Matrizes (10 páginas, 65 questões, com gabarito)

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PROF. GILBERTO SANTOS JR
MATRIZES 
 
SUMÁRIO 
 
1 . INTRODUÇÃO ............................................. 1 
2 . DEFINIÇÃO ................................................ 1 
3 . REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE MATRIZ ....... 2 
4 . MATRIZES ESPECIAIS ................................. 3 
4.1 Matriz quadrada ......................................... 3 
4.2 Matriz identidade ....................................... 3 
4.3 Matriz nula ................................................ 3 
4.4 Matriz transposta ....................................... 3 
5 . IGUALDADE DE MATRIZES ........................... 4 
5 . ADIÇÃO DE MATRIZES ................................ 4 
6 . SUBTRAÇÃO DE MATRIZES .......................... 4 
8 . MULTIPLICAÇÃO DE N° REAL POR MATRIZ ..... 4 
9 . MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES ..................... 5 
10 . MATRIZ INVERSA ...................................... 8 
11 . DETERMINANTES ...................................... 8 
11.1 Determinante de matriz de ordem 1 ........... 8 
11.2 Determinante de matriz de ordem 2 ........... 8 
11.3 Determinante de matriz de ordem 3 ........... 9 
Referências ...................................................... 10 
 
 
1 . INTRODUÇÃO 
Muitas vezes, para designar com clareza 
certas situações é necessário um grupo ordenado 
de números que se apresentam dispostos em li-
nhas e colunas, formando o que se chama matriz. 
Observe por exemplo a seguinte situação: 
As vendas de uma editora em relação aos livros de 
Matemática, Física e Química, no primeiro trimes-
tre de um ano, podem ser expressas pela tabela a 
seguir. 
 Janeiro Fevereiro Março 
Matemática 20 000 32 000 45 000 
Física 15 000 18 000 25 000 
Química 16 000 17 000 23 000 
 
Se quisermos saber: 
 Quantos livros de Matemática foram vendidos 
em Fevereiro, basta olharmos o número que está 
na primeira linha e na segunda coluna; 
 Quantos livros de Física foram vendidos em Ja-
neiro, basta olharmos o número que está na se-
gunda linha e na primeira coluna; 
 Quantos livros de Química foram vendidos nos 3 
meses, basta somarmos os números da tercei-
ra linha. E assim por diante. 
Nessa tabela os números estão dispostos 
em 3 linhas e 3 colunas, é chamada matriz do 
tipo ou ordem 3 × 3 (lê-se três por três), pode 
ser representada por: 
 
(
20000 32000 45000
15000 18000 25000
16000 17000 23000
) ou [
20000 32000 45000
15000 18000 25000
16000 17000 23000
] 
 
 
 
 
 
 
2 . DEFINIÇÃO 
 
 
Denomina-se matriz m  n (lê-se m por n) qual-
quer tabela retangular formada por m linhas e n 
colunas, sendo m e n números inteiro maior que 
zero. 
 
 
Dizemos que a matriz é do tipo m  n ou de 
ordem m  n. 
Exemplo: A2×3 = (
3 4 2
5 1 0
) é uma matriz de ordem 
dois por três. 
 
EXERCÍCIOS BÁSICOS 
1) Os estudantes de um colégio responderam a 
seguinte pergunta: “Você prefere Matemática ou 
Português?” Cada estudante escolheu uma única 
matéria. Os resultados seguem na tabela: 
 
 Sexo 
Matéria masculino feminino 
Matemática 137 98 
Português 105 117 
 
a) Quantos estudantes escolheram a Matemática? 
b) Quantos estudantes do sexo feminino respon-
deram à pergunta? 
c) Quantos estudantes, ao todo, responderam à 
pergunta? R: R: a) 235 alunos; b) 215 alunos; c) 457 alunos 
 
2) Observe a matriz seguinte e responda: 
 
[
10 0 1 5 
1 3 7 9 
17
4
 6 12 2
 11 8 25
] 
 
a) De que tipo ou ordem é a matriz dada? R: 4 por 4 
b) Quais são os números da 1ª linha? R: 10, 0, 1 e 5 
c) E os da 3ª coluna? R: 1, 7, 12 e 8 
d) Qual é o número que está na 2ª linha e na 2ª 
coluna? R: 3 
e) E na 1ª linha e na 4ª coluna? R: 5 
f) E na 4ª linha e na 2ª coluna? R: 11 
g) Qual o resultado da soma dos números da 𝟐ª 
coluna? R: 20 
 
EXERCÍCIO DE VESTIBULAR 
3)(Enem-2012) Uma pesquisa realizada por 
estudantes da Faculdade de Estatística mostra, em 
horas por dia, como os jovens entre 12 e 18 anos 
gastam seu tempo, tanto durante a semana (de 
segunda-feira a sexta-feira), como no fim de 
semana (sábado e domingo). A seguinte tabela 
ilustra os resultados 
 
2 
 
 
De acordo com esta pesquisa, quantas 
horas de seu tempo gasta um jovem entre 12 e 18 
anos, na semana inteira (de segunda-feira a 
domingo), nas atividades escolares? 
 
(a) 20 (b) 21 (c) 24 (d) 25 (e) 27 
R: (e) 
3 . REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE MA-
TRIZ 
O elemento genérico de uma matriz A será 
indicado por aij em que i representa a linha e j a 
coluna na qual o elemento se encontra. Uma ma-
triz A, do tipo m  n será escrita, genericamente, 
assim: 
A =
(
 
 
a11 a12 a13 … a1n
a21 a22 … a2n
a31
⋮
am1
⋮
am2
 a3n
⋮ ⋮
am3 amn)
 
 
 
 
ou, simplesmente, por A = (aij)m×n
. Lê-se: matriz 
A, dos elementos aij, do tipo m  n. 
 
Exemplo: Escrever a matriz A = (aij)2×2
 tal que 
aij = i + j. 
 
Resolução: 
 
A matriz é do tipo 2  2 então, generica-
mente, 
(
a11 a12
a21 a22
) 
 
Resta descobrir quem são esses termos a11, 
a12, a21 e a22 usando a sentença aij = i + j. Então, 
usando os cálculos auxiliares: 
 
a11 = 1 + 1 = 2 
 
a12 = 1 + 2 = 3 
 
a21 = 2 + 1 = 3 
 
a22 = 2 + 2 = 4 
Logo a matriz (
a11 a12
a21 a22
) é igual a (
2 3
3 4
). 
 
EXERCÍCIO BÁSICO 
4) Escreva as matrizes: 
 
a) A = (aij)2×3
 tal que aij = i + j. R: (2 3 43 4 5) 
 
b) B = (bij)3×2
 tal que bij = i – j. R: (
0 −1
1 0
2 1
) 
 
c) C = (cij)2×2
 de modo que cij = 2i – j. R: (1 03 2) 
 
d) D = (dij)3×3
 tal que {
dij = 0 para i = j
dij = 1 para i ≠ j
. R: (
0 1 1
1 0 1
1 1 0
) 
e) E = (eij)2×4
, com eij = |i – j|. R: (
0 1 2 3
1 0 1 2
) 
 
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 
5) Um técnico de basquetebol descreveu o de-
sempenho dos titulares de sua equipe em sete 
jogos através da matriz: 
 
















18172014121819
23221820202218
22141421201920
18212218181615
20182117181718
 
 
Cada elemento aij dessa matriz é um número de 
pontos marcados pelo jogador de número i no jo-
go j. 
a) Quantos pontos marcou o jogador de número 3 
no jogo 5? R: 14 
b) Quantos pontos marcou a equipe no jogo 4? R: 90 
c) Quantos pontos marcou o jogador de número 2 
em todos os jogos? R: 128 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
6)(Enem-2018) A Transferência Eletrônica Dis-
ponível (TED) é uma transação financeira de valo-
res entre diferentes bancos. Um economista deci-
de analisar os valores enviados por meio de TEDs 
entre cinco bancos (1, 2, 3, 4 e 5) durante um 
mês. Para isso, ele dispõe esses valores ema ma-
triz A = [aij], em 1 ≤ i ≤ 5 e 1 ≤ j ≤ 5, e o elemento 
aij correspondente ao total proveniente das opera-
ções feitas via TED, em milhão de real, transferi-
dos do banco i para o banco j durante o mês. Ob-
serve que os elementos aij = 0, uma vez que o 
TED é uma transferência entre bancos distintos. 
Está é a matriz obtida para essa análise: 
A = 
[
 
 
 
 
0 2 0 2 2
0
1
0
3
0
2
2
0
2
0
2
1
1
1
0
1
0
1
0
0]
 
 
 
 
 
 
Com base nessas informações, o banco que 
transferiu a maior quantia via TED é o banco 
 
(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 (b) 5 
R: (a) 
7)(IFPA-2011) Considere três dias da semana, 
D1, D2 e D3 e três medidas de temperaturas feitas 
em uma hortaliça, T1, T2 e T3. A matriz a seguir 
descreve a medida de temperatura verificada nes-
ses três dias da semana. Cada elemento aij da 
matriz indica a quantidade de temperatura em 
graus Celsius Ti em cada dia Dj, sendo i ∈ {1, 2, 3} 
e j ∈ {1, 2, 3}. 
 D1 D2 D3 
T1
T2
T3
|
30 35 29
35 37 39
24 26 22
| 
 
Analisando a matriz, não podemos afirmar que 
(a) a temperatura T2, no dia D2, é 37°C. 
3 
(b) a temperatura T1, no dia D3, é de 29°C. 
(c) a média das temperaturas, no dia D3, é de 
30°C. 
(d) a soma das temperaturas Ti verificadas nos 
dias Di, i = 1, 2, 3 é, aproximadamente, 30,8°C. 
(e) a soma das temperaturas T1 e T3, no dia D1, é 
54°C. R: (d) 
 
8)(UF-MT) Os aeroportos 1, 2 e 3 estão interliga-
dos por vôos diretos
e/ou com escalas. A = (aij), 
abaixo, descreve a forma de interligação dos 
mesmos, sendo que: 
 aij = 1 significa que há vôo direto (sem escala) 
do aeroporto i para o aeroporto j; 
 aij = 0 significa que não há vôo direto do aero-
porto i para o aeroporto j. 
A diagonal principal de A é nula, significando que 
não há vôo direto de um aeroporto para ele mes-
mo. 
A = (
0 1 1
1 0 1
0 1 0
) 
 
Seja A2 = A ∙ A = (bij). Se bij ≠ 0 significa 
que há vôo do aeroporto i para o aeroporto j com 
uma escala. Com base nessas informações, julgue 
os itens. 
a) Há vôo direto do aeroporto 1 para o aeroporto 
3, mas não há vôo direto do aeroporto 3 para o 1. 
 
b) Há vôo do aeroporto 2 para o aeroporto 3 com 
uma escala. 
 
9) Uma confecção vai fabricar 3 tipos de roupa 
utilizando materiais diferentes. Considere a matriz 
A = (aij) abaixo, 
A = (
5 0 2
0 1 3
4 2 1
) 
 
, na qual aij representa quantas unidades do ma-
terial j serão empregadas para fabricar uma roupa 
do tipo i. 
a) Quantas unidades do material 3 serão em-
pregadas na confecção de uma roupa do tipo 2? 
 
b) Calcule o total de unidades do material 1 que 
será empregado para fabricar cinco roupas do tipo 
1, quatro roupas do tipo 2 e duas roupas do tipo 3. 
 
10)(Fatec-SP) Seja A = (aij) uma matriz qua-
drada de ordem 2 tal que aij = {
2i+jpara i < j 
i2 + 1 para i ≥ j
. 
Nessas condições: 
 
(a) A = (
2 4
8 3
) (c) A = (
2 8
5 5
) (e) n.d.a. 
 
(b) A = (
2 8
5 6
) (d) A = (
2 8
2 5
) R: (c) 
 
11)(FEI-SP) Se as matrizes A = (aij) e B = (bij) 
estão assim definidas: 
 
{
aij = 1 se i = j
aij = 0 se i ≠ j
 {
bij = 1 se i + j = 4
bij = 0 se i + j ≠ 4
 
 
em que 1 ≤ i ,j ≤ 3, então a matriz A + B é: 
 
(a) (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
) (c) (
1 0 1
0 1 0
1 0 1
) (e) (
1 1 0
0 1 1
0 1 0
) 
 
(b) (
0 0 1
0 1 0
1 0 1
) (d) (
1 0 1
0 2 0
1 0 1
) R: (d) 
 
4 . MATRIZES ESPECIAIS 
4.1 Matriz quadrada 
 
 
É toda matriz cujo número de linhas é igual ao 
número de colunas. 
 
 
Exemplo: A matriz A = [
2 3
5 1
] é de ordem dois por 
dois ou simplesmente ordem 2, simbolicamente 
A2×2 = [
2 3
5 1
] ou simplesmente, A2 = [
2 3
5 1
]. 
 
Observação: Numa matriz quadrada A de ordem 
n, os elementos aij tais que i = j formam a diago-
nal principal da matriz, e os elementos aij tais 
que i + j = n + 1 formam a diagonal secundária. 
 
 
 
4.2 Matriz identidade 
 É uma matriz quadrada em que todos os 
elemento da diagonal principal são iguais a 1 e os 
demais elementos são iguais a zero, seu símbolo 
é In. 
Exemplos: I2 = (
1 0
0 1
), I3 = (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
). 
 
4.3 Matriz nula 
 É qualquer matriz que possui todos os ele-
mentos iguais à zero. Simboliza-se a matriz nula 
de ordem m  n por om×n e a de ordem n por on. 
 
Exemplos: O3×2 = (
0 0
0 0
0 0
), O2 = [
0 0
0 0
], 
O3 = (
0 0 0
0 0 0
0 0 0
), O1×4 = [0 0 0 0] 
 
4.4 Matriz transposta 
 Seja A uma matriz de ordem m  n denomi-
na-se transposta de A a matriz de ordem n  m 
obtida, isto é, trocando-se ordenadamente as li-
nhas pelas colunas. 
 Indica-se transposta de A por At. 
 
Exemplo: Seja a matriz A = (
1 2
3 5
7 0
)
3×2
 a sua 
transposta é At = (
1 3 7
2 5 0
)
2×3
. 
 
 
 
 
 
 
 
4 
5 . IGUALDADE DE MATRIZES 
 
 
Duas matrizes A e B são iguais se, e somente 
se, tem a mesma ordem e seus elementos cor-
respondentes (que estão na mesma linha e na 
mesma coluna) são iguais. 
 
 
EXERCÍCIOS BÁSICOS 
12) Calcule os termos desconhecidos: 
a) (
a b
c d
) = (
6 3
5 8
) R: a = 6; b = 3; c = 5 e d = 8 
 
b) (
x 3
5 2y
) = (
6 3
5 8
) R: x = 6 e y = 4 
 
c) [
m n
p q] = I2 R: m = 1; n = 0; p = 0 e q = 1 
 
d) (
m 0
0 n + 1
) = (
3 0
0 5
) R: m = 3 e n = 4 
 
e) (
y 0
0 x + y
) = I2 R: x = 0 e y = 1 
 
f) (
x + y b
y a – b
) = (
5 3
1 8
) R: x = 4; y = 1; a = 11 e b = 3 
 
g) [
a + b 3c
2b c + d
] = [
5 9
6 17
] R: a = 2; b = 3; c = 3 e d = 14 
 
h) [
z x2– 5x + 6
0 y – 1
] = I2 R: x = 2 ou x = 3, y = 2 e z = 1 
 
5 . ADIÇÃO DE MATRIZES 
 
 
Sejam as matrizes A e B de mesma ordem, de-
nomina-se adição de A com B, representada por 
A + B, a matriz C, de mesma ordem de A e B, na 
qual cada elemento é obtido pela adição dos 
elementos correspondentes de A e B. 
 
 
EXERCÍCIOS BÁSICOS 
13) Dadas as matrizes A = (
2 4
0 1
), B = (
4 1
7 0
) e 
C = (
3 0
5 – 2
), calcule: 
 
a) A + B = R: (6 5
7 1
) c) B + C = R: ( 7 1
12 −2
) 
 b) A + C = R: (5 4
5 −1
) d) A + B + C = R: ( 9 5
12 −1
) 
 
14) Determine x, y, z e t, sabendo que: 
 
a) (
x
y
z
) + (
3
1
5
) = (
10
4
5
) R: x = 7; y = 10 e z = 0 
 
b) (
x
y
z
) + (
y
z
4
) = (
20
15
9
) R: x = 10; y = 10 e z = 5 
 
c) [
x y
3 2z
] + [
x 3
t z
] = [
10 1
4 18
] R:x = 5; y = ‒ 2; t = 1 e z = 6 
 
d) (
x y
3x t
) + (
y z
– y 2
) = (
6 7
14 0
) R: x = 5; y = 1; t =– 2 e z = 6 
 
6 . SUBTRAÇÃO DE MATRIZES 
 
 
Sejam as matrizes A e B de mesma ordem, de-
nomina-se subtração de A com B, representada 
por A – B, a matriz C, de mesma ordem de A e 
B, na qual cada elemento é obtido pela subtra-
ção dos elementos correspondentes de A e B, 
nessa ordem. 
 
 
EXERCÍCIOS BÁSICOS 
15) Calcule: 
 
a) [
8
7
2
] – [
3
6
3
] = R: [
 5
 1
−1
] 
 
b) (
2 3
1 4
) – (
0 2
1 5
) = R: (2 1
0 −1
) 
 
c) (
1 2 4
6 3 10
) – (
0 1 2
6 5 1
) = R: (1 1 2
0 −2 9
) 
 
16) Sejam A = (
2
6
3
), B = (
1
6
2
) e C = (
 0
 4
−2
), calcule: 
 
a) A + B – C = b) A – B + C = c) A – B ‒ C = 
 
17) Determine x, y e z sabendo que: 
 
a) (
x
y
z
) – (
3
5
8
) = (
10
– 4
– 6
) R: x = 13; y = 1 e z = 2 
 
b) (
x
y
z
) – (
y
z
0
) = (
15
2
8
) R: x = 25; y = 10 e z = 8 
 
c) [
x 6
1 2z
] – [
– x 4
– 3 z
] = [
12 y
4 1
] R: x = 6; y = 2 e z = 1 
 
d) (
 x2 1
y z2
) – (
 2 – 3
– 5 – 1
) = (–1 4
 8 10
) 
R: x = – 1 ou x = 1; y = 3; z = – 3 ou z = 3 
 
EXERCÍCIO DE VESTIBULAR 
18)(UFES, modificada) Os valores de x e y que 
satisfazem a equação matricial 
 
(x –2
4 2x
) + (
2y 7
– 3 1
) = (
4 5
1 5
) 
são: 
 
(a) x = 1 e y = 1 (d) x = 2 e y = –1 
 
(b) x = –1 e y = –1 (e) não dá para somar 
essas matrizes (c) x = 2 e y = 1 
R: (c) 
8 . MULTIPLICAÇÃO DE N° REAL POR 
MATRIZ 
 
 
Se A é uma matriz de elementos aij, e ∝ é um 
número real, então ∝A é uma matriz cujos ele-
mentos são ∝aij. 
 
 
EXERCÍCIOS BÁSICOS 
19) Sendo A = (
2 0 1
4 1 3
) e B = (0 – 1 2
5 0 6
), de-
termine: 
a) 5A = R: (10 0 5
20 5 15
) 
 
b) – 2B = R: ( 0 2 – 4
– 10 0 – 12
) 
 
c) 
1
2
A = R: (1 0 1/2
2 1/2 3/2
) 
 
d) 2A + B = R: ( 4 1 4
13 2 12
) 
 
e) 5A – O2×3= R: (10 0 520 5 15) 
 
5 
20) Se A = (
1 3
2 0
), B = (
– 1 3
 1 – 2
) e C = (
1 2
4 3
), 
calcule 3A + 2B – 4C. R: ( 3 7
– 8 – 16
) 
 
9 . MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES 
 
 
Dada uma matriz A = (aij) do tipo m  n e uma 
matriz B = (bij) do tipo n  p, o produto da ma-
triz A pela matriz B é a matriz C = (cij) do tipo 
m  p tal que o elemento cij é calculado multipli-
cando-se ordenadamente os elementos da linha 
i, da matriz A, pelos elementos da coluna j, da 
matriz B, e somando-se os produtos obtidos. 
Para dizer que a matriz C é o produto de A por 
B, vamos indicá-la por AB. 
 
 
Observe que só definimos o produto AB de 
duas matrizes quando o número de colunas de A 
for igual ao número de linhas de B; além disso, 
notamos que o produto AB possui o número de 
linhas de A e o número de colunas de B. 
 
EXERCÍCIOS BÁSICOS 
21) Determine os produtos: 
 
a) (
6 5
1 0
) (
2 4
1 3
) = R: (17 39
2 4
) 
 
b) (
5 4
2 1
) (
7 4
0 2
) = R: (35 28
14 10
) 
 
c) (
4 3
2 0
) ∙ I2 = R: (4 32 0) 
 
d) [
5 1
3 2
] [
0 5 1 6
2 – 1 4 – 3
] = R: [2 24
4 13
 
9 27
11 12
 ] 
 
e) [
1 3 6
2 5 1
4 0 2
] [
5 0
2 4
3 2
] = R: [
29 24
23 22
26 4
] 
 
f) (–
1 6
2 1
4 3
) (
 3 5
–1 2
) = R: (
– 3 17
– 7 – 8
9 26
) 
 
22) O quadro abaixo registra os resultados obti-
dos por quatro times em um torneio em que todos 
se enfrentam uma vez: 
 
 Vitórias Empates Derrotas
América 0 1 2 
Botafogo 2 1 0 
Nacional 0 2 1 
Comercial 1 2 0 
 
a) Represente a matriz A = (aij) correspondente. 
 
b) Qual é a ordem da matriz A? R: 4 × 3 
 
c) O que representa o elemento 𝐚𝟐𝟑 da matriz A? 
R: quantidade de derrotas do Botafogo 
 
d) Qual o elemento da matriz A que indica a vitó-
ria do Comercial? R: a41 
 
e) Considerando que um time ganha três pontos 
na vitória e um ponto no empate, calcule, fazendo 
uma multiplicação de matrizes, quantos pontos fez 
cada time. R: (
1
7
2
5
); América, 1pt; Bota Fogo, 7 pts; Nacional, 2 pts; e Comercial, 5 pts 
f) Qual foi a classificação final do torneio? R: Bota Fogo, 
campeão; Comercial, vice-campeão; Nacional, 3º lugar; e América, 4º lugar 
23) Para a fabricação de caminhões, uma in-
dústria montadora precisa de eixos e rodas para 
seus três modelos de caminhões, com a seguinte 
especificação: 
 
Componentes/modelos A B C 
Eixos 2 3 4 
Rodas 4 6 8 
 
Para os primeiros meses do ano, a produ-
ção da fábrica deverá seguir a tabela abaixo: 
 
Modelo/Meses Janeiro Fevereiro 
A 30 20 
B 25 18 
C 20 15 
 
Usando a multiplicação de matrizes, responda: 
nessas condições, quantos eixos e quantas rodas 
são necessários em cada um dos meses para que 
a montadora atinja a produção planejada? R: 215 eixos e 
430 rodas no mês de Janeiro; 154 eixos e 308 rodas no mês de Fevereiro 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
24) Obtenha x, x ∈ ℝ, de modo que a matriz: 
 
A = (
x2 – 5x + 6 0
0 x2 – 6x + 8
) 
 
Seja igual à matriz nula de ordem 2. R: S = {2, 3, 4} 
 
25)(Gilberto-2018) Observe as sentenças abai-
xo: 
 
I) [1 2] ∙ [3 4] 
 
II) [
1
2
] ∙ [3 4] 
 
III) [
1
2
] ∙ [
3
4
] 
 
IV) [
1 1
2 2
] ∙ [
3 3
4 4
] 
 
V) [
1 1 1
2 2 2
3 3 3
] ∙ [
3 3 3
4 4 4
5 5 5
] 
 
VI) [1 2 3 4] ∙ [
1
2
3
4
] 
 
As possíveis multiplicações de matrizes e que os 
produtos são matrizes quadradas está em: 
 
(a) somente em IV (d) II, IV, V e VI 
 (b) somente em V (e) Nenhuma é possível 
 (c) IV e V R: (d) 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
26)(Enem-2012) Um aluno registrou as notas 
bimestrais de algumas de suas disciplinas numa 
tabela. Ele observou que as entradas numéricas da 
tabela formavam uma matriz 4  4, e que poderia 
calcular as médias anuais dessas disciplinas usan-
do produto de matrizes. Todas as provas possuíam 
o mesmo peso, e a tabela que ele conseguiu é 
mostrada a seguir. 
 
6 
 
Para obter essas médias, ele multiplicou a 
matriz obtida a partir da tabela por: 
(a) [
1
2
1
2
1
2
1
2
] (c) [
1
1
1
1
] (e) 
[
 
 
 
 
 
1
4
1
4
1
4
1
4]
 
 
 
 
 
 
 
(b) [
1
4
1
4
1
4
1
4
] (d) 
[
 
 
 
 
 
1
2
1
2
1
2
1
2]
 
 
 
 
 
 
R: (e) 
 
27)(Unificado-RJ) Cláudio anotou suas médias 
bimestrais de matemática, português, ciências e 
estudos sociais em uma tabela com quatro linhas 
e quatro colunas, formando uma matriz, como 
mostra a figura: 
 1º b 2º b 3º b 4º b 
Matemática 5,0 4,5 6,2 5,9 
Português 8,4 6,5 7,1 6,6 
ciências 9,0 7,8 6,8 8,6 
est. sociais 7,7 5,9 5,6 6,2 
 
Sabe-se que as notas de todos os bimes-
tres têm o mesmo peso, isto é, para calcular a 
média anual do aluno em cada matéria basta fazer 
a média aritmética de suas médias bimestrais. 
Para gerar uma nova matriz cujos elementos re-
presentem as médias anuais de Cláudio, na mes-
ma ordem acima apresentada, bastará multiplicar 
essa matriz por: 
(a) [
1
2
1
2
1
2
1
2
] (c) [
1
1
1
1
] (e) 
[
 
 
 
 
 
1
4
1
4
1
4
1
4]
 
 
 
 
 
 
 
(b) [
1
4
1
4
1
4
1
4
] (d) 
[
 
 
 
 
 
1
2
1
2
1
2
1
2]
 
 
 
 
 
 
R: (e) 
 
28)(UFRS) A matriz C fornece, em reais, o custo 
das porções de arroz, carne e salada usados num 
restaurante. A matriz P fornece o número de por-
ções de arroz, carne e salada usados na composi-
ção dos pratos tipo P1, P2, P3 desse restaurante. 
 
 arroz carne salada 
C = (
1
3
2
)
arroz
carne
salada
 P = (
2 1 1
1 2 1
2 2 0
)
prato P1
prato P2
prato P3
 
 
A matriz que fornece o custo de produção, 
em reais, dos pratos P1, P2 e P3 é: 
 
(a) (
7
9
8
) (b) (
4
4
4
) (c) (
9
11
4
) (d) (
2
6
8
) (e) (
2
2
4
) 
 R: (a) 
 
29)(Unama-2006/2) Nas matrizes 













00,000.6$RZ
00,800.5$RY
00,600.5$RX
UnitárioeçoPrModelo
A e 











402015Trimestreº2
503025Trimestreº1
ZYXModelo\Trimestre
B estão repre-
sentados os preços unitário das motonetas em 
função do modelo e a quantidade vendida no 1º e 
2º trimestres de 2006 por uma revendedora de 
motonetas, respectivamente. Com base nesses 
dados, podemos afirmar que a receita obtida por 
essa revendedora no 1º trimestre de 2006 foi de: 
 
(a) R$ 720 000,00 (c) R$ 560 000,00 
 (b) R$ 614 000,00 (d) R$ 440 000,00 
R: (b) 
30)(UEPA-2012) O cálcio é essencial para a 
transmissão nervosa, coagulação do sangue e con-
tração muscular; atua também na respiração celu-
lar, além de garantir uma boa formação e manu-
tenção de ossos e dentes. A tabela 1 abaixo mos-
tra que a ingestão diária recomendada de cálcio 
por pessoa varia com a idade. 
 
TABELA 1 
IDADE CÁLCIO (mg/dia) 
4 a 8 anos 800 
9 a 13 anos 1 300 
14 a 18 anos 1 300 
19 a 50 anos 1 000 
(Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Cálcio) 
 
Foi por essa importância que o cálcio tem 
para o corpo humano que a diretora de uma 
escola resolveu calcular a quantidade de cálcio que 
teria de usar nas refeições diárias dos seus alunos 
para suprir a essa necessidade. A tabela 2 abaixo 
mostra a quantidade de alunos por idade existente 
nessa escola. 
 
TABELA 2 
IDADE ALUNOS 
4 a 8 anos 60 
9 a 13 anos 100 
14 a 18 anos 80 
7 
19 a 50 anos 40 
 
A quantidade diária de cálcio, em mg, que 
teria que usar nas refeições desses alunos é: 
 
(a) 286 000 (c) 300 000 (e) 322 000 
 
(b) 294 000 (d) 310 000 R: (e) 
 
31)(UEPA-2008) Uma campanha foi deflagrada 
para angariar alimentos não perecíveis com o ob-
jetivo de amenizar problemas gerados em uma 
região assolada pelas secas. Os alimentos doados 
foram: arroz; feijão e açúcar, todos em sacos de 1 
kg, totalizando 1 436 kg desses alimentos. Sabe-se 
que a terça parte do número de sacos de feijão, 
somados aos 
2
11
 do número de sacos de açúcar, dá 
um total de 292 kg e que há 144 kg de açúcar a 
mais que de feijão. Se X é a quantidade de sacos 
de arroz; Y a quantidade de sacos de feijão e Z a 
quantidade de sacos de açúcar, a representação 
matricial do sistema formado, tomando por base 
esses dados, é: 
 
(a) [
1 1 1
0 11 6
0 −1 1
] ∙ [
X
Y
Z
] = [
1436
9636
144
] 
 
(b) [
1 1 1
0 11 6
0 −1 1
] ∙ [
X
Y
Z
] = [
1436
1606
144
] 
 
(c) [
1 1 1
0 11 6
0 −1 1
] ∙ [
X
Y
Z
] = [
9636
1436
144
] 
 
(d) [
1 −1 1
0 11 6
0 −1 1
] ∙ [
X
Y
Z
] = [
9636
1436
144
] 
 
(e) [
1 1 1
0 11 6
0 1 −1
] ∙ [
X
Y
Z
] = [
9636
1436
144
] R: (a) 
 
32)(UEPA-2006) Para a confecção de um cartaz, 
uma gráfica dispõe das cores: preto, amarelo, 
vermelho e azul, cujas doses têm preços unitários, 
em reais, representado pela matriz A abaixo. 
Atendendo à solicitação do cliente, a gráfica apre-
sentou um orçamento com as possíveis combina-
ções de cores, cujas quantidades de doses utiliza-
das em cada cartaz estão representadas pela ma-
triz B abaixo. Nessas condições, o cartaz de menor 
custo terá preço de: 
Dados: 
 
A = [
1
2
3
4
]
→ preto 
 → amarelo 
 → vermelho
→ azul 
 
 
B = [
2 1 1 1
1 1 2 1
2 2 0 1
1 0 1 2
]
→ cartaz 1 
 → cartaz 2 
 → cartaz 3 
 → cartaz 4 
 
 
(a) R$ 13,00 (c) R$ 11,00 (e) R$ 9,00 
 
(b) R$ 12,00 (d) R$ 10,00 R: (d) 
 
33)(UFPA-2009) Pedro, João e Antônio comerci-
alizam três tipos de fruta com períodos de safra 
parecidos: manga, abacate e cupuaçu. No período 
da safra os três vendem o quilo de cada uma des-
sas frutas por R$ 1,00, R$ 2,00 e R$ 3,00 e, na en-
tressafra, por R$ 2,00, R$ 3,00 e R$ 6,00. Sobre a 
comercialização dessas frutas,
considere que 
 
A = [
1 2 3
2 4 6
], matriz que representa o preço das 
frutas na safra e na entressafra; 
 
B = [
20 25 15
15 20 10
10 15 5
], matriz que representa uma 
quantidade (kg) comercializada dessas frutas; 
 
C = [
t u v
y w z], matriz que representa o produto A ∙ 
B, em que a 1ª, 2ª e 3ª colunas representam o 
valor arrecadado, respectivamente, por Pedro, 
João e Antônio, com a venda dessa quantidade de 
frutas. 
Sobre o valor arrecadado na venda, é cor-
reto afirmar que 
 
(a) Na safra, com a venda de 20 kg de manga, 25 
kg der abacate e 5 kg de cupuaçu, Pedro arrecadou 
t = R$ 85,00. 
(b) Na entressafra, com a venda de 10 kg de 
manga, 15 kg de abacate e 5 kg de cupuaçu, Antô-
nio arrecadou z = R$ 110,00. 
(c) Na safra, com a venda de 25 kg de manga, 20 
kg de abacate e 15 kg de cupuaçu, João u = R$ 
110,00. 
(d) Na entressafra, com a venda de 20 kg de 
manga, 25 kg de abacate e 5 kg de cupuaçu, João 
arrecadou w = R$ 170,00. 
(e) Na entressafra, com a venda de 15 kg de 
manga, 20 kg de abacate e 10 kg de cupuaçu, Pe-
dro arrecadando y = R$ 170,00. 
R: (c) 
EXERCÍCIOS NÃO CONTEXTUALIZADOS 
DE VESTIBULARES 
34)(PUC-SP) São dadas as matrizes A = (aij) e 
B = (bij), quadradas de ordem 2, com aij = 3i + 4j 
e bij = ‒ 4i ‒ 3j. Se C = A + B, então C
2 é igual a: 
 
(a) (
1 0
0 1
) (c) (
1 0
0 1
) (e) (
–1 0
 0 – 1
) 
 
(b) (
0 1
1 0
) (d) (
 0 – 1
– 1 0
) R: (e) 
 
35)(PUCC-SP) Seja a matriz A = (aij)2×2
, onde 
aij = {
i + j se i = j
i – j se i ≠ j
. Se At é a matriz transposta de 
A, então a matriz B = A2 – At é igual a: 
 
(a) [4 –10
7 14
] (c) [3 – 7
7 11
] (e) [2 – 8
2 16
] 
 
(b) [
 3 – 3
– 1 17
] (d) [
 2 0
–1 12
] R: (c) 
 
36)(FGV-SP) Sendo A = [
0 2
1
2
0], obtenha a matriz 
A2 + A3. 
 
8 
37)(Unifor-CE) Os números reais x e y que sa-
tisfazem o sistema matricial [
1 2
2 –1
] [
x
y] = [
 4
– 2
] são 
tais que seu produto é igual a: 
 
(a) – 2 (b) – 1 (c) 0 (d) 1 (e) 2 
R: (c) 
 
EXERCÍCIOS ANALÍTICO-DISCURSIVOS DE 
VESTIBULARES 
38)(UFPA-2001) Numa farmácia de manipula-
ção, para fazer dois tipos de medicamentos (I e 
II), o farmacêutico precisa das substâncias A, B e 
C, expressas na tabela abaixo, em gramas: 
 
 A B C 
I 10 30 60 
II 20 50 30 
 
As substâncias podem ser compradas em dois for-
necedores: F1 e F2. O custo por grama das subs-
tâncias em cada fornecedor está expresso em re-
ais na tabela a seguir: 
 
 F1 F2 
A 4 2 
B 5 4 
C 3 5 
 
Após construir a matriz cujos elementos in-
dicam o preço de custo dos medicamentos pelo 
fornecedor, calcule os valores das despesas se a 
compra for toda feita no mesmo fornecedor. Con-
siderando que o pagamento é feito à vista, deter-
mine como o farmacêutico pode combinar a com-
pra das três substâncias de modo a gastar o mí-
nimo possível. 
 
EXERCÍCIOS EXTRAS 
39) Dois alunos A e B, apresentaram a seguinte 
pontuação em uma prova de português e em outra 
de matemática: 
 
 Português Matemática 
aluno A 4 6 
aluno B 9 3 
 
a) Se o peso da prova de português é 3 e o da 
prova de matemática é x, obtenha, através de 
produto de matrizes, a matriz que fornece a pon-
tuação total dos alunos A e B. 
 
b) Qual deve ser o valor de x a fim de que A e B 
apresentam mesma pontuação final? 
 
40) Um fast-food de sanduíches naturais vende 
dois tipos de sanduíche, A e B, utilizando os ingre-
dientes (queijo, atum, salada, rosbife) nas seguin-
tes quantidades (em gramas) por sanduíches: 
 
 
 
 
 
 Sanduíche A Sanduíche B 
queijo 18 g 10 g 
salada 26 g 33 g 
rosbife 23 g 12 g 
atum - 16 g 
 
Durante um almoço foram vendidos 6 san-
duíches do tipo A e 10 sanduíches do tipo B. Qual 
foi a quantidade necessária de cada ingrediente 
para a preparação desses 16 sanduíches? Repre-
sente-a na forma de produto de matrizes. 
 
10 . MATRIZ INVERSA 
 
 
Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se X 
é uma matriz tal que AX = In e XA = In, então X 
é denominada matriz inversa de A e é indicada 
por A−1. 
 
 
Quando existe a matriz inversa de A, dize-
mos que A é uma matriz inversível ou não-
singular. 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
41) Determine, se existir, a inversa de cada uma 
das seguintes matrizes: 
 
a) A = (
1 3
0 2
) R: (1 – 3/2
0 1/2
) c) A = (
2 3
4 5
) R: (– 5/2 3/2
2 – 1
) 
 
b) A = (
5 8
2 5
) R:( 1 – 2
– 1/2 5/4
) d) A = (
1 2
1 3
) R: ( 3 – 2
– 1 1
) 
(Veja a resolução ) 
 
11 . DETERMINANTES 
Toda matriz quadrada tem, associado a ela, 
um número chamado de determinante da ma-
triz, obtido a partir de operações que envolvem 
todos os elementos da matriz. 
Os determinantes são usados, por exemplo, 
para resolver sistemas lineares como o seguinte, 
chamado de sistema linear 3  3 (de três equa-
ções, com três incógnitas): 
 
{
x + 2y + z = 4
3x – 5y + z = 1
4x + y – 2z = 0
 
 
Muito utilizado também em geometria ana-
lítica, por exemplo, para cálculo de área de triân-
gulo, encontrar equação da reta e verificar se três 
pontos são colineares. 
 
11.1 Determinante de matriz de ordem 1 
 Sejam as matrizes A = [4] e B = [– 2], o de-
terminante da matriz A é igual a 4, simbolicamen-
te det A = 4 e o det B = – 2. 
 
11.2 Determinante de matriz de ordem 2 
 
 
Se A é uma matriz quadrada de ordem 2, calcu-
lamos o seu determinante fazendo o produto 
dos elementos da diagonal principal menos o 
produto dos elementos da diagonal secundária. 
 
 
Dada a matriz A = [
a11 a12
a21 a22
], indicamos 
seu determinante assim: 
 
det A = a11 ∙ a22 – a12 ∙ a21 
 
ou 
 
|
a11 a12
a21 a22
| = a11 ∙ a22 – a12 ∙ a21 
 
EXERCÍCIOS BÁSICOS 
42) Calcule os determinantes: 
a) |
6 2
4 3
| = R: 10 d) |– 3 –8
 1 2
| = R: 2 
 
http://professorgilbertosantos-leituras.blogspot.com.br/2014/07/resolucao-da-17-iten-b-da-apostila-de.html
9 
b) |
6 10
3 5
| = R: 0 e) |
1 + √5 3
4 1 – √5
| = R: -16 
 
c) |– 5 – 2
 3 2
| = R: -4 f) |
a a + 1
b b + 1
| = R: a – b 
 
43) Calcule det A, sendo: 
a) A = (aij) uma matriz quadrada de 2
a ordem, 
com aij = i
2 + ij; R: – 2 
b) A a matriz dos coeficientes das incógnitas do 
sistema {
7x – 3y = 10
2x + 5y = 6 
, na posição em que apare-
cem. R: 41 
 
44) Se a = |
 1 3
–2 5
|, b = |
2 6
3 10
| e c = |
2 8
0 – 1
|, 
calcule o valor de a2 + 3b – 2c. R: 131 
 
45) Resolva as equações: 
 
a) |x – 2 6
3 5
| = 2 b) |
x + 3 5
1 x – 1
| = 0 
R: S = {6} R: S = {– 4, 2} 
 
46)(UFSC) Determine o valor de x para que o 
determinante da matriz 𝐂 = 𝐀𝐁𝐭 seja igual a 602, 
em que A = [1 2 –3
4 1 2
], B = [
x – 1 8 –5
– 2 7 4
] e 𝐁𝐭 é a 
matriz transposta de B. R: S = {56} 
 
11.3 Determinante de matriz de ordem 3 
 Pode-se obter o determinante de matriz 
quadrada de 3a ordem utilizando uma regra prática 
denominada regra de Sarrus: 
 
Seja a matriz A = |
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
| 
 
Repete-se a 1a e a 2a coluna à direita da 
matriz, conforme o esquema abaixo: 
 
|
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
|
a11 a12
a21 a22
a31 a32
 
 
Em seguida faz-se o produto dos elementos 
da diagonal principal a11a12a13 e as suas duas pa-
ralelas a12a23a31 e a13a21a32. Depois faz-se o pro-
duto dos elementos da diagonal secundária 
a31a22a13 e as sua duas paralelas a32a23a11 e 
a33a21a12. No final soma-se os produtos assim ob-
tidos, invertendo o sinal dos produtos da diagonal 
secundária e as sua paralelas. 
 
Exemplo: Seja a matriz A abaixo, 
A = [
 3 1 5
 2 0 – 2
– 1 4 – 3
], calcular o determinante da ma-
triz. 
 
Resolução: 
 
 
det A = 0 + 2 + 40 + 0 + 24 + 6 = 
 
det A = 72 
 
EXERCÍCIOS BÁSICOS 
47) Aplicando a regra de Sarrus, calcule os de-
terminantes: 
 
a) |
3 2 1
5 0 4
2 3 1
| = R: – 15 f) |
2 1 −2
3 −1 0
4 1 −3
| = R: 1 
 
b) |
1 2 0
1 4 4
1 8 0
| = R: – 24 g) |
a 0 0
0 b a
0 1 1
| = R: ab – a2 ou a(b – a) 
 
c) |
2 2 0
1 1 1
4 3 0
| = R: 2 h) |
1 0 a
0 1 a
a a 1
| = R: 1 – 2a2 
 
d) |
3 0 8
0 7 7
4 9 0
| = R: -413 i) |
0 0 5
8 10 3
0 7 4
| = R: 280 
 
e) |
3 5 −1
0
4 2
0 0 −2
| = R: – 24 
 
48) Seja A = (aij) a matriz quadrada de ordem 3 
em que aij = {
0, se i < 1
1 + j, se i = j
1 – j, se i > j
. Calcule det A. R: 48 
 
49) Sabendo que x = |
1 3
2 2
| e y = |
1 3 1
2 2 1
3 1 3
|, 
determine x2 – 2y. 
 
50) Resolva a equação |
2 3 –2
0 1 x
2 x –3
| = 2. R: S = {1, 2} 
(Veja a resolução dessa questão ) 
 
51) Para que valores de x o determinante 
|
2 4 1
2 4 x
3 1 2
| é positivo? R: S = {x ∈ ℝ/x > 1} (Veja a resolução dessa ques-
tão ) 
 
52) Lembrando que sen2 x + cos2 x = 1, calcule o 
determinante associado à matriz quadrada 
A = (
sen x cos2 x 1
sen x cos x 0
sen x 1 1
). 
 
53) Se a = |
2 1 –2
3 –1 0
4 1 –3
| e b = |
– 1 0 2
2 –1 0
3 4 1
|, calcu-
le a2 ‒ ab + 3b. R: 47 
 
54) Seja a matriz quadrada A = |
x + 1 3 x
3 x 1
x 2 x – 1
|. 
Calcule x de modo que det A = 0. R: S = {7/3} (Veja a resolução 
dessa questão ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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10 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
55)(PUC-MG) Considere as matrizes 
A = [
 2 – 1
 0 1
– 2 2
] e B = [
0 1 2
1 2 1
]. O valor de det (AB) 
é: 
 
(a) – 6 (b) – 4 (c) 0 (d) 4 (e) 6 
R: (c) 
56)(UEPA-2001) A matriz A = (aij)3×3
 é tal que 
aij = {
i+j
2
, i ≠ j
i−j
2
, i = j
. O determinante dessa matriz vale: 
R: 15 
57)(FGV-SP) Se |
a b
c d
| = 0, então o valor do 
determinante|
a b 0
0 d 1
c 0 2
| é: R: (d) 
 
(a) 0 (b) bc (c) 2bc (d) 3bc (e) b2c2 
 
58)(UFOP-MG) O determinante da matriz 
 
[
 
 
 
 cos 2π sen
π
2
senπ
log 1 log2 2 tg
π
4
sen
3π
2
cos π log3 27]
 
 
 
 
 é igual a: 
 
(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 (e) nda 
 
59)(UFRS) Na equação seguinte: 
 
|
0 cos x sen x
0 sen x cos x
cos2 x + sen2 x 0 0
| = 1 
 
um possível valor para x é: 
 
(a) 0 (b) 
π
6
 (c) 
π
4
 (d) 
π
3
 (e) 
π
2
 
 
60)(FEI-SP) O valor do determinante 
 
|
1 0 1
cos x sen x 0
0 cos x sen x
| é: 
 
(a) 0 (c) 2 ∙ sen x ∙ cos x (e) – 1 
 
(b) 1 (d) – 2 ∙ sen x ∙ cos x 
 
61)(CESUPA-2012) Se A e B são matrizes qua-
dradas de segunda ordem e det A = 4 e det B = 2, o 
valor do det (A⋅5B) é: 
 
(a) 200 (b) 120 (c) 80 (d) 40 
 
62)(CESUPA-2011) Sendo A = [
a a a
a b b
a b c
] e det A 
= 5, o valor da expressão det (2A) – det (At) – det (– 
A) é igual a 
 
(a) 40 (b) 30 (c) 20 (d) 10 
 
63)(CESUPA-2010) Considere as matrizes 
 
A = [
x – 1 – 2
8 7
–5 4
], B = [
1 4
2 1
– 3 2
], C = 𝐀𝐭 ∙ B. 
 
Para que o determinante da matriz C seja nulo, x 
deve ter um valor igual a 
 
(a) 50 (b) 30 (c) – 30 (d) – 50 
R: (c) 
64)(CESUPA-2008) Considere as matrizes: 
 
A = [
a d g
b e h
c f i
], B = [
a b c
d e f
g h i
] e C = [
3a 3d 3g
3b 3e 3h
3c 3f 3i
] 
 
Se det A = K (K ≠ 0), então det A + det B + det C é 
igual a 
 
(a) 3K (b) 5K (c) 27K (d) 29K 
 
65)(CESUPA-2007) Considerando A e B matri-
zes quadradas de ordem n, podemos dizer que: 
 
(a) det (A + B) = det A + det B 
(b) det A = – det At 
(c) (det A) ∙ (det A – 1) = 1 
(d) det (3A) = 3 ∙ det A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma esfera ou um pneu são objetos simétricos. Objetos desse tipo são classificados como 
grupos de Lie. Uma das mais complicadas estruturas desse tipo já estudadas é o Excepcional 
Grupo de Lie E8. Ele é um objeto de 57 dimensões e para descrevê-lo é necessária uma matriz 
de 453.060 linhas e colunas. 
 
 
 
Nunca deixe que lhe digam: 
Que não vale a pena 
Acreditar no sonho que se tem 
Ou que seus planos 
Nunca vão dar certo 
Ou que você nunca 
Vai ser alguém... 
 Renato Russo 
 
Apostila atualizada em 11/5/2019 
 
 
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Referências 
 
DANTE, L.R. Matemática: Contexto & Aplicações. 1. Ed. São 
Paulo: Ática, 2000, v.3. 
 
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