Lista de Calculo I - L5-2019-2

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Universidade Federal de Goiás
Instituto de Matemática e Estatística
5a Lista de Exercícios de Cálculo I
Questão 1. Determine a função y = f(x) , x ∈ R, tal que:
(a)
dy
dx
= 3x− 1 e y(0) = 2;
(b)
dy
dx
= cosx e y(0) = 0;
(c)
dy
dx
= x3 − x+ 1 e y(1) = 1;
(d)
dy
dx
= e−x e y(0) = 1
Questão 2. Calcule as integrais indefinidas e verifique sua resposta via derivação
(a)
∫ √
x dx
(b)
∫
x−4 dx
(c)
∫
x+ x2
x2
dx
(d)
∫
e
√
2x dx
(e)
∫
cos 7t dt
(f)
∫ (
e4x +
1
x2
)
dx
(g)
∫
7x3
√
x dx
(h)
∫
(4x3−3x2+6x−1) dx
(i)
∫ (
1
3
sen 2x+
1
4
sec2 5x
)
dx
(j)
∫ (
1
x
+
1
x2
)
dx
Questão 3. Calcule as seguintes integrais indefinidas Usando as técnicas de integração
1.
∫ √
x(x+ 1) dx
2.
∫
y3(2y2 − 3) dy
3.
∫
x2 + 4x− 4√
x
dx
4.
∫
3x dx
5.
∫
5x + e−x dx
6.
∫
(1 + secx)2 dx
7.
∫
x
(1 + 4x2)2
dx
8.
∫
cosx+ secx
cosx
dx
9.
∫
sen x
cos2 x
dx
10.
∫
sen 2x cosx dx
11.
∫
tan2 x dx
12.
∫
(3x− 2)3 dx
13.
∫
xsen x2 dx
14.
∫
1
(3x− 2)2
dx
15.
∫
xe−x
2
dx
16.
∫
x3 cosx4 dx
17.
∫
sec2 x
3 + 2 tanx
dx
18.
∫
x3√
1 + x2
dx
19.
∫
cos (x2 − 2) · 2x dx
20.
∫
sen (2x+ 9) dx
21.
∫
x2√
1− x6
dx
22.
∫
x
√
x2 − 9 dx
23.
∫
x
(x2 + 16)2
dx
24.
∫
2x√
x2 + 4
dx
25.
∫
2x(x2 + 1)23 dx
26.
∫
esenx · cosx dx
27.
∫
x · sec2 (x2 + 7) dx
28.
∫
x2
√
x− 1 dx
29.
∫
sen x
√
3 + cosx dx
30.
∫
cos3 x dx
31.
∫
sen (3θ)
1 + cos(3θ)
dθ
32.
∫
sec2(x)√
1− tg 2x
dx
33.
∫
sen x
1 + cos2 x
dx
34.
∫
x2 lnx dx
35.
∫
x lnx dx
36.
∫
e2θsen (3θ) dθ
1
37.
∫
x ex dx
38.
∫
ln2 x dx
39.
∫
t3 et dt
40.
∫
sec2 x
3 + 2 tanx
dx
41.
∫
t · sen (2t) dt
42.
∫
x2 cos (mx) dx
43.
∫
y · senh(y) dy
44.
∫
1
x
√
1− ln2 x
dx
45.
∫
x · 5x dx
46.
∫
arctg x dx
47.
∫
arccosx dx
48.
∫
dx
(x+ 3)(x− 5)
49.
∫
1
x2 − α2
dx, α 6= 0
50.
∫
x+ 3
(x− 1)2
dx
51.
∫
2x+ 1
x2 − 1
dx
52.
∫
x2 + 3
x2 − 9
dx
53.
∫
dx
x2 − x− 2
54.
∫
dx
x2 − 2x− 15
55.
∫
dx
x(x2 + 3)
56.
∫
dx
(x+ 2)2(x− 3)
57.
∫
dx
(x+ 3)(x− 5)
58.
∫
1
(3x− 2)2
dx
59.
∫
x
(1 + 4x2)2
dx
60.
∫
x3 cosx4dx
61.
∫
2x− 1
(x− 1)3
dx
62.
∫
tan3 x sec4 x dx
63.
∫
cosx sen 5x dx
64.
∫
x cosx dx
65.
∫
sen 2x dx
66.
∫
e2x sen 3x dx
67.
∫ √
1 + 4x2 dx
68.
∫ √
25x2 + 4 dx
69.
∫ √
25− 9x2 dx
70.
∫
1
x2
√
1 + x2
dx
71.
∫
x√
1− x2
dx
72.
∫
secx dx
73.
∫
tanx dx
74.
∫
x− 2
x2 + x− 2
dx;
75.
∫
x2 e−3x dx;
76.
∫
5x2√
9− x2
dx.
77.
∫
x3 cos(x4 + 2) dx;
78.
∫
x5 ln(x) dx;
79.
∫ √
9− x2
x2
dx;
80.
∫ √
x+ 4
x
dx.
81.
∫
x2 e−3x dx;
82.
∫
4
25 + x2
dx;
83.
∫
x+ 2
x2 − 3x+ 2
dx;
84.
∫
4x2√
9− x2
dx.
85.
∫
1
x2 − 4
dx
86.
∫
x+ 3
(x− 1)2
dx
87.
∫
x4 + x+ 1
x3 − x
dx
88.
∫
x+ 3
x2 − x
dx
89.
∫
x3 + x+ 1
x2 − 4x+ 3
dx
90.
∫
tan3 x sec4 x dx
91.
∫
x− 1
9 + x2
dx
92.
∫
−3
16 + x2
dx;
93.
∫
x3 − 2x2 − 3x+ 1
x2 − 2x− 3
dx;
94.
∫
sen 3x cos 4x dx
95.
∫
sen 3x sen 5x dx
96.
∫
cos 2x cos 7x dx
97.
∫
tan3 x sec4 x dx
98.
∫
cosx+ secx
cosx
dx
2
Questão 4. Calcule as seguintes integrais definidas
(a)
∫ 1
0
x+ 3 dx
(b)
∫ 1
1
2
3
√
x
dx
(c)
∫ 2
1
t3 + t+
1
t
3
dt
(d)
∫ π
−π
sen 2x dx
(e)
∫ 3
−2
e2y dy
(f)
∫ 1
0
1
1 + t2
dt
(g)
∫ 1
−2
(x2 − 1) dt
(h)
∫ 2
1
1 + x√
x
dx
(i)
∫ 0
−1
(3u5 − 2u3) du
(j)
∫ π
2
−π
3
cos 2x dx
(k)
∫ π/4
0
sec2 x dx
(l)
∫ √2/2
0
− 1√
1− x2
dx
(m)
∫ 2
0
(x− 1)25 dx
(n)
∫ π
3
0
sen θ
cos2 θ
dθ
(o)
∫ 1
0
(x2 + 1)e−x dx
(p)
∫ π
0
x3 cosx dx
(q)
∫ 1
0
√
x2 + 1 dx
(r)
∫ π
8
0
cos2 x dx
Questão 5. Nos exercícios abaixo, calcule a área do conjunto A.
(a) A é o conjunto do plano limitado pelas retas
x = 1, x = 3, pelo eixo 0x e pelo gráfico de y = x3.
(b) A é o conjunto do plano limitado pelas retas
x = 1, x = 4, y = 0 e pelo gráfico de y =
√
x.
(c) A é o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que
x2 − 1 ≤ y ≤ 0.
(d) A é o conjunto do todos os pontos (x, y) tais que
0 ≤ y ≤ 4− x2.
(e) A é o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que
0 ≤ y ≤ |sen x| com 0 ≤ x ≤ 2π.
(f) A é o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que
x ≥ 0 e −x ≤ y ≤ x− x2.
(g) A = {(x, y) ∈2; x ≥ 0 e x3 − x ≤ y ≤ 5− 4x2}.
(h) A é o conjunto do todos os pontos (x, y) tais que
x2 + 1 ≤ y ≤ x+ 1.
(i) A = {(x, y) ∈ R2; x ≥ 1, 0 ≤ y ≤ e−x}
(j) A = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ π/2, 0 ≤ y ≤ sec2 x}
(k) A = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≥ y ≥ lnx}
Questão 6. Calcule o volume do sólido B ob-
tido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de
todos os pares (x, y) tais que
(a) 1 ≤ x ≤ 3 e 0 ≤ y ≤ x.
(b) 1 ≤ x ≤ 4 e 0 ≤ y ≤
√
x.
(c) x2 ≤ y ≤ x.
(d) x2 + (y − 2)2 ≤ 1.
Questão 7. Calcule o volume do sólido B ob-
tido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de
todos os pares (x, y) tais que
(a) 1 ≤ x ≤ 3e e 0 ≤ y ≤ lnx.
(b) 1 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ x2 − 1.
(c) y2 ≤ 2x− x2, y ≥ 0.
(d) 0 ≤ x ≤ π e 0 ≤ y ≤ sen x.
Questão 8. Um foguete decola da superfície
terrestre com uma aceleração constante de 20 m/s2.
Qual será sua velocidade 1 minuto depois?
Questão 9. Seja f uma função continua no
intervalo [−a, a]. Mostre que se f for par então∫ a
−a f(x)dx = 2
∫ a
0 f(x) dx e se f for impar, então∫ a
−a f(x) dx = 0.
Questão 10. Determine o valor negativo de a
para que a área delimitada pela curva y = (x− 1)2 o
eixo x e a reta x = a seja de 9 unidades quadrada.
Questão 11. Uma população de bactérias tem
inicialmente 400 bactérias e cresce a uma taxa de
r(t) = (450.268)e1,12567·t
bactérias por hora. Quantas bactérias temos após 3
horas?
Questão 12. A velocidade de uma partícula
em movimento de um lado para outro em uma reta
é v =
ds
dt
= 6 sen (2t) m/s para qualquer t. Deter-
mine o valor de s quando t =
π
2
s, sabendo que s = 0
quando t = 0.
3
Questão 13. Uma substância radioativa de-
cai exponencialmente: a massa no tempo t é m(t) =
m(0)ekt, onde m(0) é a massa inicial e k é uma cons-
tante negativa. A vida média M de um átomo na
substância é
M = lim
a→∞
(
−k
∫ a
0
tektdt
)
.
Para o isótopo radioativo de carbono, 14C, usado para
a datação, o valor de k é −0, 000121. Calcule a vida
média de um átomo de 14C.
Questão 14. Seja A(n) a área entre as curvas
y = n
√
x e y = x no primeiro quadrante. Determine
A(n) e diga o que acontece com A(n) quando n→∞.
y = n
√
x
Questão 15. Uma barra carregada de compri-
mento L produz um campo elétrico no ponto P (a, b)
dado por
E(P ) =
∫ L−a
−a
λb
4πε0(b2 + x2)
3
2
dx
onde λ é a densidade de carga por unidade de com-
primento da barra e ε0, a permissividade do vácuo
(veja a figura). Avalie a integral para determinar uma
expressão para o campo elétrico E(P ).
Questão 16. Dada a função f(x) =
x
1 + x2
:
(a) Determine a função A = A(a) que representa a
área abaixo do gráfico de f , acima do eixo x entre
entre as retas x = 0 e x = a.
(b) Determine o valor de a para que A =
1
2
.
a x
y
Questão 17. O Momento M0, a Massa M e
Centro de massa x de uma Barra ou Faixa Fina ao
longo do Eixo x com Função Densidade δ(x) são, res-
pectivamente,
M0 =
∫ b
a
xδ(x) dx, M =
∫ b
a
δ(x) dx, x =
M0
M
.
Mostre que o centro de massa de uma faixa reta e fina
ou barra de densidade constante situa-se no meio do
caminho entre um extremo e outro.
Questão 18. um modelo do tempo necessário
para que a doença atinja x indivíduos (t é dado em
horas).
(a) Ache o tempo em que 75% da população se
tornam infectads (quando t = 0, x = 1)
(b) Ache o número de pessoas infectadas após 100
horas.
Questão 19. Sendo R uma constante real po-
sitiva (a) Calcule F (R) =
∫ R
0
1
1 + x2
dx . (b) Calcule
lim
R→∞
F (R).
Questão 20. Um material radioativo se de-
sintegra a uma taxa
dm
dt
proporcional a m, onde
m = m(t) é a quantidade de matéria no instante
t. Supondo que a quantidade inicial (em t = 0) de
matéria seja m0 e que 10 anos após já tenha se de-
sintegrado 13 da quantidade inicial, qual o tempo ne-
cessário para que a metade da quantidade inicial se
desintegre? E em quanto tempo o material se desin-
tegrará totalmente?
Questão 21. Sejam R(a) e V (a), respectiva-
mente, a área da região
R = {(x, y) : 1 6 x 6 a e 0 6 y 6 1
x
}
e o volume do solido gerado pela rotaçãoda região R
em torno do eixo x, Determine:
(a) lim
a→∞
R(a).
(b) lim
a→∞
V (a). Este sólido e conhecido como trom-
beta do anjo Gabriel .
4
Questão 22. Seja R a região, limitada pelas
curvas y = x e y = x2, Determine:
(a) o volume do sólido gerado pela rotação da região
R em torno do eixo x.
(b) o volume do sólido gerado pela rotação da região
R em torno do eixo y.
Questão 23. A população P (t) de uma colo-
nia de bactéria t horas após o início da observação esta
mudando à taxa de
dP
dt
= 200e0,1t + 150e−0,03t.
Se a pululação era de 200.000 bactérias quando as ob-
servações começaram, qual será a população 12 horas
depois?
Questão 24. Uma corporação criou uma linha
de produção para fabricar um novo tipo de telefone ce-
lular. A taxa de produção do telefones é
dP
dt
= 1.500
(
2− t
2t+ 5
)
unidades por mês. Quantos telefones são produzidos
durante o terceiro mês?
Questão 25. Uma proteína com massa m gra-
mas se desintegra em aminoácidos a uma taxa dada
por
dm
dt
=
−2
t+ 1
g/h.
Quanto mais proteína existe depois de 2 horas e depois
de 5 horas?
Definição 1. Se f é uma função integrável no inter-
valo [a, b], então o seu valor médio em [a, b], também
chamado de média , será
M(f) =
1
b− a
∫ b
a
f(x)dx.
.
Questão 26. Encontre o Valor Médio da fun-
ção no intervalo dado
(a) f(x) = 4x− x2 , [0, 4]
(b) f(x) = sen 4x , [−π, π]
(c) f(t) = te−t2 , [0, 5]
Questão 27. Um fabricante determina que t
meses após a introdução de um novo produto, as ven-
das da empresa serão S(t) mil dólares, onde
S(t) =
750t√
4t2 + 25
.
Quais são as vendas médias mensais da empresa nos
primeiros 6 meses após a introdução do novo produto?
Questão 28. Ache o comprimento das seguin-
tes curvas
(a) y = 1 + 6x
3
2 , 0 ≤ x ≤ 1
(b) x = 13
√
y(y − 3) , 1 ≤ y ≤ 9
(c) y = ln(secx) , 0 ≤ x ≤ π4
Referências:
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. V. 1.
Rio de Janeiro: LTC, 2006.
STEWART, J. Cálculo. 5. ed. V. 1. São Paulo:
Cengage, 2006.
5