MECÂNICA GERAL

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MECÂNICA GERAL
PROF. ME. THIAGO A. RODRIGUES
Reitor: 
Prof. Me. Ricardo Benedito de 
Oliveira
Pró-reitor: 
Prof. Me. Ney Stival
Gestão Educacional:
Prof.a Ma. Daniela Ferreira Correa
PRODUÇÃO DE MATERIAIS
Diagramação:
Alan Michel Bariani
Thiago Bruno Peraro
Revisão Textual:
Gabriela de Castro Pereira
Letícia Toniete Izeppe Bisconcim 
Luana Ramos Rocha
Produção Audiovisual:
Heber Acuña Berger 
Leonardo Mateus Gusmão Lopes
Márcio Alexandre Júnior Lara
Pedro Paulo Liasch
Gestão de Produção: 
Kamila Ayumi Costa Yoshimura
Fotos: 
Shutterstock
© Direitos reservados à UNINGÁ - Reprodução Proibida. - Rodovia PR 317 (Av. Morangueira), n° 6114
 Prezado (a) Acadêmico (a), bem-vindo 
(a) à UNINGÁ – Centro Universitário Ingá.
 Primeiramente, deixo uma frase de 
Sócrates para reflexão: “a vida sem desafios 
não vale a pena ser vivida.”
 Cada um de nós tem uma grande 
responsabilidade sobre as escolhas que 
fazemos, e essas nos guiarão por toda a vida 
acadêmica e profissional, refletindo diretamente 
em nossa vida pessoal e em nossas relações 
com a sociedade. Hoje em dia, essa sociedade 
é exigente e busca por tecnologia, informação 
e conhecimento advindos de profissionais que 
possuam novas habilidades para liderança e 
sobrevivência no mercado de trabalho.
 De fato, a tecnologia e a comunicação 
têm nos aproximado cada vez mais de pessoas, 
diminuindo distâncias, rompendo fronteiras e 
nos proporcionando momentos inesquecíveis. 
Assim, a UNINGÁ se dispõe, através do Ensino a 
Distância, a proporcionar um ensino de qualidade, 
capaz de formar cidadãos integrantes de uma 
sociedade justa, preparados para o mercado de 
trabalho, como planejadores e líderes atuantes.
 Que esta nova caminhada lhes traga 
muita experiência, conhecimento e sucesso. 
Prof. Me. Ricardo Benedito de Oliveira
REITOR
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01
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO .............................................................................................................................................................5
1 - PRINCÍPIOS GERAIS ............................................................................................................................................6
1.1. CONCEITOS FUNDAMENTAIS ............................................................................................................................6
2 - VETORES DE FORÇA ............................................................................................................................................8
2.1. MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE UM VETOR POR UM ESCALAR ...................................................................8
2.2. ADIÇÃO DE VETORES ........................................................................................................................................9
2.3. SUBTRAÇÃO DE VETORES ................................................................................................................................9
2.4. DECOMPOSIÇÃO DE FORÇAS ..........................................................................................................................10
2.5. CÁLCULO DA FORÇA RESULTANTE ................................................................................................................12
2.5.1.EXEMPLO DE APLICAÇÃO ...............................................................................................................................15
2.5.1.1.1. 1° PASSO: DECOMPOR AS FORÇAS EM X E Y. .........................................................................................15
ESTÁTICA DE PARTÍCULAS E 
DE CORPOS RÍGIDOS
PROF. ME. THIAGO A. RODRIGUES
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
MECÂNICA GERAL
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2.5.1.2. 2° PASSO: ENCONTRAR AS COMPONENTES X E Y DA FORÇA RESULTANTE. .....................................16
2.5.1.3. 3° PASSO: ENCONTRAR A FORÇA RESULTANTE E O ÂNGULO DE INCLINAÇÃO. ................................. 17
2.6. PRODUTO ESCALAR .........................................................................................................................................18
3 - EQUILÍBRIO DE UM PARTÍCULA .......................................................................................................................18
3.1. DIAGRAMA DE CORPO LIVRE (DCL) ................................................................................................................ 18
3.1.1. EXEMPLO DE APLICAÇÃO ............................................................................................................................................. 19
3.2. CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO EM UM SISTEMA DE FORÇAS COPLANARES...............................................20
3.3 SISTEMA DE FORÇAS TRIDIMENSIONAIS ......................................................................................................22
3.3.1. VETOR POSIÇÃO .............................................................................................................................................22
3.3.2. VETOR UNITÁRIO ...........................................................................................................................................23
4 - CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................................................................. 24
EXEMPLO DE APLICAÇÃO .......................................................................................................................................15
2.5.1.1.1. 1° PASSO: DECOMPOR AS FORÇAS EM X E Y. .........................................................................................15
2.5.1.2. 2° PASSO: ENCONTRAR AS COMPONENTES X E Y DA FORÇA RESULTANTE. .....................................16
2.5.1.3. 3° PASSO: ENCONTRAR A FORÇA RESULTANTE E O ÂNGULO DE INCLINAÇÃO. ................................. 17
2.6. PRODUTO ESCALAR .........................................................................................................................................18
3 - EQUILÍBRIO DE UM PARTÍCULA .......................................................................................................................18
3.1. DIAGRAMA DE CORPO LIVRE (DCL) 183.1.1. EXEMPLO DE APLICAÇÃO ............................................................. 19
3.2. CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO EM UM SISTEMA DE FORÇAS COPLANARES ............................................. 20
3.3 SISTEMA DE FORÇAS TRIDIMENSIONAIS ......................................................................................................22
3.3.1.VETOR POSIÇÃO ..............................................................................................................................................22
3.3.2. VETOR UNITÁRIO ...........................................................................................................................................23
4 - CONSIDERAÇÕES FINAIS ..................................................................................................................................24
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INTRODUÇÃO
Seja bem-vindo à disciplina de Mecânica Geral. Ao longo desta unidade aprenderemos 
sobre princípios gerais de estática de partículas e de corpos rígidos. Discutiremos sobre conceitos 
básicos de vetores e forças e sobre equilíbrio de partículas. Os materiais utilizados ao longo da 
unidade estão referenciados e devem ser consultados durante seus estudos, como materiais de 
apoio.
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1 - PRINCÍPIOS GERAIS
O foco principal de estudo da Mecânica Geral está na análise e comportamento de corpos 
rígidos, também chamada de mecânica dos corpos rígidos. Os assuntos abordados na mecânica 
dos corpos rígidos se apoiam em alguns conceitos e princípios básicos que iremos relembrar a 
seguir.
1.1. Conceitos Fundamentais
As principais grandezas, ou quantidades, utilizadas na engenharia são Comprimento,Tempo, Massa e Força. Outras grandezas também muito empregadas na engenharia, como Energia 
e Potência, embora pareçam bastante específicas e distintas, são, na verdade, uma combinação 
das grandezas básicas de Comprimento, Tempo, Massa e Força (Hibbeler, 2011).
A quantidade de comprimento mede a distância de um ponto a outro. As principais 
unidades utilizadas para descrever comprimento são, metros (m) e suas variações (centímetro 
[cm], milímetro [mm], quilómetro [km]...), no sistema internacional (SI); e polegadas (in), pé 
(ft) e milhas (mi), no sistema inglês. 
A grandeza de tempo mede o intervalo de eventos ocorridos de forma sucessiva. As 
principais unidades de tempo são segundos (s), minutos (min) e horas (h). A massa mede a 
quantidade de matéria de um corpo. As principais unidades de massa são quilograma (kg), 
grama (g) e miligrama (mg) no SI e libra (lb) no sistema inglês. A grandeza de força é descrita por 
Hibbeler (2011) como um “empurrão” ou “puxão” sofrido por um corpo. Pode ser ocasionada 
pelo contato entre dois corpos ou pela ação de um campo, como o campo gravitacional ou campo 
elétrico. As principais unidades de força são Newtons (N) no SI e libra força (lbf) no sistema 
inglês. 
O estudo de mecânica de corpos rígidos se apropria de modelos que nada mais são do 
que idealizações da situação real, muitas vezes de forma simplificada e aproximada. Os principais 
modelos que utilizaremos ao longo do curso de Mecânica Geral referem-se a uma partícula, a um 
corpo rígido e a forças concentradas. 
Uma partícula é um corpo que possui massa, mas tamanho desprezível. O conceito de 
partícula é bastante útil para simplificar situações em que as dimensões do corpo são insignificantes 
para a análise desejada. Por exemplo, o movimento do planeta Terra se analisado quanto ao seu 
movimento orbital (Hibbeler, 2011).
Em contrapartida, o corpo rígido possui massa e dimensões significativas. Pode ser 
aproximado a um conjunto de partículas reunidas em um determinado arranjo.
A força concentrada é um modelo de representação de uma carga aplicada em um único 
ponto. Esse conceito é bastante útil na engenharia para análise de esforços em estruturas e é 
válido para situações em que o carregamento se concentra em uma área insignificante.
Além disso, precisamos relembrar as três leis de movimento Newton, que são a base para 
o desenvolvimento de toda mecânica dos corpos rígidos. 
Primeira Lei: Uma partícula em repouso ou movendo-se em linha reta, com 
velocidade constante, tende a permanecer nesse estado, desde que não seja 
submetida a uma força em desequilíbrio.
Segunda Lei: Uma partícula sob a ação de uma força em desequilíbrio F sofre 
uma aceleração a que possui a mesma direção da força e intensidade diretamente 
proporcional à força. Se F é aplicada a uma partícula de massa m, essa lei pode 
ser expressa matematicamente como: F = ma. 
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Terceira Lei: As forças mútuas de ação e reação entre duas partículas são iguais, 
opostas e colineares (HIBBELER, 2011, s.p.).
Uma forma bastante comum de apresentação da segunda lei de newton se dá na 
representação da força Peso. O Peso (em inglês Weight, W) é a massa do objeto m, multiplicado 
pela aceleração da gravidade g, que vale aproximadamente 9,81 m/s2 na superfície terrestre.
P=m∙g
Além das unidades de medida já mencionadas anteriormente, é muito 
comum que sejam adicionados prefixos para indicar quantidades muito grandes 
ou muito pequenas. Por exemplo, suponha que uma força tenha grandeza de 12.000 
N, o prefixo quilo (k) pode ser adicionado para facilitar a leitura do número, ou 
seja, 12 kN (leia-se doze quilo-newtons). A Tabela 1 mostra alguns dos principais 
prefixos utilizados na engenharia. 
Múltipos/Submúltiplos Forma exponencial Prefixo Símbolo Si
1.000.000.000 109 giga G
1.000.000 106 mega M
1.000 103 quilo k
0,001 10-3 mili m
0,000001 10-6 micro µ
0,000000001 10-9 nano n
A correta unidade de medida de peso é a mesma utilizada para uma força (N 
ou lbf). Entretanto é muito comum que pessoas utilizem a unidade quilogramas 
(kg) quando se referem ao peso. Por exemplo, uma pessoa com massa 70 kg 
normalmente diz que seu “peso” é 70 kg. Isso é justificado ao pensarmos que 
dentro de um contexto cotidiano, a maioria dos objetos e corpos estão sob o efeito 
do mesmo campo gravitacional. Contudo, conceitualmente falando, uma pessoa 
que tem massa 70 kg, pesa aproximadamente 687 N (70 kg x 9,81 m/s2).
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Hibbeler (2011), em Estática: mecânica para engenharia, revisa importantes 
conceitos sobre homogeneidade dimensional, algarismos significativos e 
arredondamentos de números no primeiro capítulo. Aproveite para relembrar 
estes conteúdos e sanar eventuais dúvidas com os itens 1.5 e 1.6 do capítulo 1.
2 - VETORES DE FORÇA
As grandezas físicas são expressas em escalares e vetores (BEER, 2012). Escalares são 
grandezas que tem significado completo apenas com sua magnitude e unidade, como por exemplo 
a massa de um corpo que é expressa por 20 kg (20 é a magnitude ou intensidade e kg é a unidade 
de medida). Vetores, em contrapartida, precisam de intensidade, unidade, direção e sentido para 
serem descritos com exatidão. Por exemplo o vetor velocidade de uma partícula (Figura 1) que se 
move a 15 m/s horizontalmente da esquerda para a direita (15 é a intensidade, m/s é a unidade, 
“horizontalmente” é a direção e “da esquerda para a direita” é o sentido). As grandezas vetoriais 
são normalmente expressas por uma seta acima de sua letra correspondente ( ), mas 
também podem ser escritas sem essa seta (A, B, C...). A intensidade de vetor, pode também ser 
chamada de Módulo do vetor, escrita entre barras retas (|A|, |B|, |C|...). Por comodidade, neste 
material nos referiremos ao módulo do vetor apenas pela letra que o corresponde (A, B, C...).
15 m/s
Figura 1 - Grandeza Vetorial. Fonte: o autor.
2.1. Multiplicação e Divisão de um Vetor por um Escalar
A multiplicação de um vetor por um escalar altera somente a intensidade e sentido do 
vetor. Em outras palavras, apenas o “tamanho” desse vetor e o sentido podem ser alterados. 
Suponha um vetor , como mostrado na Figura 2(a). Ao multiplicar o vetor por um escalar +2, 
sua intensidade, ou tamanho, é dobrado, resultando no vetor 2 , Figura 2(b). O mesmo acontece 
ao multiplicar por -2, contudo a direção do vetor é então invertida, como mostrado na Figura 
2(c).
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Figura 2 - Multiplicação de Vetor por Escalar. Fonte: o autor.
 
2.2. Adição de Vetores
A soma de vetores segue a lei do triângulo. Para ilustrar essa lei usaremos o seguinte 
exemplo. Imagine dois vetores e , mostrados na Figura 3(a). Para somar o vetor os dois 
vetores, basta conectar a origem de um vetor com a extremidade do outro, o vetor resultante 
= , começará na origem do primeiro vetor e terminará na extremidade do último vetor 
(Figura 3b). Note que o mesmo vetor é criado ao inverter a ordem de soma (Figura 3c), ou seja 
 = = .
Figura 3 - Adição de Vetores. Fonte: o autor.
2.3. Subtração de Vetores
A subtração de vetores pode ser expressa como:
Ou seja, é o mesmo que somar o vetor com o vetor multiplicado por (-1) 
(Figura 4 a e b). Note que também é o mesmo que (Figura 4c). 
Figura 4 - Subtração de vetores. Fonte: o autor.
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Os princípios de adição e subtração de vetores também valem para 3 ou mais vetores 
como mostrado na Figura 5. Note que a ordem de soma dos vetores não altera o resultado final 
do vetor R (Figura 5b e c).
Figura 5 - Adição de Múltiplos Vetores. Fonte: o autor.
A grandeza de força, por ser uma grandeza vetorial, se comporta da mesma forma, 
obedecendo as regras de multiplicação, adição e subtração.
2.4. Decomposição de Forças
A decomposiçãode vetores de força nos eixos principais (eixos x, y e z) é muito utilizada 
na engenharia, pois uma vez que as forças estejam decompostas basta somar a intensidade das 
componentes de cada eixo e aplicar o teorema de Pitágoras para encontrar a força resultante.
A decomposição de uma força transforma o vetor na adição de dois ou três vetores 
orientados ao longo dos eixos principais (x, y e z). Considere o vetor A, mostrado na Figura 6.
Figura 6 - Vetor forca inclinado. Fonte: o autor.
O vetor A pode ser decomposto em duas componentes, Ax e Ay. A componente x do vetor 
A é equivalente a “sombra” do vetor A ao longo do eixo x (Figura 7a) e a componente y do vetor 
A é a “sombra” do vetor A ao longo do eixo y (Figura 7b).
 
Figura 7 - (a) componente x e (b) componente y do vetor. Fonte: o autor.
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Ao deslocarmos as componentes Ax e Ay, podemos observar que a soma vetorial de Ax e 
Ay resulta em A Figura 8, formando um triângulo retângulo. Dessa forma é possível calcular a 
intensidade da força A utilizando o teorema do triângulo retângulo de Pitágoras A2 = Ax
2 + Ay
2.
Figura 8 - Soma vetorial das componentes de um vetor. Fonte: o autor.
A partir do ângulo de inclinação α e a intensidade A é possível encontrar as componentes 
Ax e Ay através das relações trigonométricas. 
Um macete bastante utilizado para encontrar as componentes de um vetor é verificar 
se o ângulo indicado está ao mesmo lado (está “COM” o ângulo) da componente 
analisada, ou no lado contrário (está “SEM” o ângulo). Se a componente estiver 
“COM” o ângulo, a sua intensidade será igual a intensidade do vetor original 
multiplicada pelo COSSENO do ângulo indicado. Se a componente estiver SEM o 
ângulo, sua intensidade será igual a intensidade do vetor original multiplicada pelo 
SENO do ângulo indicado. Ou seja, se a componente está COM o ângulo, utiliza-se 
o COSSENO, se estiver SEM o ângulo, utiliza-se o SENO. Um dos principais erros 
cometido por estudantes que estão aprendendo sobre a decomposição de forças 
é tentar associar a componente x com o cosseno e/ou y com o seno. Note que a 
relação seno ou cosseno depende da posição do ângulo indicado, como mostrado 
na Figura 9.
Figura 9 - Decomposição de vetores. Fonte: o autor.
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2.5. Cálculo da Força Resultante 
A força resultante é o vetor final da adição de todas as forças aplicadas em uma partícula 
ou corpo. Como vetor, a força resultante precisa ser descrita com intensidade, direção e sentido. 
Há várias formas de se calcular a força resultante, porém focaremos em uma das mais utilizadas, 
que se apropria da decomposição de vetores, vista anteriormente. 
Considere que três forças (A, B e C) sejam aplicadas a uma partícula (Figura 10). 
Figura 10 - Partícula sujeita a três esforços. Fonte: o autor.
 
Assim, a força resultante é o resultado da adição vetorial A + B + C. Para melhor 
visualização, podemos reorganizar as forças colocando a origem de um vetor na extremidade do 
outro, como mostrado na Figura 11a. Em seguida conectamos as origem do primeiro vetor, A 
neste caso, com a extremidade do último, C, que será a força resultante (Figura 11b). 
Figura 11 - Força resultante. Fonte: o autor.
Precisamos agora calcular a intensidade, direção e sentido de R. Para isso, primeiramente 
devemos decompor cada vetor em suas componentes x e y. A começar pelo eixo x. As componentes 
x estão mostradas na Figura 12a. 
Ax e Cx têm sentido contrário, assim, devemos adotar um sentido de referência para 
valores positivos e o sentido contrário para valores negativos. O vetor B, nesse caso, não possui 
componente em x, ou ainda, sua componente x tem intensidade zero, pois está completamente ao 
longo da direção y. Ao somarmos as componentes dos vetores Ax, Bx e Cx encontramos exatamente 
a componente x da força resultante (Rx). O mesmo acontece ao somarmos as componentes y 
(Figura 12b).
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Figura 12 - Componentes (a) x e (b) y das forças. Fonte: o autor.
 
Dessa forma, podemos calcular as componentes Rx e Ry como:
Definiremos o referencial positivo em x, como os vetores que vão da esquerda para a 
direita e o referencial positivo em y de baixo pra cima . Calculamos, assim, a intensidade de 
Rx e Ry.
Como vimos anteriormente, as decomposições de cada vetor ficam:
Note que o vetor C tem intensidade negativa em x, pois seu sentido é da direita para a 
esquerda, e positiva em y, pois seu sentido é de baixo para cima.
Logo,
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Uma vez calculadas as intensidades de Rx e Ry, é possível determinar a intensidade do 
vetor resultante (Figura 13) e seu ângulo de inclinação pelo teorema de Pitágoras e pelas relações 
trigonométricas.
Figura 13 - Vetor resultante e suas componentes x e y. Fonte: o autor.
Aplicando o teorema de Pitágoras,
Ou então, 
Para encontrar o ângulo θ utilizaremos as relações trigonométricas, a lembrar:
Aplicando a relação da tangente, temos:
Utilizando a função inversa arco-tangente, encontramos o ângulo θ:
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2.5.1. EXEMPLO DE APLICAÇÃO
Suponha que a partícula A esteja sujeita a três forças F1, F2 e F3, como mostrado na Figura 
14. Determine a força resultante que age sobre A.
Figura 14 - Partícula sujeita a três forças. Fonte: o autor.
2.5.1.1. 1. 1° Passo: Decompor as forças em x e y.
Adotaremos como referencial em x para direita positivo e em y para cima positivo.
A inclinação da força F1 está indicada pelo triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5. Esta 
notação é muito comum nos exercícios de Mecânica geral e costuma confundir alunos que não 
estão familiarizados com ela. Vamos entender como encontrar as componentes x e y, utilizando 
essa notação. 
A indicação o triângulo retângulo ao longo da seta de F1 mostra que a força e o triângulo 
possuem mesma inclinação. Podemos observar isso através da semelhança de triângulos, 
mostrada na Figura 15. 
Figura 15 - Inclinação da Força F1. Fonte: o autor.
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Assim, a componente F1x e F1y podem ser encontradas como visto anteriormente.
Decompondo as forças F2 e F3, obtém-se:
2.5.1.2. 2° passo: Encontrar as componentes x e y da força 
resultante.
As componentes resultantes serão:
Como os valores de Rx e Ry são ambos positivos, a componente x tem sentido para direita 
e a componente y tem sentido para cima (Figura 16). Precisamos agora encontrar a intensidade 
da força resultante R e seu ângulo de inclinação θ.
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Figura 16 - Componentes da força resultante. Fonte: o autor.
2.5.1.3. 3° Passo: Encontrar a força resultante e o ângulo de 
inclinação.
Aplicando o teorema de Pitágoras:
Usando a relação trigonométrica da tangente do ângulo θ:
Assim a força resultante que age sobre a partícula A tem intensidade de 17,9 N com uma 
inclinação de 52,9˚ no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo. O vetor resultante também 
pode ser escrito com a notação vetorial cartesiana em termos de vetores unitários i e j. Assim R 
= (10,8i + 14,3j) N.
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2.6. Produto Escalar
O produto escalar de dois vetores, como o próprio nome sugere, retorna um escalar e 
pode ser usado para encontrar o ângulo entre dois vetores (Figura 17), dado por:
Figura 17 - Vetores A e B. Fonte: o autor.
Assim, é possível encontrar o ângulo de inclinação do vetor resultante R pelo produto escalar de R∙Rx:
3 - EQUILÍBRIO DE UM PARTÍCULA
 
Uma partícula está em equilíbrio quando está em repouso ou com velocidade constante. 
A maioria dos casos de equilíbrio estático tratade partículas em repouso, isto é, com velocidade 
nula. Para que uma partícula esteja em equilíbrio, é necessário que seja satisfeita a primeira lei 
de Newton, ou seja, a força resultante que atua sobre uma partícula deve ser igual a zero, ∑F=0 
(Hibbeler, 2011).
3.1. Diagrama de Corpo Livre (DCL)
O diagrama de corpo livre (DCL) mostra todas as forças que agem sobre uma partícula. 
De acordo com Hibbeler (2011), para traçar o DCL é preciso 
 1. Desenhar o contorno da partícula a ser estudada.
 2. Mostrar e Indicar todas as forças que agem sobre a partícula.
 
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3.1.1. Exemplo de Aplicação
Considere o sistema mostrado na Figura 18. Uma esfera pesando 100 N está suspensa por 
um cabo conectado a uma mola em C. Desenhe o DCL da esfera e do ponto C.
Figura 18 - Esfera Suspensa. Fonte: Hibbeler (2011, s.p.).
O DCL da esfera deve isolar a esfera e indicar as forças que atuam sobre ela. Nesse caso, a 
esfera possui uma força conhecida para baixo, seu peso de 100 N e uma força desconhecida para 
cima, tração do cabo EC (Figura 19a). Há 3 forças que agem sobre o ponto C, a força de tração 
da mola (CD), a força de tração do cabo CE que sustenta a esfera e a força do cabo CB inclinado 
(Figura 19b). 
Figura 19 - DCL da (a) esfera e (b) ponto C. Fonte: o autor.
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3.2. Condições de Equilíbrio em um Sistema de Forças 
Coplanares
Para que uma partícula esteja em equilíbrio a resultante de suas componentes cartesianas 
deve ser zero:
É preciso levar em consideração o sentido das forças aplicadas de acordo com um 
referencial escolhido. Por exemplo, o referencial de forças indica que as forças com 
sentido à direita serão consideradas positivas e as forças à esquerda serão negativas.
Assim se a esfera mostrada na Figura 18 está em equilíbrio estático, conseguimos 
encontrar as forças indicadas no DCL da Figura 19. Para a esfera, não há forças indicadas em x, 
assim é diretamente satisfeita.
As forças em y mostradas são a força peso e a tração do cabo EC. Consideremos o 
referencial de que forças para cima serão positivas.
Logo, a força aplicada no cabo EC é de 100 N (Figura 20).
O canal Me Salva traz uma revisão da condição do conceito de equilíbrio estático 
abordado em Física I. Veja em https://www.youtube.com/watch?v=OJo1fv55HF0.
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Figura 20 - Condição de Equilíbrio para a Esfera. Fonte: o autor.
Para o ponto C, há 3 forças agindo sobre o ponto C, a força CD, completamente 
horizontal, a força CE, completamente vertical (encontrada anteriormente como 100 N) e a força 
CB inclinada em 60˚. Aplicando as condições de equilíbrio, temos: 
Temos duas incógnitas e apenas uma equação, assim precisamos de mais uma equação 
para resolver esse sistema. Fazendo a análise em y:
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Encontramos a intensidade da força aplicada no cabo CB, como 115,5 N. Substituindo na 
condição de equilíbrio em x, temos:
Assim, a força aplicada na mola CD é de 57,7 N (Figura 21).
Figura 21 - Condição de Equilíbrio no Ponto C. Fonte: o autor.
3.3 Sistema de Forças Tridimensionais
No caso de um sistema de forças posicionadas em três dimensões, adiciona-se a equação 
de equilíbrio da componente z. 
∑Fx=0
∑Fy=0
∑Fz=0
Os procedimentos de análise são similares aos coplanares, desenhar o DCL da partícula 
e aplicar as equações de equilíbrio. Muitas vezes as coordenadas de um vetor tridimensional são 
difíceis de serem determinadas visualmente. Uma forma de encontrar as componentes x, y e z de 
um vetor é utilizar os vetores unitários, encontrados a partir do vetor posição.
3.3.1. Vetor posição
O vetor posição é encontrado subtraindo-se um ponto de outro. Por exemplo, o vetor AB 
começa no ponto A e termina no ponto B, como mostrado na Figura 22. Para encontramos as 
componentes cartesianas do vetor AB, basta subtrair cada coordenada de B de cada coordenada 
de A
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Figura 22 - Vetor Tridimensional. Fonte: o autor.
Para encontramos as componentes cartesianas do vetor AB, basta subtrair cada coordenada 
de B de cada coordenada de A.
Ou seja, ABx = 5, ABy = 9 e ABz = 4.
Para encontrar o módulo, ou intensidade, de AB basta elevar cada componente ao 
quadrado e tirar a raiz quadrada do resultado encontrado.
3.3.2. Vetor Unitário
Vetor unitário é um vetor com módulo 1 e mesma direção e sentido de um vetor que 
o originou, normalmente indicado pela letra grega µ. O vetor unitário pode ser encontrado 
dividindo-se as componentes x, y e z de um vetor pelo seu módulo. No exemplo anterior temos 
que:
Ou então:
O vetor µAB tem a mesma direção e sentido do vetor AB e módulo 1(Figura 23).
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Figura 23 - Vetor Unitário µAB. Fonte: o autor.
 É possível então utilizar o vetor unitário µAB para indicar qualquer vetor força que esteja 
atuando sobre a reta AB, apenas multiplicando-o pelo módulo do vetor desejado. 
4 - CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nesta unidade, revisamos conceitos importantes da engenharia, que serão amplamente 
utilizados ao longo do curso, tais como unidades, grandezas vetoriais e escalares e manipulação 
de vetores. Além disso aprendemos sobre as condições de equilíbrio de uma partícula e vimos que 
para que uma partícula esteja em equilíbrio estático é necessário que a resultante das componentes 
cartesianas das forças que agem sobre a partícula seja igual zero. Finalmente, aprendemos como 
manipular vetores tridimensionais e encontrar os vetores unitários a partir do vetor posição.
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02
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ............................................................................................................................................................27
1 - RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS ....................................................................................................28
1.1. MOMENTO DE UMA FORÇA – FORMULAÇÃO ESCALAR ................................................................................28
1.2. EXEMPLO DE APLICAÇÃO ................................................................................................................................31
1.3. MOMENTO DE UMA FORÇA – FORMULAÇÃO VETORIAL .............................................................................31
1.3.1.EXEMPLO DE APLICAÇÃO ...............................................................................................................................32
1.4. MOMENTO DE UM BINÁRIO ............................................................................................................................34
1.4.1. EXEMPLO DE APLICAÇÃO ...............................................................................................................................34
2 - REDUÇÃO DE UM CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO SIMPLES.......................................................................35
2.1. EXEMPLO DE APLICAÇÃO .................................................................................................................................36
CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO 
DE UM CORPO RÍGIDO
PROF. ME. THIAGO A. RODRIGUES
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
MECÂNICA GERAL
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3 - EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO ................................................................................................................37
3.1. REAÇÕES DE APOIO ..........................................................................................................................................38
3.1.1. EXEMPLO DE APLICAÇÃO .............................................................................................................................. 403.1.2. EXEMPLO DE APLICAÇÃO ..............................................................................................................................41
4 - CONSIDERAÇÕES FINAIS ..................................................................................................................................42
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INTRODUÇÃO
Nessa unidade, abordaremos as condições de equilíbrio de um corpo rígido. Inicialmente, 
veremos as componentes resultantes de um sistema de força, entendendo o conceito de momento 
de uma força em 2 e 3 dimensões e em seguida aplicaremos o conceito de forças resultantes para 
garantir o equilíbrio de um corpo rígido. 
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1 - RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS
Para entendermos as resultantes que atuam sobre um corpo rígido precisamos rever 
os conceitos de momento de uma força e aprendermos sobre os carregamentos distribuídos e 
concentrados.
1.1. Momento de uma Força – Formulação Escalar
Um corpo sujeito a uma força externa tenderá a exercer um movimento rotacional em 
seus pontos que não estão na linha de ação dessa força, o que é chamado de MOMENTO. O 
momento, ou momento de uma força, é diretamente proporcional à força e a distância entre a 
força e um ponto de referência. Um clássico exemplo se dá em uma gangorra infantil (Figura 24), 
na qual o peso das crianças exerce uma força a uma distância d em relação ao centro da gangorra, 
produzindo uma tendência de movimento. 
Figura 24 - Gangorra infantil. Fonte: Pixabay (2018).
Se uma criança é mais pesada do que a outra, é preciso diminuir a distância para que o 
momento continue equilibrado e ambas crianças continuem a brincar (Figura 25).
Figura 25 - Gangorra infantil com pesos diferentes. Fonte: Pixabay (2018).
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A intensidade do momento é dada por:
Mo=Fd
Com F sendo a força aplicada e d a distância perpendicular em relação à força F (Figura 
26a). Caso a força esteja inclinada em relação ao braço de alavanca (Figura 26b) o momento 
resultante será menor, pois a distância d’, perpendicular a F, será menor do que d. Ainda, não há 
movimento (ou tendência de movimento) se a força está aplicada na mesma linha de ação do 
braço de alavanca (Figura 26c).
Figura 26 - Momento de uma força (a) perpendicular, (b) inclinada e (c) paralela. Fonte: Hibbeler (2011).
 
O momento de uma força é uma grandeza vetorial cuja direção é convencionalmente 
obtida pela regra da mão direita, como mostrado na Figura 26 a e b.
Figura 27 - Regra da mão direita para determinar direção e sentido do momento. Fonte: Hibbeler (2011).
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O momento resultante em um sistema em que todas as forças estão no mesmo plano, é 
dado pelo somatório de todos os momentos.
MR=∑M
Por exemplo, a momento resultante na Figura 28 é:
Figura 28 - Momento Resultante. Fonte: o autor.
Por convenção momentos, no sentido anti-horário são considerados positivos 
e momentos no sentido horário negativos. Mas independentemente do sinal 
adotado, o resultado da análise estará correto, se os cálculos forem feitos de 
forma consistente.
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1.2. Exemplo de Aplicação
Encontre o momento da força indicada nas figuras em relação ao ponto O para os casos 
mostrados na Figura 29, a, b, c, d e e.
Figura 29 - Figura do Exemplo de Aplicação de Cálculo de Momento. Fonte: Hibbeler (2011).
O momento em relação a cada ponto deve ser calculado considerando a distância (sempre perpendicular à 
força) entre a força e o ponto de origem.
No caso da Figura 29:
 a) M0=(100 N)(2 m)=200 N∙m↷
 b) M0=(50 N)(0,75 m)=37,5 N∙m↷
 c) M0=(40 kN)(4 m+2cos(30˚) m)=229 kN∙m↷
 d) M0=(60 kN)(sen(45˚) m)=42,4 kN∙m↶
 e) M0=(7 kN)(4 m-1 m)=200 N∙m↶
1.3. Momento de uma Força – Formulação Vetorial
O momento é uma grandeza vetorial e, portanto, precisa de intensidade, direção e sentido. 
Anteriormente calculamos a intensidade do momento como o produto da força e distância 
perpendicular à força em relação ao ponto de interesse.
A direção e o sentido do momento são dados pela multiplicação vetorial do vetor distância 
d pelo vetor força F.
Mo=d×F
Caso os vetores estejam em coordenadas cartesianas (i, j e k), o produto vetorial d×F pode 
escrito na forma da determinante da matriz
Com:
dx, dy e dz = as componentes x, y e z do vetor posição;
Fx, Fy e Fz = as componentes x, y e z do vetor Força.
Resolvendo o determinante:
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1.3.1. Exemplo de Aplicação
A tubulação mostrada na Figura 30 está sujeita a uma força F de 100 kN que está na linha 
de ação entre o ponto E e D. Encontre o momento causado por F em relação ao ponto de origem 
O (0,0,0).
Figura 30 - Tubulação Sujeita a uma Força. Fonte: o autor.
Primeiramente, devemos encontrar o vetor F e d em relação às coordenadas cartesianas. 
Assim,
Encontramos, agora, o vetor posição referente a distância entre o ponto O e o ponto D.
Assim, o momento Mo é dado por:
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Logo, Mo=(128 i + 286 j + 380 k)kN.m, mostrado na Figura 31.
Figura 31 - Momento Resultante Mo. Fonte: o autor.
A intensidade do momento MO pode ser encontrada pela relação:
Hibbeler (2011) no capítulo 4, item 4,2 relembra os conceitos fundamentais de 
produto vetorial, abordados normalmente em Geometria Analítica. Aqueles que 
tiverem dúvida ou quiserem relembrar sobre o desenvolvimento do produto 
vetorial, regra da mão direita e representação matricial devem ler as páginas 88, 
89 e 90 do livro Estática: Mecânica para Engenharia.
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1.4. Momento de um Binário
Um binário é definido por duas forças paralelas com mesma intensidade e sentidos 
contrários, separadas por uma distância perpendicular d (Figura 32).
Figura 32 - Momento de um Binário. Fonte: o autor.
Como as forças têm mesma intensidade e sentidos opostos, a Força Resultante é nula, 
sobrando somente o movimento de giro, ou momento em relação ao ponto o, que é expresso por:
Mo= r×F+r×F
Mas,
d = r+r
Assim, o momento binário pode ser escrito como:
Mo= d×F
1.4.1. Exemplo de Aplicação
Um motorista aplica uma força F de 20 N no volante em sentidos opostos para fazer uma 
curva a esquerda, como mostrado na Figura 33. O volante tem um raio r de 20 cm. Calcule o 
momento aplicado no centro do volante.
Figura 33 - Volante sujeito a um Binário. Fonte: o autor.
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As forças têm mesma intensidade, direção e sentidos opostos separadas por uma distância 
d = 2r, portanto trata-se de um momento binário. Assim,
Mo= d × F = 2 (25 cm).20 N=1000 N.cm=10 N.m
2 - REDUÇÃO DE UM CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO 
SIMPLES
Muitas vezes, um corpo está sujeito a um carregamento distribuído ao longo de sua 
superfície, como por exemplo, quando sacos de cimento estão empilhados em uma chapa de aço, 
ou um muro é construído em uma laje (Figura 34). 
Figura 34 - Muro construído sobre uma Superfície de Concreto. Fonte: o autor.
Os carregamentos distribuídos são representados por um conjunto de setas interligadas 
que descrevem uma função em particular, como mostrado na Figura 35.
Figura 35 - Carregamento distribuído. Fonte: o autor.
A carga total aplicada a região é dada pela área sob a curva q, 
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que é equivalente a uma carga concentrada Q, aplicada no centroide da região da carga 
distribuída, x
Abordaremos o cálculo do centroide mais profundamente na unidade quatro, nesta 
unidade utilizaremos centroides já conhecidose tabelados de figuras regulares, mostrados na 
Tabela 2.
Tabela 2 - Centroide de figuras regulares. Fonte: o autor.
2.1. Exemplo de Aplicação
Considere o carregamento distribuído mostrado na Figura 36 com perfil retangular 
por 2 metros e 10 kN/m e perfil triangular por 1 metro, indo de 10 kN/m a zero. Represente o 
carregamento mostrado através de forças concentradas.
Figura 36 - Viga com carregamento distribuído. Fonte: o autor.
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 A forma mais fácil de resolver esse problema é dividindo os carregamentos em duas 
seções, A e B, indicadas na Figura 36.
Figura 37 - Divisão dos carregamentos distribuídos em formatos conhecidos. Fonte: o autor.
A seção A tem formato retangular de 10 kN/m por 2 m. Assim a carga total aplicada nessa 
seção é equivalente a uma carga concentrada de intensidade 20 kN, localizada no centroide do 
retângulo (ver Tabela 2), a 1 metro da origem. A seção B é um triângulo retângulo de 1 metro 
de base, e com carregamento variando de 10 kN/m a zero. A intensidade da carga concentrada 
resultante é encontrada pela área do retângulo, que pode ser calculada como . Assim, a carga 
total aplicada na seção B é equivalente a uma carga de 5 kN, concentrada no centroide do triângulo 
retângulo a (2m + m), como mostrado na Figura 38. 
Figura 38 - Cargas concentradas equivalentes. Fonte: o autor.
3 - EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO
Ao analisarmos as condições de equilíbrio de uma partícula consideramos as dimensões 
do objeto analisado como desprezíveis, pela própria definição de partícula. Ao analisar um corpo 
rígido, entretanto, é preciso considerar as dimensões do corpo e considerar possíveis momentos 
aplicados ao corpo. 
Assim, as equações de equilíbrio de um corpo rígido são dadas por:
∑F=0
∑M=0
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Ou seja, é preciso que todos os momentos se anulem para que o corpo permaneça em 
equilíbrio, caso contrário ele tenderá a girar em torno de seu centro.
Os procedimentos de análise de equilíbrio de um corpo rígido são similares aos estudados 
no equilíbrio de uma partícula:
 
a) Desenhar o DCL do corpo analisado
b) Aplicar as equações de equilíbrio: ∑F =0 e ∑M =0
3.1. Reações de Apoio
 É comum ser necessário calcular esforços de apoio antes de traçar o DCL, uma vez que 
eles entrarão no diagrama como esforços externos. Os três principais tipos de apoio são: 
• Rolete
• Pino 
• Engaste
Também chamados de apoios simples, os roletes restringem os movimentos apenas 
na direção normal à superfície de contato e não impedem movimento de giro, portanto, não 
possuem reação de momento. Eles são indicados pelos símbolos mostrados na Figura 39.
Figura 39 - Apoio por Rolete. Fonte: o autor.
Os pinos restringem os movimentos em duas direções, x e y, mas não impedem 
movimentos de giro, portanto, não possuem reação de momento. Pinos são indicados pelos 
símbolos mostrados na Figura 40.
Figura 40 - Apoio por Pinos. Fonte: o autor.
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Vigas engastadas são representadas pelo símbolo mostrado na Figura 41 e restringem 
a movimentação das barras em todos os sentidos, inclusive a movimentação. Assim, vigas 
engastadas podem possuir reação de apoio em x, y e de momento. 
Figura 41 - Apoio por Engaste. Fonte: o autor.
O cálculo das intensidades das reações de apoio é feito através das condições de equilíbrio 
de um corpo rígido:
∑F=0
∑M=0
Que podem ser abertas em:
∑Fx=0
∑Fy=0
∑Fz=0
e
∑Mx=0
∑My=0
∑My=0
O vídeo Nº 2 do canal Engenheiraço apresenta um resumo das principais reações 
de apoio. Assista em: https://www.youtube.com/watch?v=Sy8bMeY63hA.
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3.1.1. Exemplo de Aplicação
Considere a viga bi-apoiada sujeita a 3 forças, mostradas na Figura 42. Calcule as reações 
nos apoios A e B.
Figura 42 - Viga Bi-apoiada. Fonte: Hibbeler (2011).
O apoio A é um apoio simples, portanto possui apenas reação normal à superfície de 
contato. O apoio B é um pino, portanto possui reações em x e y. Nenhum dos apoios restringe o 
movimento de giro, logo nenhum apresentará reação de momento. Dessa forma, o DCL ficará 
como mostrado na Figura 43.
Figura 43 - DCL da Viga Bi-apoiada. Fonte: Hibbeler (2011).
Aplicando as condições de equilíbrio na barra, sabemos que 
∑Fx = 0 →
Decompondo a força inclinada de 600 N:
(600 N) cos (45˚)+Bx=0
Bx=-424 N
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O sinal negativo indica que o sentido adotado na elaboração do DCL é o contrário do 
real, ou seja, a reação Bx tem sentido da direita para esquerda.
A equação de equilíbrio de forças em y não pode ser utilizada para encontrar A ou By 
pois há duas incógnitas nessa direção. Assim utilização a condição de equilíbrio de momento 
para encontrar uma das forças em y. Se fizermos a somatória de momento em relação ao ponto 
B, eliminaremos todas as forças concentradas ali, sobrando:
∑MB = 0↶
Observe que a componente x da força inclinada de 600 N está deslocada 0,2 m da linha 
de ação de B, portanto, ela também entrará no cálculo de momento.
-A(7m) + (600 N) sen (45˚) (5 m) - (600 N) cos (45˚) (0,2 m) + (100 N) (2 m) = 0
A = 319 N
Aplicando os resultados obtidos na equação de equilíbrio em y:
∑Fy = 0↑
A-(600 N)sen(45˚)-100 N-200 N+By=0
(319 N)-(600 N)sen(45˚)-100 N-200 N+By=0
By=405 N
3.1.2. Exemplo de Aplicação
Considere a viga engastada mostrada na Figura 44. Calcule as reações de apoio em A.
Figura 44 - Viga Engastada. Fonte: adaptado de Hibbeler (2011).
Como o apoio é um engaste, teremos reações Ax, Ay e MA (Figura 45).
Figura 45 - DCL da viga engastada. Fonte: o autor.
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Aplicando as equações de equilíbrio: 
∑Fx= 0→
Ax= 0
∑Fy= 0↑
Ay-200 N = 0
Ay= 200 N
∑MA= 0↶
MA-(200 N) (2 m)= 0
MA= 400 N . m↶
4 - CONSIDERAÇÕES FINAIS
Ao longo dessa unidade aprendemos a calcular a intensidade, direção e sentido de 
momentos aplicados em corpos rígidos. Vimos também como reduzir uma carga distribuída a 
uma carga equivalente concentrada no centroide da área da força distribuída. 
Finalmente, aprendemos a calcular as reações de apoio através das condições de equilíbrio 
de um corpo rígido: ∑F = 0 e ∑M = 0.
Esse conteúdo é de extrema importância para o desenvolvimento dos demais temas 
abordados em Mecânica Geral. Faça todos os exercícios propostos e tire as eventuais dúvidas que 
surgirem, antes de prosseguir para a próxima unidade.
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03
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ............................................................................................................................................................45
1 - ANÁLISE ESTRUTURAL ......................................................................................................................................46
1.1. TRELIÇAS SIMPLES ...........................................................................................................................................46
1.1.1.MÉTODO DOS NÓS ............................................................................................................................................47
1.1.1.1. EXEMPLO DE APLICAÇÃO .............................................................................................................................47
1.1.2. MÉTODO DAS SEÇÕES ....................................................................................................................................51
1.2. TRELIÇAS ESPACIAIS ........................................................................................................................................53
1.2.1. EXEMPLO DE APLICAÇÃO ..............................................................................................................................542 - FORÇAS INTERNAS ............................................................................................................................................56
2.1. FORÇAS INTERNAS DESENVOLVIDAS EM MEMBROS ESTRUTURAIS ........................................................56
ANÁLISE ESTRUTURAL
PROF. ME. THIAGO A. RODRIGUES
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
MECÂNICA GERAL
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2.2. CONVENÇÃO DE SINAIS ...................................................................................................................................56
2.2.1.PROCEDIMENTO DE ANÁLISE........................................................................................................................57
2.2.1.1.EXEMPLO DE APLICAÇÃO .............................................................................................................................57
2.3. DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO FLETOR .......................................................................59
2.3.1. EXEMPLO APLICADO ......................................................................................................................................59
3 - CONSIDERAÇÕES FINAIS ..................................................................................................................................61
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INTRODUÇÃO
Nessa unidade começaremos a fazer análises estruturais, que são amplamente utilizadas 
por engenheiros da área de resistência dos materiais. Veremos métodos básicos de análise 
estrutural em treliças, e o cálculo das componentes de forças internas: esforço normal, esforço 
cortante e momento fletor.
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1 - ANÁLISE ESTRUTURAL
1.1. Treliças Simples
 Treliça é uma estrutura muito utilizada na engenharia. Composta por membros esbeltos 
conectados entre si, as treliças são estruturas relativamente leves, mas com alta resistência 
mecânica (Figura 46). 
Figura 46 - Ponte Treliçada. Fonte: PxHere (2018).
O dimensionamento de treliças começa pelo cálculo de esforços aplicados em cada 
membro, ou barra. Para isso adotamos duas hipóteses de projeto: todas as cargas são aplicadas 
nas juntas (chamadas de nós); e as barras são conectadas entre si por pinos (Hibbeler, 2011).
Existem dois principais métodos de cálculo dos esforços aplicados, o Método dos Nós e o 
Método das Seções. Vamos agora focar em cada um deles. 
Treliças são facilmente encontradas em pontes, telhados e mesmo na torre Eiffel.
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1.1.1. Método dos Nós
O método dos nós parte da premissa de treliça está em equilíbrio, portanto o nó também 
está em equilíbrio. Assim é possível isolar os nós e aplicar as equações de equilíbrio para encontrar 
os esforços nos membros (barras).
Como analisaremos as forças nos nós, consideramos que as forças de tração na barra 
resultam em uma força que sai do nó, e forças de compressão na barra resultam em uma força 
que entra no nó (Figura 47). 
Figura 47 - Convenção de sinais para análise de treliças. Fonte: Hibbeler (2011).
O procedimento de análise do método dos nós consiste em:
Desenhar o DCL de toda a estrutura;
Calcular as Reações de Apoio;
Escolher um nó (junta) que tenha no máximo 2 forças desconhecidas e pelo menos uma 
força conhecida;
Considerar as forças desconhecidas como forças de tração (saindo do nó) – caso a força 
encontrada seja negativa, significa que a barra está sobre compressão. Basta então inverter o sinal 
da força no diagrama e coloca-la entrando no nó.
Aplicar as equações de equilíbrio estático, ∑Fx = 0 e ∑Fy = 0
1.1.1.1. Exemplo de Aplicação
Considere a treliça mostrada na Figura 48. Encontre a força aplicada em cada membro e 
diga se essa força é de tração ou compressão.
Figura 48 - Estrutura Treliçada. Fonte: Hibbeler (2011).
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Resolução: 
O apoio em A é um pino, portanto, terá reações em x e y, e o apoio em E é um apoio 
simples (ou rolete) portanto terá reação somente em y. Assim, desenhando o DCL da estrutura, 
temos (Figura 49; Figura 48):
Figura 49 - DCL da estrutura treliçada. Fonte: o autor.
 
Como não há nenhum nó com no máximo duas forças desconhecidas e pelo menos uma 
força conhecida, precisamos calcular as reações de apoio em A e E. Aplicando as equações de 
equilíbrio:
∑MA= 0↶
-(6 kN)(3 m)-(8 kN)(6 m)+Ey (9 m) = 0
Ey= 7,3 kN
 
∑Fx= 0→
Ax= 0
∑Fy = 0↑
Ay-6 kN-8 kN+Ey= 0
Ay-6 kN-8 kN+7,3 kN = 0
Ay= 6,7 kN
Portanto, as reações de apoio em A e E são ambas verticais com intensidade 6,7 kN e 7,3 
kN, respectivamente (Figura 50).
Figura 50 - Forças de apoio da Treliça. Fonte: o autor.
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Agora existem dois nós que satisfazem a condição de no máximo duas forças desconhecidas 
e pelo menos uma força conhecida, nó A e nó E. Podemos escolher qualquer um deles para 
iniciar o procedimento de análise. Optaremos pelo nó A, neste exercício. ……
Isolando o nó A e desenhando o DCL de forças que atuam nesse ponto, temos (Figura 
51):
Figura 51 - Análise de esforços na junta A. Fonte: o autor.
Note que as forças desconhecidas (AB e AG) foram supostas como forças de tração e, 
portanto, saindo do nó A. 
Aplicando as condições de equilíbrio: 
∑Fy= 0↑
6,7 kN + ABsen(60˚) = 0
AB =- 7,7 kN (C)
∑Fx= 0→
AB cos (60˚) + AG=0
(- 7,7 kN) cos (60˚) + AG = 0
AG = 3,9 kN (T)
O sinal negativo da força AB indica que é uma força de compressão, e que a seta deveria 
estar entrando no nó A, e não saindo, como inicialmente suposto. As letras C e T são normalmente 
utilizadas para indicar compressão e tração nos diagramas (Figura 52).
Figura 52 - Forças AB e AG. Fonte: o autor.
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E possível avançar para o nó B, que agora satisfaz a condição 3 do procedimento de análise 
(pelo menos uma força conhecida e no máximo duas desconhecidas). Já sabendo que a força AB 
é de compressão e vale 7,7 kN, a desenhamos entrando no nó B (Figura 53).
Figura 53 - Análise de esforços na junta B. Fonte: o autor.
Aplicando as equações de equilíbrio:
∑Fy= 0↑
(7,7 kN) sen (60˚)-BG sen (60˚) = 0
BG = 7,7 kN (T)
∑Fx= 0→
(7,7 kN) cos (60˚) + BG cos (60˚)+BC = 0
(7,7 kN) cos (60˚)+(7,7 kN) cos (60˚)+BC = 0 
BC = -7,7 kN (C)
Portanto, a barra BC está sujeita a uma compressão de 7,7 kN e a barra BG a uma tração 
de 7,7 kN.
Aplicando os valores encontrados no nó G, temos (Figura 54):
Figura 54 - Análise de esforços na junta G. Fonte: o autor.
Aplicando as equações de equilíbrio:
∑Fy=0↑
BGsen(60˚)+GCsen(60˚)-6 kN=0
(7,7 kN)sen(60˚)+GCsen(60˚)-6 kN=0
GC=-0,8 kN
∑Fx=0→
-AG-BGcos(60˚)+GCcos(60˚)+GF=0
-3,9 kN-(7,7 kN)cos(60˚)+(-0,8 kN)cos(60˚)+GF=0
GF=8,1 kN
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Assim, a barra GC está sujeita a uma compressão de 0,8 kN e a barra GF a uma tração de 
8,1 kN (Figura 55).
Figura 55 - Forças GC e GF. Fonte: o autor.
O mesmo procedimento deve ser repetido nos nós C, F, D e E para encontrar os esforços 
em todos os membros da treliça. O resultado final é mostrado na Figura 56.
Figura 56 - Esforços nos membros da treliça. Fonte: o autor.
1.1.2. Método das Seções
O método das seções consiste em seccionar a treliça em uma região com no máximo 3 
forças desconhecidas e em seguida aplicar as equações de equilíbrio na região seccionada.
O procedimento de análise consiste em:
1. Desenhar o DCL de toda a estrutura;
2. Calcular as Reações de Apoio;
3. Escolher uma seção que tenha no máximo 3 forças desconhecidas;
4. Considerar as forças desconhecidas como forças de tração (saindo da barra seccionada) 
5. Aplicar as equações de equilíbrio estático, ∑Fx = 0, ∑Fy = 0 e ∑M = 0.
Utilizaremos o mesmo exemplo visto no métododos nós para entender o método das 
seções.
Considere a treliça mostrada na Figura 48. Calcule os esforços aplicados nos membros 
BC, GC e GF.
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Resolução:
O DCL da estrutura é o mesmo mostrado na Figura 49, assim como as reações de apoio, 
que permanecem iguais as mostradas na Figura 50.
Devemos então seccionar a treliça, de forma que os três membros sob análise sejam 
seccionados, como mostrado na seção a-a (Figura 57).
Figura 57 - Treliça seccionada. Fonte: o autor.
Podemos, então, escolher o lado esquerdo ou direito para analisar os esforços. Vamos 
isolar o lado esquerdo da seção a-a (Figura 58).
Figura 58 - Seção da treliça isolada. Fonte: o autor.
Podemos, agora, aplicar as equações de equilíbrio, considerando a região isolada como 
uma figura única, e esforços nos membros BC, GC e GF como esforços externos.
∑Fy= 0↑
6,7 kN-6 kN + GC sen (60˚) = 0
GC = -0,8 kN (C)
O somatório de forças em x possui duas variáveis GF e BC. Assim vamos utilizar o 
somatório de momento na junta G para encontrar o esforço BC.
∑MG=0↶
-(6,7 kN) (3 m) -BC (3∙ sen (60˚) m)=0
BC = -7,7 kN (C)
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Agora podemos encontrar o esforço GF utilizando a equação de equilíbrio em x.
∑Fx= 0 →
BC + GCcos (60˚)+GF = 0
(-7,7 kN) + (-0,8) cos(60˚) + GF = 0
GF = 8,1 kN (T)
Os resultados são mostrados na Figura 59.
Figura 59 - Esforços nos membros BC, GC e GF. Fonte: o autor.
Os resultados são os mesmos encontrados pelo do método dos nós. E da mesma forma, 
caso seja necessário analisar todos os elementos da treliça, é possível seccionar em outras regiões 
e aplicar novamente as equações de equilíbrio.
1.2. Treliças Espaciais
A análise de treliças em três dimensões segue um procedimento similar ao utilizado 
na análise de sistemas de forças tridimensionais aplicados ao método dos nós ou das seções, 
estudada na Unidade I.
O método das seções, embora da mesma forma efetivo, demanda seis equações de 
equilíbrio, ∑Fx = 0, ∑Fy = 0, ∑Fz = 0, ∑Mx = 0, ∑My = 0 e ∑Mz = 0. Já o método dos nós demanda 
apenas três equações de equilíbrio, ∑Fx = 0, ∑Fy = 0 e ∑Fz = 0.
Os dois métodos, dos nós ou das seções, retornarão os mesmos resultados. 
Entretanto, algumas treliças são facilmente analisadas através do método das 
seções enquanto outras são melhores analisadas pelo método dos nós. Com a 
prática e realizando vários exercícios, você saberá qual método será mais fácil.
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O procedimento de análise pelo método dos nós em três dimensões é dado por:
Determinar as coordenadas de cada junta da treliça;
Escolher um nó que contenha pelo menos uma força conhecida e no máximo três forças 
desconhecidas;
Adotar as forças desconhecidas como forças de tração, saindo da junta selecionada;
Encontrar o vetor posição de cada força desconhecida;
Encontrar o vetor unitário para cada vetor posição;
Aplicar as equações de equilíbrio: ∑Fx = 0, ∑Fy = 0 e ∑Fz = 0.
1.2.1. Exemplo de Aplicação
Encontre os esforços aplicados nos membros da treliça mostrada na Figura 60.
Figura 60 - Treliça tridimensional. Fonte: Hibbeler (2011).
Resolução:
Primeiramente, precisamos determinar as coordenadas de cada junta. No exemplo 
consideraremos o sistema de coordenadas com origem no ponto C, mas qualquer outro ponto de 
origem pode ser usado.
As coordenadas de cada junta são, portanto:
A = (0, 0, 2) m
B = (0, 2, 2) m
C = (0, 0, 0) m
D = (0, 2, 0) m
E = (2, 2, 0) m
Isolaremos a junta A que possui uma força conhecida de P = - 4 kNj, ou (0, -4, 0) kN 
(Figura 61). 
Figura 61 - DCL da junta A. Fonte: o autor.
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As forças desconhecidas que atuam no ponto A são, portanto, AB, AC e AE. Encontrando 
os vetores posição e vetores unitários pela relação.
Dessa forma os vetores unitários das forças atuantes em A são:
µAB = (0, 1, 0)
µAC = (0, 0, -1)
µAE = (0,58; 0,58; -0,58)
Assim, as forças atuantes em A são:
FAB = (0, FAB, 0)
FAC = (0, 0, -FAC)
FAE = (0,58FAE; 0,58FAE; -0,58FAE)
P = (0, -4, 0) kN
Aplicando as condições de Equilíbrio
∑Fx = 0
FAE = 0
∑Fy= 0
FAB+0,58FAE-4 kN = 0
FAB= 4 kN (T)
∑Fz=0
-FAC-0,58FAE=0
FAC=0
Assim, as barras AE e AE estão com carregamento nulo (são barras de apoio), e a barra 
AB está tracionada em 4 kN.
A mesma análise deve ser feita no nó B agora. Contudo é importante lembrar que a barra 
AB está tracionada, portanto o vetor força FAB deverá sair do ponto B em direção a A. Logo o 
vetor posição µBA usado será (0,-1, 0).
Os resultados finais serão: FBE = 5,7 kN (T); FBD = 2 kN (C); e FDE = FDC = FCE = 0 (zero).
 
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2 - FORÇAS INTERNAS
O cálculo de forças internas é utilizado para entender as solicitações de um componente 
a ser dimensionado e posteriormente selecionar um material que se adeque a tais solicitações. 
2.1. Forças Internas Desenvolvidas em Membros Estruturais
As principais forças internas atuantes em um membro estrutural são força normal (N), 
esforço cortante ou cisalhante (V) e momento fletor (M). Elas podem ser calculadas através do 
método das seções (Figura 62a), que corta a estrutura em um ponto qualquer e analisa os esforços 
internos como forças externas (Figura 62b), aplicando as condições de equilíbrio ∑Fx = 0, ∑Fy = 
0 e ∑M = 0. 
Figura 62 - Análise de esforços internos de um membro estrutural. Fonte: Hibbeler (2011).
2.2. Convenção de Sinais
A convenção de sinais adotada na análise de esforços internos depende do lado analisado. 
Ao analisar a estrutura da pelo lado esquerdo, consideramos positivos os esforços normais para 
direita (tração), esforços cortantes para baixo e momento fletor no sentido anti-horário. A análise 
pelo lado direito tem sinais opostos, N positivo para esquerda, V para cima e M no sentido 
horário.
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Figura 63 - Convenção de sinais de esforços internos. Fonte: Hibbeler (2011).
2.2.1. Procedimento de Análise
Para encontrar os esforços internos em um ponto específico de uma estrutura em 
equilíbrio, é preciso:
I. Desenhar o DCL da estrutura
II. Encontrar as reações de apoio
III. Seccionar a estrutura no ponto desejado e assumir os esforços internos (N, V e M) de 
acordo com a convenção de sinais mostrada na Figura 63.
IV. Se a região cortada estiver no meio de um carregamento distribuído, esse carregamento 
também deve ser cortado e a carga concentrada equivalente recalculada.
V. Aplicar as equações de equilíbrio ∑Fx = 0, ∑Fy = 0 e ∑M = 0.
2.2.1.1. Exemplo de Aplicação
Encontre os esforços internos no ponto C, da viga mostrada na Figura 64.
Figura 64 - Viga engastada para análise de esforços internos. Fonte: Hibbeler (2011)
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Resolução:
Se analisarmos a estrutura pela direita, não precisaremos calcular as reações de apoio, 
assim podemos pular para a etapa 3 do procedimento de análise (Figura 65).
Figura 65 - Análise de esforços internos em C. Fonte: o autor.
O novo carregamento distribuído tem formato triangular de altura 600 N/m e base 
de 1,5 m. Assim, o carregamento concentrado equivalente terá 450 N localizado a 1 metro da 
extremidade direita (Figura 66).
Figura 66 - Carga equivalente concentrada. Fonte: o autor.
Aplicando as equações de equilíbrio:
∑Fx= 0
Nc= 0
∑Fy= 0
Vc-450 N = 0
Vc-450 N
∑Mc= 0
Mc+(450 N)(0,5 m) = 0
Mc= -225 N.m
Assim, a força interna normal é nula, o esforço cortante é 450 N para cima, e o momento 
fletor é de 225 N.m no sentido anti-horário.
O canal Exercícios Resolvidos Exatas apresenta um exemplo de cálculo de forças 
internas. Assista em https://www.youtube.com/watch?v=yuc_8iox6u0.
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2.3. Diagrama de Esforço Cortante e Momento Fletor
Ao analisar todos os pontos de uma estrutura é possível traçar os diagramas de esforço 
cortante e momento fletor ao longo dessa estrutura seccionando pontos arbitrários x. Para traçar 
o diagrama de esforços cortantes secciona-se os pontos antes e depois de cargas concentradas 
e ao longo de cargas distribuídas (como feito no exemplo anterior). Para traçar o diagrama de 
Momento Fletor secciona-se nos pontos de aplicação de cargas concentradas e ao longo de cargas 
distribuídas.
2.3.1. Exemplo aplicado
Encontre as equações e monte os diagramas de Esforço Cortante e Momento Fletor da 
viga mostrada na Figura 67.
Figura 67 - Viga biapoiada com carga concentrada. Fonte: o autor.
Resolução:
Traçando o DCL (Figura 68). 
Figura 68 - DCL da viga biapoiada. Fonte: o autor.
Aplicando as condições de equilíbrio teremos que Ax = 0, Ay = 533 N e By = 267 N. 
Como trata-se de uma viga sujeita somente a uma carga concentrada, podemos seccionar 
essa carga em um ponto arbitrário x antes da carga (Figura 69).
Figura 69 - Análise do lado esquerdo da viga. Fonte: o autor.
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Aplicando as equações de equilíbrio:
∑Fx= 0
N(x) = 0
∑Fy= 0
V(x)+533 N = 0
V(x) = -533 N
∑M = 0
M(x)-(533 N)(x) = 0
M(x) = 533(x) N.m
Fazendo a mesma análise para uma posição arbitrária, depois da aplicação da força de 
800 N, temos (Figura 70):
Figura 71 - Diagrama de Esforço Cortante. Fonte: o autor.
Da mesma forma, podemos descrever o momento fletor e traça o diagrama de momento 
fletor (Figura 72).
Figura 72 - Diagrama de Momento Fletor. Fonte: o autor.
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3 - CONSIDERAÇÕES FINAIS
 Nessa unidade, aprendemos a calcular os esforços aplicados em treliças através dos 
métodos do nó e das seções. Aprendemos também a aplicar os conteúdos vistos até aqui em 
treliças espaciais. Em seguida, começamos a aplicar as condições de equilíbrio para encontrar os 
esforços internos em membros estruturais, encontrar as equações de momento fletor e esforço 
cortante e, por fim, traçar o diagrama de esforço cortante e momento fletor.
 
Hibbeler (2011), em Estática: mecânica para engenharia, apresenta um 
procedimento detalhado para encontrar as equações de momento fletor e esforço 
cortante. Verifique esse conteúdo no item 7.2 do capítulo 7.
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04
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ............................................................................................................................................................64
1 - CENTRO DE GRAVIDADE, CENTRO DE MASSA E CENTROIDE .......................................................................65
1.1. CENTRO DE GRAVIDADE ....................................................................................................................................65
1.2. CENTRO DE MASSA ......................................................................................................................................... 66
1.3. CENTROIDE DE UMA ÁREA ............................................................................................................................. 66
1.3.1.EXEMPLO DE APLICAÇÃO ...............................................................................................................................67
1.4. CENTROIDE DE FIGURAS COMPOSTAS ......................................................................................................... 69
1.4.1. EXEMPLO DE APLICAÇÃO .............................................................................................................................. 69
2 - MOMENTO DE INÉRCIA ..................................................................................................................................... 71
COMPONENTES DE ÁREA E GRAVIDADE
PROF. ME. THIAGO A. RODRIGUES
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
MECÂNICA GERAL
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2.1. PROCEDIMENTO DE ANÁLISE ..........................................................................................................................73
2.1.1. EXEMPLO DE APLICAÇÃO ...............................................................................................................................74
2.2. TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS ................................................................................................................76
2.2.1. EXEMPLO DE APLICAÇÃO ..............................................................................................................................78
3 - CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................................................................. 80
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INTRODUÇÃO
Ao longo desta unidade, aprenderemos sobre os componentes de área e gravidade. 
Aprenderemos a calcular o centroide de figuras pela definição e utilizando centroides tabelados. 
Além disso, aprenderemos a calcular o momento de inércia de figuras planas e a aplicar o teorema 
dos eixos paralelos para figuras compostas.
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1 - CENTRO DE GRAVIDADE, CENTRO DE MASSA E 
CENTROIDE
1.1. Centro de Gravidade
Um corpo pode ser dividido em infinitas partículas de tamanhos variados, que se 
estiverem sobre o mesmo campo gravitacional terão peso de intensidade dW, paralelas entre si. 
O centro de gravidade de um corpo é por onde passa a força resultante equivalente a todas essas 
forças peso (Figura 73). Dado por:
Com sendo a coordenada do centro de gravidade G, e as coordenadas de 
cada partícula do corpo.
Figura 73 - Centro de Gravidade. Fonte: Hibbeler (2011).
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1.2. Centro de Massa
Para entender como um corpo se comporta com movimento acelerado é importante 
conhecer o centro de massa desse corpo, dado por (Figura 74):
Figura 74 - Centro de massa de um corpo. Fonte: Hibbeler (2011).
1.3. Centroide de uma área
O centroide de uma área é definido por (Figura 75).
Figura 75 - Centroide de uma área. Fonte: o autor.
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O diferencial de área dA pode ser tomado a partir da aproximação de um retângulo 
passando pelo eixo x ou y, como mostrado na Figura 75 b e c.
1.3.1. Exemplo de Aplicação
Encontre o centroide de área da Figura 76, definido pela função y = x2.
Figura 76 - Área definida por uma função. Fonte: o autor.
Resolução:
A posição do centroide é definida por:
Precisamos agora, encontrar dA e e .
Podemos dividir a área em um retângulo de base infinitesimal dx e altura y (Figura 77). 
A posição do centroide desse triângulo será e .
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Figura 77 - Cálculo de centroide. Fonte: o autor.
Assim,
dA=y dx
E a curva que forma a figura é dada por 
y=x2
Portanto, a posição de x ̅ é dada por,
Da mesma forma, a posição de y ̅ é dada por,
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Ou seja, o centroide da figura analisada tem coordenadas (0,75; 0,3), como mostrado na 
Figura 78.
Figura 78 - Centroide da figura analisada. Fonte: o autor.
Os mesmos resultados são encontrados posicionando o retângulo de lado (1-x) e dy.
1.4. Centroide de Figuras Compostas
Muitas vezes nos deparamos com uma figura composta por figuras geométricas 
conhecidas, como retângulos, triângulos ou circunferências. Essas figuras, já tem sua posição de 
centroide tabelada, como as figuras mostradas na Tabela 2, da Unidade II. Assim, o centroide de 
uma figura composta pode ser encontrado por,
1.4.1. Exemplo de Aplicação
 Encontre o centroide da área mostrada na: 
Figura 79 - Figura composta.Fonte: o autor.
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Resolução:
Podemos dividir a figura em 2 retângulos e um triângulo, cujos centroides tabelados, são 
mostrados na Figura 80.
Figura 80 - Centroides das figuras. Fonte: o autor.
Dessa forma, podemos encontrar o centroide da figura toda,
Portanto, o centroide da figura toda está localizado em (1,6; 0,4) m, como mostrado na 
Figura 81.
Figura 81 - Centroide da figura composta. Fonte: o autor.
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2 - MOMENTO DE INÉRCIA
O cálculo do Momento de Inércia de uma área qualquer (Figura 82) é feito a partir da 
definição,
O professor Alexandre Peixoto calcula o centroide de uma figura composta por 
retângulos e triângulos. Assista em: https://www.youtube.com/watch?v=pJFSm-
3N96c4. 
O centroide de figuras com furos pode ser encontrado apenas subtraindo a região 
do furo, como se a área fosse “negativa”. Isso poderá facilitar o cálculo de figuras 
compostas.
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Figura 82 - Figura com área para cálculo de Momento de Inércia. Fonte: Hibbeler (2011).
No qual, 
Ix = Momento de Inércia da figura em relação ao eixo x;
Iy = Momento de Inércia da figura em relação ao eixo y;
x = distâncias arbitrárias do eixo y;
y = distâncias arbitrárias do eixo x, 
dA = diferencial de área;
Jo = Momento polar de Inércia.
Hibbeler (2011) no capítulo 10, traz uma definição mais profunda do conceito 
de Momento de Inércia. Conheça a definição de Hibbeler no item 10.1 do livro 
Estática: Mecânica para Engenharia.
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2.1. Procedimento de Análise
Trace um retângulo com um lado finito que seja paralelo ao eixo sobre o qual deseja-se 
calcular o momento de inércia e outro lado como diferencial de comprimento. Por exemplo, 
para o cálculo do momento de inércia em relação ao eixo x (Ix), o retângulo traçado seria como 
o mostrado na Figura 83.
Figura 83 - Retângulo para o cálculo de Ix. Fonte: Hibbeler (2011).
E para o cálculo do momento de inércia em relação ao eixo y (Iy), o retângulo traçado 
seria como o mostrado na Figura 84. 
Figura 84 - Retângulo para o cáclulo de Iy. Fonte: Hibbeler (2011).
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2.1.1. Exemplo de Aplicação
Vamos considerar novamente a área mostrada na Figura 76 e calcular Ix, Iy e Jo.
Para o cálculo de Ix, temos (Figura 85).
Figura 85 - Cálculo de Ix. Fonte: o autor.
Pela definição,
O diferencial de área nesse caso e dado por 
dA = (1-x)dy
Mas,
y = x2
Portanto,
Substituindo,
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Para o cálculo de Iy, temos (Figura 86).
Figura 86 - Cálculo de Iy. Fonte: o autor.
Pela definição,
O diferencial de área nesse caso e dado por 
dA = ydx
Mas,
y=x2
Substituindo,
O Jo é a soma de Ix e Iy, portanto:
Assim, os momentos de inércia da Figura 76 são, Ix = 0,05 m4, Iy = 0,20 m
4 e Jo = 0,25 m
4.
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2.2. Teorema dos Eixos Paralelos
O Teorema dos Eixos Paralelos é usado principalmente no cálculo do momento de inércia 
de figuras compostas. De acordo com o teorema, o momento de inércia de em relação a um eixo 
qualquer pode ser dado por (Figura 87):
Figura 87 - Figura com centroide definido em C. Fonte: Hibbeler (2011).
Com,
Ix = Momento de Inércia em relação ao eixo x;
Iy = Momento de Inércia em relação ao eixo y;
Jo = Momento Polar de Inércia em relação ao ponto O;
Ix’ = Momento de Inércia em relação ao eixo x’, que passa pelo centroide C;
Iy’ = Momento de Inércia em relação ao eixo y’, que passa pelo centroide C;
JC = Momento Polar de Inércia em relação ao centroide C;
A = Área de figura
dx = distância entre o eixo y e y’;
dy = distância entre eixo x e x’.
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O Momento de Inércia de uma figura composta, pode então ser escrito como,
A Tabela 3 traz os momentos de inércia Ix e Iy de formas geométricas comumente utilizadas 
na engenharia. 
Tabela 3 - Momentos de Inércia de figuras comuns. Fonte: o autor.
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2.2.1. Exemplo de Aplicação
Calcule Ix e Iy da Figura 88. Considere que a figura é simétrica em relação a x e y. 
Figura 88 - Figura Composta. Fonte: o autor.
Resolução:
Como se trata de uma figura simétrica, o centroide da figura toda está exatamente no 
centro (Figura 89), aonde posicionaremos os eixos x e y de referência
Figura 89 - Posição do Centroide. Fonte: o autor.
Podemos, então, dividir a figura em 3 retângulos (Figura 90a), com os retângulos de 
cima e de baixo idênticos, chamados de Figura 1. Em seguida devemos achar a distância entre o 
centroide de cada figura e o centroide da figura toda, como são retângulos, o centroide de cada 
figura está no centro do respectivo retângulo (Figura 90b).
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Figura 90 - (a) Figura composta dividida e (b) distância entre centroides. Fonte: o autor.
A distância entre o centroide da Figura 1 e o centroide da figura toda é d = 30 mm. Note 
que a posição do centroide da Figura 2 é a mesma da Figura toda, ou seja, a distância d2 é nula. 
O momento de inércia da Figura 1 e Figura 2 é dado na Tabela 3.
Assim,
Para Iy, a distância entre o eixo y, que passa pelo centroide das figuras e o eixo y’, que passa 
pelo centroide da figura toda é zero, assim,
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O site EngiObra faz uma calculadora online de momento de inércia, de figuras 
comumente usadas na engenharia. Você pode verificar se sua resolução de 
exercícios está correta em https://engiobra.com/calculadoras/momento-inercia/. 
3 - CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nessa unidade, focamos no cálculo do centroide pela definição, por integração da função 
que define sua área, ou pelo uso de tabelas, quando se tratar de uma figura composta por figuras 
conhecidas. Uma análise muito parecida é feita para o cálculo do momento de inércia, que pode 
ser encontrado pela definição ou pelo teorema dos eixos paralelos, para encontrar o momento de 
inércia de figuras compostas.
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REFERÊNCIAS
BEER. F. P.; JOHNSTON. E. R.; CORNWELL. P. J. Mecânica Vetorial Para Engenheiros: Dinâmica. 
Porto Alegre: MCGRAW-Hilll, 2012.
BEER. F. P. Mecânica Vetorial para Engenheiros – Estática. Porto Alegre: amgh Editora, 2012.
DUARTE. D. Mecânica Básica. São Paulo: Pearson, 2015.
FIEDERER. L. Clássicos da Arquitetura: Torre Eiffel/ Gustave Eiffel. Arch Daily. [Online] 26 de 
Dezembro de 2016. <https://www.archdaily.com.br/br/802180/classicos-da-arquitetura-torre-
eiffel-gustave-eiffel>. Acesso em: 22 jan. 2019.
HIBBELER. R. C. Dinâmica. São Paulo : Pearson, 2011.
_____. Estática: Mecânica Para Engenharia. São Paulo: Pearson Pretice Hall, 2011.
MERIAM. J. L.; KRAIGE. L. G. Mecânica para Enegenharia: Dinâmica. LTC : Rio de Janeiro, 
2016.
SHAMES. I. H. Dinâmica: Mecânica para Engenharia. Rio de Janeiro : Pearson, 2002.
_____. Estática: Mecânica para Engenharia. Vol. 1. Rio de Janeiro: Pearson, 2002.
TENEMBRAUM. R. A. Dinâmica Aplicada. Pearson, 2015.