AD1 Cálculo I Gabarito 2019.1

Prévia do material em texto

Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AD1 – CÁLCULO I – 2019/1
Gabarito
Questão 1 [3 pontos]
Calcule os seguintes limites de funções:
(a)[1 ponto] lim
x→−2
2−
√
x + 6
x3 − x2 − 6x
(b)[1 ponto] lim
x→1
x3 + 3x2 − 4x
|x2 + 2x− 5| − 2
(c)[1 ponto] lim
x→0
cos(5x)− 1
x sen(5x)
Solução:
(a) lim
x→−2
2−
√
x + 6
x3 − x2 − 6x = limx→−2
[
2−
√
x + 6
x3 − x2 − 6x ·
2 +
√
x + 6
2 +
√
x + 6
]
=
= lim
x→−2
4− (x + 6)
(x3 − x2 − 6x)(2 +
√
x + 6)
= lim
x→−2
−(x + 2)
x(x + 2)(x− 3)(2 +
√
x + 6)
=
= lim
x→−2
−����(x + 2)
x���
�(x + 2)(x− 3)(2 +
√
x + 6)
= lim
x→−2
−1
x(x− 3)(2 +
√
x + 6)
= −140 !
(b) lim
x→1
x3 + 3x2 − 4x
|x2 + 2x− 5| − 2 = limx→1
x3 + 3x2 − 4x
−(x2 + 2x− 5)− 2 = limx→1
x3 + 3x2 − 4x
−x2 − 2x + 3 =
= lim
x→1
x(x− 1)(x + 4)
−(x− 1)(x + 3) = limx→1
x���
�(x− 1)(x + 4)
−����(x− 1)(x + 3)
= lim
x→1
x(x + 4)
−(x + 3) =
−5
4 !
(c) lim
x→0
cos(5x)− 1
x sen(5x) = limx→0
[
cos(5x)− 1
x sen(5x) ·
cos(5x) + 1
cos(5x) + 1
]
= lim
x→0
cos2(5x)− 1
[x sen(5x)] [cos(5x) + 1] =
= lim
x→0
− sen2(5x)
[x sen(5x)] [cos(5x) + 1] = limx→0
− sen�2(5x)
[x�����sen(5x)] [cos(5x) + 1]
= lim
x→0
− sen(5x)
x [cos(5x) + 1] =
= lim
x→0
−5 sen(5x)
5x [cos(5x) + 1] = limx→0
[
sen(5x)
5x ·
−5
cos(5x) + 1
]
=
��
��
�
��
��[
lim
x→0
sen(5x)
5x
]1
·
[
lim
x→0
−5
cos(5x) + 1
]
=
= −52 !
Questão 2 [2 pontos]
Sejam L ∈ R e f : R→ R a função definida por:
f(x) =

x2 − |x− 2|
x− 1 , se x < 1
x2 −
√
L x + 4, se x ≥ 1
.
CÁLCULO I Gabarito AD1 2
Sabendo que exite lim
x→1
f(x), determine L.
Solução:
Como exite o limite lim
x→1
f(x), segue que existem os limites laterais lim
x→1−
f(x) e lim
x→1+
f(x) e
lim
x→1
f(x) = lim
x→1−
f(x) = lim
x→1+
f(x).
Temos que:
¶ lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
x2 − |x− 2|
x− 1 = limx→1−
x2 − (2− x)
x− 1 = limx→1−
x2 + x− 2
x− 1 = limx→1−
(x− 1)(x + 2)
x− 1 =
= lim
x→1−
���
�(x− 1)(x + 2)
���x− 1
= lim
x→1−
x + 2 = 3;
· lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
x2 −
√
L x + 4 = 5−
√
L.
De ¶=· obtemos a equação 5−
√
L = 3. Dáı,
√
L = 2. Logo, L = 4. !
Questão 3 [3 pontos]
Considere a função f(x) = x− 1
x2 + x− 6 .
(a)[0,3 pontos] Determine o doḿınio de f ;
(b)[2,2 pontos] Encontre as asśıntotas horizontais e as asśıntotas verticais, caso existam, do gráfico
de f , fazendo um estudo completo dos limites infinitos e no infinito;
(c)[0,5 pontos] Trace um esboço do gráfico de f , identificando suas asśıntotas.
Solução:
(a) D(f) = {x ∈ R; x2 + x− 6 6= 0} = {x ∈ R; (x + 3)(x− 2) 6= 0} = {x ∈ R; x 6= −3 e x 6= 2}.
!
(b) Temos que:
¶ lim
x→−3−
x− 1
x2 + x− 6 = −∞, pois x− 1→ −4 < 0 e x
2 + x− 6→ 0+ quando x→ −3−;
· lim
x→−3+
x− 1
x2 + x− 6 = +∞, pois x− 1→ −4 < 0 e x
2 + x− 6→ 0− quando x→ −3+;
¸ lim
x→2−
x− 1
x2 + x− 6 = −∞, pois x− 1→ 1 > 0 e x
2 + x− 6→ 0− quando x→ 2−;
¹ lim
x→2+
x− 1
x2 + x− 6 = +∞, pois x− 1→ 1 > 0 e x
2 + x− 6→ 0+ quando x→ 2+;
º lim
x→+∞
x− 1
x2 + x− 6 = limx→+∞
x
x2
= lim
x→+∞
1
x
= 0;
» lim
x→−∞
x− 1
x2 + x− 6 = limx→−∞
x
x2
= lim
x→−∞
1
x
= 0;
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
CÁLCULO I Gabarito AD1 3
De ¶, · ¸ e ¹, concluimos que as retas x = −3 e x = 2 são as asśıntotas verticais do gráfico de
f . De º e », concluimos que a reta y = 0 (eixo x) é a única asśıntota horizontal do gráfico de f .
!
(c) Um esboço do gráfico de f é:
!
Questão 4 [2 pontos]
Considere as funções, definidas em R, f(x) = 4x2019 − x e g(x) = x2018 + 1. Utilize o Teorema do
Valor Intermediário para provar que os gráficos das funções f e g se interceptam em pelo menos um
ponto.
Solução:
Queremos provar que existe xo ∈ R tal que f(xo) = g(xo), ou seja, que existe xo ∈ R tal que:
4x2019o − xo = x2018o + 1 ⇔ 4x2019o − x2018o − xo − 1 = 0.
Denotando h(x) = 4x2019 − x2018 − x − 1, vamos utilizar o Teorema do Valor Intermediário para
provar que a função h tem pelo menos uma raiz real, isto é, para provar que existe xo ∈ R tal que
h(xo) = 4x2019o − x2018o − xo − 1 = 0.
Como h é uma função polinomial e, portanto, cont́ınua, o Teorema do Valor Intermediário garante
que: se o intervalo [a, b] é tal que h(a) e h(b) tem sinais contrários, então ele contém pelo menos
uma raiz de h. Neste caso, basta encontrarmos um intervalo do tipo [a, b] de modo que h(a) e h(b)
tenham sinais contrário. Para isso, tomamos a = 0 e b = 1: h(a) = h(0) = −1 e h(b) = h(1) = 1.
Observamos que h(0) = −1 < 0 e que h(1) = 1 > 0, ou seja, h(0) e h(1) tem sinais contrários.
Logo, pelo Teorema do Valor Intermediário, o intervalo [a, b] = [0, 1] contém pelo menos uma raiz
de h, ou seja, existe xo ∈ [0, 1] tal que h(xo) = 0. Portanto, provamos que existe xo ∈ [0, 1] tal que
4x2019o − xo = x2018o + 1, ou seja, tal que f(xo) = g(xo). !
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ