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Tópicos Sobre Equações Diferenciais Ordinárias Paulo Doutor e Paula Rodrigues Faculdade de Ciências e Tecnologia - 2016 - FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 2 Conteúdo 1 Equações diferenciais de 1ª ordem 5 1.1 Modelos com equações diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Modelo de crescimento exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Modelo de crescimento loǵıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Outros modelos de EDO de 1ª ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 Conceitos base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 Resolução de equações diferenciais de 1ª ordem . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.1 Equações de variáveis separáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.2 Equação linear de 1ª ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3.3 Métodos numéricos para a resolução de EDO . . . . . . . . . . . . . 30 2 Equações diferenciais de 2ª ordem e sistemas de equações 35 2.1 Modelos com EDO de 2ª ordem e sistemas de EDO . . . . . . . . . . . . . 35 2.2 Equações lineares de 2ª ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3 CONTEÚDO FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 4 Caṕıtulo 1 Equações diferenciais de 1ª ordem 1.1 Modelos com equações diferenciais As equações diferenciais são uma ferramenta usual na modelação de sistemas biológicos ou ecológicos. Muitas das aplicações t́ıpicas, por exemplo, dinâmica populacional, epi- demiologia ou evolução de reações, relacionam o estado do sistema com a sua taxa de variação. Uma equação diferencial ordinária (EDO) é uma igualdade envolvendo funções de es- tado (x = x(t) ou y = y(t)) que expressam quantidades dependentes de uma variável independente, t, (muitas vezes representando a variável tempo), que pode ou não figurar explicitamente na equação e as derivadas das funções de estado x′ = x′(t), x′′ = x′′(t), etc. Apresentam-se alguns problemas que podem ser modelados utilizando equações diferen- ciais ordinárias e que servirão para motivar a apresentação dos conceitos e técnicas rela- cionadas. 1.1.1 Modelo de crescimento exponencial Exemplo 1 (Crescimento de uma população – Lei de Malthus) Para uma po- pulação de indiv́ıduos defina-se P = P (t) como o número de indiv́ıduos no instante de 5 1.1. MODELOS COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS tempo t. A taxa de variação da população dependerá de P , sendo maior ou menor con- soante P o for. Por simplicidade, assumimos que a única variação na população são os nascimentos, n e as mortes m e que estes acontecem a uma taxa constante. Então a população evolui segundo a equação diferencial P ′ = (n−m)P. Esta equação é conhecida como a lei de Malthus, considera-se que a variação da população é proporcional ao tamanho da população, em cada instante. Note-se que se n > m então P ′ > 0 logo a população cresce e se n < m então P ′ < 0 logo a população decresce. Exemplo 2 (Crescimento de uma célula) Suponhamos que uma célula é colocada num ambiente ideal e que os qúımicos necessários ao seu metabolismo atravessam suficientemente rápido a membrana de forma a que o crescimento da célula dependa apenas do metabolismo no interior da célula. Pretende-se determinar a função m = m(t) que descreve a variação da massa da célula a partir de um instante inicial t0 em que m(t0) = m0. Como o resultado do metabolismo depende da massa das moléculas envolvidas espera-se que a taxa de crescimento da célula seja proporcional à massa da célula em cada instante de tempo. Esta variação da massa pode ser descrita pela equação m′(t) = am(t) sujeita à condição inicial m(t0) = m0. Na equação, m(t) representa a massa da célula em função do tempo, m′(t) a respetiva taxa de crescimento e a uma constante de proporcio- nalidade positiva. Exemplo 3 (Decaimento radioativo) Resultados experimentais mostram que os elementos radioativos desintegram-se a uma taxa proporcional à quantidade presente do elemento. Se Q = Q(t) é a quantidade presente de certo elemento radioativo no instante t, então a taxa de variação de Q(t) com FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 6 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM respeito ao tempo t é dada por: Q′ = −kQ(t) onde k é uma constante positiva que depende do elemento. Por exemplo, para o carbono- 14 o valor aproximado de k é 1, 244 × 10−4 e para o rádio o valor aproximado de k é 1, 4× 10−11. Comum a todos estes exemplos é o facto da taxa de crescimento (decaimento) ser propor- cional à quantidade existente. Todos eles podem ser descritos pela EDO x′ = kx, k ∈ R. (1.1) À equação diferencial podemos juntar uma condição sobre o comportamento da solução num certo instante, obtendo o seguinte modelo x′ = kx, k ∈ R e x(t0) = x0. (1.2) Facilmente se verifica as funções x(t) = Cekt, onde C é uma constante arbitrária, são solução da EDO (1.1) uma vez que substituindo na equação diferencial obtemos uma proposição verdadeira. E que x(t) = x0e k(t−t0) é solução de (1.2), uma vez que, para além de ser solução da equação diferencial, verifica ainda a condição x(t0) = x0. Quando a taxa de crescimento é positiva (k > 0), x(t) cresce exponencialmente e quando k < 0, x(t) decai exponencialmente e quando k = 0, x(t) é constante. A figura 1.6 ilustra as três possibilidades. FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 7 1.1. MODELOS COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Figura 1.1: Soluções particulares de (1.2) para k positivo (linha tracejada), negativo (linha cont́ınua) e nulo (linha pontilhada). 1.1.2 Modelo de crescimento loǵıstico Na secção anterior considerámos modelos de crescimento de populações que não inclúıam fatores como a limitação dos recursos dispońıveis ou a competição intra-espécie. Vamos agora introduzir estes fenómenos. Exemplo 4 (Crescimento de uma população – Modelo loǵıstico) Consideremos a variação ao longo do tempo de uma população com x(t) indiv́ıduos no instante t. Vamos considerar que os recursos dispońıveis para o seu crescimento são limitados (pode ser a quantidade de nutrientes numa caixa de petri, ou a abundância de presas para um predador, etc.) e/ou há competição entre os indiv́ıduos da mesma espécie (pode ser competição pelo alimento. espaço, acasalamento, etc.). Suponhamos que a taxa de crescimento k é proporcional à quantidade de nutrientes a, da seguinte forma k = pa, sendo p constante (pode representar um ı́ndice de fertilidade). FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 8 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Suponhamos também que a quantidade de nutrientes varia ao longo do tempo, a = a(t) pois é consumida pela população de acordo com a equação a′(t) = −bx′(t), com b > 0 (esta afirma que a quantidade de nutrientes decresce proporcionalmente ao crescimento da população sendo b uma constante de proporcionalidade que representa o consumo de cada indiv́ıduo por unidade de tempo). Então a quantidade a + bx é constante ao longo do tempo i.e. a(t) + bx(t) = b0 ⇐⇒ a(t) = b0 − bx(t), b0 ∈ R e então k = p(b0 − bx(t)). Obtivemos desta forma uma nova equação diferencial que descreve o crescimento de uma população levando em conta que a população não pode crescer indefinidamente x′ = px(b0 − bx). Note que o segundo membro é uma parábola (na variável x) com a concavidade voltada para baixo, que tem dois zeros em x = 0 e x = b0/b. Então, x ′ > 0 para 0 < x < b0/b, a população cresce; e x′ < 0 para x > b0/b, a população decresce. A constante K = b0/b é chamada a capacidade de suporte da população. Podemos reescrever a equação da seguinte forma mais usual x′= rx ( 1− x K ) . (1.3) onde r = pb0. Este modelo é conhecido como modelo de crescimento loǵıstico. A solução geral é da forma x(t) = CKert 1 + Cert , (1.4) com C uma constante arbitrária. A solução do problema associado à condição inicial x(0) = x0 é da forma x(t) = Kx0e rt K + x0(ert − 1) . (1.5) Na figura 1.2 estão representadas duas soluções particulares para o caso r = 1, K = 10 e x0 = 1 (linha cont́ınua) e x0 = 19 (linha tracejada). No caso x0 < K a população é crescente e para x0 > K a solução é decrescente. Em ambos os casos, aproxima-se assiptoticamente da capacidade de suporte da população K. FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 9 1.1. MODELOS COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Figura 1.2: Soluções particulares do modelo de crescimento loǵıstico para o caso r = 1, K = 10 e x0 = 1 (linha cont́ınua) e x0 = 19 (linha tracejada). Na figura 1.3 é apresentado o resultado de experiências levada a cabo por G.F. Gause, em 1934 sobre o crescimento de populações de organismos unicelulares. Note que estas populações exibem comportamento semelhante ao crescimento loǵıstico que acabámos de descrever (com x(0) < k). No próximo exemplo vemos que as mesmas equações também servem para modelar um problema totalmente diferente. Exemplo 5 (Propagação de uma epidemia) Os primeiros modelos sobre propagação de epidemias remontam a Kermack e McKen- drick, em 1927. Neste exemplo, vamos estudar o modelo clássico Suscet́ıveis-Infetados(SI) nascimentos ou mortes. Para uma certa doença infeciosa, pretende-se estudar a evolução do número de infeciosos numa população ao longo do tempo. Relativamente a esta doença, os indiv́ıduos são suscet́ıveis ou infeciosos e assuma-se que um indiv́ıduo infecioso não recupera da infeção, durante o peŕıodo considerado. O número de indiv́ıduos num instante de tempo t em cada FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 10 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Figura 1.3: Experiências de G.F. Gause, em 1934, envolvendo duas população de orga- nismos unicelulares (Paramecium caudatum e Paramecium aurelia), que mostram cresci- mento loǵıstico. uma das classes será denotado por S = S(t) e I = I(t). Vamos considerar que o número total de indiv́ıduos não se altera ao longo do tempo e é dado por N = S(t) + I(t). O número de novos infeciosos num intervalo de tempo [t, t +∆t] é o número de indiv́ıduos infeciosos no instante inicial do intervalo, I(t), multiplicado pelos contactos que em média um indiv́ıduo tem nesse intervalo de tempo, c∆t, vezes a probabilidade desse contacto ser com um indiv́ıduo suscet́ıvel S(t)/N = (N − I(t))/N . Obtemos, I(t +∆t) I no final = I(t) I no ińıcio + c∆tI(t) N − I(t) N novos infeciosos Dividindo ambos os termos por ∆t e passando ao limite quando ∆t se aproxima de zero (o intervalo de tempo muito pequeno) temos agora I ′ = cI(t) N − I(t) N . Note-se que temos de novo a equação de crescimento loǵıstico I ′ = cI ( 1− I N ) , com r = c e K = N . FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 11 1.1. MODELOS COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Observação 1 Este modelo prevê que, no limite t → +∞, toda da população estará infetada. Esta conclusão não é razoável, mesmo para doenças com transmissão muito alta. Relembre-se que este modelo é apenas indicado quando se consideram curtos peŕıodos de tempo, durante os quais é razoável considerar que os indiv́ıduos se mantém transmisśıveis sem consequências para os próprios. Em alternativa, em vez de uma doença podemos pensar num caso de colonização, sem consequências negativas para o hospedeiro. Exerćıcios 1 1. Indique uma solução geral do modelo SI. 2. Considerando N = 1000 e c = 2, determine uma solução particular para o caso I(0) = 3. Qual o número de infetados ao fim de 5 unidades de tempo? 1.1.3 Outros modelos de EDO de 1ª ordem Exemplo 6 (Migração) Um fenómeno comum quando se considera o crescimento de uma população é o contributo dos movimentos de migração da população. Vamos alterar o modelo de crescimento exponencial de forma a incluir a entrada e sáıda de indiv́ıduos com taxas constantes i, e, respetivamente. Desta forma, obtém-se x′ = kx− e+ i. (1.6) Estamos a considerar que a migração não está dependente do tamanho da população. Podemos considerar ainda outras situações. A emigração dos indiv́ıduos é proporcional ao tamanho da população x′ = kx− ex+ i. Por exemplo, e = 0.01 significaria que emigra 1% da população por cada unidade de tempo. A migração varia ao longo do tempo e é, por exemplo, sazonal. Imaginemos uma situação em que uma população animal numa determinada região aumenta no verão e diminui no inverno pro movimentos de migração de acordo com função periódica m(t) = a cos(bt). FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 12 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Exemplo 7 (Arrefecimento de um corpo) Um corpo cuja temperatura é superior à temperatura do ambiente envolvente está em arrefecimento. Vejamos como avaliar a temperatura do corpo como função do tempo. Seja T = T (t) a temperatura do corpo no instante de tempo t, T0 a temperatura no instante t = 0, e Ts a temperatura constante do ambiente envolvente. A derivada de T corresponderá à taxa de arrefecimento. Como a temperatura decresce, esta derivada será negativa. Assumimos que a taxa de arrefecimento é proporcional à diferença T − Ts, isto é, T ′ = −k(T − Ts), onde k é uma constante positiva determinada pela condições f́ısicas da troca de calor. A solução geral desta EDO é T (t) = ce−kt + Ts. 0 5 10 15 t 0 20 40 60 80 100 T (t ) Figura 1.4: Solução do problema definido por T ′ = −k(T − Ts), T (0) = T0 para k = 1, Ts = 20 e T0 = 100. FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 13 1.1. MODELOS COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS A solução do modelo T ′ = −k(T − Ts), e T (0) = T0 é então T (t) = (T0 − Ts)e−kt + Ts. A figura 1.4 mostra uma solução particular. Note que quando t tende para infinito o primeiro termo de e−kt tende para zero, pelo que a temperatura se aproxima assimptoti- camente de Ts. Exerćıcios 2 1. Modifique o modelo SI, apresentado no Exemplo 5, de forma a incluir a entrada por imigração de indiv́ıduos infetados a uma taxa constante a. 2. Verifique que os modelos dos Exemplos 6 e 7, podem ser escritos na forma x′ = ax+b, com a e b parâmetros reais. Exerćıcio 3 Faça corresponder as equações aos problemas descritos (mais do que uma equação pode coincidir com uma descrição, e vice-versa). Os problemas: 1. A taxa de variação da população de um determinado páıs é proporcional das taxas de nascimento e morte, bem como do número de imigrantes, que chegam a uma taxa constante ao páıs. 2. A taxa de variação da população de um páıs depende das taxas de nascimento e morte e existe emigração do páıs a uma taxa constante. 3. A taxa de reprodução de uma determinada espécie de peixes está sujeita aos limi- tes impostos pela capacidade do ambiente e da população. A população pode ser reduzida pela pesca que decorre a uma taxa constante. FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 14 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM 4. A temperatura de um edif́ıcio varia de acordo com a temperatura exterior que varia periodicamente (baixa durante a noite e alta durante o dia). Não há aquecimento ou ar condicionado. 5. A temperatura de um edif́ıcio varia de acordo com a temperatura exterior que varia periodicamente (baixa durante a noite e alta durante o dia). Existe uma fonte de aquecimento que está a ser aplicada a uma taxa constante. 6. A temperatura de um edif́ıcio varia de acordo com a temperatura exterior que é constante. Não háaquecimento ou ar-condicionado. 7. A temperatura de um edif́ıcio varia com a temperatura exterior que é constante. Existe uma fonte de aquecimento que está a ser aplicada a uma taxa constante. 8. Uma substância radioativa desintegra-se a uma taxa proporcional à quantidade pre- sente. 9. A quantidade de cloro numa piscina varia da seguinte forma: o cloro é adicionado a uma taxa fixa, a água na piscina é bem misturada, e a água está a ser removida a partir da piscina de modo que o volume total seja constante. As equações (todas as constantes são positivas): (e1) x′ = −kx; (e2) x′ = −kx+ c; (e3) x′ = −kx1/3; (e4) x′ = kx ( 1− x K ) ; (e5) x′ = kx ( 1− x K ) + c; (e6) x′ = kx ( 1− x K ) − c; (e7) x′ = −k(x− sin(t)) + c; (e8) x′ = −k(x− sin(t)); (e9) x′ = −k(x− sin(t))− c; (e10) x′ = −k(x−K) + c; (e11) x′ = −k(x−K)− c; (e12) x′ = −k(x−K); FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 15 1.2. CONCEITOS BASE (e13) x′ = kx; (e14) x′ = kx+ c; (e15) x′ = kx− c; 1.2 Conceitos base Uma equação onde a incógnita é uma função e que relaciona os valores da função com os das suas derivadas e da variável independente denomina-se equação diferencial. Definição 1 Uma igualdade do tipo F (t, x, x′, x′′, . . . , x(n)) = 0 onde F é uma função que depende de uma variável independente t, real, x = x(t) é uma variável real dependente de t e x′, x′′, . . . , x(n) são as derivadas de x em ordem a t denomina-se equação diferencial ordinária de ordem n ou, mais simplesmente, EDO de ordem n. Vejamos dois exemplos. Exemplos 8 1. A equação y′ = y − t2 (1.7) onde t é a variável independente, y = y(t) é a função incógnita, denominada variável dependente e y′ a derivada de primeira ordem de y é uma equação diferencial or- dinária. Esta equação diferencial é de primeira ordem pois a derivada de ordem mais elevada que nela está envolvida é a primeira. 2. A equação y.y′′ − ty′ = 0 é um exemplo de uma equação diferencial de segunda ordem. FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 16 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Definição 2 Uma solução particular de uma EDO num intervalo I ⊂ R é uma função x = x(t) que satisfaça a equação nesse intervalo I, ou seja, uma função x com derivadas x′, x′′, . . . , x(n) que transformam a equação numa proposição verdadeira, qualquer que seja o valor de t ∈ I. Na equação (1.7) y′ está relacionada com um ponto (t, y), o que permite associar a cada ponto (t, y) o declive y′ = y − t2. Definição 3 Uma representação geométrica que a cada ponto do plano (t, y) associa o declive y′ calculado a partir de uma equação diferencial denomina-se campo de direções. Exemplo 9 A figura 1.5 representa o campo de direções da equação y′ = y − t2. -2 -1 0 1 -1 0 1 2 3 y t Figura 1.5: Campo de direções da equação y′ = y − t2. No campo 1.5 estão representados diversos declives, por exemplo no ponto (1, 0) está representado o declive y′ = 0− 12 = −1. Como um campo de direções lembra o movimento de um fluido, sugere a representação das linhas de corrente desse fluido, que serão curvas que em cada ponto têm declive igual FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 17 1.2. CONCEITOS BASE ao declive representado. Uma dessas curvas está representada na figura1.5. Se essa curva tiver equação y = f(t) teremos y′ = f ′(t), com f ′(t) igual ao declive representado no ponto (t, y). O valor desse declive é y − t2 = f(t)− t2, ou seja, conclúımos que f ′(t) = f(t)− t2 e que a curva é o gráfico de uma função solução da equação. Repare que poderiam ser traçadas outras curvas, correspondentes a outras soluções. Estas curvas denominam-se curvas integrais e cada uma é o gráfico de uma solução particular. Definição 4 Uma expressão que contenha todas as soluções particulares como casos par- ticulares designa-se por solução geral. Exemplo 10 A expressão y = c et +t2+2t+2, com c constante arbitrária real é a solução geral da equação (1.7). Repare que derivando a expressão obtém-se y′ = c et+2t+2 e que y − t2 = c et+2t + 2, obtendo-se y′ = y − t2. A curva integral representada na figura 1.5 é o gráfico da solução particular que passa no ponto (0, 1), ou seja y = − et+t2 + 2t+ 2, que se obtém da solução geral fazendo c = −1. Os campos de direções e as soluções das equações diferenciais permitem estudar o compor- tamento dos sistemas modelados pelas mesmas, constituindo duas fontes de informação complementares. Os campos de direções podem ser obtidos facilmente através de um com- putador e fornecem informação qualitativa sobre o sistema. Contudo, são aproximações com os erros que dáı podem advir. As soluções gerais das EDO descrevem completamente todas as soluções e portanto o comportamento do sistema mas nem sempre são posśıveis de encontrar. Abordaremos alguns tipos especiais de EDO para os quais é conhecida a solução e o processo de resolução. Exerćıcios 4 1. Verifique que y = at+ ekt é solução de y′ = ky + a(1 − kt). 2. Verifique que y(x) = x2+bx, b constante arbitrária, é solução da equação diferencial y′ = y/x+x. Admita que é a solução geral e determine as soluções particulares que verificam FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 18 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM (a) y(1) = 2, (b) y(−1) = 2 e y(−2) = 0, Exerćıcio 5 Considere o modelo de arrefecimento de um corpo descrito no Exemplo 7 e seja T = T (t) uma solução do problema com a condição inicial T (0) = T0. 1. Verifique que T (t) = c e−kt+Ts é solução da equação para qualquer c ∈ R e que T = Ts é uma solução particular da equação. 2. Calcule a solução particular indicada na figura 1.4. 3. Suponha que a temperatura ambiente não era constante mas sim periódica da forma Ts(t) = a cos(bt) + d. Justifique que a solução geral não é da forma T (t) = c e−kt+Ts(t). 1.3 Resolução de equações diferenciais de 1ª ordem Como vimos nestes exemplos, é importante conseguir conhecer as soluções das equações diferenciais. Até agora, foi indicada a respetiva forma. Mais geralmente, quando não conhecemos a forma das soluções, é importante ter um método que permita determinar a solução das equações, o que é diferente de simplesmente verificar se uma função é ou não solução. De facto, quando resolvemos a equação podemos não ter qualquer ideia prévia de qual será a solução. 1.3.1 Equações de variáveis separáveis Nos modelos de crescimento exponencial apresentados na secção 1.1.1, o crescimento de uma quantidade x, dado pela derivada x′, é diretamente proporcional ao valor da quanti- dade em cada instante de tempo, obtendo-se uma equação diferencial ordinária da forma FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 19 1.3. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM x′ = kx. Outra forma equivalente de descrever este modelo utiliza a noção de crescimento espećıfico, o quociente de x′ por x, que indica o crescimento relativamente à quantidade em causa. No modelo de crescimento exponencial o crescimento espećıfico é constante. Obtém-se assim a equação diferencial ordinária x′ x = k, x > 0, (1.8) com k > 0 parâmetro constante. Esta equação é equivalente à anterior para todos os valores de x não nulos. Mais geralmente, podemos assumir que k não é constante ao longo do tempo podendo, por exemplo, ser influenciado pelas estações do ano. Nesse caso o modelo que traduz o crescimento da população pode ser escrito como x′(t) x(t) = k(t) (1.9) onde k = k(t) uma função que depende do tempo t. Vamos exemplificar como se resolve uma equação diferencial ordinária, resolvendo a equação (1.9). Primitivamos ambos os membros da equação e obtemosP ( x′(t) x(t) ) = P (k(t)) ⇔ ln (x(t)) = K(t) + c onde c é uma constante arbitrária qualquer e K(t) é uma primitiva de k(t) Conclui-se que x(t) = eK(t)+c = eK(t) ec . Escrevemos ec = C e conclúımos que uma solução de (1.9) tem de ser da forma y(t) = C eK(t), com C > 0 arbitrário. A equação x′ = k(t)x que acabamos de resolver pertence a uma classe de equações dife- renciais ordinárias denominadas equações de variáveis separáveis para as quais existe um FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 20 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM processo de resolução padrão, permitindo obter a solução geral desde que se consigam efetuar as primitivas que surgem na resolução. Esta classe assume por isso especial re- levância, tornando-se importante reconhecer que uma dada equação é de facto de variáveis separáveis. Definição 5 Uma EDO de primeira ordem F (t, x, x′) = 0 é uma equação de variáveis separáveis se for posśıvel escrevê-la na forma f(x)x′ = g(t), onde f(x) não depende explicitamente de t e g(t) não depende de x. Ilustramos a definição com alguns exemplos de equações que pertencem ou não a esta classe. Exemplos 11 1. A equação x ′ x = r(t)(1 − x/K) é de variáveis separáveis, pois pode ser escrita na forma x ′ x(1− x K ) = r(t). 2. A equação x′+p(t)x = q(t) só é de variáveis separáveis em casos muito particulares. Por exemplo, se p(t) = t e q(t) = t2, não é de variáveis separáveis. Exerćıcios 6 1. Para cada um dos modelos seguintes justifique que as equações apresentadas são de variáveis separáveis (a) Modelo de propagação de uma epidemia do Exemplo 5. (b) Modelo de arrefecimento de um corpo do Exemplo 7. 2. Considere a equação x′ = kx + e − i, k, e e i constantes, apresentada no modelo de crescimento com migração do Exemplo 6. Verifique que se tomarmos k = k(t), e = e(t) e i = i(t), ou seja, considerarmos variações na fecundidade e migração a equação pode não ser de variáveis separáveis. FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 21 1.3. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM 3. Indique condições sobre as funções p e q para que a equação x′ + p(t)x = q(t) seja de variáveis separáveis. 4. Coloque as seguintes equações de variáveis separáveis na forma f(x)x′ = g(t). (a) x′t = tx; (b) x t + x′ = 0; (c) (tx′)2 + 2txx′ + x2 = x. Exerćıcio 7 Considere a equação do modelo exponencial x′ = kx, com k um parâmetro real constante. 1. Repita o processo anterior e conclua que x(t) = C ekt, C constante arbitrária, é a solução geral da equação do modelo de crescimento exponencial. 2. Verifique que x(t) = ek(t−t0) também é uma solução de x′ = kx, qualquer que seja t0 ∈ R. Qual a relação entre as soluções desta forma e as da forma x(t) = C ekt? 3. Indique uma solução da equação x′ = 2x que verifique x(1) = 3. 4. Considere y o número de bactérias numa população cujo crescimento verifica o modelo exponencial com uma constante de proporcionalidade entre y′(t) e y(t) de 0, 1 h−1, sendo h a unidade de tempo hora. Suponha que no instante t = 0 h são colocados 1000 bactérias numa cultura. Quantas bactérias teremos ao final de um dia, assumindo que o modelo se mantém sempre válido ao longo desse tempo? E se tivéssemos colocado apenas uma bactéria no instante t = 0, quantas teŕıamos ao final de um dia? Quantos dias seriam necessários para obtermos a mesma quantidade de bactérias que obtivemos quando começámos com 1000 bactérias no instante inicial? Reconhecendo que uma equação é de variáveis separáveis, seguimos o processo seguinte para a resolver e obter a solução geral FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 22 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM 1. Colocamos a equação na forma indicada na Definição 5, f(x)x′ = g(t); 2. Primitivamos f(x(t))x′(t) e g(t), obtendo F e G tais que F ′(x(t)) = f(x(t))x′(t) e G′(t) = g(t); 3. Utilizamos F e G para escrever a equação F (x(t)) = G(t)+c, c constante arbitrária, que é equivalente a f(x)x′ = g(t); 4. Sendo posśıvel, resolvemos a equação em ordem a x(t), ou seja, invertemos a função F , obtendo como solução geral x(t) = F−1 (G(t) + c) , c constante arbitrária. Se não for posśıvel inverter F , não realizamos o passo 4. A expressão F (x(t)) = G(t) + c, apesar de não definir x explicitamente, oferece uma condição que o definem (dizemos que define x implicitamente). Por vezes será posśıvel obter a expressão expĺıcita apenas restringindo o domı́nio onde a solução é válida. Exemplo 12 Recorremos novamente à equação (1.3) do modelo de crescimento loǵıstico e exempificamos como executar os passos para resolver esta equação de variáveis separáveis. x′ = rx ( 1− x K ) . 1. A equação pode ser escrita na forma 1 x ( 1− x K )x′ = r reconhecendo-se que é de variáveis separáveis pois está na forma f(x)x′ = g(t), com f(x) = 1 x(1− x K ) e g(t) = r (repare que em f não figura nem x′ nem t e em g não figura nem x′ nem x). FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 23 1.3. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM 2. Como f é uma função racional, primitiva-se fazendo 1 x(1− x K ) = 1 x + 1 K−x . Obtemos F (x(t)) = P ( x′(t) x(t) + x′(t) K − x(t) ) = ln(x(t))− ln(K − x(t)) = ln ( x(t) K − x(t) ) A primitiva de g é G(t) = rt. 3. Obtemos a equação equivalente ln ( x K−x ) = rt+ c, c constante arbitrária. 4. Resolve-se em ordem a x, realizando os cálculos necessários para inverter a função F (x) = ln ( x K−x ) . Aplicamos a exponencial x K − x = C e rt tomando C = ec constante arbitrária positiva. Resolvendo em ordem a x ficará x = KC ert 1 + C ert , C constante arbitrária positiva que será a solução geral de (1.3). Apresentamos também exemplos em que não se consegue obter uma expressão expĺıcita para F ou em que para o conseguir se têm que colocar restrições ao domı́nio. Exemplo 13 1. A equação 2xx′ = cos t resolve-se obtendo x2 = sin t + c. Esta equação pode ser resolvida em ordem a x obtendo x(t) = √ sin t+ c mas estaremos a obrigar a função de estado x a ser não negativa. 2. A equação (ln x)x′ = t resolve-se obtendo x(ln x − 1) = t2/2 + c. Não é evidente como se pode resolver esta expressão em ordem a x, pelo que a solução geral pode ser apresentada nesta forma impĺıcita. Exerćıcios 8 FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 24 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM 1. Resolva as seguintes equações que ocorrem em genética (a) dv dt = k v 2−v , (0 < v < 2) com a condição inicial v = 1 em t = 0, (b) dy dx = k ( 1− y−1 K )m , (k,K > 0) para m = 1, 2, 3 com a condição inicial y = 1 em x = 0. 2. Resolva as equações (a) x′ = x/t, para x > 0 e t > 0 (b) y′ = ay2, (c) du/dt = u2t, (d) dy/dx = −x/y. 3. Entre 1879 e 1881 foram introduzidos 435 robalo-muge na Báıa de São Francisco, oriundos do Oceano Atlântico. Em 1899 a rede comercial capturava 559733 kg de robalos-muge na mesma báıa. Assuma que o peso médio de um robalo-muge é 500 g e que a captura corresponde a um décimo da população total. O crescimento da população foi tão rápido que é razoável considerá-lo exponencial e modelá-lo com a equação dN/dt = λN , onde N = N(t) é o número de robalos-muge em função do tempo. Estime λ por defeito. 4. Resolva as equações (a) y′ = (2− y)(5− y), (b) du/dt = 1 2 (3− u)(−u), (c) dv/dt = v2 − 9, (d) dy/dx = −x/y. 5. O crescimento de uma célula depende do fluxo de nutrientes através da sua su- perf́ıcie. Assuma que por um peŕıodo limitado de tempo a taxa de crescimento da FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 25 1.3. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ªORDEM massa da célula dm/dt é proporcional à área da superf́ıcie. Se a forma da célula em crescimento não se alterar, a área da superf́ıcie é proporcional ao quadrado de uma sua dimensão linear (por exemplo diâmetro, se for esférica) e, consequente- mente, proporcional a m2/3. Logo dm/dt = km2/3 para uma certa constante de proporcionalidade k > 0. Resolva esta equação diferencial e interprete o resultado. 1.3.2 Equação linear de 1ª ordem Nem todos os modelos darão origem a equações de variáveis separáveis. Na realidade, quando modificamos esses modelos de forma a contemplarem mais caracteŕısticas rele- vantes pode acontecer que obtenhamos equações que já não pertencem a essa classe. O exemplo seguinte ilustra essa situação Exemplo 14 No Exemplo 6 obtivemos a equação (1.6) x′ = kx+ e− i Onde k, e e i são parâmetros reais constantes que traduzem fecundidade da população, a taxa constante de emigração e a taxa constante de imigração, respetivamente. Esta é uma equação de variáveis separáveis. No entanto, caso a fecundidade ou a migração não sejam constantes ao longo do tempo, a equação pode não ser de variáveis separáveis, como verificado no exerćıcio 2 dos Exerćıcios 6. Uma equação para este modelo será então x′ = k(t)x+m(t). (1.10) onde k(t), m(t) são funções da variável independente t. Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem como podemos ver pela definição seguinte. FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 26 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Definição 6 Uma equação diferencial da forma x′ + p(t)x = q(t), (1.11) onde x é a variável dependente e t a variável independente denomina-se equação diferencial linear de primeira ordem. Repare que há equações diferenciais lineares de primeira ordem que são equações de variáveis separáveis e que há equações de variáveis separáveis que não são equações lineares de primeira ordem. Exemplos 15 1. A equação x′+tx = t é de variáveis separáveis e também é linear de primeira ordem; 2. A equação x′+ tx2 = t é de variáveis separáveis mas não é linear de primeira ordem; 3. A equação x′+ tx = t2 não é de variáveis separáveis mas é linear de primeira ordem. O processo resolver as equações diferenciais lineares de primeira ordem é conhecido. Va- mos apresentá-lo seguindo um exemplo. Exemplo 16 Adaptando o Exemplo 6, a equação N ′ = sin tN + 2t e− cos t, (1.12) pode ser o modelo para a evolução de uma população, N(t), com fertilidade e migração não constantes. Assumimos que λ(t) = sin t descreve sazonalidade na fertilidade e m(t) = 2t e− cos t descreve uma migração tendencialmente crescente ao longo do tempo mas com algumas oscilações sazonais. Podemos reescrever a equação como N ′ − sin tN = 2t e− cos t e multiplicar o primeiro membro por eP (− sin t) = ecos t, obtendo ecos tN ′ − ecos t sin tN = 2t. Esta multiplicação FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 27 1.3. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM permite obter no primeiro membro da equação a derivada do produto ecos tN . O fator eP (− sin t) denomina-se fator integrante porque a sua multiplicação permite obter as curvas integrais (soluções) da equação, como se verá. A equação toma a forma ( ecos tN )′ = 2t (1.13) o que permite concluir que ecos tN = t2 + c, c constante arbitrária. Logo, qualquer função da forma N(t) = t2 e− cos t+c e− cos t, para algum c ∈ R, será uma solução. A solução particular que descreve a evolução desta população no caso da existência de apenas um indiv́ıduo no instante t = 0, N(0) = 1, é dada pelo valor de c obtido resolvendo a equação 1 = 0 + c e− cos 0, ou seja c = e, obtendo-se a solução particular N(t) = t2 e− cos t+e1−cos t. 1. Coloca-se a equação na forma x′ + p(t)x = q(t); 2. Multiplica-se a equação pelo fator integrante eP (t), onde P é a primitiva de p, obtendo-se eP (t) x′ + p(t) eP (t) x = eP (t) q(t); 3. Determina-se a primitiva P ( eP (t) q(t) ) ; 4. Como ( eP (t) x )′ = eP (t) x′ + p(t) eP (t) x escreve-se a equação na forma ( eP (t) x )′ = ( P ( eP (t) q(t) ))′ concluindo-se que eP (t) x = P ( eP (t) q(t) ) + c, c constante arbitrária; 5. Resolve-se em ordem a x, obtendo a solução geral x(t) = x = e−P (t) P ( eP (t) q(t) ) + c e−P (t), c constante arbitrária. Observação 2 Tal como no processo de resolução das equações de variáveis separáveis procuramos obter uma igualdade entre duas expressões que saibamos primitivar. Neste exemplo foi a igualdade (1.13) onde figuram (ecos tN) ′ (onde é expĺıcita qual a função que está derivada) e 2t (primitiva imediata). FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 28 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM Resumidamente, as equações diferenciais lineares de primeira ordem x′ + p(t)x = q(t) resolvem-se multiplicando pelo fator integrante eP (t), onde P (t) é a primitiva de p(t). A resolução pode ser esquematizada nos passos seguintes. Exerćıcios 9 1. Resolva as equações diferenciais lineares de primeira ordem do tipo x′+p(t)x = q(t) para as seguintes expressões de p e q. (a) p(t) = 1/t, q(t) = sin t, (b) p(t) = 2t, q(t) = e−t 2 , (c) p(t) = −2t 1+t2 , q(t) = 3. 2. Resolva os seguintes problemas (a) xy′ + y = x2, y(1) = 0, (b) y′ + y√ x = x2, y(x0) = y0, (c) y′ + cotg x y = x, y(2) = 3, (d) (1− x2)y′ + y = 2x, y(x0) = y0. 3. Retome o exerćıcio 3 nos Exerćıcios 8 e resolva-o considerando que um ano civil corresponde a um intervalo de amplitude 2π na variável t com as passagens de ano a coincidir com os instantes 2kπ, k ∈ Z, a fertilidade é sazonal e tem pico superior igual a ω > 0 no solst́ıcio de Junho e pico inferior igual a 0 no solst́ıcio de Dezembro e existe uma caça constante diária de d indiv́ıduo. Analise qual deverá ser o valor d de forma a controlar o efetivo da população ao longo do tempo. os. FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 29 1.3. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM 1.3.3 Métodos numéricos para a resolução de EDO Existem diversos métodos anaĺıticos de resolução de equações diferenciais de 1ª ordem, alguns dos quais abordámos nas secções anteriores. No entanto, estes aplicam-se apenas para certas classes de equações. Quando não é posśıvel encontrar a solução através de métodos anaĺıticos usam-se métodos numéricos para obter uma solução aproximada. Vamos ilustrar um desses métodos - o método de Euler (ou Taylor). Este método baseia-se na fórmula de Taylor. Considere-se o seguinte problema x′ = f(t, x(t)) x(t0) = x0. Pretende-se encontrar valores aproximados da solução x(t) em certos pontos num certo intervalo [a, b]. Primeiro vamos escolher n+1 pontos nesse intervalo: a = t0, t1, . . . , tn = b igualmente espaçados i.e ti+1− ti = h para todo i = 0, . . . , n−1 (basta escolher h = b−an ). Ao conjunto de pontos {t0, . . . , tn} dá-se o nome de malha e a h dá-se o nome de passo, no sentido em que tj+1 = tj + h = t0 + (j + 1)h com i = 0, . . . , n− 1. Vamos supor que a solução x(t) tem derivadas cont́ınuas até à segunda ordem no intervalo [a, b]. Então, usando a fórmula de Taylor de x(t) no ponto t0 de ordem 2, obtemos x(t) = x(t0) + x ′(t0)(t− t0) + x′′(c) (t− t0)2 2 com c ∈]t0, t[. Então, x(t) = x(t0)+ f(t0, x(t0))(t− t0)+x′′(c) (t−t0) 2 2 . Sabemos que o resto de Lagrange de ordem 1, R1 = x ′′(c) (t− t0)2 2 , verifica lim t→t0 R1 t− t0 = 0 i.e é pequeno desde que t esteja perto de t0. Podemos então dizer que, para h suficientemente pequeno x(t1) = x(t0 + h) ≈ x(t0) + x′(t0)h = x(t0) + f(t0, x(t0))h = x1. Obtivemos assim um valor aproximado da solução em t = t1. Podemos aplicar agora o mesmo racioćınio no ponto t1 para obter um valor aproximado de x(t2):x(t2) = x(t1 + h) ≈ x(t1) + x′(t1)h = x(t1) + f(t1, x(t1))h, FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 30 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM usando x1 como valor aproximado de x(t1), obtemos: x2 = x1 + f(t1, x1)h ≈ x(t1) + f(t1, x(t1))h. Repetindo o processo para os restantes pontos da malha, obtemos uma sucessão (xn) definida por recorrência x0 = x(t0) xi+1 = xi + f(ti, xi)h, i = 0, . . . n− 1. Exemplo 17 Considere-se o seguinte problema x′ = xt, x(0) = 1. Vamos usar o método de Euler no intervalo [0, 1] com h = 0.2. Então, tem-se x0 = x(t0) = 1 xi+1 = xi + tixi0.2, i = 0, . . . 4 Calculando explicitamente tem-se x0 = 1, x1 = 1 + 0.2 ∗ 1 ∗ 0.2 = 1.0400, x2 = 1.04 + 0.4 ∗ 1.04 ∗ 0.2 = 1.1232, x3 = 1.2580, x4 = 1.4593 e x5 = 1.7511 (valores arredondados à quarta casa decimal). Repetindo mas agora para h = 0.1, tem-se x0 = x(t0) = 1 xi+1 = xi + (tixi)0.1, i = 0, . . . 9 Calculando explicitamente tem-se x0 = 1, x1 = 1, 0100, x2 = 1, 0302, x3 = 1.0611, x4 = 1.1036, x5 = 1.1587, x6 = 1.2283, x7 = 3142, x8 = 1.4194, x9 = 1.5471 e x10 = 1.7018(valores arredondados à quarta casa decimal). Note que as estimativas para os mesmos pontos diferem quando escolhemos passos di- ferentes. Por exemplo, x(0.4) ≈ x2 = 1.1232 e no segundo caso x(0.4) ≈ x4 = 1.1036. Compare os valores na seguinte tabela: FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 31 1.3. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM ti 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 xi, h=0.2 1 1.040 1.123 1.258 1.459 1.751 xi, h=0.1 1 1.010 1.030 1.061 1.104 1.159 1.228 1.314 1.419 1.547 1.702 x(ti) 1 1.005 1.020 1.046 1.083 1.133 1.197 1.278 1.377 1.499 1.649 Na figura podemos ver a solução anaĺıtica e as aproximações obtidas pelas duas sucessões, no intervalo [0, 1]. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 Figura 1.6: Comparação da solução anaĺıtica do problema x′ = xt, x(0) = 1 no intervalo [0, 1], e das soluções aproximadas usando o método de Euler com passo h = 0.2 (preto) e passo h = 0.1 (vermelho). Repare-se que neste processo existem duas aproximações e consequentemente temos dois tipos de erros associados a essas aproximações em cada iterada: o erro associado ao resto de Lagrange e o erro por usarmos xi como valor aproximado de x(ti), obtido na iterada anterior (só não existe na primeira). Como consequência, quanto menor for o passo melhor FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 32 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM será a aproximação e quanto mais longe estivermos do ponto referente à condição inicial, maior é o erro, pela acumulação dos erros nas várias iteradas. Este método é pouco utilizado pois para passos grandes o erro é grande e para passo pequeno o método tem um grande custo computacional. Existem outros métodos mais eficientes para a resolução de EDO como o método de Runge-Kutta. Exerćıcios 10 1. Considere-se o seguinte problema x′ = t− x+ 2, x(0) = 2. Escreva a sucessão dada pelo método de Euler no intervalo [0, 1] com h = 0.1. Determine as 3 primeiras iteradas. 2. Considere-se o seguinte problema x′ = te−x + t 1 + t2 , x(0) = 0. Escreva a sucessão dada pelo método de Euler no intervalo [0, 2] usando uma malha com 9 pontos. Determine as 2 primeiras iteradas. FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 33 1.3. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 34 Caṕıtulo 2 Equações diferenciais de 2ª ordem e sistemas de equações 2.1 Modelos com EDO de 2ª ordem e sistemas de EDO Muitos modelos envolvem a interação entre duas ou mais quantidades que influenciam mutuamente a sua evolução. Podem ser interações de animais ou plantas, nomeadamente uma espécie de árvores que reduz a luz incidente sobre uma outra espécie de planta; uma espécie que providencia abrigo para as outras espécies; polinização de uma espécie de planta que é realizada por uma espécie animal; solo que é envenenado por uma espécie, inibindo assim o crescimento de uma certa planta. Nestes casos, temos duas funções incógnitas e em vez de apenas uma equação diferencial vamos obter um sistema de equações diferenciais. Exemplo 18 (Interação entre duas populações) Numa área fechada estão presentes duas espécies animais. Representamos por N1 = N1(t) e N2 = N2(t) o número de indiv́ıduos de cada uma das espécies como uma função do 35 2.1. MODELOS COM EDO DE 2ª ORDEM E SISTEMAS DE EDO tempo. Neste exemplo, vamos considerar que a primeira espécie é uma fonte de alimento para a segunda espécie. Esta relação pode ser descrita pelo seguinte sistema de equações: N ′1 = aN1 − bN2 N ′2 = cN1 + dN2 , (2.1) onde a, c > 0 representam a taxa de crescimento de cada uma das populações e b > 0 a taxa de mortalidade por predação da segunda espécie e d > 0 a contribuição dessa predação para o crescimento da segunda espécie. Podem ser considerados outro tipo de interações a partir de relações bióticas entre duas espécies, sejam elas de cooperação, comensalismo, exploração ou competição. Importa considerar por um lado a dinâmica de cada uma das espécies e por outro a forma como a presença de cada uma influencia a outra. A figura 2.1 apresenta um esquema das relações existentes num sistema de interação entre duas espécies. N1 N2 N ′ 1 N ′ 2 a d bc Figura 2.1: Interação entre duas espécies. O esquema representa a influência que cada espécie pode ter sobre si mesma e sobre a outra. Em geral, estes modelos podem ser descritos pelo seguinte sistema de equações diferenciais ordinárias: N ′1 = aN1 + bN2 N ′2 = cN1 + dN2, a, b, c, d ∈ R. (2.2) FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 36 CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM E SISTEMAS DE EQUAÇÕES Observe que só faz sentido considerar estes sistemas se uma das constantes b ou c for não nula, caso contrário o sistema reduz-se a duas equações independentes, para funções de estado diferentes, ou seja modelos independentes sem relação entre si. Consideremos, por exemplo, b 6= 0. Da primeira equação do sistema obtém-se N2 = 1b (N ′1 − aN1) que se substitui na segunda equação ficando 1 b (N ′1−aN1)′ = cN1+ db (N ′1−aN1) que é equivalente a N ′′1 − (a + d)N ′1 + (ad− cb)N1 = 0. Repare que as soluções do sistema serão as soluções desta equação de segunda ordem. Exerćıcios 11 1. Para cada uma das relações bióticas seguintes indique qual o sinal que os parâmetros b e d devem ter no sistema (2.2). (a) Cooperação, seja simbiose ou mutualismo; (b) Comensalismo, sendo N1 a quantidade da espécie que beneficia; (c) Competição; (d) Exploração, seja predação ou parasitismo, sendo N1 a quantidade da espécie que beneficia. 2. Considere o sistema N ′1 = N1 − 12N2 N ′2 = 2N1 + 3N2, (a) Que tipo de relação biótica pode traduzir este sistema? (b) Deduza a equação diferencial de segunda ordem que é equivalente a este sis- tema. (c) Considere que a capacidade de suporte do habitat em causa para a espécie 1 é de 1000. Considere que para a espécie 2 o crescimento pode ser tomado como exponencial. Modifique o sistema de acordo com estas hipóteses. FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 37 2.1. MODELOS COM EDO DE 2ª ORDEM E SISTEMAS DE EDO Mais geralmente, podemos considerar um sistema para n espécies que se relacionam entre si. Podemos escrever esse sistema na forma matricial X ′ = AX, onde X = (x1(t), . . . , xn(t)) é um vetor cujas componentes são as funções de estado, X ′ = (x′1(t), . . . , x ′ n(t)) é o vetor obtido pela derivação componente a componente de X e A é uma matriz quadrada deordem n. Estes sistemas designam-se por sistemas de n equações lineares de primeira ordem. Estes sistemas também podem ser designados por sistemas lineares de EDO de ordem n pois, como exemplificámos na discussão seguinte ao Exemplo 18 no caso de ordem 2, um sistema de n equações lineares de primeira ordem é equivalente a uma equação diferencial ordinária de ordem n. Para além disso, o processo de transformação pode ser feito no sentido inverso e a partir de uma equação diferencial de ordem n obter um sistema de n equações. Por exemplo, a partir de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem da forma x′′ = ax, a parâmetro real, introduzimos uma nova função de estado y = x′ (que pode ser interpretada como velocidade). Como y′ = x′′ obtém-se x′ = y y′ = ax, Exerćıcio 12 1. Escreva o sistema N ′1 = N1 + 2N2 −N3 N ′2 = 2N1 + 5N2 N ′3 = −N3 + 23N2, na forma X ′ = AX , onde X = (N1, N2, N3), X ′ = X = (N ′1, N ′ 2, N ′ 3) e A é uma matriz quadrada de ordem 3. Deduza a equação diferencial de terceira ordem que é equivalente a este sistema. 2. Escreva a equação x′′ + 2x′ − x = 0 sob a forma de sistema. FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 38 CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM E SISTEMAS DE EQUAÇÕES As equações diferenciais ordinárias de ordem n também aparecem naturalmente em muitos modelos que têm em conta a variação da própria taxa de variação da função estado. Por outro lado, muitos dos fenómenos naturais são oscilatórios, desde o nosso ritmo circadiano até ao pulsar das luz dos pirilampos. Estes fenómenos não podem ser descritos por equações diferenciais de primeira ordem com apenas uma função incógnita. O exemplo seguinte relaciona a aceleração de um oscilador com a sua posição ao longo do tempo. Exemplo 19 (Um oscilador linear) Figura 2.2: Oscilador linear, constitúıdo por uma massa suspensa por uma mola e sujeita à gravidade. A massa mover-se-á sempre que a força exercida pela mola e a força da gravidade não se anularem mutuamente. A figura 2.2 representa um corpo em pendurado do teto por uma mola e sujeito à força da gravidade. Quando o corpo for colocado fora do ponto de repouso ele vai oscilar na vertical. Como descrever essa oscilação? Definamos x = x(t) como a posição do corpo ao longo do tempo t, medida num eixo vertical e direcionado para baixo. O valor x = 0 desse eixo corresponde à posição em repouso do corpo. Nessa posição a força elástica da mola é cancelada pelo peso do corpo, sendo a força resultante F nula, dáı o corpo estar em repouso. FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 39 2.1. MODELOS COM EDO DE 2ª ORDEM E SISTEMAS DE EDO Se x < 0, o corpo está acima da posição de repouso, a força elástica é inferior ao peso e o corpo sofre uma força F = F (x) para baixo, ou seja, positiva. Se x > 0, o corpo está abaixo da posição de repouso, a força elástica é superior ao peso e o corpo sofre uma força para cima, ou seja, negativa. Conclui-se que F (x) tem sinal contrário a x. Para pequenas deslocações de x em relação ao equiĺıbrio é um facto experimental que F é diretamente proporcional a x, ou seja F (x) = −kx, (2.3) para uma certa constante k > 0. A partir da função posição x = x(t) podemos definir a função velocidade, v(t) = x′(t), e a função aceleração x′′(t). Pela lei de Newton F e x′′ estão relacionadas por mx′′ = F (x). (2.4) Das equações (2.3) e (2.4) obtemos mx′′ = −kx que escrevemos como mx′′ + kx = 0. (2.5) Esta equação diferencial ordinária descreve o comportamento do oscilador. Na ausência de fricção espera-se que a mola oscile indefinidamente - oscilações sustenta- das. No próximo exemplo vamos ver um modelo que pode exibir oscilações mas que vão diminuindo de amplitude - oscilações amortecidas. Exemplo 20 (SIR) Vamos agora estudar o modelo clássico SIR com dinâmica vitais (nascimentos e mortes). Considerando uma certa doença infeciosa, pretende-se estudar a evolução do número de infeciosos numa população ao longo do tempo. Relativamente a esta doença, os indiv́ıduos podem ser classificados como suscet́ıveis, infecciosos ou recu- perados com imunidade. O número de indiv́ıduos num instante de tempo t em cada uma das classes será denotado por S = S(t), I = I(t) e R(t). Considere que os indiv́ıduos nascem suscet́ıveis, a uma taxa bN proporcional à população existente e que morrem à FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 40 CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM E SISTEMAS DE EQUAÇÕES S I R cI SN aIbN bS bI bR Figura 2.3: Diagrama mostrando as transições entre estados do modelo SIR. Os parâmetros a, b e c designam taxa de recuperação, taxa de natalidade e mortalidade e contactos entre indiv́ıduos, respetivamente. mesma taxa independentemente do seu estado. Desta forma a população total mantém-se constante ao longo do tempo. A entrada de novos infeciosos é semelhante ao Exemplo 5, cI(t)S(t)/N . Para além disso consideramos uma taxa de recuperação de a indiv́ıduos por unidade de tempo. O diagrama mostrando as transições entre estados do modelo SIR está representado na figura 2.3. O sistema de equações que descreve a evolução de uma epidemia ao longo do tempo será S ′ = bN − cI S N − bS I ′ = cI S N − aI − bI R′ = aI − bR Para certas combinações dos parâmetros a, b e c > 0 a solução deste modelo exibe os- cilações amortecidas que representam epidemias recorrentes, mas com amplitudes cada vez mais pequenas. O próximo exemplo pode ser visto como tendo por base o caso apresentado no Exemplo 18. Contudo, neste caso a interação entre as duas populações não é linear. Exemplo 21 (Interação predador-presa – modelo Lotka-Volterra) Vamos considerar duas espécies, os predadores cuja população é denotado por y e a sua presa com população x. Vamos assumir que esta presa é o único fornecimento de alimentos FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 41 2.1. MODELOS COM EDO DE 2ª ORDEM E SISTEMAS DE EDO para os predadores. Também assumimos que, na ausência de predadores, a população de presas cresce a uma taxa proporcional à população atual. Isto é, x′ = ax, como no exemplo de crescimento exponencial 4. Quando os predadores estão presentes, assumimos que a população de presas diminui a uma taxa proporcional ao número de encontros predador/presa. Tal como no modelo SI e SIR, vamos considerar que os encontros são da forma bxy onde b > 0. Analogamente, para os predadores assumimos que na ausência de presas a população de predadores cresce a uma taxa proporcional à população atual. Quando há presas, a população de predadores aumenta a uma taxa proporcional aos encontros predador/presa. Assim, o nosso modelo predador-presa pode ser representado pelo seguinte sistema de EDO x′ = ax− bxy y′ = −cy + dxy, a, b, c, d ∈ R+. (2.6) Na figura 2.4 está representado um exemplo desta interação com base em dados reais. O modelo consegue reproduzir este fenómeno. Com efeito, para certas combinações dos parâmetros, as soluções do sistema correspondem a oscilações do número de presas e predadores desfasadas no tempo. Exerćıcios 13 1. Considere que o oscilador linear está sujeito a atrito e que este é proporcional à velocidade da massa com uma constante de proporcionalidade µ > 0. Escreva a equação que modela o estado do oscilador linear. 2. Modifique o modelo SIR, do Exemplo 20, de forma a incluir perda de imunidade i.e os indiv́ıduos saem da classe R para S a uma taxa d proporcional ao número de indiv́ıduos em R. Este é um modelo de imunidade temporária. 3. Modifique o modelo predador–presa de modo a que o crescimento do predador tenha em contaa competição intra-espećıfica. FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 42 CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM E SISTEMAS DE EQUAÇÕES Figura 2.4: Exemplo de uma relação predador–presa, com base em dados reais. Exerćıcio 14 Faça corresponder as equações aos problemas descritos (mais do que uma equação pode coincidir com uma descrição, e vice-versa). Os problemas: 1. Um corpo está pendurado por uma mola, estando sujeito à força da gravidade. Todo o sistema, incluindo o local onde a mola está pendurada está sujeito a uma oscilação periódica. 2. Um corpo está pendurado por uma mola, estando sujeito à força da gravidade. A elasticidade da mola varia com a temperatura ao longo do dia. 3. Um corpo de ferro está pendurado por uma mola sobre uma base com um ı́man, estando sujeito à força da gravidade e à força magnética do ı́man. 4. Um corpo de ferro está pendurado por uma mola sobre uma base com um eletróıman, estando sujeito à força da gravidade e à força magnética do ı́man que oscila. FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 43 2.2. EQUAÇÕES LINEARES DE 2ª ORDEM 5. No habitat de matagal mediterrâneo vivem linces ibéricos e coelhos-bravos. Os efeitos da interação entre as espécies dependem dos contactos entre as mesmas. Note que o matagal suporta um número limitado de coelhos. 6. As rémoras beneficiam em viverem associadas a tubarões. Estes, no entanto, não obtém benef́ıcio nem prejúızo da presença das rémoras. Note que o habitat marinho suporta um número limitado de tubarões. As equações (todas as constantes são positivas): (e1) x′ = −k(x− sin(t))− c; (e2) x′ = ax ( 1− x K ) − bxy y′ = −cy + dxy, ; (e3) x′ = ax+ bxy y′ = cy ( 1− y K ) , ; (e4) x′ = y y′ = −kx+ a sin(bt), ; (e5) x′′ = −kx+ a sin(bt) (x−x0)2 ; (e6) x′′ = −kx+ a (x−x0)2 ; (e7) x′′ + (a sin(t) + b)x = 0 (e8) x′′ + kx = a sin(bt) 2.2 Equações lineares de 2ª ordem Para o modelo de oscilador linear apresentado no Exemplo 19 deduzimos a equação dife- rencial de segunda ordem (2.5), mx′′+kx = 0, onde x = x(t) é a variável dependente e t a variável independente (que não aparece explicitamente na equação) e m, t são constantes positivas. Esta equação é um exemplo da classe de equações definida a seguir. Definição 7 Uma equação diferencial ordinária do tipo f2(t)x ′′ + f1(t)x ′ + f0(t)x = g(t) denomina-se equação linear de segunda ordem. FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 44 CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM E SISTEMAS DE EQUAÇÕES 1. Se as funções fi são constantes dizemos que se trata de uma equação diferencial linear de segunda ordem de coeficientes constantes. 2. Se g for constante nula esta equação é classificada como homogénea. Exemplo 22 1. A equação mx′′ + kx = 0, com m, t constantes positivas é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e homogénea. 2. A equação mx′′+(a sin(t)+b)x = 0, comm, a e b constantes positivas é uma equação linear de segunda ordem homogénea mas de coeficientes não constantes. 3. A equação mx′′+kx = a sin(bt), com m, k, a e b constantes positivas é uma equação linear de segunda ordem de coeficientes constantes mas não homogénea. Descrevemos agora como encontrar a solução geral de uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e homogénea, ax′′ + bx′ + cx = 0 com a, b e c ∈ R e a 6= 0. Suponha que representamos por Dx a derivada de x, ou seja Dx = dx dt = x′. Consequentemente, D2x = D(Dx) representa a segunda derivada de x. O śımbolo D é interpretado como um operador diferencial, D = d dt que transforma uma variável na sua derivada em ordem a t. A equação diferencial linear homogénea de segunda ordem de coeficientes constante pode ser reescrita utilizando D, obtendo-se aD2x+ bDx+ cx = 0. Esta última expressão pode ser interpretada como (aD2 + bD + c)x = 0 FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 45 2.2. EQUAÇÕES LINEARES DE 2ª ORDEM que será equivalente a escrever a(D − α)(D − β)x = 0 (2.7) caso a equação caracteŕıstica aλ2 + bλ + c = 0 possua soluções reais α e β. Observe que as funções x(t) = k1 e βt verificam (D − β)x = 0. De facto, (D − β)k1 eβt = βk1 e βt−βk1 eβt = 0. Logo a(D − α)(D − β)k1 eβt = 0 e x(t) = k1 eβt é solução da equação (2.7). Também as funções da forma x(t) = k2 e αt verificam (D − α)x = 0 e consequentemente também são solução de (2.7) (a equação também se poderia escrever a(D−β)(D−α)x = 0). Caso α e β sejam distintos, não há outro tipo de funções que verifiquem a equação e a respetiva solução geral é x(t) = k1 e βt+k2 e αt, k1, k2 constantes arbitrárias. Infelizmente este argumento não permite resolver (2.5) pois esta é da forma (mD2+k)x = 0, com m, k > 0 e a equação caracteŕıstica mλ2 + k = 0 não tem ráızes reais. No entanto, pode-se verificar que uma equação do tipo ax′′ + bx = 0 (a, b > 0), ou seja x′′ = −b/ax tem como soluções x(t) = k1 cos( √ b/at) ou x(t) = k2 sin( √ b/at), não admitindo nenhum outro tipo de soluções. A solução geral de uma equação deste tipo será x(t) = k1 cos( √ b/at) + k2 sin( √ b/at) com k1 e k2 constantes arbitrárias. De uma forma geral, para resolver uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e homogénea aplicamos o teorema seguinte. Teorema 2.1 Considere a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e homogénea ax′′ + bx′ + cx = 0 e a respectiva equação caracteŕıstica aλ2 + bλ + c = 0. Pode ocorrer um dos seguintes casos: 1. A equação caracteŕıstica tem duas ráızes reais distintas α e β. A solução geral da equação diferencial é x(t) = k1 e βt+k2 e αt, k1, k2 constantes arbitrárias, FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 46 CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM E SISTEMAS DE EQUAÇÕES 2. A equação caracteŕıstica tem uma ráız dupla real α. A solução geral da equação diferencial é x(t) = k1 e αt +k2t e αt, k1, k2 constantes arbitrárias, 3. A equação caracteŕıstica tem um par de ráızes complexas conjugadas α ± β i. A solução geral da equação diferencial é x(t) = k1 e αt cos(βt) + k2 e αt sin(βt), k1, k2 constantes arbitrárias. Exemplo 23 Calculemos a solução geral da equação (2.5) no Exemplo 19. A respetiva equação caracteŕıstica é mλ2 + k = 0, cujas soluções são λ = ± √ k/m i. Logo a solução geral é x(t) = k1 cos( √ k/mt) + k2 sin( √ k/mt) com k1 e k2 constantes arbitrárias. Em particular observaremos uma oscilação perpétua do objecto. Se quisermos obter uma solução particular teremos de indicar a posição e a velocidade num mesmo e determinado instante de tempo, por exemplo x(0) = 0 e x′(0) = 1, o que permitirá determinar a única solução particular que verifica essas condições, através da substituição na solução geral e cálculo dos valores de k1 e k2. Com x(0) = 0 e x′(0) = 1, obtém-se x(0) = 0 x′(0) = 1 , ou seja, k1 = 0 k2 √ k/m = 1 , concluindo-se que x(t) = √ m/k sin( √ k/mt) é a solução particular pretendida. Exerćıcios 15 1. Resolva as equações diferenciais (a) x′′ − 6x′ + 9x = 0, (b) x′′ − 2x′ = 0, FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 47 2.2. EQUAÇÕES LINEARES DE 2ª ORDEM (c) x′′ − 6x′ + 9x = 0, (d) 2x′′ + 3x = 0, (e) p2x′′ = −x. 2. Resolva os seguintes problemas (a) 2x′′ + 7x′ + x = 0, x(0) = 0, x′(0) = 1, (b) 4x′′ + 4x′ + 5x = 0, x(0) = 0, x′(0) = 1, (c) 2x′′ = 0, x(0) = x0, x ′(0) = v0, (d) x′′ + 4ax′ + 5a2x = 0, x(0) = x0, x ′(0) = v0 . 3. Justifique que uma equação da forma ax′′ + bx′ = 0, a e b constantes, pode ser reduzida a uma equação linear de primeira ordem. Resolva-a atravésdos processos lecionados para as equações de primeira ordem 4. Resolva a equação x′′ + 4x′ = 0 por dois processos. 5. Resolva o sistema linear seguinte, começando por o transformar numa equação linear de segunda ordem de coeficientes constantes. x′ = 7x− 4y y′ = −9x+ 7y Recorde que os sistemas de 2 equações diferenciais lineares de primeira ordem podem ser reescritos como equações de segunda ordem. Vamos ver como o resultado anterior pode ser traduzido para o caso desses sistemas. Considere o seguinte sistema x′1 = a11x1 + a12x2 x′2 = a21x1 + a22x2, (2.8) ou na forma matricial X ′ = AX, FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 48 CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM E SISTEMAS DE EQUAÇÕES onde A é a matriz de ordem 2, A = [aij ]i,j=1,2, X é um vetor, X = (x1(t), x2(t)) e X ′ o vetor das derivadas, X ′ = (x′1(t), x ′ 2(t)). Suponhamos, como anteriormente a12 6= 0 (o mesmo para a12 = 0 e a21 6= 0), então fazendo x2 = 1 a12 x′1 − a11 a12 x1 obtem-se a seguinte equação diferencial de segunda ordem x′′1 − (a11 + a22)x′1 + (a11a22 − a12a21)x1 = 0 Os coeficientes desta equação são: −(a11 + a22) = −tr(A), onde tr(A) designa o traço da matriz A definido como a soma dos elementos da diagonal principal; e a11a22 − a12a21 = det(A). Então o polinómio caracteŕıstico é λ2 − tr(A)λ+ det(A) = 0. Vejamos agora que as ráızes do polinómio caracteŕıstico coincidem com os valores próprios da matriz do sistema A. Para determinar os valores próprios de A temos de resolver a seguinte equação, det(A − λI) = 0 ⇔ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a11 − λ a12 a21 a22 − λ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 0 ⇔ λ2 − (a11 + a22)λ + (a11a22 − a12a21) = 0. Mostrámos assim, para encontrar a solução do sistema (2.8) basta determinar os valores próprios da matriz do sistema. Exerćıcios 16 1. Resolva o problema definido pelas condições iniciais x(0) = 4 e y(0) = 1 e pelo sistema x′ = y y′ = −3x+ 2y . por dois processos. Generalize a solução para as condições iniciais x(t0) = x0 e y(t0) = y0. 2. Resolva o problema definido pela equação diferencial 6x′′ − 8x′ + x = 0 e pelas condições iniciais x(0) = 0, x′(0) = 1 usando dois processos distintos. FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 49 2.2. EQUAÇÕES LINEARES DE 2ª ORDEM Exerćıcios 17 1. Considere a equação não homogénea x′′ + 5x′ + 6x = 3 e−t. (a) Verifique que existe uma solução particular da forma x = a e−t, para algum valor real de a. (b) Resolva a equação homogénea associada x′′ + 5x′ + 6x = 0. (c) Verifique que x = xP (t)+xH(t) é solução da equação não homogénea, onde xP é a solução particular determinada na primeira aĺınea e xH é a solução geral da equação homogénea encontrada na segunda aĺınea. (d) Indique a solução particular da equação não homogénea que verifica x(0) = 1, x′(0) = 0. 2. Resolva o problema definido pelas condições iniciais x(0) = 1 e y(0) = 10 e pelo sistema x′ = x+ y y′ = −2x+ 4y . 3. Considere o problema do oscilador linear sujeito a atrito mx′′ = −kx − µx′, com m, k e µ > 0. Determine a solução geral para os casos: µ2−4mk > 0, µ2−4mk = 0 e µ2 − 4mk < 0. Interprete as soluções obtidas. 4. Considere que o oscilador linear está contido num fluido que causa um atrito sig- nificativo. Justifique que a influência do atrito pode ser modelada introduzindo a parcela µx′, com µ > 0, obtendo-se a equação mx′′ + µx′ + kx = 0 e interprete o significado de µ. (a) Resolva esta equação para m, k = 1 e µ = 0, 1, 2, 3. (b) Resolva esta equação para m, k, µ positivos quaisquer. (c) Interprete os diferentes resultados obtidos nas aĺıneas anteriores relacionando- os com o significado e valor de µ. FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 50 CAPÍTULO 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 2ª ORDEM E SISTEMAS DE EQUAÇÕES (d) Estabeleça a relação entre k,m e µ (todos positivos) que define uma situação de transição no comportamento do oscilador, descrevendo os diferentes tipos de comportamento. FCT-UNL – Tópicos sobre Equações Diferenciais Ordinárias – 2019/20 51 Equações diferenciais de 1ª ordem Modelos com equações diferenciais Modelo de crescimento exponencial Modelo de crescimento logístico Outros modelos de EDO de 1ª ordem Conceitos base Resolução de equações diferenciais de 1ª ordem Equações de variáveis separáveis Equação linear de 1ª ordem Métodos numéricos para a resolução de EDO Equações diferenciais de 2ª ordem e sistemas de equações Modelos com EDO de 2ª ordem e sistemas de EDO Equações lineares de 2ª ordem
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