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1 AULA 1 CENTRO DE GRAVIDADE DE CORPOS DE DUAS DIMENSÕES, CENTRÓIDES DE ÁREAS E LINHAS Centro de gravidade (cg): ponto onde se considera que toda força gravitacional está concentrada. Centro de massa (cm): ponto onde se considera que toda a massa de um corpo rígido está concentrada. Coordenadas: 𝐌. 𝐱𝐜𝐦 = 𝐦𝟏. 𝐱𝟏 +𝐦𝟐. 𝐱𝟐 +𝐦𝟑. 𝐱𝟑 +⋯+𝐦𝐧. 𝐱𝐧 (Equação 1) 𝐌. 𝐲𝐜𝐦 = 𝐦𝟏. 𝐲𝟏 +𝐦𝟐. 𝐲𝟐 +𝐦𝟑. 𝐲𝟑 +⋯+𝐦𝐧. 𝐲𝐧 (Equação 2) Tipler, Vol. 1, 6 ed., Cap. 5, p. 146 – Problema Prático 5.7 Uma massa m1 = 4,0 kg está na origem e uma massa m2 = 2,0 kg está no eixo x, em x = 6,0 cm. Encontre 𝐱𝐜𝐦. Solução: 𝒙𝒄𝒎 = 𝒎𝟏.𝒙𝟏 +𝒎𝟐.𝒙𝟐 𝒎𝟏 +𝒎𝟐 ⟹ 𝒙𝒄𝒎 = 𝟒,𝟎 𝒌𝒈.𝟎 + 𝟐,𝟎 𝒌𝒈.𝟔,𝟎 𝒎 𝟒,𝟎 𝒌𝒈 + 𝟐,𝟎 𝒌𝒈 ⟹ 𝒙𝒄𝒎 = 𝟐,𝟎 𝒄𝒎 m1 x (cm) 0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 m2 2 Procedimento para análise de figuras planas: 1. Dividir a figura em áreas mais simples; 2. Para regiões geométricas sem material, considerar o corpo total, incluindo as regiões geométricas sem material e depois considerar esta parte sem material com área ou comprimento negativo; 3. Estabelecer o referencial cartesiano e determinar as coordenadas do centro de massa de cada parte (áreas mais simples – item 1) (usar tabelas de centroides, exemplo: p. 459, 460, Hibbeler); 4. Determinar as coordenadas do centro de massa utilizando as equações 1 e 2. 3 Tipler, Vol. 1, 6 ed., Cap. 5, p. 148 – Ex. 5-15 Encontre o centro de massa de uma folha uniforme de madeira compensada, como mostrada na figura 1. Figura 1: folha uniforme de madeira compensada. Solução: 𝒙𝒄𝒎 = 𝑨𝟏.𝒙𝟏 + 𝑨𝟐.𝒙𝟐 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 ⟹ 𝒙𝒄𝒎 = 𝟎,𝟑𝟐.𝟎,𝟒𝟎 + 𝟎,𝟎𝟒.𝟎,𝟕𝟎 𝟎,𝟑𝟐 + 𝟎,𝟎𝟒 ⟹ 𝒙𝒄𝒎 = 𝟎,𝟒𝟑𝟑 𝒎 𝒚𝒄𝒎 = 𝑨𝟏.𝒚𝟏 + 𝑨𝟐.𝒚𝟐 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 ⟹ 𝒙𝒄𝒎 = 𝟎,𝟑𝟐.𝟎,𝟐𝟎 + 𝟎,𝟎𝟒.𝟎,𝟓𝟎 𝟎,𝟑𝟐 + 𝟎,𝟎𝟒 ⟹ 𝒚𝒄𝒎 = 𝟎,𝟐𝟑𝟑 𝒎 Resposta: 𝒄𝒎 = 𝟎,𝟒𝟑𝟑;𝟎,𝟐𝟑𝟑 𝒎 0,40 m 0,20 m 0,60 m 0,80 m 𝐀𝟏 = 𝟎,𝟑𝟐𝐦𝟐 𝐀𝟐 = 𝟎,𝟎𝟒𝐦𝟐 x y 2 1 0,50 0,40 0,20 0,40 0,70 4 Resolver: Tipler, Vol. 1, 6 ed., Cap. 5, p. 164 – Problemas 101,102,103 e 105 e Halliday, Vol. 1, 9 ed., Cap. 9, p. 237, prob. 5 Hibbeler, Estática, 12 ed., Cap. 9, Ex. 9.9, p. 356 Localize o centroide do fio mostrado na figura: Figura 2: Fio composto – centroide de linha Solução: z 40 mm 20 mm y x 60 mm z y x 1 2 3 5 SEGMENTO L(mm) 𝒙 (mm) 𝒚 (mm) 𝒛 (mm) 𝒙 . L(mm2) 𝒚 . L(mm2) 𝒛 . L(mm2) 1 𝝅. 𝒓 = 𝝅.𝟔𝟎 = 𝟏𝟖𝟖 60 𝟐𝒓 𝝅 = −𝟑𝟖,𝟐 0 𝟏,𝟏𝟑.𝟏𝟎𝟒 −𝟕,𝟏𝟖.𝟏𝟎𝟑 0 2 40 0 20 0 0 800 0 3 20 0 40 −𝟏𝟎 0 800 −𝟐𝟎𝟎 𝑳 = 𝟐𝟒𝟖 𝒙 . 𝐋 = 𝟏,𝟏𝟑.𝟏𝟎𝟒 𝒚 . 𝐋 = −𝟓,𝟓𝟖.𝟏𝟎𝟑 𝒙 . 𝐋 = −𝟐𝟎𝟎 Então: 𝑥 = 𝑥. 𝐿 𝐿 = 1,13. 10! 248 = 45,6 𝑚𝑚 𝑦 = 𝑦. 𝐿 𝐿 = −5,58. 10! 248 = −22,5 𝑚𝑚 𝑥 = 𝑥. 𝐿 𝐿 = −200 248 = −0,805 𝑚𝑚 Ex. 9.10, p. 357 Hibbeler, Estática, 12 3d. Localize o centroide da área da placa mostrada na figura 3. Figura 3 – Placa composta 1 m 1 m 3 m 2 m 2 m x y 6 Solução: Dividimos a placa em três áreas, sendo a área 3 (A3) considerada negativa (Figura 4): Figura 4 – Divisão da placa em áreas A1, A2, A3 As coordenadas dos centroides de cada área parcial estão indicados no diagrama abaixo (Figura 5): Figura 5 – Coordenadas dos centroides de cada área Dessa forma, temos: 𝑨𝟏 ⟹ −𝟏,𝟓;𝟏,𝟓 𝒎; 𝑨𝟐 ⟹ 𝟏,𝟎;𝟏,𝟎 𝒎; 𝑨𝟑 ⟹ −𝟐,𝟓;𝟐,𝟎 ; 2 x y 3 1 2 x y −2,5 −1,5 0 1,0 1,5 1,0 2,0 7 ÁREA A(m2) 𝒙 (m) 𝒚 (m) 𝒙 . A(m3) 𝒚 . A(mm3) 1 𝐀𝟏 = 𝟑𝐦.𝟑𝐦 = 𝟗 −𝟏,𝟓 𝟏,𝟓 −𝟏𝟑,𝟓 𝟏𝟑,𝟓 2 𝐀𝟐 = 𝟑𝐦.𝟑𝐦 𝟐 = 𝟒,𝟓 1 1 4,5 4,5 3 𝑨𝟑 = −𝟏𝒎.𝟐𝒎 = −𝟐 −𝟐,𝟓 2 𝟓 −𝟒 𝑨 = 𝟏𝟏,𝟓 𝒙 .𝐀 = −𝟒 𝒚 .𝐀 = 𝟏𝟒 E então: 𝐱 = 𝐱.𝐀 𝐀 = −𝟒 𝟏𝟏,𝟓 ⟹ 𝐱 = −𝟎,𝟑𝟒𝟖 𝐦 𝐲 = 𝐲.𝐀 𝐀 = 𝟏𝟒 𝟏𝟏,𝟓 ⟹ 𝐱 = 𝟏,𝟐𝟐 𝐦 y −𝟎,𝟏𝟑𝟖 x(m) 1,22 Centróide
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