Matematica Essencial_ Produtos Notaveis

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09/09/12 Matematica Essencial: Produtos Notaveis
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MatWeb
Ensino Médio: mod215
Produtos notáveis (33 Identidades)
1. Quadrado da soma de dois termos
(a+b)2 = a2 + b2 + 2.a.b
(3+4)2 = 32 + 42 + 2.3.4
2. Quadrado da diferença de dois termos
(a-b)2 = a2 + b2 - 2.a.b
(7-5)2 = 72 + 52 - 2.7.5
3. Diferença de potências (ordem 2)
a2 - b2 = (a+b)(a-b)
72 - 52 = (7+5)(7-5)
4. Cubo da soma de dois termos
(a+b)3 = a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3
(4+5)3 = 43 + 3.42.5 + 3.4.52 + 53
5. Cubo da soma de dois termos (simplificada)
(a+b)3 = a(a-3b)2 + b(b-3a)2
(4+5)3 = 4(4-3.5)2 + 5(5-3.4)2
6. Cubo da diferença de dois termos
(a-b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
(4-5)3 = 43 - 3.42.5 + 3.4.52 - 53
7. Identidade de Fibonacci
(a2+b2)(p2+q2) = (ap-bq)2+(aq+bp)2
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(12+32)(52+72) = (1.5-3.7)2+(1.7+3.5)2
8. Identidade de Platão
(a2+b2)2 = (a2-b2)2+(2ab)2
(32+82)2 = (32-82)2+(2.3.8)2
9. Identidade de Lagrange (4 termos)
(a2+b2)(p2+q2)-(ap+bq)2 = (aq-bp)2
(92+72)(52+32)-(9.5+7.3)2 = (9.3-7.5)2
10. Identidade de Lagrange (6 termos)
(a2+b2+c2)(p2+q2+r2)-(ap+bq+cr)2=(aq-bp)2+(ar-cp)2+(br-cq)2
(12+32+52)(72+82+92)-(1.7+3.8+5.9)2 
= (1.8-3.7)2+(1.9-5.7)2+(3.9-5.8)2
11. Identidade de Cauchy (n=3)
(a+b)3-a3-b3 = 3ab(a+b)
(2+7)3-23-73 = 3.2.7.(2+7)
12. Identidade de Cauchy (n=5)
(a+b)5-a5-b5 = 5ab(a+b)(a2 + ab + b2)
(1+2)5 - 15 - 25 = 5.1.2.(1+2)(12 + 1.2 + 22)
13. Quadrado da soma de n termos
(a1+a2+...+an)
2 = (ai
2)+2. (ai.aj)
com i=1..n, j=1..n e i<j.
(a1+a2+a3)
2 = a1
2+a2
2+a3
2 + 2. (a1a2+a1a3+a2a3)
(a1+a2+a3+a4)
2= a1
2+a2
2+ a3
2 + a4
2 
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 + 2.(a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4)
14. Cubo da soma de n termos
(a1+a2+...+an)
3 = (ai
3) + 3. (ai
2aj) + 3 (aiaj
2) + (aiaj ak)
com i=1..n, j=1..n, k=1..n, i<j, e i<j<k.
15. Diferença entre os quadrados da soma e diferença
(a+b)2 - (a-b)2 = 4ab
(7+9)2 - (7-9)2 = 4.7.9
16. Soma dos quadrados da soma e da diferença
(a+b)2 + (a-b)2 = 2(a2 + b2)
(3+5)2 + (3-5)2 = 2(32 + 52)
17. Soma de dois cubos
a3 + b3 = (a+b)3 - 3.a.b.(a+b)
23 + 43 = (2+4)3 - 3.2.4.(2+4)
18. Soma de dois cubos (fatorada)
a3 + b3 = (a+b) (a2 - a.b + b2)
53 + 73 = (5+7) (52 - 5.7 + 72)
19. Transformação do produto na diferença de quadrados
a.b = [(a+b)/2]2 - [(a-b)/2]2
3.5 = [(3+5)/2]2 - [(3-5)/2]2
20. Diferença de potências (ordem 4)
a4 - b4 = (a-b)(a+b)(a2 + b2)
54 - 14 = (5-1)(5+1)(52 + 12)
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21. Diferença de potências (ordem 6)
a6 - b6 = (a-b)(a+b) (a2+a.b+b2)(a2-a.b+b2)
56 - 16 = (5-1)(5+1) (52+5.1+12)(52-5.1+12)
22. Diferença de potências (ordem 8)
a8 - b8 = (a-b)(a+b)(a2 + b2)(a4 + b4)
58 - 18 = (5-1)(5+1)(52 + 12)(54 + 14)
23. Produto de três diferenças
(a-b)(a-c)(b-c) = a.b.(a-c) + b.c.(b-c) + c.a.(c-a)
(1-3)(1-5)(3-5) = 1.3.(1-5) + 3.5.(3-5) + 5.1.(5-1)
24. Produto de três somas
(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(a.b+b.c+a.c) -a.b.c
(1+3)(3+5)(5+1) = (1+3+5)(1.3+3.5+1.5) -1.3.5
25. Soma de cubos das diferenças de três termos
(a-b)3 + (b-c)3 + (c-a)3 = 3(a-b)(b-c)(c-a)
(1-3)3 + (3-5)3 + (5-1)3 = 3(1-3)(3-5)(5-1)
26. Cubo da soma de três termos
(a+b+c)3 = (a+b-c)3 + (b+c-a)3 + (a+c-b)3 + 24.a.b.c
(7+8+9)3 = (7+8-9)3 + (8+9-7)3 + (7+9-8)3 + 24.7.8.9
27. Soma nula de produtos de cubos por diferenças
a3(b-c) + b3(c-a) + c3(a-b) + (a+b+c)(a-b)(b-c)(a-c)=0
23(4-6) + 43(6-2) + 63(2-4) + (2+4+6)(2-4)(4-6)(2-6)=0
28. Soma de produtos de cubos com diferenças
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a3(b-c)3 + b3(c-a)3 + c3(a-b)3 = 3.a.b.c (a-b)(b-c)(a-c)
73(8-9)3 + 83(9-7)3 + 93(7-8)3 = 3.7.8.9 (7-8)(8-9)(7-9)
29. Produto de dois fatores homogêneos de grau dois
(a2 + a.b + b2) (a2 - a.b + b2) = a4 + a2 b2 + b4
(52 + 5.7 + 72) (52 - 5.7 + 72) = 54 + 52 72 + 74
30. Soma de quadrados de somas de dois termos
(a+b)2 + (b+c)2 + (a+c)2 = (a+b+c)2 + a2 + b2 + c2
(1+3)2 + (3+5)2 + (1+5)2 = (1+3+5)2 + 12 + 32 + 52
31. Produto de quadrados de fatores especiais
(a-b)2 (a+b)2 (a2 + b2)2 = (a4 - b4)2
(7-3)2 (7+3)2 (72 + 32)2 = (74 - 34)2
32. Soma de quadrados de expressões homogêneas de grau 1
(a+b+c)2 + (a-b)2 + (b-c)2 + (c-a)2 = 3(a2+b2+c2)
(7+8+9)2 + (7-8)2 + (8-9)2 + (9-7)2 = 3(72+82+92)
33. Identidade de interpolação
(x-b)(x-c) (x-v)(x-a) (x-a)(x-b) 
+ + =1
(a-b)(a-c) (b-c)(b-a) (c-a)(c-b) 
Com a=1, b=2 e c=3 na identidade acima, teremos:
(x-2)(x-3) (x-3)(x-a) (x-1)(x-2) 
+ + =1
(1-2)(1-3) (2-3)(2-1) (3-1)(3-2) 
Página construída por Ulysses Sodré
Atualizada em: November 25, 2000.