CAP 1 E 2 COMENTÁRIOS

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Cálculo IV
Matemática IGCE 2020
Comentários, explicações e exerćıcios.
Prof. Dr. Jamil Viana Pereira
Caṕıtulos 1 e 2: comentários e explicações
(1) Observe que o tratamento aqui é de funções com domı́nio n dimensional e imagem
m dimensional, um eventual gráfico desta função estaria num espaço de dimensão n+m.
Logo, não é viável buscar entender o gráfico de tais funções, em geral procura-se entender
a função, avaliando apenas a imagem de certos subconjuntos do domı́nio.
(2) Este exemplo ilustra a observação (1), a função em questão transforma o plano R2 no
parabolóide infinito {(u, v, u2 + v2); (u, v) ∈ R2} ⊂ R3.
(3) Aqui o objetivo é tomar uma função de várias variáveis e descobrir o que acontece
com subconjuntos do domı́nio, geralmente aplica-se a função a segmentos paralelos aos
eixos para descobrir qual é a imagem deles, veja o exemplo 3, que descobre a imagem de
retas constantes aplicadas ao parabolóide. Pode-se associar este processo ao processo de
encontrar derivadas parciais, visto em Cálculo III, no qual considerava-se a variação da
função em apenas uma das direções.
(4) É interessante entender graficamente o significado deste domı́nio, pode-se ver em
seguida que se trata de um trapézio, é interessante vocês dominarem esta técnica de
descobrir regiões delimitadas por curvas, ela será necessária no decorrer do curso. Observe
que a função em questão pode ser escrita como ϕ(x, y) = (x− y, x+ y).
(5) Os campos vetorias são funções de várias variáveis, como as da Seção 1.1 porém,
domı́nio e imagem devem ter a mesma dimensão. Assim, é posśıvel representar um campo
da seguinte maneira, ao pontoX, associa-se o vetor ~F (X), com ińıcio no pontoX. Observe
que tal construção não seria posśıvel caso a imagem e o domı́nio tivessem dimensões
diferentes.
(6) A notação ~F (x, y, z) =~iP (x, y, z)+~jQ(x, y, z)+~kR(x, y, z), é equivalente a ~F (x, y, z) =
(P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)), P,Q e R são chamadas funções coordenadas de F , a
função P descreve a primeira coordenada da imagem, Q a segunda e R a terceira. O rota-
cional consiste basicamente em calcular derivadas destas funções coordenada e agrupá-las
de forma adequada, conforme a definição. O nome rotacional deve-se ao fato de que os
1
vetores resultantes deste cálculo (do rotacional) fornecem propriedades de rotação de uma
part́ıcula no campo vetorial ~F , confira no exemplo 3.
(7) Para provar que um campo é irrotacional, basta calcular seu rotacional e concluir que
ele é nulo.
(8) Observe que, o divergente também é calculado em um campo vetorial, porém seu
cálculo resulta em um valor real, não em um vetor, como é o caso do rotacional. Seu cálculo
é basante simples, ele será utilizado futuramente, quando quisermos calcular fluxos.
(9) Observe que a definição é semelhante à do cáculo I, exceto pela norma no lugar do
módulo. A norma é necessário pois domı́nio e imagem possuem várias variáveis.
(10) O conceito de derivada parcial é semelhante ao do cálculo III, porém agora calcula-se
a derivada parcial de cada função coordenada.
(11) Observe que a particionar um retângulo equivale a particionar cada um de seus
lados (como no cálculo I) e depois fazer o cartesiano. A idéia da partição é análoga ao
cálculo I, lá particiona-se intervalo em intervalos menores, aqui particiona-se retângulo
em retângulos menores.
(12) A soma de Riemann também é semelhante à do cálculo I, lá construiam-se retângulos
de base [xi, xi+] e algura f(ξi), aqui constroem-se paraleleṕıpedos, cuja base é o retângulo
Rij e a altura o valor f(Xij).
(13) Observe que, quanto menor for a área de Rij, menor será o erro cometido no cálculo
do volume abaixo do gráfico via somas de Riemann.
(14) Em complemento á observação (13), o valor exato do volume acontecerá tomando-se
o limite quando a norma da partição tende a zero, isso lembra cálculo I?
(15) A noção básica de um conjunto de medida nula em Rn é um conjunto de dimensão
menor que n. Por exemplo, um ponto P , que tem dimensão zero, tem medida nula em
R, uma reta, que tem dimensão um, tem medida nula em R2, uma curva (também de
dimensão um) tem medida nula em Rn, n ≥ 2.
Para provar que o ponto P tem medida nula em R, basta colocá-lo no intervalo [P −
ε
2
, P + ε
2
], que tem medida ε em R.
Para provar que uma união finita de pontos {P1, P2, ..., Pn} tem medida nula em R,
basta inseŕı-los na união dos intervalos [Pi − ε2n , Pi +
ε
2n
], i = 1, 2, ..., n, temos assim
2
{P1, P2, ..., Pn} ⊂ [P1 − ε2n , P1 +
ε
2n
] ∪ [P2 − ε2n , P2 +
ε
2n
] ∪ ... ∪ [Pn − ε2n , Pn +
ε
2n
] e a soma
dos comprimentos dos intervalos é ε, uma vez que existem n intervalor de comprimento
ε
n
.
Para provar que um intervalo [a, b] × {0} = {(x, 0); x ∈ [a, b]} tem medida nula em
R2, basta colocá-lo no retângulo [a, b]× [− ε
2(b−a) ,
ε
2(b−a) ], que tem área ε.
Observe que a definição de medida nula depende do conjunto e do espaço aonde eles
está inserido, por exemplo, um intervalo tem medida nula em R2 mas não tem medida
nula em R.
(16) Aqui também vale fazer uma correspondência com as Integrais de Riemann do
Cálculo I, lembre-se que elas foram definidas via limite de Somas de Riemann. Porém,
para decidir se uma função é integrável ou não, fazer suas Somas de Riemann e aplicar
o limite nem sempre é viável. No Cálculo I, esta condição foi substitúıda pelo resultado
que dizia que funções cont́ınuas e limitadas em um intervalo fechado eram integráveis,
pode-se provar um resultado mais geral que diz que funções limitadas cujo conjunto de
descontinuidades tem medida nula são integráveis.
A importância deste teorema, é a possibilidade de dizer que uma função é integrável,
sem precisar passar pela definição via Somas de Riemann e limite, basta verificar que a
função satisfaz estas condições.
(17) Compare estas propriedades com as do Cálculo I.
Caṕıtulos 1 e 2: lista de exerćıcios
Exerćıcios 1.1 a 1.15 Os respectivos exerćıcios 1 a 15 da seção 1.1 do livro texto.
Exerćıcios 1.16 a 1.21 Os respectivos itens a) até g) do exerćıcio 1 da seção 1.2 do livro
texto.
Exerćıcios 1.22 a 1.31 Os respectivos exerćıcios 2 a 11 da seção 1.2 do livro texto.
Exerćıcios 1.32 a 1.38 Os respectivos exerćıcios 1 a 7 da seção 1.3 do livro texto.
Exerćıcios 1.39 a 1.51 Os respectivos exerćıcios 1 a 13 da seção 1.4 do livro texto.
Exerćıcios 1.51 a 1.54 Os respectivos exerćıcios 1 a 4 da seção 1.5 do livro texto.
Exerćıcios 1.55 a 1.57 Os respectivos exerćıcios 1 a 3 da seção 2.3 do livro texto.
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Exerćıcio 1.58 a 1.64 Calcule o ratocional dos campos vetoriais dados nos itens a) até
g) do exerćıcio 1 da seção 1.2 do livro texto.
Exerćıcio 1.65 a 1.71 Calcule o ratocional dos campos vetoriais dados nos itens a) até
g) do exerćıcio 1 da seção 1.2 do livro texto.
Exerćıcio 1.72 a 1.78 Demonstre as propriedadea I a VII da seção 2.5.
Exerćıcio 1.79 a 1.82 Refaça os exemplos 1 a 4 da seção 1.1, justificando as afirmações.
Exerćıcio 1.83 a 1.84 Refaça os exemplos 1 e 2 da seção 1.2, justificando as afirmações.
Exerćıcio 1.85 a 1.89 Refaça os exemplos 1 a 6 da seção 1.3, justificando as afirmações.
Exerćıcio 1.90 a 1.96 Refaça os exemplos 1 a 7 da seção 1.4, justificando as afirmações.
Exerćıcio 1.97 a 1.102 Refaça os exemplos 1 a 6 da seção 2.4, justificando as afirmações.
Exerćıcio 1.103 a 1.105 Compare as propriedades IV, V e VI da seção 2.5 com as
respecitvas versões do Cálculo I.
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