LIVRO ANALISE DE ESTRUTURAS 2019

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ANÁLISE DE 
ESTRUTURAS 
 
 
VOLUME 1 
 
 
 
 
 
 
LUIZ CARLOS MENDES 
 
 
 
 
 
 
2019 
 1
 
CAPÍTULO 1 
 
MÉTODO DOS ESFORÇOS 
 
 
1.1 DEFINIÇÕES 
 
 O método dos esforços é aquele em que se determinam alguns dos 
esforços estruturais escolhidos arbitrariamente ao longo de qualquer ponto 
da estrutura em número capaz de levantar a sua indeterminação estática. 
 
1.2 GRAU DE HIPERESTATICIDADE 
 
 É a quantidade de incógnitas que se empregam para se levantar a 
indeterminação estática da estrutura. 
 
 Sejam os parãmetros: 
 
QR = quantidade de reações; 
h = grau de hiperestaticidade; 
QE = quantidade de equações da estática, sempre 3. 
 
 O grau de hiperestaticidade é definido por: 
 
h = QR - QE (1.1) 
 
h = QR - 3 (1.2) 
 
 
 2
 
 São, dessa forma, determinados os graus de hiperestaticidade de 
algumas estruturas. 
 
 
 
Figura 1.1 – Haste com seis reações. 
 
QR = 6 
h = 6 – 3 = 3 
 
 
 
Figura 1.2 – Haste com cinco reações. 
 
QR = 5 
h = 5 – 3 = 2 
 
 
 3
 
Figura 1.3 – Haste com quatro reações. 
 
QR = 4 
h = 4 – 3 = 1 
 
 
 
 
Figura 1.4 – Haste com quatro reações. 
 
QR = 4 
h = 4 – 3 = 1 
 
 
 
 
 
 4
 
Figura 1.5 – Haste com três reações. 
 
QR = 3 
h = 3 – 3 = 0 
 
 
 
Figura 1.6 – Haste com cinco reações. 
 
QR = 5 
h = 5 – 3 = 2 
 
 
 
 5
 
Figura 1.7 – Haste com sete reações. 
 
QR = 7 
h = 7 – 3 = 4 
 
 
 
Figura 1.8 – Haste com seis reações. 
 
QR = 6 
h = 6 – 3 = 3 
 
 
 
 
 6
1.3 FORMAÇÃO DO SISTEMA PRINCIPAL 
 
 O sistema principal é formado pela introdução de novos esforços 
aplicados nos nós ou nos vínculos originais da estrutura. 
 
 Quando são aplicados nos nós, é quebrada a continuidade das barras 
da estrutura. Quando são aplicados nos vínculos de apoio, estes são 
rebaixados para vínculos de categoria inferior. 
 
 Engaste passa a ser rótula. Rótula passa a ser charriot. Charriot 
passa a ser extremidade livre. 
 
 Seja o quadro com três hastes verticais da Figura 1.9. 
 
 
Figura 1.9 – Quadro com três hastes verticais apresentando sete reações. 
 
 Devem ser introduzidas quatro incógnitas em quaisquer pontos da 
estrutura, mas que sejam de efeito nulo. Essa nulidade acontece pelo 
rebaixamento da categoria do vínculo ou pela duplicidade na aplicação em 
rótula intermediária. 
 7
 
 
 
X3 X4
X2
X1
Figura 1.10 – Quadro com três hastes verticais com quatro esforços 
hiperestáticos inseridos. 
 
1.4 MONTAGEM DA EQUAÇÃO DE COERÊNCIA 
 
 Quebram-se os vínculos onde serão lançados os hiperestáticos. 
 
 Determinam-se as flexibilidades pela ação das cargas externas. 
 
 Determinam-se as flexibilidades pelas ações dos carregamentos 
unitários. 
 
 Formam-se as equações que estabelecem a condição de serem nulos 
os deslocamentos nas direções de cada hiperestático. 
 
 
 8
 
X1 X2
f10 f20
f11 f21
X1 
f12 f22
X2 
Figura 1.11 – Aplicação dos hiperestáticos X1 e X2. 
 
 
 9
f11 X1 + f12 X2 + f10 = 0 
f21 X1 + f22 X2 + f20 = 0 
 
 
1.5 CÁLCULO HIPERESTÁTICO DE VIGA CONTÍNUA VC1
 
 Seja a viga contínua constituída de dois vãos com um carregamento 
uniformemente distribuído de 1 kN/m. 
 
 
1 kN/m 
VA 10m VB 10 m VC
HA 
Figura 1.12 – Viga constituída de dois vãos. 
 
Grau de hiperestaticidade: 4 - 3 = 1 
 
a) Formação do sistema principal e aplicação do hiperestático 
 
 
 X1 
Figura 1.13 – Aplicação do hiperestático X1. 
 
 10
 
b) Diagrama do carregamento externo M0
 
 
+50kNm 
 M0 
Figura 1.14 – Diagrama do carregamento externo M0. 
 
m.kN50
8
20x1M
2
0 == 
 
c) Diagrama M1 da aplicação do hiperestático X1 
 
 
5 
-
X1=1
Figura 1.15 – Diagrama provocado pelo carregamento do hiperestático X1. 
 
m.kN5
20
10x10x1
L
b.a.PM1 === 
 
 
 
 11
 
d) Cálculo das flexibilidades 
 
m.kN33,208320x5x50x
12
5LMM
12
5f 1010 −=−=−= 
 
m.kN67,16620x5x5x
3
1LMM
3
1f 1111 +=+=+= 
 
e) Equação de coerência 
 
f10 + f11 X1 = 0 
 
- 2083,33 + 166,67 X1 = 0 
 
X1 = 12,5 kN 
 
f) Cálculo dos momentos fletores e esforços cortantes 
 
 
1 kN/m 
VA 10m VB = 12,5 kN 10 m VC
Figura 1.16 – Colocação do hiperestático na sua posição para a 
determinação dos outros esforços. 
 
 12
 
VA + VC = 20 - 12,5 
 
∑ MA = 0 → 20 x 10 - 12,5 x 10 - VC x 20 = 0 
 VC = 3,75 kN 
 
∑ MC = 0 → 20 x 10 - 12,5 x 10 - VA x 20 = 0 
 VA = 3,75 kN 
 
MBesq = 3,75 x 10 - 10 x 5 = 37,5 - 50 = - 12,5 kN.m 
 
 V (kN) M (kN.m) 
A 3,75 0 
Besq -6,25 -12,5 
Bdir +6,25 -12,5 
C -3,75 0 
 
 
g) Momento fletor no meio do vão 
 
m.kN25,625,65,12
2
5,12
8
10x1
2
M
8
LpM
2
B
2
MV =−=−=−= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 13
 
h) Diagramas de esforços cortantes 
 
 
6,25 
3,75 
+
+ 
- 
-
6,25 3,75 
Figura 1.17 - Diagramas de esforços cortantes. 
 
i) Diagramas de momentos fletores 
 
 
Figura 1.18 - Diagramas de momentos fletores. 
6,25 
+
+ 
-
12,5
6,25
6,25 6,25 
18,75 18,75
 14
 
1.6 CÁLCULO HIPERESTÁTICO DE VIGA CONTÍNUA VC2
 
 Seja a viga contínua constituída de três vãos com carregamentos 
uniformemente distribuído variáveis. 
 
 
1 kN/m 2 kN/m 1 kN/m 10kN 
Figura 1.19 – Viga constituída de três vãos. 
 
Grau de hiperestaticidade: 6 - 3 = 3 
 
a) Formação do sistema principal e aplicação dos hiperestáticos 
 
 
Figura 1.20 – Aplicação dos hiperestáticos X1, X2 e X3. 
 
 
 X1 X2 X3 
 8m 8m 5m 5m 
 J1=60dm4 J2=120dm4 J3=180dm4
 15
 
b) Diagramas do carregamento externo M0
 
 
 8 16 12,5 kN.m 
Figura 1.21 – Diagrama do carregamento externo M0 pelas cargas uniformes 
distribuídas. 
 
m.kN8
8
8x1M
2
0 == (primeiro vão) 
m.kN16
8
8x2M
2
0 == (segundo vão) 
m.kN5,12
8
10x1M
2
0 == (terceiro vão) 
 
 
 
 25 kN.m 
Figura 1.22 – Diagrama do carregamento externo M0 pela carga 
concentrada. 
 
 16
c) Diagrama M1 da aplicação do hiperestático X1
 
 
1
-
 X1 = 1 
Figura 1.23 – Diagrama provocado pelo carregamento do hiperestático X1. 
 
d) Diagrama M2 da aplicação do hiperestático X2
 
 
1
Figura 1.24 – Diagrama provocado pelo carregamento do hiperestático X1. 
 
e) Diagrama M3 da aplicação do hiperestático X3
 
 
Figura 1.25 – Diagrama provocado pelo carregamento do hiperestático X3. 
 X3 = 1 
- -
1
 X2 = 1 
--
 17
f) Cálculo dos comprimentos equivalentesa
b
J
JL´L = 
onde: 
L´ = comprimento equivalente; 
L = comprimento natural do trecho; 
Jb = momento de inércia básico de um trecho da barra escolhido como 
básico entre os demais; 
Ja = momento de inércia do trecho em análise da barra em que se 
pretende determinar o comprimento equivalente. 
 
 Tomando-se como momento de inércia básico o menor dentre os 
trechos apresentados da haste, tem-se: 
 
Jb = 60 dm4
 
L´1 = 8 m; 
;m4
120
60x8´L 2 == 
m33,3
180
60x10´L 3 == 
 
g) Cálculo das flexibilidades 
 
m.kN33,218x1x1x
3
1´LMM
3
1f 1010 −=−=−= 
 
m.kN67,424x16x1x
3
18x8x1x
3
1´LMM
3
1´LMM
3
1f 202020 −=−−=−−= 
 
 18
m.kN02,56
33,3x25x1x
4
133,3x5,12x1x
3
14x16x1x
3
1
´LMM
4
1´LMM
3
1´LMM
3
1f 30303030
−=
=−−−=
=−−−=
 
 
m.kN67,28x1x1x
3
1´LMM
3
1f 1111 +=+=+= 
 
m.kN0,44x1x1x
3
18x1x1x
3
1
´LMM
3
1´LMM
3
1f 222222
+=++=
=++=
 
 
m.kN44,233,3x1x1x
3
14x1x1x
3
1
´LMM
3
1´LMM
3
1f 333333
+=++=
=++=
 
 
m.kN33,18x1x1x
6
1´LMM
6
1f 2112 +=+=+= 
 
0f12 = 
 
m.kN67,04x1x1x
6
1´LMM
6
1f 3223 +=+=+= 
 
 
 
 19
 
h) Equação de coerência 
 
f10 + f11 X1 + f12 X2 + f13 X3 = 0 
f20 + f21 X1 + f22 X2 + f23 X3 = 0 
f30 + f31 X1 + f32 X2 + f33 X3 = 0 
 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
30
20
10
3
2
1
333231
232221
131211
f
f
f
X
X
X
x
fff
fff
fff
 
 
1
333231
232221
131211
30
20
10
3
2
1
fff
fff
fff
x
f
f
f
X
X
X −
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
 
 
 
i) Inversão da matriz [f] 
 
[ ] [ ][ ]fdet
fadjf 1 =− 
 
 
j) Determinante da matriz [f] 
 
54,20
44,267,00
67,00,433,1
033,167,2
fff
fff
fff
f
333231
232221
131211
=== 
 
 
 
 20
 
k) Matriz transposta de [f] 
 
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
44,267,00
67,00,433,1
033,167,2
fff
fff
fff
f
332313
322212
312111
T 
 
l) Matriz adjunta ou matriz dos cofatores 
 
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
=
91,879,189,0
79,151,625,3
85,025,331,9
fAdj 
 
Observe que a matriz adjunta ou matriz dos cofatores deve obedecer 
aos sinais onde, se o somatório dos índices der número par o cofator será 
positivo, e se o somatório dos índices der número ímpar o cofator será 
negativo. 
 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+−+
−+−
+−+
 
m) Matriz inversa 
 
[ ] [ ][ ]fdet
fadjf 1 =− 
 
[ ]
54,20
91,879,189,0
79,151,625,3
89,025,331,9
f 1
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
=− 
 
 21
 
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
=−
434,0087,0043,0
087,0317,0158,0
043,0158,0453,0
f 1 
 
n) Determinação dos hiperestáticos 
 
1
333231
232221
131211
30
20
10
3
2
1
fff
fff
fff
x
f
f
f
X
X
X −
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
 
 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
434,0087,0043,0
087,0317,0158,0
043,0158,0453,0
x
02,56
67,42
33,21
X
X
X
3
2
1
 
 
X1 = 5,33 
X2 = 5,29 
X3 = 21,52 
 
o) Diagramas de momentos fletores 
 
 
21,52
5,33 
5,29 
2,69 2,59
26,74 
Figura 1.26 – Diagrama de momentos fletores. 
 22
 
p) Planilha para o cálculo de esforços cortantes 
 
 
 
 4 4 8 pL/2 8 5 5 
 
 
 
 0,005 0,005 2 ∆M/L 2 2,2 2,2 
 
 
 
 4 4 6 10 12,2 7,8 
Figura 1.27 – Planilha de esforços cortantes. 
 
q) Diagrama de esforços cortantes 
 
 
4 12,2
6 
Figura 1.28 – Diagrama de esforços cortantes. 
 
 
7,8 
10 
4 
+ +
-
- - 
 23
1.7 CÁLCULO HIPERESTÁTICO DE VIGA CONTÍNUA VC3
 
Seja a viga contínua constituída de quatro vãos com carregamentos 
uniformemente distribuídos iguais e cargas concentradas no meio dos vãos. 
 
 
5 kN 9 kN 8 kN 4 kN 
Figura 1.29 – Viga constituída de quatro vãos. 
 
Grau de hiperestaticidade: 6 - 3 = 3 
 
a) Formação do sistema principal e aplicação dos hiperestáticos 
 
 
Figura 1.30 – Aplicação dos hiperestáticos X1, X2 e X3. 
 
 
 X1 X2 X3 
 2m 8m 10m 10m 8m 2m 
2 kN/m 2 kN/m
 J1=80dm4 J2=100dm4 J3=120dm4 J4=120dm4 J5=100dm4 J6=80dm4
 24
b) Diagramas do carregamento externo M0
 
- Pelo carregamento uniformemente distribuído 
 
 
 16 25 25 16 kN.m 
Figura 1.31 – Diagramas de momentos fletores do carregamento externo M0 
pelas cargas uniformes distribuídas nos vãos. 
 
 
- Pelos carregamentos uniformemente distribuídos nos balanços 
 
 
 4 kNm 4 kN.m 
Figura 1.32 – Diagramas de momentos fletores do carregamento externo M0 
pelos carregamentos uniformemente distribuídos nos balanços. 
 
 
 25
- Pelas cargas concentradas no meio dos vãos e nas extremidades dos 
balanços 
 
 
 10 kNm 8 kN.m 
 22,5 kNm 20 kN.m 
Figura 1.33 – Diagramas de momentos fletores do carregamento externo M0 
pelas cargas concentradas no meio dos vãos e nas extremidades dos 
balanços 
 
c) Diagrama M1 da aplicação do hiperestático X1
 
 
 1kNm 
 X1 = 1kNm 
Figura 1.34 – Diagrama provocado pelo carregamento do hiperestático X1. 
 
 
 
 
 26
d) Diagrama M2 da aplicação do hiperestático X2
 
 
 1kNm 
 X2 = 1kNm 
Figura 1.35 – Diagrama provocado pelo carregamento do hiperestático X2. 
 
e) Diagrama M3 da aplicação do hiperestático X3
 
 
 1kNm 
 X3 = 1kNm 
Figura 1.36 – Diagrama provocado pelo carregamento do hiperestático X3. 
 
f) Cálculo dos comprimentos equivalentes 
 
 
a
b
J
JL´L = 
 
 
 
 27
onde: 
L´ = comprimento equivalente; 
L = comprimento natural do trecho; 
Jb = momento de inércia básico de um trecho da barra escolhido como 
básico entre os demais; 
Ja = momento de inércia do trecho em análise da barra em que se 
pretende determinar o comprimento equivalente. 
 
Tomando-se como momento de inércia básico o menor dentre os 
trechos apresentados da haste, tem-se: 
 
Jb = 80 dm4
 
61 ´Lm280
80x2´L === 
52 ´Lm4,6100
80x8´L === 
43 ´Lm67,6120
80x10´L === 
 
 
 2 6,4 6,67 6,67 6,4 2 
 A B C D E 
Figura 1.37 – Comprimentos equivalentes L´. 
 
 
 
 28
g) Cálculodas flexibilidades 
f10 TRECHO AB
 
4,6x16x1x
3
1
−= 
Figura 1.38 – Flexibilidades no trecho AB. 
TRECHO BC
 
Figura 1.39 – Flexibilidades no trecho BC. 
f10 = -112,302 
 
 
4,6x10x1x
6
1
+= 
4,6x4x1x
6
1
+= 
+ 16
1 4
- 
10
- 
67,6x25x1x
3
1
−= 
67,6x5,22x1x
4
1
−= 
+
25
- 
+ 22,5
1 
 29
f20 TRECHO BC
 
67,6x25x1x
3
1
−=
Figura 1.40 – Flexibilidades no trecho BC. 
 
TRECHO CD
 
Figura 1.41 – Flexibilidades no trecho CD. 
 
f20 = -182,035 
 
 
 
67,6x25x1x
3
1
−= 
67,6x20x1x
4
1
−= 
+
+
- 
25
20
1 
 
67,6x5,22x1x
4
1
−= 
+ 25
+
1 4
22,5
 30
f30 TRECHO CD
 
67,6x25x1x
3
1
−=
Figura 1.42 – Flexibilidades no trecho CD. 
TRECHO DE
 
Figura 1.43 – Flexibilidades no trecho DE. 
 
f30 = -110,267 
 
 
4,6x16x1x
3
1
−= 
4,6x8x1x
6
1
+= 
4,6x4x1x
6
1
+= 
+
- 
- 
1 
16
4
8
 
67,6x20x1x
4
1
−= 
+ 25
+
1 4
20
 31
f11
 
Figura 1.44 – Flexibilidades nos trechos AB e BC. 
 
f22
 
Figura 1.45 – Flexibilidades nos trechos BC e CD. 
 
f33
 
Figura 1.46 – Flexibilidades nos trechos CD e DE. 
 
X + X
357,44,6x1x1x
3
167,6x1x1x
3
1
=+= 
 1 1 1 1 
X + X
447,467,6x1x1x
3
167,6x1x1x
3
1
=+= 
 1 1 1 1 
X + X
 1 1 1 1 
357,467,6x1x1x
3
14,6x1x1x
3
1
=+= 
 32
 
f12 = f21
 
X 
 1 1 
112,167,6x1x1x
6
1
== 
Figura 1.47 – Flexibilidades no trecho BC. 
 
f23 = f32
 
Figura 1.48 – Flexibilidades no trecho CD. 
 
 
f13 = f31 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
X 
 1 1 
112,167,6x1x1x
6
1
== 
 33
 
h) Equação de coerência 
 
f10 + f11 X1 + f12 X2 + f13 X3 = 0 
f20 + f21 X1 + f22 X2 + f23 X3 = 0 
f30 + f31 X1 + f32 X2 + f33 X3 = 0 
 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
30
20
10
3
2
1
333231
232221
131211
f
f
f
X
X
X
x
fff
fff
fff
 
 
1
333231
232221
131211
30
20
10
3
2
1
fff
fff
fff
x
f
f
f
X
X
X −
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
 
 
 
i) Inversão da matriz [f] 
 
[ ] [ ][ ]fdet
fadjf 1 =− 
 
 
j) Determinante da matriz [f] 
 
644,73
357,4112,10
112,1447,4112,1
0112,1357,4
fff
fff
fff
f
333231
232221
131211
=== 
 
 
 
 34
 
k) Matriz transposta de [f] 
 
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
357,4112,10
112,1447,4112,1
0112,1357,4
fff
fff
fff
f
332313
322212
312111
T 
 
l) Matriz adjunta ou matriz dos cofatores 
 
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
=
139,18844,4236,1
844,4983,18844,4
236,1844,4139,18
fAdj 
 
Observe que a matriz adjunta ou matriz dos cofatores deve obedecer 
aos sinais onde, se o somatório dos índices der número par o cofator será 
positivo, e se o somatório dos índices der número ímpar o cofator será 
negativo. 
 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+−+
−+−
+−+
 
m) Matriz inversa 
 
[ ] [ ][ ]fdet
fadjf 1 =− 
 
[ ]
644,73
139,18844,4236,1
844,4983,18844,4
236,1844,4139,18
f 1
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
=− 
 
 35
 
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
=−
246,0066,0017,0
066,0258,0066,0
017,0066,0246,0
f 1 
 
n) Determinação dos hiperestáticos 
 
1
333231
232221
131211
30
20
10
3
2
1
fff
fff
fff
x
f
f
f
X
X
X −
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
 
 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
246,0066,0017,0
066,0258,0066,0
017,0066,0246,0
x
267,110
035,182
302,112
X
X
X
3
2
1
 
 
X1 = 17,487 
X2 = 32,276 
X3 = 17,021 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 36
 
o) Diagramas de momentos fletores 
 
 
 14 17,487 32,276 17,021 12 
 A B C D E 
 0,256 22,612 20,351 1,489 
 
 4 8 8 10 10 10 10 8 8 4 
 
 
 
 5 4,5 4,5 4 4 4 
 
 
 
 0,44 0,44 1,48 1,48 1,53 1,53 0,63 0,63 
 
 
 
 9 7,56 8,44 13,02 15,98 15,53 12,47 8,63 7,37 8 
 
 
 
 
 
 
 16,56 21,46 31,51 21,10 15,37 kN 
Figura 1.49 – Diagramas de momentos fletores e planilha para esforços 
cortantes. 
 37
 
q) Diagramas de esforços cortantes 
 
 
 7,56 13,02 15,53 8,63 8 4 
+ +
Figura 1.50 – Diagramas de esforços cortantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5 9 8,44 15,98 12,47 7,37 
+ +
-
- - -
-
 38
 
1.8 CÁLCULO HIPERESTÁTICO DE QUADRO PLANO QP1
 
 Seja o quadro hiperestático plano constituído de um carregamento 
uniformemente distribuído. 
 
 
 
 
1 kN/m 
4 m 
2 m 
8 m 
Figura 1.51 – Quadro hiperestático. 
 
 39
 
Grau de hiperestaticidade: 4 - 3 = 1 
 
a) Formação do sistema principal e aplicação dos hiperestáticos 
 
 
X1=1 
Figura 1.52 - Aplicação do hiperestático X1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 40
 
b) Diagrama do carregamento externo M0
 
 
8 kN.m 
Figura 1.53 - Diagrama do carregamento externo M0.
 
 
 
M0 = m.kN88
8x1
8
Lq 22
== 
 
 
 
 
 
 
 41
 
c) Diagrama M1 da aplicação do hiperestático X1
 
 
Figura 1.54 - Diagrama M1 da aplicação do hiperestático X1.
 
 
 
 
 
 
 
-
X1=1 
6 kN.m 
4 kN.m 
6 kN.m 4 kN.m 
- - 
 42
 
d) Cálculo das flexibilidades 
 
Flexibilidade f10
 
X 8
Figura 1.55 - Flexibilidade f10.
 
( ) ´LMMM
3
1f 21010 +−= 
( ) 33,2138648
3
1f10 −=+−= 
 
Flexibilidade f11
 
Figura 1.56 - Flexibilidade f11.
 
( ) ( )[ ] ´LMM
3
1´LMM2MMMM2
6
1´LMM
3
1f 112211211111 ++++++= 
 
( ) ( )[ ] 2966x6x6
3
18x6x6x244x64x2
6
14x4x4
3
1f11 =++++++= 
 
X
4 
6
4 
- 
4
6 -
X X 
4 6 6 
- - - 
4 
6- +
 43
 
e) Equação de coerência 
 
f11 X1 + f10 = 0 
296 X1 = 213,33 
kN72,0
296
33,213X1 == 
 
f) Diagramas de momentos fletores (kN.m) 
 
 
Figura 1.57 – Diagramas de momentos fletores (kN.m). 
- 
X1=0,72 
 3,6 
4,32 kN.m 
2,88 kN.m 
4,32 kN.m 2,88 kN.m 
+
- - 
 4,4
 12,4 
 3,82 
X1=0,72
 4,18 
 44
1.9 CÁLCULO HIPERESTÁTICO DE QUADRO PLANO QP2
 
Seja o quadro hiperestático plano constituído de um carregamento 
uniformemente distribuído e dois concentrados com variações de inércia das 
hastes. Tomar como inércia básica J = 200 dm4. 
 
 
8 kN 
2 kN/m 
2 kN 
J2 = 200dm4
6 m 2 m 
Figura 1.58 – Quadro hiperestático. 
 
Grau de hiperestaticidade: 4 - 3 = 1 
 
3 m 
8 m 
J1 = 100dm4 J3 = 100dm4
 45
a) Formação do sistema principal e aplicação dos hiperestáticos 
 
 
X1 = 1 
8 m 
Figura 1.59 - Aplicação do hiperestático X1.46
 
b) Diagramas dos carregamentos externos M0
 
b1) Diagrama do carregamento externo M0 pelo carregamento uniforme 
 
 
Figura 1.60 - Diagrama do carregamento externo M0.
 
M0 = m.kN168
8x2
8
Lq 22
== 
Mcc = m.kN1264
12x64
8
2
8
6
2
8x2w
2
Lq 2
r
2
==⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= 
8 m 
2 kN/m 
16 kN.m
 + 12 kN.m
6m 2m 
 47
 
b2) Diagrama do carregamento externo M0 pela carga concentrada vertical 
 
 
Figura 1.61 - Diagrama do carregamento externo M0.
 
M0 = m.kN128
2x6x8
L
baP
== 
 
 
 
 
 
8 m 
8 kN 
12 kN.m
 + 
 48
b3) Diagrama do carregamento externo M0 pela carga concentrada horizontal 
 
 
Figura 1.62 - Diagrama do carregamento externo M0.
 
M0 = 2 x 3 = 6 kN.m 
 
ME = m.kN5,48
6x6
= 
 
 
 
c) Diagrama M1 da aplicação do hiperestático X1
8 m 
2 kN 
2 kN 
6 kN.m 
6 kN.m - 4,5
E 
 - 
6 2 
 49
 
 
Figura 1.63 - Diagrama M1 da aplicação do hiperestático X1.
 
d) Comprimentos equivalentes 
 
Será tomado o momento de inércia básico Jb = 200 dm4
 
L1´ = L3´ = m63x100
200Lx
J
J
a
b == 
 
8 m 
3 kN.m 
3 kNm 3 kN.m - 
 - - 
1 kN 
3 m 
1 kN 
 50
L2´ = m88x200
200Lx
J
J
a
b == 
 
e) Cálculo das flexibilidades 
 
´LMM
3
1´LMM
2
1´LMM
2
1´LMM
3
2f 31021021021010 +−+−= 
 
6x3x6x
3
18x3x12x
2
18x3x6x
2
18x3x16x
3
2f10 +−+−= 
 
292f10 −= 
 
´LMM
3
1´LMM1´LMM
3
1f 31121111111 +++= 
 
1086x3x3x
3
18x3x3x16x3x3x
3
1f11 =+++= 
 
f) Equação de coerência 
 
f11 X1 + f10 = 0 
 
108 X1 = 292 
 
kN7,2
108
292X1 == 
 
 
 
 
 51
g) Cálculo dos momentos nos nós 
 
M = M0 + M1 . X1
 
Figura 1.64 – Diagramas finais de momentos fletores. 
 
MC = M0 + M1 . X1 = 0 + (-3) x (2,7) = -8,1 kN.m 
 
MD = M0 + M1 . X1 = -6 + (-3) x (2,7) = -14,1 kN.m 
 
ME = M0 + M1 . X1 = [ 12 + 12 + 4,5 ] + (-3) x (2,7) = -11,4 kN.m 
 
8 m 
8,1 kNm 14,1 kN.m 
 + 
 - - 
8,1 kNm 14,1 kNm 
E
3 m 
A B
C D 
11,4 kNm
 52
1.10 CÁLCULO HIPERESTÁTICO DE QUADRO PLANO QP3
 
Seja o quadro hiperestático plano constituído de um carregamento 
uniformemente distribuído e três concentrados com variações de inércia das 
hastes. Tomar como inércia básica J = 100 dm4. 
 
 
4 kN 
Figura 1.65 – Quadro hiperestático. 
 
 
Grau de hiperestaticidade: 4 - 3 = 1 
 
 
 
10 kN 4 kN 
1 kN/m 1 kN/m 
J1 = 100 dm4 J4 = 100 dm4
J2 = 74,5 dm4 J3 = 74,5 dm4
A B
C
E D 4 m
6 m
2 m 8 m 8 m 2 m
 53
a) Formação do sistema principal e aplicação dos hiperestáticos 
 
 
Figura 1.66 - Aplicação do hiperestático X1. 
 
b) Comprimentos elásticos equivalentes 
 
Jbásico = Jb = 100dm4
 
L1´ = L4´ = 6,0 m 
 
L2 = L4 = 22 48 + = 8,95m 
 
L2´ = L4´ = 5,74
100x95,8 = 12m 
 
c) Diagrama do carregamento externo M0 pelo carregamento uniforme 
J1 = 100 dm4 J4 = 100 dm4
J2 = 74,5 dm4 J3 = 74,5 dm4
A B
C
E D 4 m
6 m
X1 = 1
2 m 8 m 8 m 2 m
 54
 
Figura 1.67 - Diagrama do carregamento externo M0. 
d) Diagrama do carregamento externo M0 pela carga concentrada 
 
Figura 1.68 - Diagrama do carregamento externo M0. 
 
 
A B
C E D
40 40
A B
C E
1 kN/m
D
32 32
 55
e) Diagrama do carregamento externo M0 pela carga concentrada 
 
Figura 1.69 - Diagrama do carregamento externo M0. 
 
f) Diagrama do carregamento externo M0 pelo carregamento uniforme 
 
Figura 1.70 - Aplicação do hiperestático X1. 
 
 
g) Diagrama do carregamento externo M0 pelo carregamento uniforme 
A B
C
E
D
2 2
2 2
-
-
A B
C
E
D
8 8
8 8
4
4-
-
 56
 
E
Figura 1.71 - Diagrama do carregamento externo M0. 
 
h) Diagrama M1 da aplicação do hiperestático X1
 
Figura 1.72 - Diagrama do carregamento externo M0. 
 
 
 
i) Cálculo da flexibilidade f10 para a carga uniforme 
A B
C
E
D
- -
-
-
6
6
10
1 1
A B
C D
0,5 0,5
 57
 
( ) 2x´LM3M5M
12
1f 21010 +−= 
 
( ) 2x12x6x310x532
12
1f10 +−= 
 
4352f10 −= 
 
j) Cálculo da flexibilidade f10 para a carga concentrada 
 
( ) 2x´LMM2M
6
1f 21010 +−= 
 
( ) 2x12x610x240
6
1f10 +−= 
 
4160f10 −= 
 
k) Cálculo da flexibilidade f10 para as cargas dos balanços 
 
( ) 2x´LMMM
2
1f 21010 ++= 
 
( ) 19202x1261010
2
1f10 =++= 
 
 
 
 
l) Flexibilidade f10 total 
 58
 
f10 = - 4352 - 4160 + 1920 = - 6592 
 
m) Cálculo das flexibilidades f11
 
( ) ( )[ ]2211211111 MM2MMMM26
12x´LxMxM
3
1f +++++= 
 
( ) ( )[ ] 17122x12x6x6x21010x610x2x
6
1
2x6x6x6x
3
1f11
=++++
++=
 
 
n) Equação de coerência 
 
f10 + f11 X1 = 0 
 
-6592 + 1712 X1 = 0 
 
85,3
1712
6592X1 == 
 
o) Momentos fletores finais 
 
MC = MD = M0 + M1 X1 = ( -8 - 2 ) + ( -6 ) x ( 3,85 ) = -33,10 kNm 
 
ME = M0 + M1 X1 = [ 32 + 40 - 8 - 2 ] + (-10) x (3,85) = +23,50 kNm 
 
p) Diagramas de momentos fletores 
 
 59
 
Figura 1.73 - Diagramas finais de momentos fletores em kN.m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.11 CÁLCULO HIPERESTÁTICO DE VIGA CONTÍNUA VC4
A B
C
E
D
23,50 23,50
33,10 33,10
23,10 10 10 23,10
3,85 3,85
 60
 
 Determinar os diagramas de momentos fletores e esforços cortantes da 
viga contínua com trechs de inércias variáveis tomando-se como inércia 
básica Jb = 80 dm4. 
 
 
Figura 1.74 – Viga contínua com os carregamentos. 
 
a) Grau de hiperestaticidade 
 
GH = 5 - 3 = 2 
 
b) Inércias equivalentes 
 
L1´ = 10m 
L2´ = m4,68x100
80L
J
J
2
a
b == 
L3´ = 2m 
 
 
c) Formação do sistema principal e aplicação dos hiperestáticos 
4 kN/m
2 kN/m
3 kN/m
5 kN 5 kN 3 kN
 J = 80 dm4 
 2m 4m 2m
 J = 80 dm4 J = 100 dm4
 10m 8m 2m
 61
 
 
Figura 1.75 – Formação do sistema principal e aplicação dos hiperestáticos. 
 
d) Diagramas do carregamento externo M0 pelo carregamento uniforme 
 
 
Figura 1.76 – Diagramas do carregamento externo M0 pelo carregamento 
uniforme. 
 
e) Diagramas do carregamento externo M0 pela suspensão do carregamento 
uniforme do balanço 
 
Figura 1.77 – Diagramas do carregamento externo M0 pela suspensão do 
carregamento uniforme do balanço. 
 
 
 6 - -
 50
 16
 1,5
 + +
 J = 80 dm4 
 X1 X2 
 J = 80 dm4 J = 100 dm4
 10m 8m 2m
 62
f) Diagramas do carregamento externo M0 pela carga concentrada do 
balanço 
 
 3
Figura 1.78 – Diagramas do carregamento externo M0 pela carga 
concentrada do balanço 
 
g) Diagramas do carregamento externo M0 pela carga concentrada do vão 
 
Figura 1.79 – Diagramas do carregamento externo M0 pela carga 
concentrada do vão. 
 
h) Diagramas do carregamento externo M0 pela carga concentrada no vão 
 
Figura 1.80 – Diagramas do carregamento externo M0 pela carga 
concentrada do vão. 
 
 7,5
 +
 5 kN
 7,5
 +
 5 kN
 6 - -
 63
i) Diagrama M1 da aplicação do hiperestático X1
 
 
 -
1
Figura 1.81 – Diagrama M1 da aplicação do hiperestático X1. 
 
j) Diagrama M2 da aplicação do hiperestático X2
 
 
Figura 1.82 – Diagrama M2 da aplicação do hiperestático X2. 
 
 
k) Cálculo da flexibilidade f10
 
´LxMxM
3
1f 11010 −= 
 
67,16610x1x50
3
1f10 −=−= 
 
 
 
 
 
 -
1 1
 -
 64
l) Cálculo da flexibilidade f20
 
( ) ( ) ´Lx1MxM
6
1´Lx1MxM
6
1´LxMxM
6
1
´LxMxM
6
1´LxMxM
3
1´LxMxM
3
1f
220220220
22022012020
ε+−ε+−+
++−−=
 
 
 
2124,6x
8
211x5,7
6
14,6x
8
611x5,7
6
14,6x1x6
6
1
4,6x1x6
6
14,6x1x16
3
110x1x50
3
1f20
−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−+
++−−=
 
 
m) Cálculodas flexibilidades f11, f12 e f22. 
 
33,310x1x1x
3
1´LxMxM
3
1f 11111 ==+= 
 
66,110x1x1x
6
1´LxMxM
6
1f 12112 +==+= 
 
´LxMxMx
3
1´LxMxM
3
1f 22211122 ++= 
 
46,54,6x1x1x
3
110x1x1
3
1f22 +=++= 
 
 
 
 
 65
n) Equação de coerência 
 
f10 + f11 X1 + f12 X2 = 0 
f20 + f21 X1 + f22 X2 = 0 
 
f11 X1 + f12 X2 = -f10
f21 X1 + f22 X2 = -f20
 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
212
67,166
X
X
x
46,566,1
66,133,3
2
1 
 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ −
212
67,166
x
46,566,1
66,133,3
X
X 1
2
1 
 
Para se inverter a matriz 2x2 basta inverter a diagonal principal e trocar o 
sinal da diagonal secundária dividida pelo discriminante da matriz original. 
 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧⎥⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
212
67,166
x
426,15
33,366,1
66,146,5
X
X
2
1 
 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
212
67,166
x
215,0107,0
107,0353,0
X
X
2
1 
 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
76,27
13,36
X
X
2
1 
 
 
 
 66
o) Diagramas de momentos fletores em kN.m 
 
 
 
 
Figura 1.83 – Diagramas de momentos fletores finais e componentes. 
 
 
 5
 2,5 7,5
 5
 7,5 2,5
 16
 12 12
 +
27,76
12
 +
36,13
31,94
19,88
 23,77
 15,94
 1,7
 18
 6,06
 6,12
 67
p) Planilha para esforços cortantes 
 
 
Figura 1.84 – Planilha para esforços cortantes. 
 
 
 
 
 
 
27,76
12
36,13
20 20 8 8 
p L / 2 
p a / L e p b / L 
3,75 1,25 
1,25 3,75 p a / L e p b / L 
0,83 0,83 
1,97 1,97 ∆ M / L 
20,83 19,17 14,97 11,03 
 68
q) Diagramas de esforços cortantes 
 
 
20,83
Figura 1.85 - Diagramas de esforços cortantes. 
 
 +
9
+
14,97
10,97 
5,97
+
3
-
2,03 
7,03
19,17
11,03
 69
 
CAPÍTULO 2 
 
 
ESTRUTURAS FORMADAS POR HASTES DE 
MOMENTOS DE INÉRCIA VARIÁVEIS 
 
 
2.1 FATORES DE FORMA DE PRIMEIRA ESPÉCIE 
 
 Fatores de forma de primeira espécie são os ângulos de rotação 
multiplicados por E.Jb que aparecem nos extremos da haste biapoiada 
quando se aplica em um de seus extremos um momento unitário. 
 
 Os fatores de forma de primeira espécie são α1, α2 e β. Observa-se 
que α1, α2 e β não são rotações reais. 
 
 Quando se aplica o momento unitário no apoio à esquerda da haste 
surge o α1. No apoio oposto surge o β. 
 
 
 
α1 β
M=1 
Figura 2.1 - Aplicação do momento unitário à esquerda da haste. 
 
 
 70
 
Quando se aplica o momento unitário no apoio à direita da haste surge 
o α2. No apoio oposto surge o β. 
 
 
Figura 2.2 - Aplicação do momento unitário à direita da haste. 
 
 
2.2 DETERMINAÇÃO DE α1 PARA HASTES DE MOMENTO DE INÉRCIA 
CONSTANTE 
 
2.2.1 Estado de deformação 
 
 Aplica-se o momento real na extremidade esquerda da haste. 
 
 
Figura 2.3 - Aplicação do momento real à esquerda da haste. 
 
 
 
M0 + 
α2 β
M=1
 71
 
2.2.2 Estado de carregamento 
 
Aplica-se o momento virtual unitário na extremidade esquerda da 
haste. 
 
 
M=1 + 
Figura 2.4 - Aplicação do momento virtual unitário à esquerda da haste. 
 
2.2.3 Determinação da rotação α1 que ocorre na haste de inércia 
constante 
 
 A integração para a determinação de α1 se escreve por: 
 
dx
JE
MM0
1 ∫=α (2.1) 
E J α1 = 3
1 M0 M L´ 
L´ = L 
M0 = 1 
E J α1 = 3
1 1 x 1 x L 
JE3
L
1 =α (2.2) 
 72
 
2.3 DETERMINAÇÃO DE β PARA HASTES DE MOMENTO DE INÉRCIA 
CONSTANTE 
 
2.3.1 Estado de deformação 
 
 Aplica-se o momento real na extremidade esquerda da haste. 
 
 
Figura 2.5 - Aplicação do momento real à esquerda da haste. 
 
2.3.2 Estado de carregamento 
 
Aplica-se o momento virtual unitário na extremidade direita da haste. 
 
 
Figura 2.6 - Aplicação do momento virtual unitário à direita da haste. 
 
 
 
M=1 + 
M0 + 
 73
 
2.3.3 Determinação da rotação β que ocorre na haste de inércia 
constante 
 
 A integração para a determinação de β se escreve por: 
 
dx
JE
MM0∫=β (2.3) 
E J β = 
6
1 M0 M L´ 
L´ = L 
M0 = 1 
E J β = 
6
1 1 x 1 x L 
 
JE6
L
=β (2.4) 
 
2.4 DETERMINAÇÃO DE α1, α2 e β PARA HASTES DE MOMENTO DE 
INÉRCIA VARIÁVEL 
 
 São apresentados quatro tipos de vigas com inércia variável. 
 
- Mísula de face plana em um lado só; 
- Mísulas de faces planas em ambos os lados; 
- Mísula de face parabólica em um lado só; 
- Mísulas de faces parabólicas em ambos os lados. 
 
 
 74
 
2.4.1 Mísula de face plana em um lado só 
 
 Seja a face plana de inércia variável locada no lado esquerdo da viga: 
 
 
Jc 
Ja 
Lv 
L
Figura 2.7 - Mísula de face plana em um lado só. 
 
2.4.2 Mísulas de faces planas em ambos os lados 
 
Sejam as faces planas de inércias variáveis locadas em ambos os 
lados da viga: 
 
 
Jc 
Ja 
Lv Lv 
L
Figura 2.8 - Mísulas de faces planas em ambos os lados. 
 
 75
2.4.3 Mísula de face parabólica em um lado só 
 
Seja a face parabólica de inércia variável locada no lado esquerdo da 
viga: 
 
Jc 
Ja 
Lv 
L
Figura 2.9 - Mísula de face parabólica em um lado só. 
 
2.4.4 Mísulas de faces parabólicas em ambos os lados 
 
Sejam as faces parabólicas de inércias variáveis locadas em ambos os 
lados da viga: 
 
Jc 
Ja 
Lv Lv 
L
Figura 2.10 - Mísulas de faces parabólicas em ambos os lados. 
 
 
 76
2.4.5 Relações nas hastes de inércia variável 
 
 A relação entre os momentos de inércia se escreve por: 
 
a
c
J
Jn = (2.5) 
onde: 
 
Ja = momento de inércia na extremidade maior da mísula; 
Jc = momento de inércia na extremidade menor da mísula. 
 
A relação entre os comprimentos de inércia váriável e total se escreve 
por: 
 
L
Lv=λ (2.6) 
onde: 
 
Lv = comprimento do trecho de inércia variável; 
L = comprimento total da haste. 
 
2.4.6 Relações nas hastes de inércia variável para o emprego nas 
tabelas 
 
a) Para mísulas de um lado só tanto de face plana como de face parabólica 
 
α1 = k1 x L´ (2.7a) 
α2 = k2 x L´ (2.7b) 
β = k3 x L´ (2.7c) 
 
 77
b) Para mísulas simétricas tanto de face plana como de face parabólica 
 
α1 = α2 = k1 x L´ (2.8a) 
β = k2 x L´ (2.8b) 
 
sendo: 
L
J
J´L
c
b= (2.9) 
 
onde: 
 
Jb = momento de inércia escolhido como básico entre as hastes; 
Jc = momento de inércia da haste em análise; 
L = comprimento natural da haste em análise. 
 
 Os valores reais das rotações são expressos como: 
 
´L
JE
k
b
1
)real(1 =α (2.10a) 
 
´L
JE
k
b
2
)real(2 =α (2.10b) 
 
´L
JE
k
b
3
)real( =β (2.10c) 
 
 
 
 
 
 78
2.5 EXEMPLOS DE CÁLCULO DE FATORES DE FORMA 
 
2.5.1 Exemplo 1 - Calcular os fatores de forma α1, α2 e β da haste com 
as dimensões da Figura 2.11 abaixo. 
 
 
Jc=50dm4
Ja=100dm4
lv=2,5m
l = 10m
Figura 2.11 - Mísula de face plana em um lado só. 
 
Cálculo dos parãmetros de entrada na Tabela 
 
50,0
100
50
J
Jn
a
c === 
 
25,0
10
5,2
l
lv ===λ 
 
Entrando na Tabela 66, tem-se: 
 
k1 = 0,273 
k2 = 0,332 
k3 = 0,161 
 
 
 79
Cálculo dos fatores de forma da haste 
 
α1 = k1 x L´ = 0,273 x 10 = 2,73 
 
α2 = k2 x L´ = 0,332 x 10 = 3,32 
 
β = k3 x L´ = 0,161 x 10 = 1,61 
 
2.5.2 Exemplo 2- Calcular os fatores de forma α1 e β da haste simétrica 
com mísulas de faces parabólicas com as dimensões da Figura 2.12 abaixo. 
 
 
Figura 2.12 - Mísulas de faces parabólicas em ambos os lados. 
 
Cálculo dos parãmetros de entrada na Tabela de mísulas de faces 
parabólicas 
50,0
100
50
J
Jn
a
c === 
30,0
10
3
l
lv ===λ 
 
 
lv=3 m 
Ja 
Jc = 50 dm4Ja = 100 dm4
lv=3 m 
l = 10 m
 80
Entrando na Tabela 69, tem-se: 
 
k1 = 0,282 
k2 = 0,158 
 
Cálculo dos fatores de forma da haste 
 
α1 = α2 = k1 x L´ = 0,282 x 10 = 2,82 
 
β = k2 x L´ = 0,158 x 10 = 1,61 
 
2.5.3 Exemplo 3 - Calcular as rotações reais nos extremos da haste de 
inércia variável com as dimensões da Figura 2.13 abaixo quando se aplica 
um momento unitário em um de seus extremos. 
 
 
Jc=0,01m4
Ja=0,05m4
lv=3m 
l = 12m
Figura 2.13 - Mísula de face plana em um lado só. 
 
Inércia básica: 
 
Jb = Jc = 0,01 m4
 
 
 81
Comprimento equivalente 
 
 l
J
J´L
c
b= 
 
 m1212x
01,0
01,0´L == 
 
Cálculo dos parãmetros de entrada na Tabela 
 
20,0
05,0
01,0
J
Jn
a
c === 
25,0
12
3
l
lv ===λ 
 
Entrando na Tabela 66, tem-se: 
 
k1 = 0,223 
k2 = 0,332 
k3 = 0,155 
 
Cálculo das rotações reais 
 
rad10x27,112
01,0x10x1,2
223,0 4
6)real(1
−==α 
rad10x89,112
01,0x10x1,2
332,0 4
6)real(2
−==α 
rad10x88,012
01,0x10x1,2
155,0 4
6)real(
−==β 
 
 82
2.6 FATORES DE CARGA DE PRIMEIRA ESPÉCIE 
 
Fatores de carga de primeira espécie são os ângulos de rotação 
multiplicados por E.Jb que aparecem nos extremos da haste biapoiada 
quando se aplica na haste um carregamento qualquer. 
 
 Eles podem ser por carregamento uniformemente distribuído ou por 
carregamento concentrado. 
 
 A Figura 2.14 mostra o caso de fatores de carga µ1 e µ2 gerados por 
carregamento uniformemente distribuído q. 
 
 
q
Jc 
Ja 
Figura 2.14 – Fatores de carga µ1 e µ2 gerados pelo carregamento 
uniformemente distribuído p. 
 
 O fator µ1 ocorre do lado da mísula e o fator µ2 ocorre no lado oposto 
da mísula. 
 
Lv 
µ1 µ2 
L
 83
A Figura 2.15 mostra o caso de fatores de carga µ1 e µ2 gerados por 
carregamento concentrado P colocado em qualquer posição na haste. 
 
 
 
Figura 2.15 – Fatores de carga µ1 e µ2 gerados pelo carregamento 
concentrado P. 
 
 
A relação entre os momentos de inércia se escreve por: 
 
a
c
J
Jn = (2.11) 
onde: 
 
Ja = momento de inércia na extremidade maior da mísula; 
Jc = momento de inércia na extremidade menor da mísula. 
 
 
Lv 
Ja 
Jc 
L
a P
µ1 µ2 
 84
A relação entre os comprimentos de inércia váriável e total se escreve 
por: 
 
L
Lv=λ (2.12) 
onde: 
 
Lv = comprimento do trecho de inércia variável; 
L = comprimento total da haste. 
 
2.6.1 Relações nas hastes de inércia variável para o emprego dos 
fatores de carga nas tabelas de carregamento uniforme 
 
a) Para mísulas de um lado só tanto de face plana como de face parabólica 
os fatores de carga para carregamento uniforme se escrevem por: 
 
µ1 = k1 x q x L2 x L´ (2.13a) 
µ2 = k2 x q x L2 x L´ (2.13b) 
 
 
b) Para mísulas simétricas tanto de face plana como de face parabólica os 
fatores de carga para carregamento uniforme se escrevem por: 
 
µ1 = µ2 = k1 x q x L2 x L´ (2.14) 
 
sendo: 
L
J
J´L
c
b= (2.15) 
 
onde: 
 85
 
Jb = momento de inércia escolhido como básico entre as hastes; 
Jc = momento de inércia da haste em análise; 
L = comprimento natural da haste em análise. 
 
 
2.6.2 Relações nas hastes de inércia variável para o emprego dos 
fatores de carga nas tabelas de carregamento concentrado 
 
 Inicialmente se calcula o fator N que indica a posição da carga 
concentrada na haste. Como a haste está dividida em 12 partes nas tabelas, 
o fator de posição N se escreve por: 
 
L
ax12N = (2.16) 
 
onde: 
 
a = distância da carga P à extremidade esquerda da haste (Figura 2.15); 
L = comprimento total da haste. 
 
a) Para mísulas de um lado só tanto de face plana como de face parabólica 
os fatores de carga para carregamento concentrado se escrevem por: 
 
µ1 = k1 x P x L x L´ (2.17a) 
µ2 = k2 x P x L x L´ (2.17b) 
 
 
 
 
 86
b) Para mísulas simétricas tanto de face plana como de face parabólica os 
fatores de carga para carregamento uniforme se escrevem por: 
 
 µ1 = µ2 = k1 x P x L x L´ (2.18) 
 
sendo: 
L
J
J´L
c
b= (2.19) 
 
onde: 
 
Jb = momento de inércia escolhido como básico entre as hastes; 
Jc = momento de inércia da haste em análise; 
L = comprimento natural da haste em análise. 
 
 
2.7 EXEMPLOS DE CÁLCULO DE FATORES DE CARGA 
 
 
2.7.1 Exemplo 1 – Calcular os fatores de carga µ1 e µ2 para a haste de 
mísula de face parabólica sujeita a um carregamento uniforme conforme a 
Figura 2.16. 
 
Sabe-se que: 
 
Ja = 5 Jc
 
 
 
 
 87
 
q = 2 kN/m
Jc 
Ja 
Figura 2.16 – Fatores de carga µ1 e µ2 gerados pelo carregamento 
uniforme. 
 
Cálculo dos parãmetros de entrada na Tabela 
 
20,0
J5
J
J
Jn
c
c
a
c === 
 
20,0
15
3
L
Lv ===λ 
 
Entrando na Tabela 11, pag 360, tem-se: 
 
k1 = 0,0398 
k2 = 0,0415 
 
 
 
Lv = 3m 
µ1 µ2 
L 15m
 88
Cálculo dos fatores de carga 
 
µ1 = k1 x q x L2 x L´ = 0,0398 x 2 x 152 x 15 = 268,65 
µ2 = k2 x q x L2 x L´ = 0,0415 x 2 x 152 x 15 = 280,125 
 
2.7.2 Exemplo 2 – Calcular os fatores de carga µ1 e µ2 para a haste de 
mísula de face reta sujeita a um carregamento concentrado de 10 kN 
afastado de 2,5m da extrema esquerda da haste, e um carregamento 
uniforme de 1 kN/m, conforme a Figura 2.17. 
 
 
 
10kNa=2,5m
Figura 2.17 – Fatores de carga µ1 e µ2 gerados pelos carregamentos 
concentrado e uniforme. 
 
 
 
 
Lv = 3m
Ja=100dm4
q=1kN/m
Jc = 50dm4 
µ1 µ2 
L = 10m
 89
Cálculo dos parãmetros de entrada na Tabela 
 
30,0
10
3
J
Jn
a
c === 
 
50,0
100
50
L
Lv ===λ 
 
a) Para o carregamento uniformemente distribuído – Tabela 71 
 
k1 = 0,0383 
k2 = 0,041 
 
Cálculo dos fatores de carga 
 
µ1 = k1 x q x L2 x L´ = 0,0383 x 1 x 102 x 10 = 38,3 
µ2 = k2 x q x L2 x L´ = 0,0411 x 1 x 102 x 10 = 41,1 
 
b) Para a carga concentrada – Tabela 75 
 
n = 0,30 
λ = 0,50 
L
ax12N = 
3
10
5,2x12N == 
 
k1 = 0,0489 
k2 = 0,0382 
 
 
 90
Cálculo dos fatores de carga 
 
µ1 = k1 x P x L x L´ = 0,0489 x 10 x 10 x 10 = 48,9 
µ2 = k2 x P x L x L´ = 0,0382 x 10 x 10 x 10 = 38,2 
 
c) Para o carregamento total 
 
µ1 = 38,3 + 48,9 = 87,2 
µ2 = 41,1 + 38,2 = 79,3 
 
 
 
 91
2.8 CÁLCULO HIPERESTÁTICO DE ESTRUTURAS COM MOMENTOS DE 
INÉRCIA VARIÁVEIS 
 
2.8.1 Viga contínua VC1
 
Seja a viga contínua da Figura 2.18. 
 
P = 2 kN
q = 1 kN/m 
 D
 B
Figura 2.18 – Viga contínua com momentos de inércia variáveis. 
 
JA = JC = JD
JB = 5JA 
 
a) Determinação do sistema principal e hiperestáticos 
 
 
Figura 2.19 – Viga com sistema principal e hiperestático aplicado. 
 
 2,4m 2,4m
 8m8m 2m 
 A C 
X1
 92
 
b) Diagramas do estado de deformação 
 
 
4 
- 
Figura 2.20 – Diagramas do estado de deformação. 
 
 
+ 8 + 8
Figura 2.21 – Diagramas do estado de deformação. 
 
c) Diagramas do estado de carregamento 
 
 
Figura 2.22 – Diagramas do estado de carregamento. 
 
1 1 
-- 
 93
 
d) Determinação dos fatores de forma 
 
Haste AB 
 
 
A B
JC 
JA 
2,4m
8m
Figura 2.23 – Haste AB. 
3,0
8
4,2
L
Lv ===λ 
2,0
J5
J
J
Jn
a
c === 
 
Pela Tabela 5 ou Tabela 66 tem-se: 
 
k1 = 0,207 (lado da maior inércia) 
k2 = 0,330 (lado da menor inércia) 
k3 = 0,151 
 
α1 = 0,207 x 8 = 1,656 (lado da maior inércia) 
α2 = 0,330 x 8 = 2,640 (lado da menor inércia) 
β = 0,151 x 8 = 1,208 
 
 94
Haste BC 
 
 
B C
JC
JA 
2,4m
8m
Figura 2.24 – Haste BC. 
 
3,0
8
4,2
L
Lv ===λ 
2,0
J5
J
J
Jn
a
c === 
 
Pela Tabela 5 ou Tabela 66 tem-se: 
 
k1 = 0,207 (lado da maior inércia) 
k2 = 0,330 (lado da menor inércia) 
k3 = 0,151 
 
α1 = 0,207 x 8 = 1,656 (lado da maior inércia) 
α2 = 0,330 x 8 = 2,640 (lado da menor inércia) 
β = 0,151 x 8 = 1,208 
 
 
 
 95
Resumo das duas hastes para os fatores de forma 
 
 
 
2,640 
Figura 2.25 – Resumo das duas hastes. 
 
 
e) Determinação dos fatores de carga 
 
3,0
8
4,2
L
Lv ===λ 
2,0
J5
J
J
Jn
a
c === 
 
 
 
Pela Tabela 10 ou Tabela 71 tem-se: 
 
 
k1 = 0,0351 (lado da maior inércia) 
 
k2 = 0,0404 (lado da menor inércia) 
 
 
 
 
2,6401,6561,656
JA 
JC JC 
 96
µ1 = k1 x q x L2 x L´ = 0,0351 x 1 x 82 x 8 = 17,97 (lado da maior 
inércia) 
 
µ2 = k2 x q x L2 x L´ = 0,0404 x 1 x 82 x 8 = 20,68 (lado da menor 
inércia) 
 
 
 
 
Resumo das duas hastes para os fatores de carga 
 
 
20,68 
Figura 2.26 – Resumo das duas hastes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20,6817,9717,97
JA 
JC JC 
 97
Tabela 1 - Determinação dos trabalhos virtuais para a haste com a maior 
inércia à esquerda 
 
µ2 µ1 
1 2
 
 
 
 
 
M1 
M2 
M1 M2 
α1 M1 M1 β M1 M2 
β M2 M1 
1 2
α2 M2 M2 
(α1 + β) M1 M1 (α2 + β) M1 M2 M1 
M0 
µ1 M1 µ2 M2 
 98
Tabela 2 - Determinação dos trabalhos virtuais para a haste com a maior 
inércia à direita 
 
 
µ2 
µ1 
1 2
 
 
 
 
 
M1 
M2 
M1 M2 
α2 M1 M1 β M1 M2 
β M2 M1 
1 2
α1 M2 M2 
(α2 + β) M1 M1 (α1 + β) M1 M2 M1 
M0 
µ2 M1 µ1 M2 
 99
f) Determinação das flexibilidades 
 
Para a haste AB 
 
 
1 2
JC 
JA 
µ2 
µ1 2,4m
8m
Figura 2.27 – Haste AB. 
 
 
Figura 2.28 – Integração dos diagramas. 
 
f10 da haste AB 
 
f10 = µ1 x 
 
f10 = 17,97 x 1 = - 17,97 
 
 
X M0 + 
M2
- 
M2 
 100
Para a haste BC 
 
 
1 2
JC
JA 
JC 
µ1 µ2 2,4m
8m
Figura 2.29 – Haste BC. 
 
 
Figura 2.30 – Integração dos diagramas. 
 
f10 da haste BC 
 
f10 = 
 
f10 = -13,138 
 
 
X 
M0 = 8 + M1 - 
 4 
- 
µ1 M1 + β M2 M1 = -17,97 x 1 + 1,208 x 4 x 1 = 
 101
f10 total = -17.97 - 13,138 = -31,108 
 
Determinação da flexibilidade f11. 
 
Para a haste AB 
 
 
1 2
JC 
JA 
α2 
α1 
Figura 2.31 – Haste AB. 
 
 
 
Figura 2.32 – Integração dos diagramas. 
 
 
f11 = 
 
 
 
 
 
X M2
M2
- - 
M2 x M2 x α1 = (-1) x (-1) x 1,656 = 1,656 
 102
Para a haste BC 
 
 
1 2
JC
JA 
α1 α2 
Figura 2.33 – Haste BC. 
 
 
Figura 2.34 – Integração dos diagramas. 
 
f11 = 
 
f11 total = 1,656 + 1,656 = 3,312 
 
g) Equação de coerência 
 
f10 + f11 X1 = 0 
 
-31,108 + 3,312 X1 = 0 
 
40,9
312,3
108,31X1 == 
 
X M1
M1 
- 
- 
M1 x M1 x α1 = (-1) x (-1) x 1,656 = 1,656 
 103
h) Diagramas dos momentos fletores 
 
 
9,40 
6,70
4,70 
4 
+
+
Figura 2.35 – Diagramas dos momentos fletores. 
 
 
3,30 1,3
9,3
11,30
4 4 4 4 2 
1,18 1,18 0,68 0,68
2,8 5,18 4,68 3,32 2 
2,8 9,86 5,32 
 104
i) Diagramas dos esforços cortantes 
 
 
Figura 2.36 – Diagramas dos esforços cortantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+
2,8 
4,68 
2 
2 
+ 
-
5,18 
3,32 
 105
2.8.12 Viga contínua VC2
 
Seja a viga contínua da Figura 2.37. 
 
Figura 2.37 – Viga contínua com momentos de inércia variáveis. 
 
JA = 100 dm4
JB = 75 dm4
JC = 50 dm4
JBÁSICO = 50 dm4
 
a) Determinação do sistema principal e hiperestáticos 
 
 
Figura 2.38 – Viga com sistema principal e hiperestático aplicado. 
 
 
q = 2 kN/m 
q = 1 kN/m 
 4m 3m 
 2m 10m 15m 3m 
 JB
 C
 D 
 E
2 kN1 kN 
 JA JC JC JA JA JB
 A 
 B 4m 3m 
X1
 106
b) Diagramas do estado de deformação 
 
 
Figura 2.39 – Diagramas do estado de deformação. 
 
 
Figura 2.40 – Diagramas do estado de deformação. 
 
c) Diagramas do estado de carregamento 
 
 
Figura 2.41 – Diagramas do estado de carregamento. 
 
 
 
-
1 
-
25 
7,5
1,125
+ + + 
4,5 2 
- 
 107
d) Determinação dos fatores de forma da haste BC 
 
 
B C
JC 
JA 
Figura 2.42 – Haste BC. 
 
4,0
10
4
L
Lv ===λ 
50,0
100
50
J
Jn
a
c === 
m1010
50
50L
J
J´L
analise
basico === 
 
Pela Tabela 68 ou Tabela 7 tem-se: 
 
k1 = 0,244 
k2 = 0,141 
 
α1 = α2 = k1 x L´ = 0,244 x 10 = 2,44 
β = k2 x L´ = 0,141 x 10 = 1,41 
 
 
 
JA 
4m
10m
4m
α1 α2 
 108
e) Determinação dos fatores de forma da haste CD 
 
 
C D
JC 
JA 
Figura 2.43 – Haste CD. 
 
20,0
15
3
L
Lv ===λ 
50,0
100
50
J
Jn
a
c === 
m1515
50
50L
J
J´L
analise
basico === 
 
Pela Tabela 68 ou Tabela 7 tem-se: 
 
k1 = 0,283 
k2 = 0,159 
 
α1 = α2 = k1 x L´ = 0,283 x 15 = 4,245 
β = k2 x L´ = 0,159 x 15 = 2,385 
 
 
 
JA 
3m
15m
3m
α1 α2 
 109
f) Determinação dos fatores de carga da haste BC 
 
 
2kN/m
Figura 2.44 – Haste BC. 
 
4,0
10
4
L
Lv ===λ 
50,0
100
50
J
Jn
a
c === 
m1010x
50
50Lx
J
J´L
analise
basico === 
 
Pela Tabela 73 ou Tabela 12, tem-se: 
 
k = 0,0351 
 
µ1 = µ2 = k x q x L2 x L´ = 0,0351 x 2 x 102 x 10 = 70,2 
 
 
 
JC 
µ2 
4m
10m
B C
µ1 
4m
JA JA 
 110
g) Determinação dos fatores de carga da haste CD 
 
 
Figura 2.45 – Haste CD. 
 
 
20,0
15
3
L
Lv ===λ 
50,0
100
50
J
Jn
a
c === 
m1515
50
50L
J
J´L
analise
basico === 
 
 
Pela Tabela 77 ou Tabela 16 tem-se: 
 
6
15
5,7x12
L
ax12N === 
 
 
JC 
µ2 
3m
15m
C D
3m
µ1 JA JA 
a = 7,5m
2 kN
 111
Entrando na coluna N = 6, tem-se para λ = 20 e n = 0,50 os 
valores de k1 e k2: 
 
k1 = 0,0606 
k2 = 0,0606 
 
µ1 = k1 x P x L x L´ = 0,0606 x 2 x 15 x 15 = 27,27 
µ2 = k2 x P x L x L´ = 0,0606 x 2 x 15 x 15 = 27,27 
 
h) Determinação das flexibilidades f10 para a haste BC 
 
 
Figura 2.46 – Haste BC. 
 
 
Figura 2.47 – Integração de diagramas da haste BC. 
 
f10 = 
 
 
X 
M2 M1
- -
2
1
JC 
µ2 
10m
B C
2kN/m
µ1 JA JA 
 
M1 x M2 x β = (-2) x (-1) x 1,41 = 2,82
 112
 
Figura 2.48 – Integração de diagramas da haste BC. 
 
f10 = 
 
i) Determinação das flexibilidades f10 para a haste CD 
 
 
Figura 2.49 – Haste CD. 
 
 
Figura 2.50 – Integração de diagramas da haste CD. 
 
 
X 
M1 
M0 = 7,5 
- 
+ 
 M2=4,5- 
JC 
µ2 
15m
C D
µ1 JA JA 
2 kN
a = 7,5m
X M0=25 + 
M2
- 
 
M2 x µ2 = - 1 x 70,2 = - 70,2 
 113
 
f10 = 
 
M1 x µ1 + M1 x M2 x β = (-1) x 27,27 + (-1)x(-4,5)x2,387 = 
 
 = -27,27 + 10,73 = -16,54 
 
f10 total = 2,82 - 70,2 - 16,54 = - 83,92 
 
j) Determinação das flexibilidades f11 para a haste BC 
 
 
Figura 2.51 – Integração de diagramas da haste BC. 
 
 
 
k) Determinação das flexibilidades f11 para a haste CD 
 
 
Figura 2.52 – Integração de diagramas da haste CD. 
 
 
 
f11 total = 2,44 + 4,245 = 6,685 
 
 
X
M1 
- -
M1
1 1
X 
M2
- - 
M2
1 1
 
f11 = M2 x M2 x α2 = (-1) x (-1) x 2,44 = 2,44 
 
f11 = M1 x M1 x α1 = (-1) x (-1) x 4,245 = 4,245 
 114
 
l) Equação de coerência 
 
f10 + f11 X1 = 0 
 
55,12
685,6
92,83
f
fX
11
10
1 ==
−
= 
 
m) Diagramas de momentos fletores 
 
 
12,55
Figura 2.53 – Diagramas de momentos fletores. 
 
4,5 
-
2 
7,27 
1,02
-
+
17,73 
L
M∆
 1,055 1,055 0,537 0,537
 
2
P 1 1 
2
qL
 10 10 
9,945 11,05 1,537 0,46
 115
 
n) Diagramas de esforços cortantes 
 
 
3 
8,95 
Figura 2.54 – Diagramas de esforços cortantes. 
 
-
1 
1 
11,05
1,537 1,537
0,46 0,46 
- 
+ +
- 
 116
CAPITULO 3 
 
O M É T O D O D O S D E S L O C A M E N T O S 
 
 
3.1 GENERALIDADES 
 
No Método dos Esforços escolhiam-se determinadas incógnitas do 
sistema de equações de compatibilidade estática, que eram verdadeiramente 
esforços sob a forma de momentos fletores ou cargas concentradas, onde 
através da resolução do sistema estes esforços eram determinados. 
 
Agora, no Método dos Deslocamentos, determinam-se os 
deslocamentos angulares e lineares sofridos pelos nós das estruturas, para, 
a partir dos valores dessas incógnitas, se obter os diagramas de momentos e 
cortantes, objetivo final de ambos os métodos 
 
 
3.2 INCÓGNITAS DO MÉTODO 
 
São certos deslocamentos que são conhecidas nos extremos das 
hastes que permitem que sejam determinados os esforços seccionais. 
 
Estes deslocamentos podem ser: 
 
- Rotações nos nós ( φ ); 
- Deslocamentos lineares ( ∆ ); 
 
 
 
 117
3.3 PRINCÍPIO DA CONTINUIDADE 
 
Este princípio é muito empregado no Método dos Deslocamentos. Ele 
mostra que "as rotações nos extremos das hastes que concorrem num 
mesmo nó são iguais e definem, portanto, a rotação do nó. " 
 
 φ 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.1 - Rotação de um nó. 
 
 
3.4 GRAU DE HIPERGEOMETRIA 
 
É definido pelo número de incógnitas do problema. Também é 
chamado de grau de indeterminação cinemática da estrutura. É o número 
de deslocamentos a se anular de modo a se obter subestruturas de 
cálculo conhecido que só podem ser: 
 
- Hastes biengastadas 
 
- Hastes engastada-apoiadas 
 
 
 
 118
Os deslocamentos ficam anulados quando se introduzem vínculos 
rígidos que procuram impedir as rotações nos nós e os seus deslocamentos 
lineares. 
 
As chapas impedem as rotações nos nós e os apoios do primeiro ou 
segundo gênero impedem os seus deslocamentos lineares. 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.2 - Impedimento de rotações e deslocamentos. 
 
A estrutura hiperestática fica transformada (chamada de estrutura 
isogeométrica) e, dessa forma, fica configurado o sistema principal. 
 
3.5 DETERMINAÇÃO DOS GRAUS DE HIPERGEOMETRIA 
 
Sejam as estruturas de pórticos e quadros contraventados: 
 
a) 
 
 
 
 
 
 h=2 
 
 
 119
b) 
 
 
 
 
 
 h=3 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 h=6 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 h=7 
 
 
 
 120
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 h=12 
 
f) 
 
 
 
 
 
 
 h=3 
 
Figura 3.3 – Estruturas de pórticos. 
 
Quando a estrutura apresentar rótulas intermediárias, não se deve 
colocar nelas chapas, a fim de anular as rotações. Deve ser 
respeitada a condição natural da estrutura naquele ponto. Assim, as 
Figuras 3.4 a, b e c, ilustram alguns casos de estruturas rotuladas. 
 
 
 
 
 
 121
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 h=5 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 h=1 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
h=5 
Figura 3.4 - Estruturas rotuladas. 
 
 
 122
Quando a estrutura possuir balanços carregados, estes não devem ser 
incluídos na analise estrutural isogeométrica. O balanço pode ser retirado e 
sua ação substituída sobre o resto da estrutura por um momento fletor e 
força equivalentes aplicados pela parte exterior da mesma. Assim, de 
acordo com as Figuras 3.5 a e b, têm-se: 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
h = 2 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 h = 2 
Figura 3.5 – Estruturas dotadas de balanço 
 
 123
No caso de grelhas, cada nó rígido possui duas componentes de 
rotação e uma de deslocamento linear vertical. Assim, de acordo com as 
Figuras 3.6 a, b e c, têm-se: 
 
a) 
 
 
 
 
 
 h = 6 
b) 
 
 
 
 
 
 h = 8 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 h = 18 
Figura 3.6 – Graus de hipergeometria em grelhas. 
 
 124
 
3.6 GRANDEZAS FUNDAMENTAIS 
 
3.6.1 Fatores de forma de segunda espécie 
 
São os momentos de reação a e b que surgem nos extremos de 
uma haste biengastada quando se dá uma rotação unitária numa de suas 
extremidades. 
 
Os momentos de reação são definidos por: 
 
a = 
L
JE4 
 (3.1) 
 
b = 
L
JE2 
(3.2) 
 
e expressam as rigidezes nos nós da barra biengastada. 
 
 a b 
 
 
 
 φ = 1 
 
Figura 3.7 - Fatores de forma da haste biengastada. 
 
 
 125
 
3.6.2 Fator de forma derivado de segunda espécie 
 
E o momento de reação a’ que surge no extremo da haste 
engastada-apoiada quando se dá uma rotação unitária no seu extremo 
engastado. 
 
É definido por: 
 
L
JE3a =′ 
(3.3) 
 
onde L é o comprimento da haste. 
 
 
 
 
 
 a’ 
 
 
 φ 
 
 
 
Figura 3.8 - Fator de forma da haste engastada-apoiada. 
 
 
 
 126
 
3.6.3 Fator de forma devido a deslocamentos ortogonais ao eixo da 
haste biengastada 
 
São os momentos de reação que surgem nos extremos de uma haste 
biengastada quando se dá um deslocamento linear unitário num de seus 
extremos, ficando os engastes sem sofrer rotações. 
 
É definido por: 
 
c = 2L
JE6 
(3.4) 
 
onde L é o comprimento da haste. 
 
 ∆ = 1 
 
 
 c 
 c 
 
 
 φ 
 
 
 
Figura 3.9 – Fator de forma devido a deslocamentos ortogonais. 
 
 
 127
 
A rotação é definida por: 
 
φ = 
L
∆ 
(3.5) 
 
Como ∆ = 1 , então φ = 
L
1 
 
 
O momento de reação nada mais é do que asoma dos fatores de 
forma da haste biengastada multiplicados pela rotação, ou seja: 
 
 
M = (a + b) φ 
(3.6) 
 
M = 2L
JE6
L
1
L
JE2
L
JE4
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + 
(3.7) 
 
Dessa forma: 
 
 
c = 2L
JE6 
(3.8) 
 
 
 128
 
3.6.4 Fator de forma devido a deslocamento ortogonal ao eixo da 
haste engastada-apoiada 
 
É o momento de reação que surge no engaste de uma haste engastada-
apoiada quando se dá um deslocamento unitário no bordo apoiado ortogonal 
ao eixo ficando o engaste sem sofrer rotação. 
 
É definido por: 
 
c’ = 2L
JE3 
(3.9) 
 
 
 ∆ = 1 
 
 
 
 
 c’ 
 
 
 φ 
 
 
 
Figura 3.10 - Fator de forma c’ . 
 
 
 129
 
A rotação é definida por: 
φ = 
L
1 
(3.10) 
e o momento de reação por: 
 
M = a’ φ 
(3.11) 
M = 2L
JE3
L
1
L
JE3
= 
(3.12) 
 
3.6.5 Fatores de carga de segunda espécie 
 
São os momentos de reação que surgem nos extremos da haste 
biengastada devido à ação de um carregamento qualquer. São alguns 
exemplos: 
 
a) 
 P 
 M = - 
8
LP M = + 
8
LP 
 
 
 L 
 
 R = 
2
P R = 
2
P 
 
 
 130
 
b) 
 
 
 M = - 2
2
L
baP P M = + 2
2
L
baP 
 
 
 a b 
 
 
 R = 3
2
L
a)2L(bP + R = 3
2
L
b)2L(aP + 
 
 
c) 
 
 q 
 
 
 M = - 
12
Lq 2 M = + 
12
Lq 2 
 
 R = 
2
Lq R = 
2
Lq 
 
 
 
 
 
 131
 
d) 
 
 
 
 
 
 M = - 
20
Lq 2 M = + 
30
Lq 2 
 
 R = Lq
20
7 R = Lq
20
3 
 
 L 
 
 
 
 
Figura 3.11 - Fatores de carga 
 
 
 
3.6.6 Fatores de carga derivados de segunda espécie 
 
 
É o momento de reação que surge no extremo da haste engastada-
apoiada devido à ação de um carregamento qualquer. 
 
 
 
 132
a) 
 P 
 
 M = - LP
16
3 
 
 
 
 
 R = P
16
11 R = P
16
5 
 
 
b) 
 
 M = - ( )bL
L2
baP P 2 +
 
 
 
 a b 
 
 
 R = ( )3
22
L2
bL3bP − R = ( )3
2
L2
bL2aP + 
 
 L 
 
 
 
 133
 
c) 
 q 
 
 
 
 M = - 
15
Lq 2 
 
 R = 
5
Lq2 R = 
10
Lq 
 
 
d) 
 
 
 q 
 
 
 
 M = - 
120
Lq7 2 
 
 
 R = 
40
Lq9 R = 
40
Lq11 
 
 
 
 
 134
 
e) 
 
 q 
 
 
 
 
 M = - 
8
Lq 2 
 
 R = 
8
Lq5 R = 
8
Lq3 
 
Figura 3.12 - Fatores de carga derivados. 
 
 
 
 
Em alguns problemas de estruturas sujeitas às deslocabilidades 
lineares, são de muita utilidade as reações de apoio. 
 
 
 135
 
3.7 EXERCÍCIOS 
 
3.7.1 A viga continua VC1
 
Seja a viga continua submetida a um carregamento uniformemente 
distribuído conforme o apresentado na Figura 3.13. 
 
 
 
 2 kN/m 
 
 
 
 
 
 
 3 10 20 10 3 
 
 
 (m) 
 
Figura 3.13 - Viga continua com carga uniforme. 
 
 
 
a) Formação do sistema principal. 
 
 
 
 
 
 
 
 h = 2 
 
 
Figura 3.14 - Grau de hipergeometria da viga. 
 
 
 
 
 136
 
b) Determinação dos fatores de forma. 
 
 
Haste AB a’ = 3/L = 3/10 = 0,30 
 
Haste BC a = 4/L = 4/20 = 0,20 
 b = 2/L = 2/20 = 0,10 
 
 
 
 
 
 A B 
 
 
 
 
 B C 
 
 
 
Figura 3.15 - Subestruturas de cálculo conhecido. 
 
 
c) Determinação dos fatores de carga. 
 
 
 2 kN/m 
 -66,66 +66,66 
 
 
 
 B C B C 
 
Figura 3.16 - Fatores de carga da haste BC 
 
 
MB = - q L2/12 = 2 (20)2/12 = - 66,66 kN m 
MC = + q L2/12 = 2 (20)2/12 = + 66,66 kN m 
 
 137
 
 2 kN/m 
 -4,5 
 
 
 
 A B A B 
 
Figura 3.17 - Fator de carga 
 
MA = 2 (3) (1,5) = 9 kN m 
 
Este momento deve ser transmitido para o nó B, mediante o 
fator de transmissão 0,5. 
 
MB = 9 a
b = (9) (0,10/0,20) = - 4,5 kN m 
 
 
 2 kN/m 
 + 25 
 
 
 
 A B A B 
 
Figura 3.18 - Fator de carga 
 
MB = q L2/8 = (2) (10)2/8 = + 25 kN m 
 
 
Assim, superpondo-se os momentos do nó B, obtém-se os 
fatores de carga finais. 
 
 
 
 138
 
 
 +20,5 -66,66 +66,66 -20,5 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.19 - Resumo dos fatores de carga 
 
d) Ação do hiperestático φ1 = 1 no sistema principal. 
 
 φ1 = 1 
 
 0,30 0,20 0,10 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.20 - Ação da rotação unitária em B. 
 
 
e) Ação do hiperestático φ2 = 1 no sistema principal. 
 
 
 φ2 = 1 
 0,10 0,20 
 0,30 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.21 - Ação da rotação unitária em C. 
 
 
 139
f) Equações de coerência 
 
 (20,5 - 66,66) + (0,30 + 0,20) φ1 + 0,10 φ2 = 0 
 (66,66 - 20,5) + 0,10 φ1 + (0,20 + 0,30) φ2 = 0 
 
Na solução deste sistema são fornecidos: 
 
 φ1 = + 115,25 
 φ2 = - 115,25 
 
g) Cálculo dosmomentos fletores. 
 
MBesq = 20,5 + 0,30 φ1 = 20,5 + 0,30 (115,25) = 55,07 kNm 
MBdir = - 66,66 + 0,20 φ1 + 0,10 φ2 = 
 = - 66,66 + 0,20 (115,25) + 0,10 (-115,25) = - 55,07 kNm 
 
 
h) Diagrama dos momentos fletores em kN.m 
 
 55,07 55,07 
 
 
 9 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.22 - Momentos fletores finais em kN.m. 
 
 
 
 140
i) Cálculo dos momentos fletores em formas programáveis. 
 
 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
 
 
 
 
Figura 3.23 - Divisão da viga contínua em seções. 
 
 
i1) Momentos pela carga uniforme. 
 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.24 - Parábolas simétricas em cada tramo 
 
 
 
Primeiro vão - M = q L2 / 2 wr = (2) (10)2 / 2 wr
 
Segundo vão - M = q L2 / 2 wr = (2) (20)2 / 2 wr
 
 
i2) Suspensão dos momentos fletores. 
 
A reta que une os momentos fletores determinados nas seções 
“0” e “5” apresenta uma inclinação. É necessário que seja calculada a 
distância “d”. 
 
 
 141
Primeiro vão 
 
 
 
 
 
 46,07 
 d 
 
 9 
 
 1 2 3 4 5 
 0 
 
 
Figura 3.25 - Suspensão dos momentos no primeiro vão. 
 
Pela regra de três, tem-se: 
 
(55,07 - 9) _________________________ 10 
 d _____________________________ x 
 
onde x assume os valores 0, 2, 4, 6, 8 e 10. 
 
O valor d fica expresso por: 
 
 d = 
10
07,46 x 
 
ou então: 
 
 d = 4,607 x 
 
 
 
 142
 
Segundo vão 
 
A reta que une os momentos fletores determinados nas seções e ‘’0’’ 
e ‘’5’’ é horizontal, portanto, os momentos existentes entre as seções 
intermediárias são constantes. 
 
Na Tabela 3.1 são calculadas todas as parcelas dos momentos 
fletores separadamente para todas as seções transversais. 
 
 
 
Tabela 3.1 - Momentos fletores parciais e finais 
 
 wr (qL2 / 2) wr Linha de chamada Momento 
 total 
 (kNm) 
 
 
 0 0 0 9 -9 
 1 0,16 16 -9,214 – 9 =18,214 -2,214 
 2 0,24 24 -18,428 – 9 = 27,428 -3,428 
 3 0,24 24 -27,642 – 9 = 36,642 -12,6 
 4 0,16 16 -36,856 – 9 = 45,856 -29,8 
 5 0 0 - 55,07 -55,07 
 6 0,09 36 - 55,07 -19,07 
 7 0,16 64 -55,07 8,93 
 8 0,21 84 -55,07 28,93 
 9 0,24 96 -55,07 40,93 
 10 0,25 100 -55,07 44,93 
 11 0,24 96 -55,07 40,93 
 12 0,21 84 -55,07 28,93 
 13 0,16 64 -55,07 8,93 
 14 0,09 36 -55,07 -19,07 
 15 0 0 -55,07 -55,07 
 
 
 
 
 143
i3) Momentos fletores finais em cada seção ao longo da viga 
contínua. 
 
Figura 3.26 - Diagrama de momentos fletores finais. 
 
 144
j) Cálculo dos cortantes em formas programáveis. 
 
São extraídas de cada segmento biapoiado as reações provenientes 
do carregamento externo aplicado e do par de momentos em cada 
extremidade, obtidos pelo método das deformações. Estas reações são 
analisadas à esquerda e à direita de cada seção de apoio e correspondem 
aos esforços cortantes nestas seções. 
 
 q = 2 kN/m 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
 
 
 
 9 9 55,07 55,07 55,07 55,07 9 9 
 
 
 6 10 10 20 20 10 10 6 
 
 
 4,6 4,6 4,6 4,6 
 
 
 6 5,4 14,6 20 20 14,6 5,4 6 
 
Figura 3.27 - Reações de apoio em kN. 
 
Para o primeiro vão obtém-se: 
 
R = q L / 2 = 2 (10) / 2 = 10 kN ( carga uniforme ) 
R = ∆M / L = (55 - 9) / 10 = 4,6 kN ( momentos fletores ) 
 
Para o segundo vão obtém-se: 
 
R = q L / 2 = 2 (20) / 2 = 20 kN (carga uniforme) 
 
 145
j1) Cortantes finais em cada seção ao longo da viga contínua. 
 
 
Figura 3.28 - Cortantes finais. 
 
 146
 
3.7.2 Viga continua VC2
 
Seja a viga contínua submetida a um carregamento irregular conforme 
o apresentado na Figura 3.29. 
 
 
4 kN 2 kN/m 6 kN 1 kN/m 
 
 
 
 2 m 12 m 16 m 8 m 2 m 8 m 3 m 
 
Figura 3.29 - Viga contínua de carregamento diverso. 
 
 
a) Formação do sistema principal 
 
 
 
 
 
 A B C D E 
 h = 3 
 
Figura 3.30 - Grau de hipergeometria da viga. 
 
 
 
 
 147
 
b) Determinação dos fatores de forma. 
 
Haste AB a’ = 3/L = 3/12 = 0,25 
 
Haste BC a = 4/L = 4/16 = 0,25 
 
 b = 2/L = 2/16 = 0,125 
 
Haste CD a = 4/L = 4/10 = 0,40 
 
 b = 2/L = 2/10 = 0,20 
 
Haste DE a’ = 3/L = 3/8 = 0,375 
 
c) Determinação dos fatores de carga 
 
Haste AB MB = q L2 / 15 = (2) (12)2 / 15 = 19,2 kN m 
 
 MB = - 4 (2) (0,5) = - 4 kN m 
 
 2 kN/m 4 kN 
 
 
 
 A +19,2 B A -4 B 
 
Figura 3.31 – Fatores de carga na haste AB. 
 
 
 148
 
Haste BC MB = - q L2 / 12 = - (2) (16)2 / 12 = - 42,67 kN m 
 
 MC = + q L2 / 12 = + (2) (16)2 / 12 = + 42,67 kN m 
 
 2 kN/m 
 
 
 
 -42,67 +42,67 
 
Figura 3.32 - Fatores de carga na haste BC. 
 
Haste CD MC = - 
( )( )( ) 92,1
10
286
L
baP
2
2
2
2
−=−= 
 
 MD = + 
( )( ) ( ) 68,7
10
286
L
baP
2
2
2
2
+== 
 
 
 6 kN 
 
 
 
 -1,92 +7,68 
 C D 
 
Figura 3.33 - Fatores de carga na haste CD. 
 
 
 149
 
Haste DE 
 
MD = - q L2 /8 = - (1) (8)2 /8 = - 8 (da carga concentrada) 
 
MD = + (1) (3) (1) (0,5) / 2 = + 0,75 (da carga triangular do balanço) 
 
 1 kN/m