Lista Int Álgebra Linear

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA 
CENTRO DE C IÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA L INEAR – 3a. L ISTA DE EXERCÍCIOS 
PROF . EDSON F IGUEIREDO L IMA JR . 
 
Nos exercícios 01  14, determine o po linômio caracter í st ico do ope rador l inear , encontre seus 
autovalores e autovetores e dê uma base e a d imensão dos autoespaços correspondentes . 
 
01. 
:T
R2

 R2 , 
),2(),( xyyxT 
. 
02. 
:T
R2

 R2 , 
)2,(),( yxyxyxT 
. 
03. 
:T
R2

 R2 , 
),(),( xyyxT 
. 
04. 
:T
R3

 R3 , 
)3,2,(),,( zzyzyxzyxT 
. 
05. 
:T
R3

 R3 , 
)2,2,(),,( zyxzyxyxzyxT 
. 
06. 
:T
R3

 R3 , 
)33,4,33(),,( zyxyzyxzyxT 
. 
07. 
:T
R4

 R4 , 
),,,(),,,( wzyxzyxyxxwzyxT 
. 
08. 
:T
R4

 R4 , 
)3,2,2,2(),,,( wzyyxwzyxT 
. 
09. 
:T
22 M

 
22 M
, 
tAAT )(
, onde tA representa a transposta da matriz A . 
10. 
:T
P1 )( x  P1 )( x , baxbaxT  2)( . 
11. 
:T
P2 )( x  P2 )( x , )())(( xpxpT  . 
12. 
:T
P2 )( x  P2 )( x , bcxaxcbxaxT  22 )( . 
13. 
:T
P3 )( x  P3 )( x , )1())((  xpxpT . 
14. 
:T
P3 )( x  P3 )( x , )(2)()1())(( 2 xpxxpxxpT  . 
15. Dentre os operadores l inear es ac ima , identi f ique os que são d iagonalizáveis e , para esses, 
determine uma base do espaço em re lação a qual a matr iz do operador é d iagonal , 
escrevendo essa matr iz . 
16. Seja 
f
 o operador l inear sobre o R2 , dado por 
)cos,cos(),(  yxsenysenxyxf  . 
Se 

 é um múl t iplo inteiro de 

, ver i fique que os autovalores de
f
 são 
1
 e 
1
. 
17. Qual é o operador l inear sobre o R2 que possui 
2
 e 
3
 como autovalores 
assoc iados, respect ivamente, aos autovetores 
)1,3(
 e 
)1,2(
? 
18. Se 
T
 é um operador l inear que possui 
0
 como autovalor , prove que 
T
 não é injetor . 
19. Sejam 
f
 um operador l inear e 

 um autovalor de 
f
 assoc iado ao autovetor 
v
. Se 
f
 é 
um isomorfismo, prove que 

1
 é autovalor de 
1f
, associado ao mesmo autovetor 
v
. 
20. Se f é um operador l inear sobre o R2 cuja matr iz em relação à base canônica é s imétr ica, 
prove que f é diagonalizável . 
21. Se 
:T
R2

 R2 é o operador l inear def inido por 
),(),( ydcxbyaxyxT 
, onde 
cba ,,
 
e 
d
 são números rea is posit ivos, prove que: 
a) os autovalores de 
T
 são dados por 
}]4)([)({
2
1 2/12 bcdada 
. 
b) os autovalore s de 
T
 são reais, d ist intos e pelo menos um deles é posi t ivo. 
22. Para quais va lores de 
a
, os operadores 
),(),( yayxyxT 
 e 
),(),( yyaxyxT 
 são 
diagonalizáveis? 
23. Considere f : R3

R3 , def inido por 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (3𝑥, 𝑎𝑦 + 2𝑧, 2𝑦 + 𝑎𝑧). Para quais valores de 
a esse operador l inear possui pelo menos dois autovalores igua is? 
24. Se 
A
 e 
B
 são matr izes quadradas de o rdem 
2
 que possuem polinômios caracter ís t icos 
iguais , ver i f ique que 
A
 e 
B
 também possuem determinantes igua is . 
25. Veri f ique que sendo f um operador l inear diagonalizável que possui um único autovalor , 
então qualquer matr iz diagonal que o represente é múl t ip la da matr iz ident idade. 
 
□□□□□□