DIDÁTICA DA MATEMÁTICA esab

FSL

Jessica Jose

em 27/12/2020

Material

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Prévia do material em texto

MÓDULO DE:

DIDÁTICA DA MATEMÁTICA

AUTORIA:

Ms MARCELO SOUZA MOTTA

2
Módulo de: DIDÁTICA DA MATEMÁTICA
Autoria: MARCELO SOUZA MOTTA

Primeira edição: 2009

CITAÇÃO DE MARCAS NOTÓRIAS

Várias marcas registradas são citadas no conteúdo deste módulo. Mais do que simplesmente listar esses nomes
e informar quem possui seus direitos de exploração ou ainda imprimir logotipos, o autor declara estar utilizando
tais nomes apenas para fins editoriais acadêmicos.
Declara ainda, que sua utilização tem como objetivo, exclusivamente a aplicação didática, beneficiando e
divulgando a marca do detentor, sem a intenção de infringir as regras básicas de autenticidade de sua utilização
e direitos autorais.
E por fim, declara estar utilizando parte de alguns circuitos eletrônicos, os quais foram analisados em pesquisas
de laboratório e de literaturas já editadas, que se encontram expostas ao comércio livre editorial.

Todos os direitos desta edição reservados à
ESAB – ESCOLA SUPERIOR ABERTA DO BRASIL LTDA
http://www.esab.edu.br
Av. Santa Leopoldina, nº 840/07
Bairro Itaparica – Vila Velha, ES
CEP: 29102-040
Copyright © 2008, ESAB – Escola Superior Aberta do Brasil

3
Apresentação
Esta o módulo não pretende ser um manual para o ensino de matemática, mas uma
contribuição no sentido de romper os preconceitos que a cercam. O que se deseja realmente
com este material é que o professor possa aplicar os conceitos, atividades, jogos e textos
aqui apresentados e sua práxis docente.

Objetivo
 Reconhecer os principais referenciais teóricos matemáticos;
 Desenvolver a teoria dos números segundo Piaget;
 Analisar os PCNs;
 Conhecer metodologias para se trabalhar as operações básicas;
 Desenvolver a competência de resolver problemas;
 Reconhecer a matemática do cotidiano;
 Utilizar Jogos Matemáticos;
 Desenvolver a Modelagem Matemática;
 Reconhecer os aspectos teóricos da Geometria.

4
Ementa
Competências no Ensino de Matemática. Análise crítica dos PCNs. Correntes em Educação
Matemática. Teoria Piagetiana. Conceito de Número. Construção do Número. Cálculo
Mental. Origem dos Símbolos Matemáticos. Operações Básicas. Resolução de Problemas.
Modelagem Matemática. Etnomatemática. Jogos Matemáticos. Quadrados Mágicos. Torre de
Hanói. Geometria e Jogos.

Sobre o Autor

-Mestre em Ensino de Ciências e Matemática pela PUC/MG. Licenciado em matemática pela
UFES. Especialista em Informática Educacional, Educação Matemática, Supervisão Escolar
e Psicologia.
-Docente em instituições públicas e privadas desde a Educação Básica ao Ensino Superior.

5
SUMÁRIO
UNIDADE 1 ........................................................................................................... 8
PLANO DE CURSO .............................................................................................................. 8
UNIDADE 2 ......................................................................................................... 10
COMPETÊNCIAS NO ENSINO DE MATEMÁTICA ............................................................ 10
UNIDADE 3 ......................................................................................................... 15
ANÁLISE CRÍTICA DOS PCN’S ......................................................................................... 15
UNIDADE 4 ......................................................................................................... 22
CORRENTES EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA .................................................................. 22
UNIDADE 5 ......................................................................................................... 24
A TEORIA PIAGETIANA ..................................................................................................... 24
UNIDADE 6 ......................................................................................................... 28
CONCEITO DE NÚMERO .................................................................................................. 28
UNIDADE 7 ......................................................................................................... 33
A CONSTRUÇÃO DOS NÚMEROS ................................................................................... 33
UNIDADE 8 ......................................................................................................... 37
O CÁLCULO MENTAL ........................................................................................................ 37
UNIDADE 9 ......................................................................................................... 41
ORIGEM DOS SÍMBOLOS MATEMÁTICOS ...................................................................... 41
UNIDADE 10 ....................................................................................................... 44
OPERAÇÕES BÁSICAS – PARTE I ................................................................................... 44
UNIDADE 11 ....................................................................................................... 49
OPERAÇÕES BÁSICAS – PARTE II .................................................................................. 49
UNIDADE 12 ....................................................................................................... 52
NÚMEROS E OPERAÇÕES – ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO ................................................... 52
UNIDADE 13 ....................................................................................................... 56
OPERAÇÕES BÁSICAS – PARTE III ................................................................................. 56

6
UNIDADE 14 ....................................................................................................... 62
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS – PARTE I ....................................................................... 62
UNIDADE 15 ....................................................................................................... 65
ETAPAS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ................................................................... 65
UNIDADE 16 ....................................................................................................... 68
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS – PARTE II ...................................................................... 68
UNIDADE 17 ....................................................................................................... 72
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS – PARTE III ..................................................................... 72
UNIDADE 18 ....................................................................................................... 77
QUEBRA-CABEÇAS ........................................................................................................... 77
UNIDADE 19 ....................................................................................................... 80
QUADRADOS MÁGICOS ................................................................................................... 80
UNIDADE 20 ....................................................................................................... 83
MODELAGEM MATEMÁTICA ............................................................................................ 83
UNIDADE 21 .......................................................................................................89
EXEMPLO DE MODELAGEM MATEMÁTICA .................................................................... 89
UNIDADE 22 ....................................................................................................... 93
OS NÚMEROS RACIONAIS - FRAÇÕES ........................................................................... 93
UNIDADE 23 ....................................................................................................... 96
OS NÚMEROS RACIONAIS - DECIMAIS ........................................................................... 96
UNIDADE 24 ....................................................................................................... 99
ETNOMATEMÁTICA ........................................................................................................... 99
UNIDADE 25 ..................................................................................................... 102
JOGOS MATEMÁTICOS .................................................................................................. 102
O Papel dos Jogos no Contexto Escolar ........................................................................... 102
UNIDADE 26 ..................................................................................................... 109
JOGOS MATEMÁTICOS - EXEMPLOS ............................................................................ 109
UNIDADE 27 ..................................................................................................... 114
TORRE DE HANÓI ........................................................................................................... 114
UNIDADE 28 ..................................................................................................... 116

7
GEOMETRIA ..................................................................................................................... 116
UNIDADE 29 ..................................................................................................... 120
GEOMETRIA - TANGRAM ................................................................................................ 120
UNIDADE 30 ..................................................................................................... 124
GEOMETRIA – OUTRAS ATIVIDADES ............................................................................ 124
GLOSSÁRIO ..................................................................................................... 135
REFERÊNCIAS ................................................................................................. 136

8
UNIDADE 1
PLANO DE CURSO
Objetivo: Apresentar o plano de trabalho do módulo.

Apresentação
Este módulo não pretende ser um manual para o ensino de matemática, mas uma
contribuição no sentido de romper os preconceitos que a cercam. O que se deseja realmente
com este material é que o professor possa aplicar os conceitos, atividades, jogos e textos
aqui apresentados e sua práxis docente.

Ementa
Competências no Ensino de Matemática. Análise crítica dos PCNs. Correntes em Educação
Matemática. Teoria Piagetiana. Conceito de Número. Construção do Número. Cálculo
Mental. Origem dos Símbolos Matemáticos. Operações Básicas. Resolução de Problemas.
Modelagem Matemática. Etnomatemática. Jogos Matemáticos. Quadrados Mágicos. Torre de
Hanói. Geometria e Jogos.

Objetivos:
 Reconhecer os principais referenciais teóricos matemáticos;
 Desenvolver a teoria dos números segundo Piaget;
 Analisar os PCNs;

9
 Conhecer metodologias para se trabalhar as operações básicas;
 Desenvolver a competência de resolver problemas;
 Reconhecer a matemática do cotidiano;
 Utilizar Jogos Matemáticos;
 Desenvolver a Modelagem Matemática;
 Reconhecer os aspectos teóricos da Geometria.

Conteúdos
 Concepções Teóricas em Educação Matemática;
 Parâmetros Curriculares Nacionais;
 Operações Básicas (Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão);
 A Teoria Piagetiana e a Educação Matemática;
 Números e sua construção;
 Resolução de Problemas;
 Etnomatemática;
 Modelagem Matemática;
 Jogos Matemáticos

10
UNIDADE 2
COMPETÊNCIAS NO ENSINO DE MATEMÁTICA
Objetivo: Reconhecer as competências do ensino de matemática e os eixos temáticos
propostos pelos PCN’s.

A matemática constitui um bem da humanidade e um modo de reflexão. Ser
matematicamente eficaz envolve um conjunto de competências e habilidades, que inclui:
 Raciocinar matematicamente;
 Desenvolver a argumentação lógica;
 Comunicar ideias e descobertas;
 Noções de conjecturas, teoremas e demonstrações;
 Resolver problemas;
 Usar os mais diversos recursos tecnológicos;
 Pensar abstratamente;
 Desenvolver o pensamento interdisciplinar, relacionando a matemática às outras
disciplinas;

Matemática e o Currículo
A matemática é parte integrante e essencial do currículo da Educação Básica e de diversos
cursos Superiores, ela deve ser vista como uma porta para o desenvolvimento de valores e

11
conceitos. O desenvolvimento curricular da matemática deve ser analisado como uma
contribuição aos valores éticos e sociais de uma sociedade.
A matemática não deve ser trabalhada de forma compartimentada e dissociada das outras
disciplinas.
É importante sublinhar que, na escola básica e em qualquer dos ciclos, a Matemática
não pode e não deve ser trabalhada de forma isolada, nem isso está na sua natureza.
Pelos instrumentos que proporciona e pelos seus aspectos específicos relativos ao
raciocínio, organização, à comunicação e à resolução de problemas, a matemática
constitui uma área de saber plena de potencialidade para a realização de projetos
transdisciplinares e de atividades interdisciplinares dos mais diversos tipos.
(COMPETÊNCIAS ESPECÍFICAS – MATEMÁTICA)

Pode-se dizer que a matemática deve preocupar-se com a educação matemática, sobre a
matemática e através da matemática, contribuindo para a formação global do aluno.
''É importante destacar que a Matemática deverá ser vista pelo aluno como um
conhecimento que pode favorecer o desenvolvimento do seu raciocínio, de sua
sensibilidade expressiva, de sua sensibilidade estética e de sua imaginação''
(PCN's,1997)

As ideias básicas contidas nos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática refletem
muito mais do que uma mera mudança de conteúdos, e sim uma mudança de filosofia de
ensino e de aprendizagem, como não poderia deixar de ser. Apontam para a necessidade de
mudanças urgentes não só no que ensinar, mas, principalmente, no como ensinar e avaliar e
no como organizar as situações de ensino e de aprendizagem.
As orientações contidas nos PCN’s relativas ao desenvolvimento da competência
matemática ao longo das séries ou ciclos podem ser organizadas de diversos modos. Os

12
Parâmetros Curriculares (PCN’s) que privilegiam um caráter matemático centrado em quatro
eixos temáticos, que são eles:
 Números e Operações (Aritmética e Álgebra)
 Espaço e Formas (Geometria)
 Grandezas e Medidas (Aritmética, Álgebra e Geometria)
 Tratamento da Informação (Estatística, Combinatória e Probabilidade)

I – Números e Operações
Em todos os Ciclos, o conhecimento sobre números e cálculos deve desenvolver os
seguintes aspectos:
 A compreensão Global dos números e das operações de maneira prática para analisar
matematicamente e desenvolver estratégias para a resolução de um problema;
 Reconhecer as diferentes formas de representação dos números em seus diferentescontextos;
 Efetuar cálculos mentalmente;
 Desenvolver o conceito de estimativa e generalização de padrões numéricos;
 Investigar relações numéricas;
 Analisar analiticamente situações diárias e resolvê-las identificando o raciocínio
utilizado.

II – Geometria
 Identificar formas geométricas planas e espaciais;

13
 Realizar construções geométricas utilizando instrumentos de desenho;
 Desenvolver o processo de visualização e o raciocínio espacial para análise de
diferentes situações cotidianas;
 Compreender conceitos básicos de área, volume, perímetro e amplitude;
 Efetuar medições e estimativas em situações diversas;
 Reconhecer padrões geométricos;
 Reconhecer a geometria presente no dia a dia e sua relação com a Arte e as
Tecnologias.

III – Grandezas e Medidas
 Reconhecer e utilizar instrumentos de medidas;
 Reconhecimento de grandeza, tais como: comprimento, capacidade, tempo,
temperatura, ângulo, etc;
 Realizar estimativas com medidas;
 Compreensão das noções de medidas de comprimento, superfície e volume;
 Realizar a conversão de medidas;
 Utilizar de forma lógica o conceito de medidas na resolução de problemas.

IV – Tratamento da Informação
 Reconhecer gráficos e tabelas presentes no cotidiano;
 Ler e interpretar tabelas e gráficos;

14
 Reconhecer as etapas de uma pesquisa estatística;
 Organizar os dados relativos a uma situação ou fenômeno;
 Utilizar o senso crítico ao analisar as informações estatísticas;
 Realizar investigações de natureza qualitativa.

1. Para refletir: Qual o papel do professor de matemática no cotidiano dos alunos?
2. Você identificaria outros eixos temáticos no ensino de matemática?
3. De que forma os conceitos apresentados na proposta dos PCN’s contribuem com a
formação da cidadania de meu aluno?
4. Como minimizar o impacto negativo da matemática, imposto pela sociedade, na vida dos
alunos?
5. Identifique outras características nos eixos temáticos apresentados neste capítulo.

15
UNIDADE 3
ANÁLISE CRÍTICA DOS PCN’S
Objetivo: Analisar criticamente um artigo sobre os PCN’s.

Faça a leitura do resumo do artigo “Os PCN’s e o Ensino Fundamental de Matemática: Um
avanço ou retrocesso?” de Gladis Blumenthal. Após a leitura identifique os principais pontos
de que você concorda ou discorda com a autora.
O ensino da Matemática tem passado, ao longo dos anos, por sucessivas reformas. Mesmo
assim, o fracasso escolar matemático continua. No momento em que as Secretarias
Municipais e Estaduais de Educação se esforçam para absorver e se adequar às novas
normas vigentes, os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN's) desempenham importante
papel. O objetivo desse artigo é destacar algumas de suas ideias básicas, relacionadas com
a Matemática e trazer algumas reflexões sobre as mesmas.
''É importante destacar que a Matemática deverá ser vista pelo aluno como um
conhecimento que pode favorecer o desenvolvimento do seu raciocínio, de sua
sensibilidade expressiva, de sua sensibilidade estética e de sua imaginação''
(PCN's,1997)

Nos cursos e oficinas nas quais tenho trabalhado nos últimos meses sinto um clima de
inquietação (e, porque não dizer, por vezes até angústia) por parte dos(as) professores(as),
supervisores(as) e outros responsáveis pela educação do município ou da escola onde estou
trabalhando. Algumas perguntas têm sido constantemente feitas: afinal, o que trazem de
novo os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN's) em Matemática? Em que aspectos
diferem do que vimos trabalhando? Mudam os conteúdos apenas? Muda a ordem em que

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são trabalhados? Vale a pena mudar nosso modo de ensinar quando não estamos
seguros(as) de como fazê-lo? Por onde começar a mudar?
Como se vê, de certo modo, os PCN's já estão conseguindo alcançar, em parte, seus
objetivos, isto é, estão desacomodando o(a) professor(a), fazendo-o(a) parar para refletir
sobre sua prática pedagógica, que é o primeiro passo para uma eventual mudança na
mesma.
O objetivo deste artigo é destacar algumas das ideias básicas dos PCN's em Matemática e
trazer algumas reflexões sobre as mesmas. Não tenho a pretensão de esgotar o assunto,
pelo contrário. Muito há a ser discutido. Não entrarei no mérito de quem os elaborou e como
se deu o processo de sua elaboração, por escapar ao que me proponho nesse momento.
Basear-me-ei em duas publicações do MEC, através da Secretaria de Educação
Fundamental: Parâmetros Curriculares Nacionais, Matemática, volume 3 (1997), com
orientações para o ensino Básico (1º e 2º Ciclos) e outra, com o mesmo nome, enfatizando o
ensino de 5º a 8º séries (1998). Ambas trazem, na 1º parte, uma breve análise da
Matemática no Brasil, algumas considerações acerca do conhecimento matemático e do
aprender e ensinar Matemática no Ensino Fundamental, os objetivos gerais, os conteúdos de
Matemática e a avaliação na Matemática no Ensino Fundamental, além dos princípios
norteadores para o trabalho a ser realizado no mesmo. Na 2ª parte, se diferenciam
substancialmente: o primeiro focaliza o ensino de 1ª a 4ª séries e o segundo, de 5ª a 8ª
séries, apresentando objetivos, conteúdos, orientações organizadas por ciclos.
As ideias básicas contidas nos Parâmetros Curriculares Nacionais em Matemática refletem,
muito mais do que uma mera mudança de conteúdos, uma mudança de filosofia de ensino e
de aprendizagem, como não poderia deixar de ser. Apontam para a necessidade de
mudanças urgentes não só no o que ensinar, mas, principalmente, no como ensinar e avaliar
e no como organizar as situações de ensino e de aprendizagem.
O papel da Matemática no Ensino Fundamental como meio facilitador para a estruturação e o
desenvolvimento do pensamento do(a) aluno(a) e para a formação básica de sua cidadania é
destacado.''...é importante que a Matemática desempenhe, equilibrada e indissociavelmente,

17
seu papel na formação de capacidades intelectuais, na estruturação do pensamento, na
agilização do raciocínio dedutivo do aluno, na sua aplicação a problemas, situações da vida
cotidiana e atividades do mundo do trabalho e no apoio à construção de conhecimentos em
outras áreas curriculares.''E mais adiante: '' Falar em formação básica para a cidadania
significa falar em inserção das pessoas no mundo do trabalho, das relações sociais e da
cultura, no âmbito da sociedade brasileira (MEC?SEF,1997,p.29). Ao referir-se à pluralidade
das etnias existentes no Brasil, à diversidade e à riqueza do conhecimento matemático que
nosso(a) aluno(a) já traz para a sala de aula, enfatiza-se nos PCN's que o ensino da
Matemática, a par da valorização da pluralidade sociocultural do(a) educando(a), pode
colaborar para a transcendência do seu espaço social e para sua participação ativa na
transformação do seu meio.
Os conteúdos aparecem organizados em blocos, diferentemente do modo tradicional, a
saber:
 Números e operações (Aritmética e Álgebra)
 Espaço e formas (Geometria)
 Grandezas e medidas (Aritmética, Álgebra e Geometria)
 Tratamento da informação (Estatística, Combinatória e Probabilidade)

Fica evidente, pois, a orientação de se pensar e de se organizar as situações de ensino-
aprendizagem, privilegiando as chamadas intraconexões das diferentes áreas da Matemática
e as interconexões com as demais áreas do conhecimento, o que entendo como um caminho
possível e desejável para o ensino da Matemática.
As intraconexões favorecem uma visão mais integrada, menos compartimentalizada da
Matemática. Algumas orientações de cunho didático são colocadasao(à) professor(a),
através de exemplos práticos, mostrando que é possível interligar Aritmética com Álgebra ou

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Aritmética com Geometria e Álgebra, numa mesma atividade. (MEC/SEF, 1997,p.97-133;
MEC/SEF,1998,p.95-142).
Por outro lado, as interconexões têm nos Temas Transversais - Ética, Saúde, Meio
Ambiente, Pluralidade Cultural e Orientação Sexual - uma infinidade de possibilidades de se
concretizarem. Para isso, torna-se necessário que o professor trabalhe cada vez mais com
colegas de outras disciplinas, integrando uma equipe interdisciplinar. A interação com seus
colegas permitirá que os projetos desenvolvidos sejam mais interessantes e mais voltados a
problemas da realidade. O desenvolvimento de projetos em que a Matemática pode explorar
problemas e entrar com subsídios para a compreensão dos temas envolvidos tem trazido,
além da angústia diante do novo, satisfação e alegria ao(à) professor(a) diante dos
resultados obtidos. A confiança na própria capacidade e na dos outros para construir
conhecimentos matemáticos, o respeito à forma de pensar dos colegas são alguns temas
interessantes a serem trabalhados, ao se pensar no como desenvolver o tema transversal
Ética. Médias, áreas, volumes, proporcionalidade, funções, entre outras tantas, são ideias
matemáticas úteis para os temas transversais Meio Ambiente e Saúde. O(a) professor(a)
saberá, certamente, adequar à sua realidade, projetos interessantes. Para isso, é preciso se
permitir trilhar caminhos novos e tolerar possíveis erros e mudanças de rumo.
Os objetivos para o Ensino Fundamental , de acordo com os PCN's e aqui trazidos de modo
resumido, visam levar o aluno a compreender e transformar o mundo à sua volta, estabelecer
relações qualitativas e quantitativas, resolver situações-problema, comunicar-se
matematicamente, estabelecer as intraconexões matemáticas e as interconexões com as
demais áreas do conhecimento, desenvolver sua autoconfiança no seu fazer matemático e
interagir adequadamente com seus pares. A Matemática pode colaborar para o
desenvolvimento de novas competências, novos conhecimentos, para o desenvolvimento de
diferentes tecnologias e linguagens que o mundo globalizado exige das pessoas. ''Para tal, o
ensino de Matemática prestará sua contribuição à medida que forem exploradas
metodologias que priorizem a criação de estratégias, a comprovação, a justificativa, a
argumentação, o espírito crítico e favoreçam a criatividade, o trabalho coletivo, a iniciativa

19
pessoal e a autonomia advinda do desenvolvimento da confiança na própria capacidade de
conhecer e enfrentar desafios''. (MEC/SEF, 1997, p.31)
Os conteúdos nos PCN's não são entendidos como uma listagem de conteúdos. Enfatiza-se
a necessidade de entender a palavra conteúdo basicamente em três dimensões: conceitos,
procedimentos e atitudes. Valoriza-se, portanto, muito mais a compreensão das ideias
matemáticas e o modo como estas serão buscadas (podendo esse modo de busca ser
estendido e aplicado para as demais áreas do conhecimento) do que a sua sistematização,
muitas vezes vazia de significado. Entendem-se os conteúdos como um meio para
desenvolver atitudes positivas diante do saber em geral e do saber matemático em particular.
O gosto pela Matemática e o incentivo a procedimentos de busca exploratória,
desenvolvendo uma atitude investigativa diante de situações-problema propostas pelo(a)
professor(a) são alguns exemplos dessa compreensão mais ampla do que é ensinar e
aprender em Matemática.
Na minha leitura, os Parâmetros Curriculares Nacionais em Matemática apresentam outras
ideias básicas, a saber:
 Eliminação do ensino mecânico da Matemática;
 Prioridade para a resolução de problemas;
 Conteúdo como meio para desenvolver ideias matemáticas fundamentais
(proporcionalidade, equivalência, igualdade, inclusão, função, entre outras);
 Ênfase ao ensino da Geometria;
 Introdução de noções de Estatística e probabilidade e estimativa;
 Organização dos conteúdos em espiral e não em forma linear, desprivilegiando a ideia
de pré-requisitos como condição única para a organização dos mesmos;
 Uso da história da Matemática como auxiliar na compreensão de conceitos
matemáticos;

20
 Revigoramento do cálculo mental, em detrimento da Matemática do ''papel e lápis'';
 Uso de recursos didáticos (calculadoras, computadores, jogos) durante todo Ensino
Fundamental;
 Ênfase ao trabalho em pequenos grupos em sala de aula;
 Atenção aos procedimentos e às atitudes a serem trabalhadas, além dos conteúdos
propriamente ditos, como já foi mencionado acima;
 Avaliação como processo contínuo no fazer pedagógico.

As ideias acima apresentadas não são novas para quem pesquisa e acompanha as
tendências da Educação Matemática no mundo. Muitos países já passaram por essas
reformulações, com maior ou menor grau de sucesso. Nos PCN's há avanços importantes,
caso se consiga entender os parâmetros como tal e não como uma listagem de conteúdos,
sejam eles mínimos ou máximos.
O mais importante, no meu entender, é a mudança da postura do professor(a) em sala de
aula. Muda-se a postura? Como mudar a relação de afeto, de ódio ou de medo do(a)
professor(a) para com a Matemática? Como fazer com que o(a) professor(a) de Ensino
Básico que, muitas vezes, escolheu essa profissão já como uma esquiva à Matemática, faça
''as pazes'' com ela?
Como toda reforma que se pretenda fazer, resistências ocorrerão. Mais preocupante, porém,
é saber como preparar convenientemente o professor para essas mudanças. Na minha
prática pedagógica, parece ficar cada vez mais evidente a necessidade de propiciar ao(à)
professor(a) vivências pessoais de aprendizagem matemática e de promover a consciência
do seu pensar ( a chamada metacognição) no decorrer das mesmas, vivências que sejam
prazerosas. O espírito dos PCN's poderá, assim, ser melhor compreendido, permitindo que
novas abordagens sejam introduzidas e outras sejam mantidas ou modificadas. Muitas
Secretarias Municipais de Educação no Rio Grande do Sul realizam uma boa caminhada

21
realizada nesse sentido. Reuniões de estudo, Jornadas e Seminários têm sido promovidos,
evidenciando que, somente através da Educação Continuada dos Professores, é que
poderão ocorrer avanços reais no Ensino fundamental.
Cabe aos educadores matemáticos envolvidos na Formação e na Educação Continuada do
Professor, colaborar para um melhor entendimento e, consequentemente, para o uso
adequado das orientações contidas nos mesmos, evitando assim que, uma proposta que
traga inovações importantes esteja fadada ao fracasso, por ser mal interpretada e/ ou mal
utilizada em sala de aula.

22
UNIDADE 4
CORRENTES EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Objetivo: Identificar os diferentes pensamentos no Ensino de Matemática

I - Comportamentalista
Esta corrente associou o comportamento humano ao dos outros animais. Possui uma
abordagem cartesiana, busca encontrar os elementos básicos do pensamento humano e seu
comportamento.
Thorndike, primeiro comportamentalista a pensar o ensino da matemática, entende a
aprendizagem como uma série de conexões entre situações ou estímulo e reposta. E baseia-
se em três leis fundamentais para a aprendizagem:
 Lei do efeito: uma conexão recém estabelecida tem sua força aumentada se
acompanhada por uma sensação de satisfação;
 Lei do exercício: quanto mais utilizada uma conexão, mais forte ela se torna;
 Lei da prontidão: parte da ideia de que as conexões podem ou não estar prontas para
serem postas em prática, se uma conexãoestá pronta, seu uso gera satisfação; se
não está, seu uso gera desconforto.

II - Gestaltista
A Gestalt é uma escola da psicologia, iniciada em 1910, que propõe uma abordagem
holística do pensamento humano. Baseia-se no pensamento de que a percepção humana
não pode ser explicada apenas por estímulos isolados e que se processam de forma

23
individualizada, mas que a ação existe na tentativa de encontrar o equilíbrio do organismo
como um todo. A aprendizagem se liga a capacidade de compreender estruturas e não de
decorar procedimentos.

III - Estruturalistas
Esta corrente aborda a aprendizagem como um processo ativo no qual o aluno infere
princípios e regras e os testa. O aluno tem mais instrumentos para lidar com os determinados
conhecimentos quando entende suas estruturas. Baseia-se nos estágios do desenvolvimento
infantil de Piaget e Bruner propõe três modos de organização do conhecimento, são os
modos de representação; motor, icônico e simbólico:
 Representação motora: modo de representar acontecimentos passados através de
uma resposta motora apropriada.
 Representação icônica: quando os objetos são concebidos na ausência de ação.
 Representação simbólica: consiste na tradução das experiências em termos de
linguagem simbólica.

VI - Construtivista
Baseado principalmente nas ideias de Piaget. Tem como proposta de que a mente é
modelada como uma experiência organizativa de modo a lidar com um mundo real que não
pode ser conhecido em si. Envolve dois princípios: 1. O conhecimento é ativamente
construído pelo sujeito cogniscente e não passivamente recebido do meio. 2. Conhecer é um
processo adaptativo que organiza o mundo experiencial de cada um, não descobre um
mundo independente, pré-existente, exterior à mente do sujeito. Acredita que cada ser
humano constroi o significado para a linguagem que usa, no caso matemática, à medida que
vai construindo o seu mundo experiencial.

24
UNIDADE 5
A TEORIA PIAGETIANA
Objetivo: Conhecer os principais aspectos da teoria piagetiana e relacioná-los com o Ensino
de Matemática.

Sendo filho mais velho de Arthur Piaget, professor de literatura medieval, e de Rebeca
Jackson, Jean Piaget nasceu em Neuchâtel, Suíça, em 9 de agosto de 1886. Desde muito
cedo se interessou pela biologia e estudou ciências naturais na Universidade de Neuchâtel,
onde obteve o grau de PhD. Os estudos de biologia fizeram-lhe suspeitar de que os
processos de conhecimento poderiam depender dos mecanismos de equilíbrio orgânico.
Piaget convenceu-se de que tanto as ações externas quanto os processos de pensamento
admitiam uma organização lógica.
Para Smolle (2005), Piaget nunca foi nem pretendeu ser um pedagogo. Ele foi um
epistemólogo que, durante toda a sua vida, procurou indagar como se produziam os novos
conhecimentos durante o processo de desenvolvimento humano.
Piaget, em sua teoria tem como estudo principal o sujeito epistêmico, preocupando-se em
como a criança constroi suas estruturas mentais. Essa construção é obtida através da
interação do sujeito com o ambiente externo.
Piaget situa o homem em um processo ativo e interativo, procurando entender os
mecanismos sobre os quais o sujeito constroi o conhecimento nas várias etapas de sua vida.
Para compreender estas etapas, Piaget (1976) postula sua teoria em quatro fases de
transição, também denominadas estágios cognitivos.
O primeiro estágio de desenvolvimento humano compreende um período relativamente curto
que se estende do nascimento até aproximadamente dois anos de idade. É o chamado

25
estágio sensório-motor. Para Piaget, a criança nasce em um universo caótico, o qual vai
sendo conquistado mediante percepções e movimentos. O seu desenvolvimento ocorre de
uma atividade reflexa, em que a descoberta acontece por acaso e é conservada pela
repetição.
Progressivamente, a criança vai aperfeiçoando tais movimentos reflexos, adquirindo
habilidades e solucionando problemas por meio de ações, elaborando sua função simbólica
ou semiótica, sendo a principal característica de transição entre o primeiro e o segundo
estágio.
O segundo estágio se estende por um período mais longo de todos os estágios de
desenvolvimento, que vai dos dois aos seis ou sete anos de idade. É chamado de estágio
pré-operatório. Com o aparecimento da função simbólica, inicia-se a internalização dos
esquemas de ação, na forma de coordenação das representações, seja pela imitação, pela
linguagem, pela imagem, pelo jogo simbólico e pelo desenho. (MAGGI, 2002, p. 35).
Para Rappaport (1982), é nesse período que as crianças se conservam extremamente
egocêntricas, uma vez que não concebem uma realidade da qual não façam parte, devido à
ausência de esquemas conceituais e da lógica. O pensamento egocêntrico é dominado por
uma visão do mundo que parte do próprio eu, consciente de sua maneira peculiar de pensar.
O pensamento da criança entre dois e sete anos está dominado pela imaginação de caráter
simbólico. Dessa forma, esse estágio é uma transição no qual a criança parte da
representação das ações sensório-motoras para a capacidade de interação em situações
concretas, que é uma das características do próximo estágio.
O terceiro estágio, que vai dos sete aos onze ou doze anos, caracteriza-se pelo
egocentrismo intelectual e social. Nesse nível, a criança possui a capacidade de estabelecer
relações, coordenar pontos de vistas diferentes e integrá-los de modo lógico, denominado de
estágio operatório-concreto, ou também chamado de estágio da inteligência simbólica.
Segundo Dolle (1987):

26
[...] a inteligência operatório-concreta consiste, pois, em seriar, classificar, enumerar
os objetos e suas propriedades no contexto de uma relação do sujeito ao objeto
concreto direto e sem a possibilidade de raciocinar sobre simples hipóteses.

Nessa etapa, a criança possui uma inteligência em ação, dependente da relação entre o
sujeito e objeto. La Taille (1992) pontua que, no período pré-operatório, a criança ainda não
adquiriu a capacidade de reversibilidade, isto é, a capacidade de pensar simultaneamente o
estado inicial e final de alguma transformação efetuada sobre os objetos. Tal reversibilidade
será construída ao longo dos estágios operatório-concreto e formal.
Uma característica marcante deste estágio é a construção das classificações hierárquicas. A
criança torna-se consciente da estruturação do seu próprio pensamento argumentando,
posicionando e validando suas ideias aos demais.
Os jogos simbólicos, característicos deste estágio, evoluem para um tipo de jogo de imitação
do real. Assim, a criança tenta se adaptar ao ambiente externo, modificando suas
brincadeiras.
No final da fase pré-operacional, as crianças observam atentamente os jogos dos mais
velhos, embora nem sempre possam compreender as regras. Elas também mostram
uma evolução no sentido de que crianças mais novas seguem regras aprendidas
rigidamente, como se tivessem sido ditadas por alguma autoridade inquestionável.
Com o passar do tempo, consentem em modificá-las, se houver concordância dos
companheiros, ou mesmo em criar regras novas e originais. (RAPPAPORT,1982, p.
48).

O quarto estágio, denominado operatório-formal, estende-se dos 11 aos 15 anos de idade.
Nessa fase, a criança consegue raciocinar sobre hipóteses, formando esquemas conceituais
abstratos e executando operações mentais formais.

27
Segundo Wadsworth (1996) é neste momento que as estruturas cognitivas da criança
alcançam seu nível mais elevado de desenvolvimento. A representação agora permiteà
criança uma abstração total, não se limitando mais à representação imediata e nem às
relações previamente existentes. Agora, a criança é capaz de pensar logicamente, formular
hipóteses e buscar soluções, sem depender somente da observação da realidade.
Para Piaget, essa é a etapa final de equilíbrio, pois o indivíduo alcança o mais alto patamar
que o seguirá até a fase adulta. Observe a tabela abaixo, adaptada de Neto (1997, p. 35), no
qual se apresentam as classificações dos estágios cognitivos e suas contribuições ao
desenvolvimento matemático.
CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS COGNITIVAS
Estágio Idade Noções Matemáticas

Sensório Motor
Meses
Maior / Menor

Noção de espaço.

Noção de formas.
0 – 1
1 – 4
4 – 8
8 – 11
11 – 18
18 - 24

Pré-Operatório
Anos Desenhos, ordem, contagem, figuras
geométricas, correspondência,
conservação do número e classificação
simples.
2 – 4
4 – 5
5 - 7

Operatório Concreto
7 - 8 Reversibilidade, classificação, seriação,
transitividade, conservação do tamanho,
distância, área e conservação da massa.
8 - 11 Classe inclusão, cálculo, frações,
conservação do peso e conservação do
volume.

Operatório Formal
11 - 13 Proporções e combinações.
13 - 15 Demonstração e álgebra.

28
UNIDADE 6
CONCEITO DE NÚMERO
Objetivo: Reconhecer o conceito de número.

Quando perguntamos a um grupo de pessoas o que é número, notamos a princípio certo
constrangimento. Realmente, é estranho não termos, na ponta da língua, uma definição para
algo tão familiar. Usamos números o tempo todo em nossa vida: para tomar um ônibus, fazer
um pagamento, encontrar um endereço, etc.
Diante dessa pergunta, aos poucos as pessoas começam a organizar as ideias, e surgem
respostas como: “É quantidade”; “É um símbolo”; “É um símbolo que representa uma
quantidade”. Em geral, alguém corrige: “o símbolo não é um número; é numeral”.
Grandes pensadores também encontraram dificuldades para expressar a definição de
número, observe:
É a expressão que determina uma quantidade de coisas da mesma espécie. (Baltzer, 1814-
1887)
É a adição sucessiva de uma quantidade. (Kant, 1724-1804)
È uma coleção de objetos de cuja natureza fazemos abstração. (Broutroux, 1845-1921)
É a classe de todas as classes equivalentes a uma classe. (Russel, 1872-1970)

Até cerca de 1960, a maior parte dos professores de matemática se limitava a transmitir aos
alunos noções relativas ao chamado conhecimento social, como as palavras símbolo que
designam as quantidades e a contagem de rotina.

29
A partir desse período, contudo, o movimento Matemática Moderna originou uma série de
mudanças no currículo. No mundo passou-se a enfatizar a importância da teoria dos
números no ensino de matemática desde a fase elementar, e ganharam espaço as
pesquisas de Piaget relativas à construção do número pela criança

Como teria nascido à ideia de número?

A descoberta do número não aconteceu de repente, nem foi uma única pessoa a
responsável por essa façanha. O número surgiu da necessidade que as pessoas tinham de
contar objetos e coisa.
Nos primeiros tempos da humanidade, para contar eram usados os dedos, pedras, os nós de
uma corda, marcas num osso.
Com o passar do tempo, este sistema foi se aperfeiçoando até dar origem ao número.
Hoje nós já sabemos lidar com os mais diferentes tipos de números:

Há mais de 30.000 anos, o homem vivia em pequenos grupos, morando em grutas e
cavernas para se esconder dos animais selvagens e proteger-se da chuva e do frio.

Veja estes caçadores.

31
Para registrar os animais mortos numa caçada, eles se limitavam a fazer marcas numa vara.
Nessa época o homem se alimentava daquilo que a natureza oferecia: caça, frutos,
sementes, ovos. Quando descobriu o fogo, aprendeu a cozinhar os alimentos e a proteger-se
melhor contra o frio. A escrita ainda não tinha sido criada. Para contar, o homem fazia riscos
num pedaço de madeira ou em ossos de animais.
Um pescador, por exemplo, costumava levar consigo um osso de lobo. A cada peixe que
conseguia tirar da água, fazia um risco no osso.
Mais ou menos há 10.000 anos, o homem começou a modificar bastante o seu sistema de
vida. Em vez de apenas caçar e coletar frutos e raízes passou a cultivar algumas plantas e
criar animais. Era o início da agricultura, graças à qual aumentava muito a variedade de
alimentos de que podia dispor.
E para dedicar-se às atividades de plantar e criar animais, o homem não podia continuar se
deslocando de um lugar para outro como antes. Passou então a fixar-se num determinado
lugar, geralmente às margens de rios e cavernas e desenvolveu uma nova habilidade: a de
construir sua própria moradia.
Foi contando objetos com outros objetos que a humanidade começou a construir o conceito
de número.
Para o homem primitivo o número cinco, por exemplo, sempre estaria ligado a alguma coisa
concreta: cinco dedos, cinco peixes, cinco bastões, cinco animais, e assim por diante.
A ideia de contagem estava relacionada com os dedos da mão. Assim, ao contar as ovelhas,
o pastor separava as pedras em grupos de cinco.
Do mesmo modo os caçadores contavam os animais abatidos, traçando riscos na madeira
ou fazendo nós em uma corda, também de cinco em cinco.

33
UNIDADE 7
A CONSTRUÇÃO DOS NÚMEROS
Objetivo: Verificar os métodos para a construção dos números.

Por volta do ano 4.000 a.C., algumas comunidades primitivas aprenderam a usar
ferramentas e armas de bronze. Aldeias situadas às margens de rios transformaram-se em
cidades. A vida ia ficando cada vez mais complexa. Novas atividades iam surgindo, graças,
sobretudo ao desenvolvimento do comércio.
Os agricultores passaram a produzir alimentos em quantidades superiores às suas
necessidades. Com isso algumas pessoas puderam se dedicar a outras atividades, tornando-
se artesãos, comerciantes, sacerdotes, administradores.
Como consequência desse desenvolvimento surgiu a escrita. Era o fim da Pré-História e o
começo da História.
Os grandes progressos que marcaram o fim da Pré-História verificaram-se com muita
intensidade e rapidez no Egito.
Para fazer os projetos de construção das pirâmides e dos templos, o número concreto não
era nada prático. Ele também não ajudava muito na resolução dos difíceis problemas criados
pelo desenvolvimento da indústria e do comércio.
Como efetuar cálculos rápidos e precisos com pedras, nós ou riscos em um osso? Foi
partindo dessa necessidade imediata que estudiosos do Antigo Egito passaram a representar
a quantidade de objetos de uma coleção através de desenhos – os símbolos.

34
A criação dos símbolos foi um passo muito importante para o desenvolvimento da
Matemática. Na Pré-História, o homem juntava 3 bastões com 5 bastões para obter 8
bastões.
Hoje sabemos representar esta operação por meio de símbolos. Exemplo: 3 + 5 = 8.

A Teoria dos números segundo Piaget
Piaget vê o número como uma estrutura mental que cada criança constroi a partir de uma
capacidade natural de pensar e não algo aprendido do meio ambiente.
Piaget estabeleceu uma distinção fundamental entre três tipos de conhecimento
considerando suas fontes básicas e seu modo de estruturação: conhecimento físico,
conhecimento lógico-matemático e conhecimento social (convencional).
O conhecimento físico é o conhecimento dos objetos da realidade externa e podem ser
conhecidas pelaobservação. Contudo, quando notamos diferença, esta diferença é um
exemplo de pensamento lógico-matemático.
O número é a relação criada mentalmente por cada indivíduo.
A criança progride na construção do conhecimento lógico-matemático pela coordenação das
relações simples que anteriormente ela criou entre os objetos.
A visão de Piaget sobre a natureza lógico-matemática do número está em agudo contraste
com a visão dos professores de matemática. Observe o fragmento de texto abaixo:
O número é uma propriedade dos conjuntos, da mesma maneira que a ideia de cor, tamanho
e forma se referem às propriedades do objeto. (Duncam et al. 1972)
O número de acordo com Piaget é uma síntese de dois tipos de relações que a criança
elabora entre os objetos. Uma é a ordem e a outra é a inclusão hierárquica.

35
Segundo Piaget, a criança não sente a necessidade lógica de colocar os objetos numa
determinada ordem para assegurar-se de que não falta nenhum nem conta o mesmo objeto
duas vezes. Só pode-se assegurar que não deixamos de contar nenhum objeto, ou de que
não repetimos nenhum se o colocarmos em ordem. Contudo, não é necessário que a criança
coloque os objetos literalmente numa ordem espacial para arranjá-los numa relação
organizada. O importante é que possa ordená-los mentalmente como se vê no quadro 2.

Para quantificar os objetos como um grupo, a criança tem que colocá-los numa relação de
inclusão hierárquica. Esta relação, vista no quadro 3, significa que a criança inclui
mentalmente um em dois, dois em três, três em quatro, etc.

A reação das crianças pequenas à tarefa de inclusão de classes ajuda-nos a entender quão
difícil é construir a estrutura hierárquica.
Piaget e seus seguidores demonstraram que o número é alguma coisa que cada ser humano
constroi através da criação e coordenação de relações. Quando a criança não tem a
estrutura (mental) de número ela baseia seu julgamento no espaço, ou na percepção de
fronteiras.
A construção do número acontece gradualmente por “partes”, ao invés de tudo de uma vez,
para a construção dos grandes números, é importante facilitar o desenvolvimento dos
mesmos processos cognitivos que resultam na construção dos pequenos números.
Em conclusão, a estrutura lógico-matemática de número não pode ser ensinada, uma vez
que a criança tem que construir por si mesma.

1) É importante que a criança, para construir o conceito de número, seja colocada em
situações que provoquem a ideia de comparação de quantidade. Pesquise com professores
das séries iniciais como esse trabalho é desenvolvido.
2) Faça o teste de conservação de quantidade com crianças de 3 anos e anote suas
observações.
3) O que você entende por correspondência? Essa é a mesma ideia de Piaget?
4) Comente o método adotado por Piaget para explicar o conceito de número.

Dica para leitura: A Criança e o Número – Constance Kami.

37
UNIDADE 8
O CÁLCULO MENTAL
Objetivos: Desenvolver o conhecimento sobre a importância do cálculo mental.

De acordo com os PCNs (1997, v.3, p. 117) “pode-se dizer que se calcula mentalmente
quando se efetua uma operação, recorrendo-se a procedimentos confiáveis sem os registros
escritos e sem a utilização de instrumentos”.
Se analisarmos nossas escolas atualmente, verificamos que o ensino de matemática ainda
está centrado nos modelos tradicionais de arme e efetue. Essa prática tem mudado, mas de
forma ainda muito tímida.
O cálculo mental não aparece de forma espontânea só pelo fato de não utilizarmos o lápis e
papel. Exige que o aluno tenha experiências matemáticas significativas, isto é, que esteja
integrado sobre todo o processo de construção numérica, compreendendo cada operação e
seu algoritmo.
O domínio dos recursos para o cálculo indica uma aproximação com o cálculo que torne os
alunos capazes de escolher os procedimentos apropriados, encontrar resultados e julgar
suas validades. Aponta para o caminho da descoberta onde o aluno possa sentir a emoção
de perceber um caminho produtivo ou de uma solução encontrada numa estratégia ainda
não reconhecida antes.
O professor, enquanto mediador do processo de problematização deve ficar atento sobre os
caminhos apresentados durante a solução dos problemas. Não deve adiantar soluções e
nem deixar o aluno entregue a si mesmo, e sim, a partir de seus pequenos avanços, levá-lo a
observar, analisar, estabelecer relações, fazer conjecturas e comprovações, orientando-o,

38
assim, para chegar à descoberta dos conceitos matemáticos envolvidos nas atividades
propostas.
Quando o aluno utiliza o cálculo mental com o incentivo dos professores, desenvolvem
além de rapidez e exatidão nos resultados, muita segurança psicológica, grande
criatividade nas atividades com números e maior autonomia de raciocínio na
resolução de problemas. (TOLEDO, 1997).

O diálogo abaixo é um exemplo. Ao efetuar 420:2, um aluno encontrou resultado 20, o
professor ao perceber o erro perguntou:
 Qual a metade de 400?
 É 200, respondeu o aluno.
 Então a metade de 420 é maior ou menor que 200?
 Claro que é maior!
 Então a sua resposta está correta?
 Vixe! Acho que não!

Quanto maior a familiaridade dos alunos com o número, mais capazes serão de estabelecer
conexões e descobrir propriedades numéricas.
Desde as séries iniciais a criança precisa ter contato com técnicas de cálculo mental, de uma
forma não formal, e a todo instante em sala de aula o professor de matemática deve motivar
seu aluno a refletir e pensar numericamente.
Uma maneira de motivar o cálculo mental e criando situações de jogo. Segue exemplo de
uma situação extraída do livro Imenes e Lellis.

CÁLCULO MENTAL
Material: Baralho
Regras:
- Devem-se formar grupos de 4 jogadores;
- Cada grupo usa as cartas numéricas de um baralho comum, isto é, do 2 ao 10.
- Oito cartas são sorteadas e colocadas sobre a mesa, com o valor voltado para cima:

- O jogador que começa diz um número correspondente a um produto obtido com os valores
da mesa. Por exemplo, ele diz “Quinze”, porque na mesa há cartas que têm esse produto: 5
x 3 = 15.
- O próximo jogador que pegar essas cartas ganha as cartas e a rodada.
- Duas cartas substituem as que foram retiradas, e o jogador seguinte fala um novo
resultado.

40
- O jogo termina quando acabar as cartas do baralho. O vencedor será quem guardou mais
cartas, porque acertou mais vezes a multiplicação.

Variação: Esse joga se torna mais difícil quando são usadas duas operações. Por exemplo,
com as cartas da mesa pode-se “cantar” o resultado 28, obtido com 3 x 10 – 2. Há várias
variações, que possibilitam o treino do cálculo mental.

PARA LEITURA
Sugestões de Atividades no site:
http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/atividades-calculo-mental-
428276.shtml

41
UNIDADE 9
ORIGEM DOS SÍMBOLOS MATEMÁTICOS
Objetivos: Conhecer a origem de alguns símbolos matemáticos.

Adição ( + ) e subtração ( – )
O emprego regular do sinal + ( mais ) aparece na Aritmética Comercial de João Widman
d’Eger publicada em Leipzig em 1489. Entretanto, representavam não à adição ou à
subtração ou aos números positivos ou negativos, mas aos excessos e aos déficits em
problemas de negócio. Os símbolos positivos e negativos vieram somente ter uso geral na
Inglaterra depois que foram usados por Robert Recorde em 1557. Os símbolos positivos enegativos foram usados antes de aparecerem na escrita. Por exemplo: foram pintados em
tambores para indicar se os tambores estavam cheios ou não.
Os antigos matemáticos gregos, como se observa na obra de Diofanto, limitavam-se a indicar
a adição juntapondo as parcelas – sistema que ainda hoje adotamos quando queremos
indicar a soma de um número inteiro com uma fração. Como sinal de operação “mais”,
usavam os algebristas italianos a letra P, inicial da palavra latina plus.

Multiplicação ( . ) e divisão ( : )
O sinal de X, como que indicamos a multiplicação, é relativamente moderno. O matemático
inglês Guilherme Oughtred empregou-o pela primeira vez, no livro Clavis Matematicae
publicado em 1631. Ainda nesse mesmo ano, Harriot, para indicar também o produto a
efetuar, colocava um ponto entre os fatores. Em 1637, Descartes já se limitava a escrever os
fatores justapostos, indicando, desse modo abreviado, um produto qualquer. Na obra de

42
Leibniz encontra-se o sinal para indicar multiplicação: esse mesmo símbolo colocado de
modo inverso indicava a divisão.
O ponto foi introduzido como um símbolo para a multiplicação por G. W. Leibniz. Julho em
29, 1698, escreveu em uma carta a John Bernoulli: “eu não gosto de X como um símbolo
para a multiplicação, porque é confundida facilmente com x; freqüentemente eu relaciono o
produto entre duas quantidades por um ponto. Daí, ao designar a relação uso não um ponto
mas dois pontos, que eu uso também para a divisão.”
As formas a/b e , indicando a divisão de a por b, são atribuídas aos árabes: Oughtred, e,
1631, colocava um ponto entre o dividendo o divisor. A razão entre duas quantidades é
indicada pelo sinal :, que apareceu em 1657 numa obra de Oughtred. O sinal ÷, segundo
Rouse Ball, resultou de uma combinação de dois sinais existentes – e:

Sinais de relação ( =, < e > )
Robert Recorde, matemático inglês, terá sempre o seu nome apontado na história da
Matemática por ter sido o primeiro a empregar o sinal = ( igual ) para indicar igualdade. No
seu primeiro livro, publicado em 1540, Record colocava o símbolo entre duas expressões
iguais; o sinal = ; constituído por dois pequenos traços paralelos, só apareceu em 1557.
Comentam alguns autores que nos manuscritos da Idade Média o sinal = aparece como uma
abreviatura da palavra est.
Guilherme Xulander, matemático alemão, indicava a igualdade, em fins do século XVI, por
dois pequenos traços paralelos verticais; até então a palavra aequalis aparecia, por extenso,
ligando os dois membros da igualdade.
Os sinais > ( maior que ) e < ( menor que ) são devidos a Thomaz Harriot, que muito
contribuiu com seus trabalhos para o desenvolvimento da análise algébrica.

43
Historia dos símbolos matemáticos
Símbolos Aoo Autor

1228 Fibonacci
3 · 4 1464 Regiomontano
3 + 4
4 - 3

1489

Widmann
2 + 3 = 5 1557 Recorde
30º 1571 Reinhold
decimais 1585 Stevin
2,17 1617 Naiper
log 27 1624 Kepler
1629 Girard
3 < 4
4 > 3

1631

Harriot
25 1637 Descartes

1675 Leibniz
f(x) 1734 Euler
p 1736 Euler
e 1739 Euler
sen, cos 1753 Euler
S, D 1755 Euler
i 1777 Euler
Ângulos a, b 1816 Crelle

44
UNIDADE 10
OPERAÇÕES BÁSICAS – PARTE I
Objetivos: Desenvolver técnicas para trabalhar a Adição.

Adição
Adição é uma das operações básicas da álgebra. Na sua forma mais simples,adição combina
dois números (termos, somandos ou parcelas), em um único número, a soma. Adicionar mais
números corresponde a repetir a operação. Por extensão a adição de 0, um ou um número
infinito de números pode ser definida, veja abaixo.
Para uma definição da adição no âmbito dos números naturais.
Pode também ser uma operação geométrica - a partir de dois segmentos de recta dados
determinar outro cujo comprimento seja igual à soma dos dois iniciais.
A familiaridade do aluno com a adição facilita muito o trabalho pedagógico, que consistirá
basicamente em planejar situações adequadas ao estágio em que eles se encontram.

Como trabalhar a adição
Primeiramente devemos utilizar de situações práticas que contribuam para que o aluno
construa o conceito de adição, utilizando os mais diversos recursos didáticos que forem
necessários.
As operações devem sempre ser apresentadas como uma situação-problema que faça parte
do cotidiano do aluno; são atividades bem mais interessantes do que simplesmente usar o
recurso de arme e efetue.

45
Para Kami (1986), contar é um meio de se obter cada resposta separadamente, sem colocá-
la em relação com o conhecimento anterior. O reagrupamento mental, ao contrário é um
meio de produzir um conhecimento novo em relação ao que já se sabe.
Cabe destacar que ao se trabalhar com as propriedades da adição a criança só incorpora a
ideia de comutatividade aos 7 ou 8 anos, nessa fase os alunos possuem dificuldades ligadas
a inclusão de classe.
O interessante é que inicialmente a criança disponha dos mais diversos materiais para
efetuar suas contagens (palitos, feijões, grãos, etc.), para que posso manipulá-los à vontade,
representando as quantidades das situações propostas.

O Material Cuisinaire
O material cuisenaire é constituído por uma série de barras de madeira, sem divisão em
unidades e com tamanhos variando de uma até dez unidades. Cada tamanho corresponde a
uma cor específica.
O material auxilia a compreensão de alguns conceitos básicos para os alunos das séries
iniciais, como a sucessão de números naturais ou a decomposição de uma adição em
diferentes parcelas. Nas atividades, os conceitos trabalhados são: sucessor, antecessor,
estar entre, antes de, depois de, maior e menor.

Origem
O material cuisenaire foi criado pelo professor belga Georges Cuisenaire Hottelet (1891-
1980) depois de ter observado o desespero de um aluno, numa de suas aulas. Decidiu criar
um material que ajudasse no ensino dos conceitos básicos da Matemática. Então cortou
algumas réguas de madeira em 10 tamanhos diferentes e pintou cada peça de uma cor
tendo assim surgido a Escala de Cuisenaire.

46
Durante 23 anos, Cuisenaire estudou e experimentou o material que criara na aldeia belga
de Thuin. Só 23 anos depois da sua criação (a partir de um encontro com outro professor – o
egípcio Caleb Gattegno), é que o seu uso se difundiu com enorme êxito. O egípcio, radicado
na Inglaterra, passou a divulgar o trabalho de Cuisenaire – a quem chamava de Senhor
Barrinhas. Levou apenas 13 anos para passar a ser conhecido nas escolas de quase todo o
mundo.
Feito originalmente de madeira, o Cuisenaire é constituído por modelos de prismas
quadrangulares com alturas múltiplas da do cubo – representante do número 1 – em 10
cores diferentes e 10 alturas proporcionais.

Com o material pode-se trabalhar o conceito de várias operações, um exemplo para
desenvolver o conceito de adição de forma concreta seria, propondo aos alunos que façam
adições equivalentes usando as barras e registrando o que descobriram.
Esse é simplesmente mais um material com grande possibilidade de interação, mas sua
utilização como de qualquer outro material depende exclusivamente do professor.

Antes de dar continuidades aos seus estudos é fundamental que você acesse sua
SALA DE AULA e faça a Atividade 1 no “link” ATIVIDADES.

TEMA I
Do ponto de vista pedagógico é fundamental o aspecto propiciado pela experiência com
jogos matemáticos. Aspessoas não ficam na posição de meras observadoras, tomando
conhecimento de novos fatos, e transformam-se em elementos ativos, na tentativa de ganhar
a partida ou na busca de caminhos para a solução do problema posto a sua frente.
Certamente que tal atitude é extremamente positiva para a aprendizagem das ideias
matemáticas subjacentes aos jogos.
Cite algumas experiências que você já teve com a utilização de jogos Matemáticos na sala
de aula.

49
UNIDADE 11
OPERAÇÕES BÁSICAS – PARTE II
Objetivos: Desenvolver técnicas para trabalhar a subtração..

Subtração
Diferente da adição a subtração não é uma operação simples de ser trabalhada.
Primeiramente, o raciocínio da criança se concentra em aspectos positivos da ação,
percepção e cognição. Os aspectos negativos, como inverso e recíproco, só são construídos
mais tarde.
Em segundo lugar, porque subtração tem um aspecto afetivo adverso, pois está ligada a
situação de perda.
E por último a subtração envolve diferentes conceitos como: tirar, comparar e completar.

A ideia de tirar
O que se percebe hoje é que professores ainda desenvolvem somente este conceito na
subtração, “que esta conta serve para tirar”. Apresenta-se o todo e dele tira-se uma parte.

A ideia de comparar
A ideia de comparar está presente nas situações que confrontamos duas quantidades
independentes. Ocorre também em casos que envolvam a comparação de uma parte com o
todo e depois com a outra parte, o que para a criança cria certa dificuldade.

A ideia de completar
A ideia de completar aparece em situações nas quais o cálculo começa por uma parte e
completa-se até chegar ao todo.
Exemplo: O meu álbum tem 54 figurinhas e só tenho 45 reais. Quanto falta para completá-lo?

A maior parte dos livros didáticos enfatiza somente a ideia de “tirar”.

Como trabalhar a subtração

51
Para Piaget , embora toda situação de subtração é interpretada em relação ao todo, há
diferenças no modo de se trabalhar essa relação.
a) Nas situações de tirar, a criança pensa primeiro no todo e depois remove uma parte
dele; são ações sucessivas (TOLEDO, 1997).
b) Na situação de comparar, há dois todos cujos elementos devem ser colocados em
correspondência um a um (TOLEDO, 1997).

O ideal é que essas duas situações sejam exploradas logo nas séries iniciais da Educação
Básica.
Quanto mais o aluno trabalhar com o concreto e situações rotineiras de seu dia a dia, maior a
possibilidade ele terá de superar suas dificuldades na subtração.

Emprestar: Controvérsias
O termo emprestar é considerado bastante inadequado, pois pede-se emprestado
mas não se paga o empréstimo. Além disso, o aluno que não compreende bem o
progresso de agrupamento e trocas e só faz contas com lápis e papel, sem agir
sobre materiais de contagem, não entende por que pede 1 emprestado e recebe 10.
Quando se usar o termo “troca”, no entanto, fica claro que sempre se troca uma
nota de dinheiro por outras que, somadas, representamo mesmo valor da primeira.
Assim, no problema que acabamos de ver, trocou-se uma nota de T$ 10 por dez
notas de T$ 1, ou seja trocou-se 1 dezena por 10 unidade. (TOLEDO, 1997).

52
UNIDADE 12
NÚMEROS E OPERAÇÕES – ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
Objetivos: Conhecer algumas atividades com adição e subtração.

1) Estrela Numerada.
Peça para os alunos para acessarem esse desafio. Ele mostra uma estrela dividida em
pequenos triângulos, cada um deles com um valor no seu interior.

Colorindo alguns triângulos, vizinhos entre si, é possível formar triângulos maiores, como os
mostrados na figura.
Para vencer o desafio, é necessário colorir três triângulos, de forma que, em cada um deles,
a soma dos valores mostrados seja igual a 36. Mostre aos alunos que, dentro da estrela,
podem ser formados triângulos de diversos tamanhos.

Lembre à turma que, para ganhar pontos no ranking, deve resolver o desafio sem olhar a
resposta.
Nesse desafio, não é necessária muita interferência. Deixe que os alunos tracem suas
próprias estratégias para encontrar a solução. Se alguns tiverem dificuldade, permita que
sejam ajudados por algum colega, com o cuidado de que a ajuda sejam dicas, sem que a
solução seja dada.

2) Acerte o Alvo
Neste desafio, os alunos deverão posicionar seis flechas nos círculos do alvo, de forma que
a soma dos pontos indicados seja igual a 100.
Aqui, vale a pena investir em estratégias. Sugira aos alunos que usem papel e lápis para
fazer algumas somas com os valores do alvo, tentando obter o resultado 100 com 6 parcelas
(aproveite para apresentar o vocabulário correto: “soma” ou “total”, “parcelas”, etc.).

54
Verifique se algum aluno obtém, por exemplo, um resultado muito alto e pergunte o quanto
ele deve subtrair para chegar a 100. Ele deverá verificar se, substituindo um dos valores, não
conseguirá diminuir o resultado total.
Outra estratégia é tentar obter uma soma parcial, como 50, por exemplo, e repeti-la para
obter 100.

3) Quebra-Cabeça Numérico
Nesta atividade, será usado apenas o nível 1 do desafio.
O quebra-cabeça mostra números e sinais arranjados em colunas lado a lado. O objetivo é
organizar as colunas para que formem sentenças matemáticas corretas. Para isso, é
possível trocar as colunas de lugar, selecionando uma delas e clicando nas setas, ou girá-
las, virando as colunas “de ponta-cabeça”. O giro é feito clicando-se nas setas que formam
um“S”.
O primeiro nível do desafio não deve oferecer grandes dificuldades aos alunos, pois só
apresenta operações de adição e subtração. Como dica, sugira aos alunos que tentem
organizar uma das linhas e, depois, verifiquem o que está errado nas outras para fazer a
correção

55
Na solução, mostrada a seguir, você verá que duas das sentenças matemáticas mostram o
“resultado” antes da “operação”:
8 = 6 + 2
2 = 2 + 0

Nas séries iniciais, os alunos habituam-se a ver “o sinal de igual (=) como um símbolo
unidirecional que precede a resposta numérica” (KIERAN, 1981, citado por BOOTH, 1997, p.
27. In LANGER E VIANNA, 2004). Mas, como eles perceberão mais tarde, ao iniciarem o
estudo da álgebra, o sinal de igual representa a equivalência entre duas sentenças e,
portanto, não importa que o “resultado” venha antes, desde que a igualdade seja verdadeira.
Assim, se houver questionamentos nesse sentido por parte dos alunos, reforce o conceito de
igualdade. Isso poderá ser feito com a transcrição de sentenças matemáticas para a forma
textual:
— Seis mais dois é igual a oito.
— Oito é o mesmo que seis mais dois.
— Oito é igual a seis mais dois.

56
UNIDADE 13
OPERAÇÕES BÁSICAS – PARTE III
Objetivos: Desenvolver conceitos básicos de multiplicação e divisão.

13.1 – Multiplicação
Na maioria das escolas a multiplicação é vista somente como uma “adição de parcelas
iguais”. Faz-se necessário que o docente tenha em mente que a multiplicação é uma
importante ferramenta para contagem, e oferece os primeiros contatos do aluno com as
noções de proporcionalidade.
Nas séries iniciais o que realmente pretende-se é que a criança tenha o conceito de adição
de parcelas iguais, para isso pode-se usar das ideias de formação de grupos com número de
elementos iguais.
Exemplo:
a) Formar 5 equipes, com 6 alunos cada. Será que usaremos todos os alunos da classe?
b) Tenho uma sacola de balase distribua igualmente entre seus colegas.

I) Usando as barras de Cuisenaire podem ser trabalhadas como na adição um recurso
explorador para multiplicação.
Exemplo: Construa um muro com 12 barras de valor 1. Depois, construa outros muros do
mesmo tamanho, formados apenas por barras da mesma cor.

57
II) Usando papel quadriculado podemos formalizar conceitos de área utilizando ladrilhos de 1
cm x 1 cm, e pedir para os alunos calculem quantos ladrilhos há nesse piso.
A princípio, a maioria das crianças conta os quadrados de uma a um. Mas assim, que
perceberem que todas as fileiras têm a mesma quantidade de ladrilhos passam a adição com
parcelas iguais, e a seguir a multiplicação.
III) Após trabalhar com ladrilhamento pode-se ainda familiarizar os alunos com o processo de
visualização espacial, propondo situações de empilhamento, dessa forma estamos
preparando os alunos para o conceito de volume.

13.2 – Divisão
A divisão está relacionada com a subtração. Na verdade, ela é uma subtração reiterada de
parcelas iguais, por isso apresenta questões semelhantes às daquela operação.
A divisão deve estar ligada a ideia de repartir igualmente e medir.
A ideia de Repartir
Observe essa situação: Carlos tem 45 figurinhas e deseja reparti-las entre seus 6 colegas.
Como poderá fazer isso?
Inicialmente, ele provavelmente distribuirá uma a uma, até perceber que se torna impossível
repartir em partes iguais.
A ideia de Medir
Uma doceira tem 60 bombons e deseja com eles colocar 7 bombons em cada caixa, quantas
caixas ela conseguirá completar?
Temos aqui uma situação contrária à anterior, pois, sabemos os elementos de cada grupo,
mas não sabemos quantos grupos serão formados. Essa é a ideia de medir.

58
O que é preciso saber para fazer uma divisão?
Observe o artigo de Humberto Luis de Jesus, colaborador do Mathema sobre divisão:
Se você respondeu que para fazer uma divisão é preciso conhecer a tabuada e as outras
três operações elementares – adição, subtração e multiplicação –, acertou... Em parte.
Para Miguel e Miorim 1 (1986), essa operação é a que mais apresenta dificuldade não só
para quem ensina, mas, principalmente, para quem aprende.
Neste artigo pretende-se mostrar, por meio dos conceitos relacionados à operação de
divisão, a veracidade da afirmação anterior e sugerir uma organização do planejamento da
divisão nos anos iniciais da escolaridade básica.
Antes de tudo, deve-se considerar que a lista de conceitos presentes no início deste texto
responde à questão que o intitula, quando a divisão é concebida exclusivamente como uma
técnica operatória. Porém, há muito mais conhecimento relacionado ao conceito divisão.
Primeiramente, é fundamental que o professor proponha aos seus alunos atividades
envolvendo o significado da divisão em matemática, em contraposição aos significados
construídos em situações do cotidiano.
Geralmente, parte-se do pressuposto de que relacionar divisão e dividir em partes iguais já é
do domínio de todos os alunos, e não se exploram as divisões espontâneas naturalmente
realizadas pelas crianças em suas interações sociais. Nessas divisões, nem sempre o todo é
dividido em partes iguais e nem sempre o resto deve ser menor que o divisor.
Relacionado ao significado da divisão em matemática, é essencial também propor atividades
cujo objetivo seja a natureza do todo a ser dividido: contínuo ou discreto. De acordo com
Miguel e Miorim (1986): “(...) um todo é discreto quando é formado por um número finito de
elementos (conjunto contável) e admite, teoricamente, que não podem ser quebrados” e “um
todo é contínuo quando é formado por um número infinito de elementos (pontos) e admite,
teoricamente, divisibilidade infinita (...) (p. 45).

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Sendo assim, um grupo de pessoas é um exemplo de um todo discreto, enquanto um
retângulo é um exemplo de um todo contínuo.
A natureza do todo interfere no ato de dividir, como, por exemplo, um grupo de 15 pessoas
só pode ser dividido em 1, 3, 5 ou 15 partes iguais, enquanto um pedaço de barbante pode
ser dividido, teoricamente, em qualquer número de partes iguais.
Outro aspecto relevante para a aprendizagem da divisão envolve as duas ideias relacionadas
à divisão: a ideia de repartir e a ideia de medir; que se relacionam a diferentes contextos de
problemas.
A primeira dessas ideias ocorre em problemas em que é necessário dividir igualmente certa
quantidade de objetos entre determinado número de grupos e se deve encontrar quantos
objetos ficam em cada grupo e quantos restam. Um exemplo simples disso é o problema:
Distribuindo 108 figurinhas entre 3 crianças, quantas figurinhas recebe cada uma delas?
Por sua vez, a ideia de medir ocorre em situações em que é preciso dividir igualmente
determinada quantidade de objetos, em grupos, sabendo-se quantos elementos comporão
cada grupo, precisando-se encontrar quantos grupos são formados e quantos objetos
sobram ao final. Por exemplo: Quantos pacotes, com 3 figurinhas cada um, são feitos com
108 figurinhas?
Dependendo da abordagem dada à operação de divisão, os alunos resolvem somente
problemas envolvendo a ideia de distribuir, porém é a ideia de medir que dá significado às
divisões do tipo 20 ÷ 2,5, quando se propõe, por exemplo, o problema: Quantos pedaços de
barbante de 2,5 m de comprimento é possível fazer com 20 m de barbante?
Deve ser considerado também o papel que o resto desempenha em um problema de divisão,
e as três situações a seguir ilustram a importância e os diferentes significados que o resto da
divisão pode ter:
1) Juliana tem cinco barras de chocolate que precisa dividir igualmente com seu irmão. Qual
é a quantidade de chocolate que cada um receberá?

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2) A gata de Juliana teve cinco gatinhos que ela deseja distribuir igualmente a quatro
crianças na rua. Quantos gatinhos cada criança ganhará?
3) Um pequeno barco faz a travessia de pessoas de uma margem à outra de um rio. A cada
viagem ele leva apenas duas pessoas além do barqueiro. Quantas viagens o barco deve
fazer para levar sete pessoas até o outro lado?
Em função dos múltiplos aspectos e ideias envolvidos na divisão, constata-se que a
introdução prematura de uma técnica operatória sem associá-la ao conceito de divisão no
sentido da matemática e às propriedades que relacionam os termos de uma divisão entre si
pode-se constituir em um sério obstáculo para a compreensão da própria técnica operatória.
Por esse motivo, as atividades de introdução da divisão devem ser orientadas para a
aprendizagem dos significados e relações citados até aqui.
No entanto, a própria técnica operatória pode e deve ser cuidada para ganhar significado e
se tornar um instrumento utilizado pelo aluno com controle sobre a melhor e mais prática
forma de fazê-lo.
Para isso, iniciar a técnica da divisão pelo algoritmo americano, relacionando as etapas
desse procedimento com as tabuadas e com o cálculo por estimativa, tem a vantagem de
introduzir a técnica em estreita relação com as ideias da divisão e com o significado do resto.
O algoritmo americano permite ao aluno maior controle do resultado e evita erros muito
comuns, como as dificuldades encontradas quando há zeros intercalados no dividendo ou no
quociente.
A estimativa em cada etapa do algoritmo americano e a estimativa do quociente como um
todo mostram que a passagem do algoritmo americano para o convencional, baseado na
decomposição do dividendo nas ordens do sistema de numeração, se torna muito natural
para o aluno, pois ele compreende o significado do que está sendo feito e passa a optar pela
forma mais prática de cálculoem cada situação.

61
A conta de dividir em si mesma, apesar de parte importante para aprender a divisão, mostra
que o ensino deve-se estruturar para que, ao chegar o momento da técnica, o aluno tenha
refletido sobre todos os aspectos envolvidos.
O que é preciso para saber fazer uma divisão não é uma questão simples nem para o aluno
nem para o professor, mas que pode ser bem equacionada com um bom planejamento das
ações em função de cada ideia e conceito necessários para aprender significativamente essa
operação.

62
UNIDADE 14
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS – PARTE I
Objetivos: Desenvolver conceitos sobre resolução de problemas e sua aplicabilidade no
ensino.

Para exercer seu papel de cidadão, o homem precisa ter conhecimentos, informações e
dados que lhe permita tomar uma posição diante das situações com as quais se depara.
Portanto, entende-se que a Matemática é um importante componente na construção da
cidadania, na medida em que a sociedade se utiliza cada vez mais de conhecimentos
científicos e recursos tecnológicos dos quais os cidadãos devem se apropriar.
Para Ferreira (1993, p. 89):
[...] sem dúvida, é a Matemática a disciplina que mais é chamada na hora de arbitrar
para a cidadania. É ela quem mais reprova e, portanto, é a grande responsável pela
exclusão da maioria da população de participar da cidadania.

Nesse sentido, é importante que se tenha como meta um ensino de matemática que
desempenhe um papel na formação de capacidades intelectuais, estruturando o pensamento
e encorajando o raciocínio lógico dos alunos. Esta é uma das razões pela qual a resolução
de problemas tem sido reconhecida no mundo todo como uma das metas fundamentais da
Matemática.
A resolução de problemas é hoje é muito estudada pelos educadores matemáticos devido à
sua grande importância. Vejamos o que dizem alguns estudiosos:

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“A real justificativa para se ensinar Matemática é que ela é útil e, em particular auxilia
na solução de muitas espécies de problemas”. (Begle)
“A razão principal de se estudar Matemática é para aprender como se resolvem
problemas”. (Lester Jr.)
“A resolução de problemas foi e é a coluna vertebral da instrução matemática desde o
papiro de Rhind”. (Polya)
“Aprender a resolver problemas matemáticas deve ser o maior objetivo da instrução
matemática”. (Hatfield)
“O currículo de Matemática deve ser organizado em torno da resolução de problemas”.
(NCTM – Conselho Nacional de Professores de Matemática)
Como observamos acima, todos os estudiosos defendem que a resolução de problemas já
não pode ser simplesmente considerada apenas como um conteúdo a ser trabalhado em
matemática e, sim com uma metodologia que visa facilitar e implementar o processo de
ensino-aprendizagem, evitando a manipulação imediata de dados e formulas, dentro da
perspectiva de que resolver problemas é uma atividade de investigação. A influência da
resolução de problemas no currículo atual favorece o desenvolvimento dos processos do
pensamento, a formação de capacidades e competências. Como afirma Santos (1997, p. 32):
“[...] um problema é uma tarefa a qual a pessoa quer ou precisa encontrar a solução; a
pessoa não tem nenhum procedimento pronto para encontrar a solução; a pessoa
deve procurar (tentar) encontrar a solução”.

O que é um Problema?
Agora que falamos da importância dos problemas à Matemática, podemos dar uma definição
intuitiva de problema: “um problema matemático é toda situação requerendo a descoberta de
informações matemáticas desconhecidas para a pessoa que tenta resolvê-lo e/ou a invenção
de uma demonstração de um resultado matemático dado”. Ainda, segundo Newell & Simon

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(1972), “um problema é uma situação na qual um indivíduo deseja fazer algo, porém
desconhece o caminho das ações necessárias para concretizar a sua ação” ou segundo Chi
e Glaser (1983) “o problema é uma situação na qual um indivíduo atua com o propósito de
alcançar uma meta utilizando para tal alguma estratégia em particular”. A partir das
concepções de problemas acima, entendemos que existe um problema quando há um
objetivo a ser alcançado e não sabemos como atingir esse objetivo. Em matematiquês, existe
um problema quando há um resultado – conhecido ou não – a ser demonstrado utilizando a
teoria matemática. Um problema é mais valioso à medida que o resolvedor – ou seja, quem
está se propondo a encontrar uma solução ao problema - tenha de inventar estratégias e
criar ideias. Quem resolve pode até saber o objetivo a ser atingido, mas ainda estará
enfrentando um problema se ele ainda não dispõe dos meios para atingir tal objetivo.

Objetivos da Resolução de Problemas
 Segundo Dante (1989) os objetivos principais da Resolução de problemas são:
 Fazer o aluno pensar produtivamente;
 Desenvolver o raciocínio do aluno;
 Ensinar o aluno a enfrentar situações novas;
 Dar ao aluno a oportunidade de se envolver com as aplicações da matemática;
 Tornar as aulas de matemática mais interessantes e desafiadoras;
 Equipar o aluno com estratégias para resolver problemas;
 Dar uma boa matemática às pessoas.
Para Abrantes (1995, p. 30) a resolução de problemas deve estar no centro do ensino e da
aprendizagem da Matemática, em todos os níveis escolares.

65
UNIDADE 15
ETAPAS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Objetivos: Reconhecer as etapas para resolução de problemas e suas resoluções.

Etapas de Resolução de Problemas
Segundo Polya (1995, pág. 14) essas são as etapas para resolver um problema:
Primeiro
É preciso compreender o
problema
COMPREENSÃO DO PROBLEMA
Qual é a incógnita? Quais são os dados? Qual é a
condição?
É possível satisfazer a condição? A condição é suficiente
para determinar a incógnita? Ou é insuficiente? Ou
excessiva? Ou contraditória?
Desenha uma figura.
Separa as diversas partes da condição. É possível defini-
las de outro modo? Comentá-las?

Segundo
Encontra a conexão entre os
dados e a incógnita.
É possível que sejas
ESTABELECIMENTO DE UM PLANO
Já viste este problema antes? Ou já viste o mesmo
problema apresentado sob uma forma ligeiramente
diferente?

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obrigado a considerar
problemas auxiliares se não
poderes encontrar uma
conexão imediata.
É preciso chegar afinal a um
plano para a resolução
Conheces um problema relacionado? Ou um que seja útil
aqui?
Conheces um teorema que lhe poderia ser útil? Ou uma
propriedade?
Olha bem para a incógnita! Pensa num problema
conhecido que tenha a mesma incógnita ou outra
semelhante.
Eis um problema correlacionado e já antes resolvido. É
possível utilizá-lo? É possível utilizar o seu resultado? É
possível utilizar o seu método? Deve-se introduzir algum
elemento auxiliar para tornar possível a sua utilização?
É possível reformular o problema? É possível reformulá-lo
ainda de outra maneira? Volta às definições.
Se não puder resolver o problema proposto, procura
primeiro resolver algum problema correlacionado.
É possível imaginar um problema correlato mais acessível?
Ou um que seja mais genérico? Ou um que seja mais
específico? Ou um que lhe seja análogo?
É possível resolver uma parte do problema? Mantém
apenas uma parte da condição, deixa a outra de lado; até
que ponto fica assim determinada a incógnita? Como pode
ela variar?
É possível obter dos dados alguma coisa de útil? É
possível pensar em outros dados apropriados para
determinar a incógnita?

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É possível variar a incógnita, ou os dados, ou todos eles,
se necessário, de tal maneira que fiquem mais próximos
entre si?
Serviste-te de todos os dados? Utilizaste toda a condição?
Tiveste em conta todas as noções essenciais que estão no
problema?
Terceiro
Executa o teu plano
EXECUÇÃO DO PLANO
Ao executares o teu plano de resolução, verifica cada
passo. É possível verificar claramente que cada passo está
correto? É possível demonstrar que ele está correto?
Quarto
Examina a solução obtida
RETROSPECTIVA
É possível verificar o resultado? É possível verificar o
raciocínio?
É possível chegar ao resultado por um caminho diferente?
É possível perceber isto num relance?
É possível utilizar o resultado, ou o método, para outros
problemas?

68
UNIDADE 16
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS – PARTE II
Objetivos: Exemplificar as etapas da resolução de problemas..
Conforme vimos, Polya dividiu o processo de resolução de problemas matemáticos em
quatro etapas: entendimento do problema, invenção de estratégia de resolução, execução e
revisão. A revisão da solução é a etapa mais importante segundo Polya, pois esta etapa
propicia uma depuração e uma abstração da solução do problema:
Depuração: o objetivo é verificar a argumentação usada, procurando simplificá-la; pode-se
chegar ao extremo de buscar outras maneiras de resolver o problema, possivelmente mais
simples, mas menos intuitivas e só agora acessíveis ao resolvedor. Há uma crítica
generalizada aos matemáticos pesquisadores por publicarem demonstrações muito artificiais
ou abstratas e que certamente não representam a maneira como o resultado em
demonstração foi descoberto. Contudo, é inegável que a revisão de depuração é muito
proveitosa.
Abstração: agora, o objetivo é refletir no processo de resolução procurando descobrir a
essência do problema e do método de resolução empregado; tendo-se sucesso nessa
empreitada, poder-se-á resolver outros problemas mais gerais ou de aparência bastante
diferente. Ela representa a possibilidade de aumento do ‘poder de fogo’ do resolvedor. Feito
por um matemático talentoso, esse trabalho de abstração representa a possibilidade de
fertilização da Matemática.
Vamos ilustrar a estratégia de resolução de problemas proposta por Polya, observando a
resolução do problema abaixo:
Um gato está sobre um muro de 4m de altura quando avista um rato a uma distância de 8m
da base do muro. Quando o rato dirige-se a sua casa (em linha reta até o muro) é comigo

69
pelo gato, que pula diagonalmente, andando o mesmo comprimento que o rato tinha andado
até então. Qual a distância que cada um percorreu?
1ª etapa: compreensão do problema
Para entendermos um problema devemos estar em condições de identificar as partes
principais do problema, ou seja, a incógnita, os dados, a condicionante. Caso haja uma figura
relacionada ao problema, é importante desenhá-la e adotar uma notação adequada.
Qual é a Incógnita?
A distância que cada um percorreu; denotaremos a mesma por d.
Quais são os dados?
Altura do muro: 4m.
Distância do rato à base do muro: 8m.
A trajetória percorrida pelo gato é uma linha reta diagonal.
O muro é perpendicular ao chão.
Traçando uma figura para esquematizar o problema:

2ª etapa: estabelecimento de um plano
“Consideramos que temos um plano quando, ao menos em linhas gerais, sabemos quais são
os cálculos, construções, etc., que devemos efetuar para encontrar a solução do problema
considerado” (G. Polya, A arte de resolver problemas)

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Vamos encontrar a conexão entre os dados e a incógnita do problema, reduzindo-a a figuras
geométricas com propriedades conhecidas. Neste caso, visualizamos três triângulos (DBGE,
DBGR e DEGR), sendo os dois primeiros retângulos e o último isósceles.
O plano é resolvê-lo através do triângulo retângulo menor (DBGE, retângulo em ÐGBE)
aplicando o Teorema de Pitágoras, pois conhecemos a distância BG = 4m e as distâncias BE
e GE em função de d, isto é, BE = 8 – d e a distância GE = d.

3ª etapa: execução do plano
Nesta etapa devemos observar se é possível executar o plano.
Observemos a figura construída novamente:

4ª etapa: revisão da solução
Nesta etapa, examinamos a solução obtida.
É possível verificar o resultado?
De fato, basta substituir d = 5 na figura acima e teremos a seguinte situação:

Deste modo, chegamos a resposta de que a distância percorrida tanto pelo gato quanto pelo
rato é 5m.
É possível verificar o argumento?
O argumento utilizado foi o Teorema de Pitágoras, cujo uso era válido pelo fato do triângulo
DBGE ser retângulo em B.
É possível utilizar o resultado ou o método em algum outro problema?
Notamos que todo triângulo retângulo de catetos 3 e 4 possui hipotenusa 5 (o famoso
triângulo retângulo 3, 4 e 5, o único de lados sendo inteiros consecutivos). O Teorema de
Pitágoras é extremamente útil e empregado na resolução de muitos problemas.
É possível chegar ao resultado por caminho diferente?
Uma ideia poderia ser olhar para o triângulo isósceles DEGR e utilizar a lei dos co-senos.
Não garantimos que, de fato, haja uma solução por este caminho, mas ao menos parece ser
um caminho interessante!

72
UNIDADE 17
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS – PARTE III
Objetivos: Exemplos de problemas.

Exercícios de Reconhecimento
Seu objetivo é fazer com que o aluno reconheça, identifique ou lembre um conceito um fato,
uma definição, etc.

Exemplos:
a) Uma centena equivale a quantas dezenas?
b) Qual propriedade da adição está sendo ao se escrever 3 + 4 = 4 + 3?
c) Calcular x² - 3x para x = 2.

Exercícios de Algoritmos
São aqueles que podem ser resolvidos passo a passo. Seu objetivo é treinar a habilidade em
executar um algoritmo e reforçar conhecimentos anteriores.
Exemplo:
Calcule o valor de [(5x7) + 3]:2?

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Problemas Padrão
O objetivo desse problema é recordar e fixar os fatos básicos através de algoritmos, além de
reforçar o vínculo existente entre essas operações e seu emprego nas situações do dia a dia.

Exemplos:
a) Um gato tem 4 patas. Quantas patas tem 3 gatos?
b) Luiz tem 7 anos e mais o triplo da idade de Filipe. Os dois juntos têm 55 anos. Qual a
idade de cada um?
c) Um cliente comprou num dia 2,3 metros de fazenda. No dia seguinte, comprou mais
1,5 metros da mesma fazenda. Quantos metros de fazenda comprou no total?

Problemas – Processo Heurístico
São problemas cuja solução envolve operações que não estão contidas no enunciado. Eles
aguçam a curiosidade do aluno e permitem que ele desenvolva sua criatividade, sua
iniciativa e seu espírito explorador.

Exemplos:
a) Numa reunião de equipes há 6 alunos. Se cada um trocar um aperto de mão com
todos os outros, quantos apertos de mão teremos ao todo?
b) O produto de três números inteiros consecutivos é sempre um número par múltiplo de
3. Comentar a situação se substituirmos por soma.

Problemas de Aplicação

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São aqueles que retratam situações do dia a dia e que exigem o uso da Matemática.
Exemplos:
a) Para fazer seu relatório, um diretor de escola precisa saber qual é o gasto mensal, por
aluno, que ele tem com a merenda escolar.
b) Construir uma planta de um estádio – um campo de futebol e uma pista de atletismo.
Problemas de Quebra-Cabeça
São problemas que envolvem e desafiam grande parte dos alunos. Geralmente constituem a
chamada Matemática recreativae sua solução depende, quase sempre de um golpe de sorte
ou da facilidade em perceber algum truque, que é a chave da solução.
Exemplos:
a) Mover 5 palitos na figura para obter 3 quadrados.

b) Mova 2 palitos na figura em laranja para obter 5 quadrados.

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Demonstrações
Descobrir um caminho para provar uma conjectura ou uma proposição implica, por vezes,
processos muito ricos que nem sempre estarão presentes em outros tipos de problemas.

Exemplo:
Usando os casos de semelhança, mostre que a altura relativa à hipotenusa divide um
triângulo em dois triângulos semelhantes.

17.1 Atividades sobre resolução de Problemas
01 - Em um terreno de forma quadrada, um proprietário deseja construir uma casa. Nesse
terreno existem plantadas 15 árvores. Como dividir o terreno em 5 partes iguais, em forma e
grandeza, de modo que cada uma dessas partes contenha o mesmo número de árvores?
02 – Desenhar as figuras abaixo, sem tirar o lápis do papel e sem passear, por cima do risco
(cruzar pode).

03 – A figura ao lado é formada por quadrados iguais. Divida-a em 4 figuras iguais.

04 – O trapézio ao lado é formado por 3 triângulos eqüiláteros iguais. Divida-o em 4 figuras
iguais.

05 – Dois pais presentearam seus filhos com dinheiro. Um deu a seu filho R$ 150,00, o outro
entregou R$ 100,00 ao seu. No entanto, juntos, ambos só aumentaram seu capital em R$
150,00. De que modo se explica isso?

06 – Um avião cobriu a distância que separa as cidades A e B em 1 h e 20 min. No entanto,
voando de volta, percorreu a mesma distância em 80 minutos. Como se explica isso?

77
UNIDADE 18
QUEBRA-CABEÇAS
Objetivos: Resolver Quebra-Cabeças..

Os quebra-cabeças ao lado são mais desafiadores que os sudokus tradicionais. Para
resolvê-los, valem as regras já apresentadas, com algumas complicações extras. Em a, as
letras das palavras MARTIN GARDNER substituem os números, e formas geométricas
tomam o lugar dos quadrados menores. O inventor desse formato o batizou de Du-Sum-Oh.
Em b, tem-se uma estrela com apenas seis sub-regiões triangulares; linhas e colunas
inclinadas podem ser interrompidas no centro, e quando uma linha ou coluna tem apenas
oito casas, a célula próxima que forma uma ponta da "estrela" serve como uma nona casa.
Em c, os algarismos de três dígitos formados pelas linhas nos dois primeiros quadrados
menores são somados e devem resultar no número que aparece na linha do terceiro
quadrado menor. Em d, sinais de maior e menor (<,>) indicam as casas em que os números
devem ser colocados. Em e, os dominós na parte de baixo da página devem ser encaixados
nos espaços vazios. Em f, três quadrados se sobrepõem. As soluções estão em
www.sciam.com.br

80
UNIDADE 19
QUADRADOS MÁGICOS
Objetivos: Resolver Quadrados Mágicos..

Um quadrado mágico é um arranjo de números de 1 a n² em uma matriz n x n, na qual cada
número só aparece uma vez e tal que a soma de cada linha, cada coluna, ou cada diagonal
tem o mesmo valor.
O quadrado mágico mais simples é o 1 x 1.

O seguinte mais simples é o quadrado mágico 3 x 3.

É possível derivar outros quadrados dele por simetria. Você sabe como obtê-lo?
Por que não existem quadrados mágicos 2 x 2?
1

81
O quadrado mágico 4 x 4 tem muitas propriedades que não são satisfeitas pelos quadrados
mágicos de modo geral.

Qual o valor da soma mágica obtida ao se somar as linhas, as colunas ou as diagonais?
Experimente:
1. Somar os quatro números dos quatro cantos. Qual o resultado?
2. Você é capaz de descobrir outras propriedades?

Desafios:
a) Como foi obtido o quadrado 4 x 4 exibido acima?
b) Construir um quadrado mágico 5 x 5.

PRODUTO DE QUADRADOS MÁGICOS
É possível definir uma operação entre quadrados mágicos, denominada “multiplicação”, que
denotaremos por *.

82
Assim, o produto do quadrado mágico 3 x 3 pelo 4 x 4 fornece o quadrado mágico 12 x 12.
Como seria essa operação?

83
UNIDADE 20
MODELAGEM MATEMÁTICA
Objetivos: Reconhecer a Modelagem Matemática como estratégia didática de ensino.

Modelo Matemático
É o conjunto de símbolos e relações matemáticas que procura traduzir, de alguma forma, um
fenômeno em questão ou problema de situação real. Um modelo pode ser formulado em
termos familiares, utilizando-se de expressões numéricas, fórmulas, diagramas, gráficos ou
representações geométricas, equações algébricas, tabelas, computadores, etc. Um modelo
matemático retrata aspectos de uma situação pesquisada.

Modelagem Matemática
É um processo que envolve a obtenção de um modelo, acima de tudo uma perspectiva, algo
a ser explorado, o imaginável e o inimaginável.
A modelagem matemática é uma arte, ao formular, resolver e elaborar expressões que
valham não apenas para uma solução particular, mas que também sirva, posteriormente,
como suporte para outras aplicações e teorias.

Ao trabalharmos com modelagem matemática dois pontos são fundamentais:
 Aliar o tema a ser escolhido com a realidade;
 Aproveitar as experiências dos alunos aliada a do professor.

A interação entre o real e a matemática, envolve três etapas subdivididas em subetapas,
conforme organograma abaixo:
Modelagem
Matemática
Situação
Real
Matematização
Modelo Matemático

Interação:
Nesta etapa realiza-se um estudo sobre o assunto de modo indireto (livros, revistas, etc.) ou
direto, in loco.
Esta etapa é subdividida em reconhecimento da situação-problema e familiarização, não
obedecendo a uma ordem rígida e termina ao passar para a etapa seguinte.

Matematização:
É a etapa mais complexa, subdividida em formulação do problema e resolução. É nela que
se dá a passagem da situação-problema para a linguagem matemática.
A formulação do problema é importante, pois, classifica as informações, decide quais os
fatores a serem perseguidos, seleciona variáveis e símbolos relevantes e descreve as

86
relações em linguagem matemática. O objetivo principal dessa subetapa é chegar a um
conjunto de expressões matemáticas, fórmulas, equações algébricas, gráficos,
representações ou programas computacionais, que levam a solução ou dedução do modelo.
A resolução do problema requer um conhecimento sobre as ideias matemáticas usadas na
formulação.

Modelo Matemático
Avaliação do modelo onde se verifica em que nível ele se aproxima da situação-problema
representada, observando o grau de confiabilidade na sua utilização.
Se o modelo não atender às necessidades que o geraram, o processo deve ser retomado a
matematização, mudando-se ou ajustando-se hipóteses ou variáveis.

Modelagem ou Modelação Matemática?
Primeiramente não existe modelagem sem modelo, logo Modelação é uma prática de
modelagem onde é lícito utilizar a Modelagem Matemática para o ensino específico de um
determinado conteúdo que o professor necessita ensinar dentro do programa de ensino.
Norteia-se por desenvolver o conteúdo programático a partir de um tema ou modelo
matemático e orientar o aluno na realização de seu própriomodelo-modelagem.
Não faz sentido, o professor interromper a sua sequência de ensino, por exemplo, geometria,
para fazer uma atividade de Modelagem Matemática apenas porque sobrou certo tempo em
seu cronograma, pois talvez o tema escolhido pelos alunos pode divergir para conteúdos
completamente distantes do interesse daquele momento de ensino, acredita-se que a
Modelagem deve auxiliar o ensino e não gerar um trabalho a mais e desnecessário para
professor prejudicando o andamento dos conteúdos.

87
Segundo Salett (2003, pág. 19) para pôr em prática a modelação matemática são
necessários cinco passos:

Antes de dar continuidades aos seus estudos é fundamental que você acesse sua
SALA DE AULA e faça a Atividade 2 no “link” ATIVIDADES.

TEMA II
Comente a afirmação:
''É importante destacar que a Matemática deverá ser vista pelo aluno como um conhecimento
que pode favorecer o desenvolvimento do seu raciocínio, de sua sensibilidade expressiva, de
sua sensibilidade estética e de sua imaginação'' (PCN's,1997).

89
UNIDADE 21
EXEMPLO DE MODELAGEM MATEMÁTICA
Objetivos: Identificar um exemplo de modelagem matemática.

Título:
Otimização de Energia Elétrica

Assuntos Matemáticos Abordados:
Aritmética, gráficos, álgebra, funções
e resolução de problemas.

Professor:
Marcelo Souza Motta

Séries:
A partir do 8ª série do Ensino
Fundamental.

Tempo Necessário:
05 aulas

Objetivos:
Reconhecer e aplicar conceitos
algébricos (fórmula, funções, valor
numérico, etc.);
Aplicar conceitos aritméticos;
Construir tabelas e gráficos;
Compreender a importância da
otimização de energia elétrica;
Economizar energia elétrica;
Resolver problemas matemáticos.

90
Para iniciarmos este trabalho com modelagem, primeiramente poderíamos caracterizar:
1. Energia e Meio Ambiente
2. Histórico da Energia Elétrica no Espírito Santo
3. Utilização Racional da Eletricidade
4. Como Combater o Desperdício
5. Sistemática de Tarifação
6. Cálculo da Fatura

A partir dessa caracterização o professor pode sugerir algumas atividades:
Gastos de kWh de alguns aparelhos
Aparelho Tempo ligado KWh gasto
Ar condicionado 1 hora por dia 30
Chuveiro 10 minutos por dia 25
Ferro de passar 20 minutos por dia 20
Geladeira 24 horas por dia 92
Lâmpada 100W 3 horas por dia 9
Máquina de lavar 1 hora por dia 10
Microcomputador 1 hora por dia 28
Microondas 1 hora por dia 36
Secadora de roupa 1 hora por dia 24
Televisão 4 horas por dia 10

I - Olhando na tabela acima e considerando o consumo de 1 hora, calcule quantos kWh por
dia serão gastos com:
a ) o chuveiro (imaginando que há muitas pessoas na família);

91
b ) o ferro de passar.
II - Qual é o aparelho, segundo a tabela, que consome mais energia?
III - Observando a lista de eletro-eletrônicos usados calcule quantos kWh você acha que são
gastos diariamente em sua casa.
IV – Analisando a lista de eletro-eletrônicos de sua casa e o consumo de energia de cada
um, calcule o total de kWh gastos em uma hora?
V – Em qual ambiente de sua casa ocorre o maior gasto de energia?
VI - Faça a leitura do medidor de luz abaixo e calcule o consumo.

VII - Faça a leitura do medidor de sua casa e registre na tabela abaixo. Faça uma leitura de
manhã, outra à tarde e outra à noite.
Dia Horário Leitura do medidor

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a) Registre os eletro-eletrônicos que foram usados hoje na sua casa.
b) Faça um levantamento dos eletro-eletrônicos de sua casa.
c) Faça uma planta de sua casa e localize os eletro-eletrônicos de sua casa.
d) Traga uma conta de luz de sua casa.
Traga uma conta de luz de sua casa e responda:
VIII) Tendo como referência agora a conta de luz trazida por você para a aula, responda:
a) Quantos kWh a sua família consumiu?
b) Qual a indicação do medidor em kWh?
c) No mês passado qual seria a indicação do medidor?
d) Considere que a taxa de consumo (Tc) seja de x reais, qual a fórmula o que melhor
expressaria o valor da fatura de sua conta de energia elétrica?
e) Quais medidas para economizar energia você e sua família podem adotar?
IX – Suponha que o valor da fatura de sua casa seja expresso pela fórmula: Fc = 0,4125 x(C²
+ 2C). Sendo assim determine:
a) Qual o valor da fatura se o consumo (C) for de 80 kWh?
b) Esboce o gráfico da função valor da fatura e indique seus principais pontos.
c) Para qual consumo o valor da fatura é máximo? Qual o valor máximo?

Outras atividades com a mesma temática podem ser desenvolvidas pelo professor,
o que apresento acima é uma sugestão de atividade, que pode ser empregada desde
as séries iniciais até o ensino superior.

93
UNIDADE 22
OS NÚMEROS RACIONAIS - FRAÇÕES
Objetivos: Trabalhar com os números racionais.
Esta temática é a qual encontramos a maior dificuldade ao trabalharmos com os alunos. As
dificuldades aparecem tanto na forma fracionária quanto na decimal.
Quando os alunos deparam com questões simples como:
1 - ¼ ou 4 x ½ ou 3 – 2,765 ou 25% de 650
É muito comum estarem munidos de estratégia de cálculos apenas decorados, realmente
não apreendendo os conteúdos essenciais.
Devemos sempre destacar que os racionais, sejam decimais ou fracionários estão sempre
presente no nosso cotidiano, esta é uma tentativa de aproximar o aluno do conteúdo que
será abordado.
Frações
Geralmente trazemos para o aluno o mundo dos decimais, trabalhando inicialmente com
frações. Em geral, ensinamos nas escolas um modelo rígido no ensino de frações.
Para Piaget o conceito de fração é constituído pela criança no período operatório-concreto,
desde que ela seja capaz de conservar quantidades.
Portanto não é aconselhável iniciar o trabalho com números racionais antes da 3ª ou 4ª
séries, sob pena de se obterem resultados tão-somente decorados, sem o menor significado
para a criança (TOLEDO, 1997).
O interessante é que ao trabalharmos com números racionais a criança tenha a oportunidade
de manipular materiais variados, ou seja, trabalhar com o concreto.

94
Desse modo ele poderá realizar experiências como:
 Repartir igualdades em partes iguais;
 Verificar se as porções obtidas realmente são iguais, a partir de comparações das
quantidades;
 Conferir se as partições estão completas, recompondo o todo.
Um enfoque interessante ao se trabalhar frações é desenvolver o conceito de frações
equivalente e para isso pode-se trabalhar com as tiras de frações.

95
O jogo é para grupos de 4 a 5 alunos (não sugerimos duplas porque ele perde o sentido de
desafio). Todas as cartas do baralho são distribuídas entre os jogadores que não veem suas
cartas. Cada jogador coloca suas cartas em uma pilha com os números virados para baixo.
A tabela com as tiras de fração é colocada no centro da mesa de modo que todos a vejam.
Os jogadores combinam entre si um sinal ou uma palavra. Dado o sinal todos os jogadores
viram a carta de cima de sua pilha ao mesmo tempo e comparam as frações. O jogador que
tiver a carta representando a maior fração vence a rodada e fica com todas as cartas (Papa
todas)
A tabela de tiras de frações pode ser usada se necessário para que as comparações sejam
feitas. Se houver duas cartas de mesmo valor todas as cartas ficam na mesa e na próxima
rodadao jogador com a maior carta papa todas, inclusive aquelas que estão na mesa. O jogo
termina quando as cartas acabarem.

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UNIDADE 23
OS NÚMEROS RACIONAIS - DECIMAIS
Objetivos: Trabalhar com os números racionais decimais.

Hoje em dia os números são usados para tudo, mas já houve uma época na história, muito
antiga, em que os homens nem conheciam os números. Foi preciso um longo período para
que os homens inventassem os números, outro bom período até que os números
começassem a ser escritos, de forma primitiva, e muito tempo ainda até se escrever os
números naturais como os escrevemos hoje em dia: no sistema de numeração decimal.
Neste sistema, os algarismos têm valores posicionais e cada posição tem 10 vezes o valor
da posição mediante à sua escrita.
Na sequência dos números naturais, o sucessor de 97 é 98, e não existem números naturais
entre 97 e 98. Para escrever um número maior que 97 e menor que 98, sem usar frações,
passou-se outro longo período até o surgimento de uma ideia fantástica e simples: colocar
uma vírgula no fim de um número natural e continuar escrevendo algarismos também depois
da vírgula.
O que caracteriza os números decimais é a vírgula.

Material Dourado
Uma boa sugestão de se trabalhar com os números decimais é utilizando o material dourado.

97
O Material Dourado Montessori destina-se a atividades que auxiliam o ensino e a
aprendizagem do sistema de numeração decimal-posicional e dos métodos para efetuar as
operações fundamentais (ou seja, os algoritmos).
No ensino tradicional, as crianças acabam "dominando" os algoritmos a partir de treinos
cansativos, mas sem conseguirem compreender o que fazem. Com o Material Dourado a
situação é outra: as relações numéricas abstratas passam a ter uma imagem concreta,
facilitando a compreensão. Obtém-se, então, além da compreensão dos algoritmos, um
notável desenvolvimento do raciocínio e um aprendizado bem mais agradável.
O Material Dourado faz parte de um conjunto de materiais idealizados pela médica e
educadora italiana Maria Montessori.
O material Dourado ou Montessori é constituído por cubinhos, barras, placas e cubão, que
representam:

Observe que o cubo é formado por 10 placas, que a placa é formada por 10 barras e a barra

Formada por 10 cubinhos. Este material baseia-se em regras do nosso sistema de
numeração.
Veja como representamos, com ele, o número 265:

Este material pedagógico, confeccionado em madeira, costuma ser comercializado com o
nome de material dourado. Você pode construir um material semelhante, usando cartolina.
Os cubinhos são substituídos por quadradinhos de lado igual a 2 cm, por exemplo. As
barrinhas são substituídas por retângulos de 2 cm por 20 cm e as placas são substituídas por
quadrados de lado igual a 20 cm.
Reciprocamente, podemos representar cada cubinho por um centésimo, cada barra por um
décimo e cada cubo grande o inteiro, assim:
0,01 = um cubinho
0,1 = um décimo
1 = um cubo grande
Assim, podemos efetuar todas as noções de decimais, incluindo suas operações.

99
UNIDADE 24
ETNOMATEMÁTICA
Objetivos: Reconhecer os conceitos etnomatemáticos e aplicá-los em sala de aula.

A etnomatemática surgiu na década de 70, com base em críticas sociais acerca do ensino
tradicional da matemática, como a análise das práticas matemáticas em seus diferentes
contextos culturais. Mais adiante, o conceito passou a designar as diferenças culturais nas
diferentes formas de conhecimento. Pode ser entendida como um programa interdisciplinar
que engloba as ciências da cognição, da epistemologia, da história, da sociologia e da
difusão.
A palavra foi cunhada da junção dos termos techné, mátema e etno. Segundo Ubiratan
D'Ambrósio o Programa Etnomatemática "tem seu comportamento alimentado pela aquisição
de conhecimento, de fazer(es) e de saber(es) que lhes permitam sobreviver e transcender,
através de maneiras, de modos, de técnicas, de artes (techné ou 'ticas') de explicar, de
conhecer, de entender, de lidar com, de conviver com (mátema) a realidade natural e
sociocultural (etno) na qual ele, homem, está inserido."
Tomando o campo da matemática como exemplo, numa perspectiva etnomatemática, o
ensino desta ganha contornos e estratégias específicas, peculiares ao campo perceptual dos
sujeitos aos quais se dirige. A matemática vivenciada pelos meninos em situação de rua, a
matemática desenvolvida em classes do ensino supletivo, a geometria na cultura indígena,
são completamente distintas entre si em função do contexto cultural e social na qual estão
inseridas.

100

Sugestão de Leitura
Etnomatemática: Elo entre as tradições e a modernidade
Belo Horizonte: Autêntica, 2001. (Tendências em Educação Matemática).

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102
UNIDADE 25
JOGOS MATEMÁTICOS
Objetivos: Aplicar Jogos Matemáticos na sala de aula.
O Papel dos Jogos no Contexto Escolar

O conhecimento se constroi num processo, assim, cada etapa concluída é mais um passo
na construção do resultado esperado, o conhecimento. Por isso, no processo educativo cabe
estabelecer uma interação constante entre teoria e prática. A partir da “sustentação teórica”,
torna-se possível uma prática eficaz. Entendemos por “sustentação teórica” todo processo de
informação desenvolvida por meio de conteúdos ministrados em sala de aula.
Ao propor a utilização do jogo na recreação, estimularemos no aluno sua capacidade de
raciocínio, trabalho em grupo, interagindo com o conhecimento socialmente construído.
Aprender brincando é uma atividade prazerosa e que, na realidade, estabelece o grau de
conhecimento obtido em sala de aula.
No contexto atual, o professor não pode ser um mero repassador de conhecimentos. Com
isso, ela não perde o seu lugar de provocador. De catalisador no processo de aprendizagem
do aluno. A partir dessas considerações, o trabalho do professor tende a se tornar cada vez
mais atuante, quando se faz a junção entre estímulo espontâneo do jogo e uma atitude
construtiva, interagindo teoria e prática.
O objetivo do jogo é a união de educação e entretenimento, vinculado a ideia de que a
criança aprende a se entretém ao mesmo tempo.

103
Dentre as perspectivas do jogo, é necessário determinar critérios normativos que possibilitam
uma saudável competição:
 Propor atividades interessantes e desafiadoras;
 Possibilitar a autoavaliação do desempenho pessoal;
 Promover uma participação ativa de todos os jogadores;
 Incentivar os participantes a perceberam a importância de compartilhar todas as
etapas do jogo;
 Desenvolver regras no sentido de uma cooperação, que provoque aceitação de suas
consequências.

É fundamental que o aluno seja estimulado que no jogo deva existir o fator “cooperação” em
oposição à ideia de sempre vencer. Essa percepção educativa referente ao jogo visa à
aquisição de conhecimentos, não como uma mera consequência do vencer. O mais
importante é a constatação de que cada etapa foi realizada e gerou um avanço significativo.

O Jogo no Ensino de Matemática
O uso de jogos no ensino de Matemática é a proposta de muitos grupos de trabalhos em
Educação Matemática.
Os jogos são maneiras de abordar aspectos de pensamentos matemáticos que vem sendo
ignorados no ensino, resgatando o lúdico. Como o ensino valoriza o pensamento algoritmo,
têm-sedeixado de lado o pensamento lógico-matemático e o espacial.
Além do aspecto motivador e prazeroso, é através do jogo que questões problemáticas são
colocadas, crescendo o interesse de se resolver questões pelo “prazer da descoberta” ou

104
criar o hábito de questionar afirmações, muitas vezes sem fundamento, criando um espírito
científico.
O jogo é uma ação inerente na criança, adolescentes, jovens e adultos e aparece sempre
como uma forma transacional em direção a algum conhecimento, que se redefine na
elaboração constante do pensamento individual em permutações constantes com o
pensamento coletivo.
Outro aspecto a ressaltar é o de muitos dos jogos propiciam a integração de várias áreas da
Matemática (Aritmética, álgebra, geometria, topologia, combinatória, etc.) dando
oportunidades, assim, que seja trabalhada uma das mais ricas características dessa ciência.
No entanto, os jogos são normalmente considerados atividades secundárias que só devem
ser feitos após os trabalhos sérios e se sobrar tempo. Verifica-se, entretanto que as crianças
e adolescentes se interessam de um modo puro e natural pelos jogos quebra-cabeças,
charadas, etc., mas o prazer da descoberta, do que está além dos fatos, se perde.
Do ponto de vista pedagógico é fundamental o aspecto propiciado pela experiência com
jogos matemáticos. As pessoas não ficam na posição de meras observadoras, tomando
conhecimento de novos fatos, e transformam-se em elementos ativos, na tentativa de ganhar
a partida ou na busca de caminhos para a solução do problema posto a sua frente.
Certamente que tal atitude é extremamente positiva para a aprendizagem das ideias
matemáticas subjacentes aos jogos.

Jogos como Recursos Didáticos
O uso de jogos e curiosidades no ensino da Matemática tem o objetivo de fazer com que os
adolescentes gostem de aprender essa disciplina, mudando a rotina da classe e despertando
o interesse do aluno envolvido. A aprendizagem através de jogos, como dominó, palavras
cruzadas, memória e outros permitem que o aluno faça da aprendizagem um processo
interessante e até divertido. Para isso, eles devem ser utilizados ocasionalmente para sanar
as lacunas que se produzem na atividade escolar diária. Neste sentido verificamos que há

105
três aspectos que por si só justificam a incorporação do jogo nas aulas. São estes: o caráter
lúdico, o desenvolvimento de técnicas intelectuais e a formação de relações sociais.
Jogar não é estudar nem trabalhar, porque jogando, a aluno aprende, sobretudo, a conhecer
e compreender o mundo social que o rodeia.
Os jogos são educativos, sendo assim, requerem um plano de ação que permita a
aprendizagem de conceitos matemáticos e culturais de uma maneira geral. Já que os jogos
em sala de aula são importantes, devemos ocupar um horário dentro de nosso planejamento,
de modo a permitir que o professor possa explorar todo o potencial dos jogos, processos de
solução, registros e discussões sobre possíveis caminhos que poderão surgir.
Os jogos podem ser utilizados pra introduzir, amadurecer conteúdos e preparar o aluno para
aprofundar os itens já trabalhados. Devem ser escolhidos e preparados com cuidado para
levar o estudante a adquirir conceitos matemáticos de importância.
Devemos utilizá-los não como instrumentos recreativos na aprendizagem, mas como
facilitadores, colaborando para trabalhar os bloqueios que os alunos apresentam em relação
a alguns conteúdos matemáticos.
'' Outro motivo para a introdução de jogos nas aulas de matemática é a possibilidade
de diminuir bloqueios apresentados por muitos de nossos alunos que temem a
Matemática e sentem-se incapacitados para aprendê-la. Dentro da situação de jogo,
onde é impossível uma atitude passiva e a motivação é grande, notamos que, ao
mesmo tempo em que estes alunos falam Matemática, apresentam também um
melhor desempenho e atitudes mais positivas frente a seus processos de
aprendizagem.'' (BORIN, 1996)
(Borin,1996,9)

Segundo Malba Tahan, 1968, ''para que os jogos produzam os efeitos desejados é preciso
que sejam, de certa forma, dirigidos pelos educadores''. Partindo do princípio que as crianças

106
pensam de maneira diferente dos adultos e de que nosso objetivo não é ensiná-las a jogar,
devemos acompanhar a maneira como as crianças jogam, sendo observadores atentos,
interferindo para colocar questões interessantes (sem perturbar a dinâmica dos grupos) para,
a partir disso, auxiliá-las a construir regras e a pensar de modo que elas entendam.
Moura (1991, p. 78), afirma que ''o jogo aproxima-se da Matemática via desenvolvimento de
habilidades de resoluções de problemas''.
Devemos escolher jogos que estimulem a resolução de problemas, principalmente quando o
conteúdo a ser estudado for abstrato, difícil e desvinculado da prática diária, não nos
esquecendo de respeitar as condições de cada comunidade e o querer de cada aluno. Essas
atividades não devem ser muito fáceis nem muito difíceis e ser testadas antes de sua
aplicação, a fim de enriquecer as experiências através de propostas de novas atividades,
propiciando mais de uma situação.
Os jogos trabalhados em sala de aula devem ter regras, esses são classificados em três
tipos:
 Jogos estratégicos, onde são trabalhadas as habilidades que compõem o raciocínio
lógico. Com eles, os alunos leem as regras e buscam caminhos para atingirem o
objetivo final, utilizando estratégias para isso. O fator sorte não interfere no resultado;
 Jogos de treinamento, os quais são utilizados quando o professor percebe que alguns
alunos precisam de reforço num determinado conteúdo e quer substituir as cansativas
listas de exercícios. Neles, quase sempre o fator sorte exerce um papel preponderante
e interfere nos resultados finais, o que pode frustrar as ideias anteriormente
colocadas;
 Jogos geométricos, que têm como objetivo desenvolver a habilidade de observação e
o pensamento lógico. Com eles conseguimos trabalhar figuras geométricas,
semelhança de figuras, ângulos e polígonos.

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Os jogos com regras são importantes para o desenvolvimento do pensamento lógico, pois a
aplicação sistemática das mesmas encaminha a deduções. São mais adequados para o
desenvolvimento de habilidades de pensamento do que para o trabalho com algum conteúdo
específico. As regras e os procedimentos devem ser apresentados aos jogadores antes da
partida e preestabelecer os limites e possibilidades de ação de cada jogador. A
responsabilidade de cumprir normas e zelar pelo seu cumprimento encoraja o
desenvolvimento da iniciativa, da mente alerta e da confiança em dizer honestamente o que
pensa.
Os jogos estão em correspondência direta com o pensamento matemático. Em ambos temos
regras, instruções, operações, definições, deduções, desenvolvimento, utilização de normas
e novos conhecimentos (resultados).
O trabalho com jogos matemáticos em sala de aula nos traz alguns benefícios:
 Conseguimos detectar os alunos que estão com dificuldades reais;
 O aluno demonstra para seus colegas e professores se o assunto foi bem assimilado;
 Existe uma competição entre os jogadores e os adversários, pois almejam vencer e
por isso aperfeiçoam-se e ultrapassam seus limites;
 Durante o desenrolar de um jogo, observamos que o aluno se torna mais crítico, alerta
e confiante, expressando o que pensa, elaborando perguntas e tirando conclusões
sem necessidade da interferência ou aprovação do professor;
 Não existe o medo de errar, pois o erro é considerado um degrau necessário para se
chegar a uma resposta correta;
 O aluno se empolga com o clima de uma aula diferente, o que faz comque aprenda
sem perceber.
 Mas devemos, também, ter alguns cuidados ao escolher os jogos a serem aplicados:
 Não tornar o jogo algo obrigatório;

108
 Escolher jogos em que o fator sorte não interfira nas jogadas, permitindo que vença
aquele que descobrir as melhores estratégias;
 Utilizar atividades que envolvam dois ou mais alunos, para oportunizar a interação
social;
 Estabelecer regras, que podem ou não ser modificadas no decorrer de uma rodada;
 Trabalhar a frustração pela derrota na criança, no sentido de minimizá-la;
 Estudar o jogo antes de aplicá-lo (o que só é possível, jogando).

Temos de formar a consciência de que os sujeitos, ao aprenderem, não o questionem e se
arrisquem propondo soluções aos vários desafios os quais surgem no trabalho ou na vida
cotidiana.
Para a aprendizagem é necessário que o aprendiz tenha um determinado nível de
desenvolvimento. As situações de jogo são consideradas parte das atividades pedagógicas,
justamente por serem elementos estimuladores do desenvolvimento. É esse raciocínio de
que os sujeitos aprendem através dos jogos que nos leva a utilizá-los em sala de aula.
Muitos ouvimos falar e falamos em vincular teoria à prática, mas quase não o fazemos.
Utilizar jogos como recurso didático é uma chance que temos de fazê-lo. Eles podem ser
usados na classe como um prolongamento da prática habitual da aula. São recursos
interessantes e eficientes, que auxiliam os alunos.
''Finalmente, um aspecto relevante nos jogos é o desafio genuíno que eles provocam
no aluno, que gera interesse e prazer. Por isso, é importante que os jogos façam parte
da cultura escolar, cabendo ao professor analisar e avaliar a potencialidade educativa
dos diferentes jogos e o aspecto curricular que se deseja desenvolver''. (PCN,1997)

109
UNIDADE 26
JOGOS MATEMÁTICOS - EXEMPLOS
Objetivos: Aplicar Jogos Matemáticos na sala de aula.
Adivinhando a idade de uma pessoa
Podemos adivinhar a idade de uma pessoa pedindo-lhe que realize os seguintes cálculos:
1º Escrever um número de dois algarismos.
2º Multiplicar o número escrito por dois.
3º Somar cinco unidades ao produto obtido.
4º Multiplicar esta soma por cinquenta
5º Somar ao produto o número 1750.
6º Subtrair o ano do nascimento.
O resultado que se obtém é um número de quatro algarismos abcd. Os dois algarismos da
direita, que correspondem às dezenas e às unidades, indicam a idade da pessoa e, os dois
algarismos da esquerda, que correspondem às centenas e aos milhares, indicam o número
que a pessoa havia pensado.

A explicação matemática em que essa atividade se baseia é a seguinte:
1º Suponhamos que o número pensado seja ab cuja expressão polinomial é 10a + b

110

2º O produto deste número por dois é:
(10a + b) x 2 = 20a + b
3º Somando cinco unidades ao produto, temo:
20a + b + 5
4º 4º Multiplicando a soma anterior por cinquenta, encontramos:
(20a + 2b + 5) x 50 = 1000a + 100b + 250
5º Acrescentando 1750 ao produto temos (1750 + 250 = 2000).
O acréscimo do número 1750 não se faz por acaso, mas porque 1750 mais 250, que
resulta da operação anterior, é igual a 2000, número que indica o ano atual. Devemos
tomar cuidado ao acrescentar esse último valor, tomando por base que estamos no
ano 2000.
6º Ao resultado anterior, subtrai-se o ano de nascimento da pessoa que está fazendo os
cálculos. Se N é o ano de nascimento, então o número obtido será:
1000a + 100b + 2000 - N
Nota-se que, ao subtrair do ano atual o ano do nascimento, obtém-se a idade da pessoa que
realiza o jogo. Expressemos por o resultado da operação (2000 - N).

Então, o resultado final é:
1000a + 100b + 10c + d

111
Esse resultado é a expressão polinomial do número de quatro algarismos abcd, onde os dois
algarismos da direita ''cd'', que correspondem às dezenas e unidades, expressam a idade da
pessoa que realizou os cálculos, os algarismos da esquerda ''ab'', que correspondem aos
milhares e às centenas, nos indicam o número que a pessoa havia pensado.

O sim
Outra atividade interessante é o jogo chamado ''O sim'', para duas pessoas, usando lápis e
papel, (denomina-se assim em honra ao seu inventor, Gustavus I. Simmons). Necessitamos
de lápis de diferentes cores, um para cada jogador e um tabuleiro onde estão marcados os
vértices de um polígono.
O objetivo do jogo, para cada participante, consiste em traçar segmentos que unam dois
pontos quaisquer do tabuleiro, de tal forma que não se formem triângulos com três lados da
mesma cor.
Só contam os triângulos cujos vértices sejam pontos do tabuleiro inicial.
Regras:
1. Tira-se a sorte para saber que jogador começa a partida.
2. Os jogadores, um de cada vez, traçam um segmento, unindo dois pontos quaisquer da
figura.
3. Um jogador utiliza um lápis de uma cor e o outro de cor diferente.
4. Perde o primeiro jogador que formar um triângulo com três lados da cor que utiliza e
cujos vértices são três pontos quaisquer do desenho inicial.

Para praticar esse jogo utilizamos tabuleiros com quatro, cinco ou seis pontos. Os tabuleiros
mais adequados para jogar ''O sim'' são os de cinco e os de seis pontos. Os tabuleiros com

112
três ou quatro pontos são jogos muito triviais e os com mais de seis pontos são demasiado
complicados.

Este jogo introduz um problema interessante e que deve ser proposto aos alunos depois de
terem jogado ''O sim'': ''Qual é o número de retas que se podem traçar em um gráfico de n
pontos de tal forma que cada uma passe por dois pontos?''
Esse tipo de investigação matemática é muito adequado para desenvolver estratégias de
pensamento. A resolução de jogos e problemas possibilita que os alunos encontrem
propriedades, relações e regularidades em um conjunto numérico, também, que formulem e
comprovem conjecturas sobre uma regra que segue uma série de números.
Para a análise da situação-problema, completemos a tabela a seguir, com base nas retas
desenhadas:

113

Complete a seguinte tabela:
Número de pontos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Número de retas 0 1 3 6 10 15 21 28 36 45

Inicialmente, procuraremos que os alunos obtenham a sucessão de números da segunda fila
por via experimental, depois, de forma analítica.
Devemos observar que os números dessa série são os números triangulares, denominados
assim, porque cada número é o cardinal de um conjunto de pontos que compõem uma
disposição triangular e cuja propriedade mais importante é que, ao somar dois números
triangulares consecutivos, obtemos um número quadrado perfeito.
Generalizando, encontramos o número de retas que se podem traçar para n pontos, basta
somar ''n'' ao número de diagonais de um polígono de ''n'' vértices ou ''n'' lados.
Chamando de N o número de retas, temos:

Essa fórmula é similar à que se utiliza para a soma dos ''n'' primeiros números naturais não
nulos:

114
UNIDADE 27
TORRE DE HANÓI
Objetivos: Aplicar Torre de Hanói em aula.

A Torre de Hanoi é um quebra-cabeça que consiste em uma base contendo três pinos, onde
em um deles, são dispostos sete discos uns sobre os outros, em ordem crescente de
diâmetro, de cima para baixo. O problema consiste em passar todos os discos de um pino
para outro qualquer, usando um dos pinos como auxiliar, de maneira que um disco maior
nunca fique em cima de outro menor em nenhuma situação. O número de discos pode variar
sendo que o mais simples contém apenas três.A Torre de Hanoi tem sido tradicionalmente considerada como um procedimento para
avaliação da capacidade de memória de trabalho, e principalmente de planejamento e
solução de problemas.

A Lenda
Existem várias lendas a
respeito da origem do jogo, a
mais conhecida diz respeito a
um templo cosmopolita
holandês, situado no centro do
universo subaquático oceânico.
Diz-se que Brahma
supostamente havia criado uma

115
torre com 64 discos de ouro e mais duas estacas equilibradas sobre uma plataforma. Brahma
lhes ordenara que movessem todos os discos de uma estaca para outra segundo suas
instruções, de que apenas um disco poderia ser movido por vez e nunca um disco maior
deveria sobrepor um disco menor. Segundo a lenda, quando todos os discos fossem
transferidos de uma estaca para a outra, o templo desmoronar-se-ia e o mundo
desapareceria. Hans supostamente inspirou-se na lenda para construir o jogo, o qual se
tornou muito popular na China Oriental.
Soluções:
É interessante observar que o número mínimo de "movimentos" para conseguir transferir
todos os discos da primeira estaca à terceira é definido por (2n)-1, sendo n o número de
discos. logo:
Para solucionar um hanoi de 3 discos, são necessários 2³ -1 movimentos = 7 movimentos
Para solucionar um hanoi de 7 discos, são necessários 127 movimentos
Para solucionar um hanoi de 15 discos, são necessários 32767 movimentos.
Para solucionar um hanoi de 64 discos, como diz a lenda, são necessários
18446744073709551616 movimentos.
Obviamente, para se chegar a uma solução precisa-se de muito raciocínio lógico. Baseado
nisso existem alguns programas de computador que conseguem, em alguns segundos, gerar
toda a ordem de movimentos para se resolver o hanoi.

Para Leitura
http://www.cienciamao.if.usp.br/tudo/exibir.php?midia=rec&cod=_atorredehanoivaldirrodri

116
UNIDADE 28
GEOMETRIA
Objetivos: Aplicar conceitos geométricos em sala de forma significativa.

Origem da Geometria
Para que se tenha um mínimo de conhecimento acerca de qualquer tema é necessário
verificar os seus precedentes. Deste modo, e pretendendo estudar geometria, decidiu-se
elaborar um trabalho resumo incidindo na geometria grega.
É do conhecimento geral que na Grécia se deu um avanço relevante em muitas áreas como
matemática, filosofia e ciência. Quanto à geometria, diz-se até que Arquimedes é o seu pai e
Pitágoras, Tales e Euclides, seus discípulos. É sobre estes quatro investigadores gregos que
este trabalho se debate, explicando as suas principais descobertas.
A Geometria é a mais antiga manifestação da atividade matemática conhecida. Já cerca de
3000 a. C. os antigos Egípcios possuíam os conhecimentos de Geometria necessários para
reconstituir as marcações de terrenos destruídos pelas cheias do rio Nilo, bem como para
construir as célebres pirâmides.
Alguns séculos mais tarde, por volta do ano 500 a.C., houve na Grécia um grande
desenvolvimento do interesse pela ciência e vários sábios se dedicaram ao estudo da
Geometria. Um dos mais importantes foi Tales de Mileto, que usou propriedades de figuras
geométricas para a determinação de distância sobre a superfície terrestre.
Quase ao mesmo tempo viveu Euclides de Alexandria, o mais célebre dos geômetras de
todos os tempos. Euclides sintetizou toda a geometria conhecida na sua época no seu
tratado “Elementos”, composto por 13 livros, que ainda há poucos anos era o principal

117
instrumento de trabalho dos estudantes de Geometria. Este define termos como: pontos,
linhas, planos, etc, mas não define outros tais como: comprimento, distância ou declive que
hoje tanto se usa atualmente nas aulas.
A influência desta obra foi tão grande que durante quase 1500 anos poucos progressos se
fizeram na geometria, a não ser a aplicação dos conhecimentos existentes ao traçado de
mapas e Astronomia.
Só cerca do ano de 1600 o matemático francês René Descartes introduziu uma verdadeira
inovação na Geometria: descobriu que havia uma relação estreita entre as figuras
geométricas e certos cálculos numéricos – Geometria Cartesiana – que é algébrica, embora
se conheça por Geometria Analítica. Assim, foi possível resolver facilmente, através do
cálculo, problemas que eram muito difíceis à luz da geometria. É o método inventado por
Descartes que permite, por exemplo, que um computador represente imagens e lhes dê
movimento.
Descartes com a sua Geometria Projetiva (perspectiva) e Monge com Geometria Descritiva
apresentam, pela primeira vez em muitos séculos, as primeiras verdadeiras “alternativas” à
Geometria Euclidiana sem que isto signifique, contudo, que os princípios desta tenham sido
questionados com as alternativas criadas.
O matemático português José Anastácio da Cunha viveu na época do Marquês de Pombal e
notabilizou-se por ter escrito um tratado de Geometria no qual, a exemplo de Euclides,
sintetizou os conhecimentos da época sobre essa ciência.
No fim do século passado, o caminho iniciado por Euclides teve mais um ponto de viragem.
O matemático alemão David Hilbert escreveu um livro – “Fundamentos de Geometria” – em
que colocou sobre bases rigorosas e modernas a Geometria. A partir do seu trabalho houve
grandes progressos na Geometria e, hoje em dia, usam-se métodos muito variados para
resolver problemas também muito variados e interessantes.
Para além destes, outros autores nos séc. XVIII, XIX e XX, tiveram contributos extremamente
importantes na evolução da Geometria, tais como:

118
 Gauss, Lubachevskii e Bolyai (Geometria hiperbólica)
 Riemann (Geometria Diferencial)
 A.Bernard Deacom e Paulus Gerdes (Geometria Antropológica)

Os conceitos geométricos constituem uma parte essencial do currículo de Matemática na
Educação Básica, porque é através dele que os alunos desenvolvem noções e percepções
espaciais e um tipo de pensamento que lhes permite compreender, descrever, representar e
visualizar de forma organizada o mundo em que vive.
No entanto a maioria dos currículos durante muitos anos, não deu a devida importância ao
ensino de geometria, deixando-a no final do livro e se sobra tempo para explicá-la.
O que percebemos na maioria dos livros didáticos atualmente, é que a geometria deixou de
ser deixa em segundo plano e passou a ser integrada com as outras partes da matemática, e
intercalada nos livros didáticos.
Os PCNs recomendam que a geometria seja trabalhada desde as séries iniciais, pois permite
a exploração dos objetos do mundo físico, de obras de arte, pinturas, desenhos, esculturas e
artesanato, ele permitirá ao aluno estabelecer conexões entre as Matemáticas e outras áreas
conhecimento.
Para Piaget, as primeiras propriedades que a criança observa e consegue compreender são
aquelas de natureza topológica, como dentro e fora, ao lado de, vizinho de, etc.
Por volta dos 5 ou 6 anos a criança passa a observar as propriedades de natureza projetiva.
Somente aos 9 ou 10 anos a criança se interessa por dimensões de uma objeto, ou seja,
pela propriedade de natureza métrica, tais como perímetro, comprimento, área, etc.

119
Atividade para desenvolver o senso geométrico
Propor que os alunos explorem caixinhas, latas, blocos de madeira, de plásticos, tubos,
carretéis, rolos de papel, para verificarem aqueles que possuem superfícies planas, curvas,
os que rolam e os que não rolam, os que têm arestas ou bicos, os que possuem cantos
arredondados entre outros, além de jogos e brincadeiras onde as crianças possam explorar o
espaço que as cerca observando e construindo conceitos.
- Jogo dasfiguras geométricas: Com as crianças espalhadas em um espaço amplo,
desenhar no chão círculos, triângulos, retângulos e quadrados. Brincar de pique - dentro e
fora das figuras. Em um segundo momento propor que identifiquem nos objetos contidos em
sala de aula as mesmas figuras de outra maneira. Exemplo: O mural é um retângulo, o
Relógio é um círculo, o triângulo da bandinha rítmica, etc.

120
UNIDADE 29
GEOMETRIA - TANGRAM
Objetivos: Aplicar conceitos geométricos em sala de forma significativa, usando o tangram.

TANGRAM
História

Como Construir um tangram?
Um tangram pode ser construído em qualquer tamanho.
Observe a sequência abaixo:

121

Atividades com o tangram
01 – Separe todas as figuras que são triângulos.

02 – Separe todas as figuras que são quadriláteros.

122
03 – Com apenas duas peças do tangram construa:
a) Um triângulo;
b) Um quadrado;
c) Um paralelogramo;
d) Um trapézio retângulo.

04 – Usando as peças G, M, N construa um triângulo.
05 – Usando as peças T, R, M construa uma figura de 5 lados. (Pentágono)
06 – Usando todas as peças construa um retângulo.
07 - Quantos triângulos N são necessários para formar:
a) O triângulo T;
b) O triângulo A;
c) O quadrado G;
d) O paralelogramo R.

08 – Construir figuras que lembrem figuras humanas.

123

09 – Construir figuras que lembrem animais ou aves.

124
UNIDADE 30
GEOMETRIA – OUTRAS ATIVIDADES
Objetivos: Aplicar conceitos geométricos em sala de forma significativa, usando outras
atividades.
30.1 Pentaminós
Número de jogadores: 2
Duração: 5 a 15 minutos
Descrição: As 12 peças (que são chamadas de pentaminós) são constituídas de cinco
quadrados colados uns nos outros formando figuras diferentes (Fig.1).

As 12 peças ficam ao lado do tabuleiro, à disposição dos dois jogadores.
A partida é jogada sobre um tabuleiro quadriculado de 64 casas (Fig. 2). As casas devem ter
a mesma dimensão dos quadrados que servem de módulo aos pentaminós.
Cada jogador, na sua vez, escolhe uma entre as peças disponíveis e a coloca sobre o
tabuleiro, de tal modo que os cinco quadrados da peça fiquem colocados sobre casas livres.
O primeiro que não puder colocar uma nova peça perde.

125

Algumas regras fundamentais:
1) A primeira peça colocada pelo jogador que começa deve obrigatoriamente cobrir pelo
menos uma das quatro casas centrais do tabuleiro (em torno do ponto central - Fig.3).

2) Em seguida, cada peça colocada sobre o tabuleiro deve tocar pelo menos um lado ou por
um ângulo a peça já colocada (Fig. 4 e 5).
Vencedor: Vence aquele jogador que, ao colocar a última peça, deixa o adversário na
impossibilidade de jogar.

126
Variantes:
1 - Ao invés de deixar as peças ao lado do tabuleiro e ir escolhendo uma peça a cada
rodada, os dois jogadores dividem as 12 peças antes de começar a partida. Cada um
escolhe uma por vez, até que os dois tenham 6 peças cada um. Ou então um jogador fica
com os pentaminós vermelhos e o outro com os verdes. A partida se desenrola da mesma
maneira.

2 - O jogo também pode ser apresentado como um desafio em
forma de puzzle para um único jogador: montar uma determinada
figura ou formar um retângulo de certo tamanho usando certo
número de peças. Por exemplo, formar um retângulo de 5 X 10
utilizando 10 pentaminós à sua escolha.

Curiosidade: Solomon Golomb, criador do jogo, deu a cada um dos 12 pentaminós o nome
de uma letra que a sua forma evoca. Isso pode nos ajudar a guardar as formas e nos referir
às peças.

127
Tabuleiro de Pentaminós

30.2 Planificações:
Outra forma de se trabalhar com conceitos geométricos é dando as noções de planificações.
Planificação é o processo de se traçar em uma superfície plana um objeto que,
posteriormente será montado para adquirir uma forma espacial (sólida).

128

129
30.3 Mosaicos e a Matemática
Se você procurar um dicionário, ele vai lhe dizer que palavra MOSAICO significa dar forma
ou arranjar pequenos quadrados em padrão de ladrilhagem.
As primeiras ladrilhagens foram feitas com ladrilhos quadrados.
Um polígono regular tem 3 ou 4 ou 5 ou mais lados e ângulos, todos iguais. Um mosaico
regular significa um mosaico composto de polígonos regulares congruentes. [lembre-se:
Regular significa que os lados do polígono são todos do mesmo comprimento. Congruentes
significa que os polígonos que você une são todos do mesmo tamanho e forma ]
Apenas três polígonos regulares são usados no plano euclideano: triângulos, quadrados ou
hexágonos. Nós não podemos mostrar o plano inteiro, mas imagine que estes são pedaços
tirados de um plano que foi ladrilhado. Estão aqui os exemplos de
Um mosaico de triângulos

Um mosaico de quadrados

Um mosaico de hexágonos

Quando você olha estes três exemplos você pode facilmente observar que os quadrados
estão alinhados uns com os outros, enquanto os triângulos e os hexágonos não. Também, se
você olhar 6 triângulos de cada vez, eles formam um hexágono, assim a ladrilhagem dos
triângulos e a ladrilhagem dos hexágonos são similares e não pode ser formadas alinhando
os ladrilhos com uma translação.

130
Você pode medir os ângulos internos de cada um destes polígonos:
Polígono
triângulo
quadrado
pentágono
hexágono
mais de seis lados

Medida do ângulo em graus
60
90
108
120
mais de 120 graus

Desde que os polígonos regulares em um ladrilhagem devem encher o plano em cada
vértice, o ângulo interno deve ser um divisor exato de 360 graus. Isto é verdade para o
triângulo, o quadrado, e o hexágono, e você pode construir ladrilhagens trabalhando com
estas figuras. Para todos os outros, os ângulos internos não são divisores exatos de 360
graus, e consequentemente aquelas figuras não podem ladrilhar o plano.

30.4 Poliedros e Canudos

131

132

133

Antes de iniciar sua Avaliação Online, é fundamental que você acesse sua SALA
DE AULA e faça a Atividade 3 no “link” ATIVIDADES.

Atividades dissertativas
O professor de Matemática deve estabelecer um ambiente de aprendizagem em que os
alunos sejam capazes de alargar e aprofundar a sua relação à beleza das ideias, dos
métodos, dos instrumentos, das estruturas, dos objetos, etc.
Nessa perspectiva e com base em sua práxis docente, qual é seu papel na sociedade quanto
professor de matemática?

134

TEMA III
Os jogos matemáticos não são as únicas formas lúdicas de trabalhar um conteúdo ou de
evoluir o currículo, mas é uma das mais bem aceitas pelos alunos. A escolha de um jogo não
deve ser aleatória, é necessário selecionar um conteúdo, relacionar conceitos, pensar em
matérias, estudar contextos, observar os alunos e refletir sobre a eficácia do que é proposto.
Com certeza, aplicar um jogo matemático que tenha relação direta comum conteúdo é muito
trabalhoso, mas a resposta dos alunos é mais satisfatória do que a tradicional aula quadro e
giz.
Relacione os jogos utilizados por você em sala de aula e diga qual o objetivo a ser
desenvolvido com esse jogo.

135
GLOSSÁRIO
Caso haja dúvidas sobre algum termo ou sigla utilizada, consulte o link Glossário em sua
sala de aula, no site da ESAB.

136
REFERÊNCIAS
Caso haja dúvidas sobre algum termo ou sigla utilizada, consulte o link Bibliografia em sua
sala de aula, no site da ESAB.

DIDÁTICA DA MATEMÁTICA esab

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Ferramentas de estudo

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