VOLUME, TRONCOS E SEMELHANÇA NO ESPAÇO

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Atividade Geral – 3º Bimestre 
 
1. (Fuvest-SP) Uma superfície esférica de raio 13 cm é cortada por um plano situado a 
uma distância de 12 cm do centro da superfície esférica, determinando uma 
circunferência. Qual o raio dessa circunferência, em centímetros? R: 5 cm 
132 = 122 + r2 
169 = 144 + r2 
r = √25 = 5 cm 
 
 
2. Para encher um recipiente esférico com raio r precisamos de 50 litros de água. Quantos 
litros de água serão necessários para encher um outro reservatório também esférico 
com raio igual a 4r? R: 3.200 litros 
Relação entre volume e raio: V=r3.V, nesse caso: 
𝑣
𝑉
= (
𝑟
𝑅
)
3
→ 
50
𝑉
= (
𝑟
4𝑅
)
3
→𝑟𝑉 = 64𝑅. 50 = 3.200 litros de água 
 
3. (UNICENTRO) Uma fábrica de azeite deseja mudar a sua embalagem de cilíndrica para 
um prisma de base quadrada, como mostra o esquema. De acordo com a figura, qual 
deve se a altura do prisma? R: 2,5 π 
 
 
𝑉𝑐𝑖𝑙í𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝜋𝑟
2. ℎ 𝑉𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 = 𝐴𝑏 . ℎ 
𝑉𝑐𝑖𝑙í𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝜋2
2. 10 40𝜋 = 42. ℎ 
𝑉𝑐𝑖𝑙í𝑛𝑑𝑟𝑜 = 40𝜋 cm
3 ℎ =
40𝜋
16
 = 2,5𝜋 
 
 
https://www.fuvest.br/
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4. (ENEM – adaptado) A siderúrgica “Metal Nobre” produz diversos objetos maciços 
utilizando o ferro. Um tipo especial de peça feita nessa companhia tem o formato de 
um paralelepípedo retangular, de acordo com as dimensões indicadas na figura que 
segue. Qual o volume de metal usado na fabricação dessa peça? R: 1,625 m 
 
Vretângulo= 2,5 . 0,5 . 1,3 = 1,625 m3 
 
5. (IF-SC) Como foi medida a altura da pirâmide de Queóps? Há duas versões para este 
fato. Hicrônimos, discípulo de Aristóteles, diz que Tales mediu o comprimento da 
sombra da pirâmide no momento em que nossas sombras são iguais a nossa altura, 
assim medindo a altura da pirâmide. Plutarco diz que fincando uma vara vertical no 
extremo da sombra projetada pela pirâmide, construímos à sombra projetada da vara, 
formando no solo dois triângulos semelhantes. Notamos que, neste relato, é 
necessário o conhecimento de teoremas sobre triângulos semelhantes. Observando o 
desenho abaixo, a vara colocada no extremo C da sombra da pirâmide forma, com sua 
sombra, o triângulo DCE que é semelhante ao triângulo ABC. 
 
 
Fonte da imagem e do texto: http://www.matematica.br/historia/calpiramide.htm 
 
Sabendo que a altura da vara é de 2 m, a sua sombra projetada é de 3m e a distância 
entre B e C é de 210m, qual é altura aproximada da pirâmide de Queóps? R: 140 m 
 
 
ℎ
𝐻
= 
𝑙
𝐿
  
2
𝐻
= 
3
210
  3H = 420  H = 
420
3
 = 140 m 
http://www.matematica.br/historia/calpiramide.htm
http://www.matematica.br/historia/calpiramide.htm
http://www.matematica.br/historia/calpiramide.htm
 
 
6. Observe que a área lateral de um tronco de cone pode ser obtida pela fórmula: 
 𝑺𝒍𝒂𝒕 𝒅𝒐 𝒕𝒓𝒐𝒏𝒄𝒐 = 𝝅. 𝑮𝑻.(𝑹 + 𝒓), onde 𝑮𝑻 = 𝒈𝒆𝒓𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝒅𝒐 𝒕𝒓𝒐𝒏𝒄𝒐 
Um tronco de cone possui a medida dos raios igual a 5 m e 8 m. Sabendo que a medida 
da altura é igual a 4, determine a área superficial total desse sólido. R: 154 π cm2. 
 
𝑺𝒍𝒂𝒕 𝒅𝒐 𝒕𝒓𝒐𝒏𝒄𝒐 = 𝝅. 𝑮𝑻.(𝑹 + 𝒓) 
𝑺𝒍𝒂𝒕 𝒅𝒐 𝒕𝒓𝒐𝒏𝒄𝒐 = 𝝅. 5 .(8 + 5) 
𝑺𝒍𝒂𝒕 𝒅𝒐 𝒕𝒓𝒐𝒏𝒄𝒐 = 65𝝅 cm2 
 
Sbme = 𝜋 52 = 25𝜋 cm2 
Sbma = 𝜋 82 = 64𝜋 cm2 
 
 Stotal = 65 + 25 + 64 = 154𝜋 𝑐𝑚2 
 
7. Uma pirâmide tem 4 m de altura e 160 m3 de volume. Paralelamente a sua base e a 2 
m de seu vértice, traça-se um plano que a divide em uma pirâmide menor e um tronco 
de pirâmide. Qual o volume, em m3, do tronco dessa pirâmide? R:140 m3 
𝑣
160
= (
2
4
)
3
→ 64v = 1.280 → v= 20 m3 
 
Volumetotal= V – v  160 – 20 = 140 m3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g2= 32 + 42 
g= √25 = 5m 
 
 
m= R – r = 3 
 
 
 
8. (MACKENZIE) A figura representa um bloco com formato de um cubo de aresta a , do 
qual é retirada uma pirâmide. Se A, B e C são pontos médios dos lados do cubo e se o 
volume da peça restante é igual a 188/3, qual o valor de a2 + a? R: 20 
 
A pirâmide retirada do bloco cúbico possui base de catetos e altura. Logo, o volume 
da peça restante é dado por: 
 
a3 – 
1
3
 . (
𝑎
2
.
𝑎
2
2
) .
𝑎
2
=
188
3
 ⇔ a3 – 
𝑎3
48
=
188
3
 ⇔ a3 = 64 ⇔ a = 4 
Portanto, o valor de a2 + a = 20 
 
9. Um plano secciona um cone reto a 2 cm do vértice, como mostra a figura. Sabendo 
que a altura do cone é de 6 cm e que o raio da base mede 3 cm, calcule: 
R: 
𝟓𝟐𝝅
𝟑
 𝒄𝒎𝟑 𝒆 (𝟏𝟎 + 𝟖√𝟓)𝛑𝒄𝒎𝟑 
 
a) O volume do tronco de cone assim gerado. 
 
𝑟
𝑅
=
ℎ
𝐻
 → 
𝑟
3
=
2
6
 → 𝑟 =
2.3
6
= 1 
𝑣 =
1
3
 𝜋𝑟2. ℎ → 𝑣 =
1
3
 𝜋12. 2→ 𝑣 =
2𝜋
3
 𝑐𝑚3 
𝑉 =
1
3
 𝜋. 32. 6 → 𝑉 =
54𝜋
3
 𝑐𝑚3 
𝑉𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜= 
54𝜋
3
− 
2𝜋
3
= 
52𝜋 
3
𝑐𝑚3 
 
 
 
b) A área da superfície do tronco 
 𝑺𝒍𝒂𝒕 𝒅𝒐 𝒕𝒓𝒐𝒏𝒄𝒐 = 𝝅. 𝑮𝑻.(𝑹 + 𝒓) 
 𝑺𝒍𝒂𝒕 𝒅𝒐 𝒕𝒓𝒐𝒏𝒄𝒐 = 𝝅. 𝑮𝑻.(3 + 1) 
 𝑺𝒍𝒂𝒕 𝒅𝒐 𝒕𝒓𝒐𝒏𝒄𝒐 = 𝝅. 2√5 . 4 
 𝑺𝒍𝒂𝒕 𝒅𝒐 𝒕𝒓𝒐𝒏𝒄𝒐 = 8√5𝝅 cm2 
 
Sbase1 = 𝜋. 32 = 9𝜋 cm2 Sbase2 = 𝜋. 12 = 1𝜋 cm2 
Área = (9 𝝅 + 1 𝝅) + 8√5𝝅 = 10 + 8√5𝝅 cm2 
 
 
10. (Esc. Naval 2013) A Marinha do Brasil comprou um reservatório para armazenar 
combustível com o formato de um tronco de cone conforme figura abaixo. Para a 
aproximação 𝝅 =3,14, qual é a capacidade em litros desse reservatório? R:512.860 
litros 
 
𝑉𝑡 =
𝜋.ℎ𝑡
3
 (𝑅2 + 𝑅. 𝑟 + 𝑟2) → 𝑉𝑡 =
3,14 . 10
3
 (52 + 5.3 + 32) 
𝑉𝑡 =
31,4
3
 (25 + 15 + 9) = 
31,4 . 49
3
 =
1.538,6
3
 = 512,86 m3 → 512.860 Litros 
Ou 
H – h = 10  H= 10 + h 
ℎ
𝐻
=
𝑟
𝑅
  
ℎ
ℎ+10
=
3
5
 
5h = 3h + 30 
5h-3h= 30 
2h = 30 
ℎ =
30
2
= 15m H= 10+15 = 25m 
 
 
 
g2= 22 + 42 
g= √20 = √22. 5 =2√5 
 
 
𝑣 =
1
3
. 3,14. 32. 15  141,3 m3 
𝑉 =
1
3
. 3,14. 52. 25  654,16 m3 
Vtotal= 654,16 – 141,3 = 512,86 m3  512.860L 
 
11. (UECE) Um cone circular reto, cuja medida da altura é h, é secionado, por um plano 
paralelo à base, em duas partes: um cone cuja medida da altura é h/5 e um tronco de 
cone, conforme a figura: 
 
Qual a razão entre as medidas dos volumes do cone maior e do cone menor? R: 125 
 
ℎ
𝐻
= 𝑘 
 
ℎ
ℎ
5
= 𝑘 → ℎ = 𝑘.
ℎ
5
 → 𝑘 = ℎ.
ℎ
5
 → k = 5 
 
Sabendo que a razão entre os volumes é igual ao cubo da razão de semelhança entre 
algumas das medidas do cone: 
𝑣
𝑉
= (𝑘)3 
𝑣
𝑉
= 53 = 125 
 
12. (FGV) Um copo com formato cônico contém suco até a metade de sua altura H. 
Despeja-se o suco contido neste copo em outro copo, com formato cilíndrico, com a 
mesma altura H e o mesmo raio da base do copo cônico. A figura a seguir ilustra a 
situação: 
 
 
Qual a altura atingida pelo suco após ter sido colocado no copo cilíndrico? R: H/24 
Constante gerada pela razão proporcional, já que um cone menor é 
gerado pelo mesmo cone 
V1 V2 
h 
V4 
 
 
 
V1 = 
1
3
𝜋𝑅2. 𝐻 V2 = 3V1 
V2 = 𝜋𝑅2. 𝐻 
 
 
𝑉4
𝑉1
= (
𝐻
2
𝐻
)
3
→ 𝑉4 = 8𝑉1 → 𝑉1 = 8𝑉4 
 
 
 
𝑉2
𝐻
=
𝑉4
ℎ
 → ℎ =
𝑉4
𝑉2
𝐻 → ℎ = 
1
24
𝑉2
𝑉2
𝐻 → ℎ =
𝐻
24
 
 
 
 
 
V2 = 3V1 
V2 = 3.8V4 
V4 = 
1
24
V2