Lista de exercícios 1 (2)

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Primeira lista de Cálculo II
Professor: Luiz Carlos Gabriel Filho
1. Represente graficamente o gráfico da superf́ıcie f : R2 −→ R, definida por
f(x, y) = 100 − x2 − y2. Trace as curvas de ńıvel f(x, y) = k, com k = 0,
k = 51 e k = 75.
2. Nos itens abaixo, determine o domı́nio, descreva as curvas de ńıvel e represente
graficamente as superf́ıcies
a) f(x, y) =
√
x2 + y2;
b) f(x, y) =
√
1− x2 − y2;
c) f(x, y) = y2;
d) f(x, y) = 1− | y |;
e) f(x, y) = 4x2 + y2.
3. Nos itens abaixo, calcule as derivadas parciais indicadas.
a) f(x, y) = 3xy + 6x− y2,
∂f
∂x
(x, y).
b) f(x, y) =
x+ y
√
y2 − x2
,
∂f
∂y
(x, y).
c) f(x, y) = ey/x ln
(
x2
y
)
,
∂f
∂x
(x, y).
d) f(x, y) = (x2 + y2 + z2)−1/2,
∂f
∂z
(x, y, z).
4. Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f(x, y) = x2 + y2 no ponto
P (1, 1, 2). Em seguida, determine o vetor normal ao gráfico de f no ponto
P (1, 1, 2). Desenhe.
5. Determine o vetor normal ao gráfico de f no ponto P (1, 1, 2) no exerćıcio anterior.
6. Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f(x, y) =
√
x2 + y2 no
ponto P (0, 2, 2). Em seguida, determine o vetor normal ao gráfico de f no ponto
P (0, 2, 2). Desenhe.
7. Uma produção de caixas depende de dois materiais, onde x é uma madeira e y uma
cola especial. Cada madeira custa 3 reais e cada cola custa 2 reais. Responda:
a) Determine a função custo.
b) Encontre a curva, ao longo do qual, o custo é constante, e igual a R$1000, 00
reais.
c) Determine a direção, na qual, o custo cresce de forma mais rápida.