Protendido Aula 2 16_12_2017

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ESPECIALIZAÇÃO EM ESTRUTURAS DE CONCRETO E FUNDAÇÃO 
 
DISCIPLINA: ESTRUTURAS DE CONCRETO PROTENDIDO 
 Coordenação do Curso: 
 Prof. Dr. Roberto Chust Carvalho 
 
 Ministrante da aula: 
 Prof. Msc. José Herbet Faleiros Jr. 
 
Salvador, 16 de dezembro de 2017 
Felco Faleiros Engenharia 
Msc. Engº. José Herbet Faleiros Junior 
www.felcofaleiros.com 
herbet@felcofaleiros.com 
(16) 3415-4099 
São Carlos– São Paulo 
 
http://www.felcofaleiros.com/
mailto:herbet@felcofaleiros.com
PERDAS DE PROTENSÃO 
A força de protensão ao longo de uma armadura, em geral, varia com que podemos 
chamar de perdas de protensão. 
Segundo a NBR:6118:2014 no item 9.6.1.1 indica: 
 
Pt (x) = P0 (x) – ∆Pt (x) = Pi – ∆P0 (x) – ∆Pt (x) 
 
Pt(x) - Força na armadura de protensão, no tempo t, na seção de abscissa x 
P0(x) - Força na armadura de protensão no tempo t = 0, na seção de abscissa x 
∆P0 (x) – perda imediata de protensão medida a partir de P, no tempo t=0, na 
seção de abscissa x 
∆Pt (x)- perda de protensão medida a partir de P, no tempo infinito, na seção 
de abscissa x 
Pi - Força máxima aplicada à armadura de protensão pelo equipamento de 
tração 
Perda imediata 
Perda diferida 
PERDAS DE PROTENSÃO 
CABOS COM ADERÊNCIA POSTERIOR 
Perdas imediatas: 
a) perda por atrito (normalmente cabo-bainha) 
b) perda por deformação da ancoragem 
c) perda por deformação imediata do concreto 
Perdas diferidas: 
a) perda por retração do concreto 
b) perda por efeito de fluência do concreto 
c) perda por relaxação da armadura de protensão 
PERDAS DE PROTENSÃO 
CABOS COM ADERÊNCIA INICIAL 
Perdas imediatas: 
a) perda por deformação da ancoragem 
b) Perda por relaxação da armadura até a efetivação da protensão 
c) perda por deformação imediata do concreto. 
Perdas diferidas: 
a) perda por retração do concreto 
b) perda por efeito de fluência do concreto 
c) perda por relaxação da armadura de protensão. 
PERDAS DE PROTENSÃO 
Perda por atrito cabo-bainha 
Trecho de um cabo 
Dois elementos com ações verticais 
Resultantes 
PERDAS DE PROTENSÃO 
Perda por atrito cabo-bainha 
Equilíbrio horizontal 
𝐹 × cos 𝑑𝛼 2 − 𝐹 + 𝑑𝐹 × cos
𝑑𝛼
2 = −𝐹𝑎 
Curvas de grandes raios 
cos 𝑑𝛼 2 ≈ 1 
Portanto: 𝑑𝐹 = 𝐹𝑎 
Equilíbrio vertical 
𝐹 × sen 𝑑𝛼 2 − 𝐹 + 𝑑𝐹 × sen
𝑑𝛼
2 = 𝑁 
Pequenas deflexões 
sen 𝑑𝛼 2 ≈
𝑑𝛼
2 
Portanto: 𝐹 × 𝑑𝛼 = N 
Força de atrito: 
𝐹𝑎 = 𝜇 × 𝑁 
Juntando e integrando 
𝐹𝑠 = 𝐹𝑠′ × 𝑒
−𝜇× ∆𝛼 
𝐹𝑠 = 𝐹𝑠′ × 𝑒
−𝜇× ∆𝛼+𝛽𝑥 
PERDAS DE PROTENSÃO 
Perda por atrito cabo-bainha 
𝐹𝑠 = 𝐹𝑠′ × 𝑒
−𝜇× ∆𝛼+𝛽𝑥 𝛽 = 0,01 × 𝜇 
Segundo a NBR 6118:2014 
PERDAS DE PROTENSÃO 
EXEMPLO 01: Calcular as tensões nos pontos A, B, C, D e E do cabo dado na 
figura, logo após a efetivação da protensão. Considerar que a tensão inicial 
de protensão no cabo nas extremidades da peça é de pi=120 kN/cm
2. 
Considerar como dados os valores de  = 0,23; =0,01rd/m. Supor que a 
trajetória do cabo é parabólica (parábola do segundo grau, nos trechos AB e 
DE). 
PERDAS DE PROTENSÃO 
Perda por deformação da ancoragem 
Recolhimento do cabo ao se efetivar a ancoragem, provocando queda de tensão 
𝜎 = 𝐸 × 𝜀 𝑒 𝜀 =
∆ 𝑑𝑥
𝑑𝑥
 
𝜎 =
∆ 𝑑𝑥 × 𝐸
𝑑𝑥
 
1
𝐸
 𝜎 × 𝑑𝑥 = ∆ 𝑑𝑥
𝐿
0
𝐿
0
 
 𝜎 × 𝑑𝑥 = ∆𝑙 × 𝐸𝑝
𝐿
0
 
Área da curva 
Recuo da ancoragem 
PERDAS DE PROTENSÃO 
EXEMPLO 02: Calcular a tensão de protensão ao longo do cabo dado na 
figura após a ancoragem do mesmo. Considera que é usada aderência 
posterior e a tensão de protensão na extremidade ativa é de 1377 MPa, 
coeficiente de atrito =0,20, =0,01rd/m, L=6mm.e Ep=200000 MPa. 
 88
8
500 cm2000 cm1000 cm1000 cm500 cm
A
1
2
3
4
Ancoragem
Passiva
Ancoragem
Ativa
B
4
PERDAS DE PROTENSÃO 
Perda por deformação imediata do concreto 
Perda de protensão por deformação imediata quando há protensão sequencial 
PERDAS DE PROTENSÃO 
Perda por deformação imediata do concreto 
Casos a considerar: 
PÓS-TRAÇÃO p, médio =  








I
Me
I
eN
A
N pp
2
n
n
2
)1( 
 
PRÉ-TRAÇÃO p =  








I
Me
I
eN
A
N pp
2
 
PERDAS DE PROTENSÃO 
EXEMPLO 03: Calcular a perda de protensão por deformação imediata do 
cabo representante dos 16 cabos que atuam na seção de extremidade da 
peça (seção onde se dá a ancoragem ativa dos mesmos) cuja seção 
transversal está indicada na figura. Considerar que a tangente a trajetória 
dos cabos (todos) na seção é horizontal e que a força nos mesmos após a 
ancoragem é de 1400 kN. Considerar ainda como dados os valores das 
características de seção A=6,15 m2, I=1,683 m4, yi=0,8595m e h=1,30 m. 
Considerar ainda que a relação entre os módulos de elasticidade aço de 
protensão e concreto seja igual a p=7. 
PERDAS DE PROTENSÃO AO LONGO DO TEMPO 
Considera-se que a protensão aplicada possua aderência, podendo supor que a 
deformação do aço de protensão seja a mesma que a do concreto em sua superfície de 
contato. Assim: 
𝜀𝑐𝑖 = 𝜀𝑝𝑖 
𝜀𝑐𝑖 = deformação específica do concreto junto à armadura no ponto i 
𝜀𝑝𝑖 = deformação específica da armadura de protensão no ponto i 
Tabela considerando os casos reológicos do concreto e aço. 
PERDAS DE PROTENSÃO AO LONGO DO TEMPO 
Após a liberação da protensão a tensão de tração no cabo se altera ao longo do tempo, 
devido aos fenômenos reológicos que o aço e o concreto estão sujeitos: 
𝜀𝑐 𝑡 = 𝜀𝑐 𝑡0 + 𝜀𝑐𝑐 𝑡 + 𝜀𝑐𝑠(𝑡) 
Fluência Retração 
Considerações e simplificações: 
Perdas podem ser consideradas de forma isoladas (independentes) 
∆𝜎𝑝,𝑐+𝑠+𝑟 𝑡, 𝑡0 = ∆𝜎𝑝𝑐 𝑡, 𝑡0 + ∆𝜎𝑝𝑠 𝑡, 𝑡0 + ∆𝜎𝑝𝑟 𝑡, 𝑡0 
∆𝜎𝑝,𝑐+𝑠+𝑟 𝑡, 𝑡0 = perda total da protensão devido a fluência, retração e relaxação 
∆𝜎𝑝𝑐 𝑡, 𝑡0 = perda de protensão devido a fluência 
∆𝜎𝑝𝑠 𝑡, 𝑡0 = perda de protensão devido a retração 
∆𝜎𝑝𝑟 𝑡, 𝑡0 = perda de protensão devido a relaxação 
PERDAS DE PROTENSÃO AO LONGO DO TEMPO 
SIMPLIFICAÇÃO: 
RETRAÇÃO p,s(t, t0)= cs (t, to). Ep 
FLUÊNCIA pc(t, t0)= 
c
cgp
E

 f(t, to). Ep 
RELAXAÇÃO (t, to) = 
pi
opr )t(t, 


 (t, to) = 1000 . 
t to





41 67
0 15
,
,
 
PERDAS DE PROTENSÃO AO LONGO DO TEMPO 
Valores característicos superiores da deformação específica de retração ecs(t,to) e 
 do coeficiente de fluência f(t,to). Tabela retirada da NBR 6118:2014. 
Valores relativos a temperatura entre 0° a 40°, utilizando cimento Portland comum e considerando concreto plástico. 
PERDAS DE PROTENSÃO AO LONGO DO TEMPO 
Perda por retração do concreto 
∆𝜎𝑝,𝑠 𝑡, 𝑡0 = 𝜀𝑐𝑠(𝑡, 𝑡0) × 𝐸𝑝 
Considerando retração livre e com aderência entre concreto e armadura, 
correspondendo ao encurtamento conjunto. Assim: 
Curiosidade: a letra “s” corresponde a abreviação de shrinkage que significa 
retração na língua inglesa. 
PERDAS DE PROTENSÃO AO LONGO DO TEMPO 
EXEMPLO 04: Calcular a perda por retração que um cabo sofrerá atuando 
em uma viga que tem bw=0,86 m h=2 m, foi protendida com o concreto com 
5 dias de idade e em um ambiente de Ur=75%. Considerar Ep = 2,0 .10
5 MPa. 
PERDAS DE PROTENSÃO AO LONGO DO TEMPO 
Perda por efeito de fluência do concreto 
Supondo fluência pura e que a ação causadora da deformação seja 
constante. Assim: 
Curiosidade: a letra “c” corresponde a abreviação de creep que significa fluência na língua inglesa. 
∆𝜎𝑝,𝑐 ∞, 𝑡0 = 𝜀𝑐𝑐(𝑡, 𝑡0) × 𝐸𝑝 
valido também para o tempo t 
Sendo ainda: 
∆𝜎𝑝,𝑐 𝑡, 𝑡0 = 𝜀𝑐0 × 𝜑(𝑡, 𝑡0) × 𝐸𝑝 
∆𝜎𝑝,𝑐 𝑡, 𝑡0 =
𝜎𝑐𝑔𝑝
𝐸𝑐
× 𝜑(𝑡, 𝑡0) × 𝐸𝑝 
∆𝜎𝑝,𝑐 𝑡, 𝑡0 = 𝜎𝑐𝑔𝑝 × 𝜑(𝑡, 𝑡0) × 𝛼𝑝 
𝜎𝑐𝑔𝑝 =
𝑁𝑝
𝐴𝑐
+
𝑁𝑝 × 𝑒
2
𝐼
−
 𝑀𝑔𝑖
𝐼
× 𝑒 
PERDAS DE PROTENSÃO AOLONGO DO TEMPO 
EXEMPLO 05: Calcular a perda por fluência do concreto que um cabo sofrerá 
atuando em uma viga que tem bw=0,80 m h=2 m, foi protendida com o 
concreto com 5 dias de idade e em um ambiente de Ur=75%. Considerar Ep = 
2,0 .105 MPa, fck=30 MPa, e cg,p=4 MPa 
PERDAS DE PROTENSÃO AO LONGO DO TEMPO 
Perda por relaxação da armadura 
A intensidade da relaxação pura do aço é determinada por: 
.9 Perda por relaxação da armadura (consideração do efeito isolado) 
 
 A intensidade da relaxação pura do aço (deformação constante) é determinada pelo 
coeficiente (t, to) definido por: 
 
 (t, to) = 
pi
opr )t(t, 


 (5.25) 
onde: 
 
pr(t, to)= perda de tensão por relaxação pura (com comprimento constante) desde o 
instante to do estiramento da armadura até o instante t considerado 
pi= tensão da armadura de protensão no instante de seu estiramento 
 A relaxação de fios e cordoalhas, após 1000h a 20°C (1000) e para tensões 
variando de 0,5 a 0,8 fptk, obtida em ensaios descritos na NBR 7484, não deve ultrapassar 
os valores dados na NBR 7482 e na NBR 7483,respectivamente. 
 Para efeito de projeto, os valores de 1000 da Tabela 5.4 podem ser adotados. 
Tabela 5.4 - Valores de 1000, em % 
 Cordoalhas Fios Barras 
Tensão inicial RN RB RN RB 
0,5 fptk 0 0 0 0 0 
0,6 fptk 3,5 1,3 2,5 1,0 1,5 
0,7 fptk 7 2,5 5 2 4 
0,8 fptk 12 3,5 8,5 3 7 
 
∆𝜑𝑝𝑟(𝑡, 𝑡0) = perda de tensão por relaxação pura desde o instante do estiramento até o 
tempo t considerado 
𝜎𝑝𝑖= tensão da armadura de protensão no instante do estiramento 
PERDAS DE PROTENSÃO AO LONGO DO TEMPO 
Perda por relaxação da armadura 
A relaxação de fios e cordoalhas após 1000 horas a 20°C e tensões variando 
de 0,5 a 0,8 𝑓𝑝𝑡𝑘 . 
Tabela retirada da NBR 6118:2014 
Para tempo infinito pode-se considerara  (, t0) = 2,5 . 1000 
PERDAS DE PROTENSÃO AO LONGO DO TEMPO 
EXEMPLO 06: Calcular a perda por relaxação de um cabo que na seção em 
que esta sendo analisado tem uma tensão no tempo zero (após as perdas 
iniciais) 1247 MPa. Considerar aço CP190RB.