Campos de tensão e viscosidade

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MECÂNICA DOS FLUIDOS
Campos de tensão e viscosidade
Prof. Isaías Soares
CAMPOS DE TENSÃO
• As principais forças que atuam num fluido são as forças de superfície (pressão, por exemplo), que são gerados em contato
com uma superfície sólida, e as forças de campo (gravitacional, por exemplo), que são sentidas ao longo do fluido.
• Forças de superfície numa partícula fluida geram tensões. O conceito de tensão é útil para descrever como as forças que
agem no limite de um meio, são transmitidas através deste meio.
• Imagine a superfície de uma partícula fluida em contato com outras partículas fluidas, e considere a força de contato que
está sendo gerada entre as partículas. Considere uma porção, δ Ԧ𝐴 , da superfície em algum ponto C. A orientação de δ Ԧ𝐴 é
dada pelo vetor unitário, ො𝑛, como mostrado abaixo. O vetor ො𝑛 é a unidade desenhada externamente normal em relação à
partícula. A força δ Ԧ𝐹 que atua em δ Ԧ𝐴, pode ser dividida em 2 componentes: 𝛿𝐹𝑛 e 𝛿𝐹𝑛. A primeira atua normal à δ Ԧ𝐴 e a
segunda atua de forma tangencial.
Fox –Introduction to Fluid Mechanic- 8th Edition
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CAMPOS DE TENSÃO
• Então, uma tensão normal, 𝜎𝑛 e uma tensão de cisalhamento, 𝜏𝑛 são definidas por:
As tensões possuem unidade de pressão, pois constituem uma força sobre uma determinada área.
Para levar em consideração quantidades vetoriais, como força, temos que considerar os componentes num
sistema de coordenadas ortogonais. Em coordenadas retangulares, devemos considerar a tensão agindo nos
planos, cujas normais desenhadas exteriormente, estão agindo nos eixos x, y ou z.
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CAMPOS DE TENSÃO
• . Na figura a seguir, consideramos a tensão no elemento de área 𝛿𝐴𝑥, cuja normal externamente está na
direção x. A força δ Ԧ𝐹 foi dividida em componentes ao longo de cada direção na sua coordenada. Dividindo a
magnitude de cada força pela área 𝛿𝐴𝑥 e tomando o limite para essa área sendo zero, temos as três forças
agindo nessa área:
Plano x
Direção y
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CAMPOS DE TENSÃO
• O mesmo pode ser feito considerado os outros dois planos (y e z), o que gera as tensões: 𝜏𝑦𝑥, 𝜏𝑦𝑧 e 𝜎𝑦𝑦 (para
y) e 𝜏𝑧𝑥, 𝜏𝑧𝑦 e 𝜎𝑧𝑧 (para z). A figura abaixo mostram os seis planos onde as tensões podem atuar.
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CAMPOS DE TENSÃO
• Observa-se que o componente da tensão é positivo quando a direção do componente da tensão e o plano onde ele atua
são ambos positivos ou negativos. É o caso das 9 tensões mostradas na figura anterior.
A notação matricial de todas as componentes é:
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EXERCÍCIO 1
• Interprete fisicamente as seguintes tensões:
a) 𝜏𝑥𝑧 = 2 𝑃𝑎
b) 𝜏𝑧𝑦 = −8 𝑃𝑎
c) 𝜎𝑦𝑦 = 4 𝑃𝑎
Solução: a) tensão de cisalhamento aplicada no plano positivo de x na direção positiva de z (ou no plano
negativo de x e na direção negativa de z).
b) tensão de cisalhamento aplicada no plano positivo de z na direção negativa de y (ou no plano negativo de z
e na direção positiva de y).
c) tensão normal aplicada no plano de y no sentido do seu eixo.
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VISCOSIDADE
Seja um sólido preso entre duas placas planas, como na figura abaixo (a). Uma das placas é fixa (a inferior) e
a outra é móvel (superior). Aplica-se uma força tangencial ao plano superior e o sólido sofre um deformação
(b)
Essa deformação só dura até o sólido alcançar uma nova posição de equilíbrio. As próprias tensões internas
do fluido equilibram a força externa aplicada. Dizemos então que um sólido é uma matéria elástica.
Fonte: Brunetti,F. Mecânica dos Fluidos. 2ª Edição - Pearson
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VISCOSIDADE
Vamos agora repetir o experimento das duas placas colocando agora um fluido entre elas. Percebe-se que, ao
aplicar a força tangencial na placa superior (a), o material se deforma continuamente (b), de forma que os
pontos correspondentes do fluido e da placa superior continuam em correspondência durante o movimento e
não é alcançada uma nova posição de equilíbrio (c).
Outra coisa a ser observada, é que, se a placa superior se move a uma certa velocidade, essa será a mesma
dos pontos adjacentes a ela, mas os pontos do fluido próximos à placa debaixo continuam parados. Dessa
forma, cria-se um perfil de velocidades entre as camadas de fluido, que decrescem de cima para baixo.
Fonte: Brunetti,F. Mecânica dos Fluidos. 2ª Edição - Pearson
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VISCOSIDADE
Observando o experimento do fluido entre as placas com mais detalhes, podemos estabelecer uma relação
entre a tensão de cisalhamento que o fluido sofre e sua taxa de deformação. Vamos supor uma pequena
força tangencial aplicada na placa superior de 𝛿𝐹 e de componente 𝛿𝐹𝑥, que faz com que ela se mova a uma
velocidade 𝛿𝑢. Então a ação cisalhante da placa produz uma tensão de cisalhamento 𝜏𝑦𝑥 que age num
elemento de fluido, e é dada por:
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VISCOSIDADE
E a taxa de deformação é dada por:
Quanto maior a tensão de cisalhamento sofrida pelo fluido, maior a taxa de deformação do fluido, sendo essa
relação proporcional para a maioria dos fluidos. Então, podemos escrever:
Estamos acostumados ao fato de que alguns fluidos escoam mais facilmente do que outros. Quando um fluido
escoa de forma mais lenta, dizemos que ele é mais viscoso. A viscosidade, então, é uma propriedade dos
fluidos, sendo essa a constante de proporcionalidade entre a tensão de cisalhamento que se aplica no fluido
e sua taxa de deformação. Então, quanto maior a viscosidade de um fluido, mais tensão de cisalhamento
deve ser aplicada nele para provocar a mesma taxa de deformação do que ocorre com um fluido menos
viscoso. Então, a relação matemática entre a tensão e a taxa de deformação, é:
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VISCOSIDADE
Em que 𝜇 é chamada de viscosidade dinâmica (ou absoluta). Essa equação é a Lei de Newton da
viscosidade. Os fluidos que obedecem a essa lei são chamados de fluidos newtonianos. Água, álcool,
gasolina e ar são exemplos.
Como a dimensão da tensão de cisalhamento (no SI) é N/m2, e a da taxa de deformação é (1/s), a unidade de
viscosidade absoluta é:
𝜇 =
𝑁
𝑚2
1
𝑠
=
[𝑁.𝑠]
[𝑚2]
= [𝑃𝑎. 𝑠] 
𝜏𝑦𝑥 = 𝜇
𝑑𝑢
𝑑𝑦 Prof. Isaías Soares
VISCOSIDADE
Outras unidades de viscosidade absoluta:
1 poise(p) = 1g/(cm.s) = 10-3 kg/(10-2 m.s) = 0,1 kg/(m.s) = 0,1 Pa.s → 1 Pa.s = 10 p
1 cp (centipoise) = 10-2 p = 0,001 Pa.s → 1 Pa.s = 1000 cp
Em mecânica dos fluidos, é comum aparecer uma relação entre viscosidade absoluta e massa específica. A
razão entre essas duas grandezas é denominada viscosidade cinemática, 𝜈. Ou seja:
𝜈 =
𝜇
𝜌
A unidade de viscosidade cinemática no SI é:
Outras unidades são:
1 stoke(St) = 1cm2/s = 10-4 m2/s → 1 m2/s = 10000 stoke
1cSt (centistoke) = 0,01 St = 10-6 m2/s → 1m2/s = 106cSt
𝜈 =
𝑃𝑎.𝑠
𝑘𝑔
𝑚3
=
[𝑘𝑔/(𝑚.𝑠)]
𝑘𝑔
𝑚3
= [𝑚2/𝑠] 
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EXERCÍCIO 2
Calcule a viscosidade cinemática da água a 20°C, sabendo que a massa específica da água a essa 
temperatura é de 0,9982 g/mL. 
Solução: Do gráfico da viscosidade, a 20°C,a água possui 𝜇 = 0,001 kg/(m.s), logo:
ν =
𝜇
𝜌
=
0,001 𝑘𝑔/(𝑚. 𝑠)
998,2 𝑘𝑔/𝑚3
=
1,002 × 10−6𝑚2
𝑠
= 𝟏, 𝟎𝟎𝟐 𝒄𝑺𝒕
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EXERCÍCIO 3
• A figura abaixo mostra um fluido entre duas placas, sendo a superior móvel e a inferior fixa. Aplica-se uma
tensão de cisalhamento na placa superior de forma a ela se mover com velocidade de 0,3 m/s. O espaço
entre as placas é de 0,3 mm. A viscosidade do líquido é de 0,65 cp e sua massa específica é de 880 kg/m3.
Pede-se:
a) A viscosidade absoluta em lb/(ft.s);
b) A viscosidade cinemática em m2/s;
c) A tensão de cisalhamento no fluido;
Solução: a) Fazendo a conversão, temos:
𝜇 = 0,65 𝑐𝑝 ×
1𝑝
100 𝑐𝑝
×
0,1
𝑘𝑔
𝑚. 𝑠
𝑝
×
𝑙𝑏
0,4536 𝑘𝑔
×
0,3040 𝑚
𝑓𝑡
= 4,36 × 10−4𝑙𝑏/(𝑓𝑡. 𝑠)
b) ν =
𝜇
𝜌
=
6,5×10−4 𝑘𝑔/(𝑚.𝑠)
880 𝑘𝑔/𝑚3
=
7,39×10−7𝑚2
𝑠
c)𝜏𝑦𝑥 = 𝜇
𝑑𝑢
𝑑𝑦
= 6,5 × 10−4
𝑘𝑔
𝑚.𝑠
×
0,3−0 𝑚
𝑠
0,0003−0 𝑚
= 0,65 𝑃𝑎
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EXERCÍCIO 4
• A figura abaixo mostra um fluido entre duas placas a 2 mm de distância. A placa superior se move com
velocidade de 4m/s. Se o espaço entre as duas placas for preenchido com óleo de viscosidade 0,4 St e 900
kg/m3 de massa específica, qual a tensão de cisalhamento sofrida pelo óleo?
Solução: calculando a viscosidade dinâmica:
𝜇 = ν. 𝜌 = 0,4 𝑆𝑡 ×
10−4𝑚2/𝑠
𝑆𝑡
× 900
𝑘𝑔
𝑚3
= 3,6 × 10−2𝑘𝑔/(𝑚. 𝑠)
Finalmente:
𝜏𝑦𝑥 = 𝜇
𝑑𝑢
𝑑𝑦
= 3,6 × 10−2
𝑘𝑔
𝑚.𝑠
×
4−0 𝑚
𝑠
0,002−0 𝑚
= 72 𝑃𝑎
Fonte: Brunetti,F. Mecânica dos Fluidos. 2ª 
Edição - Pearson
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FLUIDOS NÃO-NEWTONIANOS
Fluidos nos quais a tensão de cisalhamento não é diretamente proporcional á sua taxa de deformação, são
chamados fluidos não-newtonianos. O exemplo mais clássico é o creme dental, que precisa de uma força no
tubo onde ele é armazenado para que ele escoe, mesmo com a tampa aberta. Outros exemplo incluem,
tintas, lama, maionese e amido de milho. Neles, a viscosidade depende da tensão aplicada.
https://thumbs.dreamstime.com/z/tube-toothpaste-
used-open-oral-hygiene
-42511053.jpg
https://1.bp.blogspot.com/-Kp5dMJ8VGu8/UW-
F0LjgBPI/AAAAAAAAQJk/imCLtKASCbw/s1600/DSC00319.jpg
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Playing.Ketchup-shutterstock_
129193514.max-750x450.jpg
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FLUIDOS NÃO-NEWTONIANOS
Pseudoplástico: quando a taxa de deformação aumenta com o aumento da tensão de cisalhamento. Aqui, o 
fluido diminui sua viscosidade com o aumento da tensão. Ex: tintas, soluções poliméricas.
Dilatante: quando a taxa de deformação diminui com o aumento da tensão de cisalhamento. Ou seja, o fluido 
fica mais viscoso quando se aplica uma tensão. Ex: areia molhada, amido em água. 
Para fluidos não-newtonianos, a equação da tensão em função da taxa é dada pelo modelo da “lei da força”, a 
qual é:
Em que k é o índice de consistência e n é o comportamento de fluxo Essa equação é exatamente igual à 
equação da viscosidade de Newton para n =1 e k = μ. Para assegurar que a tensão tenha o mesmo sinal da 
taxa de deformação, a equação acima é reescrita como: 
Em que 𝜂 é a viscosidade aparente e depende da tensão de cisalhamento. 
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FLUIDOS NÃO-NEWTONIANOS
Assim: 
𝜂 =
𝑑𝑢
𝑑𝑦
𝑛−1
A maioria dos fluidos não-newtonianos possui viscosidade aparente maior que a água. 
Aplicando esse contexto aos tipos de fluidos não-newtonianos:
Dilatantes: n > 1
Pseudoplásticos: n < 1
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FLUIDOS NÃO-NEWTONIANOS
Fluido de Bingham
Necessitam de uma tensão inicial para começar a escoarem, se comportando como um fluido de viscosidade 
infinita quando parados (como um sólido). Após a tensão mínima ser suprida, escoam com taxa de deformação 
proporcional á tensão de cisalhamento. A equação que governa o comportamento desses tipos de fluido, é:
Um exemplo, são os cremes dentais ou pomadas. 
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FLUIDOS NÃO-NEWTONIANOS
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FLUIDOS NÃO-NEWTONIANOS
Fluidos não-newtonianos dependentes do tempo
São aqueles fluidos que possuem sua taxa de deformação dependentes do tempo de aplicação da tensão de
cisalhamento. São eles:
Tixotrópicos: Têm sua viscosidade diminuída com o aumento do tempo de aplicação da tensão, voltando a
ficarem mais viscosos quando esta cessa. Ex: tintas, ketchup, petróleo cru.
Reopéticos: Comportamento inverso aos fluidos Tixotrópicos. Esses possuem aumento da viscosidade
aparente quando há o aumento do tempo de aplicação da tensão, retornando á viscosidade inicial, quando a
tensão cessa. Ex: argila bentonita.
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VISCOSÍMETROS
Aparelhos que medem viscosidade. Os principais, são:
Viscosímetro capilar: esse viscosímetro consiste em um tubo em forma de U, onde um dos seus ramos é um
tubo fino ligado a um reservatório superior. O tubo é mantido na vertical e coloca-se uma quantidade conhecida
do líquido, cuja viscosidade será determinada, nesse reservatório, deixando-o escoar sob a ação da gravidade
através do tubo fino. A medida da viscosidade está relacionada com o tempo em que ele demora a percorrer o
espaço entre duas marcas gravadas.
https://2.bp.blogspot.com/-5eXvym08ccE/VT7xUA6zuGI/AAAAAAAACqk/_0y2mZiyIQ0/s1600/viscosimetro-capilar-tambem-
conhecido-como-viscosimetro-ostwald.jpg
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VISCOSÍMETROS
Viscosímetro de Stokes: esse viscosímetro funciona baseado na Lei de Stokes, consistindo basicamente em
diversos tubos contendo líquidos padrões com viscosidades conhecidas e com uma esfera de aço em cada um
deles. O tempo que a esfera demora para descer o comprimento do tubo depende da viscosidade do líquido.
https://3.bp.blogspot.com/--69d63UkmQM/Um8NZYj4y4I/AAAAAAAABNk/5KCHJ84g6do/s1600/viscosimetro.png
https://www.engquimicasantossp.com.br/2013/10/lei-de-stokes.html
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VISCOSÍMETROS
Viscosímetro rotativo: esse viscosímetro é um dos mais usados na indústria e geralmente é aplicado para
medir viscosidade de óleos, graxas e lubrificantes. O líquido é colocado num recipiente cilíndrico e é exercido
um torque no elemento que gira para coloca-lo em movimento. O torque para que se chegue a uma
determinada rotação é medido e depende da viscosidade do líquido. A faixa de medição vai de 5 a 400000 cP,
no geral.
https://www.engquimicasantossp.com.br/2015/04/viscosidade-dinamica-e-cinematica.html
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EXERCÍCIO 5
• A placa da figura abaixo possui 5m2 de área e espessura desprezível. Entre o solo e a placa, existe um fluido de
viscosidade 0,03 Pa.s e que escoa com velocidade dada pelo seguinte perfil: u = 20yvmax(1-5y). A velocidade máxima é de
4m/s. Observando os dados da figura, calcule:
a) O gradiente de velocidade no solo;
b) A força F que deve ser aplicada para que a placa fique em equilíbrio
Solução: calculando a viscosidade dinâmica:
a) A expressão para o gradiente é obtida derivando a expressão da
velocidade em relação a y(depois de ter substituído vmax), o que dá:
𝑑𝑢
𝑑𝑦
= 80(1 − 10𝑦)
No solo, y = 0,2 m, o que dá: du/dy = 80(1 – 10.0,2) = - 80 s-1.
b) A força a ser aplicada deve ser igual à força que o fluido exerce na placa.
Na placa, o gradiente de velocidade é: du/dy = 80 (1-10 x 0) = 80 s-1 . A tensão é:
𝜏𝑦𝑥 = 𝜇
𝑑𝑢
𝑑𝑦
= 0,03
𝑘𝑔
𝑚.𝑠
×
80
𝑠
= 2,4 𝑃𝑎
Então a força é: F = 𝜏𝑦𝑥 x A = 2,4 Pa x 5 m
2 = 12 N
Fonte: Brunetti,F. Mecânica dos Fluidos. 2ª 
Edição- Pearson
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EXERCÍCIO 6
• Um fluido escoa sobre uma placa no diagrama abaixo. Pede-se:
a) A função velocidade u(y)
b) Tensão de cisalhamento junto à placa
Solução: a) o perfil de velocidades é parabólico, então:
u(y) = ay2 + by + c
Temos os pontos: y = 0 → u = 2 m/s. Então: 2 = a.02 + b.0 + c → c = 2
y = 2 m → u = 5 m/s. Então: 5 = a.22 + 2.b + 2→ 4a + 2b = 3
Temos ainda o fato de que a tensão é zero a 2 m da placa por causa do atrito
com o ar ser desprezível. Logo: y = 2 m → du/dy = 2ay + b = 0. Então: 4a + b = 0 → b = - 4a
Combinando esse resultado com a equação anterior, vem: 3 = 4a – 8a → a = -0,75 e b = -0,75 x (-4) = 3
Logo: u(y) = - 0,75 y2 +3y + 2
b) du/dy = -1,5 y + 3 . Junto à placa, y = 0. Logo: du/dy = 3 s-1. Logo:
𝜏𝑦𝑥 = 𝜇
𝑑𝑢
𝑑𝑦
= 0,01
𝑘𝑔
𝑚.𝑠
×
3
𝑠
= 0,03 𝑃𝑎
Fonte: Brunetti,F. Mecânica dos Fluidos. 2ª 
Edição - Pearson
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EXERCÍCIO 7
• A distribuição de velocidade de um fluido entre duas placas separadas por 0,1 mm é dada por:
Em que a velocidade máxima umax = 0,1 m/s. Sendo a origem do eixo o ponto médio entre as duas placas, calcule a força de
cisalhamento na placa superior, sabendo que ela possui área de 1m2. A viscosidade do fluido é de 1,14 x 10-3 Pa.s.
Solução: Na origem: y = 0 → u/umax = 1 → u=umax = 0,1 m/s.
Na placa superior y = 0,05 mm → u/umax = 1 – (2 x 0,05/0,1)
2 = 0 → u = 0
Logo:
𝑑𝑢
𝑑𝑦
=
0−0,1 𝑚/𝑠
(0,05 −0)×10−3𝑚
= −
2000
𝑠
Portanto: F = 𝜏𝑦𝑥. A = - 2,28 Pa x 1m
2 = - 2,28 N (força contrária ao eixo x)
𝐸𝑛𝑡ã𝑜: 𝜏𝑦𝑥 = 𝜇
𝑑𝑢
𝑑𝑦
= 1,14 × 10−3Pa. s ×
(−2000)
𝑠
= − 2,28 𝑃𝑎
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EXERCÍCIO 8
• Um viscosímetro é usado para medir a viscosidade de uma amostra de sangue. A taxa de deformação em função da tensão
de cisalhamento para várias medições, é dada a seguir:
Determine os valores de k e n para a amostra de sangue.
Solução: Da equação:
Podemos linearizá-la aplicando o logaritmo em cada um dos membros:
𝑙𝑛(𝜏𝑦𝑥) = ln 𝑘 + 𝑛 𝑙𝑛
𝑑𝑢
𝑑𝑦
Y = ax + b
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• Aplicando os logaritmos naturais aos dados da tabela, vem:
•𝑎 =
𝑛 σ 𝑥𝑦−σ 𝑥 σ 𝑦
𝑛 σ 𝑥2 −(σ 𝑥)2
=
8 −14,462 −(32,642)(−7,060)
8(151,268)−(32,642)2
= 0,7934
•𝑏 =
σ 𝑥2 σ 𝑦−σ 𝑥𝑦 σ 𝑥
𝑛 σ 𝑥2 −(σ 𝑥)2
=
151,268 −7,060 − −14,462 32,642
8(151,268)−(32,642)2
= −4,1197
Logo: n = 0,7934;
k = e(-4,1197) = 0,0162
ln(𝝉𝒚𝒙)(y) -3,086 -2,129 -1,423 -0,981 -0,456 0,058 0,378 0,577 -7,060
ln(du/dy)(x) 1,609 2,302 3,219 3,912 4,605 5,298 5,704 5,991 32,642
xy -4,965 -4,901 -4,581 -3,838 -2,100 0,307 2,156 3,457 -14,462
x2 2,590 5,302 10,361 15,304 21,208 28,072 32,533 35,898 151,268
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