variável." (SAFIER, 2003, p.40). 
E exemplifica resolvendo a equação 3 8 7 9x x  
Exemplo: 
7 5; 7 7 5 7; e 12x x x       são equações equivalentes. 
3 8 7 9x x   subtrair 7x de ambos os lados 
3 8 7 7 9 7x x x x     adicionar 8 a ambos os lados 
4 8 8 9 8x    
4 17x  dividir ambos os lados por -4 
4 17
4 4
x

 
17
4
x 

Portanto, 
17
4
S
 
  
 
Vejamos mais alguns exemplos: 
1) 
3
2
5 2 4
x x x
  
Como os coeficientes são números racionais precisamos calcular o MMC (mínimo múltiplo 
comum) dos denominadores de todas as frações: MMC (5, 2, 4) = 20. 
3
2
5 2 4
x x x
   multiplicando ambos os lados por 20 = MMC(5, 2, 4) 
3
20 . 20 . 2
5 2 4
x x x   
     
   
usando a distributividade da multiplicação 
3
20 . 20 . 20 . 2 20 . 
5 2 4
x x x
  
4 30 40 5x x x   somando 5x a ambos os membros 
4 30 5 40 5 5x x x x x     
39 40x  dividindo ambos os membros por 39 
40
39
x 
Portanto, 
40
39
S
 
  
 
2) Resolva
5
7
3
x
x



multiplicando todos os lados por x - 3 (x  3 )temos 
 
   
5
 . 3 7 . 3
3
x
x x
x

  

 5 7 21x x  
7 21 5x x   
6 26x  
26 26 13
6 6 3
x

  

Portanto, 
13
3
S
 
  
 
Uma EQUAÇÃO QUADRÁTICA é aquela que está na forma 2 0ax bx c   com 0a  , ou
que pode ser transformada em uma equação desta forma. 
Exemplos: 
23 2 7 0x x  
2 16 0x  
2 3 0x x 
As equações quadráticas possuem duas soluções x1 e x2, sendo que em alguns casos x1=-
x2. 
Existem diferentes maneiras de se resolver uma equação quadrática, mas a mais usual é 
a que utiliza a fórmula: 
2 2
1 2
4 4
2 2
b b ac b b ac
x e x
a a
     
 
A expressão 2 4b ac é denominada DISCRIMINANTE e alguns autores o representam 
pela letra grega  (delta). 
Assim: 
2 4b ac  
Vamos resolver a equação 2 5 2 0x x  
Nesta equação: 
a = 1, b = 5 e c = 2. 
Primeiro vamos calcular o discriminante: 
2 24 5 4 . 1 . 2 25 8 17b ac       
Portanto as soluções (ou raízes) desta equação são: 
1 2
5 17 5 17
2 2
x e x
   
 
O conjunto solução é: 
5 17 5 17
, 
2 2
S
     
  
  
Observação: 
1) Se o discriminante 2 4b ac for negativo, a equação não tem solução real, 
2) Se o discriminante 2 4b ac for zero, as raízes são iguais. 
Exemplos: 
1) 2 2 8 0x x  
a = 1, b = -2 e c = 8. 
2 24 2 4 . 1 . 8 4 32 28b ac        
Como não existe 28 em R, esta equação não tem raízes reais e S = ∅ 
2) 2 2 1 0x x  
a = 1, b = -2 e c = 1. 
2 24 2 4 . 1 . 1 4 4 0b ac       
Como 0 0 , temos 
   
1 2
2 0 2 0
2 . 1 2 . 1
x e x
     
  
Logo  1 2 1 1x x e S  
Finalmente, para resolver uma equação envolvendo radicais, é preciso elevar ambos os 
lados da equação ao quadrado à potencia igual do radical. 
Exemplos: 
1) Resolver: 3 2 2x   
 
3
33 2 2x   elevar ambos os membrosao cubo 
2 8, 8 2, 6x x x    
2) Resolver: 2 4x x   
   
2 2
2 4x x   elevar ambos os membros ao quadrado 
22 8 16x x x   
20 8 16 2x x x    
2 9 14 0x x  
2 24 9 4 . 1 . 14 81 56 25 25 5b ac e        
   
1 2
9 5 9 514 4
7 2
2 . 1 2 2 . 1 2
x e x
     
     
CUIDADO: Quando os índices do radical for um número par, é preciso testar se os 
valores encontrados são ou não solução da equação original. 
Assim, vamos verificar para x=7 e para x=2. 
2 4x x  
Se x = 7, 7 2 7 4  
9 3 , portanto 7 é solução. 
Se x = 2, 2 2 2 4  
4 2  , como 2  -2, 2 não é solução. 
Logo, S = {7}
ATIVIDADES III 
1) Sejam a, b e c números reais quaisquer. Assinale a afirmação verdadeira.(sugestão:
procure contra exemplos).
a. Se 2 2 entãoa b a b  
b. Se e 0 então . . a b c a c b c   
c. Se 2 2 entãoa b a b  
d. Se . , para c 0, c 1 e a,b 0
 . 
c c c
a b a b
   
2) Se    2,0 e 0 2 então A B x x A B       é?.
a. 
b.  0
c.  2,2
d.  1
3) Sendo dados os intervalos  1 3A x x     ;  1B x x   e  ,2C  
então os conjuntos e A B C A B C    são respectivamente?. 
a.  1,2 e A B C A B C     
b. e A B C A A B C A B      
c.  1,1 e A B C A B C      
d. e A B C A B C A C      
4) Dados  3 7A x x     e  2 5B x x    então os conjuntos 
e A B A B  são respectivamente?
a.  3 2 e A B x x A B A       
b.  3 5 e A B x x A B B       
c.    3 2 5 7 e A B x x x x A B B           
d.    3 5 5 7 e A B x x x x A B B           
5) Dados os conjuntos  1 4A x x    e   2 ou 6B x x x     e 
  1 C x x    , o conjunto  D A B C   e A B A B  é dado por: 
a)  1 4 ou 6D x x x    
b)  1 4 D x x   
c)  2 ou 1 4 ou 6D x x x x      
d) D 
6) Entre as situação-problema descrita a seguir, assinale a única que não utiliza
conceitos referentes a conjuntos em sua solução:
a. Em uma excursão com 50 turistas, todos conheciam pelo menos um pais asiático,
sendo que 35 conheciam o Japão e 25 conheciam a China. Quantos turistas
conheciam os dois países?
b. Qual a área de um quadrado cujo lado mede 5 cm?
c. Existem números que são ao mesmo tempo múltiplo de 3 e de 7?
d. A diferença de duas frações pode sempre ser representada por uma fração?
7) As soluções para a equação quadrática    
2 2
2 1 9x x    ? 
a. 1 21 2x e x   
b. 1 2
3 17 3 17
2 2
x e x
   
 
c. 1 2
2 36 2 36
2 2
x e x
   
  
d. 1 21 2x e x  
8) Considere o intervalo  4,4 cujos extremos são as raízes da equação 2 4 0y   e 
o intervalo  ,a b onde a e b são raízes da equação 2 5 6 0y y   . Sendo  4,4A 
 ,B a b o intervalo determinado por A B é? 
a. A B 
b. A B A 
c. A B B 
d. Nenhuma das anteriores
9) A solução para a equação linear:  
3 1 7
3 4
4 2 3 6
x x
x    
a. x = 2
b. x = -2
c. x = 4/3
d. nenhuma das anteriores
10) : A solução para a equação A solução para a equação;    0,15 . 8 0,2 . 8x  é:
e. x = 4/5
f. x = 2,66666...
g. x = 0,4/1,5
h. x = 2,84
GABARITO 1- b 2- a 3- b 4- c
5- a 6- b 7- a 8- c
9- a 10- b
Finalizamos aqui esta nossa revisão de Matemática, esperando termos contribuído para 
que você preenchesse eventuais lacunas em seu conhecimento que lhe permita seguir 
adiante. Caso você deseje ou necessite avançar mais do que o apresentado nestes três 
módulos, você pode consultar qualquer um dos livros constantes da nosso bibliografia. 
Bibliografia: 
BARROSO, J.M. (Editora responsável). Conexões com a Matemática. (Obra coletiva). 
São Paulo: Moderna, 2010. 
BIANCHINI, E., PACCOLA, H., Curso de Matemática: volume único: ensino médio. 
São Paulo: Moderna, 2004. 
DANTE, L.R.. Matemática: volume único. 1.ed. São Paulo: Ática, 2008. 
GIOVANNI, J.R., BONJORNO, J.R., GIOVANNI JR. J.R.. Matemática fundamental: 
uma nova abordagem: ensino médio: volume único. São Paulo: FTD, 2002. 
IEZZI, G., DOLCE, O., DEGENSZAJN,D.M., PÉRIGO, R.. et al. Matemática: volume 
único. São Paulo: Atual, 2002. 
 PAIVA, M.. Matemática: volume único. 2ed. São Paulo: Moderna, 2003. 
SAFIER, F.. Teoria e problemas de pré-cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2003. 
YOUSSEF, A., FERNANDEZ, V.P., SOARES, E.. Matemática: volume único: ensino 
médio. São Paulo: Scipione, 2000.