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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – ÁREA 2 
AULA 04 – TENSÕES NO ENTORNO DE UM PONTO 
1. CÍRCULO DE MOHR 
A partir das características matemáticas apresentadas pelas equações de transformação, podemos 
constatar que é possível obter de forma gráfica componentes de tensão segundo diferentes sistemas 
de eixos, bem como tensões e direções principais para um dado estado de tensões em um ponto. A 
metodologia consiste em procedimentos geométricos simples, baseando-se no fato de que as 
equações de transformação são, na verdade, equações paramétricas de uma circunferência no plano 
coordenado σ-τ. Assim, círculos descrevendo as possíveis direções e componentes de um estado de 
tensões são obtidos, sendo denominados círculos de Mohr em homenagem ao engenheiro alemão 
que desenvolveu o método, Otto Mohr. 
Na seqüência é demonstrada a relação entre as equações de transformação de tensões e a equação 
da circunferência nos casos de estado plano e estado geral de tensões. Em cada caso, são também 
mostrados os passos para a obtenção gráfica dos círculos de Mohr. 
1.1 Estado plano de tensões 
As equações de transformação de tensões para σx’ e τx’y’ são dadas por: 
.cos2 .sen2
2 2
x y x y
x xy′
σ + σ σ − σ
σ = + θ + τ θ 
.sen2 .cos2
2
x y
x y xy′ ′
σ − σ
τ = − θ + τ θ 
Subtraindo o primeiro termo de σx’, obtém-se: 
.cos2 .sen2
2 2
x y x y
x xy′
σ + σ σ − σ
σ − = θ + τ θ 
.sen2 .cos2
2
x y
x y xy′ ′
σ − σ
τ = − θ + τ θ 
Elevando ao quadrado as equações acima e somando os resultados, tem-se: 
2 2
2 2
2 2
x y x y
x x y xy′ ′ ′
σ + σ σ − σ   
σ − + τ = + τ  
   
 
onde σx, σy e τxy são constantes conhecidas através do estado de tensões apresentado pelo material 
no ponto analisado. A equação acima pode ainda ser escrita como: 
[ ]2 2 2med Rx x y′ ′ ′σ − σ + τ = 
sendo: 
med 2
x yσ + σσ = 
2
2R
2
x y
xy
σ − σ 
= + τ 
 
 
Portanto, constatamos que as equações de transformação de tensões são equações paramétricas de 
uma circunferência sobre o plano σ-τ, com centro em (σméd,0) e raio R. Ou seja, todas as direções e 
componentes de tensão possíveis para a representação do estado de tensões em um dado ponto do 
material estão sobre uma circunferência, o círculo de Mohr. 
 2
 
As tensões principais podem ser identificadas a partir dos pontos extremos do círculo de Mohr sobre 
o eixo das tensões normais σ no plano σ-τ, sendo dadas pelo valor da tensão normal no centro σméd 
mais ou menos o raio R, como indicado abaixo: 
2
2
min,max med R 2 2
x y x y
xy
σ + σ σ − σ 
σ = σ ± = ± + τ 
 
 
As tensões tangenciais extremas são obtidas tomando-se mais ou menos o raio R do círculo de Mohr, 
isto é: 
2
2
min,max 2
x y
xy
σ − σ 
τ = ± + τ 
 
 
Outra forma de identificar as tensões tangenciais extremas é considerá-las como a metade do 
diâmetro do círculo de Mohr. Em termos das tensões principais, tem-se: 
max min
min,max 2
σ − στ = ± 
Para ilustrar os procedimentos adotados na construção do círculo de Mohr, vamos considerar o 
estado plano de tensões no entorno de um ponto representado pelo prisma ao lado. Os sinais das 
componentes seguem uma convenção onde as tensões normais são consideradas como positivas 
quando em tração e a componente tangencial em uma face é 
positiva quando tende a rotar o prisma no sentido horário. 
Inicialmente, deve-se definir o centro do círculo a partir das 
componentes de tensão σx, σy e τxy referentes ao estado de tensões 
fornecido. Para isso, vamos determinar um ponto identificado por H 
no plano σ-τ, o qual se refere às tensões atuantes na face horizontal 
do prisma. Da mesma forma, determinamos o ponto V no plano σ-τ 
correspondendo às tensões atuantes na sua face vertical. Através 
da reta que une estes dois pontos, localizamos o centro do círculo de Mohr como sendo a interseção 
desta reta com o eixo de tensões normais σ, ou seja, a tensão média (σx + σy)/2. Agora, a 
circunferência pode ser desenhada considerando que o raio equivale à distância entre o centro do 
círculo e o ponto H ou o ponto V. 
O pólo P é obtido pelo rebatimento do ponto V em relação ao eixo das tensões normais, ou seja, o 
ponto V com o sinal da tensão tangencial invertido. A partir da localização deste pólo, podemos 
determinar as tensões atuantes sobre um plano qualquer definido por α traçando uma reta passando 
por P e formando o mesmo ângulo α com a vertical. As tensões atuantes são definidas pela 
interseção da reta passando por P com o círculo de Mohr, com os sinais dados segundo a convenção 
indicada acima. Observe que os ângulos correspondentes às direções principais estão defasados de 
90º, como verificado pelas equações de transformação. Podemos ver também que as tensões 
tangenciais máxima e mínima ocorrem em direções defasadas de 45º em relação às direções 
principais. 
 3
 
Uma segunda alternativa para o traçado do círculo de Mohr é mostrada a partir da figura abaixo, onde 
é apresentado um determinado estado plano de tensões. O centro do círculo é obtido como 
anteriormente, definindo os pontos H e V sobre o plano σ-τ referentes às tensões atuantes nas faces 
horizontal e vertical do elemento de tensões, onde se utiliza a mesma convenção de sinais indicada 
logo acima. Neste caso, as componentes de tensão para um elemento com um ângulo de rotação α 
em relação à sua orientação inicial é obtida através do círculo de Mohr girando a reta VH em um 
ângulo 2α a partir da direção original, no mesmo sentido de giro indicado no elemento de tensões. 
 
Podemos constatar da figura abaixo que a partir do ângulo XCA obtém-se a equação que define a 
orientação dos planos principais, isto é: 
tg(XCA) xy
x y
2.τ
=
σ − σ
 
 
Assim, a orientação do plano principal, que corresponde ao ponto A do círculo, é obtida dividindo-se 
por 2 o ângulo XCA medido no gráfico. 
1.2 Estado tridimensional de tensões 
Considere um corpo qualquer em estado plano de tensões no plano xy, como mostrado na figura 
abaixo. Se um elemento é retirado do corpo no entorno do ponto P, podemos determinar as direções 
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principais y’ e x’ e as tensões principais correspondentes σ1 e σ2, respectivamente. Neste caso, a 
tensão principal σ3 na direção z seria nula. 
 
Se, no entanto, o elemento fosse retirado com as faces orientadas segundo as próprias direções 
principais, obteríamos uma representação do estado de tensões no qual as tensões normais nas 
faces seriam as próprias tensões principais, sendo as tensões tangenciais nulas. 
 
Se retirássemos agora um elemento não mais contido no plano xy, mas no plano x’z, com duas faces 
normais à tensão principal σ2 (associada ao eixo x’) e as outras duas normais à tensão σ3 (associada 
ao eixo z), o círculo de Mohr apresentaria como valores extremos a tensão principal σ2 e um valor 
nulo correspondendo à tensão σ3. 
 
Finalmente, se retirarmos um elemento contido no plano y’z, com duas faces normais à tensão 
principal σ1 e outras duas normais à tensão σ3, o círculo de Mohr correspondente teria como valores 
extremos as tensões principais σ1 e σ3, que é nula. 
 
Portanto, podemos concluir que um estado de tensões tridimensional pode ser analisado através de 
três círculos de Mohr, que descrevem as componentes de tensão em cada um dos planos normais a 
uma das tensões principais. Conseqüentemente, a transformação de tensões em torno de um eixo 
principal é estudada como se fosse uma transformação em estado plano de tensões. 
A maior tensão tangencial que ocorre em um ponto corresponde ao raio do maior círculo de Mohr que 
pode ser obtido naquele ponto, ou seja: 
max 2
1 3σ − στ = 
Esta tensão somente corresponderá ao raio do círculo de Mohr obtido de um elemento contido no 
plano da estrutura se as tensões principais contidas neste plano forem a máxima de tração σ1 e a 
máxima de compressão σ3. 
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Na figura abaixo, vemos que as tensões de cisalhamento atuando nas faces perpendiculares ao eixo 
c permanecem iguais a zero e a tensão normal σc, perpendicular ao plano ab, nãoinflui na 
transformação. Podemos então desenhar o círculo de diâmetro AB para determinarmos as tensões 
normal e de cisalhamento que atuam na face do elemento quando este gira em torno do eixo c. Do 
mesmo modo, os círculos de diâmetro BC e CA podem ser usados na determinação das tensões do 
elemento quando este gira em torno dos eixos b e c, respectivamente. Deve ficar claro que nossa 
análise limita-se a rotações em torno de eixos principais, mas pode ser mostrado que qualquer outra 
rotação de eixos leva a tensões que ficam representadas por pontos localizados dentro da área 
sombreada do gráfico abaixo. 
 
As configurações possíveis de círculos de Mohr para o estado plano de tensões são mostradas na 
figura a seguir. 
 
EXEMPLOS: 
1. Considerando o estado de tensões representado no elemento abaixo, determine: (a) o 
círculo de Mohr de estado plano; (b) as tensões pri ncipais; (c) a tensão máxima de 
cisalhamento e as tensões normais correspondentes. 
 
A partir do estado de tensões representado acima, podemos identificar dois pontos sobre o plano σ-τ, 
correspondendo às tensões atuantes nos planos horizontal e vertical do elemento de tensões, 
tomadas segundo a convenção de sinais adotada na construção de círculos de Mohr. No plano 
horizontal, definimos o ponto Y de coordenadas (-10; 40), enquanto que no plano vertical temos o 
ponto X de coordenadas (50; -40). Através destes pontos, podemos localizar o centro do círculo de 
Mohr C sobre o eixo das tensões normais σ como sendo: 
x y
med
50 ( 10)
20MPa
σ + σ + −σ = = =
2 2
 
 6
O círculo de Mohr pode então ser traçado com um compasso, tendo centro em C e raio dado pela 
reta CX ou CY. No interior do círculo podemos construir um triângulo como o indicado pela área 
sombreada na figura abaixo, de onde se obtém que: 
CF OF OC 50 20 30MPa
FX 40MPa
= − = − =
=
 
Logo, o valor do raio do círculo de Mohr é: 
2 2 2 2R CX CF FX 30 40 50MPa= = + = + = 
As tensões principais podem ser obtidas por: 
max OA OC R 20 50 70MPaσ = = + = + = 
min OB OC R 20 50 30MPaσ = = − = − = − 
Lembrando que o ângulo ACX representa 2.θp, temos que: 
p p p
FX 40
tg(ACX) tg(2.θ ) 2.θ arctg(1,333) θ 26,6
CF 30
= = = ⇒ = ⇒ = � 
Como a rotação que leva CX a coincidir com CA no círculo de Mohr é anti-horária, a rotação que faz 
Ox coincidir com Oa (correspondente a σmax) será também anti-horária, como indicado na figura 
abaixo. 
 
Vemos na figura acima que uma rotação adicional de 90º a partir de CA faz com que CA coincida com 
CD, de modo que uma rotação adicional de 45º levará o eixo Oa a coincidir com o eixo Od, que 
corresponde à máxima tensão de cisalhamento. Logo, temos que τmáx = R = 50 MPa e que a tensão 
normal correspondente é σ’ = σméd = 20 MPa. O ponto D localiza-se acima do eixo das tensões 
normais σ, de modo que as tensões de cisalhamento que atuam nas faces perpendiculares a Od 
devem ser dirigidas de modo a fazer o elemento rodar no sentido horário. 
2. Determine para o estado plano de tensões indicad o abaixo: (a) os planos principais e as 
tensões principais; (b) as componentes de tensão em um elemento obtido pela rotação de 30° 
no sentido anti-horário. 
 
 7
De acordo com a convenção de sinais adotada na construção de círculos de Mohr, podemos 
determinar dois pontos sobre o plano σ-τ, sendo eles os pontos X e Y referentes às tensões atuantes 
nas faces vertical e horizontal, respectivamente, do elemento de tensões. Portanto, as coordenadas 
destes pontos são X = (100; 48) e Y = (60; -48). 
Unindo os pontos X e Y por uma reta, encontramos o centro do círculo de Mohr através da interseção 
desta reta com o eixo das tensões normais σ. Este ponto expressa a tensão média σméd, a qual pode 
ser obtida graficamente ou determinada por: 
x y
med
100 0
80MPa
σ + σ + 6σ = = =
2 2
 
O círculo de Mohr pode agora ser traçado com um compasso, tendo seu centro C com coordenadas 
(σméd, 0) e raio dado pela reta CX ou CY. No interior do círculo podemos construir um triângulo como 
o indicado pela área sombreada na figura abaixo, de onde se obtém que: 
CF OF OC 100 80 20MPa
FX 48MPa
= − = − =
=
 
Logo, o valor do raio do círculo de Mohr é: 
2 2 2 2R CX CF FX 20 48 52MPa= = + = + = 
 
Girando a reta XY no sentido horário em um ângulo tal (2.θp) que ela coincida com a reta AB, temos a 
orientação dos planos principais: 
p p p
FX 48
tg(CFX) tg(2.θ ) 2.θ arctg(2,4) θ 33,7
CF 20
= = = ⇒ = ⇒ = � 
As tensões principais são obtidas pelas abscissas dos pontos A e B do círculo, que correspondem 
aos extremos na direção do eixo σ, ou seja: 
max OA OC R 80 52 132MPaσ = = + = + = 
min OB OC R 80 52 28MPaσ = = − = − = 
A rotação que faz a reta XY coincidir com a reta AB se dá no sentido horário. Portanto, a rotação que 
leva o eixo Ox a coincidir com o eixo Oa (correspondente à tensão σmáx) também será no sentido 
horário, como mostrado na figura acima. 
Para obtermos as componentes de tensão de um elemento segundo um sistema de eixos rotado de 
30° no sentido anti-horário, devemos girar a reta XY do círculo de Mohr no mesmo sentido e com um 
ângulo 2.θ = 60°. Desta forma, localizamos os pontos X’ e Y’, que correspondem às tensões nas 
faces do elemento rotado a 30°. Do círculo de Mohr mostrado abaixo, podemos constatar que: 
180 60 67,4 52,6φ = − − ⇒ φ =� � � � 
x' OK OC KC 80 52.cos52,6 48,4MPaσ = = − = − =
� 
 8
y' OL OC CL 80 52.cos52,6 111,6MPaσ = = + = + =
� 
x'y' KX 52.sen52,6 41,3MPa′τ = = =
� 
 
Como X’ localiza-se acima do eixo das tensões normais σ, a tensão de cisalhamento na face 
perpendicular a Ox’ tende a rotar o elemento no sentido horário. 
3. Um estado plano de tensões consiste de uma tensã o de tração σσσσ0 = 56 MPa atuando em 
faces verticais onde são desconhecidas as tensões d e cisalhamento. Determinar: (a) a 
intensidade da tensão de cisalhamento ττττ0 que corresponde à tensão normal de 56 MPa; (b) a 
tensão máxima de cisalhamento. (A tensão de 70 MPa é a tensão normal máxima). 
 
Vamos assumir inicialmente que o sentido das tensões tangenciais atuando sobre o elemento é o 
indicado na figura acima. A tensão de cisalhamento τ0 tende a rotar o elemento no sentido horário em 
uma face perpendicular ao eixo horizontal x e, assim, podemos marcar o ponto X de coordenadas 
(56, τ0) acima do eixo das tensões normais σ, como mostrado na figura abaixo. Analisando as faces 
horizontais do elemento, vemos que σy = 0 e que τ0 tende a rotar o elemento no sentido anti-horário. 
Desse modo, marcamos o ponto Y a uma distância τ0 abaixo do ponto O. 
 
Vemos que o centro do círculo de Mohr encontra-se sobre o eixo das tensões normais com 
coordenada σ = σméd, sendo: 
x y
med
56 0
28MPa
σ + σ +σ = = =
2 2
 
 9
A tensão normal máxima é obtida pelo ponto A do círculo. Como σmáx = 70 MPa, o raio do círculo é 
dado por: 
max med R R 70 28 42MPaσ = σ + ⇒ = − = 
Analisando o triângulo CFX, podemos obter a tensão de cisalhamento τ0 da seguinte forma: 
p p p
CF CF 28
cos(2.θ ) 2.θ arctg(0,667) θ 24,1
CX R 42
= = = ⇒ = ⇒ = � 
Assim, tem-se que: 
0 p 0FX R.sen(2. ) 42.sen48,2 31,3MPaτ = = θ ⇒ τ = = 
As coordenadas do ponto D do círculo de Mohr mostrado acima representam a tensão máxima de 
cisalhamento e a tensão normal média, isto é: 
max R 42MPaτ = = 
c p c2.θ 90 2.θ 90 48,2 θ 20,9= − − − ⇒ =
� � � � 
A tensão de cisalhamento máxima atua em um elemento orientado como indicado na figura a seguir, 
onde é também mostrado o elemento de tensões correspondente às tensões principais. 
 
Se assumíssemos inicialmente outro sentido para a tensão τ0, encontraríamos o mesmo círculo e as 
mesmas respostas, porém a orientação dos elementos seria a indicada abaixo. 
 
4. O prisma abaixo foi retirado do ponto mais solic itado de um corpo. Encontrar as tensões e 
direções principais através dos círculos de Mohr co rrespondentes aos planos de tensão xy, xz 
e yz. Calcule também o valor da tensão tangencial m áxima em cada plano. 
 
 10 
A partir do estado de tensões representado no prisma,vemos que no plano cuja direção normal está 
paralela ao eixo z, na há nenhuma tensão tangencial atuando. Logo, podemos concluir que esta é 
uma das direções principais e que a tensão principal correspondente é nula. Sendo assim, vamos 
desenhar o círculo de Mohr associado ao plano xy, a partir do qual obteremos as demais direções e 
tensões principais. 
De acordo com a convenção de sinais adotada na construção de círculos de Mohr, podemos 
determinar dois pontos sobre o plano σ-τ, sendo eles os pontos X e Y referentes às tensões atuantes 
nas faces vertical e horizontal, respectivamente, do prisma no plano xy. Portanto, as coordenadas 
destes pontos são X = (-30; -40) e Y = (50; 40). 
Unindo os pontos X e Y por uma reta, encontramos o centro do círculo de Mohr no plano xy através 
da interseção desta reta com o eixo das tensões normais σ. Este ponto expressa a tensão média 
σméd, a qual pode ser obtida graficamente ou determinada por: 
x y
med
50 30
10MPa
σ + σ −σ = = =
2 2
 
O círculo de Mohr pode agora ser traçado com um compasso, tendo seu centro C com coordenadas 
(σméd, 0) e raio dado pela reta CX ou CY. No interior do círculo podemos construir um triângulo como 
o indicado pela área sombreada na figura abaixo, de onde se obtém 
que: 
CF OF OC 50 10 40MPa
FY 40MPa
= − = − =
=
 
Logo, o valor do raio do círculo de Mohr é: 
2 2 2 2R CY CF FY 40 40 56,6MPa= = + = + = 
Girando a reta XY no sentido horário em um ângulo tal (2.θp) que 
ela coincida com a reta AB, temos a orientação dos planos principais: 
p p p
FY 40
tg(CFY) tg(2.θ ) 2.θ arctg(1) θ 22,5
CF 40
= = = ⇒ = ⇒ = � 
As tensões principais no plano xy são obtidas pelas abscissas dos pontos A e B do círculo de Mohr 
correspondente, ou seja: 
max OB OC R 10 56,6 66,6MPaσ = = + = + = 
min OA OC R 10 56,6 46,6MPaσ = = − = − = − 
Portanto, temos as seguintes tensões principais: 
1
2
3
66,6MPa
0
46,6MPa
σ =
σ =
σ = −
 
As tensões tangenciais máximas podem ser calculadas por: 
1 3
xy,max
66,6 ( 46,6)
56,6MPa
2 2
σ − σ − −τ = = = 
1 2
1z,max
66,6 0
33,3MPa
2 2
σ − σ −τ = = = 
2 3
3z,max
0 ( 46,6)
23,3MPa
2 2
σ − σ − −τ = = =