Exercícios de Matrizes

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MATRIZES 
1. (Uerj) Para combater a subnutrição infantil, foi 
desenvolvida uma mistura alimentícia composta 
por três tipos de suplementos alimentares: I, II e III. 
Esses suplementos, por sua vez, contêm diferentes 
concentrações de três nutrientes: A, B e C. Ob-
serve as tabelas a seguir, que indicam a concentra-
ção de nutrientes nos suplementos e a porcenta-
gem de suplementos na mistura, respectivamente. 
Nutriente 
Concentração dos Suplementos Ali-
mentares (g kg) 
I II III 
A 0,2 0,5 0,4 
B 0,3 0,4 0,1 
C 0,1 0,4 0,5 
 
Suplemento 
Alimentar 
Quantidade na 
Mistura (%) 
I 45 
II 25 
III 30 
A quantidade do nutriente C, em 
𝑔
𝑘𝑔
, encontrada na 
mistura alimentícia é igual a: 
a) 0,235 
b) 0,265 
c) 0,275 
d) 0,295 
 
2. (G1 - ifal) A matriz 𝐴𝑖𝑗(2 × 3) tem elementos de-
finidos pela expressão 𝑎𝑖𝑗 = 𝑖
3– 𝑗2. Portanto, a ma-
triz 𝐴 é 
 
a) (
0 −3 −8
7 4 −1
). 
b) (
0 7 26
−3 4 23
). 
c) (
0 −3
7 4
26 23
). 
d) (
0 7
−3 4
−8 −1
). 
e) (
0 −1 −2
1 0 −1
). 
 3. (Ufpr) Um criador de cães observou que as ra-
ções das marcas A, B, C e D contêm diferentes 
quantidades de três nutrientes, medidos em mili-
gramas por quilograma, como indicado na primeira 
matriz abaixo. O criador decidiu misturar os quatro 
tipos de ração para proporcionar um alimento ade-
quado para seus cães. A segunda matriz abaixo dá 
os percentuais de cada tipo de ração nessa mis-
tura. 
 A B C D percen-
tuais de 
mistura 
𝑛𝑢𝑡𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 1
𝑛𝑢𝑡𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 2
𝑛𝑢𝑡𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 3
 [
210
340
145
 
370
520
225
 
450
305
190
 
290
485
260
] 
 𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
 [
35%
25%
30%
10%
] 
Quantos miligramas do nutriente 2 estão presentes 
em um quilograma da mistura de rações? 
 
a) 389 mg. 
b) 330 mg. 
c) 280 mg. 
d) 210 mg. 
e) 190 mg. 
 
 4. (Uema) Uma empresa da construção civil faz 3 
tipos de casa: tipo 1, para casal sem filhos; tipo 2, 
para casal com até 2 filhos e tipo 3, para casal com 
3 ou mais filhos. A empresa de material de constru-
ção Barateiro Umbizal fornece ferro, madeira, telha 
e tijolo, para a primeira etapa da construção, con-
forme tabelas de material e de preço. 
 
 
Quantidade de Material Fornecido 
pela Empresa Barateiro Umbizal 
Tipo 
da 
Casa 
Ferro 
(feixe) 
Ma-
deira 
(𝑚3) 
Telha 
(mi-
lheiro) 
Tijolo 
(mi-
lheiro) 
Tipo 1 3 2 2 3 
Tipo2 4 4 3 5 
Tipo3 5 5 4 6 
 
 
 
 
Preço por Unidade de Material Fornecido 
em reais 
Feixe de 
ferro 
Madeira (𝑚3) 
Telha (mi-
lheiro) 
Tijolo (mi-
lheiro) 
500,00 600,00 400,00 300,00 
 
Sabendo que a empresa construirá 2, 4 e 5 casas 
dos tipos 1, 2 e 3, respectivamente, o preço unitário 
de cada tipo de casa e o custo total do material for-
necido, para esta primeira etapa de construção, 
pela empresa, em reais, é de 
 
a) 
Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 
Custo to-
tal 
5.200,00 7.100,00 8.900,00 83.300,00 
b) 
Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 
Custo to-
tal 
4.400,00 7.100,00 9.100,00 82.700,00 
c) 
Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 
Custo to-
tal 
4.400,00 7.100,00 8.900,00 81.700,00 
d) 
Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 
Custo to-
tal 
4.400,00 7.400,00 8.900,00 82.900,00 
e) 
Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 
Custo to-
tal 
4.500,00 7.100,00 8.800,00 82.400,00 
 
 
5. (Insper) Três amigos foram a uma papelaria 
para comprar material escolar. As quantidades ad-
quiridas de cada produto e o total pago por cada 
um deles são mostrados na tabela. 
 
Amigo 
Quantidades compra-
das de Total pago 
(R$) cader-
nos 
cane-
tas 
lá-
pis 
Júlia 5 5 3 96,00 
Bruno 6 3 3 105,00 
Felipe 4 5 2 79,00 
 
Os preços unitários, em reais, de um caderno, de 
uma caneta e de um lápis, são, respectivamente, x, 
y e z. Dessa forma, das igualdades envolvendo ma-
trizes fornecidas a seguir, a única que relaciona 
corretamente esses preços unitários com os dados 
da tabela é 
a) [𝑥 𝑦 𝑧] ⋅ [
5 5 3
6 3 3
4 5 2
] = [96 105 79]. 
b) [
𝑥
𝑦
𝑧
] ⋅ [
5 5 3
6 3 3
4 5 2
] = [
96
105
79
]. 
c) [
5 5 3
6 3 3
4 5 2
] ⋅ [𝑥 𝑦 𝑧] = [96 105 79]. 
d) [
5 5 3
6 3 3
4 5 2
] ⋅ [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
96
105
79
]. 
e) [
𝑥
𝑦
𝑧
] ⋅ [
96
105
79
] = [
5 5 3
6 3 3
4 5 2
]. 
 
6. (Espm) A distribuição dos moradores de um 
pequeno prédio de apartamentos é dada pela ma-
triz onde cada elemento 
 
repre-
senta a quantidade de moradores do apartamento 
j do andar i. 
Sabe-se que, no 1º andar, moram 3 pessoas a mais 
que no 2º e que os apartamentos de número 3 com-
portam 12 pessoas ao todo. O valor de é: 
a) 30 
b) 31 
c) 32 
d) 33 
e) 34 
 
7. (Esc. Naval) Sejam 𝐴 = (
1
4
1
−3
2
0
) e 𝐵 =
(
5
1
0
−2
−3
6
) e 𝐵' a transposta de 𝐵. O produto da 
matriz 𝐴 pela matriz 𝐵' é 
a) (
9 2 10
−8 6 0
21 −21 −6
) 
b) (
5
4
0
6
−6
0
) 
c) (
5 4
0
−6
6
0
) 
d) (
−1 11
20 10
) 
e) (
−1 10
−2 1
) 
 
 
8. (Pucrs) Num jogo, foram sorteados 6 números 
para compor uma matriz 𝑀 = (𝑚𝑖𝑗) de ordem 2 × 3. 
Após o sorteio, notou-se que esses números obe-
deceram à regra 𝑚𝑖𝑗 = 4𝑖 − 𝑗. Assim, a matriz M é 
igual a _________. 
a) [
1 2 3
5 6 7
] 
b) [
1 2 3
4 5 6
] 
c) [
3 2 1
7 6 5
] 
d) [
3 2
7 6
11 10
] 
n
4 x 5
1 3 y ,
6 y x 1
 
 
 
 + 
ija
n
 
 
e) [
3 7
2 6
1 5
] 
 
9. (Uern) Sejam duas matrizes A e 𝐵: 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)3×3, 
tal que 𝑎𝑖𝑗 = {
𝑖 ⋅ 𝑗,  𝑠𝑒 𝑖 ≤ 𝑗
𝑖 + 𝑗,  𝑠𝑒 1 > 𝑗
 e 𝐵 = 𝐴2. Assim, a 
soma dos elementos da diagonal secundária de B 
é 
a) 149. 
b) 153. 
c) 172. 
d) 194. 
 
10. (Fgv) Seja X a matriz que satisfaz a equação 
matricial X.A = B, em que: 
 
𝐴 = [
2 1
5 3
] e 𝐵 = [8 5]. 
 
Ao multiplicar os elementos da matriz X , obtere-
mos o número: 
a) - 1 
b) - 2 
c) 1 
d) 2 
e) 0 
 
11. (Uern) Sejam as matrizes 𝑀 = [
2 3
−1 0
] ,   𝑁 =
[
4 0
1 5
]   𝑒  𝑃 = 𝑀 ⋅ 𝑁 + 𝑁 ⋅ 𝑀. O menor elemento 
da matriz P é 
a) – 7. 
b) – 1. 
c) – 5. 
d) 2. 
 
12. (G1 - ifal 2012) Sejam as matrizes A3x2, B2x3 e 
C3x3. É verdade que: 
a) A + Bt é uma matriz 2x3. 
b) A . B é uma matriz 3x3. 
c) A . B é uma matriz 2x2. 
d) B . C é uma matriz 3x3. 
e) C . A é uma matriz 3x3. 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Arquimedes,candidato a um dos cursos da Facul-
dade de Engenharia, visitou a PUCRS para colher 
informações. Uma das constatações que fez foi a 
de que existe grande proximidade entre Engenha-
ria e Matemática. 
 
 
13. (Pucrs) Numa aula de Álgebra Matricial dos 
cursos de Engenharia, o professor pediu que os 
alunos resolvessem a seguinte questão: 
 
Se 𝐴 = [
1 2
3 4
], então 𝐴2 é igual a 
a) [
1 3
2 4
] 
b) [
1 4
9 16
] 
c) [
7 10
15 22
] 
d) [
5 11
11 25
] 
e) [
5 5
25 25
] 
 
14. (Ufsm) 
 
 
O diagrama dado representa a cadeia alimentar 
simplificada de um determinado ecossistema. As 
setas indicam a espécie de que a outra espécie se 
alimenta. 
Atribuindo valor 1 quando uma espécie se alimenta 
de outra e zero, quando ocorre o contrário, tem-se 
a seguinte tabela: 
 
 Urso Esquilo Inseto Planta 
Urso 0 1 1 1 
Esquilo 0 0 1 1 
Inseto 0 0 0 1 
Planta 0 0 0 0 
 
A matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)4𝑥4, associada à tabela, possui a 
seguinte lei de formação: 
a) 𝑎𝑖𝑗 = {
0, se i ≤ 𝑗
1, s𝑒 𝑖 > 𝑗 
 
b) 𝑎𝑖𝑗 = {
0, se i = 𝑗
1, se i ≠ 𝑗 
 
c) 𝑎𝑖𝑗 = {
0, se i ≥ 𝑗
1, se i < 𝑗 
 
d) 𝑎𝑖𝑗 = {
0, se i ≠ 𝑗
1, se i = 𝑗 
 
e) 𝑎𝑖𝑗 = {
0, se i < 𝑗
1, se i > 𝑗 
 
 
15. (Uft) Dadas as matrizes 𝐴 =
[
3 − 2𝑖 3 + 4𝑖
1 + 3𝑖 2 − 𝑖
] e 𝐵 = [
−1 + 2𝑖 −3 + 3𝑖
2 − 3𝑖 −2 − 3𝑖
], pode-
se afirmar que (A + B)2 é: 
a) [
4 − 21𝑖 −28 + 14𝑖
6 − 12𝑖 16 + 21𝑖
] 
b) [
4 − 21𝑖 16 + 21𝑖
6 − 12𝑖 −28 + 14𝑖
] 
 
 
c) [
−4 + 21𝑖 28 + 14𝑖
6 − 12𝑖 −16 + 21𝑖
] 
d) [
4 + 21𝑖 28 + 14𝑖
6 − 12𝑖 −16 + 21𝑖
] 
e) [
−16 + 21𝑖 28 + 14𝑖
6 − 12𝑖 4 + 21𝑖
] 
 
16. (Uel) Uma indústria utiliza borracha, couro e 
tecido para fazertrês modelos de sapatos. A matriz 
Q fornece a quantidade de cada componente na fa-
bricação dos modelos de sapatos, enquanto a ma-
triz C fornece o custo unitário, em reais, destes 
componentes. 
 
 
 
A matriz V que fornece o custo final, em reais, dos 
três modelos de sapatos é dada por: 
a) 𝑉 = (
110
120
80
) 
b) 𝑉 = (
90
100
60
) 
c) 𝑉 = (
80
110
80
) 
d) 𝑉 = (
120
110
100
) 
e) 𝑉 = (
100
110
80
) 
 
17. (Pucrs) No projeto Sobremesa Musical, o Insti-
tuto de Cultura Musical da PUCRS realiza apresen-
tações semanais gratuitas para a comunidade uni-
versitária. O número de músicos que atuaram na 
apresentação de número j do i-ésimo mês da pri-
meira temporada de 2009 está registrado como o 
elemento aij da matriz a seguir: 
 
[
43 12 6 6
43 5 5 12
43 13 20 13
3 5 54 43
 
5
12
0
43
] 
 
A apresentação na qual atuou o maior número de 
músicos ocorreu na _________ semana do 
_________ mês. 
a) quinta segundo 
b) quarta quarto 
c) quarta terceiro 
d) terceira quarto 
e) primeira terceiro 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: [D] 
 
Calculando, conforme dados das tabelas: 
𝐶 = 0,1 ⋅ 0,45 + 0,4 ⋅ 0,25 + 0,5 ⋅ 0,30 → 𝐶 =
0,295 𝑔/𝑘𝑔 
 
Resposta da questão 2: [A] 
 
𝑎𝑖𝑗 = 𝑖
3– 𝑗2 
[
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
] =
[
(13 − 12) (13 − 22) (13 − 32)
(23 − 12) (23 − 22) (23 − 32)
] = [
0 −3 −8
7 4 −1
] 
 
Resposta da questão 3: [A] 
 
Basta fazer o produto das matrizes 
 
[340 520 305 485] ⋅ [
35%
25%
30%
10%
] = 340 ⋅ 0,35 +
520 ⋅ 0,25 + 305 ⋅ 0,30 + 485 ⋅ 0,10 = 389 𝑚𝑔. 
 
Resposta da questão 4: [C] 
 
Sejam 𝑄 = (
3 2 2 3
4 4 3 5
5 5 4 6
) e 𝐶 = (
500
600
400
300
). A matriz 
𝑉 = (𝑣𝑖𝑗)3×1, definida por 𝑉 = 𝑄 ⋅ 𝐶, é dada por 
 
(
3 2 2 3
4 4 3 5
5 5 4 6
) ⋅ (
500
600
400
300
) = (
4400
7100
8900
). 
 
Portanto, sendo cada elemento 𝑣𝑖1 da matriz 𝑉 o 
custo unitário da casa Tipo 𝑖, com 𝑖 = 1,  2,  3, se-
gue o resultado. 
 
Resposta da questão 5: [D] 
 
Os totais pagos por Júlia, Bruno e Felipe são da-
dos, respectivamente, por 
 
5𝑥 + 5𝑦 + 3𝑧 = 96, 6𝑥 + 3𝑦 + 3𝑧 = 105 e 4𝑥 + 5𝑦 +
2𝑧 = 79. 
 
 
 
Portanto, a única alternativa que relaciona correta-
mente os preços unitários com os dados da tabela 
é a alternativa [D]. 
 
Resposta da questão 6: [C] 
 
Sabendo que os apartamentos de número com-
portam pessoas ao todo, temos: 
 
 
 
Portanto, o valor de é dado por: 
 
 
 
Resposta da questão 7: [D] 
 
(
1 1 2
4 −3 0
) ⋅ (
5 1
0 −2
−3 6
) =
(
5 + 0 − 6 1 − 2 + 12
20 + 0 + 0 4 + 6 + 0
) = (
−1 11
20 10
) 
 
Resposta da questão 8: [C] 
 
Temos 
 
11 12 13
21 22 23
m m m
M
m m m
4 1 1 4 1 2 4 1 3
4 2 1 4 2 2 4 2 3
3 2 1
.
7 6 5
 
=  
 
 −  −  − 
=  
 −  −  − 
 
=  
 
 
 
Resposta da questão 9: [A] 
 
A soma dos elementos da diagonal secundária da 
matriz 𝐵 é igual a 
 
2
13 22 31 11 13 12 23 13 33 21 12 22 23 32 11 31
32 21 33 31
2
b b b a a a a a a a a a a a a a
a a a a
1 3 2 6 3 9 3 2 4 6 5 1 4 5 3 9 4
149.
+ + = + + + + + + +
+ +
=  +  +  +  + +  +  +  + 
=
 
 
Resposta da questão 10: [B] 
 
 
 
Logo, (2𝑎 + 𝑏 𝑎 + 3𝑏) = (8 5) 
 
Resolvendo o sistema, temos: 
 
 {
2𝑎 + 5𝑏 = 8
𝑎  + 3𝑏 = 5
 
𝑋 = (−1 2) 
 
Portanto, o produto dos elementos de X é 2 ⋅
(−1) = −2. 
 
Resposta da questão 11: [A] 
 
 A matriz 𝑃 é tal que 
 
 
2 3 4 0 4 0 2 3
P
1 0 1 5 1 5 1 0
8 3 0 15 8 0 12 0
4 0 0 0 2 5 3 0
11 15 8 12
4 0 3 3
19 27
.
7 3
       
=  +        
− −       
+ + + +   
= +   
− + + − +   
   
= +   
− −   
 
=  
− 
 
 
 Portanto, o menor elemento da matriz 𝑃 é 
−7. 
 
Resposta da questão 12: [B] 
 
[A] Falsa, pois A + BT é uma matriz 3x2. 
[B] Verdadeira, pois A.B é 3x3, pois a matriz pro-
duto A.B tem número de linhas de A e número 
de colunas de B. 
[C] Falsa, pois A.B é uma matriz 3x3. 
[D] Falsa, pois B.C é uma matriz 2x3. 
[E] Falsa, pois C.A é uma matriz 3x2. 
 
Resposta da questão 13: [C] 
 
Como 𝐴2 = 𝐴 ⋅ 𝐴, segue que 
 
2 1 2 1 2
A
3 4 3 4
1 1 2 3 1 2 2 4
3 1 4 3 3 2 4 4
7 10
.
15 22
   
=    
   
 +   +  
=  
 +   +  
 
=  
 
 
 
Resposta da questão 14: [C] 
 
A expressão 𝑎𝑖𝑗 = {
0, se i ≥ 𝑗
1, se i < 𝑗 
 representa a matriz 
(
0 1 1 1
0 0 1 1
0 0 0 1
0 0 0 0
), que representa a tabela dada. 
3
12
5 y x 1 12 x y 6.+ + + =  + =
n
4 1 6 x 3 y 12 26 6 32.+ + + + + + = + =
 
 
 
Resposta da questão 15: [D] 
 
𝐴 + 𝐵 = (
2 7𝑖
3 −4𝑖
) 
(𝐴 + 𝐵)2 = (
2 7𝑖
3 −4𝑖
) (
2 7𝑖
3 −4𝑖
) =
(
4 + 21𝑖 14𝑖 + 28
6 − 12𝑖 −16 + 21𝑖
) 
 
Resposta da questão 16: [E] 
Multiplicando as matrizes, temos: 
(
2 1 1
1 2 0
2 0 2
) . (
10
50
30
) = (
2.10 + 1.50 + 1.30
1.10 + 2.50 + 0.30
2.10 + 0.50 + 2.30
) = (
100
110
80
) 
 
Resposta da questão 17: [D] 
 
O maior número de músicos (54) aparece na quarta 
linha e na terceira coluna. 
Como i indica o mês e j a semana, esta apresenta-
ção ocorreu no quarto mês e na terceira semana. 
 
 
 
 
 
 
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