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Cálculo Diferencial 
e Integral I 
 
 
 
 
Para cursos tecnológicos 
 
 
 
 
 
 
Agradecemos ao Murilo Amaru Gomes 
pela dedicação e carinho na elaboração 
desse trabalho 
 
 
 
 
 
 
 
Professores: Alexandre Mello 
Antonio Alvares da Costa 
Rodrigo Aécio Felix 
 
Sumário 
 
Tópico 1 Conjuntos numéricos e funções 3 
 Exercícios 8 
 Módulo de um número real 12 
 Equações modulares 12 
 Exercícios 13 
 Inequações modulares 17 
 Exercícios 18 
 Função Linear 19 
 Exercícios 21 
 Funções Quadráticas 21 
 Exercícios 24 
 Função Exponencial 25 
 Função Logarítmica 26 
 Domínio de Funções Reais 27 
 Exercícios 30 
 Funções Inversas 31 
 Composição de funções 32 
 Exercícios 33 
 
Tópico 2 Limites 36 
 Exercícios 38 
 Operações com limites 39 
 Exercícios 42 
 
Tópico 3 Derivadas e aplicações 44 
 Exercícios 46 
 Formulário de derivadas 46 
 Exercícios 48 
 Derivada de função composta 50 
 Exercícios 51 
 Derivadas de funções implícitas 53 
 Derivadas de funções inversas 55 
 Derivadas de funções paramétricas 55 
 Derivadas sucessivas 56 
 Exercícios 57 
 Aplicações de derivadas 63 
 Equações de tangente e normal 63 
 Aplicações físicas 64 
 Regra de L’Hospital 65 
 Variações de funções 66 
 Exercícios 71 
 
 
Tópico 4 Diferenciais e aplicações 78 
 Cálculo dos erros 79 
 Cálculos aproximados 80 
 Diferencial de arco 81 
 Curvatura de arco 82 
 Diferenciais de diferentes ordens 84 
 Exercícios 85 
 4 Conjuntos Numéricos e Funções 
Conjuntos Numéricos e Funções. 
Vamos iniciar este tópico discutindo sobre os conjuntos dos números: Naturais, Inteiros, 
Racionais, Irracionais, Reais e Complexos. 
 
 
1) Conjunto dos Naturais: 
Conjunto dos números inteiros positivos, incluindo o zero. 
 = {0, 1, 2, 3, ...} 
 * = {1, 2, 3, ...} 
 
 
2) Conjunto dos Inteiros: 
Conjunto dos números inteiros positivos e negativos, incluindo o zero. 
 = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} 
 
NOTA: Os conjuntos e possuem uma propriedade em comum: Os dois 
são bem ordenados. Isso significa que entre dois números consecutivos 
não existe nenhum outro. À saber: o sucessor de 2 é o 3. O sucessor do 3 é 
o 4 e assim por diante. Entre o 2 e o 3 não existem números Inteiros ou 
naturais. 
 
 
3) Conjuntos dos Racionais: 
Agrupa todos os números que possam ser escritos na forma de uma razão. 
Podem ser escritos na forma decimal, percentual ou fracionária. Também 
fazem parte deste conjunto as chamadas dízimas periódicas e periódicas 
compostas. 
 = { 
b
a
    } 
São racionais os números inteiros, fracionários, as decimais exatas e periódicas. 
 Inteiros. 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 Decimais Exatas. 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 Decimais Periódicas. 
 Periódicas Simples: formada pela reprodução infinita de um período de 
repetição. 
Exemplo: , que pode ser representada por ̅̅̅̅ (um traço sobre 
o período de repetição 35) 
 Periódicas Compostas: formadas por uma parte decimal inicial que não se 
repete (chamada não periódica) e pela reprodução infinita de um período de 
repetição (chamada parte periódica). 
Exemplo: , que pode ser representada por ̅̅̅̅ (onde 
146 é a parte não periódica e 35 é o período de repetição) 
 5 Conjuntos Numéricos e Funções 
Representação Fracionária de uma Dízima Periódica Simples 
Forma geral: ⏞ 
parte 
i teira
 ⏞ ⏟ 
m a garismos
um per odo
de repeti o
 
⏞ 
parte decima 
 
Fluxograma: 
1º. Igualamos a dízima a uma incógnita (x, por exemplo). 
2º. Identificamos o número de algarismos (m) do período de repetição da dízima. 
3º. Multiplicamos a equação montada no passo 1 por uma potência de 10 com 
expoente igual ao número de algarismos do período de repetição identificado no 2º 
passo (10
m
). 
4º. Subtraímos a equação montada no 1º passo da equação montada no 3º passo. 
5º. Explicitamos a incógnita x. 
 
Exemplo: ̅̅̅̅ 
 
 
 , pois 
 passo: 
 passo: a garismos o per odo de repeti o 
 passo: , - 
 passo: {
 
 
 
 
 passo: 
 
 
 
 
 
Representação Fracionária de uma Dízima Periódica Composta 
Forma geral: ⏞ 
parte 
i teira
 ⏞ ⏟ 
 a garismos
parte que
 o se
repete
 ⏞ ⏟ 
m a garismos
um per odo
de repeti o
 
⏞ 
parte decima 
 
Fluxograma: 
1º. Igualamos a dízima a uma incógnita (x, por exemplo). 
2º. Identificamos o número de algarismos da parte que não se repete (n) e o número 
de algarismos do período de repetição (m). 
3º. Multiplicamos a equação montada no 1º passo por uma potência de 10 com 
expoente igual ao número de algarismos da parte que não se repete (10
n
). 
4º. Multiplicamos a equação montada no 3º passo (passo anterior) por uma potência 
de 10 com expoente igual ao número de algarismos do período de repetição (10
m
). 
5º. Subtraímos a equação montada no 3º passo da equação montada no 4º passo. 
6º. Explicitamos a incógnita x. 
 
 6 Conjuntos Numéricos e Funções 
Exemplo: ̅̅ ̅̅ ̅ 
 
 
, pois 
 passo: 
 passo: {
 a garismos a parte que o se repete
 a garismos o per odo de repeti o 
 
 passo: , - 
 passo: , - 
 passo: {
 
 
 
 
 passo: 
 
 
 
 
4) Conjunto dos Irracionais: 
Conjunto dos números que não podem ser escritos na forma de fração, isto é, 
conjunto formado pelas decimais não periódicas. 
 2 
 
 
 ⁄ 3 
NOTA: (I) Todas as raízes não exatas são exemplos de dízimas não periódicas, 
isto é, de números irracionais. 
(II) De modo geral, não são irracionais as raízes de índices pares de 
radicandos negativos. 
Exemplos: √ 
√ 
 
 
 
 
5) Conjuntos dos Reais: 
Conjunto dos números obtidos pela união entre o conjunto dos números racionais e 
o conjunto dos números irracionais. 
 
NOTA: Só não são reais, raízes de índices pares de números negativos. 
 
 
6) Conjuntos dos Complexos: 
O Conjunto dos Complexos é o mais amplo dos conjuntos numéricos. 
 { ⁄ √ } 
Neste conjunto, existem e podem ser determinadas as raízes de índices pares de 
radicandos negativos. 
Note que: 
 √ 
 (√ )
 
 
 ( ) 
 ( )( ) 
 
 
 7 Conjuntos Numéricos e Funções 
Exemplos: 
 
 
 √ √ ( ) √ √ 
 
 
Relacionando os conjuntos : 
Nos exemplos abaixo, vamos relacionar os conjuntos numéricos discutidos, observando 
se cada exemplo numérico pertence ou não aos mesmos. 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
} pois 
 
 
 
 
 
 
 
 pois 
 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
} pois 
 
 
 
 
 
 
 
 pois 
 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
}pois 
 
 
 
 
 
{}
pois uma d ima
 o peri dica
 
 
 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
{
 
 
 
 √ 
√ 
√ 
√ 
√ 
√ 
 
{
 
 
 
 
 
 √ 
√ 
√ 
√ 
√ 
√ √ 
 
 
 
Relação de inclusão dos conjuntos numéricos: 
 
 
 
 
} 
 
 
 
Exercícios: Mostre que são racionais os números: 
a) ̅̅̅̅ b) ̅̅ ̅̅ ̅ 
c) ̅̅̅̅ d) ̅ 
e) ̅̅ ̅̅ ̅ f) ̅̅̅̅ 
g) ̅̅ ̅̅ ̅ 
 
 8 Conjuntos Numéricos e Funções 
Eixo (ou Reta) Real 
Os números reais compreendem um conjunto ordenado. Desta forma, é possível 
escrever alguns representantes em uma reta, chamada reta ou eixo Real. 
 
NOTAS: 
I. O Conjunto dos reais e o eixo real estão em correspondência biunívoca, ou seja, 
a cada ponto do eixo real corresponde um único número real e vice-versa. 
 
II. se e , então localiza-se à esquerda de no eixo real, ou seja, 
dados dois pontos no eixo real, o ponto à esquerda corresponde a um número 
menor que o número correspondente ao ponto à direita, e vice e versa. 
 
III. O Eixo Real é denso, já que entre dois pontos quaisquer, por mais próximos que 
estejam ou que se deseje que estejam, existe sempre um terceiro ponto. 
 
 
Exemplo 
 
1. Localize no eixo real os pontos correspondentes aos números: 
A(-3), B(0, 3 ), C(-0,5), D( 2 ), E(- 3 ), F( 4 ), G( 5 ), H(- 17 ) 
 
Por Pitágoras: 
 
 
 √ 
 
Teorema de Pitágoras 
Em todo triângulo retângulo é 
verdadeira a identidade: O 
quadrado da hipotenusa é igual à 
soma dos quadrados dos catetos. 
 
 
 (√ )
 
 
 
 
 √ 
 
 9 Conjuntos Numéricos e Funções 
 
 (√ )
 
 
 
 
 √ 
 
Lembrando que: 
 hipotenusa é o lado oposto ao 
ângulo reto. 
 Catetos são os lados 
adjacentes ao ângulo reto. 
 
 ( ) 
 
 
 √ 
 
 
 
Intervalos Reais 
Intervalos reais são subconjuntos densos dos reais. Assim, , com , 
definimos. 
 
Intervalos Finitos 
 Conjuntos Numéricos 
Representação 
Gráfica 
Tipos de Intervalo Notações 
1 * | + 
 
Intervalo fechado , - 
2 * | + 
 
Intervalo aberto - , ( ) 
3 * | + 
 
Intervalo fechado à 
esquerda ou aberto 
à direita 
 , , , ) 
4 * | + 
 
Intervalo aberto à 
esquerda ou 
fechado à direita 
 - - ( - 
 
 Intervalos Infinitos 
 Conjuntos Numéricos 
Representação 
Gráfica 
Tipos de Intervalo Notações 
5 * | + 
Intervalo infinito 
fechado à esquerda 
 , , , ) 
6 * | + 
 
Intervalo infinito 
fechado à direita 
 - - ( - 
7 * | + 
 
Intervalo infinito 
aberto à esquerda 
 - , ( ) 
8 * | + 
Intervalo infinito 
aberto à direita 
 - , ( ) 
 10 Conjuntos Numéricos e Funções 
Exemplos: 
Reescreva as desigualdades abaixo, isolando x entre os sinais de desigualdade ou no 
primeiro membro, conforme o caso. Analise, represente e denote os respectivos 
intervalos. 
1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Intervalo fechado 
* + 
 
, - 
 
 
 
2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 mmc(2,3,5) = 30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Intervalo fechado à direita 
{ |
 
 
 
 
 
} 
 
] 
 
 
 
 
 
] ( 
 
 
 
 
 
] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 mmc(2,3,4) = 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
quando se multiplica uma inequação por número negativo, as desigualdades se 
invertem. Escrevemos da esquerda para a direita em ordem crescente, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Intervalo fechado à esquerda 
{ | 
 
 
 
 
 
} 
 
[ 
 
 
 
 
 
[ [ 
 
 
 
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 11 Conjuntos Numéricos e Funções 
4) 
 
 
 
 
 
 mmm(4,5) = 20 
 
 
 
 
 
 
 
Isolamos x no primeiro membro. 
 
 
Multiplicamos ambos os membros por (-1) 
(lembre que o sinal de desigualdade deve ser 
invertido neste caso) 
 
 
 
 
 
 
Intervalo infinito fechado à esquerda 
* | + 
 
, , ou , ) 
 
 
5) 
 
 
Multiplicamos ambos os membros por (-1) 
 
 
 
 
 
Intervalo infinito fechado à direita 
{ | 
 
 
} 
 
] 
 
 
] ( 
 
 
] 
 
 
 
 
 
6) 
 
 
 
 
 
 mmc = 20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Multiplicamos ambos os membros por (-1) 
 
 
 
 
 
Intervalo infinito aberto à direita 
{ | 
 
 
} 
 
] 
 
 
[ ( 
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1. Reescreva as desigualdades fazendo com que somente x permaneça entre os 
sinais de desigualdades: 
a) : 
 
 
 
 
 
 
b) : 
c) : 
 12 Conjuntos Numéricos e Funções 
d) 
√ 
 
 : 
e) : 
f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 : 
 
 
 
 
 
 
 
2. Reescreva as desigualdades isolando x no primeiro membro. Analise, represente 
e denote os respectivos intervalos. 
a) : 
b) : em so u o 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 : 
 
 
 
d) : 
e) 
 
 
 
 
 
 : 
 
 
 
f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 : 
 
 
 
 
3. Determine o intervalo solução das inequações: 
a) : 
 
 
 | | 
b) : 
 
 
 
Módulo de um número real 
Definição: Para qualquer , definimos módulo de , ou valor absoluto, indicado 
por | |, assim: 
| | 2
 
 
 
Exemplos: 
| | 
| | ( ) 
 
 
Equações modulares 
Sentenças matemáticas que apresentam pelo menos uma incógnita e são representadas 
por uma igualdade são denominadas equações. As equações que envolvem módulos são 
chamadas de equações modulares. 
 
Exemplos de equações com um módulo: 
 
1) | | , pela definição, temos: 
| | {
 
 
 
 
 
 
 
 13 Conjuntos Numéricos e Funções 
 
1ª Hipótese: se 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
2ª Hipótese: se 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 * + , onde C.V. é o conjunto verdade ou conjunto solução. 
 
2) | | 
| | {
 
 
 
 
 
 
 
 
1ª Hipótese: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
2ª Hipótese: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 { 
 
 
 
 
 
} 
 
3) | | | | 
 Verificando: 
| | {
 
 
 
 
 
 
 
 
1ª Hipótese: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
2ª Hipótese: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 14 Conjuntos Numéricos e Funções 
 Exemplos de equações com dois módulos. 
 
Vamos agora discutir exemplos de equações envolvendo mais de um módulo. 
1) | | | | 
⌈ ⌉ 2
 
 
 
| | 2
 
 
 
 
1ª Hipótese: 
 ( ) ( ) 
 
 
 ( ) 
2ª Hipótese: 
 ( ) ( )( ) 
3ª Hipótese: 
 ( ) ( ) 
 
 ( ) 
 
 * + 
 
2) | | | | 
| | {
 
 
 
 
 
 
 
| | 2
 
 
 
 
1ª Hipótese: 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 ( ) 
2ª Hipótese: 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 
3ª Hipótese: 
 ( ) ( ) 
 
 ( ) 
 
 
 * + 
 15 Conjuntos Numéricos e Funções 
3) | | | | 
 
Preparando a equação, temos: | | | | 
 
| | 2
 
 
 
 
| | 2
 
 
 
 
 
1ª Hipótese: 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 ( ) 
2ª Hipótese: 
 ( ) ( ) 
 
 
 ( ) 
3ª Hipótese: 
 ( ) ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 {
 
 
 } 
Exercícios 
 
1. Calcule: 
a) | | | | : 
b) | | | | | | : 
c) | | | | | | | | : 
d) | | | | || : 
 
2. Resolva as equações: 
a) | | : * + 
b) | | : 
c) | | : * + 
d) | | : { 
 
 
 
 
 
} 
e) | | : {
 
 
} 
f) | | : * + 
g) 
| |
 
 : {
 
 
} 
h) |
 
 
| : * + 
 16 Conjuntos Numéricos e Funções 
i) 
| |
 
 : * + 
j) | | : * + 
 
3. Resolva as equações: 
a) | | | | : { 
 
 
} 
b) | | | | : {
 
 
 
 
 
} 
 
4. Ache ( ) e ( ), onde: 
a) ( ) | | | | | | para : 
b) ( ) | | | | | | para : 
 
5. Resolva a equação | | | | : * + 
 
 
Inequações Modulares 
Sentenças matemáticas que apresentam pelo menos uma incógnita e são representadas 
por uma desigualdade são denominadas inequações. As inequações que envolvem 
módulos são chamadas de inequações modulares. 
 
Preliminares 
1) Mostre que | | , com e 
 
 e a defi i o temos: | | 2
 
 
 
 
 
 
1ª Hipótese: 
 
 {
 ( )
 ( )
 ( ) 
2ª Hipótese: 
 {
 ( )
 ( )
 (ii) 
 
de (i) e (ii), vem: 
 
2) Mostre que | | , com e 
 
 e a defi i o temos: | | 2
 
 
 
 
1ª Hipótese: 
 
 ( ) ( ) 
2ª Hipótese: 
 ( ) (ii) 
 
de (i) e (ii), vem: 
 17 Conjuntos Numéricos e Funções 
Sintetizando. 
Utilizaremos os conceitos obtidos nos exercícios anteriores: 
Sendo ( ), e temos: 
(i) | | 
(ii) | | 
(iii) | | 
(iv) | | 
 
Exemplos: 
 
1) Resolva as seguintes inequações: 
 
a) | | 
 
 
 (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) 
 
* + 
 
b) | | 
 
 
 ( 
 
 
) ( 
 
 
) ( 
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
{ | 
 
 
} 
 
c) | | 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
{ | 
 
 
} 
 
Exercícios 
 
1. Determine os intervalos tais que: 
a) | | : * | + 
b) | | : * | + 
 18 Conjuntos Numéricos e Funções 
c) | | : * | + 
d) | | : { | 
 
 
} 
e) |
 
 
 
 
 
| : { | 
 
 
 
 
 
} 
 
2. Determine o intervalo solução da inequação | | .
 
 : * | + 
 
3. Resolver as inequações: 
a) | | | | : * | + 
b) | | | | : * | + 
 
 
 
Funções. 
Função é toda relação entre dois conjuntos (domínio e contradomínio) que atende a duas 
exigências: 
i) Não existem elementos sem relação no domínio. 
ii) Um elemento do domínio não pode ser relacionado com dois ou mais elementos 
do contradomínio. 
As duas condições acima podem se expressas na única frase: Para cada elemento do 
domínio deve haver uma única correspondência no Contradomínio, que é seu elemento 
imagem. 
 
Definições: 
(i) Domínio [D(f)] de uma função é o conjunto dos elementos que a variável 
independente (geralmente a variável x) deve assumir. 
(ii) Contradomínio [CD(f)] de uma função é o conjunto dos elementos que a 
variável dependente (geralmente a variável y) pode assumir. 
(iii) Imagem [Im(f)] de uma função é o subconjunto do CD(f) que estão sendo 
relacionados pelos elementos do conjunto D(f). 
 
Desta maneira, 
 (I) 
 
Não é função pois o 1(um) não está relacionado com 
nenhum elemento do contradomínio. 
 
(II) 
 
Não é função pois o 4 está relacionado com o -2 e o 2 
simultaneamente. 
 
 
(III) 
 
É função pois cada elemento do domínio apresenta 
uma única associação no contradomínio, onde 
D(f) = {a, b, c}, CD(f) = {-3, 0, 1, 5} e Im(f) = {0, 5}. 
 
 19 Conjuntos Numéricos e Funções 
(IV) 
 
Não é função pois o número -2 (do 
domínio) está relacionado com os 
infinitos números do contradomínio. 
 
(V) 
 
É função pois cada elemento (número) 
do domínio tem uma única imagem 
(relação), neste caso, todos com o 
número 1,5. 
 
(VI) 
 
Não é função pois existem elementos 
do domínio com mais de uma imagem. 
 
(VII) 
 
Não é função pois existem elementos 
do domínio com mais de uma imagem. 
Se uma relação matemática for uma função com ( ) , ( ) , e 
conjuntos não vazios, podemos indicá-la por: 
 : ou 
 
 
As funções podem apresentar propriedades especiais e serem classificadas como: 
 
Funções Injetoras: f é uma função injetora se e somente se, elementos 
diferentes do domínio apresentam imagens diferentes, isto é, para todo 
 ( ) e ( ), com , implica ( ) ( ) 
Exemplos: 
 
Funções Sobrejetoras: é uma função sobrejetora se e somente se, 
 ( ) ( ), isto é, para todo ( ) deve existir um ( ) tal que 
 ( ) 
Exemplos: 
 
 20 Conjuntos Numéricos e Funções 
Funções Bijetoras: é uma função bijetora se e somente for simultaneamente 
injetora e sobrejetora, isto é, para todo ( ) e ( ), com 
 , implicar ( ) ( ) e ( ) ( ) 
Exemplos: 
 
 
Vamos discutir dois exemplos de situações que envolvem funções. 
 
Exemplo 1: Em uma lanchonete, o gasto de um consumidor está em função de várias 
variáveis, como por exemplo: custo do lanche, da bebida, de outros itens e serviços em 
geral. 
 
Exemplo 2: Em um posto de abastecimento de combustíveis, costuma-se vivenciar duas 
situações: 
(i) O consumidor pedir que o tanque do veículo seja abastecido por uma 
determinada quantidade de litros (por exemplo, completar o tanque): 
nesta situação, o preço y a ser pago pelo abastecimento está em função da 
quantidade x de litros abastecidos. 
(ii) O consumidor pedir para abastecer o tanque do veículo de tal forma que 
pague uma quantia pré-estipulada: neste caso, a quantidade x de litros a 
ser abastecida está em função do valor y a ser pago. 
Note que as duas situações do exemplo dois envolvem as mesmas duas variáveis 
(quantidade de litros a ser abastecida (x) e valor pago pelo abastecimento (y)), sendo 
que em (i) temos y = f(x) e em (ii) temos x = f(y). Logo, uma variável pode ser 
dependente ou independente, de acordo com o contexto da situação. 
 
Crescência de uma função. 
Dada uma função : , onde y = f (x) e os números reais e , temos uma: 
 
(i) Função Crescente se ( ) ( ) 
Exemplos de curvas Crescentes 
 
 
 
(ii) Função Decrescente se( ) ( ) 
Exemplos de curvas Decrescentes 
 
 
 
 21 Conjuntos Numéricos e Funções 
(iii) Função Constante se ( ) , onde é uma constante real. 
Exemplos de curvas Constantes 
 
 
 
 
Existem vários tipos de funções. Estudaremos agora algumas das mais importantes. 
 
 
Função linear: 
Uma função : , é dita linear se pode ser representada na forma 
 o o de 
2
 de omi ado coeficie te a gu ar
 de omi ado coeficie te i ear 
 
 
O gráfico desta função é uma reta. 
NOTA: 
(i) Uma reta vertical não representa uma função, já que para um mesmo valor x 
(ponto de intersecção entre a reta e o eixo das abscissas) do domínio está 
associado mais de um valor (infinitos) para y. Exemplo: x = 3. 
(ii) Quando o coeficiente angular (a) é igual a zero, temos uma função constante, 
cuja representação é uma reta paralela ao eixo x (reta horizontal). Exemplo: 
 . 
(iii) A função y = x é denominada função identidade e é representada pela bissetriz 
dos quadrantes ímpares. 
 
O estudo das funções lineares será realizado em seis passos. 
 
1º Passo: Determinar o ângulo de inclinação da reta (gráfico da função) com o eixo 
das abscissas. Este, por definição, é o ângulo formado no sentido anti-horário do eixo x 
para a reta. 
Demonstração: considere a função linear que gera os pontos ( ) e 
 ( ), o ponto C de intersecção entre as retas e , o triângulo 
retângulo ABC e os ângulos e , como ilustra a figura a seguir. 
 
Assim, 
 ̅̅ ̅̅
 ̅̅ ̅̅
 
 
 
 
 
 
 
 ( )
 
 , 
já que 
Logo, . 
Como os ângulos e são congruentes por serem correspondentes ( 
 e uma transversal), temos que . 
 
 
 22 Conjuntos Numéricos e Funções 
2º Passo: Crescência - determinar se a função é crescente ou decrescente. 
 
Como e , então 
(i) Se 
 
 
 função linear crescente. 
 
(ii) Se 
 
 
 função linear decrescente. 
 
Sintetizando: resc cia: {
se cresce te
se decresce te
 
 
3º Passo: Intercepto – ponto de intersecção entre a reta e o eixo das abscissas. Como 
o Inter( ) é um ponto do eixo , sua ordenada é igual a zero e sua abscissa pode ser 
obtida fazendo na lei de formação da função, isto é, . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, ter( ) . 
 
 
 / 
 
4º Passo: Intercepto – ponto de intersecção entre a reta e o eixo das ordenadas. 
Como o Inter( ) é um ponto do eixo , sua abscissa é igual a zero e sua ordenada é por 
conseqüência o coeficiente , já que. 
 ( ) 
Logo, ter( ) ( ) 
 
5º Passo: Positividade – Indica para quais valores da variável independente (variável ) 
a função apresenta para a variável dependente (variável ) valores negativos ( ), 
nulo ( ) ou positivos ( ). 
 
 
 
 ositividade
{
 
 
 
 
 
 
 
 
se temos
se temos
 
 
 {
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 23 Conjuntos Numéricos e Funções 
6º Passo: Gráfico 
Uma reta fica totalmente definida por dois de seus pontos. Assim, se os pontos Inter( ) 
e Inter( ) forem distintos, podemos utilizá-los para traçar o gráfico de uma função 
linear. Se os mesmos forem coincidentes, basta determinar um segundo ponto 
atribuindo para um valor qualquer de seu domínio. 
 
 
 
Exemplos: 
 
1) Estude cada função linear abaixo, traçando seu gráfico 
a) 
 
 
 
{ 
 
 
 decresce te
 
 
 ( 
 
 
) 
 
 
 
 
 
 ⁄
 
 
 
 
 ter( ) (
 
 
 ) 
 ter( ) ( ) 
Positividade: como 
 
 
 , temos 
 {
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico 
 
 
b) Definida pelos pontos A (-1, 1) e B (1, 5) 
Da forma geral da função linear: , podemos obter as seguintes 
equações. 
 De A (-1, 1), temos: ( ) 
 De B (1, 5), temos: ( ) 
 24 Conjuntos Numéricos e Funções 
Formamos assim o sistema 2
 
 
, que resolvido apresenta a solução: 2
 
 
 
Assim, a lei de formação da função linear definida pelos pontos A e B é. 
 
2
 cresce te
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( 
 
 
 ) 
 ( ) ( ) 
Positividade: como , temos 
 {
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico 
 
 
Exercício 
 
1) Estude as funções lineares definidas pelos pontos. 
 
a) A(1,3) e B(3,-1) 
b) A(5,2) e B(1,-1) 
c) A(-2,-4) e B(3,7) 
d) A(0,0) e B(3,4) 
 
2) Uma empreiteira tem custo fixo de R$2300,00 com mão de obra por mês 
considerando todos seus empreendimentos. Além disso, em cada obra tem um 
gasto de R$525,00. Pede-se: 
a) A função de custos desta empreiteira. 
b) Qual o Custo final se em determinado mês a empreiteira estiver com 12 
obras sobre sua responsabilidade? 
c) Se soubermos que o gasto em determinado mês nesta empreiteira foi de 
R$29600,00, quantas obras estiveram então sobre sua responsabilidade? 
d) Supondo que o ganho bruto da empreiteira seja de R$12.000,00 por obra ao 
ano, quantas obras por mês ela deverá tocar para não levar prejuízo? 
 
3) Uma indústria química tem um custo de R$810,00 na produção de 40 frascos de 
uma determinada mistura química. Qual será o custo pela produção de 231 
frascos desta mesma mistura? 
 
 25 Conjuntos Numéricos e Funções 
Função quadrática. 
Uma função de uma única variável independente x é dita quadrática se pode ser escrita 
na forma geral: 
 o e 
O gráfico desta função é uma parábola de eixo de simetria vertical. 
 
NOTA: 
(i) Para , temos uma parábola de eixo de simetria paralelo ao 
eixo das ordenadas. 
(ii) Para , temos uma parábola de eixo de simetria paralelo ao 
eixo das abscissas. 
(iii) As parábolas de eixo de simetria paralelo ao eixo das abscissas não é o gráfico 
de uma função : e ( ), já que a mesma associa para alguns 
valores de dois valores de . 
 
 
O estudo das funções quadráticas será realizado em 7 passos. 
 
1º Passo: Intercepto x – Ponto(s) de intersecção da parábola com o eixo das abscissas. 
Como o Inter( ), se existir, é um ponto do eixo , sua ordenada sempre é zero e sua 
abscissa é(são) a(s) raiz(es) da equação: . 
 
NOTA: 
(i) Pode-se obter a solução de qualquer equação do segundo grau na incógnita x, 
através da fórmula resolutiva:{
 
 
 √ 
 
 
(ii) Dada a equação do segundo grau: , podemos estudar suas 
raízes através do discriminante : 
{
se a equa o o admite ra es reais 
se a equa o admite duas ra es reais e iguais
se a equa o duas ra es reais e difere tes 
 
 
 
 ter( ) {
* + se 
*( )+ se 
*( ) ( )+ se 
 com 
 √ 
 
 e 
 √ 
 
 
 
2º Passo: Intercepto – Ponto de Intersecção entre a parábola e o eixo das ordenadas. 
Como esse ponto está sobre o eixo , sua abscissa é zero e consequentemente sua 
ordenada é igual ao coeficiente c. 
 ( ) ( ) 
Logo, ter( ) ( ) 
 
3º Passo: Vértice (V) – Ponto de mínimo da função se a parábola tem concavidade para 
cima ( ) ou ponto de máximo da função se a parábola tem concavidade para baixo 
( ). 
 
 ( 
 
 
 
 
 
) 
 
 26 Conjuntos Numéricos e Funções 
 4º Passo: Eixo de Simetria. 
Todas as parábolas que estamos considerando são simétricas a um eixo (reta) vertical 
que passa pelo vértice, isto é, que intersecta o eixo x na abscissa do vértice. 
Logo, : 
 
5º Passo: Positividade e Crescência. 
Apositividade indica para quais valores da variável independente (variável ) tem-se 
para a variável dependente (variável ) valores negativos ( ), nulo ( ) e 
positivos ( ). 
Já a crescência indica para quais valores de a função tem comportamento crescente e 
para quais tem comportamento decrescente. 
Os seis casos possíveis para o estudos da positividade e os dois para o estudo da 
crescência podem ser obtidos com o desenho de esboços gráficos facilmente construídos 
à partir das seguintes informações: 
(i) Se , a parábola tem concavidade para baixo; 
(ii) Se , a parábola tem concavidade para cima; 
(iii) Acima do eixo x estão os valores positivos para y e abaixo deste eixo os valores 
negativos para y. 
(iv) A variável y só assume valor nulo quando um ponto está sobre o eixo x. 
(v) Se a função quadrática está definida de em , ela apresenta um intervalo 
crescente e um intervalo decrescente. A parábola muda seu comportamento de 
crescência no vértice, logo, para valores menores que a abscissa do vértice a 
parábola apresenta um comportamento de crescência e para valores maiores 
que a abscissa do vértice apresenta comportamento inverso. 
 
 
(I) Se a > 0 
 
Positividade 
{
 em 
 em 
 em 
 
Positividade 
{
 ⁄ 
 em 
 em * +
 
Positividade 
{
 ⁄ 
 em 
 
Crescência 
{
 cresce te em 
 decresce te em 
 
 
 
 27 Conjuntos Numéricos e Funções 
(II) Se a < 0 
 
Positividade 
{
 em e 
 em e 
 em 
 
Positividade 
{
 em * +
 em 
 ⁄ 
 
Positividade 
{
 em 
 ⁄ 
 
Crescência 
{
 cresce te em 
 decresce te em 
 
 
7º Passo: Esboço Gráfico. 
Para construir o esboço gráfico de uma função quadrática devemos marcar pelo menos 
três ou cinco pontos bem localizados no plano cartesiano. Um deve ser obrigatoriamente 
o vértice da parábola. Os outros pontos, de dois em dois, devem estar no mesmo 
alinhamento horizontal, como por exemplo os pontos Inter( ) quando ou o ponto 
Inter( ) com seu simétrico em relação ao eixo de simetria. 
 
Determinação de uma Função Quadrática à partir de Três Pontos não colineares. 
Dados ( ), ( ) e ( ), montamos o sistema: 
 ( )
 ( )
 ( )
 
 
 
{
 ( )
 ( ) 
 ( )
 ( ) 
 ( )
 ( ) 
 
E a partir dele, determinamos e , como segue. 
1)(
1)(
1)(
2
2
2
CC
BB
AA
xx
xx
xx
p  
1
1
1
CC
BB
AA
xy
xy
xy
a  
1)(
1)(
1)(
2
2
2
CC
BB
AA
yx
yx
yx
b  
CCC
BBB
AAA
yxx
yxx
yxx
c
2
2
2
)(
)(
)(
 
E assim, 
p
c
c
p
b
b
p
a
a








 , , 
Logo, 
p
c
x
p
b
x
p
a
ycbxaxy








 22 
 
Exemplo: 
Estude a função quadrática definida pelos pontos A (-1, -8), B (2, 1) e C (4, -3) e trace 
seu gráfico. 
 
 28 Conjuntos Numéricos e Funções 
cbxaxy  2 



)C(
B
A
3,4 para
 ) 1 ,2 ( para
)8,1( para
 

















3416
124
8
)4()4(3
)2()2(1
)1()1(8
2
2
2
cba
cba
cba
cba
cba
cba
 
 [
 
 
 
] 
 
 [
 
 
 
] 
 
 [
 
 
 
] 
 
 [
 
 
 
] 
 
 
 
 
 
 
 , 
 
 
 
 
 
 , 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, {
 ( ) ( )( ) 
 
 √ 
 
 
 ( ) √ 
 ( )
 
 
 
 {
 
 
 
 ter( ) *( ) ( )+ 
 
 ter( ) ( ) 
 
Vértice: .
 
 
 
 
 
/ .
 , -
 , -
 
 , -
 , -
/ ( ) i o da u o 
 
 : reta paralela ao ei o que passa pela a s issa 
 
Positividade: 
{
 em e 
 em e 
 em 
 
 
Crescência: 
{
 decresce te em 
 cresce te em 
 
 
 
Gráfico: 
 
 
 29 Conjuntos Numéricos e Funções 
Exercícios: Estude as seguintes funções quadráticas e trace seus gráficos: 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) ( )( ) 
6) 
7) 
8) Definida pelos pontos A (-1,2), B (1,2) e C (2,5) 
9) Definida pelos pontos A (1,1), B (2,0) e C (3,-3) 
10) Definida pelos pontos A (1,0), B (0,4) e C (4,0) 
11) Definida por ( ) , ( ) e ( ) 
 
 
Triângulo de Pascal. 
O triângulo de Pascal é um triângulo numérico infinito formado por números binomiais 
( 
 
) que apresentam diversas relações entre si, muitas delas descobertas pelo 
matemático Blaise Pascal. Neste triângulo, n representa o número da linha e k o número 
da coluna, iniciando com n = k = 0. 
 
 0 1 2 3 4 5 
0 (
 
 
) 
 
Onde ( 
 
) 
 
 ( ) 
 
1 (
 
 
) (
 
 
) 
 
2 (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) 
 
3 (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) 
 
4 (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) 
 
5 
(
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) 
 
 
Determinando o valor de cada combinação ( 
 
) este triângulo fica como mostra a figura 
abaixo. 
Note que cada coeficiente é igual à soma dos coeficientes da coluna imediatamente 
anterior à partir da linha imediatamente superior. 
 
 
 30 Conjuntos Numéricos e Funções 
Note que cada coeficiente é igual à soma dos coeficientes da coluna imediatamente à 
esquerda que estão acima da linha do coeficiente a ser calculado. 
Com o triângulo de Pascal, podemos obter facilmente os chamados Binômios de 
Newton: ( ) , já que. 
 
( ) .
 
 
/ .
 
 
/ .
 
 
/ .
 
 
/ .
 
 
/ 
 
( ) .
 
 
/ .
 
 
/ .
 
 
/ ⏟
( ) 
.
 
 
/ ⏟
( ) 
.
 
 
/ 
 
Veja: 
 
n\k 0 1 2 3 4 5 
0 1 {
( ) 
( ) 
 
1 1 1 {
( ) 
( ) 
 
2 1 2 1 {
( ) 
( ) 
 
3 1 3 3 1 {
( ) 
( ) 
 
4 1 4 6 4 1 {
( ) 
( ) 
 
5 1 5 10 10 5 1 {
( ) 
( ) 
 
 
 
 
Resumindo: 
( ) 
( ) 
( ) 
( ) 
( ) 
( ) 
( ) 
( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 31 Conjuntos Numéricos e Funções 
Função exponencial. 
Uma função : é exponencial se é do tipo: 
 
 e 
 
Preliminares: Definição e Principais Propriedades de Potenciação. 
 
Potência com expoente natural 

fatoresn
n aaaabba
 
 , onde 





potência a é 
expoente o é 
 base a é 
b
n
a
 
 
Propriedades das Potências: 
 
1) 
2) 
3) 
4) ou 
 
 
 
5) ( ) 
6) ( ) 
7) .
 
 
/
 
 
 
 
 
8) .
 
 
/
 
 
 
 
 
9) .
 
 
/
 
 .
 
 
/
 
 
 
 
 
10) 
 
 √ 
 
 
 
 
Crescência de uma Função Exponencial 
(i) Se 0 < a < 1, a função é estritamente decrescente. 
(ii) Se a > 1, a função é estritamente crescente. 
 
Gráfico de uma Função Exponencial: 
O gráfico de uma função exponencial apresenta dois casos. 
 
1) 1º Caso: 
Ex: .
 
 
/
 
 
2) 
 
 
 x (1/2) x y 
 -3 (1/2) -3 8 
 -2 (1/2) -2 4 
 -1 (1/2) -1 2 
 0 (1/2) 0 1 
 1 (1/2) 1 1/2 
 2 (1/2) 2 1/4 
 3 (1/2) 3 1/8 
 
 32 Conjuntos Numéricos e Funções 
2º Caso: 
 
Ex: 
 
 
 
 x 2 x y 
 -3 2 -3 1/8 
 -2 2 -2 1/4 
 -1 2 -1 1/20 2 0 1 
 1 2 1 2 
 2 2 2 4 
 3 2 3 8 
 
 
 
Função logarítmica: 
A função : definida por xxf alog)(  , com 0a e 1a , é a função 
inversa da exponencial, denominada de função logarítmica. 
 
 
Preliminares: Definição e Principais Propriedades de Logaritmos. 
xanx na log , onde: {
 a ase 
 o ogaritma do 
 o ogaritmo de 
 
 
Propriedades dos Logaritmos: 
1) og 
2) og 
3) og ( ) og og 
4) og .
 
 
/ og og 
5) og 
 og 
6) og √ 
 
 
 
 
 og 
7) 
 
Logaritmos especiais: 
1) Logaritmo de base 10: Logaritmo Decimal 
 og og 
2) Logaritmo de base e, com e = 2,72...: Logaritmo Natural ou Neperiano. 
 og 
 
 
Crescência de uma Função Logaritmica. 
(i) Se 0 < a < 1, a função é estritamente decrescente. 
(ii) Se a > 1, a função é estritamente crescente. 
 33 Conjuntos Numéricos e Funções 
Gráfico de uma Função Logaritmica: 
O gráfico de uma função logarítmica apresenta dois casos. 
1º Caso: . 
Ex: og 
 
 
 
 
 
x 
 
 (
 
 
)
 
 y 
 
 
 
 (
 
 
)
 
 
 
 
 3 
 
 
 (
 
 
)
 
 
 
 
 2 
 
 
 (
 
 
)
 
 
 
 
 1 
 1 (
 
 
)
 
 0 
 2 (
 
 
)
 
 -1 
 4 (
 
 
)
 
 -2 
 8 (
 
 
)
 
 -3 
 
 
2º Caso: . Ex: 
Ex: og 
 
 
 x 
 y 
 
 
 
 
 
 -3 
 
 
 
 
 
 -2 
 
 
 
 
 
 -1 
 1 0 
 2 1 
 4 2 
 8 3 
 
 
NOTA: Os gráficos da exponencial e da logarítmica de mesmas bases são simétricos 
em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares (funções inversas). 
 
 
 34 Conjuntos Numéricos e Funções 
Função definida em um ponto. 
A função real ( ) é definida para , com , se e somente se, ( ) for: 
 
 I) Finito: . ( ) 
 
 
 o / 
 
 II) Real: . ( ) √ | |
 
 o / 
 
 III) Determinado: . ( ) 
 
 
 ( ) ( ) ( ) 
 
 
 ( ) /. 
 
 
Domínio de funções reais. 
O domínio de funções reais é o mais amplo subconjunto dos reais onde a função é 
sempre definida. 
Determinação do domínio de funções reais elementares do tipo ( ): 
Vamos considerar ( ) e ( ) como sendo expressões algébricas contendo a variável x 
para determinarmos o domínio das funções descritas a seguir: 
 
I. Função quociente. 
Existe variável em denominador? Se houver, exclui-se dos reais os valores 
que o anulam. 
 
 ( )
 ( )
 ( ) , logo ( ) * | ( ) + 
 
II. Função com radicais de índice par. 
Existe variável dentro de radical par (radical do tipo , com e 
 )? Se houver, exclui-se dos reais os valores que os tornam negativos. 
 √ ( )
 ( ) , logo ( ) * | ( ) + 
 
III. Função seno e sua inversa ou função cosseno e sua inversa. 
Sabe-se que: , ( )- ( ) ( ) , ( )- 
 , ( )- ( ) ( ) , ( )- 
Existe variável em ( )? Se houver, exclui-se dos reais os valores que o 
tornam inferiores a -1 e superiores a +1 
 se , ( )- ( ) logo ( ) * | ( ) + 
 , ( )- ( ) logo ( ) * | ( ) + 
 
IV. Função tangente e sua inversa. 
Sabe-se que: , ( )- ( ) ( ) , ( )- 
Existe variável em ( )? Se houver, exclui-se dos reais os valores que o 
torna múltiplos de ⁄ e 
 
 ⁄ 
 arc , ( )- ( ) . 
 
 
/ , com 
Logo, ( ) 2 | ( ) . 
 
 
/ com 3 
 
 35 Conjuntos Numéricos e Funções 
V. Função logarítmica. 
Existe variável no logaritmando? Se houver, exclui-se dos reais os valores 
que o torna inferior ou igual a zero. 
 og , ( )- ( ) logo ( ) * | ( ) + 
 
 Exemplos: Determine o domínio das seguintes funções: 
 
1) ( ) . 
 
2) ( ) ( ) 
 
3) 
 
 
 ( ) 
 
4) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, ( ) 2 | 
 
 
3 
 
5) √ 
 
 
Logo, ( ) * | + 
 
6) ( ) √ 
 
 - = 0 {
 
 
 
 
Estudo da Positividade 
{
 ( ) 
 ( ) 
 
Logo, ( ) 
 
7) ( ) √
 
 
 
 
 
 
Para 
 
 
 , temos as seguintes possibilidades: 
2
 u erador igual a ero e de o i ador difere te de ero
 u erador e de o i ador de es o si al 
 
Para isso, devemos realizar o estudo de sinais do numerador e denominador, 
para obtermos os intervalos onde o quociente será negativo, positivo ou nulo. 
 
 36 Conjuntos Numéricos e Funções 
numerador: 
denominador: 









34
2
491
 49
012
21
2
xxxΔ
xx
 
 
Logo, ( ) * | ou + 
 
8) ( ) √
 
 
 
 
 
 
numerador: {
 
 
 
 
 {
 
 
 
denominador: {
 
 
 
 
Logo, ( ) * | ou + 
ou 
 ( ) * | + 
 
9) √ 
 
- - {
 
 
- 
- 
 {
 
 
 
 
Estudo da Positividade 
{
 e ou 
 e ou 
 e 
 
Logo, ( ) * | + 
 
 37 Conjuntos Numéricos e Funções 
Exercícios: 
Dê o domínio da seguintes funções: 
a) 3 xy 3 :Resp x 
b) 
5
4


x
y 5 :Resp x 
c) 5 2 xy  :Resp 
d) 
29
2
x
y

 3 :Resp x 
e) 






2
1
log xy 
2
1
 :Resp x 
f) 162  xy 4 4 :Resp  xx 
g) 
1
23



x
x
y 1 
3
2
 :Resp  xx 
h) 12  xy 51 :Resp  x 
i) 
1
4
log



x
x
y 4 1 :Resp  xx 
j) 
4
2
arcsen 


x
x
y 4
3
4
 :Resp  x 
k) 
2
logarcsen 
x
y  20
5
1
 :Resp  x 
l)  3 arctg  xy 3
2
1
2 :Resp 





 kx 
m) 
34
2
2
2



xx
xx
y 3 21 1 :Resp  xxx 
n) 
  313
2
log
2
2



xx
x
y 32 12 :Resp  xx 
 
 
Funções Inversas 
Consideremos a função : definida no diagrama abaixo: 
 ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
 ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
se conseguirmos uma função que desfaça o que fez, essa função é a inversa de f, 
geralmente indicada . 
 : 
 38 Conjuntos Numéricos e Funções 
Teorema: uma função é inversível se, e somente se, ela for bijetora. 
 
Método prático para determinar a inversa de uma função. 
Trocamos as variáveis e explicitamos a variável correspondente em função da variável 
livre. 
 
Exercícios Resolvidos 
 
Determine a inversa de cada função. 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) ( ) 
 
 
 
 ( ) 
 ( ) 
 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ), - 
 ( ) 
 
 
 
 
c) ( ) √ 
 
 √ ( ) 
 
 
, - 0√ ( ) 
 
1
 
 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 
 
Composição de funções: consideremos as funções e , definidas no 
diagrama abaixo. 
 
Dom Dom 
 
. 
 39 Conjuntos Numéricos e Funções 
Exemplos: 
1) Dados: e , determine: 
 
 a) 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
Teorema: sejam e , função e suas respectivas inversas e e a função 
(ide tidade)→ , então: 
 1) 
 2) 
 3) 
 4) 
 
 
 
 
 
 
 
 40 Conjuntos Numéricos e Funções 
Exercícios: 
 
1) Sendo 123)(
345  xxxxg , calcule: 
a)  )()(
4
1
)( xgxgxh  : ( ) ( 
 
 
) ( ) 
b) )()()( xgxgxm  : ( ) 
 
2) Sendo: 
4
32
)(



T , calcule ToToT 
Resp: 
16
212 
 
 
3) Determine   1gof onde 
3
2
)(
x
xf

 e
5
32
)(


x
xg usando o método prático 
para determinação da inversa. 
Resp: 
2
1315 x4) Usando o método prático, determine a inversa das funções ( ): 
a) ( ) : ( ) 
b) 
 
 
 : ( ) 
 
 
 
c) : ( ) 
 
 
 
d) og
 
 
 : 
 ( ) 
e) ( ) : ( ) 
 
 
 
f) √ 
 
 : ( ) √ 
 
 
g) : ( ) 
 
 
 og 
 
5) Sendo 
1
23
)(



x
x
xf , prove que   ).(11 xff  
 
 
6) Sendo 
xxf 3)(  e 4)(  xxg , determine: 
a) : 
 
b) : 
 
c) : 
 
d) : 
 
 
 41 Conjuntos Numéricos e Funções 
7) Calcule )(xf onde 8
4
32





 
x
x
f 
Resp: 
2
194 x
 
 
8) Calcule )(xg onde 182
5
3 2
3 







 
x
x
g 
Resp: )65(10)( 33  xxxg 
 
9) Prove que, sendo 
xxT 2)(  , então )(2)2(8)1()1(4 xTxTxTxT  
 
10) Sendo 1)(
4  xxf , prove que )(
11
2
xf
xx
f 





 
 
11) Dados: 
43
32
)(



x
x
xf e 
25
3
)(



x
x
xg , determine: 
a) : 
 
 
 
b) : 
 
 
 
c) : 
 
 
 
d) : 
 
 
 
e) Verifique se: 1)   111   fogfog 
2)   111   foggof 
3)   ff  11 
4) xfoffof 
 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 42 Limite 
Limite. 
 
Limite de uma função. 
Se os valores de uma função ( ) se aproximarem cada vez mais de uma constante 
L conforme a variável independente assumir valores tão próximos quando se desejar 
de um valor , dizemos que o limite da função ( ) quando tende a é igual a L, 
denotando por im ( ) . 
NOTA: a notação indica que x deve assumir valores cada vez mais próximos de 
 (para mais ou para menos, isto é, pela esquerda ou pela direita), mas nunca o próprio 
valor . 
Definição: Seja ( ) uma função definida num intervalo aberto contendo ou em 
valores próximos de exceto o próprio , im ( ) se e somente se, para 
qualquer (tão pequeno quanto se desejar) existir em correspondência um 
tal que, se | | , então | ( ) | , isto é, se então 
 ( ) . 
 
 
Limites Laterais 
Sejam ( ) uma função real e , então: 
(i) Dizemos que o limite da função ( ) quando x tende a pela esquerda é igual 
a L e denotamos por im ( ) , quando se aproximar de por valores 
menores de que (tão próximo quanto se desejar) e consequentemente ( ) se 
aproximar cada vez mais de L. 
(ii) Dizemos que o limite da função ( ) quando x tende a pela direita é igual a 
L e denotamos por im ( ) , quando se aproximar de por valores 
maiores de que (tão próximo quanto se desejar) e consequentemente ( ) se 
aproximar cada vez mais de L. 
NOTAS: 
(i) im ( ) é equivalente à conjunção de im ( ) e 
 im ( ) . 
(ii) A existência do limite de uma função ( im ( ) ) implica na existência dos 
dois limites laterais ( im ( ) e im ( ) ), mas a existência de 
um dos limites laterais não implica na existência do limite da função ou do outro 
limite lateral. 
 
Observe os casos a seguir. 
I) 
 
 im
 
 ( ) 
 im
 
 ( ) 
} im
 
 ( ) ( ) 
 
 43 Limite 
II) 
 
 im
 
 ( ) 
 im
 
 ( ) 
} im
 
 ( ) ( ) 
 
 
 
III) 
 
 im
 
 ( ) 
 im
 
 ( ) 
} im
 
 ( )
 
 
 
Exemplos: 
 Dada a função 
 
a) Trace seu gráfico. 
 
 
b) Calcule as imagens de: 
 
1) ( ) 
Como ( ), utilizamos a primeira lei: ( ) ( ) 
 
2) ( ) 
Como , -, utilizamos a segunda lei: ( ) . 
 
 44 Limite 
3) ( ) 
 Como ( ), utilizamos a terceira lei: ( ) . 
 
4) ( ) 
 Como - [- ], utilizamos segunda lei: ( ) ( ) 
 
5) ( ) 
 Como - (- - ), utilizando a primeira lei: ( ) ( ) . 
 
6) ( ) 
 Como [- ], utilizamos a segunda lei: ( ) ( ) 
 
7) ( ) 
 Como , -,utilizamos a segunda lei: ( ) 
 
8) ( ) 
 Como [- ], utilizamos a segunda lei: ( ) 
 
c) Calcule os limites 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 é ponto interior do intervalo 
 
 Obs: No cálculo de limites, se x tende de um ponto de mudança, os cálculos são 
feitos nas leis limítrofes à esquerda e à direita do ponto. Caso contrário, se x tende a um 
ponto diferente dos pontos de mudança, o limite é calculado dentro de uma única lei de 
formação à qual o ponto pertence. 
 
 Exercícios: 
 Dadas as funções: 
 45 Limite 
 ) {
 
 
 
II) ( ) {
 
 
 
 
 ) ( ) {
 
 
 
 IV) {
 
 
 
 
 
a) Trace seus gráficos. 
 
b) Calcule as imagens de: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 e 4. 
 
c) Calcule os limites quando x tende a: 
1) -2 2) 1 
3) -1 4) 2 
5) zero 6) -7 
 
 
Propriedades operatórias de limites: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Limite de função polinominal: sejam o polinômino ( ) e , então: 
 46 Limite 
 im
 
 ( ) ( ) 
 
 
Exemplos: calcule os limites 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ou 
 
 Como , podemos simplificar a fração por ( x – 2 ). 
 
 
 
se e , a é raíz de e de , pelo teorema D’Ale ert, e 
são divisíveis por , assim: 
 e 
 47 Limite 
 
 
 e , pois ) 
 Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 48 Limite 
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Calcule os limites: 
a)   24lim
6


x
x
 
b)   1023lim
6 


x
x
 
c)   712lim 2
6 


xx
x
 
d) 
6
1
9
3
lim
6 



 x
x
x
 
 
Calcule os limites seguintes: 
2)  425lim 3
1 


xx
x
 Resp: 1 
3)  12423lim 234
1 


xxxx
-x
 Resp: 0 
4)  102lim 35
2 


xx
-x
 Resp: 46 
5) 3 2
23
2 42
822
lim


 xx
xx
x
 Resp: 2 
6) 
x
x
x 

 3
5
lim
5 
 Resp: 0 
7) 
45
16
lim
2
2
4 

 xx
x
x
 Resp: 
3
8
 
8) 
1
1
lim
2
4
1 

 x
x
x
 Resp: 2 
9) 
2
107
lim
2
2
2 

 xx
xx
x
 Resp: 1 
10) 
2
8
lim
3
2 

 x
x
x
 Resp: 12 
11) 
1
56
lim
2
24
1- 

 x
xx
x
 Resp: 4 
12) 
xx
xxx
x 24
3
lim
3
24
0 


 Resp: 
2
1
 
 49 Limite 
13) 
23
22
lim
2
3
1 

 xx
xx
x
 Resp: 4 
14) 
 
h
xhx
h
44
0 
lim


 Resp: 
34x 
15) 
x
x
x
11
lim
0 


 Resp: 
2
1
 
16) 
22
2223
lim
23
234
1 

 xxx
xxxx
x
 Resp: 3 
17) 
103
42
lim
4
3
2 

 xx
xx
x
 Resp: 
29
10
 
18) 
6
33
lim
6 

 x
x
x
 Resp: 
6
1
 
19) 
x
xx
x


22
lim
0 
 Resp: 
2
2
 
20) 
4
22
lim
22 

 x
x
x
 Resp: 
16
1
 
21) 
222
334
lim
3 

 x
x
x
 Resp: 
3
4
 
22) 
x
x
x 

 51
53
lim
4 
 Resp: 
3
1
 
23) 
qqx
mmx
x 

 22
22
0 
lim Resp: 
m
q
 
24) 
9
3
lim
9 

 x
x
x
 Resp: 
6
1
 
25) 
1
1
lim
31 

 x
x
x
 Resp: 
2
3
 
26) 
2
8
lim
38 

 x
x
x
 Resp: 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 Diferenciais e Aplicações 
 
 
 
 
 
Derivadas e Aplicações. 
Seja , uma função contínua num intervalo , representada no gráfico 
abaixo: 
 
Interpretação geométrica: 
 
 
 
Regra dos quatro passos (R4P): ( ) 
 
 1° passo: atribuímos a um acréscimo : 
 ( ) 
 
 2° passo: determinamos o valor de : 
 ( ) 
como ( ), temos: 
 ( ) ( ) 
 
 3° passo: calculamos a razão aos acréscimos: 
 
 
 
 ( ) ( )
 
 
 
 4° passo: calculamos o limite da razão dos acréscimos quando : 
 im
 
 
 
 im
 
 ( ) ( )
 
 
 
 Se o limite existir e forfinito, ele representa numericamente a tangente do ângulo que 
a reta tangente a essa curva forma com o eixo dos x, é a derivada da função ( ) no 
ponto ( ). 
 51 Derivadas e Aplicações 
 
 
 Notações: 
 im
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
Exercícios: 
 
1) Derive pela R4P as seguintes funções: 
a) 
 
1° passo: damos a x um acréscimo . 
 ( ) ( ) 
 ( ̅̅̅̅ ) 
 ̅̅̅̅ 
 
2 passo: calculamos um valor de : 
 
 
 
 
3 passo: determinamos a razão dos acréscimos: 
 
 Obs: não podemos simplificar, pois para isso, é necessária a restrição 
 
4° passo: calculamos o limite quando 
 Como podemos simplificar a fração, pois x tende a números muito 
próximos de 0, mas diferente de 0. 
 
 
 
 
 b) 
1° passo: 
 
 
2° passo: 
 
 
 
3° passo: 
 
 52 Derivadas e Aplicações 
4° passo: 
 
 
 
Exercícios: 
 Derive as funções usando a R4P: 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
 
Derivadas: regras gerais 
1) 0)( cd , onde c é uma constante 2)     )(vdudvud  
3) )()( udccud  4)   1 nn xnxd 
5) ')(
1 uunud nn   6)   '' uvvuvud  
7) 2
''
v
uvvu
v
u
d







 8)  
u
u
ud
2
'
 
9)  
n kn
n k
un
ku
ud


'
 10)   vv eved  ' 
11)   aavad vv ln´  12) 
u
u
ud
'
)(ln  
13)  
au
u
ud a
ln
'
log

 14) uuud cos')sen (  
15)   usenuud 'cos  16) uuud 2sec')(tan  
17) uuud 2seccos')(cot  18)   uuuud tansec'sec  
19) uuuud cotseccos')sec(cos  20)  
21
'
arccos
u
u
ud


 
21)  
21
'
sen arc
u
u
ud

 22)  
21
'
cot
u
u
uarcd


 
23) 
21
'
) tgarc(
u
u
ud

 
 53 Derivadas e Aplicações 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Resolvidos 
 
1) Derive as seguintes funções pelas regras gerais: 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
f) 
 
g) 
d(arc cos u) = 
 
 
 
h) 
d = 
 
 
 
 
 
 
i) 
 54 Derivadas e Aplicações 
d = 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
Calcule a derivada das seguintes funções: 
1) 425
23  xxxy 
1415':Resp 2  xxy 
2) 8474
38  xxxy 
42132':Resp 27  xxy 
3) 
2
82
3
4 
xx
xy
 
24
3 864':Resp
xx
xy  
4) nm
x
ba
x
y




34 2
 nm
x
ba
x
y




23 64
':Resp 
5) 
3 2
45 2 43
x
xxy 
 
3 24 35 3 3
8
4
3
5
2
':Resp
xxxx
y 
 
6) 243
4
1
3
2
 xxy 
4 33
12
':Resp
xx
y  
7) 
5 3
4
3 2
2 432
x
x
x
x
x
x
y 
 
5 223
5
68
4
1
':Resp xxx
x
y  
8)   4221  xxy 108':Resp  xy 
9)   xxxy 4253
32  
206630':Resp 24  xxy 
10)   485324
22  xxxxy 
32306680':Resp 23  xxxy 
11) 42
2
2 


xx
x
y
  
22
2
42
4
':Resp



xx
xx
y 
12)   2342)(
2  tttf 
42418)(':Resp 2  tttf 
13)  ttttf
mm   42)(    
2
72
162)(':Resp 

 m
mt
tmmtf 
14) xxy cos4sen 3  
xxy sen 4cos3':Resp  
15) 
4log
2

x
y

 
3
2
':Resp
x
y

 
16) 
43 3xxy  
4 32
4
15
':Resp xxy 
 
17) 
xsen
y
2
4
':Resp
2

 
 55 Derivadas e Aplicações 
18) xx
xx
y
cossen 
cossen 



 x
y
2sen 1
2
':Resp


 
19) xxy tg xx
x
y tg
cos
':Resp
2

 
20) xxy tgarc xx
x
y tgarc
1
':Resp
2



 
21) xxy arccossen arc  0':Resp y
 
22) xxy cotg arc
2  1
 cotg arc2':Resp
2
2


x
x
xxy 
23)   xxy arccos1
2 
 
xx
x
x
y arccos2
1
1
':Resp
2
2




 
24) xxy ln
4 
 xxy ln41':Resp 3 
 
25)  
xexy 42  
 22':Resp  xey x
 
26) 
xe
x
y
42

 
 
xe
xx
y


42
':Resp
2
 
27) tetf
t sen )(  
 ttetf t cossen )(':´Resp 
 
28) 
2
ln
x
x
y 
 
3
2ln1
':Resp
x
x
y


 
29) x
e
xey
x
x
ln
cos 
  







 

2
2
ln
ln1
sen cos':Resp
xx
x
xxey x
 
 
 
Derivada de uma função composta: para derivarmos uma função composta devemos 
analisar qual é a função principal e depois de feito isso, analisarmos as funções dentro 
da função principal. 
 
Exemplos: 
 
1) 
 
Função principal: → d 
 
 
 , então 
 , assim: 
 
 
 
2) 
 56 Derivadas e Aplicações 
Função principal: d( 
 
 
 , então 
 , assim: 
 
 
 
Exercícios: 
 
Derive as seguintes funções compostas. 
1)  
32431 xxy  
   xxxy 834313':Resp 22  
2)  
52 1 xy 
 110':Resp 2  xxy 
3) 
xey 28 
xey 28':Resp  
4) xxy 4 tg2sen  xxy 4sec42cos2':Resp
2 
5)  2ln
25  xey x 
  








52
2
5 2ln
2
2
':Resp x
x
x
ey x
 
6) 
xey 4cos 
xx eey 44 sen 4':Resp  
7) 
3 2 52 xxy   3 22 523
54
':Resp
xx
x
y



 
8)  54)(
22  xsenxf 
 1088)(':Resp 2  xsenxxf 
9) sssensf
22 cos)(  
ssf 2sen 2)(':Resp  
10) 
3 4 6)( xtgxf 
 
32 66sec8)(':Resp xtgxxf  
11) 
32 6sec4)( xxsenxf  
 xxtgxsenxxxf 8sen 26496sec2)(':Resp 3223 
 
12) x
x
xg
sen1
sen1
)(



 
x
xg
sen 1
1
)(':Resp


 
13) 
3 2 1 xxy  3 22 13
12
':Resp



xx
x
y
 
14) 1
1
ln



x
x
y
 1
2
':Resp
2 

x
y
 
15) 4
432 2



x
xx
y
 
  4432
432
ln':Resp
2
2



xxx
xx
y
 
16)  xy logcos 
 
10ln
log
':Resp
x
xsen
y 
 
17)  xseny cos  xxy coscossen ':Resp  
 57 Derivadas e Aplicações 
18) xx
xx
y



1
ln
2
2
 
1
2
':Resp
2 

x
y
 
19) 
xey 2sen 
xyy 2cos2':Resp  
20) 
xxy 3
2
8  
  8ln32':Resp  xyy 
21) 
x
x
e
e
tgy



1
1
 
 












x
xx
x
e
ee
e
y
1
1
cos
1
1
2
':Resp
2
2
 
22)  
2
arccos xy  21
arccos2
':Resp
x
x
y



 
23)   xxxseny 3sec424
33  
    xxxxxy 3sec3tg3424cos162':Resp 32  
24) 
12 tgarc  xey 22
1
2
2
1
2
':Resp




x
x
e
xe
y
 
25) 
32 xsenxy  
3233 23':Resp xsenxsenxy  
26)  
2
sen arc xy  2
sen arc
':Resp
xx
x
y


 
27) 
3 3ln xseney  3 2 3sec3
1
':Resp
xxtg
y 
 
28)   
22 14ln  xseny 
  
14
14ln4
':Resp
2



x
xsen
y
 
29) 
3 2 12ln  xxy  13
2
':Resp


x
y
 
30)  
24 16secln  xy 
   2161648':Resp  xtgxy 
31) 
2
1
1
1
ln 








tgx
tgx
y
 
xtg
x
y
2
2
1
sec
':Resp


 
32) senxey
x ln 
 xxey x sen ln cotg':Resp  
33) 
senxmexy  





 

x
xxm
yy
cos
':Resp
 
 
 
Derivadas de funções implícitas: seja , uma função apresentada 
implicitamente por , para determinar a derivada podemos proceder de 
uma das seguintes formas: 
 
1) Derivamos x e y acrescentando, respectivamente, dx e dy e depois determinamos 
. 
 (derivada do produto) 
idem para: 
 
 58 Derivadas e Aplicações 
 então: e 
 assim: 
 
 
 
 
 
2) Derivamos x e, ao derivarmos y, acrescentamos e isolamos determinando-o: 
 
 
 
 
 
 
 
3) 


















22
3
123
x
F
constante) permanece(x y a relação em derivamos
1246
constante) permanece(y x a relação em derivamos
0),( de
xyx
yxy
x
F
yxF 
 
 
 
 
 
 
 
Derivada de funções inversas: seja uma função derivável e inversível, então 
 , daí . 
 59 Derivadas e Aplicações 
Exemplo: determine , onde 
 
 
 
 
 
Derivada de funções paramétricas: seja uma função derivável e apresentada 
parametricamente por , onde t é a variável paramétrica ou auxiliar. Se 
pudermos explicitar y como função de x, teremos diretamente . Se não quisermos ou 
não pudermos explicitar y como função de x, tiramos de x→ e de y → 
, daí . 
 
Exemplo: Determine , onde e . 
 
 
 
 
 
 
 
Derivadas sucessivas: seja uma função contínua e derivável de ordem n no 
intervalo , então sua derivada, também chamada derivada primeira ou de primeira 
ordem, é , a derivada dessa, chamada derivada de segundaordem, é 
denotada por , a dessa, chamada de derivada de terceira ordem, é denotada 
por , e assim sucessivamente à enésima derivada, chamada de enésima 
ordem, denotada por . 
 
Exemplos: 
1) Dada a função , determine a derivada de quinta ordem. 
 60 Derivadas e Aplicações 
 
 
 
 
 
 
2) Dada a função , determine . 
 
 
 
 
 
 
 3) Dado , determine . 
 
 
 
 
Notemos que, na derivada de quarta ordem, volta-se à função principal (parte algébrica) 
, e também que a cada derivada a potência da constante é igual a ordem da 
derivada. Assim dividimos a ordem que queremos por 4, no caso 87/4 e vemos que 
iremos dar 21 voltas e parar na derivada de terceira ordem. Assim: 
 
 
 
 
Exercícios 
 61 Derivadas e Aplicações 
 Achar a derivada 
dx
dy
das funções implícitas y seguintes: 
1) 0524  yx 32:Resp x
dx
dy
 
2) 02 22  yxyx 
xy
xy
dx
dy


:Resp 
3) 
yx
yx
y



24 154
2
ou 
3)(4
3
:Resp
43
4
23 




yxy
y
dx
dy
xyxy
y
dx
dy
 
4) 2 xyee xy 
xe
ey
dx
dy
y
x


:Resp 
5) 1)(  xysen
y
x
 
 
 1)cos(
1)cos(
:Resp
2
2



xyyx
xyyy
dx
dy 
6) 0433  axyyx 
axy
xay
dx
dy
43
34
:Resp
2
2


 
7) 543224  xyxyxm 33
2244
42
32
:Resp
xyyx
xyxmy
dx
dy


 
8) 2sen sen 22  yxxy 
yxxy
yxxy
dx
dy
cossen 2
sen 2cos
:Resp
2
2


 
9) xexy
xy ln x
y
xye
y
dx
dy
xy



1
:Resp
 
 
Encontre 
dx
dy
, onde as funções seguintes são dadas sob a forma paramétrica: 
1) tasenytbx 44 e cos  ttg
b
a
dx
dy 2:Resp  
2) 124 e 24  ttytx 
34
28
:Resp
t
t
dx
dy 
 
3) 
te
ta
y
t
at
x
ln
 e 
1
7 2
3


 t
t
tet
tta
dx
dy
)21(7
)ln1()1(
:Resp
3
23


 
4) tbtytatx cos e sen  








ttt
ttt
a
b
dx
dy
cossen 
sen cos
:Resp 
5) 
2
2 1 e 1
t
t
xty

 
1)2(
:Resp
2
4


tt
t
dx
dy 
6) tt exey 24 e   te
dx
dy 62:Resp  
 
 
Prove que a função y representada na forma paramétrica pelas equações 
2tx  e tey  
satisfaz a equação: 
0 ,
4
2 2
2








 x
xx
yxy
dx
dy
dx
dy x
 
 62 Derivadas e Aplicações 
 
Achar 
dx
dy
 quando t=0, onde teytex tt tg e sen  
1:Resp 
dx
dy 
 
Calcule 
2
2
dx
yd
, sendo: 
1) 1424
23  xxxy 424:Resp 2
2
 x
dx
yd
 
2) 6848
356  xxxy xxxdx
yd
4880240:Resp 34
2
2

 
3) 
2
4
x
y 
 
42
2 24
:Resp
xdx
yd

 
4) cnxmxy 
2
 mdx
yd
2:Resp
2
2

 
5) 2
1
ln


x
y
 
 22
2
2
1
:Resp


xdx
yd
 
6) 
xexy 2 
  xexx
dx
yd
24:Resp 2
2
2

 
7) xxy 2sen xxxdx
yd
2sen 42cos4:Resp
2
2

 
8) 
2
1
1









x
x
y
 
42
2
)1(
)2(8
:Resp



x
x
dx
yd
 
 
 
Calcule 
3
3
dx
yd
, sendo: 
1) 4542 234  xxxxy )12(12:Resp
3
3
 x
dx
yd 
2) xey 28 xe
dx
yd 2
3
3
64:Resp  
3) xxy cossen  )cossen (:Resp
3
3
xx
dx
yd
 
4) 2ln xy  
33
3 4
:Resp
xdx
yd
 
5) xxxey x cossen  xxxxxe
dx
yd x cos3sen )sen (cos2:Resp
3
3
 
6) 43xxy  x
xxdx
yd
72
8
3
:Resp
23
3
 
 
Calcule 
6
6
dx
yd
, onde: 
 63 Derivadas e Aplicações 
1) xxy cossen  )cossen (:Resp
6
6
xx
dx
yd
 
2) 7xy  x
dx
yd
!7:Resp
3
3
 
3) cbxaxy  23 0:Resp
3
3

dx
yd 
4) )1ln(  xy 63
3
)1(
120
:Resp


xdx
yd 
5) xseny 2 x
dx
yd
2cos32:Resp
3
3
 
Calcule 
2
2
dx
yd
das funções seguintes representadas na forma paramétrica: 
1) ttyex t 32 e 2  
te
t
dx
yd 41
:Resp
2
2 
 
2) )1ln( e )1ln( 2  tytx 22
2
)1(
2
:Resp


tdx
yd 
3) tytx cos2 e sen 4  t
dx
yd 2
2
2
sec
2
1
:Resp  
4) atat eyex   e atae
dx
yd
2:Resp
2
2
 
5) )cos2(5 e )sen 3(2 tytx  t
dx
yd 2
2
2
sec
2
5
:Resp  
6) tytx tgarc e 4 2 == 222
2
2
2
)1(8
13
:Resp



tt
t
dx
yd 
7) tsenytx
2 e 2cos  
0:Resp
2
2

dx
yd
 
 
 
Mostre que a função xxy cossen  satisfaz a equação diferencial 
0
3
3

dx
yd
dx
dy
 
 
Mostre que a função satisfaz a equação diferencial 
 
 
 
 
 
 
 
Calcule 
2
2
dx
yd
 das funções seguintes, representadas na forma implícita por: 
1) 0422  xy 22
2 1
:Resp
ydx
yd
 
2) 422  yx 32
2 4
:Resp
ydx
yd
 
 64 Derivadas e Aplicações 
3) 04253  yxxyx 22
2
)45(
)102512(2
:Resp



x
yx
dx
yd 
4) bmxy 2 3
2
2
2
4
:Resp
y
m
dx
yd
 
5) yexy  32
2
)1(
:Resp
y
y
e
e
dx
yd

 
 
 
 
 
Calcule 
2
2
dx
yd
 das funções seguintes, representados na forma implícita por: 
1) 0642 2  yx 
32
2 1
:Resp
xdx
yd
 
2) xyx ln 22
2
)1(
:Resp


x
x
dx
yd 
3) 222 ayx  
3
2
2
2
:Resp
x
a
dx
yd
 
4) 32 84 yx  
32
2 16
:Resp
xdx
yd
 
5) xyxy  22
2
)1(
)1(2
:Resp
y
x
dx
yd


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 65 Derivadas e Aplicações 
Aplicações de derivadas 
 
1°) Determinação das equações das retas tangente (t) e normal (n) à uma curva 
 ( ), num ponto ( ). 
Como vimos na interpretação geométrica da derivada de uma função ( ), 
 
 ( ) im 
 
 
 ( ) é o coeficiente 
angular da reta t, tangente a ( ) no ponto 
 ( ). 
Do triângulo retângulo ABC, temos 
 
 
 
 ( ). 
Substituindo (ii) em (i), obtemos a identidade 
 ( ) 
 
 
 
 ( )( ) 
Que representa uma reta tangente a ( ) no ponto ( ), onde estão relacionaodos 
com esse mesmo ponto, um segundo ponto ( ) dessa reta e seu coeficiente 
angular ( ). 
Tomando como um ponto qualquer da reta , ( )-, esta identidade torna-se a 
equação de uma reta tangente à curva ( ) no ponto ( ). 
 : ( )( ) 
Já uma reta com ângulo de inclinação ⁄ , se ⁄ ou ⁄ , 
se ⁄ é normal a uma reta com ângulo de inclinação , como ilustram as 
figuras abaixo. 
 
 
Como o triângulo DOE é retângulo em O e os triângulos DOF e EOF são retângulos em 
F, por relações trigonométricas, temos que 
 | || | | | 
 
| |
 
Sendo (observe as figuras), podemos concluir que 
 
 
 é o 
coeficiente angular de uma reta normal à curva ( ) no ponto ( ), que 
implica na equação de reta 
 : 
 
 ( )
( ) 
Sintetizando: 
(I) 
 ( )( ) Equação da reta tangente a uma curva ( ) 
no ponto ( ) 
(II) 
 
 ( )
( ) Equação da reta normal a uma curva ( ) 
no ponto ( ). 
 66 Derivadas e Aplicações 
Exemplos: 
 
1) Determine as equações das retas tangente e normal à curva 
, no ponto de abscissa 1. 
 
 
 
 Equação da tangente: 
 
 
 
 
Equação da reta normal: 
 
 
 
2) Determine as equações da reta tangente e da reta normal à curva , 
no ponto 
 
Equação da tangente: 
 
 
 
Equação da reta normal: 
 
 
 
 
 
2°) Aplicações físicas. 
 
 Problema: Determine a velocidade e a aceleração de um móvel que se desloca 
segundo a equação , (s dado em unidade de comprimento e t de tempo), 
representado no gráfico abaixo. 
 
Velocidade Média 
 
 
 
 
 
 
 
 
Velocidade Instantânea 
 im
 
 
 
 
 
 
 
Aceleração Média 
 
 
 
 
 
Aceleração Instantânea 
 im
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 67 Derivadas e Aplicações 
Exemplos: 
 
1) Uma partícula se desloca segundo a equação , onde s é dado 
em km e t em segundos, determine a localização, a velocidade e a aceleração 
decorridos 3 segundos. 
 
 
 
 
 
 
 
2) Um móvel se desloca segundo a equação , 
determine sua localização, velocidade e o tempo necessário para que sua 
aceleração atinja 18m/ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3°) Regra de L’Hospital 
 
o nosso limite apresenta uma indeterminação,nos casos de indeterminação podemos 
apli ar a regra L’Hospital, ou seja 
 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 68 Derivadas e Aplicações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4°) Variação de funções: seja uma função contínua e derivável de segunda 
ordem num intervalo , em que ela e suas funções derivadas se apresentarão no 
gráfico abaixo. 
 
 Preliminares: 
 
 
 
 
 69 Derivadas e Aplicações 
 
 
 
 
 Roteiro: Estudo da variação da função ( ). 
1) Determinamos a sua derivada de primeira ordem. 
2) Calculamos as raízes da derivada primeira: ( ) ( ) . 
3) Determinamos a derivada segunda. 
4) Substituímos as raízes da derivada primeira na derivada segunda, se: 
a) ( ) po to de m imo o tido por ( ( )) 
b) ( ) po tode m imo o tido por ( ( )) 
c) ( ) nada podemos afirmar quanto ao máximo ou mínimo da função. 
5) Calculamos as raízes da derivada segunda ( ) 
 ( ) ⁄ e 
determinamos o ponto de inflexão . ( )/ 
6) Estudamos os sinais da derivada primeira. 
(i) Se ( ) , a função é crescente. 
(ii) Se ( ) , a função é decrescente. 
7) Estudamos os sinais da derivada segunda. 
(i) Se ( ) , a função apresenta concavidade voltada para cima. 
(ii) Se ( ) , a função apresenta concavidade voltada para baixo. 
 
 
Exercício: 
 
Estude e esboce o gráfico de cada função: 
 a) 
1) Determinamos a derivada primeira: 
 ( ) 
 
2) Calculamos as raízes da derivada primeira: 
 ( ) 
 {
 
 
 
3) Determinamos a derivada segunda: 
 70 Derivadas e Aplicações 
 ( ) 
 
4) Substituímos as raízes da derivada primeira na derivada segunda. 
 
(I)Para , temos ( ) ( ) é a abscissa do 
ponto de máximo da função 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 10 é a ordenada do ponto de 
máximo da função. 
Logo, ( ) é ponto de máximo da função. 
 
(II)Para , temos ( ) ( ) 3 é a abscissa do ponto de 
mínimo da função 
 ( ) ( ) ( ) ( ) é a ordenada do ponto de 
mínimo da função. 
Logo, ( ) é ponto de mínimo da função. 
 
 5) Calculamos as raízes da derivada segunda. 
 ( ) 
 é a abscissa do ponto de inflexão. 
 ( ) ( ) ( ) ( ) é a ordenada do ponto de inflexão. 
Logo, ( ) é o ponto de inflexão da função. 
 
 
6) Estudamos os sinais da derivada primeira. 
 ( ) 
 
(I) y é crescente ( ( ) ) em: 
(II) y é decrescente ( ( ) ) em: 
 
7) Estudamos os sinais da derivada de segunda ordem. 
 
y apresenta concavidade voltada para: 
 
(I) cima ( ( ) ) em: 
 
(II) baixo ( ( ) ) em: 
 
Esboço gráfico 
 
 
 
 
 
 71 Derivadas e Aplicações 
b) 
 
1) ( ) 
 
2) ( ) {
 
 
 
 
3) ( ) 
 
4) (I) para , temos ( ) ( ) é abscissa do 
ponto de mínimo da função. 
 ( ) ( ) ( ) é a ordenada do ponto de mínimo da 
função. 
Logo, ( ) é o ponto de mínimo da função. 
 
(II) para , temos ( ) ( ) é abscissa do ponto de 
máximo da função. 
 ( ) ( ) ( ) é a ordenada do ponto de máximo da função. 
Logo, ( ) é o ponto de máximo da função. 
 
5) ( ) é a abascissa do ponto de inflexão. 
 ( ) ( ) ( ) é a ordenada do ponto de inflexão. 
Logo, ( ) é o ponto de inflexão da função. 
6) 
 
y é crescente ( ( ) ) em: 
y é decrescente ( ( ) ) em: 
 
7) ( ) 
 
y apresenta concavidade voltada para: 
(I) cima ( ( ) ) em: . 
(II) baixo ( ( ) ) em: . 
8) Esboço gráfico 
 
 11 máximo 
 
 
 
 
 
 -2 2 
 infl -3 
 
 mínimo -21 
 
 72 Derivadas e Aplicações 
 c) 
 
1) ( ) 
 
2) ( ) {
 
 
 
 
3) ( ) 
 
4) (I) para , temos ( ) ( ) é abscissa do ponto 
de máximo da função. 
 ( ) ( ) ( ) é a ordenada do ponto de máximo da função. 
Logo, ( ) é o ponto de máximo da função. 
 
(II) para , temos ( ) é abscissa do ponto de 
mínimo da função. 
 ( ) ( ) ( ) é a ordenada do ponto de mínimo da função. 
Logo, ( ) é o ponto de mínimo da função. 
 
5) ( ) é a abascissa do ponto de inflexão. 
 ( ) ( ) ( ) é a ordenada do ponto de inflexão. 
Logo, ( ) é o ponto de inflexão da função. 
 
6) ( ) 
 
y é crescente ( ( ) ) em: 
y é decrescente ( ( ) ) em: 
 
7) ( ) 
 
y apresenta concavidade voltada para: 
(I) cima ( ( ) ) em: . 
(II) baixo ( ( ) ) em: . 
8) Esboço gráfico 
 
 
 máximo 
 1 
 2 4 
 
 inflexão 
 -15 
 
 -31 
 mínimo 
 
 73 Derivadas e Aplicações 
Exercícios 
 
Escreva a equação da tangente e da normal às curvas seguintes nos pontos pedidos: 
 
1) xy  no ponto cuja abscissa vale x = 4 
0184 e 044:Resp  yxyx 
 
2) 343 2  xxy no ponto (1,2) 
052 e 02:Resp  y-xxy 
 
3) xy 2 cotg no ponto 





0,
4

 
0
4
-2y- xe 0
2
2:Resp 

yx 
 
4) xy ln no ponto de intersecção com o eixo x 
01-y xe 01:Resp  yx 
 
5) ttyttx sen , cos  para
4

t 
024)y(-4)x-( e 0
4
)4()4(:Resp
22
 

 yx 
 
6) 12 22  yyx no ponto (2,3) 
05 e 01:Resp  yxyx 
 
7) 52 3  yxxy no ponto (1,2) 
013 e 073:Resp  yxyx 
 
8) 22 246  yxyx no ponto (1,1) 
065 e 045:Resp  yxyx 
 
 
Aplicações Físicas 
 
1) Um corpo se desloca sobre um plano inclinado através da equação tts 25 2  
(s em metros e t em segundos). Calcular a velocidade e a aceleração desse corpo 
após 2 segundos da partida. 
2/10 e /18:Resp smasmv  
 
2) Um corpo é abandonado do alto de uma torre de 40m de altura através da 
equação 26 2  ty . Achar sua velocidade quando se encontra a 18m do solo 
onde y é medido em metros e t em segundos. 
smv /24:Resp  
 74 Derivadas e Aplicações 
3) Uma partícula se move segundo a equação 152 23  ttts (s em metros e t 
em segundos). Em que instante a sua velocidade vale 9m/s? 
st 2:Resp  
 
4) Dois corpos tem movimento em uma mesma reta segundo as equações 
14 231  ttts e 253
23
2  ttts . Determine as velocidades e posições 
desses corpos quando as suas acelerações são iguais considerando s em metros e 
t em segudos. 
mssmvmssmv 14 e /25 ,65 ,/52:Resp 2211  
 
5) Uma partícula descreve um movimento circular segundo a equação 
432 24  tt ( em radianos). Determine a velocidade e a aceleração 
angulares após 4 segundos. 
2/378 e /488:Resp srdsrdw   
 
6) Um móvel descreve uma trajetória segundo a equação 
2
73



t
t
s (s em cm e t em 
segundos). Qual a sua velocidade e aceleração após deslocar 2 cm? 
2/
169
2
 ,/
13
1
:Resp scmascmv  
 
 
Calcule o valor dos limites seguintes usando a regra de L´Hospital. 
1) 132
12
lim
3
23
1 

 xx
xx
x 
3
1
:Resp 
 
2) xx
xx
x 32
324
lim
2
2


 
2:Resp 
3) x
x
x cos1
sen 
lim
0  
:Resp 
4) 
 
4
4
lim
2
2


 x
x
x 
1:Resp 
5) x
sen 
lim
0
x
x 
1:Resp 
6) 
 
b
xbx
b
sen sen
lim
0

 
xcos:Resp 
7) x
x
x sen
4
lim
2
2

 
4
:Resp


 
8) x
sen arc
lim
0
x
x 
1:Resp 
9) 
x
xx
x tg1
sen cos
lim
4




 
2
2
:Resp
 
 75 Derivadas e Aplicações 
10) πx
x
x 3sen
sen
lim
1

 3
1
:Resp
 
11) 
 
x
x
x
1ln
lim
0

 
1:Resp 
12) xx
eex xx
x sen 
2
lim
0 
 
 
2:Resp 
13) 1
1
lim
1 

 x
x n
x 
n:Resp 
14) x
x
x tg
sec1
lim
0


 
0:Resp 
15) 
 
5
4ln
lim
5 

 x
x
x 
1:Resp 
16) xx
exe xx
x 42
cos
lim