Apostila de transferência de calor - FSMA

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ENGENHARIA AMBIENTAL E SANITÁRIA 
 
ENGENHARIA DE PRODUÇÃO COM ÊNFASE 
EM ENGENHARIA DE INSTALAÇÕES NO MAR 
 
ENGENHARIA QUÍMICA 
 
 
 
 
 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
 
 
 
 
 
 
ANDRÉ ALEIXO MANZELA 
 
 
 
 
 
 
MACAÉ 
FEVEREIRO / 2017 
 1
 
ÍNDICE 
 
1 - Introdução à transferência de calor 3 
 1.1 - Condução 3 
 1.2 - Convecção 4 
 1.3 - Radiação 6 
 1.4 - Conservação de energia 8 
2 - Condução de calor 12 
 2.1 - Equação da difusão de calor 12 
3 - Condução unidimensional em regime permanente 17 
 3.1 - Circuitos térmicos 22 
 3.2 - Raio crítico de isolamento 25 
 3.3 - Superfícies estendidas 27 
4 - Condução em regime transiente 31 
 4.1 - Método da capacitância global 31 
 4.2 - Efeitos espaciais 34 
 4.3 - Constante de tempo e tempo de resposta 39 
5 - Convecção de calor 41 
 5.1 - Camadas limites de convecção 41 
 5.1.1 - Camada limite de velocidade 42 
 5.1.2 - Camada limite térmica 42 
 5.2 - Escoamentos laminar e turbulento 43 
6 - Convecção em escoamento externo 45 
 6.1 - Metodologia para cálculos de convecção 45 
7 - Convecção em escoamento interno 47 
 7.1 - Considerações hidrodinâmicas 47 
 7.2 - Considerações térmicas 48 
 7.2.1 - A temperatura média 48 
 7.2.2 - Lei do Resfriamento de Newton / Condições completamente 
desenvolvidas 49 
 7.2.3 - Balanço de energia 49 
8 - Convecção livre (ou natural) 53 
9 - Trocadores de calor 56 
 2
 9.1 - Tipos de trocadores de calor 56 
 9.2 - Coeficiente global de transferência de calor 58 
 9.3 - A média logarítmica das diferenças de temperatura 59 
Bibliografia 62 
Apêndice - Tabelas de propriedades 63 
 Apêndice 1 - Propriedades termofísicas de materiais 63 
 Apêndice 2 - Propriedades termofísicas de gases 67 
 Apêndice 3 - Propriedades termofísicas de líquidos saturados 68 
 Apêndice 4 - Propriedades termofísicas da água saturada 69 
 3
 
1 - Introdução à transferência de calor 
 
 Na termodinâmica se estuda a transferência de energia devido às interações entre 
um sistema e sua vizinhança, sendo estas interações conhecidas por trabalho e calor. 
Porém não se analisa a natureza destas interações, mas suas conseqüências. 
 O objetivo da transferência de calor é justamente estender a análise realizada na 
termodinâmica através da avaliação de como calor é transferido, ou seja, dos 
mecanismos envolvidos na transferência de calor. 
 Calor é o nome que se dá à energia enquanto esta se transfere entre um sistema / 
volume de controle e sua vizinhança devido a uma diferença de temperatura entre estes 
meios. Se há diferença de temperatura, há transferência de calor, sendo esta 
transferência do meio de maior temperatura para o meio de menor temperatura. 
 A transferência de calor pode ocorrer de três formas: 
- condução: quando existe um gradiente (diferença) de temperatura em um meio 
estacionário, que pode ser um sólido ou um fluido em repouso (estagnado); 
- convecção: quando um fluido em movimento e uma superfície se encontram a diferentes 
temperaturas; 
- radiação: quando duas superfícies estão a diferentes temperaturas. 
 
1.1 - Condução 
 
 A condução de calor ocorre através das interações entre átomos / moléculas, 
podendo ser vista como a transferência de energia de partículas mais energéticas para 
partículas de menor energia, sendo estas energias associadas às temperaturas de tais 
partículas. 
 Para quantificar a taxa (quantidade por unidade de tempo) de transferência de calor 
por condução utiliza-se a Lei de Fourier: 
 
 





∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=∇−= k̂
z
T
ĵ
y
T
î
x
T
K.A.Tk.A.q
rr
 (1) 
 
onde: 
q
r
: taxa de transferência de calor (neste caso por condução) [ ]W 
 4
k : condutividade térmica do meio 



m.K
W
 
Α : área da seção reta transversal à direção do fluxo de calor 


 2m 
T∇
r
: gradiente de temperatura no meio 



m
K
 
 Vale ressaltar que a taxa de transferência de calor é uma grandeza vetorial, ou seja, 
possui módulo, direção e sentido. 
 O sinal negativo no 2º membro da equação (1) é devido ao fato do calor ser 
transferido no sentido da diminuição de temperatura. 
 A condutividade térmica é uma grandeza que mede a capacidade de um meio de 
conduzir calor, sendo maior em sólidos que em líquidos, e maior em líquidos que em 
gases. 
 Uma outra forma de expressar a Lei de Fourier é através do fluxo de calor ( )"qr : 
 
 Tk.
A
q
"q ∇−==
rrr
 (2) 
 
 Numa situação de transferência de calor unidimensional, ou seja, numa única 
direção (x, por exemplo), a Lei de Fourier se resumiria a: 
 
 
dx
dT
k.A.
x
q −= (3) 
 
1.2 - Convecção 
 
 O modo de transferência de calor por convecção envolve dois mecanismos. Além da 
transferência de energia devida ao movimento atômico / molecular, energia também é 
transferida através do movimento global (ou macroscópico) do fluido. O termo advecção é 
usado para se referir à transferência de energia devida exclusivamente a esse movimento 
global do fluido. 
 A convecção se classifica em convecção forçada (quando o movimento do fluido é 
causado por meios externos como um ventilador, uma bomba etc.), em convecção livre ou 
natural (quando o movimento do fluido é induzido por diferenças de densidade causadas 
por diferenças de temperatura) e em convecção mista (combinação das anteriores). 
 5
 Utiliza-se a Lei do Resfriamento de Newton para quantificar a taxa de transferência 
de calor por convecção: 
 
 ∆Th.A.q =
r
 (4) 
 
onde: 
q
r
: taxa de transferência de calor (neste caso por convecção) [ ]W 
h : coeficiente convectivo 








.K2m
W
 
A : área de contato do fluido com a superfície 


 2m 
∆T : diferença de temperatura entre o fluido e a superfície [ ]Cou K o 
 O coeficiente convectivo depende da geometria da superfície, da natureza do 
escoamento do fluido, e de uma série de propriedades termodinâmicas e de transporte do 
fluido. 
 Utiliza-se o módulo da diferença de temperatura entre o fluido e a superfície para 
evitar valores negativos para a taxa de transferência de calor, bastando identificar o 
sentido desta através da verificação das temperaturas do fluido e da superfície (o sentido 
será do meio de maior temperatura para o meio de menor temperatura). 
 A temperatura a ser considerada para o fluido é aquela fora da camada limite 
térmica ( )∞T . Camada limite térmica é a região na qual a temperatura varia desde a 
temperatura da superfície até a temperatura do fluido que não está trocando calor com a 
superfície (figura 1). 
 
 
Figura 1 - Camada limite térmica 
 
 6
 Pode-se expressar a Lei do Resfriamento de Newton (equação (4)) através do fluxo 
de calor ( )"qr : 
 
 Th.
A
q
"q ∆==
r
r
 (5) 
 
1.3 - Radiação 
 
 Radiação térmica é a energia emitida por toda matéria que se encontra a uma 
temperatura não nula. Embora a atenção seja voltada para superfícies, é importante saber 
que gases e líquidos também produzem radiação térmica. 
 A radiação térmica é transportada por meio de ondas eletromagnéticas, não sendo 
necessária, portanto, a presença de um meio físico para este transporte. 
 O fluxo de calor emitido por radiação por uma superfície é dado pela Lei de Stefan-
Boltzmann: 
 
 4
sup
.T.
sup
ε
sup
E σ= (6) 
 
onde: 
sup
E : fluxo de calor emitido por uma superfície ou poder emissivo de uma superfície 




2m
W
 
sup
ε : emissividade da superfície [adimensional] 
σ : constante de Stefan-Boltzmann 




 =
42
8-
.Km
W
5,67.10σ 
sup
T : temperatura absoluta da superfície [K] 
 A emissividade varia entre 0 e 1, sendo a medida da capacidade de emissão de 
energia por radiação de uma superfície em relação a um corpo negro (aquele corpo que 
tem o máximo poder emissivo para determinada temperatura, ou seja, 4
sup
σ.T
n
E = ). 
 O fluxo de calor por radiação que incide sobre uma superfície é chamado de 
irradiação. A parcela da irradiação que é absorvida pela superfície é dadapor: 
 7
 .G
sup
α
abs
G = (7) 
 
onde: 
abs
G : irradiação absorvida pela superfície 








2m
W
 
sup
α : absortividade da superfície [adimensional] 
G: irradiação 








2m
W
 
 A absortividade varia entre 0 e 1, sendo função da natureza da irradiação e da 
superfície. 
 Um caso específico que ocorre com freqüência é aquele onde uma pequena 
superfície à temperatura 
sup
T troca radiação com uma superfície isotérmica muito maior 
que envolve completamente a menor. Nesta situação pode-se considerar que a superfície 
menor apresenta εα = (corpo cinza) e a irradiação da vizinhança pode ser aproximada 
pela emissão de um corpo negro, sendo o fluxo líquido de calor por radiação dado por: 
 
 
4
viz
T4
sup
T..
sup
ε
4
viz
.T.
sup
ε4
sup
.T.
sup
ε
4
viz
.T.
viz
.ε
sup
ε4
sup
.T.
sup
ε
.G
sup
α4
sup
.T.
sup
ε
abs
G
sup
E"q
−=
=−=
=−=
=−=
=−=
σ
σσ
σσ
σ
r
 (8) 
 
onde: 
"q
r
: fluxo líquido de calor por radiação entre a superfície e a vizinhança 








2m
W
 
viz
T : temperatura absoluta da vizinhança (superfícies vizinhas) [ ]K 
 8
 Utiliza-se o módulo da diferença entre o poder emissivo da superfície e a irradiação 
absorvida para evitar valores negativos para o fluxo líquido de calor por radiação, 
bastando identificar o sentido deste através da verificação das temperaturas da superfície 
da vizinhança. 
 Reescrevendo a equação (8) através da taxa líquida de transferência de calor por 
radiação ( )qr : 
 
 4
viz
T4
sup
TA..
sup
ε".Aqq −== σ.
rr
 (9) 
 
 Existem aplicações nas quais é conveniente expressar a equação (9) da seguinte 
forma: 
 
 
viz
T
sup
T.A.
r
hq −=
r
 (10) 
 
onde: 
r
h : coeficiente convectivo de radiação








.K2m
W
 
 O coeficiente convectivo de radiação equivale, então, a: 
 
 




 +




 += 2
viz
T2
sup
T.
viz
T
sup
T..
sup
ε
r
h σ (11) 
 
1.4 - Conservação de energia 
 
 Aplicando-se a 1ª Lei da Termodinâmica (conservação de energia) a um sistema / 
volume de controle tem-se duas opções: 
- num intervalo de tempo ( )∆t (figura 2): 
 
 9
 
Figura 2 - Balanço de energia num sistema / volume 
de controle num intervalo de tempo ( )∆t 
 
 
ac
∆E
s
E
g
E
e
E =−+ (12) 
 
onde: 
e
E : quantidade de energia térmica e mecânica que entra no sistema / volume de controle 
no intervalo de tempo ∆t 
g
E : quantidade de energia térmica gerada no interior do sistema / volume de controle no 
intervalo de tempo ∆t 
s
E : quantidade de energia térmica e mecânica que sai do sistema / volume de controle no 
intervalo de tempo ∆t 
ac
∆E : variação da quantidade de energia térmica armazenada (acumulada) no interior do 
sistema / volume de controle no intervalo de tempo ∆t 
( ) ( )( )latentecalor m.h 
ac
∆Ee/ou sensívelcalor Tm.c.
ac
∆E =∆= . 
- num determinado instante (t) (figura 3): 
 
 
Figura 3 - Balanço de energia num sistema / volume 
de controle num determinado instante (t) 
 
 
ac
E
s
E
g
E
e
E &&&& =−+ (13) 
 
 10
onde: 
e
E& : taxa de entrada de energia térmica e mecânica no sistema / volume de controle no 
instante t 
g
E& : taxa de geração de energia térmica no interior do sistema / volume de controle no 
instante t 
s
E& : taxa de saída de energia térmica e mecânica do sistema / volume de controle no 
instante t 
ac
E& : taxa de variação de quantidade de energia térmica armazenada (acumulada) no 
interior do sistema / volume de controle no instante t 





∂
∂=
t
T
ρ.V.c.
ac
E& 
 O termo de geração de energia nas equações (12) e (13) está associado à 
conversão de outra forma de energia (química, elétrica, nuclear etc.) em energia térmica, 
sendo um fenômeno volumétrico. 
 Nos casos em que o sistema / volume de controle compreende uma superfície, a 
qual não delimita volume ou massa e, por conseqüência, não possui geração ou acúmulo 
de energia, os balanços de energia apresentados (equações (12) e (13)) se resumem, 
respectivamente, a: 
 
 
s
E
e
E0
s
E0
e
E =⇒=−+ (14) 
 
 
s
E
e
E0
s
E0
e
E &&&& =⇒=−+ (15) 
 
 Na figura 4 é mostrado um exemplo de balanço de energia numa superfície. 
 
 
Figura 4 - Exemplo de balanço de energia numa superfície 
 11
 
rad
q"
conv
q"
cond
q"
s
E
e
E
0
s
E0
e
E
ac
∆E
s
E
g
E
e
E
+=⇒
⇒=⇒
⇒=−+⇒
⇒=−+
 (16) 
 12
 
2 - Condução de calor 
 
 A Lei de Fourier (equação (1)) possui características importantes que merecem ser 
destacadas: 
- não é uma expressão derivada de princípios físicos fundamentais, mas uma 
generalização baseada em evidências experimentais; 
- é uma expressão que define uma importante propriedade dos materiais, a condutividade 
térmica; 
- é uma expressão vetorial, indicando que o fluxo de calor por condução (fluxo térmico 
condutivo) é normal (perpendicular) a uma isoterma (superfície de mesma temperatura) e 
no sentido da diminuição de temperatura; 
- é uma expressão que se aplica a toda matéria, independente de seu estado físico 
(sólido, líquido ou gasoso); 
- é uma expressão na qual está implícito que o meio no qual ocorre a condução de calor é 
isotrópico, ou seja, o valor da condutividade térmica independe da direção. 
 
2.1 - Equação da difusão de calor 
 
 A equação da difusão de calor (ou equação do calor) nada mais é que um balanço 
de energia para um processo de condução de calor. 
 Um dos principais objetivos na análise de um processo de condução de calor é 
determinar a distribuição de temperatura, ou seja, como a temperatura varia no meio. 
Conhecida esta distribuição, pode-se determinar o fluxo de calor em qualquer ponto do 
meio ou em sua superfície através da Lei de Fourier. 
 Consideremos um meio homogêneo no interior do qual não existe advecção. 
Destaca-se então um elemento diferencial deste meio para análise através do 
estabelecimento de um sistema envolvendo este elemento (figura 5). Desenvolvendo um 
balanço de energia teremos: 
 
 13
 
Figura 5 - Balanço de energia num elemento diferencial de um meio homogêneo 
 
 
ac
E
s
E
g
E
e
E &&&& =−+ (17) 
 
 Avaliando cada termo separadamente obtemos: 
 
 
z
q
y
q
x
q
e
E ++=& (18) 
 
 .dx.dy.dzq.Vq
g
E &&& == (19) 
 
onde: 
q& : taxa de geração de energia térmica, por unidade de volume, no interior do sistema 
V : volume 
 
 
dzz
q
dyy
q
dxx
q
s
E +++++=
& (20) 
 
 .dx.dy.dz
t
T
.
p
ρ.c
t
T
.
p
ρ.V.c
t
T
.
p
m.c
ac
E
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂=& (21) 
 
onde: 
m : massa 
p
c : calor específico a pressão constante 
ρ : massa específica 
 14
 As taxas de saída de energia podem ser expressas através de uma expansão da 
série de Taylor desprezando-se os termos de ordens superiores: 
 
 
.dz
z
z
q
z
q
dzz
q
.dy
y
y
q
y
q
dyy
q
.dx
x
x
q
x
q
dxx
q
∂
∂
+=+
∂
∂
+=+
∂
∂
+=+
 (22) 
 
 Logo, a equação (17) pode ser reescrita da seguinte forma: 
 
 
t
T
.
p
ρ.c
z
T
k.
zy
T
k.
yx
T
k.
x
q
.dx.dy.dz
t
T
.
p
ρ.c.dz
z
T
k.dx.dy.
z
.dy
y
T
k.dx.dz.
y
dx
x
T
k.dy.dz.
x
.dx.dy.dzq
.dx.dy.dz
t
T
.
p
ρ.c.dz
z
z
q
z
q.dy
y
y
q
y
q.dx
x
x
q
x
q.dx.dy.dzq
z
q
y
q
x
q
ac
E
s
E
g
E
e
E
∂
∂=





∂
∂
∂
∂+





∂
∂
∂
∂+





∂
∂
∂
∂+⇒
⇒
∂
∂=











∂
∂−
∂
∂+





∂
∂−
∂
∂+





∂
∂−
∂
∂−⇒
⇒
∂
∂=







∂
∂
++
∂
∂
++
∂
∂
+−+++⇒
⇒=−+
&
&
&
&&&&
 (23) 
 
 A equação (23) é conhecida como equação do calor ou equação da difusão de calor. 
 É importante destacar neste ponto algumas simplificações a serem feitas na 
equação (23) em casos específicos: 
- condutividade térmica constante: 
 
 
t
T
.
α
1
t
T
.
k
p
ρ.c
2z
T2
2y
T2
2x
T2
k
q
t
T
.
p
ρ.c
2z
T2
2y
T2
2x
T2
k.q
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+⇒
⇒
∂
∂=








∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
&
&
 (24) 
 
onde: 
α : difusividade térmica do meio (capacidade do meio de conduzirenergia térmica com 
relação a sua capacidade de armazená-la) 








s
2m
 
 15
- regime permanente: 
 
 0
z
T
k.
zy
T
k.
yx
T
k.
x
q =





∂
∂
∂
∂+





∂
∂
∂
∂+





∂
∂
∂
∂+& (25) 
 
- condução unidimensional (em x, por exemplo): 
 
 
t
T
.
p
ρ.c
x
T
k.
x
q
∂
∂=





∂
∂
∂
∂+& (26) 
 
- sem geração interna de energia térmica: 
 
 
t
T
.
p
ρ.c
z
T
k.
zy
T
k.
yx
T
k.
x ∂
∂=





∂
∂
∂
∂+





∂
∂
∂
∂+





∂
∂
∂
∂
 (27) 
 
 Escrevendo a equação do calor em coordenadas cilíndricas (figura 6) teremos: 
 
 
Figura 6 - Elemento em coordenadas cilíndricas 
 
 
t
T
.
p
ρ.c
z
T
k.
zο
T
k.
ο
.
2r
1
r
T
k.r.
r
.
r
1
q
∂
∂=





∂
∂
∂
∂+





/∂
∂
/∂
∂+





∂
∂
∂
∂+& (28) 
 
 E em coordenadas esféricas (figura 7): 
 
 16
 
Figura 7 - Elemento em coordenadas esféricas 
 
 
t
T
.
p
ρ.cq
ο
T
.οk.sen
ο
.
ο.sen2r
1
ο
T
k.
ο
.
ο2sen2r
1
r
T
.2k.r
r2r
1
∂
∂=+





/∂
∂
/
/∂
∂
/
+





/∂
∂
/∂
∂
/
+





∂
∂
∂
∂
& (29) 
 
 Na solução da equação do calor (equação (23)) é necessário conhecer condições de 
contorno e/ou inicial. A seguir são apresentadas algumas delas: 
 
- temperatura da superfície constante: 
 
 ( ) ( )
sup
Tt0,Ttx,T == (30) 
 
- fluxo térmico na superfície constante: 
 
 
sup
q
0xx
T
k ′′=
=∂
∂− (31) 
 
- superfície adiabática ou isolada: 
 
 0
0xx
T =
=∂
∂
 (32) 
 
- convecção na superfície: 
 
 ( )t0,TTh.
0xx
T
k. −∞==∂
∂− (33) 
 17
 
3 - Condução unidimensional em regime permanente 
 
 Num processo de condução de calor unidimensional (em x, por exemplo) em regime 
permanente sem geração interna de energia térmica com condutividade térmica constante 
a equação da difusão de calor se torna: 
 
 
2
c.x
1
cT
1
c
dx
dT
0
2dx
T2d
+=⇒
∫ ⇒∫=⇒
∫ ⇒=∫
 (34) 
 
 Para a situação apresentada na figura 8 temos as seguintes condições de contorno: 
 
 
Figura 8 - Transferência de calor através de um meio sólido 
 
 
( )
( )
sup,2
TLT
sup,1
T0T
=
=
 (35) 
 
 Logo: 
 
 
L
sup,1
T
sup,2
T
1
c
sup,1
T.L
1
c
sup,2
T
sup,1
T
2
c
2
c.0
1
c
sup,1
T
−
=⇒+=
=⇒+=
 (36) 
 18
 Portanto a equação (34) se torna: 
 
 
sup,1
T.x
L
sup,1
T
sup,2
T
2
c.x
1
cT +
−
=+= (37) 
 
 E a taxa de transferência de calor será dada por: 
 
 
L
sup,2
T
sup,1
T
k.A.
L
sup,1
T
sup,2
T
k.A.
dx
dT
k.A.
x
q
−
=
−
−=−= (38) 
 
 É importante notar que 
x
q independe de x, ou seja, é constante ao longo de x. 
 Em coordenadas cilíndricas (figura 9) teremos: 
 
 
Figura 9 - Elemento em coordenadas cilíndricas 
 
 
sup,2
T
2
r
r
.ln
2
r
1
r
ln
sup,2
T
sup,1
T
T +
















−
= (39) 
 
 ( )













 −
=−=
1
r
2
r
ln
sup,2
T
sup,1
T.L.k.2.
dr
dT
..r.L2.k.
r
q
π
π (40) 
 
 19
 E em coordenadas esféricas (figura 10): 
 
 
Figura 10 - Elemento em coordenadas esféricas 
 
 
sup,1
T
1
r
1
r
1
.
2
r
1
1
r
1
sup,2
T
sup,1
T
T +








−
−
−
= (41) 
 
 














−
−
=







−=
2
r
1
1
r
1
sup,2
T
sup,1
T
.k.4.
dr
dT
.2.r4.k.
r
q ππ (42) 
 
 Uma forma alternativa de obter a distribuição de temperatura em sistemas 
envolvendo condução de calor unidimensional em regime permanente sem geração 
interna de energia térmica com condutividade térmica constante seria através da 
utilização da Lei de Fourier. Isto é viável porque neste caso a taxa de transferência de 
calor é constante (não depende de x): 
 
 
( ) ( )
( )
0
Tx
0
x
A.k
x
q
T
0
TTk.
0
xx.
A
x
q
x
0
x
T
0
T
k.dT.dx
A
x
q
dx
dT
k.A.
x
q
+−=⇒
⇒−−=−⇒
∫ ∫ ⇒−=⇒
⇒−=
 (43) 
 
onde: 
 20
0
x : posição onde se conhece o valor da temperatura 
0
T : temperatura na posição 
0
x 
 Vale destacar que se for conhecida uma temperatura 
1
T numa posição 
1
x a 
integração pode ser feita entre 
0
x e 
1
x para se determinar o valor de 
x
q . 
 No caso de condução unidimensional em regime permanente com geração interna 
de energia térmica e condutividade térmica constante a equação do calor se resume a: 
 
 
2
c.x
1
c2.x
2.k
q
T
1
c.x
k
q
dx
dT
k
q
2dx
T2d
0
2dx
T2d
kq
++−=⇒
∫ ⇒




 +−=⇒
∫ ∫ ⇒−=⇒
⇒=+
∫
&
&
&
&
 (44) 
 
 Para a situação apresentada na figura 11 temos as seguintes condições de 
contorno: 
 
 
Figura 11 - Transferência de calor através de um meio 
sólido com geração interna de energia térmica 
 
 
( )
( )
sup,2
TLT
sup,1
T0T
=
=
 (45) 
 
 Logo: 
 
 21
 
L
sup,1
T
sup,2
T
.L
2.k
q
1
c
sup,1
T.L
1
c2.L
2.k
q
sup,2
T
sup,1
T
2
c
2
c.0
1
c2.0
2.k
q
sup,1
T
−
+=⇒++−=
=⇒++−=
&&
&
 (46) 
 
 Portanto a equação (44) se torna: 
 
 
sup,1
T.x
L
sup,1
T
sup,2
T
.L
2.k
q2.x
2k
q
2
c.x
1
c2.x
2.k
q
T +







 −
++−=++−=
&&&
 (47) 
 
 E a taxa de transferência de calor será dada por: 
 
 

















 −
+−=







 −
++−−=−=
L
sup,2
T
sup,1
Tk.
2
.Lq
.xqA.
L
sup,1
T
sup,2
T
.L
2.k
q
.x
k
q
k.A.
dx
dT
k.A.
x
q
&
&
&&
(48) 
 
 Verifique que 
x
q , neste caso, depende de x. 
 Para um cilindro maciço (figura 12) teremos: 
 
 
Figura 12 - Transferência de calor através de um cilindro 
maciço com geração interna de energia térmica 
 
 
sup
T
2
0
r
2r
1.
4.k
2
0
.rq
T +










−=
&
 (49) 
 
 ( ) 2.L.rqπ.
dr
dT
..r.L2.k.
r
q &=−= π (50) 
 22
3.1 - Circuitos térmicos 
 
 Uma maneira alternativa de analisar um problema de transferência de calor é 
utilizando o conceito de resistência térmica. 
 Da mesma forma que uma resistência elétrica esta associada à condução de 
eletricidade, uma resistência térmica pode ser associada à condução de calor: 
 
 R.I∆V = (51) 
 
onde: 
∆V : diferença de potencial elétrico 
R : resistência elétrica 
I : corrente elétrica 
 
 .q
t
R∆T = (52) 
 
onde: 
∆T : diferença de temperatura (potencial térmico) 
t
R : resistência térmica 
q : taxa de transferência de calor 
 Comparando a equação (52) com as equações de cálculo das taxas de transferência 
de calor ((38), (4) e (9)) temos que: 
- condução: 
 
 
k.A
L
cond
R = (para parede plana) (53) 
 
- convecção: 
 
 
h.A
1
conv
R = (54) 
 
- radiação: 
 
 23
 
.A2
viz
T2
sup
T.
viz
T
sup
Tε.σ.
1
.A
r
h
1
rad
R





 +




 +
== (55) 
 
 Utiliza-se de circuitos térmicos para esquematizar uma análise por resistências 
térmicas. Vejamos o exemplo mostrado na figura 13. 
 
 
Figura 13 - Transferência de calor representada por um circuito térmico 
 
Considerações: 
- regime permanente; 
- 
,1
T
viz
T ∞= ; 
- 
,2
T
sup,2
T
sup,1
T
,1
T ∞〉〉〉∞ . 
 
 A análise das resistências térmicas equivalentes em circuitos térmicos é feita da 
mesma maneira que em circuitos elétricos: 
- resistências em série: 
 
 
n
R...
2
R
1
R
eq
R +++= (56) 
 
- resistências em paralelo: 
 
 
n
R
1
...
2
R
1
1
R
1
eq
R
1 +++= (57) 
 24
 Logo, com base no circuito térmico anterior (figura 13), temos: 
 
 
conv,2
R
cond
R
eq,1
R
total
R
conv,1
R
1
rad
R
1
eq,1
R
1
++=
+=
 (58) 
 
 A taxa de transferência de calor pode ser determinada considerando-se cada 
elemento do circuito ou o circuito como um todo: 
 
 
conv,2
R
cond
R
sup,1
T
,2
T
q.q
conv,2
R
cond
R
sup,1
T
,2
T
cond
R
sup,1
T
sup,2
T
q.q
cond
R
sup,1
T
sup,2
T
total
R
viz
T
,2
T
q.q
total
R
viz
T
,2
T
eq,1
R
viz
T
sup,1
T
q.q
eq,1
R
viz
T
sup,1
T
+
−∞
=⇒



 +=−∞
−
=⇒=−
−∞
=⇒=−∞
−
=⇒=−
 (59) 
 
 A utilização de circuito térmico é particularmente interessante em sistemas que 
envolvem diversas camadas compostas por diferentes materiais, sendo estas camadas 
representadaspor resistência em série e/ou em paralelo. 
 Nestes sistemas compostos é conveniente a utilização de um coeficiente global de 
transferência de calor ( )U , o qual é definido através da seguinte expressão: 
 
 T∆U.A.q = (60) 
 
onde ∆T é a diferença global de temperatura. 
 Este coeficiente está relacionado à resistência térmica total: 
 
 25
 
U.A
1
total
Rou 
.A
total
R
1
UT∆U.A.
total
R
∆T
T∆U.A.q
total
R
∆T
q
==⇒=





=
=
 (61) 
 
3.2 - Raio crítico de isolamento 
 
 A espessura de um isolante térmico em sistemas radiais evidencia dois efeitos 
concorrentes: embora a resistência à condução aumenta com a adição de isolante 
térmico, a resistência térmica à convecção diminui devido ao aumento da área superficial 
externa. 
 Suponhamos uma situação onde um tubo tem a temperatura de sua superfície 
externa mantida a 
sup
T (figura 14). Ao adicionarmos uma camada de isolamento térmico 
a esse tubo teremos (desprezado a radiação): 
 
 
Figura 14 - Transferência de calor num tubo com isolante 
térmico representada por um circuito térmico 
 
 
.rh.2.
1
.k2.
1
r
rln
total
R'
ππ
+






= (62) 
 
onde 
total
R' representa a resistência térmica total por unidade de comprimento do tubo. 
 26
 Uma espessura “crítica” para o isolamento térmico está associada a um raio r que 
maximize o valor de 
total
R' , raio este obtido derivando-se a equação de 
total
R' e 
igualando-a a zero: 
 
 
h
k
r0
2.h.r2.
1
.k.r2.
1
dr
total
dR'
=⇒=−=
π
π
 (63) 
 
 Para sabermos se este valor r representa um máximo ou um mínimo para 
total
R' , 
deriva-se novamente 
total
R' : 
 
 




 −=+−=
2.k
1
h.r
1
.
2.r
1
3.h.r
1
2.k.r2.
1
2dr
total
R'2d
πππ
 (64) 
 
 Levando o valor de r nesta derivada segunda: 
 
 0
3.k2.
2h
2.k
1
h
k
h.
1
.
2
h
k
.
1
2.k
1
h.r
1
.
2.r
1
2dr
total
R'2d
〉=












−












=




 −=
π
π
π
 (65) 
 
 Como 0
3.k2.
2h
〉
π
, 
h
k
r = representa um mínimo para 
total
R' . 
 Portanto, não existe uma espessura ótima para um isolante térmico, mas uma 
espessura até a qual 
total
R' diminui (e a taxa de transferência de calor aumenta) e a 
partir da qual 
total
R' aumenta (e a taxa de transferência de calor diminui). A essa 
espessura damos o nome de raio crítico ( )
c
r : 
 
 
h
k
c
r = (66) 
 
 
 27
3.3 - Superfícies estendidas 
 
 Superfície estendida ou aleta é o nome dado a um sólido em que há condução no 
interior de suas fronteiras e convecção entre suas fronteiras e a vizinhança. No caso em 
que essa superfície é utilizada para aumentar a taxa de transferência de calor ela recebe 
o nome de aleta. 
 Aplicando um balanço de energia no sistema apresentado na figura 15 temos: 
 
 
Figura 15 - Balanço de energia num elemento diferencial de uma aleta 
 
Considerações: 
- condução unidimensional (a variação de temperatura na direção longitudinal da aleta é 
muito maior que nas direções normais a ela); 
- regime permanente; 
- sem geração interna de energia térmica; 
- condutividade térmica constante. 
 
 28
 
( )
( )
( )
( ) 0TT.
dx
sup
dA
.
sr
k.A
h
dx
dT
.
dx
sr
dA
.
sr
A
1
2dx
T2d
0TT.
dx
sup
dA
.
k
h
2dx
T2d
.
sr
A
dx
dT
.
dx
sr
dA
TT.
dx
sup
dA
.
k
h
dx
dT
.
sr
A
dx
d
TT.
sup
h.dA.dx
dx
dT
.
sr
A
dx
d
k.0
conv
dqdx
dx
x
dq
x
q
x
q
conv
dq
dxx
q
x
q
s
E
e
E
0
s
E0
e
E
ac
E
s
E
g
E
e
E
=∞−−







+⇒
⇒=∞−−+⇒
⇒∞−=




⇒
⇒∞−+



−=⇒
⇒++=⇒
⇒++=⇒
⇒=⇒
⇒=−+⇒
⇒=−+
&&
&&
&&&&
 (67) 
 
 A solução desta equação com as condições de contorno adequadas fornecerá a 
distribuição de temperatura na aleta. 
 Para os casos em que a área da seção reta da aleta ( )
sr
A é constante 
( )








=∞−−=⇒== 0TT.
sr
k.A
h.P
2dx
T2d
 fornecendo P
dx
sup
dA
P.x
sup
A e 0
dx
sr
dA
 existem 
quatro condições de contorno típicas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 29
Tabela 1 - Distribuição de temperatura e taxa de transferência 
de calor em aletas de área de seção reta constante 
Aleta 
Condição 
de contorno 
Distribuição de 
temperatura 








b
θ
θ
 
Taxa de transferência 
de calor na aleta ( )
a
q 
Adiabática 0
Lxdx
dθ =
=
 
( )[ ]
( )m.Lcosh
xLm.cosh −
 ( )m.LM.tgh 
Convectiva ( )
Lxdx
dθ
k.Lh.θ
=
−= 
( )[ ] ( )[ ]
( ) ( )m.L.senh
m.k
h
m.Lcosh
xLm..senh
m.k
h
xLm.cosh
+
−+−
 
( ) ( )
( ) ( )m.L.senh
m.k
h
m.Lcosh
m.L.cosh
m.k
h
m.Lsenh
M.
+
+
 
Infinita ( ) 0Lθ = m.xe− M 
Temperatura 
especificada 
( )
L
θLθ = ( ) ( )[ ]
( )m.Lsenh
x-Lm.senhm.x.senh
b
θ
L
θ
+








 
( )
( )m.Lsenh
b
θ
L
θ
m.Lcosh
M.
−
 
∞−= TTθ ( ) ∞−== TbT0θbθ ( )
∞−== TLTLθLθ 
sr
k.A
h.P
m = 
b
.θ
sr
h.P.k.AM = 
2
xexe
senhx
−−= 
2
xexe
coshx
−+= 
xexe
xexe
cosh
senh
tghx
−+
−−==
x
x
 
 
 Como a aleta representa uma resistência térmica à condução (resistência adicional), 
não existe garantia de que a taxa de transferência de calor aumente com o uso de aletas. 
Isso pode ser avaliado através da efetividade da aleta ( )
a
ε , que é a razão entre a taxa de 
transferência de calor na aleta e a taxa de transferência de calor que existiria sem a 
presença da mesma. Matematicamente: 
 
 
b
.θ
bsr,
h.A
a
q
a
ε = (68) 
 
onde 
bsr,
A é a área da seção reta da base da aleta. 
 O uso de aletas é normalmente justificado quando 2
a
ε ≥ . 
 30
 Um outro conceito importante é de eficiência da aleta ( )
a
η , que é a razão entre a 
taxa de transferência de calor na aleta e a taxa de transferência de calor máxima, a qual 
seria obtida caso toda a aleta estivesse à temperatura da sua base: 
 
 
b
.θ
a
h.A
a
q
a
η = (69) 
 
onde 
a
A é a área superficial da aleta. 
 31
 
4 - Condução em regime transiente 
 
 Até agora avaliamos processos de condução de calor em regime permanente. 
Porém, em muitas situações práticas, também ocorrem processos em regime transiente. 
 
4.1 - Método da capacitância global 
 
 Um caso particular destes processos é aquele onde a temperatura do sólido, apesar 
de estar variando ao longo do tempo, pode ser considerada uniforme ao longo de todo o 
sólido. Essa consideração é a essência do método da capacitância global (ou método da 
capacitância concentrada). 
 Imaginemos uma situação onde um sólido é subitamente imerso num fluido (figura 
16). 
 
 
Figura 16 - Balanço de energia num sólido 
 
 Aplicando um balanço de energia ao sistema compreendendo o sólido, temos: 
 
 32
 
( )
( )
( )








∞−
∞−=








∞−
∞−−=⇒
∞+







−∞−=⇒
⇒








∞−
∞−=−⇒
⇒∞−=−⇒
∫ ⇒
∞−
=∫ −⇒
⇒=∞−−⇒
⇒=−+⇒
⇒=−+
TT
T
i
T
.ln
sup
h.A
ρ.V.c
T
i
T
TT
.ln
sup
h.A
ρ.V.c
t
ou
T
ρ.V.c
.t
sup
h.A
.expT
i
TT
T
i
T
TT
ln
ρ.V.c
.t
sup
h.A
T
i
T
TTln
ρ.V.c
.t
sup
h.A
T
i
T TT
dTt
0
.dt
ρ.V.c
sup
h.A
dt
dT
ρ.V.c.TT.
sup
h.A
ac
E
s
E00
ac
E
s
E
g
E
e
E
&&
&&&&
 (70) 
 
 Pela relativa simplicidade da solução apresentada fica clara a preferência pelo 
método da capacitância global. 
 O critério para utilização do método da capacitância global é mostrado através da 
aplicação de um balanço de energia numa superfície (figura 17). 
 
 
Figura 17 - Esquema para definição do critério de 
utilização do método da capacitância global 
 33
 
Bi
k
h.L
T
sup,2
T
sup,2
T
sup,1
T
T
sup,2
Th.A.
L
sup,2
T
sup,1
T
k.A.
conv
q
cond
q
s
E
e
E
0
s
E0
e
E
ac
E
s
E
g
E
e
E
==
∞−
−
⇒
⇒





∞−=
−
⇒
⇒=⇒
⇒=⇒
⇒=−+⇒
⇒=−+
&&
&&
&&&&
 (71) 
 
onde: 
Bi : número de Biot (parâmetro que mede a razão entre a queda de temperatura ao longo 
do sólido e a diferença entre as temperaturas da superfície e do fluido) 
 Logo, o critério para utilização do método da capacitânciaglobal é 0,1Bi < , caso em 
que o erro associado à utilização do método é pequeno. 
 É conveniente definir o comprimento L utilizado no cálculo do número de Biot como 
sendo um comprimento característico (
c
L ) dado pela razão entre o volume do sólido e a 
sua área superficial: 
 
 
sup
A
V
c
L = (72) 
 
- parede plana: 
 
 
2
L
c
L = (73) 
 
- cilindro infinito: 
 
 
2
r
c
L = (74) 
 
- esfera 
 
 34
 
3
r
c
L = (75) 
 
 Voltando à equação (70): 
 
 
( )
( )Bi.Foexp
c
L
.t
.
k
c
h.L
exp
T
i
T
TT
2
c
ρ.c.L
k.t
.
k
c
h.L
exp
T
i
T
TT
c
ρ.c.L
h.t
exp
T
i
T
TT
ρ.V.c
.t
sup
h.A
exp
T
i
T
TT
T
ρ.V.c
.t
sup
h.A
.expT
i
TT
2
−=








−=
∞−
∞−⇒
⇒










−=
∞−
∞−⇒
⇒








−=
∞−
∞−⇒
⇒








−=
∞−
∞−⇒
⇒∞+







−∞−=
α
 (76) 
 
onde: 
Fo: número de Fourier 
 
4.2 - Efeitos espaciais 
 
 Existem situações nas quais o método da capacitância concentrada não é 
adequado, ou seja, os gradientes de temperatura no interior do sólido não são 
desprezíveis. 
 No caso de condução unidimensional em x, em regime transiente, sem geração 
interna de energia térmica e com condutividade térmica constante (figura 18), a equação 
(23) se resume a: 
 
 35
 
Figura 18 - Condução de calor em um sólido em regime transiente 
 
 
t
T
.
α
1
2x
T2
∂
∂=
∂
∂
 (77) 
 
 Para resolver esta equação são necessárias uma condição inicial e duas condições 
de contorno: 
 
 
( )
( )[ ]∞−==∂
∂−
==∂
∂
=
TtL,Th.
Lxx
T
k.
0
0xx
T
i
Tx,0T
 (78) 
 
 Percebe-se que ( )∞= Th,L,k,,iTt,α,x,TT . 
 O processo de adimensionalização das equações apresentadas facilita a análise: 
 
 
Fo
2L
α.t
t*
L
x
x*
T
i
T
TT
i
θ
θ
θ*
==
=
∞−
∞−==
 (79) 
 
 Logo: 
 
 
Fo
*θ
2*x
*θ2
∂
∂=
∂
∂
 (80) 
 
 36
 E as respectivas condições inicial e de contorno: 
 
 
( )
( )*t1,*Bi.θ
1x*x
*θ
0
0x**x
*θ
1x*,0*θ
=
=∗∂
∂
=
=∂
∂
=
 (81) 
 
 Portanto, ( )BiFo,x*,*θθ* = . 
 A solução exata da equação (80) é: 
 
 ( )∑
∞
=



 



−=
1n
*x.
n
cos..Fo2
n
.exp
n
Cθ* ςς (82) 
 
onde ( )
n
2.ςsen
n
2.ς
n
4.senς
n
C
+
= e Bi
n
tgς.
n
ς = . 
 Para 2,0Fo ≥ , a solução exata pode ser aproximada pelo primeiro termo da série: 
- parede plana: 
 
 ( )*.x
1
ς.cos
*
0
θ
.Fo2
1
ς.exp
1
Cθ*
444 3444 21




−= (83) 
 
- cilindro infinito: 
 
 ( )*.r
1
ς
0
.J
*
0
θ
.Fo2
1
ς.exp
1
Cθ*
444 3444 21




−= (84) 
 
- esfera: 
 
 
( )
*.r
1
ς
*.r
1
ςsen
.
*
0
θ
.Fo2
1
ς.exp
1
Cθ*
444 3444 21




−= (85) 
 37
onde: 
1
ς e 
1
C : constantes tabeladas em função do número de Biot (tabela 2) - vale ressaltar 
que neste caso para placa plana 
k
h.L
Bi = e para cilindro infinito e esfera 
k
0
h.r
Bi = , onde 
0
r é o raio do cilindro infinito e da esfera 
2
c
L
α.t
Fo = , onde para placa plana L
c
L = e para cilindro infinito e esfera 
0
r
c
L = 
0
J : função de Bessel de primeira espécie (tabela 3) 
0
r
r
r* = 
 
Tabela 2 - Constantes para a equação (83) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 38
Tabela 3 - Função de Bessel de primeira espécie 
 
 
 A energia potencial de ser transferida (Q) é dada por: 
- parede plana: 
 
 *
0
.θ
1
ς
1
senς
1
0
Q
Q −= (86) 
 
- cilindro infinito: 
 
 ( )
1
ς
1
.J
1
ς
*
0
2.θ
1
0
Q
Q −= (87) 
 
- esfera: 
 
 39
 ( )
1
.cosς
1
ς
1
senς.
1
ς
*
0
3.θ
1
0
Q
Q −−= (88) 
 
onde: 
0
Q : energia interna inicial do sólido em relação à temperatura do fluido ou máxima 
quantidade de energia que poderia ser transferida se o processo fosse prolongado até um 
tempo ∞=t , tempo no qual a temperatura do sólido seria igual à temperatura do fluido 
1
J : função de Bessel de primeira espécie (tabela 3) 
 
4.3 - Constante de tempo e tempo de resposta 
 
 Dois conceitos importantes relativos a processos transientes são “constante de 
tempo” e “tempo de resposta”. 
 Da equação que relaciona a temperatura com o tempo para processos com 0,1Bi < 
(equação (70)) temos: 
 
 
( )





−=








−=
∞−
∞−⇒
⇒∞+







−∞−=
τ
t
exp
ρ.V.c
.t
sup
h.A
exp
T
i
T
TT
T
ρ.V.c
.t
sup
h.A
.expT
i
TT
 (89) 
 
onde a constante de tempo ( τ ) é definida como sendo 
sup
h.A
ρ.V.c
. 
 Temos ainda que: 
 
 
( )
( ) ∞−
∞−=
∞−
∞−=
T
i
T
TT
T
i
Tρ.V.c.
TTρ.V.c.
0
Q
Q
 (90) 
 
 Logo: 
 
 40
 





−=⇒
⇒




−=
∞−
∞−
τ
t
exp
0
Q
Q
τ
t
exp
T
i
T
TT
 (91) 
 
 Para um instante τt = temos: 
 
 
( ) ( )
( )
( ) 63,2%0,6320,36811exp1
0
Q
τQ
0
Q
ou
36,8%0,3681exp
0
Q
τQ
==−=−−=
−
==−=
 (92) 
 
 Como Q representa a energia potencial de ser trocada num determinado instante t 
e 
0
Q representa a máxima energia que poderia ser trocada ( ∞=t ), temos que a 
constante de tempo representa o tempo necessário para que o sólido troque 63,2% da 
máxima quantidade de energia possível de ser trocada. 
 O tempo de resposta é dado por 5.τ , instante no qual o sólido já trocou 99,3% da 
máxima quantidade energia possível de ser trocada. É o tempo necessário para que um 
instrumento possa indicar a temperatura do meio no qual está inserido 
( )
( )








==−=−−=
−
99,3%0,9930,006715exp1
0
Q
5.τQ
0
Q
. 
 41
 
5 - Convecção de calor 
 
 A convecção, conforme já mencionado, é um fenômeno de transferência de calor 
que envolve simultaneamente dois processos, a difusão (movimento aleatório das 
moléculas do fluido) e a advecção (movimento global do fluido), sendo este segundo 
dominante. 
 Um fluido à temperatura ∞T escoando sobre uma superfície de área sA e 
temperatura ∞≠ TsT troca calor com esta superfície, sendo o fluxo de calor ( )q" dado por: 
 
 ∞−= TsTh.q" (93) 
 
onde: 
h : coeficiente local de convecção 
 Devido ao fato das condições variarem ponto a ponto sobre a superfície, q" e h 
também variam ao longo da mesma. A taxa de transferência de calor total ( )q pode ser 
obtida pela integração do fluxo local sobre toda a superfície: 
 
 ∫ ∫ ∫∞−=∞−==
s
A
s
A
s
A
s
h.dA.T
s
T
s
.dAT
s
Th.
s
q".dAq (94) 
 
 Definindo um coeficiente de convecção médio ( )h para toda a superfície, teremos: 
 
 ∞−= TsT.s.Ahq (95) 
 
 Comparando as equações (94) e (95) verificamos que: 
 
 ∫ ∫=⇒=
s
A
s
A
s
h.dA.
s
A
1
h
s
h.dA
s
.Ah (96) 
 
 
 42
5.1 - Camadas limites de convecção 
 
5.1.1 - Camada limite de velocidade 
 
 A camada limite de velocidade é a região na qual a velocidade varia desde zero 
(fluido em contato com a superfície) até 99% da velocidade da corrente livre (região 
externa à camada limite). A espessura da camada aumenta ao longo de uma placa, uma 
vez que os efeitos da viscosidade ‘penetram’ cada vez mais na corrente livre. 
 
5.1.2 - Camada limite térmica 
 
 A camada limite térmica equivale conceitualmente à camada limite de velocidade 
sendo agora a diferença de temperatura entre a superfície e a corrente livre a responsável 
pelo surgimento daquela camada. 
 A espessura da camada limite térmica ( )
t
δ é definida para a posição na qual 
0,99
T
s
T
T
s
T
=
∞−
−
 (figura 19). 
 
 
Figura 19 - Camada limite térmica 
 
 A relação entre a camada limite térmica e o coeficiente convectivo de transferência 
de calor pode ser demonstrada a partir da verificação de que o fluxo de calor local pode 
ser obtido aplicando-se a Lei de Fourier ao fluido em 0y = : 
 
 
0yy
T
.
f
k
s
q" =∂
∂−= (97) 
 
onde: 
s
q" : fluxo de calor local 
 43
f
k : condutividade térmica do fluido 
0yy
T
=∂
∂
: gradiente de temperatura na superfície da placa 
 Essa expressão é valida porque na superfície não há movimento de fluido e a 
transferência de calor ocorre apenas por condução. 
 Comparando a equação (97) com a Lei do Resfriamento de Newton (equação (5)) 
temos: 
 
 
( )
∞−
=∂
∂
−=⇒
⇒=∂
∂−=∞−T
s
T
0yy
T
.
f
k
h
0yy
T
.
f
kT
s
Th.
 (98) 
 
 Como ∞− TsT é uma constante ao longo da placa e a espessura da camada limite 
térmica aumenta ao longo de x diminuindo o gradiente de temperatura 
y
T
∂
∂
, temos que q" 
e h decrescem com o aumento de x. 
 
5.2 - Escoamentos laminar e turbulento 
 
 Um primeiro passo essencial no tratamento de qualquer problema de convecção é 
determinar se a camada limite é laminar ou turbulenta. O atrito superficial e as taxas de 
transferência de calor por convecção são fortemente dependentes de qual destas 
condições existe. A caracterização da camada limite é feita através de um número 
adimensional conhecido como Número de Reynolds (Re): 
 
 
µ
.xρ.u
Re ∞= (99) 
 
onde: 
ρ : massa especifica do fluido 
∞u : velocidade da corrente livre 
 44
x : comprimento característico (para uma placa plana é a distância da borda de ataque) 
µ : viscosidade dinâmica ou absoluta do fluido 
 O número crítico de Reynolds 




cx,
Re é o valor de Re para o qual a transição 
laminar-turbulento começa, e, para uma placa plana, sabe-se que varia entre 310 e 610.3 , 
dependendo da rugosidade da superfície e do nível de turbulência da corrente livre. Um 
valor representativo de 510.5
µ
c
.xρ.u
cx,
Re =∞= é freqüentemente presumido para os 
cálculos da camada limite. 
 Outros parâmetros importantes na convecção são o número de Prandtl ( )Pr e o 
número de Nusselt ( )Nu . 
 O número de Prandtl representa a razão entre as difusividades de momento e 
térmica: 
 
 
f
k
µ.c
ρ.c
f
k
ρ
µ
α
ν
Pr === (100) 
 
onde: 
ν : viscosidade cinemática 
α : difusividade térmica 
 O número de Nusselt representa o gradiente de temperatura adimensional na 
superfície e é dado por: 
 
 
f
k
h.L
Nu = (101) 
 
onde: 
h : coeficiente convectivo 
L : comprimento característico 
 45
 
6 - Convecção em escoamento externo 
 
 No escoamento externo as camadas limites desenvolvem-se livremente, sem 
restrições impostas pelas superfícies adjacentes. Exemplos incluem o movimento de um 
fluido sobre uma placa plana (inclinada ou paralela à direção da velocidade da corrente 
livre) e escoamento sobre superfícies curvas tais como esfera, cilindro, aerofólio ou 
lâmina de turbinas. 
 A atenção neste momento é voltada para problemas de convecção forçada, com 
baixa velocidade. Na convecção forçada o movimento relativo entre o fluido e a superfície 
é mantido por meios externos tais como ventilador ou bomba. O objetivo principal é 
determinar os coeficientes de convecção para diferentes geometrias de escoamento. 
 A maioria das correlações da transferência de calor por convecção são empíricas, ou 
seja, obtidas experimentalmente. Na maioria das situações as propriedades do fluido são 
avaliadas à temperatura do filme ( )
f
T , a qual é dada por: 
 
 
2
T
sup
T
f
T
∞+= (102) 
 
 Um método alternativo seria a avaliação das propriedades à temperatura ∞T , neste 
caso envolvendo um ajuste nas correlações. 
 
6.1 - Metodologia para cálculos de convecção 
 
 A seleção e a aplicação de uma correlação de convecção para qualquer situação de 
escoamento é facilitada seguindo-se poucas regras simples: 
1º) Identificação imediata da geometria de escoamento (placa plana, esfera, cilindro, ...); 
2º) Determinação da temperatura apropriada para avaliação das propriedades do fluido 
( )
f
k Pr, ν, µ, ρ, ; 
3º) Cálculo do número de Reynolds 








=∞=∞=
π.D.µ
m4.
ν
.Lu
µ
.Lρ.u
L
Re
&
; 
4º) Definição entre o coeficiente convectivo local ( )h ou médio ( )h ; 
5º) Seleção da correlação apropriada (tabelas 4 e 5); 
 46
Tabela 4 - Correlações para transferência de calor por convecção em escoamento externo 
 
 
Tabela 5 - Constantes para a equação de transferência de 
calor por convecção em escoamento externo a cilindros 
 
 
6º) Cálculo do coeficiente convectivo 








=
f
k
h.L
Nu . 
 47
 
7 - Convecção em escoamento interno 
 
 Diferentemente do escoamento externo, no escoamento interno o desenvolvimento 
da camada limite se dá sob uma restrição. 
 
7.1- Considerações hidrodinâmicas 
 
 Num escoamento interno, seja ele laminar ou turbulento, verifica-se a presença de 
duas regiões distintas: a região de entrada, onde a camada limite se desenvolve, e a 
região plenamente (ou completamente) desenvolvida, na qual o perfil de velocidade não 
varia ao longo do escoamento. 
 
 
Figura 20 - Camada limite hidrodinâmica 
 
 Para escoamento laminar ( )2.300
D
Re ≤ , o comprimento de entrada 




hfd,
x é dado 
por: 
 
 0,05.Re
lam
D
hfd,
x
≈







 (103) 
 
 Para escoamento turbulento ( )000.01
D
Re ≥ temos: 
 
 48
 60
turb
D
hfd,
x
10 ≤







≤ (104) 
 
 Utiliza-se para efeito de cálculos, no escoamento turbulento, 10.D
hfd,
x = . 
 Temos que a velocidade média ( )
m
u num escoamento completamente desenvolvido 
num tubo circular é dado por: 
 
 ( )∫= .r.drxr,u.2
0
r
2
m
u (105) 
 
7.2 - Considerações térmicas 
 
 De forma semelhante à camada limite de velocidade desenvolve-se uma camada 
limite térmica quando o fluido entra numa tubulação cuja superfície está a uma 
temperatura ( )
s
T diferente daquela do fluido ( )
m
T . 
 Para escoamento laminar o comprimento térmico de entrada 




tfd,
x pode ser 
representado por: 
 
 0,05.Re.Pr
lam
D
tfd,
x
≈







 (106) 
 
 Já no escoamento turbulento para uma primeira aproximação temos: 
 
 10
turb
D
tfd,
x
=







 (107) 
 
7.2.1 - A temperatura média 
 
 Assim como a falta de uma velocidade de corrente livre exige a utilização de uma 
velocidade média para descrever um escoamento interno, a ausência de uma temperatura 
 49
de corrente livre exige a utilização de uma temperatura média. A temperatura média (ou 
de mistura ou de “copo”) é definida em termos da energia térmica transportada pelo fluido 
conforme ele passa pela seção transversal, e é dada por: 
 
 ∫=
0
r
0
u.T.r.dr.
2
0
.r
m
u
2
m
T (108) 
 
7.2.2 - Lei do Resfriamento de Newton / Condições c ompletamente desenvolvidas 
 
 Para escoamentos internos a Lei do Resfriamento de Newton se torna: 
 
 




 −=
m
T
sup
Th.q" (109) 
 
 Na equação (109) o coeficiente convectivo h é local e apresenta grandes variações 
na região de entrada térmica, sendo, porém, constante na região de escoamento 
completamente desenvolvido termicamente (figura 21). 
 
 
Figura 21 - Comportamento do coeficiente convectivo local no escoamento interno 
 
7.2.3 - Balanço de energia 
 
 Através de um balanço de energia pode-se determinar como a temperatura média do 
fluido varia com a posição ao longo de um tubo (figura 22). Considerando desprezíveis as 
variações de energia cinética e potencial do fluido ao longo do escoamento e regime 
permanente sem geração interna de energia, temos: 
 50
 
Figura 22 - Balanço de energia para avaliação do comportamento 
da temperatura média do fluido ao longo de um tubo 
 
 
( ) ( )[ ]
( )[ ]⇒+=⇒
⇒+++=++⇒
⇒=⇒
⇒=−+⇒
⇒=−+
p.υd
m
.dT
v
c.m
conv
dq
p.υdp.υ.m
m
dT
m
T.
v
.cm.p.υm
m
.T
v
.cm
conv
dq
s
E
e
E
0
s
E0
e
E
ac
E
s
E
g
E
e
E
&
&&&&
&&
&&
&&&&
 (110) 
 
 Para um gás ideal 




 =+=
p
cR
v
c e 
m
R.Tp.υ : 
 
 
m
.dT
p
.cm
conv
dq &=⇒ (111) 
 
 Essa expressão pode ser utilizada com boa aproximação para líquidos 
incompressíveis. 
 Tem-se também que 



=
em,
T-
sm,
T.
p
.cm
conv
q & , onde 
sm,
T é a temperatura média 
do fluido à saída e 
em,
T é a temperatura média do fluido à entrada. 
 Duas condições típicas são encontradas: 
- fluxo térmico constante na superfície (figura 23) 
 
 51
 
Figura 23 - Fluxo térmico constante na superfície 
 
 q".P.L
conv
q = (112) 
 
onde: 
P: perímetro interno do tubo 
 
 ( ) .x
p
.cm
q".P
em,
Tx
m
T
&
+= (113) 
 
- temperaturasuperficial constante 
 
 
lm
T∆.P.L.h
conv
q = (114) 
 
onde 








−
=
e
T∆
s
T∆
ln
e
T∆
s
T∆
lm
T∆ , com 
sm,
T
s
T
s
T∆ −= e 
em,
T
s
T
e
T∆ −= . 
 
 ( ) 














−−=
em,
T-
s
T.
p
.cm
.xhP.
exp
s
Tx
m
T
&
 (115) 
 
 As correlações para transferência de calor em escoamento interno são apresentadas 
nas tabelas 6 e 7. 
 
 52
Tabela 6 - Correlações para transferência de calor por convecção em escoamento interno 
 
P
c
4.A
h
D = , onde 
h
D é o diâmetro hidráulico, 
c
A é a área da seção transversal do tubo 
e P é o perímetro molhado. 
 
Tabela 7 - Números de Nusselt para escoamento laminar 
completamente desenvolvido em tubos não circulares 
 
 53
 
8 - Convecção livre (ou natural) 
 
 Na convecção forçada o escoamento do fluido é produzido por elementos externos 
(ventilador, bomba etc). 
 Já na convecção livre (ou natural) o movimento do fluido é devido basicamente a 
gradientes de massa específica originados por gradientes de temperatura. 
 Como as velocidades dos escoamentos na convecção livre são geralmente menores 
do que aquelas associadas à convecção forçada, as taxas correspondentes de 
transferência de calor por convecção também são pequenas, o que gera a tendência de 
subestimar os processos de convecção livre, o que deve ser bem avaliado. 
 Na convecção natural é necessário que o gradiente de temperatura gere 
instabilidade suficiente para que as forças de empuxo prevaleçam sobre as forças 
viscosas (figura 24). 
 
 
Figura 24 - Instabilidade gerada pelo gradiente de temperatura 
 
 Adimensionais da convecção natural: 
- Grashof: razão entre força de empuxo e força viscosa. Desempenha na convecção 
natural o mesmo que o número de Reynolds desempenha na convecção forçada (o 
número de Reynolds fornece uma medida da razão entre a força de inércia e a força 
viscosa atuando em um determinado fluido). 
 
 
( )
2ν
3.LT
s
Tg.β.
Gr ∞
−
= (116) 
 
 54
onde: 
g: aceleração da gravidade 
β : coeficiente de expansão volumétrica (para gases ideais vale 1
f
T − , e para outros 
fluidos é tabelado) 
s
T : temperatura da superfície 
∞T : temperatura do meio 
L : comprimento característico 
ν : viscosidade cinemática 
 
1
Re
Gr
2
≈ : convecção natural e forçada com mesma importância ( )( )GrPr,Re,NuNu = 
1
Re
Gr
2
〉〉 : prevalece a convecção natural ( )( )GrPr,NuNu = 
1
Re
Gr
2
〈〈 : prevalece a convecção forçada ( )( )PrRe,NuNu = 
- Rayleigh: define a transição entre escoamento laminar e turbulento em convecção 
natural. 
 
 
( ) ( )
ν.α
3.LT
s
Tg.β.
α
ν
.
2ν
3.LT
s
Tg.β.
Gr.PrRa ∞
−
=















∞−== (117) 
 
 A transição laminar-turbulento é avaliada através do número critico de Rayleigh: 
 
 
( ) 910
ν.α
3
c
.xT
s
Tg.β.
cx,
Ra ≈∞
−
= (118) 
 
 As correlações para transferência de calor em convecção livre são apresentadas na 
tabela 8. 
 
 
 
 
 55
Tabela 8 - Correlações para transferência de calor por convecção livre 
 
 56
 
9 - Trocadores de calor 
 
 Trocadores de calor são equipamentos utilizados para implementar a troca de calor 
entre dois fluidos que estão a diferentes temperaturas e, geralmente, separados por uma 
parede sólida. 
 
9.1 - Tipos de trocadores de calor 
 
 Os trocadores de calor são tipicamente classificados em função da configuração do 
escoamento e do seu tipo de construção. 
 No escoamento paralelo, que ocorre em tubos concêntricos (ou duplos) os fluidos 
quente e frio se movem no mesmo sentido, ou seja, entram por uma mesma extremidade 
e saem por uma mesma extremidade (figura 25). 
 
 
Figura 25 - Trocador de calor em escoamento paralelo 
 
 No escoamento em contra-corrente os fluidos entram e saem por extremidades 
opostas (figura 26). 
 
 
Figura 26 - Trocador de calor em contra-corrente 
 
 Um outro tipo de escoamento é o cruzado, onde as correntes de fluido escoam 
perpendicularmente uma à outra (figura 27). 
 57
 
Figura 27 - Trocador de calor em escoamento cruzado 
 
 É comum a presença de aletas nos dutos dos trocadores de calor (figura 27), o que 
faz com que o escoamento seja caracterizado como não misturado, ou seja, o 
escoamento pode ser considerado unidimensional na direção paralela às aletas. Na 
ausência das aletas o escoamento é chamado de misturado. 
 Um tipo comum de trocador de calor é o de casco e tubo (figura 28). Neste tipo de 
trocador de calor pode-se ter uma ou mais passes (passagens) no casco e/ou nos tubos 
(figura 29). 
 
 
Figura 28 - Trocador de calor de casco e tubo (com chicanas) 
 
 
Figura 29 - Trocador de calor de casco e tubo com 
um passe no casco e dois passes nos tubos 
 
 58
 Chicanas (figura 28) são geralmente utilizadas para aumentar a turbulência do 
escoamento e, por conseqüência, o coeficiente convectivo e a transferência de calor. 
 Existem ainda os trocadores de calor compactos nos quais a área de troca de calor 
por unidade de volume é muito alta 








〉
3m
2m
700 . Este tipo de trocador é usado tipicamente 
quando um dos fluidos é gás, no qual o coeficiente convectivo de transferência de calor é 
normalmente baixo. 
 
9.2 - Coeficiente global de transferência de calor 
 
 Um conceito importante no estudo de trocadores de calor é o de coeficiente global 
de transferência de calor, o qual representa uma medida da intensidade de troca de calor 
com referência à diferença total de temperatura, ou seja, a diferença de temperatura entre 
os fluidos quente e frio. Levando-se em conta as resistências de contato provenientes de 
deposição de impurezas nos lados interno e externo dos dutos (fatores de incrustação), 
temos: 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )
h
.h.A
0
η
1
h
.A
0
η
hf,
R"
w
R
c
.A
0
η
cf,
R"
c
.h.A
0
η
1
h
.A
h
U
1
c
.A
c
U
1
U.A
1 ++++=== (119) 
 
onde: 
U : coeficiente global de transferência de calor 
A : área de troca de calor 
0
η : eficiência global da superfície ou efetividade de temperatura 
h : coeficiente convectivo de troca de calor 
f
R" : fator de incrustação 
w
R : resistência térmica da parede do tubo 
subscrito c: lado do fluido frio 
subscrito h: lado do fluido quente 
 Vale destacar que o cálculo do coeficiente global depende de uma área de 
referência, pois 
h
.A
h
U
c
.A
c
UU.A == . 
 59
 Alguns fatores de incrustação ( )
f
R" são tabelados, porem este fator é variável 
durante a operação do trocador de calor (aumenta com o tempo). 
 A grandeza 
0
η é definida, para uma superfície aletada, de tal forma que 
( )∞−= TbT.h.A.0ηq . Pode ser determinada a partir do conhecimento da eficiência de uma 
única aleta ( )
f
η : 
 
 ( )
f
η1.
A
f
A
1
0
η −−= (120) 
 
onde: 
f
A : área total das aletas 
A : área total da superfície 
 
9.3 - A média logarítmica das diferenças de tempera tura 
 
 Na análise de trocadores de calor é essencial relacionar a taxa total de transferência 
de calor a grandezas tais como temperaturas de entrada e saída dos fluidos, coeficiente 
global de transferência de calor e área total da superfície para troca de calor. 
 Isso é feito a partir da Lei do Resfriamento de Newton (equação (4)), porém 
utilizando um coeficiente global de transferência de calor ( )U em lugar do coeficiente 
convectivo (h) e também fazendo uso de uma diferença de temperaturas médias 
adequada ( )
lm
T∆ : 
 
 
lm
T∆U.A.q = (121) 
 
 A partir de um balanço de energia num elemento diferencial dos fluidos quente e frio, 
verifica-se que: 
 
 








−
=








−
=
s
T∆
e
T∆
ln
s
T∆
e
T∆
e
T∆
s
T∆
ln
e
T∆
s
T∆
lm
T∆ (122) 
 60
onde para um trocador de calor com correntes paralelas 
sc,
T
sh,
T
s
T∆ −= e 
ec,
T
eh,
T
e
T∆ −= e para um trocador de calor com correntes contrárias 
ec,
T
sh,
T
s
T∆ −= 
e 
sc,
T
eh,
T
e
T∆ −= , sendo os subscritos “e” e “s” referentes à entrada e à saída dotrocador, respectivamente. 
 A análise utilizada para se obter a expressão acima para 
lm
T∆ é sujeita às 
seguintes considerações: 
- o trocador de calor é isolado de sua vizinhança, caso em que a troca de calor é apenas 
entre os fluidos quente e frio; 
- a condução axial ao longo dos tubos é desprezível; 
- as variações de energia cinética e potencial são desprezíveis; 
- os calores específicos dos fluidos são constantes; 
- o coeficiente global de transferência de calor é constante. 
 Vale destacar que para as mesmas temperaturas de entrada e saída, 
lm
T∆ para 
correntes contrárias é maior que para correntes paralelas, o que faz com que a área 
necessária para uma dada taxa de transferência de calor seja menor para o arranjo com 
correntes contrárias. Verifica-se também que para arranjos em correntes contrárias 
sc,
T 
pode ser maior que 
sh,
T , o que não ocorre nos casos de correntes paralelas. 
 Existem condições especiais de operação de trocadores de calor as quais merecem 
ser destacadas (figura 30): 
 
 
Figura 30 - Condições especiais de operação de trocadores 
de calor: (a) 
c
C
h
C 〉〉 , (b) 
c
C
h
C 〈〈 , (c) 
c
C
h
C = 
 61
- 
c
C
h
C 〉〉 , ou seja, 
cp,
.c
c
m
hp,
.c
h
m && 〉〉 : o fluido quente permanece praticamente a 
temperatura constante; 
- 
c
C
h
C 〈〈 , ou seja, 
cp,
.c
c
m
hp,
.c
h
m && 〈〈 : o fluido frio permanece praticamente a temperatura 
constante; 
- 
c
C
h
C = , ou seja, 
cp,
.c
c
m
hp,
.c
h
m && = : a diferença de temperatura é constante ao longo 
do trocador de calor, ou seja, 
lm
T∆Ts∆Te∆ == . 
 Outras relações importantes para análise de trocadores de calor são: 
 
 
lm
TU.A.
c
T.
cp,
.c
c
m
h
T.
hp,
.c
h
mq ∆=∆=∆= && (123) 
 62
 
Bibliografia 
 
BEJAN, Adrian. Transferência de calor. 1. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1996. 
BIRD, R. Byron; STEWART, Warren E.; LIGHTFOOT, Edwin N. Fenômenos de 
transporte. 2. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2004. 
BRAGA FILHO, Washington. Fenômenos de transporte para engenharia. 1. ed. Rio de 
Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2006. 
BRAGA FILHO, Washington. Transmissão de calor. 1. ed. São Paulo: Pioneira Thomson 
Learning, 2004. 
BRUNETTI, Franco. Mecânica dos fluidos. 2. ed. São Paulo: Prentice Hall, 2008. 
FOX, Robert W.; MCDONALD, Alan T. Introdução à mecânica dos fluidos. 5. ed. Rio de 
Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2001. 
INCROPERA, Frank P.; DEWITT, David P. Fundamentos de transferência de calor e 
de massa. 5. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2003. 
MACINTYRE, Archibald Joseph. Equipamentos industriais e de processo. 1. ed. Rio de 
Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1997. 
MORAN, Michael J.; SHAPIRO, Howard N.; MUNSON, Bruce R.; DEWITT, David P. 
Introdução à engenharia de sistemas térmicos. 1. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos 
e Científicos, 2005. 
ÖZISIK, M. Necati. Transferência de calor: um texto básico. 1. ed. Rio de Janeiro: 
Guanabara Koogan, 1990. 
 63
 
Apêndice - Tabelas de propriedades 
 
Apêndice 1 - Propriedades termofísicas de materiais 
 
 64
Apêndice 1 - Propriedades termofísicas de materiais (continuação) 
 
 65
Apêndice 1 - Propriedades termofísicas de materiais (continuação) 
 
 66
Apêndice 1 - Propriedades termofísicas de materiais (continuação) 
 
 
 
 67
Apêndice 2 - Propriedades termofísicas de gases à pressão atmosférica 
 
 
 
 
 
 
 68
Apêndice 3 - Propriedades termofísicas de líquidos saturados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 69
Apêndice 4 - Propriedades termofísicas da água saturada