SE 2019 - Aula 27 - Casa

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Curso Sala de Ensino 
Estrada Francisco da Cruz Nunes, 6501, Shopping Itaipu Multicenter – sala 311 
Telefone: 3587-8376 
 
 
 
 1 
 
 
 
Aluno: Data: __/__/_____ 
/___/__ 
Profº. Carlos Henrique(Bochecha) – Aula 27 – Casa(Geom. Esp. III) 
 
1. (Mackenzie 2019) Se as áreas laterais de dois cilindros equiláteros são, 
respectivamente, 
216 cmπ e 2100 cm ,π então seus volumes, em 
3cm , são, respectivamente, 
a) 16 2π e 250 2π 
b) 32π e 200π 
c) 16π e 250π 
d) 24π e 150π 
e) 24 2π e 150 2π 
 
 
2. (Ufrgs 2019) Considere o sólido obtido pela revolução do retângulo 
ABCD em torno da reta r, conforme indicado na figura a seguir. 
 
 
 
O volume do sólido obtido é 
a) 16 .π 
b) 84. 
c) 100. 
d) 84 .π 
e) 100 .π 
 
 
3. (Pucsp 2018) Considere um cilindro reto de área lateral igual a 
264 cmπ e um cone reto, com volume igual a 3128 cm ,π cujo raio da 
base é o dobro do raio da base do cilindro. 
 
Sabendo que a altura do cone é 2 cm menor do que a altura do cilindro, e 
que a altura do cilindro é um número inteiro, a área lateral desse cone é 
a) 
2100 cm .π 
b) 
280 cm .π 
c) 
264 cm .π 
d) 
240 cm .π 
 
 
 
 
4. (Unesp 2018) Os menores lados de uma folha de papel retangular de 
20 cm por 27 cm foram unidos com uma fita adesiva retangular de 
20 cm por 5 cm, formando um cilindro circular reto vazado. Na união, as 
partes da fita adesiva em contato com a folha correspondem a dois retângulos 
de 20 cm por 0,5 cm, conforme indica a figura. 
 
 
 
Desprezando-se as espessuras da folha e da fita e adotando = 3,1,π o 
volume desse cilindro é igual a 
a) 
31.550 cm . 
b) 
32.540 cm . 
c) 
31.652 cm . 
d) 
34.805 cm . 
e) 
31.922 cm . 
 
 
5. (Fgv 2018) Um trapézio é delimitado pelos eixos x e y do plano 
cartesiano e pelas retas de equações y 2x 1= + e x 4.= O sólido de 
revolução obtido quando esse trapézio sofre uma rotação completa em torno 
do eixo y tem volume, em unidades cúbicas de comprimento dos eixos 
cartesianos, igual a 
a) 
304
3
π
 
b) 101π 
c) 
302
3
π
 
d) 96π 
e) 
286
3
π
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
 
 
 
6. (Pucrs 2018) Um recipiente cilíndrico tem 3 cm de raio e 24 cm de 
altura. Estando inicialmente cheio d’água, o recipiente é inclinado até que o 
plano de sua base faça 45 com o plano horizontal. Nessa posição, o 
volume de água que permanecerá no recipiente será igual a __________ do 
volume inicial. 
a) um oitavo 
b) um sexto 
c) sete oitavos 
d) cinco sextos 
 
 
 
 
 
 
 
7. (Fgv 2018) Um telhado retangular ABCD ABCD tem área igual a 
2120 m e está conectado a uma calha de escoamento de água da chuva. A 
calha tem a forma de um semicilindro reto, de diâmetro 
AF DE 0,4 m= = e capacidade igual a 720 litros. 
 
 
 
Considerando DG 5 m= e adotando 3,π = a medida do ângulo agudo 
ˆCDG, indicada na figura por ,α é igual a 
a) 75 . 
b) 60 . 
c) 45 . 
d) 30 . 
e) 15 . 
 
 
 
 
 
 
8. (Fmp 2017) Um recipiente cilíndrico possui raio da base medindo 4 cm e 
altura medindo 20 cm. Um segundo recipiente tem a forma de um cone, e 
as medidas do raio de sua base e de sua altura são iguais às respectivas 
medidas do recipiente cilíndrico. 
 
Qual é a razão entre o volume do recipiente cilíndrico e o volume do recipiente 
cônico? 
a) 
1
2
 
b) 
1
5
 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
 
 
 
 
 
 
9. (Fuvest 2017) Um reservatório de água tem o formato de um cone circular 
reto. O diâmetro de sua base (que está apoiada sobre o chão horizontal) é 
igual a 8 m. Sua altura é igual a 12 m. A partir de um instante em que o 
reservatório está completamente vazio, inicia-se seu enchimento com água a 
uma vazão constante de 500 litros por minuto. 
 
O tempo gasto para que o nível de água atinja metade da altura do 
reservatório é de, aproximadamente, 
 
Dados: 
- π é aproximadamente 3,14. 
- O volume V do cone circular reto de altura h e raio da base r é 
21V r h.
3
π= 
a) 4 horas e 50 minutos. 
b) 5 horas e 20 minutos. 
c) 5 horas e 50 minutos. 
d) 6 horas e 20 minutos. 
e) 6 horas e 50 minutos. 
 
 
 
 
 
10. (Enem PPL 2018) A figura mostra uma anticlepsidra, que é um sólido 
geométrico obtido ao se retirar dois cones opostos pelos vértices de um 
cilindro equilátero, cujas bases coincidam com as bases desse cilindro. A 
anticlepsidra pode ser considerada, também, como o sólido resultante da 
rotação de uma figura plana em torno de um eixo. 
 
 
 
A figura plana cuja rotação em torno do eixo indicado gera uma anticlepsidra 
como a da figura acima é 
a) b) c) 
 
 
d) e) 
 
 
 
 
 3 
 
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: [C] 
 
Sejam r e R, com r R, os raios das bases dos dois cilindros. Tem-se 
que 
24 r 16 r 2cmπ π=  = 
 
e 
24 R 100 R 5cm.π π=  = 
 
Portanto, os volumes dos cilindros são, respectivamente, iguais a 
3 32 2 16 cmπ π = e 3 32 5 250 cm .π π = 
 
Resposta da questão 2: 
 [D] 
 
Calculando: 
22 2
2 2
5 3 BC BC 4
V 5 4 2 4 100 16 84π π π π π
= +  =
=   −   = − =
 
 
Resposta da questão 3: [B] 
 
Considerando r o raio da base do cilindro, h a altura do cilindro e que a área 
lateral do cilindro é 64 ,π temos: 
2 r h 64 h 32π π π   =    = (Equação 1). 
 
Considerando, agora, que 2r é o raio da base do cone, h 2− sua altura e 
o volume é 
3128 cm ,π podemos escrever que: 
( ) ( )
2 21 2r h 2 128 r (h 2) 96
3
π π   − =    − = (Equação 2) 
 
Das equações 1 e 2, temos: 
2
2
2
2
r (h 2) 96
r r h 2 r 96
32r 2r 96
r 16r 48 0
 − = 
  −  = 
− = 
− + =
 
 
Resolvendo a equação do segundo grau, obtemos r 12= ou r 4.= 
32
r 12 h
12
=  = (não inteiro) 
32
r 4 h 8
4
=  = = (inteiro) 
 
Calculando, agora, a geratriz do cone. 
2 2 2 2 2 2g (2r) (h 2) g 8 6 g 10 cm.= + −  = +  = 
 
Logo sua área lateral será dada por: 
2
LA 2r g 8 10 80 cmπ π π=   =   = 
 
Resposta da questão 4: [A] 
 
Seja r a medida do raio da base do cilindro. Desde que o comprimento da 
circunferência da base mede 31cm, temos 
31
31 2 r r
2 3,1
r 5cm.
π=   

 
 
 
Portanto, a resposta é 
2 33,1 5 20 1.550 cm .   
 
 
 
 
 
Resposta da questão 5: [A] 
 
Graficamente: 
 
 
 
Considerando um cilindro de revolução de altura igual a 9 e base de raio 4, 
e um cone de revolução de base idêntica e altura 8, pode-se calcular: 
2 2
sólido cilindro cone
sólido
1
V V V 4 9 4 8
3
8 304
V 16 9
3 3
π π
π
π
= − =   −   
 
=  − = 
 
 
 
 
Resposta da questão 6: [C] 
 
A figura ilustra a situação descrita. 
 
 
 
De início, convém lembrar que o volume de um cilindro com base de diâmetro 
D e altura H é dado por 
2D
V .
4
π
= 
 
 
 
 4 
 
 
 
 Na figura 1, com o cilindro cheio, o volume de água é igual ao volume do 
cilindro. 
2
3
1
6
V 24 V 216 cm .14
π
π=  = 
 
Na figura 2, o volume de água que permanecerá no recipiente corresponde ao 
volume do cilindro menos o volume de água derramado, que corresponde à 
metade do volume de um cilindro de raio da base igual a 6 cm e altura 
6 cm. Assim: 
( )
2 2
3 3
2 2 2
6 1 6
V 24 6 V 216 27 cm V 189 cm .
4 2 4
π π
π π π
    
= −  = −  =   
       
 
 
Fazendo a razão: 
2
2 1
1
V 189 7
 V V .
V 216 8
π
π
=  = 
 
 
Resposta da questão 7: [B] 
 
Calculando: 
( )
2
0,2
AD 0,72 AD 12 m
2
DC 12 120 DC 10
5 1
cos CDG CDG 60
10 2
π 
 =  =
 =  =
= =  = 
 
 
 
Resposta da questão 8: [C] 
 
Sejam r e h, respectivamente, o raio da base e a altura do cilindro. Logo, 
sabendo que os dois sólidos possuem o mesmo raio da base e amesma 
altura, tem-se que a resposta é dada por 
2
2
r h
3.
1
r h
3
π
π
= 
 
Resposta da questão 9: [C] 
 
De acordo com o enunciado: 
 
 
 
Considerando: 
V volume total do cone
v ' volume cheio (tronco)
v '' volume vazio (topo)
H 12 altura total
h 6 altura topo / altura tronco
=
=
=
= =
= =
 
 
Pode-se calcular: 
3 3
2 2
3
3
V H 12 V
V 8v ''
v '' h 6 v ''
V 7
v ' v '' V v ' V v ' V
8 8
1 1
V R H 3,14 4 12 V 200,96
3 3
7 7
v ' V 200,96 v ' 175,85 m
8 8
Tempo : 500 L / min 0,5 m / min
1min
π
   
= → = → =   
   
+ = → + = → =
=    =    → =
= =  → =
=
30,5 m
t 3175,85 m
t 351,7 min 5h e 50 min= 
 
 
 
Resposta da questão 10: [B] 
 
Considerando o plano paralelo às geratrizes do cilindro, contendo os vértices 
dos cones, podemos afirmar que a resposta é a figura da alternativa [B].