Medidas Eletricas

Prévia do material em texto

INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA 
CAMPUS DE JOINVILLE 
DEPARTAMENTO DESENVOLVIMENTO DE ENSINO 
CURSO TÉCNICO DE ELETROELETRÔNICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MEDIDAS ELÉTRICAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª. Bárbara O. M. Taques 
Prof. Mauricio M. Taques 
 
 
 
CAPÍTULO 1 – GRANDEZAS ELÉTRICAS 
 
1.1 POTENCIAL ELÉTRICO 
 
Uma partícula (carga pontual) qualquer, carregada, possui uma energia potencial 
interna (U), dada como a capacidade desta partícula em realizar trabalho. 
Os átomos que compõem um material condutor possuem elétrons livres, os quais 
podem mover-se aleatoriamente. Se provocarmos uma força eletromotriz entre os 
terminais A e B de um elemento, um trabalho é realizado sobre estas cargas, e sua 
energia potencial é alterada, causando uma diferença de energia potencial entre os 
pontos A e B. 
baba UUW  
 
Este trabalho realizado para mover uma unidade de carga (+1C) através de um 
elemento, de um terminal a outro, é conhecido como diferença de potencial, ou tensão 
(v ou V) “sobre” um elemento, e sua unidade é conhecida como volt (V) e dada como 
1J/C. 
ab
ba V
q
W
 
 
A convenção de polaridade (+, -) usada, é mostrada na figura 2.1. Ou seja, o 
terminal A é v volts positivos em relação ao terminal B. Em termos de diferença de 
potencial, o terminal A está v volts acima do terminal B. 
 
 
 
 
Fig. 1.1 – Convenção da polaridade da tensão 
 
Com referência à figura 2.1, uma queda de tensão de v volts ocorre no movimento 
de A para B. Por outro lado, uma elevação de v volts ocorre no movimento de B para A. 
Como exemplos, nas figuras 2.2 (a) e (b) existem duas representações da mesma 
tensão. Em (a), o terminal A está +2 V acima do terminal B e em (b) o terminal B está –
2 V acima do terminal A (ou +2 V abaixo de A). 
 
 
 
 (a) (b) 
 
Fig. 1.2 – Duas representações equivalentes da tensão 
A B 
 
+ v - 
 
A B 
 
+ 2 V - 
 
A B 
 
- -2 V + 
 
 
 
Outra forma de designar o potencial elétrico é empregar a notação de sub-índice 
duplo para v, do ponto a com relação ao ponto b. Neste caso, geralmente vab = -vba. 
 
1.2 CORRENTE ELÉTRICA 
 
A Corrente Elétrica é o movimento de cargas elétricas, e é denotada pelas letras i 
(para corrente variável) ou I (para corrente constante). 
Em um fio condutor existe um grande número de elétrons livres. Estes elétrons 
estando sob a ação de uma força elétrica, sendo eles livres, entrarão imediatamente em 
movimento. Como os elétrons possuem carga negativa, este movimento terá sentido do 
terminal negativo para o positivo. Porém, durante o século VIII, Benjamin Franklin 
estabeleceu, por convenção, a corrente elétrica como o movimento de cargas positivas, 
portanto trafegava do positivo para o negativo. Hoje, sabendo que o movimento é feito 
pelas cargas negativas e não positivas, é importante distinguir a corrente convencional 
(o movimento de cargas positivas), que é usada na teoria de redes elétricas, e a corrente 
eletrônica. 
Formalmente, corrente é a taxa de variação no tempo da carga e é dada por: 
t
q
i


 
 
Sua unidade básica é o ampère (A), que é igual a 1 coulomb por segundo: 
s
C
A
1
1  
 
1.3 POTÊNCIA ELÉTRICA 
 
Quando há transferência de cargas através de um elemento, uma quantidade de 
energia é fornecida ou absorvida por este elemento. Se uma corrente positiva entra no 
terminal positivo, então uma força externa deve estar excitando a corrente, logo 
entregando energia ao elemento. Neste caso, o elemento está absorvendo energia. Se por 
outro lado, uma corrente positiva sai pelo terminal positivo (entra pelo negativo), então 
o elemento está fornecendo energia ao circuito externo. 
Se a tensão através do elemento é v e uma pequena carga q se move através do 
elemento do terminal positivo para o terminal negativo, então a energia absorvida pelo 
elemento w, é dada por: 
w=vq 
Considerando agora, a velocidade com que o trabalho é executado, ou a energia w 
é dissipada, pode-se dizer que: 
t
q
v
t
w





 
 
 
Visto que, por definição, a velocidade com que uma energia é dissipada é a 
potência, denotada por p, tem-se que: 
vi
t
w
p 


 
Pode-se observar que, as unidade de v e i, já vistas anteriormente são dadas por 
J/C e C/s, respectivamente, resultando com sua multiplicação em W=(J/C)(C/s)=J/s, que 
é a unidade de potência vista no capítulo 1. 
Então, como pode se observar na figura 1.3, o elemento está absorvendo energia, 
dada por p=vi. Se a polaridade de v ou a de i for invertida, então o elemento estará 
entregando potência para o circuito externo. 
 
 
 
Fig. 1.3 – elemento típico com tensão e corrente. 
 
Exercícios: 
1. Uma diferença de potencial é entre dois pontos A e B é dada por VAB=-3V, qual é 
tensão dada por –VBA? 
 
2. Três pontos A, B e C, possuem as seguintes diferenças de potenciais entre si: 
VAC=6V, VAB=3V. Qual é diferença de potencial VCB? 
 
3. A carga total que entra por um terminal de um elemento é dada por: 
a. q=3t+1 µC 
b. q=2t mC 
c. q=5t+3 µC 
Calcule o valor da corrente i entre t=1ms e t=4ms. 
4. Supondo que a fosse possível contar ao número de elétrons que passam 
através de uma secção de um condutor no qual se estabeleceu uma corrente elétrica. Se 
durante um intervalo de tempo Δt=10s passam 2.1020 elétrons nesta secção, qual a 
intensidade da corrente (em ampère) que passa na secção do condutor? 
5. Considerando que o elemento da figura 1.3 esteja absorvendo uma potência 
de p=18mW, com uma corrente i passando por ele de 6mA, 
a. Qual a tensão v entre seus terminais? 
b. E se este elemento estiver fornecendo esta potência ao circuito, qual será o 
sentido da corrente (desenhar)? 
6. Ainda com os dados do exercício anterior, qual seria a tensão entre seus 
terminais se a potência p estivesse sendo fornecida ao elemento? 
7. Dada uma energia absorvida por um elemento de w=5t J, qual a tensão sobre 
este elemento no tempo igual a 4ms, sabendo que a corrente que passa sobre é dada por: 
i=50 sen(200t) mA 
 i 
 
 
+ v - 
 
CAPÍTULO 2 – ELEMENTOS ATIVOS E PASSIVOS 
 
Os elementos de um circuito, estudados até aqui, podem ser classificados em duas 
categorias gerais, elementos passivos e elementos ativos, considerando se a energia é 
fornecida para ou por eles. Portanto, um elemento é dito passivo se a energia total 
entregue a ele pelo resto do circuito é sempre positiva. Isto é: 
 
W=V.I.t  0 
 
As polaridades de V e de I são como mostradas na figura 2.3. Como será estudado 
posteriormente, exemplo de elementos passivos são resistores, capacitores e indutores. 
Já exemplos de elementos ativos são geradores, baterias, e circuitos eletrônicos que 
requerem uma fonte de alimentação. 
 
2.1 FONTES DE TENSÃO E CORRENTE 
 
Uma fonte independente de tensão é um elemento de dois terminais, como uma 
bateria ou um gerador, que mantém uma dada tensão entre seus terminais. A tensão é 
completamente independente da corrente fornecida. O símbolo para uma fonte de tensão 
que tem V volts entre seus terminais é mostrado na figura 2.4. A polaridade é como 
mostrada, indicando que o terminal a está V volts acima do terminal b. Desta forma, se 
V0, então o terminal a está num potencial maior que o terminal b. Já se, V0, quer 
dizer que o terminal b está num potencial maior que o terminal a. 
Na figura 2.4, pode-se observar dois símbolos que podem ser empregados para 
representar uma fonte de tensão com valor constante. Pode-se observar que as 
indicações de polaridade na figura 2.4 (b) são redundantes, visto que a polaridade pode 
ser definida pela posição dos traços curtos e longos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) (b) 
 
Fig. 2.4 – Fonte de tensão independente. 
 
Uma fonte de corrente independente é um elemento de dois terminais através do 
qual flui uma corrente de valor especificado. O valor da corrente é independente da 
tensão sobre o elemento.O símbolo para uma fonte de corrente independente é 
mostrado na figura 2.5, onde I é a corrente especificada. O sentido da corrente é 
indicado pela seta. 
Fontes independentes são usualmente empregadas para fornecer potência ao 
circuito externo e não para absorvê-la. Desta forma, se V é a tensão entre os terminais da 
fonte, e se sua corrente I está saindo do terminal positivo, então a fonte estará 
 a a 
 
 
 
 + + 
 V _ V _ 
 
 
 
 b b 
 
fornecendo uma potência, dada por P=VI, para o circuito externo. De outra forma, estará 
absorvendo energia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 2.5- Fonte independente de corrente 
 
As fontes que foram apresentadas aqui, bem como os elementos de circuito a 
serem considerados posteriormente, são elementos ideais, isto é, modelos matemáticos 
que se aproximam de elementos físicos reais apenas sob certas condições. 
 
2.2 LEI DE OHN PARA CORRENTE CONTÍNUA 
 
Em 1827, George Simon Ohm demonstrou com uma fonte de FEM (Força 
Eletromotriz) variável ligada a um condutor que à medida que variava a tensão sobre o 
condutor variava também a intensidade de corrente que circulava no mesmo. Em seus 
registros, Ohm percebeu que o quociente entre a tensão e a corrente, se mantinham 
constantes. 
De acordo com a figura 2.1, se for aplicada uma tensão V no condutor, surge uma 
corrente I. Se esta tensão for variada para V1, a corrente será I1, e do mesmo modo se o 
valor de tensão mudar para V2, a corrente será I2, de tal maneira que: 
 
I
V
I
V
I
V

2
2
1
1
=constante 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 2.1 – Relação tensão/corrente sobre um elemento 
 
E a essa constante foi dado o nome de resistência elétrica e é representada pela 
letra R. 
Portanto: 
I
V
R  
Onde: 
I=intensidade de corrente em (A) 
V=tensão elétrica em volts(V) 
R=resistência elétrica em Ohms () 
 
 + 
 I 
 
V 
 
 _ 
 a 
 
 
 
 
 I 
 
 
 
 b 
 
Então, resistência elétrica é o quociente entre a diferença de potencial e a corrente 
elétrica em um condutor. Os símbolos utilizados para representar resistência elétrica são 
mostrados na figura 2.2: 
 
 
 
 
Fig. 2.2 – Símbolos utilizados para resistência elétrica 
 
 
O inverso da resistência é uma grandeza chamada condutância. A condutância 
representa a facilidade que um condutor apresenta à passagem da corrente elétrica. É 
representado por G e sua unidade é o Siemens (S): 
 
R
G
1
 G
R
1
 
 
2.2 RESISTÊNCIA ELÉTRICA 
 
Todos os materiais possuem resistência elétrica, uns mais, outros menos. Inclusive 
os chamados bons condutores de eletricidade apresentam resistência elétrica, é claro de 
baixo valor. Os isolantes, por sua vez, por impedirem a passagem da corrente elétrica, 
são elementos que apresentam resistência muito alta. 
Quanto ao significado físico de resistência elétrica, podemos dizer que advém da 
estrutura atômica do elemento em questão. Isso quer dizer que um material que possua 
poucos elétrons livres dificultará a passagem da corrente, pois essa depende dos elétrons 
livres para se processar (nos sólidos). No entanto, também os bons condutores de 
eletricidade apresentam uma certa resistência elétrica, apesar de terem elétrons livres em 
abundância. A explicação para essa oposição à passagem da corrente elétrica nesses 
materiais é que apesar de existirem elétrons livres em grande número, eles não fluem 
livremente pelo material. Ou seja, no seu trajeto, eles sofrem constantes colisões com os 
núcleos dos átomos, o que faz com que o seu deslocamento seja dificultado. 
Em um condutor filamentar, a resistência depende basicamente de três fatores: do 
comprimento do fio, da área da seção transversal do fio, e do material. Experiências 
mostram que quanto maior o comprimento de um condutor, maior sua resistência e 
quanto maior a seção de um condutor, menor sua resistência. Também pode se provar 
que condutores de mesmo comprimento e mesma seção, mas de materiais diferentes, 
possuem resistências diferentes. 
A Equação matemática que determina o valor da resistência em função do 
comprimento, da seção e do material é dada por: 
S
l
R



 
Onde: 
R=resistência elétrica do condutor em ohms () 
l=comprimento do condutor em metros (m) 
S=área da seção transversal em metros quadrados (m2) 
 
 R R 
 
 
 
=constante do material, que chamamos de resistividade ou resistência específica, 
em ohm.metro (.m) 
 
2.2.1 Resistividade Elétrica 
 
A resistividade é um valor característico de cada material, e na verdade representa 
a resistência que um condutor desse material apresenta tendo 1m de comprimento e 1m2 
de área de seção transversal. A seguir será mostrada uma tabela com os valores de 
resistividade de alguns materiais: 
 
Material (.m) 
Cobre 1,7.10-8 
Alumínio 2,9.10-8 
Prata 1,6.10-8 
Mercúrio 98.10-8 
Platina 11.10-8 
Ferro 10.10-8 
Tungstênio 5,6.10-8 
Constantan 50.10-8 
Níquel-cromo 110.10-8 
Carbono 6000.10-8 
Zinco 6.10-8 
Níquel 10.10-8 
 
Tabela 1 – resistividade de alguns materiais elétricos 
 
 
 
 
 
2.3 EQUIVALENTES PARA CIRCUITOS RESISTIVOS EM SÉRIE 
E/OU PARALELO 
 
Agora que já foi apresentada a Lei de Ohm, pode-se definir uma ligação em série 
e paralelo entre elementos. Elemento são ditos ligados em série quando todos são 
percorridos pela mesma corrente. Já elementos ligados em paralelo, estão ligados ao 
mesmo terminal, com uma determinada diferença de potencial. 
Na figura 2.3, os resistores R1 e R2, estão ligados em série, isto é, estão sendo 
percorridos pela mesma corrente elétrica. Já na figura 2.4, os resistores estão ligados em 
paralelo, possuindo entre eles a mesma diferença de potencial (tensão) entre seus 
terminais 
 
 
 
 
 
Fig. 2.3 – Associação em série de n resistores 
 
 
 
 
 
 
Fig. 2.4 – Associação em paralelo de n resistores 
Tanto resistores em série, como resistores em paralelo podem ser substituídos, 
para fins de cálculo, por um único resistor, chamado de resistor equivalente série ou 
paralelo, respectivamente. E seus valores podem ser dados através das seguintes 
equações: 
 
2.3.1 Resistor Série 
 
Req=R1+R2+...+Rn 
 
2.3.2 Resistor em Paralelo: 
 
neq RRRR
1
...
111
21
 
 
 R1 
 
 V 
 
 
 Rn 
 
 I 
 
 
 
 V R1 Rn 
 
 
 
 I 
 
Exercícios: 
1. Calcular a tensão nos extremos de uma barra de cobre de 15m de 
comprimento e seção 12mm2, quando esta for percorrida por uma corrente de 130A. 
Qual a potência absorvida por esta barra de cobre? 
 
2. Achar o resistor equivalente entre os pontos A e B dos circuitos abaixo: 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
3. Se uma corrente de 4A sai da fonte de tensão Vi, no circuito abaixo, qual é 
o valor da potência fornecida por esta fonte? 
 
 
 
 
 
 2Ω 
 A 
 
 3Ω 3Ω 1Ω 
 
 
 B 
 5Ω 
 
 50Ω 10Ω 
 
 
20Ω 30Ω 15Ω 
 
 
 
 40Ω 10Ω 
 6Ω 2Ω 
 A 
 
 3Ω 4Ω 
 
 12Ω 
 3Ω 4Ω 
 
 
 
 6Ω 2Ω 
 B 
 1Ω 4Ω 
A 
 22Ω 
 
 90Ω 8Ω 
 4Ω 4Ω 
B 
 8Ω 
 2Ω 
 4Ω 
 
30V 10Ω 4Ω 
 
 
CAPÍTULO 3 – LEIS DE KIRCHHOFF 
 
3.1 LEI DE KIRCHHOFF DAS CORRENTES 
 
A lei de Kirchhoff das correntes (LKC) estabelece que: 
 
“A soma algébrica das correntes que entram em um nó qualquer é igual a soma 
dascorrentes que saem deste nó.” 
 
Exemplo: Dado o circuito abaixo, achar i1 e i2. 
 
3A+2A-i1=0 i3-2A+i4=0 
i1=3A+2A i3=2A-i4 
i1=5A i3=2A+7A 
 i3=9A 
-2A-i4-5A=0 
i4=-2A-5A i1-i2-i3=0 
i4=-7A i2=i1-i3 
 i2=1A-5A 
 i2=-4A 
 
3.2 LEI DE KIRCHHOFF DAS TENSÕES 
 
A lei de Kirchhoff das tensões (LKT) estabelece que: 
 
“A soma algébrica das tensões ao longo de qualquer percurso fechado é zero.” 
 
Exemplo: 
 
 -15V+v+10V+2V=0 
 v=15V-10V-2V 
 v=3V 
 
 
 
 
 i2 i1 3A 
 
 i3 5Ω 
 
 6V 2A 
 2Ω 
 
 2A i4 5A 
 + v - 
 
 
15V 10V 
 
 
 - 2V + 
 
Exercícios: 
 
1. Calcular a tensão V e a corrente I, dado o circuito abaixo: 
 
 
 
 
 
2. Determinar as grandezas desconhecidas nos circuitos mostrados abaixo: 
 
a) 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 c) 
 
 
 
 
 
 
 d) 
 
 
 
 
3. Usando a lei de Kirchhoff das correntes, encontrar o valor das correntes I1, 
I2, I3 e I4, para o circuito abaixo: 
 
 
 
 4Ω 
 
 + V - I 
 
14V 6Ω 4A 
 
 + V - +80V- 
 
 20Ω I R 
120V 
 
 - 8V + -V1+ 
 
 2,2Ω 4,7 Ω - 
 V V2 
 + 
 I 
 P1=8W 
 
 R1 I R2 
 V 1 Ω P2 =4W 
 
 
 
RT=16 Ω 
 + V1 - +V2- 
 
 2Ω 1A 1 Ω + 
 V R V3 
 - 
 P3=21W 
 6μA 
 
 I2 2μA 
 
 
 I3 
 I4 
 0,5μA 
 
 
4. Determinar as grandezas desconhecidas nos circuitos mostrados abaixo: 
 
 
a 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
c 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3A 2A I2 
 
10V R1 R2 
 
 
 I 2A I2 I3 
 
 V 6Ω 9 Ω R 
 P3=12W 
 
RT= 
 
 100mA I1 I3 
 
64V 1kΩ R 4kΩ 
 
 
 I 
 
 I1 I3 
 
 V 30Ω R2 R3=R2 
 P1=30W P2 
 
 2A 
 
 
1ª Aula de laboratório: Soldagem 
 
 
Objetivo: 
 
Esta aula tem sua finalidade em proporcionar aos acadêmicos a introdução a 
soldagem eletroeletrônica introduzindo-os no mundo técnico, a proposta é a montagem de 
cabos do tipo pino-garra e cabos de rede do tipo CAT5. 
 
 
Material Necessário: 
 
Ferro de solda (30 a 60W) 
Solda a base de estanho 
1m de Cabo 1,5mm2 flexível vermelho 
1m de Cabo 1,5mm2 flexível preto 
1 Plugue do tipo pino banana vermelho 
1 Plugue do tipo pino banana preto 
1 Garra jacaré vermelha 
1 Garra jacaré preta 
1 Cabo de Rede 
2 Conectores RJ45 (no mínimo) 
 
ANEXO 1 - UNIDADES E NOTAÇÕES NUMÉRICAS 
 
1.1 SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S.I.) 
 
O Sistema Internacional de Unidades (SI) foi adotado em 1960 pela Conferência 
Geral de Pesos e Medidas (CGPM), e foi composta por seis unidades básicas, dadas na 
tabela abaixo: 
GRANDEZAS UNIDADE SÍMBOLO 
Comprimento metro m 
Massa quilograma kg 
Tempo segundo s 
Carga Elétrica coulomb C 
Intensidade de Corrente Elétrica ampére A 
Temperatura kelvin K 
Quantidade de matéria mol mol 
Intensidade Luminosa candela cd 
Superfície metro quadrado m2 
Volume metro cúbico m3 
Velocidade metro por segundo m/s 
Aceleração metro por segundo ao quadrado m/s2 
Número de ondas 1 por metro m-1 
Massa específica quilograma por metro cúbico kg/m3 
Volume específico metro cúbico por quilograma m3/kg 
Densidade de corrente ampére por metro quadrado A/m2 
Campo magnético ampére por metro A/m 
Luminância candela por metro quadrado cd/m2 
Concentração (de quantidade de matéria) mol por metro cúbico Mol/m3 
Ângulo radiano rad 
Freqüência hertz Hz 
Força newton N 
Pressão pascal Pa 
Energia, Trabalho joule J 
Potência watt W 
Diferença de Potencial Elétrico 
(Tensão Elétrica) 
volt V 
Capacitância elétrica farad F 
Resistência elétrica ohm  
Condutância elétrica siemens S 
Fluxo de indução magnética weber W 
Indução magnética tesla T 
Indutância henry H 
Fluxo luminoso lúmen lm 
Iluminamento lux lx 
 
 
1.1.1 Unidades derivadas importantes na teoria de circuitos: 
 
Força (F): A unidade fundamental de força é Newton (N), que é a força requerida 
para acelerar uma massa de 1kg a 1 metro por segundo por segundo, 1((m/s)/s). 
 
1 N = 1 kgm/s2 
 
Trabalho ou Energia (W): Um joule é o trabalho realizado por uma força de 1N 
aplicada em uma distância de 1m. 
1 J = 1 N*m 
 
Potência (P): É a velocidade na qual um trabalho é realizado ou que a energia é 
dissipada. Definido como 1J/s. 
1 W = 1 J/s 
 
1.2 MÚLTIPLOS DECIMAIS E PREFIXOS S.I. 
 
Prefixos para Notação de Engenharia: 
 
Prefixo Símbolo (s) Potência de 10 
yocto- y 10-24 
zepto- z 10-21 
atto- a 10-18 
femto- f 10-15 
pico- p 10-12 
nano- n 10-9 
micro- m 10-6 
mili- m 10-3 
---- -- 100 
kilo- k 103 
mega- M 106 
giga- G 109 
tera- T 1012 
peta- P 1015 
exa- E 1018 
zetta- Z 1021 
yotta- Y 1024 
 
Prefixos para Notação Científica: 
 
Prefixo Símbolo (s) Potência de 10 
centi- c 10-2 
deci- d 10-1 
deca- D 101 
hecto- h 102 
 
 
Para transformar um número em notação de engenharia, o número deve possuir um 
coeficiente maior ou igual a um; base dez e expoente múltiplo de 3. Para associarmos 
com os prefixos de S.I. 
 
Exemplo: 
FORMA 
NORMAL 
SEPARAÇÃO EM 
MILHARES 
NOTAÇÃO EM 
ENGENHARIA 
1000 3101  1 k 
2400000 6104,2  2,4 M 
0,00001 61010  10 μ 
0,00457 31057,4  4,57 m 
 
 
Obs.: Quando precisar efetuar soma ou subtração destes números, tomar cuidado 
para que tenham o expoente com a mesma ordem algébrica. 
 
Ex.: 4102  + 3103  = 31020  + 3103  =   310320  = 31023  
 
Multiplicação: nmnm baba  101010 
 
Divisão: 
nm
n
m
b
a
b
a 


10
10
10
 
 
Potenciação:   nmnnm aa .1010  
 
ANEXO 2 - CÓDIGO DE CORES 
 
 
 
 
 
0 0 x 1  = x 100 
1 1 x 10  = x 101 
2 2 x 100  = x 102 
3 3 x 1.000  = x 103 
4 4 x 10.000  = x 104 
5 5 x 100.000  = x 105 
6 6 x 1.000.000  = x 106 
7 7 
x 0,1 
± 1% 
± 2% 
±10% 
± 5% 
8 8 
9 9 
TOLERÂNCIA 
 
ANEXO 3 - TÉCNICAS DE ARREDONDAMENTO 
 
O resultado de uma medida pode estar sujeito à manipulação numérica, ou para 
expressá-la com menor número de algarismos significativos ou para compatibilização de 
valores. 
A substituição de um número dado por outro com menor quantidade de algarismos 
deve ser feita dentro de uma técnica conhecida e aceita para que todos procedam da 
mesma forma e haja homogeneidade de números com origens diversas. 
Para arredondar um número, verifique quantos algarismos significativos deverão 
ficar no final numa única operação e proceda como escrito a seguir: 
a) Se o algarismo à direita do último dígito que se pretende representar for inferior a 
5, 50, 500..., apenas desprezam-se os demais dígitos à direita. 
Exemplo: 
3,141592 com 3AS=3,14 
b) Se o algarismo à direita do último dígito que se pretende representar for maior 
que 5, 50, 500..., adiciona-se uma unidade ao último representado e desprezam-se os 
demais dígitos à direita. 
Exemplo:3,141592 com 5AS=3,1416 
c) Se o algarismo à direita do último dígito que se pretende representar for 5, 50, 
500...: 
 Adiciona-se uma unidade ao último dígito representado e desprezam-se os 
dígitos à direita, se esse dígito for originalmente ímpar; 
 Apenas são desprezados os demais dígitos à direita se este dígito for 
originalmente par ou zero. 
Exemplo: 
16,25 com 3AS=16,2 
16,05 com 3AS=16,0 
16,15 com 3AS=16,2 
 
 
ANEXO 4 - ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 
 
O resultado de uma medição é expresso em números que dão a formação da ordem 
de grandeza do fenômeno medido. Vamos supor que o resultado do recenseamento de 
uma cidade aponta para uma população de 120.000 pessoas. Sabemos que este dado não 
representa um número exato e entendemos que a população está próxima de 120.000, 
podendo variar entre 110.000 e 130.000. 
Portanto o próprio algarismo 2 deste valor já apresenta uma dúvida nesta medida. E 
os outros valores não apresentam significado físico com esta ordem de grandeza, pois 
expressa a magnitude do fenômeno medido. Neste caso este número possui somente dois 
algarismos significativos, sendo o segundo um algarismo duvidoso. 
Exemplos: 
12,1 cm tem 3 algarismos significativos e 0,1 é o algarismo duvidoso 
5 cm tem 1 algarismo significativo e ele próprio é duvidoso 
9,0 tem 2 algarismos significativos 
9,00 tem 3 algarismos significativos 
0,006 tem 1 algarismo significativo 
Obs.: Algarismos significativos são todos os algarismos necessários na notação 
científica, exceto o expoente. 
Exemplos: 
0,006 =6x10-3 
2 =2x100 
12,1 =1,21x101 
200 =2x102 
Dicas: 
O algarismo à esquerda diferente de zero é o algarismo mais significativo. 
Exemplo: 100,9 – 0720 – 0,00054 – 0,0023400 
Se não houver vírgula, o último algarismo à direita diferente de zero é o algarismo 
menos significativo. 
Exemplo: 260 – 1000 – 224 – 0170 
Havendo vírgula, o último algarismo à direita é o algarismo menos significativo. 
Exemplo: 27,0100 – 0,0020 – 100,0 – 209,99 
A quantidade de algarismos significativos (AS) de um número é a quantidade de 
dígitos do algarismo mais significativos ao menos significativos. 
Exemplo: 27,0100 tem 6 AS 
 0,0020 tem 2 AS 
 209,99 tem 5 AS 
 100,0 tem 4 AS 
 100.000 tem 1 AS 
Observação: 2030 tem 3 AS. Se o último zero for importante, escrever na forma 
203,0x101 (4AS). 
Observe que tanto L=22,5 cm como 0,225 m representam a mesma medida e têm 3 
algarismos significativos. 
No sentido estreitamente matemático, 8=8,0=8,00=8,000 etc. Fisicamente, estes 
números são diferentes. 
 
ANEXO 5 – ERROS DE MEDIÇÃO 
 
ERROS DE MEDIÇÃO 
 
O erro de medição é definido como o resultado de uma medição menos o valor 
verdadeiro (convencional) do mensurando. Podemos definir o mensurando como sendo 
o objeto da medição, ou seja, a grandeza específica submetida à medição. 
Supondo que uma balança foi calibrada com uma massa padrão de 10,00kg e 
indicou o valor 9,96kg. O erro de medição será: 
e=erro=indicação-valor verdadeiro convencional 
e=9,96-10,00=-0,04kg 
Quando conhecemos a natureza e a ordem de grandeza de um erro de medição, 
podemos limitá-lo em valores que tornem a medida confiável. O operador deve dominar 
pelo menos três tipos de erro que provocam influência aditiva no erro de medição: o erro 
sistemático, o erro aleatório e o erro grosseiro. 
 
ERRO SISTEMÁTICO 
É a diferença entre a média de um número infinito de medições do mesmo 
mensurando e o valor verdadeiro do mensurando quando são obedecidas as condições de 
repetitividade. O erro sistemático pode ser causado por um desgaste do sistema de 
medição, por um dos ajustes, por fatores construtivos, pelo método e medição, por 
condições ambientais, etc. Na maioria das vezes, o erro sistemático não é constante na 
faixa de operação do sistema de medição, tornando-o de difícil previsão. 
As condições de repetitividade são obtidas com os mesmos parâmetros durante a 
medição. Por exemplo, o mesmo operador, o mesmo local e instrumentos, tomada das 
leituras com intervalo de tempo curto, mesmo método de medição, mesma condição 
ambiental. 
Exemplo: Numa série de dez medições de um bloco padrão com dimensão de 25mm 
utilizando um micrômetro digital com valor de uma divisão de 0,001mm, foram obtidas 
as seguintes leituras (em mm): 
25,003 25,003 25,004 25,003 25,004 25,003 25,003 25,004 25,003 25,000 
 
A média é de 25,003 mm, portanto o erro é de 0,003mm. Como um número infinito 
de medições é inatingível, podemos julgar que a média aritmética das medidas também 
convergirá para o valor de 25,003mm,portanto, como as condições de repetitividade 
foram obedecidas, o erro obtido é o erro sistemático do micrômetro. 
Nem sempre a causa deste erro é facilmente identificável, sendo necessária a 
medição de outros valores para obter mais parâmetros de análise (exemplo: se o 
micrômetro estiver com a indicação de zero correta, pode ser problema de paralelismo 
das pontas). 
 
ERRO ALEATÓRIO 
É a diferença entre o resultado de uma medição e a média de um número infinito de 
medições do mesmo mensurando sob condições de repetitividade. Para um número 
grande de medições observam-se variações em torno de um valor médio que se 
manifesta de forma imprevisível. Como na prática o número de medições é finito, é 
possível apenas estimar o erro aleatório. Os fatores que contribuem para o aparecimento 
do erro aleatório podem ser devido a atritos, vibrações, folgas, flutuações de rede, 
instabilidade interna, condições ambientais, etc. 
Exemplo: Numa série de medições com um medidor de espessura de tinta 
analógico, a indicação do instrumento com um padrão de 30μm varia entre 20μm e 
25μm, mas quando ele recebe uma pancada leve com a ponta dos dedos, a indicação é de 
30μm. Neste caso o instrumento está infiel, portanto o erro aleatório pode ser devido ao 
atrito nos mancais, eletricidade estática no visor, folga no pivô, ponteiro enroscando, etc. 
 
ERRO GROSSEIRO 
O erro grosseiro acontece devido à fatores externos, e não aos instrumentos. 
A origem do erro grosseiro pode ser fortemente identificada: leitura errônea, defeito 
do sistema de medição, manipulação indevida, anotação errada, etc. Embora a 
eliminação completa do erro grosseiro seja impossível, sua causa deve ser detectada e 
reduzida, principalmente com o treinamento do pessoal envolvido. Erros grosseiros 
acontecem quando se atribui falta de cuidado e maus hábitos, como leitura imprópria no 
instrumento, anotação dos resultados diferente dos valores lidos, ajuste incorreto do 
instrumento, erros devido às cargas dos circuitos e dos instrumentos, instrumento fora do 
zero, etc., os quais não podem ser tratados sistematicamente. Descuido com paralaxe 
também é uma forma de erro grosseiro. 
 
ERRO EM INSTRUMENTOS ANALÓGICOS 
 
Nos instrumentos analógicos (instrumentos a ponteiro), o erro geralmente é 
fornecido em termos de fundo de escala, ou seja, o valor de corrente que origina a 
deflexão total do ponteiro levando-o até o fim da escala. Sua precisão é normalmente 
expressa em percentual. Por exemplo, um aparelho de medida com uma precisão de 1% 
indica-nos que a grandeza medida não difere de mais do que 1% do valor indicado pelo 
aparelho. 
Exemplo: Um voltímetro que possui erro de 5% de fundo de escala está sendo 
utilizado na escala de 1000V, para medir uma tensão de 220V. Qual é o erro da medida? 
5% do fundo de escala=5% de 1000V = ±50V. Logo, a medida será V=(220±50V) 
ou ainda V=220±23%. 
 
 
 
 
ERRO DE PARALAXE 
Outro erro comum, porém resultante de um incorreto posicionamento do usuário em 
relação ao instrumento, é conhecido de “Erro de Paralaxe” ou erro de falsa leitura, 
originado em função de formar-se em ângulo θ entre a linha de visão do usuário e uma 
reta perpendicular à escala de medição do aparelho. Quanto maior for o ângulo, maior 
será o erro de leitura. 
 
ERRO DE INTERPOLAÇÃO 
Além da possibilidade do erro de paralaxe, os instrumentos analógicos permitem a 
ocorrência do erro de interpolação. Esseerro se origina em função do posicionamento do 
ponteiro em relação à escala de medida do instrumento. 
 
O leitor pode observar que o ponteiro acusa uma posição incerta entre dois valores 
conhecidos, a qual necessariamente não é o ponto médio destes, ficando a critério do 
observador, em função da proximidade, definir o valor correspondente ao traço da 
esquerda ou da direita. Quaisquer dos infinitos valores possíveis entre os dois 
conhecidos não têm significado prático, sendo então que, nesse caso, o valor assumido é 
função de um erro de interpolação. 
Exemplo: Considerar o voltímetro da figura com faixas de 75V, 150V e 300V. 
 
 
A escala do voltímetro tem 150 divisões. Na faixa de 75V, cada divisão corresponde 
a 0,5V, sendo recomendável a leitura de 0,25V, conforme a tabela abaixo; 
 
Faixa No de Divisões Valor de uma divisão Leitura recomendável 
(V) (V) (V) 
75 150 0,5 0,25 
150 150 1 0,5 
300 150 2 1 
 
ERRO EM INSTRUMENTOS DIGITAIS 
 
Todo indicador digital proporciona uma leitura numérica que elimina o erro do 
operador em termos de paralaxe e interpolação. Os valores lidos normalmente são 
expressos entre 31/2 81/2 dígitos; o ½ dígito se usa na especificação porque o dígito mais 
significativo pode, unicamente, assumir valores de 0 a 9. 
A resolução desses instrumentos é mudança de tensão que faz variar o bit menos 
significativo do display do medidor. Não confundir resolução com erros de medida. Um 
instrumento pode ser sensível a 0,01mV. Exemplo: um instrumento pode ler 23,48V. 
Isto não significa que a leitura será (23,48±0,01)mV. Na realidade o erro desses 
instrumentos é mais complexo de ser calculado e normalmente é uma combinação de 
fatores. Exemplo: o multímetro Metex m4600(B). 
Esse instrumento, na escala de 20DCV, tem erro=0,05% de 100,00mV=0,05mV+3 
dígitos=0,03mV. O erro combinado seria [(0,05)2+(0,03)2]1/2≈0,06mV (alguns autores 
preferem somar dois a dois algebricamente). Sempre é importante consultar o manual do 
fabricante, porque o erro combinado pode mudar em função de escala ou do tipo de 
variável a ser medido. O mesmo instrumento (Metex), na escala de corrente AC 200mA, 
teria um erro combinado de =±1,0% da medida +10 dígitos. 
Exemplo: 
Um instrumento digital está sendo usado numa escala de 20V e mede uma tensão 
ACV, e o valor indicado é 8,00V. A especificação de erro é ±(0,8%Leit.+3 dígitos). 
Como se interpreta a informação e como se calcula o erro?