Metodos Quantitativos

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MÉTODOS QUANTITATIVOS
Caderno de Estudos
Profª. Débora Cristina Brandt
Editora UNIASSELVI
2014
NEAD
Educação a Distância
GRUPO
Copyright  Editora UNIASSELVI 2014
Elaboração:
Profª. Débora Cristina Brandt
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci - UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
Grupo UNIASSELVI – Indaial.
657.42
B821m Brandt, Débora Cristina
 Métodos Quantitativos / Débora Cristina Brandt. Indaial : 
Uniasselvi, 2014.
 
 171 p. : il 
 
 ISBN 978-85-7830-847-6
 1. Contabilidade de Custos. 2. Métodos Quantitativos. 
 I. Centro Universitário Leonardo da Vinci.
MÉTODOS QUANTITATIVOS
APRESENTAÇÃO
Certa vez, um político britânico chamado Benjamin Disraeli disse que “existem três tipos 
de mentiras: mentiras, mentiras sujas e estatísticas”. Ele não estava de todo errado: vemos 
todos os dias, estatísticas mal feitas, com amostras não representativas ou análises erradas 
ou tendenciosas de dados. Mas a culpa não é da estatística, e sim, das pessoas que utilizam 
a ferramenta de maneira errada. 
Na verdade, a estatística é essencial para nossa vida. Fazemos uso dela todos os dias, 
quando pesquisamos o preço de uma mercadoria, inferimos de quanto será o aumento do 
aluguel, conjecturamos o comportamento da população nas urnas na próxima eleição. Seus 
conceitos já permeiam os mais diversos campos de conhecimento e são indispensáveis no 
campo científico e no mercado financeiro, por exemplo. 
Este Caderno de Estudos tem por objetivo lhe apresentar os conceitos iniciais da 
estatística, mais especificamente, da estatística descritiva. Esperamos que, no fim desta disciplina, 
você seja capaz, não só de trabalhar com os conceitos apresentados, mas também esteja apto 
a questionar as pesquisas estatísticas que lhe são apresentadas das mais diferentes formas. 
Na Unidade 1 deste Caderno de Estudos, serão apresentadas algumas definições 
básicas sobre o assunto. Você aprenderá a diferença entre população e amostra, os diferentes 
tipos de amostra e as fases pelas quais uma pesquisa estatística deve passar. Também 
compreenderá o conceito de variável estatística, suas subcategorias e como apresentá-las 
por meio de séries.
A Unidade 2 é reservada para a apresentação de variáveis via distribuição de frequência 
e por análises gráficas, desde gráficos de linhas até o complexo diagrama de caixas, ou box 
plot. Falaremos também sobre as medidas resumo: média aritmética, moda, medianas e 
separatrizes, que estão relacionadas às medidas de posição; amplitude, variância amostral e 
populacional, associadas às medidas de dispersão. Terminamos esta unidade falando sobre 
assimetria e curtose.
Finalmente, na Unidade 3 trataremos da regressão linear e regressão linear múltipla, 
muito utilizadas para descrever o comportamento de uma variável em função do comportamento 
de outra (ou de outras) variável (variáveis).
Todas as unidades contêm exemplos e exercícios de fixação do conteúdo. Não deixe de 
resolvê-los: estatística, assim como qualquer outro ramo da matemática, só se aprende praticando.
Esperamos que você aproveite ao máximo este material. E lembre-se de que você pode 
contar com uma grande equipe de apoio para lhe ajudá-lo(a) no estudo da disciplina.
Bom estudo!
Professora Débora Cristina Brandt
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MÉTODOS QUANTITATIVOS iv
UNI
Oi!! Eu sou o UNI, você já me conhece das outras disciplinas. 
Estarei com você ao longo deste caderno. Acompanharei os seus 
estudos e, sempre que precisar, farei algumas observações. 
Desejo a você excelentes estudos! 
 UNI
SUMÁRIO
UNIDADE 1 – CONCEITOS INICIAIS ............................................................................... 1
TÓPICO 1 – CONCEITOS BÁSICOS ............................................................................... 3
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 3
2 MÉTODO ESTATÍSTICO ................................................................................................. 3 
2.1 DEFINIÇÃO DO PROBLEMA ...................................................................................... 4
2.2 DELIMITAÇÃO DO PROBLEMA ................................................................................. 4
2.3 PLANEJAMENTO ........................................................................................................ 4
2.4 COLETA DE DADOS ................................................................................................... 5
2.5 CRÍTICA DOS DADOS ................................................................................................ 5
2.6 APURAÇÃO DOS DADOS .......................................................................................... 6
2.7 APRESENTAÇÃO DOS DADOS ................................................................................. 6
2.8 ANÁLISE DOS DADOS ............................................................................................... 6
2.9 INTERPRETAÇÃO DOS DADOS ................................................................................ 6
3 A ESTATÍSTICA COMO ÁREA DE ESTUDOS .............................................................. 6
3.1 ESTATÍSTICA DESCRITIVA ........................................................................................ 7
3.2 PROBABILIDADE ........................................................................................................ 7
3.3 INFERÊNCIA ESTATÍSTICA ....................................................................................... 8
RESUMO DO TÓPICO 1 ................................................................................................... 9
AUTOATIVIDADE ........................................................................................................... 10
TÓPICO 2 – POPULAÇÃO E AMOSTRA ....................................................................... 11
1 INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 11
2 POPULAÇÃO x AMOSTRA .......................................................................................... 11
3 TIPOS DE AMOSTRA .................................................................................................. 13
3.1 AMOSTRAS ALEATÓRIAS SIMPLES ....................................................................... 13
3.2 AMOSTRAS POR CONVENIÊNCIA .......................................................................... 14
3.3 AMOSTRAS PONDERADAS .................................................................................... 15
3.4 AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA ............................................................................ 16
3.5 AMOSTRAGEM POR GRUPOS ............................................................................... 17
4 ERROS E TENDENCIOSIDADE .................................................................................. 18
4.1 ERRO DE AMOSTRAGEM ....................................................................................... 18
4.2 ERRO DE RESPOSTA .............................................................................................. 19
4.3 ERRO DE FALTA DE RESPOSTA ............................................................................. 20
4.4 ERRO DE DELINEAMENTO ..................................................................................... 20
RESUMO DO TÓPICO 2 ................................................................................................. 21
AUTOATIVIDADE ........................................................................................................... 22
TÓPICO 3 – VARIÁVEIS ESTATÍSTICAS ......................................................................25
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 25
2 TIPOS DE VARIÁVEIS ................................................................................................. 26
MÉTODOS QUANTITATIVOS v
MÉTODOS QUANTITATIVOS vi
2.1 VARIÁVEIS QUALITATIVAS ...................................................................................... 26
2.2 VARIÁVEIS QUANTITATIVAS ................................................................................... 27
3 ARREDONDAMENTO ................................................................................................. 28
RESUMO DO TÓPICO 3 ................................................................................................. 32
AUTOATIVIDADE ........................................................................................................... 33
TÓPICO 4 – SÉRIES ESTATÍSTICAS ............................................................................ 35
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 35
2 SÉRIES ESTATÍSTICAS SIMPLES ............................................................................. 35
2.1 SÉRIES HISTÓRICAS OU TEMPORAIS .................................................................. 36
2.2 SÉRIES GEOGRÁFICAS OU TERRITORIAIS ......................................................... 36
2.3 SÉRIES ESPECÍFICAS OU CATEGÓRICAS ........................................................... 37
3 SÉRIES DE DUPLA ENTRADA OU SÉRIES MISTAS ................................................ 37
4 CONSTRUÇÃO DE TABELAS .................................................................................... 38
4.1 TÍTULO ...................................................................................................................... 38
4.2 CABEÇALHO ............................................................................................................ 38
4.3 COLUNA INDICADORA ............................................................................................ 38
4.4 CORPO ..................................................................................................................... 39
4.5 TRAÇO ...................................................................................................................... 39
4.6 FONTE, NOTAS E CHAMADA .................................................................................. 39
LEITURA COMPLEMENTAR .......................................................................................... 41
RESUMO DO TÓPICO 4 ................................................................................................. 44
AUTOATIVIDADE ........................................................................................................... 45
AVALIAÇÃO .................................................................................................................... 47
UNIDADE 2 – APRESENTAÇÃO DE DADOS E MEDIDAS RESUMO .......................... 49
TÓPICO 1 – DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA ........................................................... 51
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 51
2 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA ............................................................................. 52
3 INTERVALOS DE CLASSE ......................................................................................... 56
RESUMO DO TÓPICO 1 ................................................................................................. 60
AUTOATIVIDADE ........................................................................................................... 61
TÓPICO 2 – GRÁFICOS ESTATÍSTICOS ...................................................................... 63
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 63
2 TIPOS DE GRÁFICOS ................................................................................................. 65
2.1 GRÁFICO DE LINHA ................................................................................................. 65
2.2 GRÁFICO DE COLUNAS OU BARRAS .................................................................... 68
2.3 GRÁFICO DE SETORES .......................................................................................... 70
2.4 OUTROS TIPOS DE GRÁFICOS .............................................................................. 73
RESUMO DO TÓPICO 2 ................................................................................................. 76
AUTOATIVIDADE ........................................................................................................... 77
MÉTODOS QUANTITATIVOS vii
TÓPICO 3 – MEDIDAS RESUMO – MEDIDAS DE POSIÇÃO ...................................... 79
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 79
2 MEDIDAS DE POSIÇÃO ............................................................................................. 79
2.1 MÉDIA ARITMÉTICA ................................................................................................. 80
2.2 MODA ........................................................................................................................ 83
2.3 MEDIANA .................................................................................................................. 84
2.4 SEPARATRIZES ........................................................................................................ 89
3 BOX PLOT OU DIAGRAMA DE CAIXAS .................................................................. 95
RESUMO DO TÓPICO 3 ............................................................................................... 100
AUTOATIVIDADE ......................................................................................................... 101
TÓPICO 4 – MEDIDAS DE DISPERSÃO, ASSIMETRIA E CURTOSE ....................... 103
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 103
2 AMPLITUDE ............................................................................................................... 103
3 VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÀO POPULACIONAL ................................................ 105
4 VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÀO AMOSTRAL ........................................................ 107
5 ASSIMETRIA .............................................................................................................. 109
6 CURTOSE ................................................................................................................... 112
LEITURA COMPLEMENTAR ......................................................................................... 114
RESUMO DO TÓPICO 4 ................................................................................................ 119
AUTOATIVIDADE ......................................................................................................... 120
AVALIAÇÃO .................................................................................................................. 122
UNIDADE 3 – CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR ............................................ 123
TÓPICO 1 – CORRELAÇÃO ........................................................................................ 125
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 125
2 RELAÇÃO ENTRE VARIÁVEIS ................................................................................ 125
3 INDEPENDÊNCIA ENTRE VARIÁVEIS .....................................................................128
4 A CORRELAÇÃO ...................................................................................................... 131
4.1 DIAGRAMA DE DISPERSÃO .................................................................................. 131
4.2 COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO ........................................................................ 133
RESUMO DO TÓPICO 1 ............................................................................................... 138
AUTOATIVIDADE ......................................................................................................... 139
TÓPICO 2 – REGRESSÃO LINEAR ............................................................................ 143
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 143
2 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS .................................................................. 146
3 ANÁLISE DA REGRESSÃO LINEAR ....................................................................... 150
3.1 INTERPOLAÇÃO E EXTRAPOLAÇÃO ................................................................... 151
3.2 COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO .................................................................... 153
RESUMO DO TÓPICO 2 ............................................................................................... 154
AUTOATIVIDADE ......................................................................................................... 155
MÉTODOS QUANTITATIVOS viii
TÓPICO 3 – REGRESSÃO MÚLTIPLA ........................................................................ 159
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 159
2 O PLANO DE REGRESSÃO ..................................................................................... 159
LEITURA COMPLEMENTAR ........................................................................................ 163
RESUMO DO TÓPICO 3 ............................................................................................... 166
AUTOATIVIDADE ......................................................................................................... 167
AVALIAÇÃO .................................................................................................................. 169
REFERÊNCIAS ............................................................................................................. 171
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UNIDADE 1
CONCEITOS INICIAIS
ObjETIvOS DE AprENDIzAgEm
 Nesta unidade vamos:
	conhecer alguns conceitos básicos de estatística;
	conceituar e diferenciar população e amostra;
	classificar alguns tipos de amostra de acordo com suas 
características;
	aprender a definição e a trabalhar com séries estatísticas;
	entender como se dá o arredondamento de números decimais 
segundo as regras estabelecidas pela Associação Brasileira de 
Normas Técnicas – ABNT.
TÓPICO 1 – CONCEITOS BÁSICOS
TÓPICO 2 – POPULAÇÃO E AMOSTRA
TÓPICO 3 – VARIÁVEIS ESTATÍSTICAS
TÓPICO 4 – SÉRIES ESTATÍSTICAS
pLANO DE ESTUDOS
A Unidade 1 está dividida em quatro tópicos, contendo 
exemplos e, no final de cada um deles, há exercícios para familiarizá-
lo(a) com o assunto.
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CONCEITOS BÁSICOS
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 1
Estamos acostumados a ouvir e falar em estatística na nossa vida. Na verdade, boa 
parte das nossas decisões é baseada em pequenas pesquisas estatísticas que fazemos todos 
os dias. Por exemplo, quando avaliamos o preço de determinada mercadoria, a possibilidade do 
nosso time de futebol ganhar o campeonato, ou mesmo de chover no final de semana, mesmo 
que inconscientemente, estamos pesquisando, comparando e tirando conclusões com base nas 
informações de que dispomos. Em outras palavras, estamos fazendo uso de estatística, mesmo 
que de maneira displicente. Formalmente, Estatística é o “conjunto de técnicas que permite, 
de forma sistemática, organizar, descrever, analisar e interpretar dados oriundos de estudos 
ou experimentos, realizados em qualquer área do conhecimento”. (MAGALHÃES, 2010, 1). 
UNIDADE 1
UNI
Entende-se por dados um conjunto de valores numéricos ou não.
2 MÉTODO ESTATÍSTICO
Uma vez entendido o que é estatística, precisamos agora saber como trabalhar com 
ela. Para realizarmos uma pesquisa estatística, precisamos cumprir algumas etapas, que 
compõem o que chamamos de método estatístico. As principais fases do método estatístico, 
segundo Castanheira (2008, p. 15) são: “a definição do problema, a delimitação do problema, o 
planejamento, a coleta de dados, a crítica destes dados, a apuração, a apresentação, a análise 
e, por fim, a interpretação dos dados coletados”.
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Vamos entender cada uma destas etapas?
2.1 DEFINIÇÃO DO PROBLEMA
O primeiro passo em uma pesquisa estatística é definir o problema, ou seja, estabelecer 
qual é a pergunta a que queremos responder. É com base nesta etapa que todas as outras 
serão cumpridas, daí a importância de se fazer a pergunta certa.
FIGURA 1 – DEFINIÇÃO DO PROBLEMA ESTATÍSTICO
FONTE: A autora.
2.2 DELIMITAÇÃO DO PROBLEMA
Estabelecida a pergunta (ou conjunto de perguntas) a que queremos responder, precisamos 
definir quem é o público-alvo da pesquisa, quem responderá as questões propostas (pessoas, 
coisas), onde este público será acessado (rua, laboratório, linha de produção, por exemplo).
FIGURA 2 – DELIMITAÇÃO DO PROBLEMA ESTATÍSTICO
FONTE: A autora.
2.3 PLANEJAMENTO
Uma vez já delimitado o problema, agora precisamos planejar de que maneira que 
responderemos às perguntas propostas. O planejamento é a etapa em que respondemos à 
pergunta ‘como faremos?’ De acordo com Castanheira (2008, p. 5), “às vezes, é suficiente a 
pura observação; no entanto, na maioria das ocasiões, é necessário elaborar um questionário 
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ou um roteiro de entrevista”. Aqui entram as restrições orçamentárias, o cronograma de pesquisa 
e o recrutamento de pessoas para trabalhar no processo.
FIGURA 3 – PLANEJAMENTO ESTATÍSTICO
FONTE: A autora.
2.4 COLETA DE DADOS
A coleta de dados é o momento em que se obtêm os dados que irão responder à 
pergunta que estipulamos. 
Existem duas maneiras de obtenção de dados: a coleta direta e a indireta. A coleta de 
dados direta é aquela obtida diretamente, seja por meio de aplicação de questionários, por 
observação ou por meio da busca direta em registros oficiais. A outra maneira de obtenção 
de dados é a indireta, quando se utiliza de dados obtidos por coleta direta para outro fim. Os 
dados em si também podem ser divididos em duas categorias: os dados primários, que são 
aqueles obtidos diretamente por meio de um questionário, tomada de tempo ou preço, por 
exemplo, e os dados secundários, que são os obtidos através de pesquisa em outros dados, 
previamente coletados, como dados oficiais, outras pesquisas científicas.
Se saber é poder, o conhecimento das possíveis fontes de dados secundários 
é uma porta de entrada para tal poder. Esse conhecimento permite tomar 
decisão de forma rápida, barata e mais bem informada. [...] Ainda, se estão 
disponíveis dados secundários adequados, você pode economizar a coleta 
dispendiosa de dados primários. No entanto, quando você usa dados secun-
dários, as definições, a finalidade, a cobertura, a frequência e a exatidão [...] 
podem ser inadequados para seus objetivos, porque foram delineados com 
propósito genérico ou diferente do seu. (SILVER, 2000, p. 23).2.5 CRÍTICA DOS DADOS
Os dados já foram coletados. Agora é necessário avaliar se eles estão de acordo 
com os objetivos traçados no planejamento, se há falhas ou erros que possam influenciar no 
resultado final.
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2.6 APURAÇÃO DOS DADOS
Nesta etapa, os dados obtidos na coleta são tabulados: os dados semelhantes são 
agrupados, de acordo com o tipo de resposta fornecido, por exemplo.
2.7 APRESENTAÇÃO DOS DADOS
Nesta etapa são construídas as tabelas ou gráficos para que se consiga extrair 
informações a respeito dos dados apurados.
2.8 ANÁLISE DOS DADOS
Com base na apresentação dos dados, é nessa fase que podemos tirar conclusões a 
respeito do objetivo da pesquisa. Alguns cálculos matemáticos que estudaremos mais à frente 
auxiliam nesta tarefa.
2.9 INTERPRETAÇÃO DOS DADOS
Feita a análise, a última fase do método corresponde à interpretação dos dados obtidos. 
Nesta etapa podem ser feitas previsões a respeito do comportamento futuro dos dados, ou 
mesmo uma extrapolação de conclusões (se o objetivo inicial era conhecer a durabilidade 
média das lâmpadas fabricadas por uma indústria, ALGUMAS lâmpadas são testadas e, com 
base na durabilidade destas lâmpadas, define-se a durabilidade de TODAS as lâmpadas). É 
importante salientar que qualquer conclusão tirada da interpretação de dados está sujeita a 
certo grau de incerteza.
3 A ESTATÍSTICA COMO ÁREA DE ESTUDOS
Durante certo tempo, a estatística foi considerada uma área de estudos da matemática 
aplicada. Devido à importância da área e as suas características, hoje ela própria é considerada 
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uma área de estudos e existem vários cursos de graduação em Estatística pelo país.
A estatística como área de estudos pode ser dividida em três subáreas:
• Estatística descritiva.
• Probabilidade.
• Inferência estatística.
Em geral, uma pesquisa estatística envolve as três áreas. Vamos definir e entender 
qual é o papel de cada uma delas.
3.1 ESTATÍSTICA DESCRITIVA
A estatística descritiva trabalha com dados observados. Normalmente, ela é utilizada em 
uma primeira etapa da pesquisa, e é responsável por resumir as informações de interesse a 
partir do que foi coletado. Não há espaço para dúvidas na estatística descritiva, ela simplesmente 
apresenta o que é. 
EXEMPLO 1: Um investidor está interessado em saber quanto rendeu determinada ação 
no mercado no último mês. Então ele toma o rendimento da ação em todos os dias do mês em 
questão e, a partir disso, conclui quanto a ação rendeu. Esta informação não dá espaço para 
dúvidas, uma vez que está baseada em fatos. 
EXEMPLO 2: Uma pesquisa de opinião sobre um desodorante ouviu 100 consumidores. 
Várias perguntas foram feitas sobre a embalagem, a fragrância, a textura, o preço e a eficácia 
do produto. Com base nestes dados, chegou-se à conclusão que 30% dos entrevistados 
estava satisfeita com o produto, 10% muito satisfeita, 40% estava indiferente e 20% estava 
insatisfeita. Essas informações foram obtidas pela Estatística Descritiva e só dizem respeito 
aos 100 consumidores consultados.
É a estatística descritiva que iremos estudar neste curso.
3.2 PROBABILIDADE
Segundo Magalhães (2010, p. 2), a “Probabilidade pode ser pensada como a teoria 
matemática utilizada para se estudar a incerteza oriunda de fenômenos aleatórios”, ou seja, 
sobre fenômenos sobre os quais não temos certeza. 
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EXEMPLO 1: A previsão do tempo para a próxima segunda-feira é um fenômeno 
aleatório, pois não temos como prever o tempo. Neste caso, com base em comportamentos 
já conhecidos, estipula-se uma probabilidade de ocorrência de chuva, por exemplo. Mas nada 
garante que vá chover!
EXEMPLO 2: Ao lançarmos um dado correto, não viciado, sabemos que a probabilidade 
de sair um três é de uma em seis, visto que o dado tem seis faces e em apenas uma aparece 
o três. Note que isto não significa que, se lançarmos o dado seis vezes, de fato, apareça o três 
uma única vez. Por outro lado, se lançarmos o dado 6000 vezes, é provável que em torno de 
1000 vezes vá aparecer o três.
A probabilidade é uma área bastante matemática e rica, envolvendo Teoria dos Conjuntos. 
3.3 INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
A inferência estatística é responsável por extrapolar para um conjunto grande de dados 
os valores obtidos para um conjunto muito menor. Ela surge da incapacidade de se trabalhar 
com todos os dados de interesse: neste caso, escolhe-se um subconjunto menor destes dados, 
estuda-se este subconjunto e, através da inferência, obtêm-se conclusões sobre o conjunto inteiro.
EXEMPLO: Voltemos à pesquisa de opinião sobre o desodorante, em que foram 
ouvidos 100 consumidores. Com base nos resultados obtidos, aplicam-se técnicas de inferência 
estatística para prever a opinião de todos os consumidores do desodorante.
 
A figura a seguir relaciona algumas das fases do método estatístico com os três ramos 
mencionados. 
FIGURA 4 – FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO
FONTE: A autora. 
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RESUMO DO TÓPICO 1
Neste tópico, conhecemos um pouco a estatística, mais precisamente, vimos que:
•	 Estatística é o “conjunto de técnicas que permite, de forma sistemática, organizar, descrever, 
analisar e interpretar dados oriundos de estudos ou experimentos, realizados em qualquer 
área do conhecimento”. (MAGALHÃES, 2010, p. 1).
 
•	 As principais fases do método estatístico são: a definição do problema, a delimitação 
do problema, o planejamento, a coleta de dados, a crítica destes dados, a apuração, a 
apresentação, a análise e, por fim, a interpretação dos dados coletados.
•	 A estatística como área de estudos pode ser dividida em três subáreas: estatística descritiva, 
probabilidade e inferência estatística.
•	 As fases de coleta, crítica, apuração, apresentação e análise de dados correspondem à 
estatística descritiva; já a fase de interpretação é associada à probabilidade e a inferência 
estatística.
•	 A interpretação dos dados estatísticos sempre envolve certo grau de incerteza.
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AUT
OAT
IVID
ADE �
Vamos fixar os conteúdos vistos neste tópico, resolvendo alguns exercícios.
Analise as sentenças a seguir e classifique V para as verdadeiras ou F para as falsas.
a) ( ) Quando falamos em pesquisa estatística, estamos nos referindo necessariamente 
à aplicação de questionários para pessoas responderem.
b) ( ) A estatística descritiva é o cálculo de medidas que permite descrever, com detalhes, 
o fenômeno que está sendo analisado (CASTANHEIRA, 2008).
c) ( ) A definição do problema pode ser redefinida após a coleta e apuração dos dados, 
caso as informações obtidas caminhem em outra direção do que a inicialmente 
delimitada.
d) ( ) Sempre que possível, devemos trabalhar com dados primários, isto é, obtidos por 
meio de coleta direta: eles se adequam melhor ao objetivo da pesquisa.
e) ( ) Dados são informações que podem ser coletadas de diversas maneiras diferentes 
como, por exemplo, fichas médicas, registros oficiais, questionários e exames 
laboratoriais.
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POPULAÇÃO E AMOSTRA
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 2
Imagine que uma pequena fábrica de biscoitos mudou a fórmula de seu produto e quer 
fazer uma pesquisa de opinião para saber o que os consumidores acharam da mudança. Para 
isso, é elaborado um questionário a ser aplicado durante certo período. Algumas questões que 
se põem são: de que forma este questionário será aplicado? Como alcançaros consumidores 
do produto? A maneira mais abrangente seria aplicá-lo na saída de todos os pontos de venda 
do biscoito. Desta maneira, todos os consumidores seriam consultados e a empresa saberia 
exatamente o que as pessoas pensaram da mudança. Claramente, esta abordagem seria 
bastante cara e demorada. Muitas pessoas precisariam ser contratadas e treinadas para 
abranger todos os pontos de venda.
Outra possibilidade seria, através de um conjunto de critérios, a empresa escolher alguns 
pontos de venda e, nestes pontos, alguns consumidores. Se a escolha for bem feita, mesmo 
a empresa tendo acesso a algumas opiniões, o resultado final da pesquisa será muito similar 
ao obtido pela primeira maneira, embora o custo envolvido no processo seja muito menor.
O exemplo anterior ilustra a diferença entre os conceitos de população e amostra, que 
veremos detalhadamente a seguir. 
UNIDADE 1
2 POPULAÇÃO X AMOSTRA
No exemplo anterior, vimos duas maneiras de realizar uma mesma pesquisa: a primeira 
abrangeria todos os envolvidos, ou seja, toda a população de consumidores do biscoito. 
A segunda abordagem envolveria apenas uma amostra da população de consumidores. 
Formalmente, “população é uma coleção inteira de objetos ou resultados sobre os quais uma 
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informação é obtida”, enquanto “amostra é um subconjunto de uma população que contém os 
objetos ou resultados que são realmente observados” (NAVIDI, 2012, p. 3). O ato de escolher 
a amostra é chamado de amostragem.
FIGURA 5 – POPULAÇÃO E AMOSTRA
FONTE: A autora.
Note que, apesar de utilizarmos a palavra população, ela não necessariamente se refere 
a pessoas. A população pode ser toda a população de uma cidade, mas também podem ser 
todos os produtos de uma fábrica produzidos em determinado período, todo o sangue de uma 
pessoa, certo tipo de bactérias, as árvores de uma floresta ou a água de um rio.
Em geral, fatores econômicos impossibilitam estudar toda a população (lembra nosso 
exemplo da fábrica de biscoitos?), mas fatores éticos ou um curto prazo de tempo também 
podem ser determinantes. Ainda há casos em que simplesmente não há como trabalhar 
com toda a população de interesse: como analisaríamos todo o sangue de uma pessoa para 
detectar a presença de certa doença? Como coletaríamos toda a água de um rio para analisar 
a quantidade de poluentes? Nestes casos, faz-se necessário trabalhar com amostras.
Agora que a diferença entre amostra e população foi posta, outra pergunta surge: 
como escolher a amostra? Queremos que os resultados obtidos ao trabalharmos com a 
amostra sejam os mesmos que obteríamos se trabalhássemos com a população, e, portanto, 
precisamos garantir que a amostra seja escolhida de forma que replique o comportamento da 
população. Por exemplo, suponhamos que queremos analisar a quantidade de poluentes em 
determinado rio. O censo comum nos diz que, se coletarmos água perto da saída de esgoto de 
uma fábrica será diferente do que se coletarmos água na foz do rio, ou mesmo no delta deste 
rio; numa campanha eleitoral, imagina-se que a intenção de voto dos eleitores que frequentam 
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determinado shopping de luxo será diferente dos eleitores que frequentam a feira municipal. 
Como então escolher os elementos da amostra? 
3 TIPOS DE AMOSTRA
A diferença entre os tipos de população já nos dá uma ideia de que há diferentes tipos 
de amostra. As características da população-alvo, muitas vezes, nos indicarão qual é a melhor 
maneira de obter a amostra, mas outros fatores também podem nos ajudar. Por exemplo, 
suponhamos que estejamos interessados em estudar a população de São Paulo. Sabe-se que a 
zona Sul da cidade é mais populosa do que a Zona Oeste ou mesmo a Zona Norte, assim seria 
sensato levar este fato em consideração ao escolher os elementos que irão compor a amostra.
Vamos a seguir apresentar alguns tipos de amostra e ilustrá-los por meio de exemplos.
3.1 AMOSTRAS ALEATÓRIAS SIMPLES
A amostragem aleatória simples é a mais usada. Formalmente, “uma amostra aleatória 
simples de tamanho n é uma amostra escolhida por algum método no qual cada coleção de n 
itens da população é igualmente provável de compor a amostra, da mesma forma como em uma 
loteria”. (NAVIDI, 2012, p. 3). Assim, cada elemento da população tem a mesma probabilidade 
de estar na amostra. Há várias maneiras de obter uma amostra aleatória simples.
EXEMPLO 1: Em uma cidade com 250.000 habitantes, queremos saber a opinião a 
respeito da administração municipal. Para montar uma amostra aleatória simples de tamanho 
200, vamos considerar a lista telefônica e escolher aleatoriamente 200 nomes.
EXEMPLO 2: Em uma sala de aula de cursinho com 150 alunos, pretende-se saber 
quantos prestarão vestibular para a área das humanas. Para compor uma amostra com 30 
estudantes, escolhe-se o primeiro, conta-se 50 estudantes e toma-se o 51º como segundo 
elemento da amostra; conta-se 50 estudantes a partir deste e toma-se o 51º como terceiro 
elemento da amostra e assim por diante.
EXEMPLO 3: Para testar a durabilidade das lâmpadas fabricadas por uma indústria, 
escolhe-se um dia útil ao acaso e toma-se uma lâmpada de cada máquina em cada hora de 
produção deste dia.
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FIGURA 6 – AMOSTRA ALEATÓRIA SIMPLES
FONTE: A autora.
3.2 AMOSTRAS POR CONVENIÊNCIA
Algumas vezes, não é possível obter uma amostra por um método aleatório bem 
definido e é preciso utilizar uma amostra conveniente. Vamos entender este conceito por meio 
de alguns exemplos.
EXEMPLO 1: Ao se retirar sangue de uma pessoa para detectar a presença de eventual 
vírus, normalmente, coleta-se uma amostra de sangue do braço do paciente. Quando não é 
possível, tenta-se coletar da mão, e assim por diante.
 
EXEMPLO 2: Acaba de chegar um carregamento de tijolos em uma construção e o 
engenheiro quer saber se toda a carga de tijolos está de acordo com a especificação. Ele terá 
bastante dificuldade para acessar os tijolos que estão por baixo das pilhas. Então, escolherá 
alguns do topo das pilhas mais à frente para compor sua amostra.
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FIGURA 7 – AMOSTRAGEM POR CONVENIÊNCIA
FONTE: A autora.
3.3 AMOSTRAS PONDERADAS
As amostras ponderadas levam em conta que certos indivíduos têm maior chance de 
fazerem parte de uma amostra do que outros. 
EXEMPLO 1: Uma revista sobre carros quer saber o que as pessoas levam em conta 
na hora de escolher o carro que irão comprar. Sabe-se que os homens e as mulheres têm 
opiniões distintas, logo a pesquisa deve levar isto em conta na hora do levantamento de dados.
EXEMPLO 2: Uma pesquisa realizada em um parque municipal durante uma semana 
deve levar em conta que alguns indivíduos frequentam o parque diariamente, enquanto outros, 
apenas nos fins de semana. Assim, os frequentadores assíduos têm maior chance de serem 
escolhidos para compor a amostra.
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FIGURA 8 – AMOSTRAGEM PONDERADA
FONTE: A autora.
3.4 AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA
A amostra estratificada implica dividir a população em estratos, isto é, conjuntos menores, 
de modo que, se escolhermos um representante da população, ele está em um conjunto, e 
apenas neste conjunto. Assim, ao invés de trabalhar com a população, trabalhamos com estes 
conjuntos, tomando uma amostra aleatória simples em cada um deles. 
EXEMPLO 1: Uma pesquisa sobre o serviço prestado pela companhia responsável 
pelo recolhimento do lixo de uma cidade deverá levar em conta os habitantes da zona rural e 
da zona urbana. Como a frequência comque o recolhimento do lixo ocorre nestas duas áreas 
pode ser diferente, é aconselhável dividir em dois estratos (zona urbana e zona rural) e estudá-
los de maneira isolada. A opinião geral da população será obtida juntando as informações dos 
dois estratos.
EXEMPLO 2: Suponha que um instituto de pesquisa esteja interessado na intenção 
de voto para Presidente da República do Brasil. Então o instituto considera separadamente 
as cinco regiões do país (Sul, Sudeste, Centro-Oeste, Nordeste e Norte) e, em cada região, 
compõe uma amostra com seus habitantes. Desta forma, além de obter um resultado global, 
pode comparar o comportamento dos votos nas diferentes regiões.
Note que, para que seja composta uma amostra estratificada, é preciso ter um 
conhecimento prévio da população: no exemplo anterior, sabe-se de antemão que o país é 
dividido em cinco regiões diferentes. 
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FIGURA 9 – AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA
FONTE: A autora.
3.5 AMOSTRAGEM POR GRUPOS
A amostragem por grupos ocorre quando a população a ser estudada é muito grande. 
Neste caso, classifica-se a amostra em grupos escolhidos aleatoriamente, e se escolhem 
alguns deles para trabalhar. Na verdade, estes grupos serão estudados cada um como se 
fosse a própria população.
EXEMPLO 1: Geólogos estão interessados em estudar a composição do solo em 
determinada região. Para isso, delimitam uma área escolhida aleatoriamente (grupo da amostra) e, 
nesta área, realizam suas pesquisas. Mais à frente, uma nova área (grupo da amostra) é delimitada. 
EXEMPLO 2: Geneticistas estudam a reação de certo tipo de bactéria a uma nova 
droga. Note que é impossível que eles tenham acesso a toda a população de bactérias! Então, 
selecionam uma cultura de bactérias para servir de amostra.
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FIGURA 10 – AMOSTRAGEM POR GRUPOS
FONTE: A autora.
4 ERROS E TENDENCIOSIDADE
Com base nos tipos e particularidades de cada amostra, você deve ter percebido que 
uma amostra mal escolhida pode acarretar em erros na pesquisa. Por exemplo, se uma pesquisa 
avalia a opinião pública sobre a administração municipal sem levar em conta a distribuição 
demográfica da cidade, ou os diferentes bairros, pode-se chegar a uma conclusão totalmente 
parcial. Mas existem outros tipos de erros que podem ocorrer em uma pesquisa estatística: 
além do erro de amostragem, segundo Silver (2000), podem ocorrer erros de respostas, erros 
de falta de resposta e erros de delineamento. Vamos a seguir caracterizar cada um destes 
tipos de erros.
4.1 ERRO DE AMOSTRAGEM
Conforme vimos anteriormente, muitas vezes, torna-se impossível trabalhar com a 
população inteira para realizar uma pesquisa estatística, optando-se por trabalhar com amostras. 
O erro de amostragem surge quando o tamanho da amostra é muito pequeno em relação ao 
tamanho a população. 
EXEMPLO: Suponhamos que estivéssemos interessados em estudar a frequência com 
que a população de determinado estado consome bebidas alcoólicas. Se perguntarmos para 
duas pessoas se elas consumiram bebida alcoólica na última semana e elas responderem que 
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sim, poderíamos ser levados a concluir que a população inteira teve o mesmo comportamento. 
Se a amostra fosse composta por cinco pessoas, três respondessem não, e duas respondessem 
sim, concluiríamos que a população não consumiu bebida alcoólica na última semana. 
Entretanto, essa conclusão seria correta? Uma amostra de cinco pessoas teria como representar 
a população de um estado inteiro?
Normalmente, quanto maior for a amostra, mais representativa ela é, ou seja, o 
comportamento da amostra fica mais próximo do comportamento da população. Isso não 
significa que ele será igual, mas é possível definir um erro máximo que será cometido: quanto 
maior o tamanho da amostra, menor o erro. Por outro lado, trabalhar com amostras de tamanho 
muito próximo da população também não é interessante, por todos os motivos já descritos. 
Assim, uma tarefa importante é definir o tamanho mínimo da amostra, de maneira a reduzir a 
possibilidade de cometer erros de amostragem.
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Existem várias maneiras de determinar o tamanho ideal da 
amostra, com base no erro máximo que se deseja cometer. Não 
vamos entrar no mérito, mas você pode encontrar uma equação 
para o cálculo deste erro em Silver (2000).
4.2 ERRO DE RESPOSTA
O erro de resposta é a diferença entre a resposta dada e a resposta verdadeira. Este 
erro é comum quando a população da pesquisa é composta por pessoas.
EXEMPLO 1: Uma empresa faz uma pesquisa sobre o desempenho da chefia de um 
setor. Para isso, pergunta aos funcionários subordinados ao setor sua opinião. Como saber 
se a resposta que será dada é de fato a resposta verdadeira? 
EXEMPLO 2: O questionário socioeconômico de uma escola pergunta qual é a renda 
média da família do estudante, em salários mínimos. Muitas famílias podem responder receber 
valores menores aos de fato recebidos para ter acesso a bolsas de estudos, enquanto outras 
podem ficar constrangidas e dão valores superiores aos reais.
Como controlar este tipo de erro?
Há várias maneiras de se verificar a ocorrência destes erros. Uma maneira é fazer a 
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mesma pergunta de maneiras diferentes ao longo do questionário, pegando discrepâncias de 
informação. A maneira de elaborar a pergunta também pode minimizar o risco de informações 
erradas ou imprecisas. Ainda é possível entrevistar mais de uma vez a mesma pessoa, por 
pesquisadores diferentes, com abordagens diferentes.
4.3 ERRO DE FALTA DE RESPOSTA
O erro de falta de resposta surge da negativa do entrevistado em dar sua opinião.
EXEMPLO: Quando os meios de comunicação divulgam os resultados das pesquisas 
de intenção de voto, sempre informam o percentual de pessoas que não quiseram opinar sobre 
o assunto. 
Este tipo de erro é difícil de ser medido, porque muitas vezes, o número de pessoas 
que não quiseram opinar simplesmente não é levado em conta. No caso do exemplo anterior, 
suponha que os entrevistadores tenham tentado coletar a opinião dos entrevistados na rua. 
Muitas pessoas podem simplesmente tê-los ignorado e, neste caso, o entrevistador ter buscado 
outras pessoas para perguntar. Quando os resultados finais forem levados em conta, o número 
de pessoas que não quiseram opinar pode ser pequeno, simplesmente porque parte delas foi 
ignorada na contagem.
4.4 ERRO DE DELINEAMENTO
O erro de delineamento surge quando o grupo que compõe a amostra não representa 
a população. Em outras palavras, o erro de delineamento surge da má escolha do tipo de 
amostra a ser considerada para determinada população. 
EXEMPLO: Uma escola está interessada em saber quantos de seus alunos fumam ou já 
fumaram. Como a escola tem muitos estudantes, é escolhida a sala do primeiro ano do ensino 
médio para representar a escola. Obviamente, o resultado da pesquisa será tendencioso, pois 
prioriza apenas uma faixa etária.
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RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico estudamos as diferenças entre população e amostra. Mais 
precisamente, vimos que:
•	 População é formada pelo conjunto de dados sobre os quais queremos extrair alguma 
informação.
•	 Amostra é uma parte representativa da população.
•	 Amostragem é o ato de compor uma amostra.
•	 Há várias possibilidades de escolher uma amostra, entre elas, a amostragem aleatória 
simples, amostragem ponderada, amostragem estratificada, amostragem por grupo. 
•	 Toda pesquisa estatística está sujeita a alguns erros: erro de amostragem,erro de 
delineamento, erro de resposta e erro de falta de resposta.
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Para testar seus conhecimentos, resolva os exercícios a seguir:
1 Analise as situações a seguir e indique quem compõe a população e, quando for o 
caso, a amostra.
a) A Polícia Rodoviária Federal quer divulgar o total de acidentes com vítimas nas 
rodovias federais no último feriado. Para isso, coleta o número de chamados atendidos 
pelas suas guaritas para este tipo de ocorrência. 
b) Uma fábrica de refrigerantes quer medir a variação na quantidade de líquido em suas 
garrafas de 300 ml. Para isso, coleta uma garrafa de cada caixa produzida em um 
dia de trabalho.
c) O Estado de Santa Catarina quer saber a eficácia da última campanha de vacinação 
contra a paralisia. Para isso realiza uma pesquisa com as mães de crianças que 
procuram o posto de saúde em determinado período.
d) Um administrador quer estudar o rendimento das ações de certa companhia no último 
mês. Para isso, considera os dados de fechamento destas ações no período.
2 Analise as situações a seguir e indique qual é o tipo de amostragem considerado.
a) Astrônomos querem estudar a composição do solo de Marte. Para isso, coletam uma 
amostra do solo por meio da sonda espacial.
b) Professores de um cursinho querem saber quais os cursos que serão mais procurados 
pelos estudantes de terceiro ano do ensino médio de sua cidade. Para isso, sorteiam 
algumas escolas, escolhem uma turma de cada uma destas escolas por turno e para 
realizam um questionário com todos os alunos.
c) Um jornal percebeu uma queda no número de assinantes no último ano. Para verificar 
a causa, considerou a lista de antigos clientes em ordem alfabética e escolheu 
aleatoriamente 50 nomes nesta lista, e realizou ligações telefônicas perguntando o 
motivo da não renovação da assinatura.
d) Uma academia de ginástica quer oferecer uma nova modalidade de atividade de 
física, mas não sabe bem ao certo qual. Então, escolheu aleatoriamente alguns de 
seus clientes. Como 70% dos frequentadores são mulheres, levou esta proporção 
em consideração na hora de compor sua amostra.
e) O governo quer saber qual é a renda per capita média da população brasileira 
para saber em quais setores deve oferecer subsídios. Como suspeita de que há 
diferenças consideráveis em relação aonde a população mora, resolve tomar amostras 
contemplando todos os estados, e levando este fato em consideração.
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3 Analise e indique a que tipo de erro as situações a seguir estão propensas.
a) Uma montadora de automóveis quer saber quais são os itens, que não são de série, 
mais valorizados na hora da compra. Para isso, escolhe os clientes que adquiram seus 
automóveis nos meses de maio e junho e realiza via telefone um questionário.
b) A mesma montadora quer saber o nível de satisfação dos clientes com o pós venda 
de suas lojas. Para isso, seleciona clientes que vêm às concessionárias para a revisão 
do veículo durante um ano e aplica um questionário.
c) Um laboratório quer testar uma nova vacina em animais. Para isso considera uma 
amostra de 16 ratos doentes, aplica a vacina contendo o medicamento em metade 
deles, aplica uma solução de soro fisiológico na outra metade e observa a evolução 
da doença.
d) Uma rede de supermercado quer dimensionar o nível de satisfação dos clientes que 
fazem uso do serviço de entrega oferecido pela rede. Para isso, escolhe no seu cadastro 
30 clientes e realiza um questionário por telefone.
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VARIÁVEIS ESTATÍSTICAS
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 3
Quando queremos extrair certas informações por meio de uma pesquisa estatística, 
elaboramos perguntas que podem nos fornecer dados a respeito destas informações. A estes 
dados de interesse, damos o nome de variáveis. Assim, variáveis são as características que 
queremos observar ou medir em cada pesquisa (MAGALHÃES, 2010). 
EXEMPLO: Uma empresa está interessada em pesquisar a aceitação dos consumidores 
em relação a um novo tipo de biscoito. As variáveis desta pesquisa podem ser sabor, textura, 
aparência, apresentação, preço, facilidade em encontrar etc. 
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Note a diferença entre os conceitos de variáveis e dados. 
Enquanto variáveis são as características que queremos observar, 
os dados são as respostas para estas informações.
As variáveis a serem estudadas precisam ser pertinentes, estarem relacionadas com 
o fenômeno que queremos investigar. Assim, dependendo da natureza da variável, os dados 
obtidos em uma pesquisa podem ser numéricos ou não. Essas diferenças entre a natureza das 
variáveis é importante, pois ela vai nos dizer a maneira mais eficiente de tratá-las e apresentá-
las. Assim, é importante conhecermos os diferentes tipos de variáveis que podemos nos deparar.
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2 TIPOS DE VARIÁVEIS
Suponhamos que a prefeitura de uma cidade queira conhecer o perfil dos frequentadores 
de um parque municipal. Para isso, elabora um questionário extenso, que pergunta, entre outras 
questões, o gênero e a idade do entrevistado. Para gênero, é esperada uma resposta do tipo 
feminino ou masculino; já para idade, espera-se como resposta um número inteiro, entre 12 e 90 
anos. Dependendo da natureza da variável, ela é classificada como qualitativa ou como quantitativa. 
Vamos a seguir trabalhar um pouco esses conceitos e estabelecer as diferenças entre eles.
2.1 VARIÁVEIS QUALITATIVAS
Dizemos que uma variável é qualitativa quando diz respeito a uma qualidade, e 
geralmente resultam de uma classificação. 
EXEMPLO 1: O gênero informado na pesquisa sobre os frequentadores do parque é uma 
variável qualitativa, pois cada entrevistado será classificado como “masculino” ou “feminino”.
EXEMPLO 2: Uma empresa quer ajudar a custear um curso de capacitação para os 
seus funcionários, mas primeiro, para estudar a viabilidade do projeto, precisa estabelecer 
o nível de escolaridade predominante entre os trabalhadores. Assim, os funcionários serão 
classificados como possuindo nível fundamental de escolaridade, médio ou superior. Outra 
maneira de avaliar poderia ser considerada: a empresa poderia simplesmente separá-los entre 
aptos a fazerem o curso e não aptos. Ambas as variáveis propostas são variáveis qualitativas.
Note que, mesmo entre as variáveis qualitativas, há diferenças. Por exemplo, entre 
aptos e não aptos, não há uma ordem, assim como quando a pergunta é o gênero. Já quando 
a questão é a escolaridade, há uma ordem intrínseca: se o candidato tem nível médio de 
escolarização, ele também tem o fundamental; se o funcionário tem nível superior, ele também 
tem o fundamental e o médio. Assim, existem dois tipos de variáveis qualitativas:
a. Variável qualitativa nominal: quando não há uma ordem na classificação.
b. Variável quantitativa ordinal: quando há ordem envolvida, há uma classificação.
EXEMPLOS: Cor dos olhos, raça, gênero, preferência entre gêneros de filmes são 
exemplos de variáveis qualitativas nominais. Nível de escolaridade, classificação em uma 
prova, ordem de chegada em uma corrida, conceito em uma prova (A, B, C) são exemplos de 
variáveis qualitativas ordinais.
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ÇÃO!
Ordenar é diferente de codificar! Assim, se a variável gênero 
aceita 1 para feminino e 2 para masculino, embora os dados 
sejam numéricos, a variável continua sendo qualitativa.
2.2 VARIÁVEIS QUANTITATIVAS
As variáveis quantitativasresultam de uma contagem ou mensuração. São exemplos 
desse tipo de variável peso, altura, idade, tamanho, preço entre outros. Assim como no caso 
das quantitativas, elas também podem ser classificadas em dois grupos distintos: as variáveis 
quantitativas contínuas e as variáveis quantitativas discretas.
a. Variável qualitativa contínua: quando qualquer valor dentro de um intervalo numérico é 
esperado.
b. Variável quantitativa discreta: apenas valores fixos são esperados como resposta, valores 
provenientes de uma contagem.
Vamos entender melhor a diferença entre esses dois conceitos por meio de um exemplo.
EXEMPLO: Suponhamos que uma assistente social esteja interessada no perfil das 
grávidas que procuram o posto de saúde de uma comunidade. Entre as variáveis de interesse 
estão idade, peso adquirido nos primeiros meses de gestação e renda familiar em salários 
mínimos, todas variáveis quantitativas. Para ter acesso a estas informações, a assistente social 
utiliza as fichas cadastrais e médicas das gestantes existentes no posto. Obviamente, ela não 
espera que, em relação à idade, alguém tenha informado que possui 20,3 anos: é esperado 
que as respostas sejam números inteiros, 20, 21, 31 40 anos. Já em relação ao peso, se a 
assistente utilizar as fichas médicas das pacientes para obter essa informação, encontrará 
valores dos mais diversos: 4,2 kg, 1 kg, 3,72 kg. Assim, a idade caracteriza uma variável 
quantitativa discreta, enquanto o peso é uma variável quantitativa contínua. E a renda familiar? 
Aí depende como ela se apresenta (por quê?).
Esse exemplo ilustra uma importante característica das variáveis: a classificação 
depende da maneira como os dados são coletados. Uma variável quantitativa pode ser discreta 
sob uma perspectiva e contínua sobre a outra.
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A classificação das variáveis não é estática. Às vezes, uma 
variável contínua pode ser tratada como discreta, dependendo da 
particularidade da pesquisa. Por exemplo, a variável ‘peso’, em uma 
determinada pesquisa, pode ser tratada como variável discreta.
3 ARREDONDAMENTO
Aproveitaremos este tópico, em que apresentamos o conceito de variáveis para 
tratar de um importante item: o arredondamento numérico. É preciso tomar certos cuidados 
ao se trabalhar com variáveis quantitativas contínuas, pois frequentemente, precisamos 
definir com quantas casas decimais iremos trabalhar, uma vez que este tipo de variável pode 
assumir qualquer valor numérico. Essa decisão precisa ser tomada para que os dados fiquem 
organizados e padronizados, garantindo assim melhor apresentação. Vamos entender como 
proceder através de um exemplo. 
Suponhamos que em uma relação de dados relativos à determinada variável, apareceram 
os seguintes valores:
5,21 4,13 5,124 2,12 3,156 4,02 
2,1 3,92 2,95 2,65 4,21 5
4,21 2,155 3,04 2,125 4,08 5,02
Note que a maioria dos números possui duas casas decimais após a vírgula. Para 
padronizar os dados, vamos considerar então todos os números desta forma, com dois 
algarismos depois da vírgula. Os números que possuem menos de dois algarismos facilmente 
se enquadram neste novo formato: basta acrescentar zeros. Assim, 2,1 torna-se 2,10 e 5 torna-
se 5,00. A questão que se põe agora é com o proceder com os números que possuem mais 
de dois algarismos depois da vírgula.
Comecemos pelo número 5,124. Como vamos arredondá-lo para duas casas decimais, 
temos duas possibilidades: arredondá-lo para 5,12 ou para 5,13. Como 5,124 está mais próximo 
de 5,12 que de 5,13, iremos arredondá-lo para 5,12.
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FIGURA 11 – REGRAS DE ARREDONDAMENTO – RETA NUMÉRICA
FONTE: A autora.
Analisando agora o número 3,156, percebemos que ele está mais próximo de 3,16 do 
que de 3,15 e, portanto, vamos arredondá-lo para 3,16.
FIGURA 12 – RÉGUA NUMÉRICA – REGRAS DE ARREDONDAMENTO
FONTE: A autora.
Vamos agora analisar os dois números restantes: 2,155 e 2,125. A técnica que utilizamos 
acima não nos ajudará nestes casos, pois ambos os números estão a uma mesma distância 
de seus antecessores e sucessores, respectivamente.
FIGURA 13 – RÉGUAS NUMÉRICAS – REGRAS DE ARREDONDAMENTO
FONTE: A autora.
Aqui entram as regras estabelecidas pela Associação Brasileira de Normas Técnicas – 
ABNT (NBR 5891 de 1977). Para arredondar números nesta situação, olhamos o algarismo que 
iremos arredondar: se ele for par, deixamos tudo como está, mas se ele for ímpar, acrescentamos 
uma unidade. Voltando ao exemplo:
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FIGURA 14 – REGRAS DE ARREDONDAMENTO SEGUNDO A ABNT
FONTE: A autora.
No exemplo anterior, arredondamos os números em duas casas decimais depois da 
vírgula. Consideremos alguns exemplos com uma quantidade diferente de casas decimais 
significativas para assimilar melhor as regras propostas.
EXEMPLO 1: Vamos arredondar os números a seguir em três casas decimais depois 
da vírgula: 2,1 10 13456 9,1852 4,1935 12,0005
•	 2,1 torna-se 2,100.
•	 10,13456 está entre 10,134 e 10,135; como o número 10,13456 está mais próximo de 10,135 
do que de 10,134, 10,13456 torna-se 10,135.
•	 9,1852 está entre 9,185 e 9,186; como está mais próximo de 9,185 do que de 9,186, 9,1852 
torna-se 9,185.
•	 4,1935 está no meio do caminho entre 4,193 e 4,194. Como 3 é ímpar, pelas regras da 
ABNT, 4,1935 torna-se 4,194.
•	 12,0005 está no meio do caminho entre 12,000 e 12,001. Como 0 é par, pelas regras da 
ABNT, 12,0005 torna-se 12,000.
EXEMPLO 2: Vamos arredondar os números a seguir em uma casa decimal depois da 
vírgula: 4,5 4 4,32 4,36 4, 25 4,35
•	 4,5 continua 4,5.
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•	 4 tornam-se 4,0 – acrescentamos 1 zero ao número.
•	 4,32 tornam-se 4,3 – o número 4,32 está mais próximo de 4,3 do que de 4,4.
•	 4,36 tornam-se 4,4 – o número 4,36 está mais próximo de 4,4 do que de 4,3.
•	 4,25 tornam-se 4,2 – o número 4,25 está à mesma distância de 4,2 e de 4,3; como o algarismo 
2 é par, pelas regras ABNT, 4,25 tornam-se 4,2.
•	 4,35 tornam-se 4,4 – o número 4,35 está à mesma distância de 4,3 e de 4,4; como o algarismo 
3 é ímpar, pelas regras ABNT, 4,35 tornam-se 4,4.
EXEMPLO 3: Vamos arredondar os números a seguir para um número inteiro: 5 
52 5,01 5,58 5,5 6,5
•	 5 continua 5. 
•	 52 continua 52.
•	 5,01 tornam-se 5 – o número 5,01 está mais próximo de 5 do que de 6.
•	 5,58 tornam-se 6 – o número 5,58 está mais próximo de 6 do que de 5.
•	 5,5 tornam-se 6 – o número 5,5 está à mesma distância de 5 e de 6; como 5 é ímpar, 5,5 
tornam-se 6.
•	 6,5 tornam-se 6 – o número 6,5 está à mesma distância de 6 e de 7; como 6 é par, 6,5 
tornam-se 6.
UNI
Se você tiver dúvidas, trace a reta real como foi feito anteriormente 
para auxiliá-lo a decidir como fazer o arredondamento.
Note que fizemos questão de salientar diversas vezes no decorrer do texto que estas 
regras de arredondamento são as estabelecidas pela ABNT. Tomamos este cuidado, porque 
existem outros critérios de arredondamento que variam de acordo com o instituto de pesquisa. 
O IBGE, por exemplo, adota outras medidas em seus estudos (IBGE, 1977). Há uma ampla 
discussão sobre esse assunto, e se você quiser saber mais detalhes, recomendamos o artigo 
de Araújo Filho, que consta nas referências bibliográficas.
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RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico, estudamos as variáveis estatísticas e como elas se relacionam com os 
dados estatísticos. Mais precisamente, vimos que:
•	 Enquanto dados são valores numéricos ou não associados a uma pesquisa estatística,chamamos de variáveis aos dados de interesse.
•	 As variáveis podem ser classificadas em variáveis qualitativas (quando envolvem uma 
qualidade ou classificação) e variáveis quantitativas (variáveis numéricas).
•	 Variáveis qualitativas ordinais são as variáveis onde há uma classificação envolvendo uma 
ordem.
•	 Variáveis qualitativas nominais são as variáveis onde há uma classificação ou qualidade 
sem envolver ordem.
•	 Variáveis quantitativas contínuas são as variáveis numéricas que podem assumir qualquer 
valor dentro de um intervalo.
•	 Variáveis quantitativas discretas são variáveis numéricas que podem assumir apenas alguns 
números pré-estabelecidos.
•	 Quando precisamos arredondar um dado numérico, observamos sua posição na reta 
numérica. 
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Para testar seus conhecimentos, resolva os exercícios a seguir:
1 Classifique as variáveis a seguir como variáveis qualitativas (nominais ou ordinais) 
ou quantitativas (discretas ou contínuas), lembrando que esta classificação depende 
do contexto do problema.
a) Em uma pesquisa, pede-se para o entrevistado escrever o algarismo 1 em um campo 
caso seja do sexo masculino e 2 caso seja do sexo feminino.
b) Um laboratório está testando um novo material para sacolas plásticas biodegradáveis, 
e está medindo a quantidade de tempo que ele leva para se desintegrar completamente 
no meio ambiente. 
c) Após inúmeras denúncias, a fiscalização municipal está medindo o tempo médio de 
espera entre um ônibus e outro de determinada linha. 
d) Uma pesquisa sobre saúde pública pergunta se a pessoa é fumante ou não e, se for, 
quantos cigarros fuma por dia. 
e) O PROCON está de olho na alta de preços do material escolar. Para isso, está 
fazendo uma pesquisa na cidade, comparando os preços de lápis, caneta, borracha 
e cadernos nos estabelecimentos comerciais de uma cidade. 
f) A organização de uma maratona quer medir a quantidade de peso perdida pelos 
atletas no decorrer da prova. Para isso, realiza uma medição no início e no fim da 
prova, e classifica a perda de peso como leve, moderada ou forte ao final. 
g) Uma loja de departamento quer saber o grau de satisfação dos seus clientes com o 
atendimento recebido. Para isso estabelece um critério de satisfação, que varia de 
1 a 5, sendo 1 totalmente insatisfeito e 5 totalmente satisfeito.
2 Arredonde os números a seguir para duas casas decimais depois da vírgula, segundo 
as regras estabelecidas pela ABNT:
a) 203,1
b) 444,444
c) 592,55
d) 5,456
e) 78,885
f) 85,1150
g) 101,144
h) 54,165
i) 45,1651
j) 56
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3 Repita o exercício anterior, considerando 3 casas decimais depois da vírgula:
a) 0,0000002
b) 10,000009
c) 10000
d) 103,3465
e) 45,5555
f) 45,555
g) 45,55555
h) 12,5551
i) 13,3091
j) 14,0009
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SÉRIES ESTATÍSTICAS
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 4
No Tópico 1 deste Caderno de Estudos, vimos que a coleta, crítica, apuração e 
apresentação dos dados faziam parte do método estatístico. Uma vez coletados e criticados, 
era na apuração que os dados eram tabulados, de acordo com suas similaridades. Na verdade 
é na apuração que separamos os dados de acordo com a variável a que dizem respeito. A 
partir desta classificação é feita a apresentação destes dados, por meio de tabelas ou gráficos.
Neste tópico, começaremos a discutir as formas de apresentação dos dados, mais 
precisamente, a apresentação de dados por meio de tabelas estatísticas. Mas o que é uma 
tabela estatística?
De acordo com Oliveira (2010, p. 13), as tabelas estatísticas, ou séries estatísticas, 
“podem ser definidas como conjuntos de dados estatísticos, associados a um fenômeno, 
dispostos numa ordem de classificação”. Essa classificação deve levar em conta o fenômeno 
descrito (variável), onde ele foi observado e a época a que ele se refere. São as possíveis 
combinações entre estas classificações que possibilitam dividir as tabelas estatísticas em três 
tipos: tabelas estatísticas simples, tabelas de dupla entrada ou tabelas de frequências. Neste 
tópico trataremos dos dois primeiros tipos de tabela: as tabelas de frequência e os gráficos 
serão assunto na Unidade 2. 
UNIDADE 1
2 SÉRIES ESTATÍSTICAS SIMPLES
As séries estatísticas simples são aquelas compostas por apenas duas colunas: uma 
destinada às categorias possíveis da variável, e a outra, aos dados propriamente ditos. De 
acordo com a variável abordada podem ser classificadas como séries históricas, geográficas 
ou específicas. Vamos tratar de cada uma delas a seguir.
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2.1 SÉRIES HISTÓRICAS OU TEMPORAIS
Como o próprio nome sugere são aquelas onde a variável apresentada é o tempo, 
enquanto o local e o fato observado permanecem fixos. Vamos dar alguns exemplos:
TABELA 1 – EXEMPLO DE SÉRIE HISTÓRICA
MATRÍCULAS NO ENSINO FUNDAMENTAL NA 
ESCOLA X – 2010-2013
Ano Número de matrículas
2010 654
2011 691
2012 703
2013 761
FONTE: A autora.
TABELA 2 – SEGUNDO EXEMPLO DE SÉRIE HISTÓRICA
EXTENSÃO DA REDE RODOVIÁRIA BRASILEIRA 
PAVIMENTADA – 1987-1992
Ano Extensão (km)
1987 128.206
1988 133.623
1989 136.647
1990 139.353
1991 139.415
1992 143.247
FONTE: Oliveira (2010)
2.2 SÉRIES GEOGRÁFICAS OU TERRITORIAIS
As séries geográficas são aquelas em que a variável é o local onde o fenômeno é 
observado, enquanto o tempo e o fato observado permanecem fixos. 
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TABELA 1 – EXEMPLO DE SÉRIE HISTÓRICA
TABELA 2 – SEGUNDO EXEMPLO DE SÉRIE HISTÓRICA
TABELA 3 – PRIMEIRO EXEMPLO DE SÉRIE GEOGRÁFICA
PESSOAS COM MAIS DE 15 ANOS EM ESTADOS 
PRÉ-SELECIONADOS – 2008
Ano Número de pessoas
Amazonas 2.279.811
Paraíba 2.823.492
São Paulo 31.825.460
Rio Grande do Sul 8.397.355
Mato Grosso 2.266.442
Distrito Federal 1.931.019
FONTE: IBGE (1993)
2.3 SÉRIES ESPECÍFICAS OU CATEGÓRICAS
As séries geográficas são aquelas em que a variável é o fato observado, enquanto o 
tempo e o local onde o fenômeno é observado permanecem fixos.
TABELA 4 – EXEMPLO DE SÉRIE ESPECÍFICA
EXTENSÃO DA MALHA RODOVIÁRIA BRASILEIRA POR 
ÓRGÃO DE ADMINISTRAÇÃO – 2013
Órgão Extensão (km)
Municipal 175.822,19
Estadual 22.101,62
Federal 1.055,82
FONTE: DER. Disponível em: <http://www.der.sp.gov.br/website/Malha/malha_
extensao.aspx>. Acesso em: 30 jan. 2014.
3 SÉRIES DE DUPLA ENTRADA OU SÉRIES MISTAS
Às vezes é interessante levar em conta mais de uma variável na tabela: neste caso, 
temos as séries de dupla entrada. 
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TABELA 5 – EXEMPLO DE TABELA DE DUPLA ENTRADA
TAXA DE MORTALIDADE INFANTIL, SEGUNDO AS GRANDES REGIÕES DO BRASIL – 1970-1990
Ano
Taxa de mortalidade infantil (%)
Brasil Norte Nordeste Sudeste Sul
C e n t r o -
Oeste
1970 115,0 104,3 146,4 96,2 81,9 89,7
1975 100,0 94,0 128,0 86,0 72,0 77,0
1980 82,8 79,4 117,6 57,0 58,9 69,6
1985 62,9 60,8 93,6 42,6 39,5 47,1
1990 48,3 44,6 74,3 33,6 27,4 31,2
FONTE: IBGE. Disponível em: <http://www.ibge.gov.br/home/estatistica/populacao/evolucao_
perspectivas_mortalidade/evolucao_mortalidade.pdf>. Acesso em: 30 jan. 2014.
4 CONSTRUÇÃO DE TABELAS
Você deve ter notado que as séries estatísticas obedecem a um padrão de construção. 
Toda a tabela estatística deve ser composta por alguns elementos, que iremos mencionar a seguir.
4.1 TÍTULO
Toda tabela deve conter um título sucinto na primeira linha, explicando do que trata a 
variável, a data e o ano da pesquisa.
4.2 CABEÇALHO
O cabeçalhoé a parte superior da tabela e nos diz o que a coluna indicadora e o corpo 
da tabela contêm.
4.3 COLUNA INDICADORA
A coluna indicadora corresponde à primeira coluna, onde é especificado o conteúdo 
das linhas da tabela.
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4.4 CORPO
O corpo da tabela é o “conjunto de linhas e colunas que contém as informações sobre 
a variável em estudo”. (CRESPO, 2008, p. 17). Ela é composta por linhas, colunas e células 
ou casas.
4.5 TRAÇO
Segundo Oliveira (2010, p. 20), “o traço é o que delimita o cabeçalho, as linhas e as 
colunas de uma tabela”.
4.6 FONTE, NOTAS E CHAMADA
A fonte, as notas e as chamadas são informações que se localizam logo abaixo do corpo 
da tabela. A fonte é a indicação das entidades responsáveis pelo fornecimento ou elaboração 
das informações contidas na tabela, e deve estar imediatamente abaixo do corpo da tabela. 
As notas são informações adicionais gerais que foram julgadas importantes para esclarecer 
fatos ou descrever a metodologia adotada na coleta dos dados e, caso apareçam, devem estar 
imediatamente abaixo da fonte. Por fim, chamadas referem-se a informações específicas sobre 
determinada parte da tabela e, caso apareçam, devem estar abaixo das notas.
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FIGURA 15 – ELEMENTOS DA TABELA ESTATÍSTICA
FONTE: Adaptado de: Oliveira (2010, p. 21).
UNI
Se você quiser saber mais sobre as regras de tabulação, indicamos 
o livro Estatística: uma nova abordagem, de Oliveira presente em 
nossas referências.
Na Unidade 2 daremos continuidade ao estudo relativo à apresentação de dados, 
trabalhando com as tabelas de distribuição de frequência e gráficos estatísticos.
UNI
Existem muitos livros que tratam da 
utilização da estatística no dia a dia e da 
importância em interpretar as informações 
da melhor maneira possível. Um livro que 
faz a ponte entre a estatística e o cálculo 
de risco é o livro Desafio aos Deuses, de 
Peter L. Bernstein. Fica a dica de leitura!
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O texto a seguir fala da necessidade de termos cuidado ao interpretar informações 
estatísticas a que temos acesso diariamente. Você já deve ter percebido, ao longo deste capítulo, 
tabelas envolvendo porcentagens, onde a soma de todas elas está acima de 100%, ou mesmo 
onde uma das porcentagens é 100%. Como exemplo, citamos a Tabela 5 denominada Exemplo 
de Tabela de Dupla Entrada, que tratava do índice de mortalidade. Se o índice, em 1975 era de 
100%, como existem pessoas que nasceram no Brasil naquele ano? Será que o IBGE errou a 
respeito dos dados? Leia o texto a seguir e tire suas próprias conclusões a respeito.
LEITURA COMPLEMENTAR
Especialistas ensinam como interpretar as estatísticas de saúde
Roberta Jansesn
RIO – Digite a palavra câncer no Google News – a ferramenta de busca de notícias 
do site – e, em menos de um segundo, você obterá nada menos que 38.212 resultados. São 
reportagens sobre a doença escritas nos mais diferentes países do mundo. Baseadas na 
crescente produção científica mundial, as informações chegam com cada vez mais frequência 
aos leigos. Alguns estudos são reconfortantes; outros, esperançosos. Muitos são educativos, 
divulgam informações importantes sobre prevenção e tratamentos. Mas alguns podem ser 
muito alarmistas e gerar confusão. Principalmente aqueles baseados em números, estatísticas 
e percentuais de risco.
“A incidência de câncer de bexiga entre pessoas com menos de 30 anos aumentou 
120% nos últimos dez anos”, sustenta uma manchete do tabloide britânico “Daily Mail”. Ou, no 
mesmo jornal, “Mulheres que usam talco todo dia têm o risco de desenvolver câncer de ovário 
em 40%”. O levantamento das notícias foi feito por Marianne Freiberger e Rachel Thomas, 
editoras da revista on-line de matemática Plus (plus.maths.org), da Universidade de Cambridge, 
que escreveram um artigo sobre o tema para a “Newscientist”.
Números, argumentam as especialistas, em geral, agradam às pessoas. “Eles falam de 
fatos e certezas e da marcha da ciência. Se conseguimos colocar um número em um problema, 
sua extensão é conhecida e seu impacto pode ser circunscrito”, escrevem. No entanto, as 
sólidas certezas que costumam emanar dos números são, com frequência, ilusórias. Estatísticas, 
como se sabe, podem ser facilmente manipuladas. Na maioria das vezes, com boas intenções, 
como dar mais ênfase a um determinado tópico ou chamar atenção a um problema grave. 
Outras vezes, podem cair na mão de pessoas inescrupulosas ou, simplesmente, serem mal 
interpretadas.
25 em 100 ou 250 em mil?
Na área da saúde, segundo Freiberger e Thomas, isso ocorre com mais frequência do 
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que em outras áreas. E a explicação é simples: não é tão fácil assim, por exemplo, determinar 
os riscos ambientais a que uma pessoa está submetida. Saber exatamente que fatores podem 
deflagrar o desenvolvimento de um tipo específico de tumor. Determinar como exatamente 
uma substância age na prevenção. E mais: pessoas reagem de forma diferente aos mesmos 
agentes. Resumindo, a saúde está longe de ser uma ciência exata. As especialistas destacaram 
alguns exemplos.
“O que te deixaria mais alarmado? Ler que o câncer mata 25 em 100 pessoas ou 250 
em mil?” É a mesma coisa, lógico. Mas não exatamente. O cérebro humano registra com mais 
facilidade números maiores, números redondos: 250 tenderá sempre aparecer mais grave do 
que 25, como explica a gerente da Divisão de Informação em Câncer e Análise da Situação 
do Instituto Nacional do Câncer (Inca), Marise Rebelo, responsável pela elaboração de dados 
sobre a doença.
– É possível criar um impacto maior ou menor, dependendo da magnitude do número 
que se usa – explica Marise. – Se quero causar um impacto grande, vou optar pelo número 
maior. O que fica para o leitor ou o telespectador é o número que está no denominador.
Não se trata, necessariamente, de sensacionalismo.
– Veja, tive o cuidado de não usar este termo – afirma a especialista brasileira. – Depende 
do veículo. Numa revista, a pessoa abre, lê, volta ao início, lê novamente. Na televisão, não 
tem isso: a coisa é dita uma única vez. Se quisermos criar um impacto, é preciso saber que 
número usar. Por exemplo, é melhor dizer que o atendimento nas Upas caiu pela metade ou 
em 50% do que dizer que foi reduzido de 20 para 10, não? A mensagem é mais direta.
Mas a mesma estratégia pode ser usada com má fé. É o caso, por exemplo, do shampoo 
que exibe na embalagem a frase: 80% das mulheres que testaram o produto disseram que 
seus cabelos ficaram mais macios e brilhantes. Essas alegações são comuns na propaganda, 
mas algumas vezes podem esconder o fato de que apenas quatro pessoas fizeram o teste, 
por exemplo.
O risco aumenta em 20% e é de 6%
“Comer bacon todos os dias aumenta em 20% o risco de se desenvolver câncer de 
bexiga”, aponta um grande estudo realizado no Reino Unido, financiado pelo Fundo de Pesquisa 
de Câncer. Não se trata de questionar a veracidade do estudo, feito por cientistas sérios e 
organizações de peso. Os números, muito provavelmente, estão corretos. 
Os números, atenção, mostram o quanto o risco de alguém desenvolver um determinado 
tipo de câncer aumentaria em função da adoção de um hábito alimentar específico. Vale lembrar 
que o risco de alguém, na população em geral, sofrer de câncer de bexiga é de 5%. Portanto, 
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um “aumento de 20% no risco” significa que o risco absoluto de se ter a doença passa para 6% 
entre os fãs de bacon. Não que isso seja desprezível em se tratandode uma doença grave.
– O risco de adoecer por câncer é baixo, são de 2 a 3 novos casos a cada mil habitantes 
por ano – explica o coordenador de Ações Estratégicas do Inca, Cláudio Noronha, responsável 
por campanhas de prevenção e educação. – Mas isso é uma média, que vai aumentando com 
a idade e varia de acordo com os fatores de risco. A gente sabe que o tabagismo responde 
por um terço dos casos; que alimentação e atividade física representam outro terço. Então, 
usar o número maior é uma forma de chamar atenção para alguns alimentos que, já se sabe, 
são maléficos, que podem acarretar danos se houver um consumo regular e sistemático. Essa 
é uma forma de fazer com que as pessoas tenham consciência, modifiquem seus hábitos e, 
dessa forma, prolonguem a fase saudável de sua vida, adiem o adoecimento.
A televisão que pode matar
Um estudo publicado na “Circulation” revelou que pessoas que passam mais de quatro 
horas por dia em frente à televisão têm um risco de morrer 46% mais elevado do que o daqueles 
que ficam menos de duas horas. Segundo especialistas, a relação pode se revelar capciosa. 
No máximo, pode indicar que hábitos de vida sedentários podem contribuir para problemas de 
saúde. Ou ainda: pessoas com a saúde mais frágil, com algum problema prévio, tenderiam a 
ficar mais tempo deitadas ou sentadas. E assistirem mais à TV. Ou seja, não há uma relação 
intrínseca direta entre a televisão e a morte de alguém. E a contextualização é importante para 
se interpretar qualquer estatística.
– O contexto é importante em qualquer estatística, não dá para soltar números 
isoladamente – explica Marise. – Se eu disser que o risco de o teto da sua casa cair é de 2%, 
você vai ficar em casa? Mas se eu disser que o risco de a cadeira em que você está sentada 
quebrar é de 20%, você vai deixar de usá-la imediatamente? Então, tudo depende muito do 
que está em jogo. Números sozinhos não dizem nada, é preciso conversar para entender o 
que significam.
FONTE: Disponível em: <http://extra.globo.com/noticias/saude-e-ciencia/especialistas-ensinam-como-
interpretar-as-estatisticas-de-saude-1109723.html#ixzz2rz6uwkwl>. Acesso em: 31 jan. 2014.
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RESUMO DO TÓPICO 4
Neste tópico estudamos as séries estatísticas simples, de dupla entrada e os 
componentes de uma tabela. Mais especificamente, vimos que:
•	 Tabelas estatísticas, ou séries estatísticas são conjuntos de dados estatísticos, associados a 
um fenômeno, dispostos numa ordem de classificação que deve levar em conta o fenômeno 
descrito (variável), onde ele foi observado e a época a que se refere.
•	 Séries estatísticas simples são aquelas compostas por apenas duas colunas: uma destinada 
às categorias possíveis da variável, e a outra, aos dados propriamente ditos.
•	 Séries históricas são séries estatísticas simples onde a variável apresentada é o tempo, 
enquanto o local e o fato observado permanecem fixos.
•	 Séries geográficas são séries estatísticas simples onde a variável apresentada é o local 
onde o fenômeno é observado, enquanto o tempo e o fato observado permanecem fixos.
•	 Séries geográficas são aquelas em que a variável é o fato observado, enquanto o tempo e 
o local onde o fenômeno é observado permanecem fixos.
•	 As séries de dupla entrada surgem quando é interessante levar em conta mais de uma 
variável na tabela.
•	 Uma tabela deve conter título, cabeçalho, coluna indicadora, corpo, traço, fonte e pode conter 
notas e chamadas.
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Agora vamos fixar o conteúdo que estudamos neste tópico por meio de alguns 
exercícios.
1 Classifique as séries estatísticas a seguir como: série numérica, série territorial, série 
categórica ou série mista.
a) NÚMERO DE CONCESSIONÁRIAS COM TRÁFEGO PEDAGIADO 
POR PROGRAMA – 2013
Programa Número de concessionárias
Federal 14
São Paulo 19
Paraná 6
Rio Grande do Sul 7
Pernambuco/Bahia/Espirito Santo/
Minas Gerais/Rio de Janeiro
8
FONTE: ABCR
b) ESTADO GERAL DAS RODOVIAS – EXTENSÃO PÚBLICA – 2010-2013
Ano
Estado Geral
Ótimo Bom Regular Ruim Péssimo
2010 7,10% 25,30% 37,60% 20,50% 9,50%
2011 5,60% 28,20% 34,20% 21,50% 10,50%
2012 3,20% 24,60% 37,60% 23,80% 10,80%
2013 2,70% 24,00% 38,40% 25,30% 9,60%
FONTE: ABCR
Nota: Pesquisa CNT de Rodovias 2010/2011-2012-2013
c)
ÍNDICE DO CUSTO DE VIDA – SEGUNDO SEMESTRE 2003
Mês Índice (%)
Julho 0,35
Agosto -0,15
Setembro 1,26
Outubro 0,47
Novembro 0,26
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Dezembro 0,32
FONTE: Portal Brasil
Nota: Base de dados Portal Brasil e Fundação Getúlio Vargas
d) NÍVEL DE SATISFAÇÃO COM O GOVERNO 
– 2001
Categoria Nível (%)
Péssimo 8,10
Ruim 19,20
Regular 32,40
Bom 22,30
Muito Bom 6,60
Não souberam opinar 5,40
Não quiseram opinar 6,00
FONTE: Dados fictícios
2 Observe a série estatística a seguir e faça a correspondência entre os números e os 
conceitos correspondentes.
ÁREA TERRITORIAL DOS ESTADOS DA REGIÃO SUL (1)
Estado (2) Área (km²) (3)
Paraná (4) 199.307,922 (5)
Santa Catarina (6) 95.736,165 (7)
Rio Grande do Sul (*) (8) 281.730,223 (9)
FONTE: IBGE (10)
Nota: A data da medição não foi informada. (11)
(*) Inclusive 10.152,251km² e 2.811,552km² referentes às Lagoas dos 
Patos e Mirim, respectivamente, incorporadas à área do Estado segundo 
Constituição Estadual de 1988, não constituindo área municipal. (12)
a) (1):
b) (2), (4), (6) e (8):
c) (2) e (3):
d) (4):
e) (4) e (5):
f) (4), (6) e (8):
g) De (4) a (9):
h) (10):
i) (11):
j) (12):
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AVAL
IAÇÃ
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Prezado(a) acadêmico(a), agora que chegamos ao final 
da Unidade 1, você deverá fazer a Avaliação referente a esta 
unidade.
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UNIDADE 2
AprESENTAÇÃO DE DADOS E mEDIDAS 
rESUmO
ObjETIvOS DE AprENDIzAgEm
Nessa unidade vamos:
	aprender a organizar os dados coletados em uma pesquisa por 
meio de tabelas e gráficos;
	estabelecer a tabela e o gráfico mais apropriado para cada tipo de 
variável;
	entender como podemos extrair informações de tabelas e gráficos 
por meio das medidas resumo;
	definir os conceitos de assimetria e curtose e aprender a medi-las.
TÓPICO 1 – DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
TÓPICO 2 – GRÁFICOS ESTATÍSTICOS
TÓPICO 3 – MEDIDAS RESUMO – MEDIDAS DE 
POSIÇÃO
TÓPICO 4 – MEDIDAS DE DISPERSÃO, 
ASSIMETRIA E CURTOSE
pLANO DE ESTUDOS
A Unidade 2 está dividida em quatro tópicos, contendo 
exemplos e, no final de cada um deles, há exercícios para familiarizá-
lo(a) com o assunto.
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DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 1
UNIDADE 2
Vimos na Unidade 1 que, ao fazer uma pesquisa estatística, precisamos definir as 
variáveis que iremos pesquisar, se iremos trabalhar com a população ou com uma amostra, 
e quais são os tipos de amostragem possíveis. Vimos também que as variáveis pesquisadas 
podem ser classificadas de acordo com suas características e que elas nos vêm em séries. 
Claramente, é difícil trabalhar e extrair informações de uma série, numérica ou não. Geralmente, 
elas são grandes listas de valores que, embora repletos de informações, não permitem que 
consigamos tirar quaisquer informações a respeito. Na verdade, precisamos organizar estes 
dados de alguma maneira, para que possamos trabalhar com eles. 
Vamos pensar na pesquisasobre o perfil do consumidor de determinada marca de 
desodorantes. Foram pesquisadas 200 pessoas e a seguir estão algumas variáveis consideradas 
na pesquisa.
a) Gênero do consumidor: feminino ou masculino.
b) Idade.
c) Peso (kg).
d) Altura (cm). 
e) Grau de instrução: fundamental, médio, superior.
f) Periodicidade na prática de atividade física (por semana): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Para cada pessoa entrevistada temos uma relação de seis respostas, ou seja, uma lista 
contendo 200 linhas com seis informações em cada linha, como a seguir:
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FIGURA 16 – DADOS COLETADOS NA PESQUISA
SEXO IDADE PESO ALTURA GRAU PERIODICIDADE
 F 23 60,4 163 Médio 2
M 30 83,5 180 Superior 4
F 32 71,8 172 Superior 3
F 41 62,6 171 Médio 4
... ... ... ... ... ...
FONTE: A autora. 
Como não nos interessa muito a resposta de fulano ou beltrano, mas sim, quantos 
responderam uma ou outra coisa, o foco é a variável. Nenhuma conclusão poderia ser tirada de 
uma lista deste tamanho! Então é imprescindível que haja uma organização nestes dados, que 
eles sejam apresentados de forma que realmente forneçam informações. Esta apresentação 
pode ser feita de duas formas distintas, não excludentes – através de tabelas ou de gráficos, 
conforme mencionamos na unidade anterior.
Neste tópico estudaremos a apresentação de dados por meio de tabelas especiais 
chamadas de distribuição de frequência. Vamos aprender a construir estas distribuições, 
levando em consideração as peculiaridades da variável envolvida.
2 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
Voltemos ao exemplo proposto, onde consideramos seis variáveis: gênero, idade, peso, 
altura, grau de instrução e periodicidade. Cada uma destas variáveis pode ser apresentada 
por meio de uma tabela, relacionando as opções de respostas com o número de ocorrências 
de cada uma. É aconselhável a inclusão de um título sucinto na primeira linha, explicando do 
que trata a variável, a data e o ano da pesquisa e, no rodapé, mencionar a fonte dos dados 
utilizados (SILVER, 2000). Se a variável for quantitativa, devemos decidir pela precisão dos 
dados (arredondamento, se for o caso) e toda a tabela deve respeitar o mesmo número de 
casas decimais preestabelecido. 
Assim como nas demais séries estatísticas, as distribuições de frequência se apresentam 
em colunas: na primeira, constam as possibilidades de respostas para a variável, na segunda, 
o número de ocorrências para cada possibilidade, que recebe o nome de frequência absoluta, 
ou simplesmente frequência, denotadas usualmente por ni. 
Além destas duas colunas, algumas vezes é interessante a inclusão de uma terceira 
contendo as frequências relativas, que nada mais são do que quanto cada frequência representa 
em relação ao todo, denotadas por fi. 
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Vamos apresentar alguns exemplos de distribuição de frequência para entendermos 
tudo o que foi definido até agora.
EXEMPLO 1: A tabela a seguir apresenta a variável gênero, que apresenta duas 
possibilidades de respostas: feminino ou masculino. 
TABELA 6 – EXEMPLO DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
Gênero dos usuários do desodorante X
Fevereiro/2012
ni fi
Feminino 98 0,49
Masculino 102 0,51
TOTAL 200 1,00
FONTE: A autora.
Vamos entender melhor a tabela. Para a variável ‘gênero’, a segunda coluna nos informa 
que 98 pessoas responderam feminino, enquanto 102 responderam masculino, totalizando 200 
pessoas. Note que a tabela nos informa que, nesta pesquisa, todas as pessoas responderam 
à pergunta relativa ao gênero e optaram por uma das respostas possíveis. 
UNI
Independentemente da variável, qualquer distribuição de 
frequência para este exemplo deve apresentar 200 como 
frequência absoluta total.
Vamos agora entender como a terceira coluna foi construída. De 200 pessoas, 98 se 
disseram do gênero feminino, então a frequência relativa observada para este gênero foi de 
(98/200) = 0,49. Analogamente, em 200 pessoas, 102 se declararam do gênero masculino, 
implicando a frequência relativa deste gênero ser de (102/200) = 0,51. Assim, o total é de 
UNI
Independentemente da variável, qualquer distribuição de 
frequência deve apresentar 1 como frequência relativa total.
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Observe também que foram consideradas duas casas decimais depois da vírgula.
EXEMPLO 2: A tabela a seguir fornece os resultados obtidos para a variável ‘grau de 
instrução’.
TABELA 7 – EXEMPLO 2 PARA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
Grau de instrução dos usuários do desodorante X
Fevereiro/2012
ni fi
Fundamental 21 0,10
Médio 92 0,46
Superior 84 0,42
Não responderam 3 0,02
TOTAL 200 1,00
FONTE: A autora.
Observe que as regras de arredondamento foram utilizadas para o preenchimento 
desta tabela:
Algumas vezes, a inclusão de uma quarta coluna na distribuição de frequência é 
bastante útil: trata-se da frequência acumulada. Como o próprio nome sugere, ela é obtida 
acumulando-se as frequências relativas. Vamos reapresentar o exemplo anterior contendo 
esta nova informação.
EXEMPLO 3: A tabela a seguir fornece os resultados obtidos para a variável ‘grau de 
instrução’.
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TABELA 8 – DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS COM FREQUÊNCIA ACUMULADA
Grau de instrução dos usuários do desodorante X
Fevereiro/2012
ni Fi fai
Fundamental 21 0,10 0,10
Médio 92 0,46 0,56
Superior 84 0,42 0,98
Não responderam 3 0,02 1,00
TOTAL 200 1,00
FONTE: A autora.
Note que, na primeira linha, a frequência acumulada nada mais é do que a frequência 
relativa (não há o que acumular). Na segunda linha, a frequência acumulada é formada pela 
soma da frequência acumulada da linha anterior com a frequência relativa da segunda linha (0,10 
+ 0,46 = 0,56). A terceira frequência acumulada é construída de maneira análoga: corresponde 
à soma da segunda frequência acumulada com a terceira frequência relativa (0,56 + 0,42 = 
0,98); a quarta frequência é, portanto, (0,98 + 0,02 = 1,00). Na verdade, frequência acumulada 
correspondente à última linha sempre será 1. Você consegue responder por quê?
Podemos interpretar a frequência relativa da seguinte forma:
•	 10% das pessoas ouvidas possuem, pelo menos, nível fundamental de instrução.
•	 Até 56% das pessoas ouvidas possuem, pelo menos, nível médio de instrução.
•	 Até 89% das pessoas ouvidas possuem, pelo menos, nível superior de instrução.
Observe que os exemplos anteriores tratavam de variáveis qualitativas. Vamos exibir 
uma distribuição de frequência simples de uma variável quantitativa discreta.
EXEMPLO 4: A tabela a seguir apresenta os dados encontrados para a variável 
‘periodicidade de atividade física’.
TABELA 9 – EXEMPLO 2 DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA ACUMULADA
Periodicidade de atividade física 
dos usuários do desodorante X
Fevereiro/2012
ni fi fai
0 19 0,09 0,09
1 10 0,05 0,14
2 56 0,28 0,42
3 44 0,22 0,64
4 30 0,15 0,79
5 23 0,12 0,91
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6 14 0,07 0,98
7 4 0,02 1
TOTAL 200 1
FONTE: A autora. 
UNI
Atente para as diferenças entre as séries estatísticas vistas na 
unidade anterior e para a distribuição de frequências.
Embora a tabela contenha um número maior de linhas, tanto as variáveis qualitativas e 
as quantitativas discretas podem ser acomodadas facilmente em tabelas de frequência simples.
 
No caso das variáveis quantitativas contínuas, este tipo de tabela pode não ser o mais 
adequado. Por exemplo, pensemos na variável peso. O fato de terem sido entrevistadas 200 
pessoas abre a possibilidade de terem sido observados 200 pesos diferentes, entre 45 kge 
98 kg, por exemplo! Assim, uma tabela de frequência simples não seria eficiente no sentido 
de resumir as informações. Para esses casos, temos a tabela de intervalos de classes. Esta 
tabela consiste em, ao invés de trabalharmos com todos os valores de pesos observados, 
trabalharmos com faixas de valores.
3 INTERVALOS DE CLASSE
Quando a variável que queremos representar é uma variável quantitativa contínua ou 
uma variável quantitativa discreta, mas com um número muito grande de possibilidades de 
resposta, trabalhar com distribuição de frequências simples torna-se inadequado ou mesmo 
inviável. Nestes casos podemos representar estes dados de maneira resumida em uma tabela, 
trabalhando com intervalos numéricos, chamados de intervalos de classe. Assim, a tabela que 
apresentará a variável ‘peso’, ao invés de ser uma distribuição de frequência simples, será 
uma distribuição de intervalos de classe, onde cada um dos intervalos contém um ou mais 
valores observados para o peso. Vamos entender como construir estes intervalos numéricos.
Conforme mencionamos, vamos supor que os dados para a variável ‘peso’ variam 
de 45 kg a 98 kg. O primeiro passo é decidir qual será o tamanho de cada intervalo, isto é, a 
amplitude do intervalo. Existem fórmulas que nos fornecem a amplitude de cada faixa. No nosso 
caso, não adotaremos nenhuma técnica para o cálculo desta amplitude, mas restringiremos a 
quantidade de faixas de 5 a 8, todas com a mesma amplitude. Assim, as tabelas ficarão com 
um tamanho adequado para a visualização das informações. 
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Para decidir então qual será a amplitude que adotaremos para nossos intervalos, 
consideremos a amplitude total dos dados observados: 98 – 45 = 53. Parece adequado então 
considerarmos intervalos com amplitude de 10 kg cada; neste caso, teremos 6 intervalos 
na tabela. O primeiro intervalo começará com o menor valor observado, no caso, 45. Como 
queremos intervalos com amplitude 10, é de se esperar que o primeiro intervalo vá de 45 kg a 
55 kg. Assim, o segundo intervalo vai de 55 kg a 65 kg e assim por diante, até a última classe, 
que iria de 95 kg a 105 kg. 
Estabelecidos os intervalos, voltamos para a série numérica com os dados observados. 
Como o primeiro intervalo deve contemplar os dados de 45 a 55 quilogramas, contamos quantos 
valores se enquadram nesta situação: o número de dados será a frequência absoluta associada 
ao intervalo de classe de 45 a 55. 
O segundo intervalo deve contemplar todas as observações de 55 a 65 quilogramas, 
mas daí surge um problema: e se alguém pesar exatamente 55 kg? Este valor deve ser somado 
ao primeiro ou ao segundo intervalo? Se fizer parte dos dois intervalos, estaremos contando 
este dado duas vezes, ou seja, precisamos decidir em qual intervalo iremos considerá-lo. 
Segundo as regras do IBGE (IBGE, 1993), para resolver este impasse, vamos incluir o limite 
inferior dos intervalos e excluir o limite superior de cada intervalo. Isto significa que o primeiro 
intervalo contará com todos os dados que vão de 45 kg inclusive até o valor mais próximo 
possível de 55 kg, o segundo intervalo conterá os dados de 55 kg inclusive até o valor mais 
próximo possível de 65 kg e assim por diante. Assim, o indivíduo que pesa exatamente 55 kg 
não será contado no primeiro intervalo, mas sim, no segundo. 
Falta decidirmos como estes intervalos serão denotados na tabela de frequências. 
Novamente, de acordo com o IBGE, utilizaremos o símbolo ‘├ ‘. Vamos ver como ficaria então 
a tabela da variável ‘peso’: 
TABELA 10 – DISTRIBUIÇÃO DE INTERVALOS DE CLASSES
Peso dos usuários do desodorante X (kg)
Fevereiro/2012
ni fi fai
45 ├ 55 18 0,09 0,09
55 ├ 65 37 0,18 0,27
65 ├ 75 46 0,23 0,50
75 ├ 85 51 0,26 0,76
85 ├ 95 34 0,17 0,93
95├ 105 14 0,07 1,00
TOTAL 200 1,00
FONTE: A autora. 
Note que, embora mais eficiente, ao adotarmos o modelo envolvendo intervalo de 
classes, perdemos informação: não podemos mais precisar quantas pessoas pesam, por 
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exemplo, 62 kg. 
Apesar da variável ‘idade’ ser quantitativa discreta nesta pesquisa, poderíamos utilizar 
a tabela de frequências, via intervalo de classes, se observássemos que as idades informadas 
variassem muito, por exemplo, de 18 a 65 anos.
No exemplo anterior, embora tenhamos construído os intervalos de classe, não 
construímos as frequências absolutas correspondentes devido ao tamanho escolhido para 
nossa amostra. Vamos considerar agora uma amostra pequena, de tamanho 20, e vamos 
construir a distribuição de intervalo de classes para ilustrar bem este processo.
EXEMPLO: Em uma sala de aula, o professor fez uma relação da altura dos estudantes 
da classe de 2013, obtendo os seguintes dados, em centímetros:
134 141 131 133 130 135 134 129 131 137 
138 132 133 128 136 134 138 132 133 139
Embora a amostra seja pequena e a variável possa ser tratada como quantitativa discreta, 
os valores são bastante diferentes entre si. Se considerarmos a série numérica associada e 
construirmos uma distribuição de frequência simples, veremos que a tabela conterá, ao invés 
de 20, 14 linhas, o que é muito. Vamos então construir uma tabela de intervalos de classes.
 
O primeiro passo é definir quantos intervalos de classe queremos construir. Para isso 
vamos calcular a amplitude dos dados observados: consideremos o maior valor observado 
(141) e o menor valor (128); a amplitude dos dados observados é de 141 – 128 = 13. Como 
os valores são bastante próximos uns dos outros e o tamanho da amostra é pequeno, vamos 
optar por 5 intervalos de classe. Queremos então construir 5 intervalos de classe de mesmo 
tamanho. Vamos então trabalhar com uma amplitude de tamanho 3 (Por que não 2? Por que 
não 4?).
Primeiro intervalo: de 128 a 131.
Segundo intervalo de 131 a 134.
Terceiro intervalo: de 134 a 137.
Quarto intervalo: de 137 a 140.
Quinto intervalo: de 140 a 144.
Analisando os dados observados, temos que 3 deles pertencem ao primeiro intervalo: 
128, 129 e 130, cada um com uma ocorrência. O segundo intervalo contém frequência observada 
7 (2 vezes 131, 2 vezes 132 e 3 vezes 133); e assim por diante. A distribuição de intervalo de 
classes fica da seguinte maneira:
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TABELA 11 – DISTRIBUIÇÃO DE INTERVALO DE CLASSES – EXEMPLO 2
Altura dos estudantes da classe
2013
ni fi fai
128 ├ 131 3 0,15 0,15
131 ├ 134 7 0,35 0,50
134 ├ 137 5 0,25 0,75
137 ├ 140 4 0,2 0,95
140├ 144 1 0,05 1,00
TOTAL 20 1,00
FONTE: A autora. 
UNI
Faça todos os passos do exemplo para entender o que foi feito.
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RESUMO DO TÓPICO 1
Neste tópico, aprendemos que podemos apresentar dados por meio de tabelas, 
mais precisamente:
•	 A tabela resume as informações obtidas por meio da pesquisa, existentes nas séries 
estatísticas.
•	 Para cada variável montamos uma tabela de frequências.
•	 Toda tabela deve conter um título sucinto na primeira linha, explicando de que trata a variável, 
a data e o ano da pesquisa, e no rodapé deve mencionar a fonte dos dados apresentados 
(SILVER, 2000).
•	 Precisamos decidir qual é a precisão dos dados que utilizaremos na tabela, ou seja, quantas 
casas decimais consideraremos na apresentação.
•	 Estabelecemos os conceitos de frequência absoluta, frequência relativa e frequência 
acumulada.
•	 Dados relacionados a variáveis qualitativas devem ser apresentados por meio de distribuição 
de frequência simples.
•	 Variáveis quantitativas discretas podem ser apresentadas por meio de distribuição de 
frequência simples ou de distribuição de intervalo de classes, dependendo dosdados 
encontrados.
•	 Dados quantitativos contínuos devem ser apresentados por meio de distribuição de intervalo 
de classes.
•	 Normalmente, consideramos de 5 a 8 intervalos de classe para a construção da tabela, todos 
com mesmo tamanho.
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AUT
OAT
IVID
ADE �
Vamos fixar os conteúdos vistos neste tópico resolvendo alguns exercícios.
1 Um banco instalou um caixa eletrônico em um posto de combustível e está observando 
o número de usuários que vem utilizando o serviço. Diariamente, o número de clientes 
que utilizou o serviço nos últimos 32 dias foi:
 15 17 16 15 17 14 17 16 16 17 15 
18 14 17 15 14 15 14 15 16 17 18 
18 17 15 16 14 18 18 16 15 14.
a) Organize uma tabela de frequências (utilize 4 casas decimais).
b) Qual é a porcentagem das observações está abaixo de 16 dias?
2 Um posto de saúde de certo bairro mantém um arquivo com o número de pacientes 
que procuram o consultório odontológico diariamente. Os dados são os seguintes: 
3, 4, 3, 4, 5, 1, 6, 3, 4, 5, 3, 4, 3, 3, 4, 3, 5, 5, 5, 5, 6, 11, 10, 2, 1, 2, 3, 1, 5, 2.
Organize uma tabela de frequência.
3 (MAGALHAES, 2010) O tempo de utilização de caixas eletrônicos depende de cada 
usuário e das operações efetuadas. Foram coletadas 26 medidas desse tempo 
(minutos):
1,1 1,2 1,7 1,5 0,9 1,3 1,4 1,6 1,7 1,6 1,0 0,8 1,5
1,3 1,7 1,6 1,4 1,2 1,2 1,0 0,9 1,8 1,7 1,5 1,3 1,5
a) Organize uma tabela de frequência sem agrupar dados.
b) Agrupe os dados em faixas de 0,2 minutos a partir de 0,8 e obtenha uma nova tabela 
de frequência.
OBS.: Utilize 3 casas decimais depois da vírgula.
4 (MAGALHÃES, 2010) O valor médio de comercialização da saca de milho de 60 quilos 
na BM&F é apresentado a seguir, em reais, para os últimos 40 meses.
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6,1 6,2 6,7 6,5 6,9 6,3 7,4 7,6 7,7 7,6
7,3 7,7 7,6 7,4 7,2 7,2 7,3 7,6 7,5 7,4
7,5 7,7 8,2 8,3 8,1 8,1 8,1 7,9 7,8 7,4
7,5 7,6 7,5 7,6 7,4 7,3 7,4 7,5 7,5 7,4
Organize os dados em faixas de tamanho 0,4 a partir de 6, utilizando quatro casas 
decimais após a vírgula.
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GRÁFICOS ESTATÍSTICOS
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 2
Nos tópicos anteriores, aprendemos a resumir os dados de uma pesquisa estatística 
por meio de séries, distribuição de frequência simples ou de intervalos de classes. Vimos que a 
escolha do tipo de tabela a ser utilizada depende das peculiaridades da variável estudada: tabelas 
de frequência simples são indicadas para variáveis qualitativas e variáveis quantitativas discretas, 
enquanto as tabelas de intervalos de classe são indicadas para variáveis quantitativas contínuas. 
Existe outra maneira de apresentar os dados de uma pesquisa: são os gráficos 
estatísticos. Enquanto a tabela sintetiza as informações, o gráfico possibilita uma visão mais 
ampla, inclusive a comparação entre variáveis ou dados relativos à mesma variável, coletados 
em períodos diferentes. Através dele, conseguimos ver mais rapidamente o comportamento da 
variável do que por meio da tabela. Na verdade, uma maneira de apresentação não substitui 
a outra, mas a complementa. A tabela é primordial: é dela que tiramos as informações para 
montar o gráfico, utilizando as características que queremos evidenciar; por outro lado, as 
tabelas carregam mais informações que os gráficos. Portanto, sempre que possível, exibimos 
tanto a tabela como o gráfico associado a cada variável. 
Na imprensa em geral, observamos o pictograma: gráfico que utiliza desenhos 
compatíveis com o objeto de pesquisa ou a variável retratada. 
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FIGURA 17 – EXEMPLO DE PICTOGRAMA
FONTE: Disponível em: <http://universosertanejo.blogosfera.uol.com.br/2010/11/09/mais-buscados/>. 
Acesso em: 29 jan. 2014. 
A figura anterior compara os gêneros musicais mais baixados pelos brasileiros da 
internet em 2006. Para compor o gráfico foi utilizada a imagem de um equalizador, onde cada 
um dos botões representa um gênero musical e a altura em que se encontra cada botão reflete 
a porcentagem do gênero correspondente. Embora o pictograma passe a informação que se 
dispõe a passar, note que ele não informa qual é o total de dados considerados, nem como as 
porcentagens apresentadas foram calculadas (a soma delas é muito superior a 100%). Assim, 
os gráficos exigem interpretação e informações adicionais que devem ser apresentadas no 
corpo da pesquisa.
Observe também que o gráfico possui um título e deixa clara – ainda que seja difícil 
visualizar no exemplo dado – a fonte dos dados. Entretanto, não é mencionado, por exemplo, 
o ano em que os dados foram coletados (esta informação está no corpo da reportagem). Da 
mesma forma que as distribuições de frequência, os gráficos devem conter algumas informações 
básicas: um título que deixe clara a variável apresentada, a data cujos dados se referem, a 
fonte dos dados e uma legenda, explicando as convenções utilizadas na confecção do gráfico 
(cores, retículas etc.). Essas informações ficarão mais claras no decorrer deste tópico. 
UNI
Para mais detalhes sobre a tabulação, consulte (OLIVEIRA, 
2010). Lá, você encontrará todas as especificações técnicas para 
a confecção de um gráfico.
Embora possua grande apelo visual, o pictograma não é adequado para qualquer tipo 
de variável – observe que o exemplo anterior representa uma variável quantitativa discreta. 
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Na verdade, o pictograma é obtido a partir de outros tipos de gráficos, mais gerais, que iremos 
estudar a seguir. 
2 TIPOS DE GRÁFICOS
Assim como no caso das séries estatísticas e distribuições de frequência, cada variável 
pede um tipo de gráfico diferente para representá-la. 
2.1 GRÁFICO DE LINHA
O gráfico de linha é aquele que mais se aproxima dos gráficos que fazíamos quando 
estudávamos função, no ensino fundamental e médio. Ele é constituído sobre o plano cartesiano 
(o eixo horizontal x e o eixo vertical y) por pares de pontos (x,y), que correspondem à variável 
e à frequência observada e são ideais para apresentar séries históricas e séries mistas que 
as envolvam. Vamos ver alguns exemplos:
EXEMPLO 1: voltemos para o exemplo dado na primeira unidade:
TABELA 12 – SÉRIE HISTÓRICA
EXTENSÃO DA REDE RODOVIÁRIA BRASILEIRA 
PAVIMENTADA – 1987-1992
Ano Extensão (km)
1987 128.206
1988 133.623
1989 136.647
1990 139.353
1991 139.415
1992 143.247
FONTE: Oliveira (2010, p. 14)
O gráfico de linha ficará então da seguinte forma:
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FIGURA 18 – GRÁFICO DE LINHA
FONTE: Oliveira (2010, p. 14)
Note que o eixo das abscissas (eixo x, horizontal) corresponde ao ano, enquanto o 
eixo das ordenadas (eixo y, vertical) corresponde à extensão de terra. Além disso, note que 
a origem do plano cartesiano foi deslocada: se o primeiro ano considerado é 1987, não teria 
sentido começar em 0. 
Vamos agora exibir um exemplo envolvendo uma tabela de dupla entrada. Pela maneira 
como é construída esta série, podemos pensá-la como várias séries numéricas unidas na 
mesma tabela, e é desta forma que o gráfico de linha irá considerá-la. Assim, para cada uma 
das variáveis qualitativas, haverá uma linha no gráfico.
 EXEMPLO 2: Considere a tabela de dupla entrada dada como exemplo na unidade anterior. 
TABELA 13 – TABELA DE DUPLA ENTRADA
TAXA DE MORTALIDADE INFANTIL, SEGUNDO AS GRANDES REGIÕES DO BRASIL – 1970-
1990
Ano
Taxa de mortalidade infantil (%)
Brasil Norte Nordeste Sudeste Sul
C e n t r o -
Oeste
1970 115,0 104,3 146,4 96,2 81,9 89,71975 100,0 94,0 128,0 86,0 72,0 77,0
1980 82,8 79,4 117,6 57,0 58,9 69,6
1985 62,9 60,8 93,6 42,6 39,5 47,1
1990 48,3 44,6 74,3 33,6 27,4 31,2
FONTE: IBGE (1993) 
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O gráfico de linha ficará da seguinte forma:
FIGURA 19 – GRÁFICO DE LINHA PARA SÉRIE LISTA
FONTE: IBGE (1993) 
O exemplo a seguir mostra um gráfico de linha vinculado na imprensa há alguns meses, 
sobre a cotação do dólar:
FIGURA 20 – EXEMPLO DE GRÁFICO DE LINHA VINCULADO NA IMPRENSA
FONTE: Disponível em: <http://g1.globo.com/economia/>. Acesso em: 29 jan. 
2014.
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2.2 GRÁFICO DE COLUNAS OU BARRAS
Para representar as variáveis qualitativas ordinais ou variáveis discretas, o gráfico de 
colunas (ou barras) é bastante indicado. Assim, é ideal para séries territoriais, séries categóricas. 
Ele consiste em representarmos a frequência absoluta da variável por meio de colunas (ou barras). 
EXEMPLO: Consideremos a tabela estatística a seguir:
TABELA 14 – PESSOAS COM MAIS DE 15 ANOS EM ESTADOS PRÉ-
SELECIONADOS – 2008
Ano Número de pessoas
Amazonas 2.279.811
Paraíba 2.823.492
São Paulo 31.825.460
Rio Grande do Sul 8.397.355
Mato Grosso 2.266.442
Distrito Federal 1.931.019
FONTE: IBGE (1993)
O gráfico de colunas que representa esta situação é o seguinte:
FIGURA 21 – GRÁFICO DE COLUNA PARA SÉRIE TERRITORIAL
FONTE: IBGE (1993)
Observe como fica mais simples comparar as quantidades por meio do gráfico. Note 
também que, para despoluir a imagem, optamos por exibir a quantidade de pessoas em milhões. 
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EXEMPLO 2:
FIGURA 22 – GRÁFICO DE BARRAS NA IMPRENSA
FONTE: Disponível em: <http://datafolha.folha.uol.com.br/>. Acesso em: 29 
jan. 2014.
É possível utilizar o gráfico de barras para séries mistas também. Observe no exemplo 
a seguir que o gráfico compara o percentual do Produto Interno Bruto relacionado ao crédito 
imobiliário, direcionado e crédito livre em diferentes anos. 
FIGURA 23 – EXEMPLO DE GRÁFICO COM VÁRIAS COLUNAS
FONTE: Disponível em: <http://www.politicaeconomia.com/2012/06/bolha-imobiliaria-saques-do-fgts-
batem.html>. Acesso em: 29 jan. 2014.
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Nesta imagem, as três colunas estão sobrepostas, mas poderiam estar lado a lado. 
Observe:
FIGURA 24 – GRÁFICO COM MÚLTIPLAS COLUNAS
FONTE: IBGE (1993)
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O gráfico de barras é similar ao de colunas: a diferença está no 
sentido da imagem: enquanto um cresce verticalmente, o outro 
cresce horizontalmente.
2.3 GRÁFICO DE SETORES
O gráfico de setores é também conhecido como gráfico de pizza. Trata-se de um círculo 
dividido por fatias cujos ângulos internos são proporcionais às partes envolvidas. Neste gráfico, 
trabalhamos com proporcionalidades, ou seja, com frequências relativas. Assim, ele é indicado 
para variáveis qualitativas, desde que suas séries não possuam muitas linhas. 
Vamos aos exemplos:
EXEMPLO 1: Voltemos ao exemplo utilizado para séries categóricas na unidade anterior. 
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TABELA 15 – EXTENSÃO DA MALHA RODOVIÁRIA BRASILEIRA POR 
ÓRGÃO DE ADMINISTRAÇÃO – 2013
Órgão Extensão (km)
Municipal 175.822,19
Estadual 22.101,62
Federal 1.055,82
FONTE: DER
O primeiro passo é construir a distribuição de frequência desta tabela.
TABELA 16 – EXTENSÃO DA MALHA RODOVIÁRIA BRASILEIRA POR ÓRGÃO DE 
ADMINISTRAÇÃO – 2013
Órgão ni fi
Municipal 175.822,19 0,8836
Estadual 22.101,62 0,1111
Federal 1.055,82 0,0053
TOTAL 198.979,63 1,0000
FONTE: DER
Note que as porcentagens associadas a cada linha correspondem à multiplicação da 
frequência relativa por 100. E como vamos saber qual é o ângulo interno de cada fatia associada 
ao órgão em questão? Basta multiplicar as frequências relativas por 360º. Assim, temos
TABELA 17 – EXTENSÃO DA MALHA RODOVIÁRIA BRASILEIRA POR ÓRGÃO DE 
ADMINISTRAÇÃO – 2013
Órgão Extensão (%) Ângulo interno
Municipal 88,36 318,1º
Estadual 11,11 4,0º 
Federal 5,3 1,9º 
FONTE: DER
Assim, o gráfico de setores que apresenta esta tabela é dado por:
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FIGURA 25 – EXEMPLO GRÁFICO DE SETORES
FONTE: DER
EXEMPLO 2: O mesmo gráfico pode aparecer no formato de rosca (gráfico de rosca). 
Note que é o mesmo gráfico!
FIGURA 26 – EXEMPLO GRÁFICO DE SETORES
FONTE: DER
EXEMPLO 3: Na figura a seguir, temos um exemplo do gráfico de setores no formato 
“rosca” presente na imprensa.
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FIGURA 27 – EXEMPLO GRÁFICO DE SETORES
FONTE: Disponível em: <http://www.istoe.com.br>. Acesso em: 29 jan. 2014.
2.4 OUTROS TIPOS DE GRÁFICOS
Existem vários outros tipos de gráfico que, em geral, são tipos particulares dos que 
vimos anteriormente. Exemplos destes gráficos são os estereogramas, versões dos gráficos 
de setores ou de colunas em três dimensões.
EXEMPLO: O estereograma a seguir se refere ao número de crianças que tem acesso 
à coleta sanguínea em até sete dias depois do nascimento.
FIGURA 28 – EXEMPLO DE ESTEREOGRAMA EM PIZZA
FONTE: Disponível em: <http://www.brasil.gov.br/>. Acesso em: 29 jan. 2014.
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FIGURA 29 – EXEMPLO DE ESTEREOGRAMA EM COLUNAS
FONTE: Disponível em: <http://www.cetsp.com.br>. Acesso em: 29 jan. 2014.
O pictograma é outro gráfico que é originado, frequentemente, dos gráficos de coluna 
ou barra. Observe:
FIGURA 30 – EXEMPLO DE PICTOGRAMA
FONTE: Jornal O Globo. Disponível em: <https://lh5.ggpht.com/
hiZCA9ULV7Urieg3aXnMYuCs92Umn-ol-0Fu5emt9c2OJnIoVyz5bFanbgS
gi3XLE5r-=s93>. Acesso em: 5 fev. 2014.
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Há outros tipos de gráficos, menos usuais. Não entraremos em detalhes neste texto, 
mas, caso você tenha interesse, consulte (OLIVEIRA, 2010).
Os gráficos que apresentamos podem ser utilizados para apresentar variáveis 
qualitativas e variáveis quantitativas discretas, entretanto, nenhum deles é adequado para 
variáveis quantitativas contínuas. No próximo tópico, aprenderemos a representar graficamente 
este tipo de variável, seja por meio do histograma, seja por meio do box plot.
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RESUMO DO TÓPICO 2
Vamos, a seguir, relembrar brevemente o que vimos neste tópico.
•	 O gráfico é uma maneira de proporcionar uma visão mais ampla do comportamento da 
variável estudada, da comparação entre variáveis ou dados relativos à mesma variável, 
coletados em períodos diferentes. 
•	 Todo gráfico deve possuir um título, a data cujos dados se referem à fonte dos dados e uma 
legenda, explicando as convenções utilizadas na confecção do gráfico. 
•	 O gráfico de linha é ideal para apresentar séries históricas e séries mistas que as envolvam.
•	 Para representar as variáveis qualitativas ordinais ou variáveis discretas, o gráfico de colunas 
(ou barras) é bastante indicado. Assim, é ideal para séries territoriais, séries categóricas.
•	 O gráfico de setores, ou gráfico de pizza, trabalha com frequências relativas, sendo indicado 
para variáveis qualitativas, desde que suas séries não possuam muitas linhas. 
•	 O estereograma é uma versão do gráfico de setores ou do gráfico de pizza em três dimensões.
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AUT
OAT
IVIDADE �
Vamos fixar os conteúdos vistos neste tópico, através de alguns exercícios.
1 Considere as seguintes tabelas. Qual é o gráfico mais indicado para uma das 
situações? 
a) GRAU DE INSTRUÇÃO DOS USUÁRIOS DO 
DESODORANTE X 
- FEVEREIRO 2012
Grau de instrução Número de usuários
Fundamental 21
Médio 92
Superior 84
Não responderam 3
FONTE: Dados fictícios
b) PERIODICIDADE DE ATIVIDADE FÍSICA DOS 
USUÁRIOS DO DESODORANTE X - 
FEVEREIRO 2012
Peridiocidade Número de usuários
0 19
1 10
2 56
3 44
4 30
5 23
6 14
7 4
FONTE: Dados fictícios
c) USO DE UM PRODUTO EM DETERMINADA SEMANA NA INGLATERRA
Região
Taxa de mortalidade infantil (%)
Não usou Usou uma vez Usou mais de uma vez
Norte 20 40 60
Central 60 35 35
Sul 100 60 20
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Escócia 10 15 10
País de Gales 25 30 30
FONTE: Silver (2000)
2 Trace o gráfico de linha baseado na tabela a seguir
a) MÉDIA MENSAL DA PRODUÇÃO BRASILEIRA DE 
CARVÃO BETUMINOSO – 1965-1972
Ano Produção (mil toneladas)
1965 45
1966 50
1967 70
1968 80
1969 130
1970 150
1971 200
1972 210
FONTE: Oliveira (2010)
3 Trace o gráfico de setores baseado na tabela a seguir:
ESTIMATIVAS POPULACIONAIS DO BRASIL – 
GRANDES REGIÕES – 2000
Região População
Norte 12.900.704
Nordeste 47.741.711
Sudeste 72.412.411
Sul 25.107.616
Centro-Oeste 11.636.728
FONTE: CASTANHEIRA, 2008
4 (CRESPO, 2005) Represente a tabela por meio de um gráfico de colunas múltiplas
PROPORÇÃO DOS DOMICÍLIOS POR CONDIÇÃO DE 
OCUPAÇÃO BRASIL 1990-1991
Anos
Natureza
Próprios (%) Alugados (%) Cedidos (%)
1990 62,7 22,9 14,4
1991 70,3 16,5 13,2
FONTE: IBGE
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MEDIDAS RESUMO – MEDIDAS DE 
POSIÇÃO
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 3
Vamos voltar um pouco na matéria, na primeira parte, quando vimos como sistematizar 
as informações coletadas em uma pesquisa estatística. Vimos que os dados colhidos podiam ser 
apresentados em tabelas ou gráficos, facilitando assim o entendimento do que foi observado. 
Nosso interesse agora será resumir estas informações através de algumas medidas: as 
chamadas medidas resumo. Podemos dividir as medidas resumo em medidas de posição e 
medidas de dispersão. 
UNIDADE 2
2 MEDIDAS DE POSIÇÃO
Suponha que você está indo pela primeira vez consultar determinado dentista. Ao chegar 
lá, observa que, embora seu horário esteja se aproximando, há uma quantidade razoável de 
pessoas na sala de espera, ou seja, a consulta irá atrasar. Como você é uma pessoa ocupada e 
sabe que vai ter que voltar lá inúmeras vezes, gostaria de ter uma ideia do quanto as consultas 
costumam atrasar. Então, você resolve perguntar para a secretária a respeito. Ao perguntar isso, 
nem passa pela sua cabeça que a secretária vá lhe fornecer uma lista com todos os atrasos 
para aquele horário no último ano ou mês. Na verdade, ela vai lhe dar uma única informação 
que vai fazer com que você tenha sua pergunta razoavelmente respondida. Essa é a ideia das 
medidas de posição, ou medidas de tendência central para um conjunto de dados qualquer.
Suponhamos que o dentista também esteja atento a esta questão e resolveu pedir 
para sua secretária anotar a quantidade de minutos que cada paciente tem que esperar para 
ser atendido. No dia anterior a sua consulta, por exemplo, foram atendidas 20 pessoas, e os 
atrasos observados (em minutos) foram os seguintes:
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10 15 8 15 22 15 30 21 15 18
33 42 45 22 15 18 22 25 18 22
Vamos partir destes valores para entender o significado de cada medida de posição 
que apresentaremos a seguir.
2.1 MÉDIA ARITMÉTICA
A média aritmética é uma medida de posição para variáveis quantitativas, e é obtida 
somando-se todos os valores observados e dividindo-se o resultado pelo número de observações. 
Formalmente, se X for uma variável com observações chamamos de média
de X à soma dos valores dividida pelo número de observações, ou seja,
Vamos calcular o tempo médio de espera no dentista? 
A variável em questão é o tempo de espera, em minutos, e o número de observações 
é n = 20. Assim, 
Portanto, o tempo médio de espera no dentista naquele dia foi de 21,55min. 
Observe que o valor encontrado para a média não foi observado: de acordo com os 
dados obtidos pela secretária, ninguém esperou 21,55min naquele dia! Na verdade, o valor 
médio não precisa ser igual a um dos dados observados na pesquisa.
Para calcularmos o tempo médio de atraso, realizamos uma soma com 20! Uma 
maneira mais eficiente de calcular a média é através da distribuição de frequências. Neste 
caso poderemos agrupar os dados que aparecem mais de uma vez.
Vamos montar a tabela para o nosso exemplo:
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TABELA 18 – EXEMPLO DE MEDIDAS RESUMO
ATRASO NO DENTISTA NO DIA 
‘A’ - 2014
Tempo (min) ni
8 1
10 1
15 5
18 3
21 1
22 4
25 1
30 1
33 1
42 1
45 1
TOTAL 20
FONTE: A autora.
Assim, ao invés de somarmos 20 + 20 + 20 + 20, fazemos 4×20. Desta forma, ao invés 
de realizarmos uma soma com 20 parcelas, faremos uma soma com 11 parcelas!
Podemos então reenunciar a definição de média aritmética da seguinte maneira:
se X for uma variável com observações cujas frequências observadas
são respectivamente, com calculamos a média de X como
EXEMPLO 2: Considere a seguinte tabela estatística:
TABELA 19 – NÚMERO DE VESTIBULARES PRESTADOS ANTES DA 
APROVAÇÃO
N ú m e r o d e 
vestibulares
ni
0 28
1 54
2 40
3 10
4 8
TOTAL 140
FONTE: A autora.
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Vamos calcular a quantidade média de vestibulares prestados. 
Note que, se os dados não estivessem agrupados, o trabalho seria razoável, pois o 
número de dados observados é de 140. Entretanto, como os dados estão agrupados na tabela 
de frequência, temos uma soma com 5 parcelas. 
Vamos criar uma coluna auxiliar na tabela para facilitar o trabalho. Observe:
TABELA 20 – COLUNA AUXILIAR NA TABELA DE FREQUÊNCIA
xi Ni
0 28 0∙28 = 0
1 54 1∙54 = 54
2 40 2∙40 = 80
3 10 3∙10 = 30
4 8 4∙8 = 32
TOTAL 140 196
FONTE: A autora.
Assim, calcular a média se resume a tomarmos a razão 196/140 = 1,4.
E se a variável for quantitativa contínua? 
Se os dados não estiverem agrupados, basta aplicar a definição de média: somarmos 
todos os dados observados e dividir pela quantidade de dados observados. Mas e se os dados 
estiverem agrupados em uma distribuição de frequência?
EXEMPLO: Considere a tabela de distribuição de frequência a seguir. 
TABELA 21 – DISTRIBUIÇÃO DE INTERVALOS DE CLASSE
Altura dos estudantes da classe 
2013
ni
128 ├ 131 3
131 ├ 134 7
134 ├ 137 5
137 ├ 140 4
140├ 144 1
TOTAL 20
FONTE: A autora.
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Sabemos que há 3 estudantes na classe com altura entre 128 cm e 131 cm, mas não 
sabemos quantos medem, exatamente, 128 cm, ou 129 cm. Para calcular a média, neste 
caso, precisamos eleger um representante para cada classe, um número que utilizaremos 
para realizar os cálculos, no caso, o ponto médio do intervalo (OLIVEIRA, 2010). Depois, basta 
proceder como anteriormente.
TABELA 22 – ALTURA DOS ESTUDANTES DA CLASSE 2013
xi ni
128 ├ 131 129,5 3 388,5
131 ├ 134 132,5 7 927,5
134 ├ 137 135,5 5 677,5
137 ├ 140 138,5 4 554
140├ 144 141,5 1 141,5
TOTAL 20 2689
FONTE: A autora.
Logo, a altura média dos estudantes da classe em 2013 foi de 2689/20 = 134,45cm.
2.2 MODA
Outra medida de posição bastante utilizada é a moda. Dada uma variável X, a moda 
mo(X) consiste no valor mais frequente na observação, isto é, no valor quemais aparece. 
Mais uma vez, a distribuição de frequências pode nos auxiliar na tarefa. Voltemos ao 
exemplo do dentista. 
TABELA 23 – EXEMPLO DE MEDIDAS RESUMO
ATRASO NO DENTISTA NO DIA 
‘A’ - 2014
Tempo (min) ni
8 1
10 1
15 5
18 3
21 1
22 4
25 1
30 1
33 1
UNIDADE 2TÓPICO 384
M
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T
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D
O
S
Q
U
A
N
T
I
T
A
T
I
V
O
S
42 1
45 1
TOTAL 20
FONTE: A autora.
Note que o valor que mais foi observado, isto é, o valor cuja frequência absoluta é maior, 
é o de 15min. Assim, a moda de atraso naquele dia foi de 15min (mo(X) = 15).
Observe agora a seguinte tabela:
TABELA 24 – NÚMERO DE CASOS DE CÂNCER EM PARENTES 
PRÓXIMOS
Incidência ni
0 4
1 4
2 6
3 6
4 2
5 4
TOTAL 26
FONTE: A autora.
Ao procurarmos a moda para esta variável, notamos que há duas modas: 2 e 3 (a 
frequência absoluta de ambos é 6). Neste caso, dizemos que a variável é bimodal. 
 mo(X) = 2 e 3
Assim, é possível que uma variável possua várias modas, isto é, ela pode ser multimodal.
No caso de distribuições envolvendo intervalos de classe, a ideia é proceder do mesmo 
modo que no caso do cálculo da média. Na Tabela 22, percebemos a maior frequência observada 
é 7, e a classe modal correspondente é 131 ├ 134. Como estamos interessados em um valor 
para a moda, tomamos a média entre os dois valores, isto é, mo(X) = 132,5.
2.3 MEDIANA
Se X for uma variável com observações denominamos mediana 
(md(X)) deste conjunto de observações o valor que ocupa a posição central dos dados 
ordenados. 
Suponhamos que uma pesquisa estatística tenha retornado os seguintes valores:
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A
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I
V
O
S
3 4 2 5 1 7 5 2 1
O primeiro passo para encontrarmos a mediana é ordenar os dados:
1 1 2 2 3 4 5 5 7
Feita a ordenação, vamos procurar o valor que ocupa a posição central. São 9 
observações, e o ponto central é o que ocupa a quinta posição, no caso, md(X) = 3. 
1 1 2 2 3 4 5 5 7
No caso do exemplo do dentista, temos um problema: são 20 observações, ou seja, 
dois dados ocupam a posição central – o que ocupa a décima e a décima primeira posição.
8 10 15 15 15 15 15 18 18 18
21 22 22 22 22 25 30 33 42 45
Isso ocorre porque o número de observações é par: quando o número de observações 
é par, tomamos a média aritmética entre os valores, no caso, (18 + 21)/2 = 19,5. Portanto, a 
mediana de atraso no dentista é 19,5min.
Quando os dados estão agrupados, a frequência acumulada pode ajudar. Observe:
TABELA 25 – DADOS AGRUPADOS
xi ni fi fai
1 2 0,2222 0,2222
2 2 0,2222 0,4444
3 1 0,1111 0,5556
4 1 0,1111 0,6667
5 2 0,2222 0,8889
7 1 0,1111 1,0000
TOTAL 26 1,0000
FONTE: A autora.
Se queremos a posição central, na verdade, queremos o ponto que divide a amostra: 
50% dos valores precisam ser menores do que ele, 50% dos valores precisam ser maiores do 
que ele. Na tabela anterior, a frequência acumulada nos diz que: 
•	 22,22% da amostra correspondem ao valor 1.
•	 44,44% da amostra correspondem no máximo a 2.
•	 55,56% da amostra correspondem no máximo a 3.
Aqui podemos parar. Pelo que é dito acima, menos de 50% da amostra corresponde a 
até 2, mas 55,56% já corresponde a 3 – passou de 50%. Portanto, o valor que ocupa a posição 
central na tabela é o 3 (o dado que divide a amostra em duas partes de mesmo tamanho vale 
3), ou seja, md(X) = 3.
EXEMPLO 2: Vamos calcular a mediana da tabela a seguir:
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TABELA 26 – NÚMERO DE CASOS DE CÂNCER EM PARENTES PRÓXIMOS
Incidência ni fi fai
0 4 0,1538 0,1538
1 4 0,1538 0,3077
2 6 0,2308 0,5385
3 6 0,2308 0,7692
4 2 0,0769 0,8462
5 4 0,1538 1,0000
TOTAL 26 1,0000
FONTE: A autora.
Se queremos a posição central, na verdade, queremos o ponto que divide a amostra: 
50% dos valores precisam ser menores do que ele, 50% dos valores precisam ser maiores do 
que ele. Na tabela anterior, a frequência acumulada nos diz que:
 
•	 15,38% das pessoas não têm casos de incidência de câncer na família.
•	 30,77% das pessoas têm, pelo menos, um caso de câncer na família.
•	 53,85% das pessoas têm, pelo menos 2 casos de câncer na família.
Aqui podemos parar. Pelo que é dito acima, menos de 50% da amostra corresponde a até 
1 caso de câncer, mas 53% já correspondem a 2 casos. Neste caso, o ponto que corresponde a 
exatamente 50% vale 2: a mediana de casos de incidência na família das pessoas é 2 (md(X) = 2).
EXEMPLO 2: Voltemos ao exemplo do dentista.
TABELA 27 – ATRASO NO DENTISTA NO DIA ‘A’ - 2014
Tempo (min) ni fi fai
8 1 0,05 0,05
10 1 0,05 0,10
15 5 0,25 0,35
18 3 0,15 0,50
21 1 0,05 0,55
22 4 0,20 0,75
25 1 0,05 0,80
30 1 0,05 0,85
33 1 0,05 0,90
42 1 0,05 0,95
45 1 0,05 1,00
TOTAL 20 1,00
FONTE: A autora.
Neste caso temos uma particularidade: até 50% da amostra corresponde a, no máximo, 
18. Isso significa que os outros 50% correspondem a no mínimo 21. Neste caso, tomamos 
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TABELA 27 – ATRASO NO DENTISTA NO DIA ‘A’ - 2014
a média aritmética entre os dois valores: md(X) = (18 + 21)/2 = 19,5, exatamente o que 
encontramos analisando os dados não agrupados. 
Falta analisarmos a distribuição com intervalos de classe. Neste tipo de distribuição 
temos um problema: como saber quem exatamente ocupa a posição central? Observe:
TABELA 28 – ALTURA DOS ESTUDANTES DA CLASSE 2013
ni fi fai
128 ├ 131 2 0,10 0,10
131 ├ 134 7 0,35 0,45
134 ├ 137 6 0,30 0,75
137 ├ 140 4 0,20 0,95
140 ├ 144 1 0,05 1,00
TOTAL 20 1,00
FONTE: A autora.
Na tabela anterior, a frequência acumulada nos diz que 
•	 10% dos estudantes medem entre 128 e 131 centímetros.
•	 45% dos estudantes medem entre 128 e 134 centímetros.
•	 75% dos estudantes medem entre 128 e 137 centímetros.
Claramente, a mediana pertence à terceira classe: de 134 a 137 centímetros. Mas qual 
dos 6 integrantes da classe ocupa a posição central? 
Já sabemos que 45% dos estudantes medem menos que 134 cm: precisamos quem 
ocupa a posição 50%, ou seja, quem corresponde a 5% no intervalo (50% - 45%):
Se (137 – 134) cm correspondem a 30%, quantos centímetros correspondem a 5%?
 3 cm - 30%
 x - 5%
Portanto, 5% correspondem a 0,5cm. Logo a mediana será 128 + 0,5 = 128,5cm.
EXEMPLO 2: Consideremos a tabela a seguir, que se refere ao volume de vendas de 
uma empresa ABC durante 2013.
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TABELA 29 – VOLUME DE VENDAS DE UMA EMPRESA ABC
Vendas (mil reais) ni fi fai
15 ├ 25 143 0,3972 0,3972
25 ├ 35 142 0,3944 0,7917
35 ├ 45 56 0,1556 0,9472
45 ├ 55 19 0,0528 1,0000
TOTAL 360 1,0000
FONTE: A autora.
Na tabela anterior, a frequência acumulada nos diz que 
•	 39,72% das vendas foram de 15 a 25 mil reais.
•	 79,17% das vendas foram de 25 a 35 mil reais.
Claramente a mediana pertence à segunda classe: de 25 a 35. Mas qual das 142 vendas 
ocupa a posição central da amostra? 
Já sabemos que 39,72% das vendas foram de menos de 25 mil reais: precisamos 
encontrar quem corresponde a (50% - 39,72%) = 10,28% na segunda classe:
Se (35 – 25) = 10 correspondem a 39,44%, quanto corresponde a 10,28%?
 10 - 39,44%
 x - 10,28%
Portanto, a venda cujo valor é 25 + 2,606 = 27,606 mil reais corresponde à mediana. 
Note que cada medida de posição traz uma informação diferente. Assim, elas podem 
ser apresentadas juntas, para auxiliar na análise dos dados, ou pode ser apresentada a mais 
conveniente para aquela pesquisa. Por exemplo, no caso do dentista, saber a mediana não vai 
me ajudar muito. Talvez, a medida mais interessante neste caso seria a moda de atrasos, uma 
vez que a média seria muito afetada por valores discrepantes (45 min de atraso, porexemplo). 
UNI
A média, a moda e a mediana podem resultar em valores 
próximos ou não, dependendo do comportamento da distribuição 
de frequências.
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Segundo Novaes e Coutinho (2009, p. 92), a média “é a medida mais utilizada nos 
cálculos estatísticos mais complexos por ser mais robusta do ponto de vista matemático”, uma 
vez que leva em conta todos os valores da distribuição em seu cálculo e, consequentemente, 
as discrepâncias entre eles. Por outro lado, não faz sentido calcular média para variáveis 
qualitativas. 
Quando existem valores muito discrepantes na amostra, é interessante utilizar a 
mediana no lugar da média, pois ela retorna o valor central da amostra em relação a variáveis 
quantitativas. Já a moda é a única medida que pode ser utilizada para qualquer tipo de variável, 
uma vez que exige apenas uma contagem de frequências. 
O exemplo a seguir ilustra bem a diferença entre as três medidas de posição.
EXEMPLO: (Adaptado de MAGALHÃES, 2010) Suponhamos que você esteja procurando 
um estágio para o próximo ano. As companhias A e B têm programas de estágios e oferecem 
uma remuneração por 20 horas semanais com as seguintes características:
Companhia A B
Média 2,5 2,0
Mediana 1,7 1,9
Moda 1,5 1,9
Qual é a companhia mais adequada?
Para responder à pergunta, vamos interpretar esta tabela.
A companhia A tem uma média salarial de 2,5 salários mínimos, entretanto, 50% dos 
seus estagiários recebe até 1,7 salários mínimos: a maioria recebe 1,5 salários. Isso significa 
que, entre os outros 50%, deve haver uns poucos estagiários que ganham um salário bem 
acima disto (já que estão puxando a média salarial para cima).
Já na companhia B, os salários são mais equânimes. Assim, a sua decisão deve se 
basear na sua qualificação. Se for bem qualificado, você deve optar pela companhia A, pois 
existe a possibilidade de ter um ganho bem acima da maioria. Entretanto, se sua qualificação 
for igual ou menor do que a dos outros estudantes, a companhia B é a escolha mais acertada.
2.4 SEPARATRIZES
Assim como fizemos para encontrar a mediana, podemos encontrar outras medidas 
que separam a amostra em partes: são chamadas de separatrizes. As mais conhecidas são os 
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quartis, os decis e os percentis. A maneira de calcular as separatrizes é similar a de calcular a 
mediana: na verdade, a mediana é uma separatriz, pois ela separa a amostra em duas partes 
de mesmo tamanho.
QUARTIS
Os quartis são utilizados para separar a amostra ordenada em quartes partes iguais.
FIGURA 31 – QUARTIS
FONTE: A autora.
Assim, o primeiro quartil (Q1) separa as 25% primeiras observações das 75% restantes, o 
segundo quartil (Q2) separa as 50% primeiras observações das 75% restantes (exatamente o que 
a mediana faz) e o terceiro quartil (Q3) separa as 75% primeiras observações das 25% restantes.
Vamos calcular os quartis em dois exemplos, uma distribuição de frequência simples e 
uma distribuição em intervalos de classe.
EXEMPLO 1:
TABELA 30 – NÚMERO DE CASOS DE CÂNCER EM PARENTES PRÓXIMOS
Incidência ni fi fai
0 4 0,1538 0,1538
1 4 0,1538 0,3077
2 6 0,2308 0,5385
3 6 0,2308 0,7692
4 2 0,0769 0,8462
5 4 0,1538 1,0000
TOTAL 26 1,0000
FONTE: A autora.
Com base na coluna com as frequências acumuladas, notamos que:
•	 15,38% primeiros não possuem incidência de câncer.
•	 30,77% primeiros possuem até um caso de incidência de câncer (Q1).
•	 53,85% primeiros possuem até dois casos de incidência de câncer (Q2).
•	 76,92% primeiros possuem até três casos de incidência de câncer (Q3).
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Portanto, Q1= 1, Q2= 2 e Q3= 3.
EXEMPLO 2:
TABELA 31 – VENDAS
Vendas (mil reais) ni fi fai
15 ├ 25 143 0,3972 0,3972
25 ├ 35 142 0,3944 0,7917
35 ├ 45 56 0,1556 0,9472
45 ├ 55 19 0,0528 1,0000
TOTAL 360 1,0000
FONTE: A autora.
Na tabela anterior, a frequência acumulada nos diz que
 
•	 39,72% das vendas foram de 15 a 25 mil reais. 
•	 79,17% das vendas foram de 25 a 35 mil reais.
Claramente, o primeiro quartil está no primeiro intervalo. Assim, 
(25 – 15) = 10 - 39,72%
 x - 25% 
Assim, o primeiro quartil corresponde a 15+6,294 = 21,294 mil reais.
O segundo quartil está no segundo intervalo (até já o calculamos). O primeiro já contém 
39,72% das vendas. Assim, precisamos calcular
(35 – 25) = 10 - 39,44%
 x - (50% - 39,72%) 
Assim, o segundo quartil corresponde a 25 + 2,606 = 27,606 mil reais.
O terceiro quartil também está no terceiro intervalo (a frequência acumulada é superior 
a 75%). Então precisamos calcular
(35 – 25) = 10 - 39,44%
 x - (75% - 39,72%) 
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Assim, Q2 = 25 + 8,945 = 33,945 mil reais.
DECIS
Os decis são utilizados para separar a amostra ordenada em dez partes iguais.
FIGURA 32 – DECIS NA AMOSTRA
FONTE: A autora. 
Assim, o primeiro decil (D1) separa as 10% primeiras observações das 90% restantes, o 
segundo decil (D2) separa as 20% primeiras observações das 80% restantes e assim por diante.
Vamos calcular o quarto decil para os dois exemplos anteriores.
EXEMPLO 1:
TABELA 32 – NÚMERO DE CASOS DE CÂNCER EM PARENTES PRÓXIMOS
Incidência ni fi fai
0 4 0,1538 0,1538
1 4 0,1538 0,3077
2 6 0,2308 0,5385
3 6 0,2308 0,7692
4 2 0,0769 0,8462
5 4 0,1538 1,0000
TOTAL 26 1,0000
FONTE: A autora.
Com base na coluna com as frequências acumuladas, notamos que:
•	 15,38% primeiros não possuem incidência de câncer.
•	 30,77% primeiros possuem até um caso de incidência de câncer. 
•	 53,85% primeiros possuem até dois casos de incidência de câncer (D4).
Portanto, D4 = 2.
EXEMPLO 2:
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TABELA 33 – VENDAS
Vendas (mil reais) ni fi Fai
15 ├ 25 143 0,3972 0,3972
25 ├ 35 142 0,3944 0,7917
35 ├ 45 56 0,1556 0,9472
45 ├ 55 19 0,0528 1,0000
TOTAL 360 1,0000
FONTE: A autora.
Na tabela anterior, a frequência acumulada nos diz que 
•	 39,72% das vendas foram de 15 a 25 mil reais. 
•	 79,17% das vendas foram de 25 a 35 mil reais.
Assim, o quarto decil está no segundo intervalo (por pouco, mas está). Neste caso, 
precisamos calcular quanto equivale, dentro do intervalo, a 40% - 39,72% = 0,28%.
 (35 – 25) = 10 - 39,72%
 x - 0,28% 
Assim, D4 = 25 + 0,070 = 25,071 mil reais.
PERCENTIS
Os percentis são utilizados para separar a amostra ordenada em cem partes iguais.
Assim, o primeiro percentil (C1) separa as 1% primeiras observações das 99% restantes, o 
segundo percentil (C2) separa as 2% primeiras observações das 98% restantes e assim por diante.
Vamos calcular o trigésimo quinto percentil para os dois exemplos anteriores.
EXEMPLO 1:
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TABELA 34 – NÚMERO DE CASOS DE CÂNCER EM PARENTES PRÓXIMOS
Incidência ni fi fai
0 4 0,1538 0,1538
1 4 0,1538 0,3077
2 6 0,2308 0,5385
3 6 0,2308 0,7692
4 2 0,0769 0,8462
5 4 0,1538 1,0000
TOTAL 26 1,0000
FONTE: A autora.
Com base na coluna com as frequências acumuladas, notamos que:
•	 15,38% primeiros não possuem incidência de câncer.
•	 30,77% primeiros possuem até um caso de incidência de câncer.
•	 53,85% primeiros possuem até dois casos de incidência de câncer (C35).
Portanto, C35 = 2.
EXEMPLO 2:
TABELA 35 – VENDAS
Vendas (mil reais) ni fi Fai
15 ├ 25 143 0,3972 0,3972
25 ├ 35 142 0,3944 0,7917
35 ├ 45 56 0,1556 0,9472
45 ├ 55 19 0,0528 1,0000
TOTAL 360 1,0000
FONTE: A autora.
Na tabela anterior, a frequência acumulada nos diz que 39,72% das vendasforam de 
15 a 25 mil reais. Assim, o trigésimo quinto percentil está no primeiro intervalo. Neste caso, 
precisamos calcular quanto equivale, dentro do intervalo, a 35%.
 (25 – 15) = 10 - 39,72%
 x - 35% 
Assim, D4 = 15 + 8,874 = 23,874 mil reais.
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3 BOX PLOT OU DIAGRAMA DE CAIXAS
Nesta unidade, aprendemos a apresentar dados qualitativos e quantitativos discretos 
por meio de tabelas e gráficos. Vamos agora aprender uma técnica para apresentar variáveis 
qualitativas discretas: o diagrama de caixas, ou box plot. 
Para construí-lo, precisamos de 5 informações sobre a variável considerada: 
•	 Valor mínimo
•	 Primeiro quartil
•	 Mediana, ou segundo quartil
•	 Terceiro quartil
•	 Valor máximo
De posse destes valores, vamos criar uma “caixa”, onde o nível superior será dado 
pelo terceiro quartil e o nível inferior pelo primeiro quartil. A caixa será dividida pelo valor da 
mediana. Feita a caixa, na parte superior dela será inserida uma linha que vai até o valor 
máximo observado na minha pesquisa. Do mesmo modo, na parte inferior será inserida uma 
linha que vai se prolongar até o valor mínimo observado. 
A tabela a seguir apresenta as frequências relativas de ocorrências de faixas de altura 
(em cm) para uma amostra de 100 crianças de 12 anos de idade. 
TABELA 36 – ALTURA DAS CRIANÇAS DE 12 ANOS DE IDADE (cm)
Faixas fi
100├ 110 0,10
110├ 120 0,25
120├ 130 0,30
130├ 140 0,25
140├ 160 0,10
TOTAL 1,00
FONTE: Magalhães (2010)
O valor mínimo observado é de 100 cm, entretanto, mas não temos o valor máximo 
observado: vamos então considerar o limite superior da última classe: 160 cm. Agora precisamos 
calcular os quartis e, para isso, vamos incluir mais uma coluna na nossa tabela, incluindo as 
frequências acumuladas da amostra.
UNIDADE 2TÓPICO 396
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TABELA 37 – ALTURA DAS CRIANÇAS DE 12 ANOS DE IDADE (cm)
Faixas fi fai
100├ 110 0,10 0,10
110├ 120 0,25 0,35
120├ 130 0,30 0,65
130├ 140 0,25 0,90
140├ 160 0,10 1,00
TOTAL 1,00
FONTE: Magalhães (2010)
Assim, 
•	 10% das crianças tem altura de 100 cm a 110 cm.
•	 35% das crianças tem altura de 100 cm a 120 cm (Q1).
•	 65% das crianças tem altura de 100 cm a 130 cm (Q2).
•	 90% das crianças tem altura de 100 cm a 140 cm (Q3).
Calculando o primeiro quartil: 
O primeiro quartil está no segundo intervalo. Como o primeiro já contém 10% das 
observações, precisamos calcular quanto equivale aos 15% restantes no segundo intervalo 
(25% - 10% = 15%).
(120 – 110) = 10 cm - 25%
 x - 15% 
x = 6 cm,
Ou seja, Q1 = 110 + 6 = 116 cm.
Calculando o segundo quartil:
O segundo quartil está no terceiro intervalo. Como os primeiros já contêm 35% das 
observações, precisamos calcular quanto equivale aos 15% restantes no terceiro intervalo 
(50% - 35% = 15%).
(130 – 120) = 10 cm - 30%
 x - 15% 
x = 5 cm,
Ou seja, Q2 = 120 + 5 = 125 cm.
Calculando o terceiro quartil:
O terceiro quartil está no terceiro intervalo. Como os primeiros já contêm 65% das 
observações, precisamos calcular quanto equivale aos 10% restantes no quarto intervalo 
(90% - 75% = 15%).
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TABELA 37 – ALTURA DAS CRIANÇAS DE 12 ANOS DE IDADE (cm) (140 – 130) = 10 cm - 25%
 x - 10% 
x = 4 cm,
Ou seja, Q3 = 130 + 4 = 134 cm.
Agora já sabemos que:
•	 Valor mínimo: 100 cm
•	 Primeiro quartil: 116 cm 
•	 Mediana, ou segundo quartil: 125 cm
•	 Terceiro quartil: 134 cm
•	 Valor máximo: consideraremos 160 cm
Então estamos em condições de montarmos o Box-plot. Para auxiliar-nos, consideraremos 
uma escala vertical.
FIGURA 31 – BOX PLOT
FONTE: A autora.
O quadrado corresponde aos 50% centrais das observações: 50% das crianças tem 
altura entre 116 cm e 134 cm. Nota-se também que, dentro deste quadro, as alturas estão bem 
distribuídas, pois a mediana divide o quadrado praticamente ao meio.
A vantagem do box plot é que é fácil visualizar a simetria e a variabilidade dos dados. 
Também é útil na comparação de grupos de variáveis. Observe o exemplo:
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FIGURA 32 – BOX PLOT PARA COMPARAÇÃO
FONTE: A autora.
Neste gráfico os dados relativos à altura foram separados de acordo com o gênero 
das crianças. É possível perceber que a altura dos meninos é superior à altura das meninas 
estudadas. Praticamente 75% das meninas têm menor altura menor do que apenas 25% dos 
meninos. Observe também as medianas de ambos os quadros, lembrando que elas dividem 
as observações ao meio. Veja como a distribuição, no caso das meninas, se concentra na 
parte superior do quadro, enquanto no caso dos meninos, ela se concentra na parte inferior.
EXEMPLO: Em 2004 (ou 2005), foi feita uma pesquisa sobre a capacidade de resolver 
problemas envolvendo cálculos aditivos em estudantes da 1ª à 4ª série em escolas públicas 
de São Paulo e da Bahia. De acordo com as autoras do trabalho, 1.803 crianças responderam 
a um mesmo questionário contendo 12 problemas matemáticos. A seguir, apresentamos o box 
plot com os resultados observados.
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FIGURA 33 – EXEMPLO DE BOX PLOT
FONTE: Disponível em: <http://www.scielo.org.mx/scielo.php?script=sci_
arttext&pid=S1665-24362007000200003#f3>. Acesso em: 20 ago. 2013.
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RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico, estudamos as medidas de posição. Vimos que:
• X for uma variável com observações chamamos de média de X à soma dos 
valores dividida pelo número de observações, ou seja,
• X for uma variável agrupada com observações c u j a s f r e q u ê n c i a s 
observadas são respectivamente, com calculamos a média de X como
•	 Dada uma variável X, a moda mo(X) consiste no valor mais frequente na observação, isto 
é, no valor que mais aparece. 
•	 É possível que uma variável possua várias modas, isto é, ela pode ser multimodal.
•	 Se X for uma variável com observações denominamos mediana (md(X)) 
deste conjunto de observações o valor que ocupa a posição central dos dados ordenados. 
•	 Separatrizes são medidas resumo que separam os dados em partes.
•	 A mediana é uma separatriz, pois separa os dados ao meio: 50% abaixo e 50% acima.
•	 As separatrizes mais utilizadas são os quartis, os decis e os percentis.
•	 O box plot, ou diagrama de caixas, é uma ferramenta gráfica utilizada para apresentar 
variáveis quantitativas contínuas.
•	 Para fazer o box plot, é preciso conhecer os valores máximo e mínimo observado, e calcular 
os quartis.
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AUT
OAT
IVID
ADE �
Vamos fixar os conteúdos vistos neste tópico através de alguns exercícios.
1 Estudando uma nova técnica de sutura, foram contados os dias necessários para a 
completa cicatrização de determinada cirurgia. Os resultados de 25 pacientes foram 
os seguintes: 
6 8 9 7 6 6 7 8 9 10 7 8 10 
9 9 9 7 6 5 7 7 7 8 10 11
Organize os dados numa distribuição de frequências e calcule o tempo médio 
necessário para a completa cicatrização.
2 O entroncamento entre duas ruas em uma determinada cidade tem alto índice de 
acidentes de trânsito, conforme pode ser constatado nos últimos 12 meses:
5 4 7 8 5 6 4 7 9 7 6 8. Determine 
a média do número de acidentes mensais neste local.
 
3 Em uma clínica cardíaca foram anotados os níveis de colesterol(em mg/100ml) para 
trinta pacientes, homens com idade entre 40 e 60 anos que foram à clínica fazer um 
check-up. 
Paciente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Colesterol 160 160 161 163 167 170 172 172 173 177
Paciente 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Colesterol 178 181 181 182 185 186 194 197 199 203
Paciente 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Colesterol 203 205 206 206 208 209 211 214 218 225
a) Calcule a média, moda e mediana a partir da tabela de frequência. 
b) Organize os dados em uma tabela de frequência com faixas de tamanho 10 a partir de 
160.
c) Refaça o item a. utilizando a tabela com intervalos de classe.
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4 O índice de germinação é um dos principais fatores para definir a qualidade das 
sementes. Ele é determinado em experimento científico conduzido pelo fabricante 
e regulamentado pelos órgãos fiscalizadores. Um fabricante afirma que o índice de 
germinação de suas sementes de milho é de 85%. Para verificar tal afirmação, uma 
cooperativa de agricultores sorteou 100 amostras com 100 sementes em cada uma 
e anotou a porcentagem de germinação em cada amostra.
Germinação (%) Frequência
60├ 75 8
75├ 80 20
80├ 85 42
85├ 90 18
90├ 95 10
95├ 100 2
a) Calcule a média, a moda, a mediana e os quartis para estes dados.
b) Construa o box plot.
c) Comente a afirmação do fabricante.
Obs.: exercícios adaptados de (MAGALHÃES, 2010).
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MEDIDAS DE DISPERSÃO, ASSIMETRIA E 
CURTOSE
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 4
Vocês já devem ter ouvido falar no bairro do Morumbi, em São Paulo. Este bairro é 
considerado de classe média alta: o Jóquei Club fica no Morumbi, o palácio dos Bandeirantes – 
sede do governo do Estado, o Shopping Jardim Sul, que é um dos, senão o mais caro shopping 
da cidade. Mas neste bairro também fica a maior favela de São Paulo: a Paraisópolis.
 Se fosse feita uma pesquisa sobre a renda dos paulistanos de acordo com o bairro em 
que eles moram, possivelmente a renda média dos moradores do Morumbi seria muito boa, 
mas será que seria representativa? 
Muitas vezes, as medidas de posição por si só não nos dão a informação completa, e 
escondem discrepâncias que deveriam ser conhecidas. Por esta razão, as medidas de posição 
precisam ser complementadas pelas medidas de dispersão, que nos dizem como os valores 
se distribuem em torno das medidas de posição.
Assim como no caso das medidas de posição, existem várias medidas de dispersão. A 
mais simples e imediata delas é a amplitude.
UNIDADE 2
2 AMPLITUDE
A amplitude de certa variável é a diferença entre o maior e o menor valor observado, 
e é denotada por Δ (DELTA). Já conhecemos este conceito, uma vez que o aplicamos várias 
vezes em intervalos de classe. 
EXEMPLO: Considere os dados a seguir, relativos a uma pesquisa sobre determinada 
variável quantitativa.
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TABELA 38 – MEDIDAS DE DISPERSÃO
xi ni
0 7
1 3
2 4
3 2
4 0
5 5
TOTAL 21
FONTE: A autora.
O maior valor observado nesta tabela foi 5, enquanto o menor foi 0: portanto, a amplitude 
desta pesquisa é Δ = 5. 
Note que, embora nos ajude, a amplitude só leva em conta os dois valores extremos. Se 
a nossa variável se comportar de maneira bem homogênea, a amplitude é bastante útil, mas 
se esse não for o caso, ela não nos ajuda muito. Por exemplo, a média dos valores obtidos na 
tabela 12 é e a amplitude 5. Note que apenas estas informações não são suficientes 
para descrever o comportamento da variável (a moda desta distribuição é 0). O ideal é que 
pudéssemos levar em conta todos os valores observados. Vamos pensar em um cálculo que 
nos forneça uma medida mais representativa.
Sugestão 1: Para corrigir este problema, poderíamos tomar as diferenças entre os 
valores encontrados e a média e, depois, calcular a média novamente destes valores. Desta 
forma, teríamos uma medida de dispersão em relação à média que levaria em conta todos os 
valores observados. 
Problema: se a variável a ser representada puder assumir valores positivos e negativos, 
eventualmente, se anularão no cálculo.
TABELA 39 – CÁLCULO DE DESVIOS
xi fi
1 6
2 0
3 6
TOTAL 12
FONTE: A autora.
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Sugestão 2: Poderíamos tomar as diferenças em módulo e, depois, calcular novamente 
a média.
Problema: módulo é uma função matemática um pouco chata de trabalhar.
Sugestão 3: Poderíamos elevar as diferenças ao quadrado: neste caso, a soma seria 
apenas de números positivos. 
Problema: perderíamos a real dimensão dos valores, pois estaríamos considerando 
seu quadrado. 
Entretanto, este problema pode ser contornado extraindo a raiz quadrada o valor 
encontrado.
3 VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÀO POPULACIONAL
A fórmula que encontramos mede a dispersão dos dados, levando em consideração 
todos os valores observados. É esta medida que normalmente utilizamos, e que recebe o nome 
de variância. Formalmente, segundo Magalhães (2010), se X uma variável com observações 
, chamamos de variância populacional deste conjunto de observações a seguinte equação: 
 chamamos de variância populacional deste conjunto de observações a 
seguinte equação:
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Para calcular a variância, é necessário primeiro passo obter a 
média.
EXEMPLO: Suponhamos que os dados a seguir são relativos ao tempo de espera em 
minutos para o atendimento médico em um consultório em certo dia A.
20 30 15 40 38 35 20 24
Inicialmente, vamos calcular a média de tempo de espera:
De posse da média, podemos calcular a variância:
O fato de termos elevado as diferenças ao quadrado faz com que nosso resultado seja 
dado em (min)2. Se tomarmos a raiz deste valor, voltaremos a ter um número em minutos. Este
 procedimento nos dá o que chamamos de desvio-padrão: 
No nosso caso, o valor do desvio-padrão será 
Assim, o tempo médio de espera foi de 27,75 min com um desvio-padrão de 8,73 min.
O que isto significa?
Significa que o tempo médio de espera é de 27,75 min, e que os outros tempos de 
espera não diferem mais do que 8,73 min deste valor.
 
Vimos que, quando a variável está sendo apresentada em uma tabela de frequências, 
o cálculo da média é facilitado. A mesma coisa acontece com a variância.
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EXEMPLO: Vamos calcular a variância para as duas tabelas anteriores, admitindo agora 
que elas se refiram a uma amostra.
TABELA 40 – MEDIDAS DE DISPERSÃO
xi ni
0 7 0∙7 = 0 -2 4
1 3 1∙3 = 3 -1 1
2 4 2∙4 = 8 0 0
3 2 3∙2 = 6 1 1
4 0 4∙0 = 0 2 4
5 5 5∙5 = 25 3 9
TOTAL 21 42 19
Média 42/21=2
V a r i â n c i a 
populacional
19/21=0,905
Desvio padrão 
populacional
FONTE: A autora.
TABELA 41 – CÁLCULO DE DESVIOS
xi fi
1 6 6 -1 1
2 0 0 0 0
3 6 18 1 1
TOTAL 12 24 2
Média 2
Var(X) 0,167
dp(X) 0,408
FONTE: A autora.
4 VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÀO AMOSTRAL
A fórmula que vimos anteriormente é utilizada para o cálculo da variância e do desvio-
padrão populacional, isto é, quando toda a população foi considerada. Como normalmente 
trabalhamos com amostra, precisamos fazer um ajuste nos cálculos, por questões técnicas 
que fogem ao escopo deste Caderno de Estudos (para saber mais, consulte (MAGALHÃES, 
2010)). Assim, a variância amostral de um conjunto de observações é dada 
pela seguinte equação:
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Atente para o denominador da fórmula: é a única diferença entre 
variância populacional e amostral.
EXEMPLO: Se os dados a seguir sãorelativos ao tempo de espera em minutos para o 
atendimento médico em um consultório para uma amostra de pacientes (não todos!) em certo 
dia A,
20 30 15 40 38 35 20 24
a variância será dada por:
O cálculo do desvio-padrão não muda: 
No nosso caso, o valor do desvio-padrão será
EXEMPLO: Vamos calcular a variância amostral para as duas tabelas anteriores. 
Aproveitamos para mostrar uma maneira de facilitar o cálculo construindo uma tabela auxiliar.
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TABELA 42 – MEDIDAS DE DISPERSÃO
xi ni
0 7 0∙7 = 0 -2 4
1 3 1∙3 = 3 -1 1
2 4 2∙4 = 8 0 0
3 2 3∙2 = 6 1 1
4 0 4∙0 = 0 2 4
5 5 5∙5 = 25 3 9
TOTAL 21 42 19
Média 42/21=2
Va r i â n c i a 
amostral
19/20=0,950
D e s v i o 
p a d r ã o 
amostral
FONTE: A autora.
TABELA 43 – CÁLCULO DE DESVIOS
Xi fi
1 6 6 -1 1
2 0 0 0 0
3 6 18 1 1
TOTAL 12 24 2
Média 2
V a r i â n c i a 
Amostral 
0,182
Desvio-padrão 
amostral 
0,426
FONTE: A autora.
5 ASSIMETRIA
Ao estudarmos média, moda e variância, comentamos que as três medidas de posição 
podem ou não assumir valores iguais. Quando a média e a moda coincidem, dizemos que a 
é simétrica.
Observe as duas situações a seguir:
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TABELA 44 – DISTRIBUIÇÃO SIMÉTRICA
xi ni
0 1
1 2
2 5
3 2
4 1
TOTAL 11
FONTE: A autora.
Calculando a média, a moda e a mediana desta distribuição, obtemos os seguintes 
valores: , Md(X) =2, Mo(X)=2. O gráfico de linhas a seguir ilustra esta distribuição:
FIGURA 34 – DISTRIBUIÇÃO DA FREQUÊNCIA
FONTE: A autora
A tabela a seguir nos mostra uma distribuição assimétrica.
TABELA 45 – DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA
xi ni
0 2
1 2
2 3
3 5
4 2
5 1
TOTAL 15
FONTE: A autora. 
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Calculando a média, a moda e a mediana desta distribuição, obtemos os seguintes 
valores: , Md(X) =3, Mo(X)=3.
FIGURA 35 – DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA ASSIMÉTRICA
FONTE: A autora.
 
Com base nestes exemplos, podemos dizer que existem três tipos de distribuição 
(CRESPO, 2005):
•	 Distribuições simétricas: são aquelas em que a média coincide com a moda.
 simetria
•	 Distribuições assimétricas à esquerda, ou negativas: são aquelas em que a média é menor 
do que a moda.
•	 Distribuições assimétricas à direita, ou positivas: são aquelas em que a média é maior do 
que a moda.
Mesmo sem traçar o gráfico da distribuição, é possível saber se a distribuição é simétrica 
ou não e, caso não seja, é possível medir o quão assimétrica a distribuição é. Este coeficiente 
de assimetria também é conhecido como coeficiente de Pearson e é dado por:
onde é a média, Md(X) é a mediana e s é o desvio-padrão amostral da distribuição.
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No exemplo de assimetria anterior, uma vez calculada a média, a mediana e o desvio-
padrão amostral teremos 
Quando o coeficiente de assimetria de Pearson As é tal que 0 < |As| ≤ 0,15, dizemos que 
a assimetria é leve; quando 0,15 < |As| < 1, dizemos que a assimetria é moderada e quando 
|As| ≥ 1, a assimetria é considerada forte.
No caso do nosso exemplo, 0,15 < |As| = |-0,46| = 0,46 < 1, isto é, a assimetria é 
moderada.
6 CURTOSE
Se a assimetria mede a distância entre a moda e a média da distribuição, a curtose 
permite medir o grau de achatamento da distribuição em relação à distribuição normal 
(distribuição estatística teórica). Uma maneira de medir a curtose é através do coeficiente 
percentílico de curtose, dado pela seguinte fórmula:
onde Q3 e Q1 se referem ao terceiro e primeiro quartis, respectivamente, e P90 e P10 
ao 90º e ao 10º percentis da distribuição.
Vamos calcular o coeficiente de curtose dos seguintes dados:
TABELA 46 – DISTRIBUIÇÃO SIMÉTRICA
Xi ni fi fai
0 1 0,09 0,09
1 2 0,18 0,27
2 5 0,45 0,73
3 2 0,18 0,91
4 1 0,09 1,00
TOTAL 15 1,00
FONTE: A autora. 
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O primeiro quartil é o que divide os 25% primeiros dados da amostra dos 75% dados 
restantes. De acordo com as frequências acumuladas, Q1 = 1. 
O terceiro quartil é o que divide os 75% primeiros dados da amostra dos 25% dados 
restantes. De acordo com as frequências acumuladas, Q3 = 3.
O décimo percentil é o que divide os 10% primeiros dados da amostra dos 90% dados 
restantes. De acordo com as frequências acumuladas, P10 = 1. 
O nonagésimo percentil é o que divide os 90% primeiros dados da amostra dos 10% 
dados restantes. De acordo com as frequências acumuladas, P90 = 3.
Voltando à fórmula, 
Como interpretar neste valor?
•	 Quando C = 0,263, dizemos que a curva é mesocúrtica.
•	 Quando C < 0,263, dizemos que a curva é leptocúrtica.
•	 Quando C > 0,263, dizemos que a curva é platicúrtica.
No caso do nosso exemplo, a curva é leptocúrtica.
FIGURA 36 – TIPOS DE CURTOSE
FONTE: Disponível em: <http://estatisticax.blogspot.com.br>. Acesso em: 31 jan. 2014.
O texto a seguir é uma adaptação do texto de autoria do prof. Dr. Marcelo 
Menezes Reis e nos fala como interpretar os dados estatísticos que nos cercam.
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LEITURA COMPLEMENTAR
COMO CONTESTAR ESTATÍSTICAS
Marcelo Menezes
As informações que serão apresentadas aqui são provenientes do livro “Como Mentir 
com Estatística”, de Darrell Huff, com pequenos acréscimos (geralmente exemplos).
O objetivo deste texto é desmistificar muitas das ideias pré-concebidas sobre estatísticas, 
evitando que o “fascínio” por números e percentagens (ou a ignorância sobre como eles foram 
produzidos) turvem o senso crítico das pessoas.
Nem todas as estatísticas veiculadas ao público (principalmente pela mídia) estão 
erradas ou merecem ser consideradas com suspeição, mas muitas vezes as informações são 
apresentadas de forma tão incompleta que se torna difícil acreditar nelas.
Para verificar a validade de uma estatística, seja ela veiculada em um jornal de grande 
circulação, na TV, ou em uma revista especializada, você deve fazer cinco perguntas:
Quem é que diz isso?
Como é que ele sabe?
O que é que está faltando?
Alguém mudou de assunto?
Isso faz sentido?
Quem é que diz isso?
Procure sempre saber quem está divulgando a estatística: pode ser uma empresa no 
meio de uma negociação de salários, ou um sindicato na mesma situação, ou um laboratório 
“independente” que precisa mostrar resultados, ou simplesmente um jornal atrás de uma boa 
matéria.
Uma empresa americana declarou que os salários no segundo semestre de um ano 
estavam muito acima daqueles pagos no início do ano, portanto não era hora do sindicato pedir 
um aumento. O que a empresa “esqueceu” de dizer é que no início do ano havia uma grande 
quantidade de trabalhadores de meio-período, e que estes passaram a cumprir turno integral a 
partir do segundo trimestre do ano, sendo assim seus salários teriam que forçosamente subir, 
mas isso não implica que os salários tenham “melhorado realmente”.
Procure os viesamentos, deliberados ou inconscientes, aplicados aos resultados. 
Quando ouvir “pesquisa feita por médicos americanos revela...” tome cuidado: que médicos 
são estes? Cuidado com as declarações do tipo “Universidade de Harvard descobriu que...”. 
Verifique se realmente há pessoas qualificadas da “instituição de prestígio” em questão 
divulgando as descobertas.
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Em 1994 foi divulgado um relatório otimista sobre o número de árvores nos Estados 
Unidos: os peritos chegaram à conclusão que havia muito mais árvoresem 1994 do que 
houvera em 1894 (cem anos antes). Fonte do levantamento: o equivalente a uma associação 
de madeireiras... Onde está o viés? Está na definição de “árvore”: os peritos consideraram 
“árvore” tanto uma sequoia centenária de 100 metros de altura quanto uma muda de Pinus 
plantada há pouco...
Outro viesamento muito comum é encontrado na forma de apresentar os resultados. 
Veja o exemplo abaixo, referente aos salários de 11 pessoas de uma empresa: 
Pessoa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Sa lá r i o 
(u.m.)
150 200 200 250 300 350 350 400 400 3000 8000
Alguém da direção desta empresa poderia afirmar que o salário "médio" é de 1236,36 
u.m., portanto o nível salarial nesta seção é "muito bom". Alguém do sindicato protesta e diz que 
na verdade o salário "médio" é de 350 u.m., o que não é um nível "muito bom". Qual dos dois 
está errado? Surpreendentemente nenhum deles. O homem da direção usou a média aritmética 
para calcular o salário "médio": a média aritmética pode ser distorcida por valores discrepantes, 
o que se comprova ao observar na tabela os salários das pessoas 10 e 11 que estão bem 
distantes da maioria dos outros. Já o homem do sindicato usou outra medida estatística a 
mediana: a mediana divide um conjunto ordenado de dados em duas partes iguais, metade é 
maior do que a mediana e metade é menor do que a mediana. Na tabela acima a pessoa 6 é 
"ponto central" e seu salário de 350 u.m. (salário mediano) representa muito melhor o conjunto.
Como é que ele sabe?
Como aqueles que estão divulgando a estatística obtiveram a informação? Se a 
estatística foi obtida através de uma amostra procure indícios de viesamento: uma amostra 
selecionada indevidamente, ou que não seja grande o bastante para permitir uma conclusão 
confiável.
Um caso típico de amostra selecionada indevidamente são as estatísticas resultantes de 
pesquisas feitas pelo correio: o pesquisador envia pelo correio questionários aos entrevistados, 
solicitando que eles os preencham e devolvam. Faça a si mesmo esta pergunta: "quantos 
questionários eu já recebi pelo correio e quantos eu já respondi"? Neste tipo de procedimento 
de pesquisa o percentual de pessoas ou organizações que efetivamente respondem aos 
questionários costuma ser muito reduzido, de modo que esses resultados não podem ser 
considerados representativos.
Quanto às pequenas amostras é necessário maior cautela ainda. Utilizando uma pequena 
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amostra o resultado obtido pode ter ocorrido totalmente POR ACASO! O pesquisador pode 
ter tomado todos os cuidados, selecionado os elementos da amostra com critério e portar-se 
com a maior honestidade imaginável, mas a chance de um resultado "por acaso" é muito alta. 
Quando a amostra é suficientemente grande este risco persiste, mas a probabilidade de sua 
ocorrência reduz-se drasticamente. Se alguém diz a você que após tratar dez ratos diabéticos 
com certa erva medicinal, a sua taxa de glicose baixou 2,4%, e que com isso foi provado 
estatisticamente que a erva auxilia no tratamento do diabetes, o que você fará? Observe o 
tamanho da amostra (apenas dez ratos) e a redução obtida (que nesta amostra poderia ter 
ocorrido totalmente por acaso).
Um dos casos mais intrigantes para nós brasileiros é o resultado de uma pesquisa 
eleitoral. É plenamente possível obter resultados confiáveis utilizando metodologias de 
amostragem e tratamento de dados adequados. Mas não se esqueça de que há uma variação 
em torno dos percentuais (mais ou menos 5%), e que há uma pequena probabilidade (geralmente 
da ordem de 5%) de que o valor "verdadeiro" do percentual não esteja naquele intervalo.
O que é que está faltando?
Alguma coisa sobre isso já foi discutido nos itens anteriores. Muitas vezes o tamanho 
da amostra utilizada, ou o perfil dos seus elementos sequer é divulgado. Há casos em que os 
números brutos são suprimidos e apenas os percentuais são apresentados, em outros casos é 
justamente o contrário. As condições que podem ter levado aos resultados também costumam 
ser suprimidas.
Se alguém diz que 33,33% (percentual) das mulheres de um curso se casaram com 
professores você poderia ter uma má impressão destas moças. Mas se alguém diz que das 
três mulheres (dados brutos) deste curso uma delas casou-se com um professor o efeito já 
não será tão grande.
Um jornal afirma que a safra de um ano é quatro vezes maior do que a do ano anterior, 
o que evidencia a produtividade e o trabalho do homem do campo! Nada contra o homem do 
campo (que trabalha muito e ganha pouco), mas o jornal pode ter se esquecido de dizer que 
no ano anterior houve uma enchente que dizimou cerca de 80% da safra prevista, o que torna 
o ano totalmente inadequado para servir como base para o cálculo.
"Podemos mensurar o aumento da violência pela comparação entre o número de 
estupros de hoje e o de vinte anos atrás". Qualquer um sabe que a violência está aumentando, 
mas talvez o número de estupros fosse maior há vinte anos, quando as mulheres sentiam-se 
muito mais constrangidas em denunciar seus agressores e preferissem o silêncio. Com o passar 
do tempo, e com a conscientização o número de denúncias aumentou, não necessariamente 
indicando que a violência aumentou por causa disso... Cuidado com as correlações: identificar 
que duas variáveis caminham na mesma direção ou em direções opostas NÃO SIGNIFICA 
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NECESSARIAMENTE que a variação de uma causou a da outra (pode haver outras variáveis 
influenciando ambas).
Alguém mudou de assunto?
Se alguém constata que o número de casos comunicados de uma doença aumentou e 
diz que o número de casos ocorridos da doença aumentou (veja o que uma única palavra pode 
causar) está mudando de assunto. Algumas pessoas mais impressionáveis poderiam pensar 
que há uma epidemia, ao invés de uma maior precisão nos diagnósticos que agora classificam 
como câncer de mama o que antes era "mal de peito".
Uma pesquisa eleitoral, por mais bem conduzida que seja, não indica em quem as 
pessoas realmente vão votar, mas em quem elas dizem que vão votar naquele momento 
(alguém que se diz indeciso pode já ter o seu candidato escolhido desde o berço, outro que 
afirma votar na situação assim procede por ser funcionário público, etc.). Assim, se você faz 
uma pesquisa entre advogados e descobre que eles se acham mal remunerados por seus 
serviços, e você divulga que os profissionais liberais (incluindo nesta categoria várias outras 
profissões) se acham mal remunerados você está mudando de assunto.
"A 'população' de uma grande área da China era de 28 milhões. Cinco anos depois 
chegava a 105 milhões. Muito pouco desse aumento era real. A grande diferença só pôde ser 
explicada levando-se em conta as finalidades das duas coletas censitárias e a maneira como 
as pessoas se sentiram ao serem contadas em cada caso. O primeiro censo foi para fins de 
tributação e serviço militar; o segundo para ajuda em caso de fome".
Isso faz sentido?
Será que o resultado divulgado de uma estatística faz sentido? Será que analisando 
os resultados sem se deixar impressionar pelas casas decimais e percentuais os resultados 
são "lógicos"? Avaliar com bom senso se a estatística se coaduna com os fatos ao seu redor 
pode nos proteger de cair em muitas falácias.
Logo após a primeira crise do petróleo, em 1973, calculava-se que em 1985 o preço 
do barril estaria por volta de US$ 80. Sendo assim, muitas formas de energia alternativa 
foram desenvolvidas tendo em mente aquele valor, acreditando que aquela tendência de 
crescimento seria mantida, o que não aconteceu: o preço do barril despencou em 1986 e as 
formas "alternativas" tornaram-se economicamente inviáveis (o que não quer dizer que tambémo sejam por outros critérios).
Usar tendências antigas, observadas em épocas em que o mundo era muito diferente 
do que é hoje é extremamente perigoso. Você acha que o Brasil de 1980 é o mesmo Brasil de 
1997? A definição de "família padrão" em 1960 continua válida hoje? Extrapolar tais tendências 
e acreditar que tais conclusões são válidas é, no mínimo, ingênuo.
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Estatísticas do tipo para cada dez brasileiros dois têm diabetes: isso significa para uma 
população de 150 milhões de habitantes 30 milhões de diabéticos! Se for verdade possivelmente 
não haverá insulina suficiente no país inteiro para tratar tanta gente...
FONTE: Disponível em: <http://www.inf.ufsc.br/~marcelo/contest.html>. Acesso em: 31 jan. 2014.
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RESUMO DO TÓPICO 4
Neste tópico, estudamos os conjuntos finitos e os conjuntos infinitos, mais 
precisamente:
•	 A amplitude de certa variável é a diferença entre o maior e o menor valor observado, e é 
denotada por Δ. 
•	 Se X uma variável com observações chamamos de variância populacional 
deste conjunto de observações a seguinte equação:
•	 O desvio-padrão populacional é dado por 
•	 A variância amostral de um conjunto de observações é dada pela seguinte 
equação:
•	 O desvio-padrão amostral é dado por 
•	 Em uma distribuição de frequências, quando a média e a moda coincidem, dizemos que há 
simetria.
•	 Coeficiente de assimetria também é conhecido como coeficiente de Pearson e é dado por: 
 
•	 A curtose permite medir o grau de achatamento da distribuição em relação à distribuição 
normal (distribuição estatística teórica). O coeficiente percentílico de curtose é dado por
 
•	 Quando C = 0,263, dizemos que a curva é mesocúrtica.
•	 Quando C < 0,263, dizemos que a curva é leptocúrtica.
•	 Quando C > 0,263, dizemos que a curva é platicúrtica.
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AUT
OAT
IVID
ADE �
Agora vamos fixar o conteúdo que estudamos neste tópico por meio de alguns 
exercícios.
1 No tópico anterior, você organizou os dados relativos ao tempo em dias necessário 
para a completa cicatrização de determinada cirurgia (exercício 1). Calcule para o 
mesmo exercício:
a) A amplitude dos dados.
b) O desvio padrão populacional.
c) O coeficiente de assimetria.
d) O coeficiente de curtose.
2 No tópico anterior, você calculou a média de acidentes nos últimos 12 meses em um 
entroncamento numa certa cidade. 
5 4 7 8 5 6 4 7 9 7 6 8
Encontre: 
a) O desvio padrão populacional.
b) A distribuição é assimétrica? Justifique sua resposta.
c) Indique que tipo de curtose ocorre nesta distribuição.
3 Em uma clínica cardíaca foram anotados os níveis de colesterol (em mg/100ml) para 
trinta pacientes, homens com idade entre 40 e 60 anos que foram à clínica fazer um 
check-up. 
Paciente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Colesterol 160 160 161 163 167 170 172 172 173 177
Paciente 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Colesterol 178 181 181 182 185 186 194 197 199 203
Paciente 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Colesterol 203 205 206 206 208 209 211 214 218 225
No tópico anterior, você organizou estes dados em uma distribuição de frequências 
simples. Utilize esta tabela para calcular:
a) O desvio padrão amostral.
b) O coeficiente de assimetria (se houver assimetria).
c) O coeficiente de curtose.
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4 Um banco instalou um caixa eletrônico em um posto de combustível e está observando 
o número de usuários que vem utilizando o serviço. Diariamente, número de clientes 
que utilizou o serviço nos últimos 32 dias foi:
15 17 16 15 17 14 17 16 16 17 15
18 14 17 15 14 15 14 15 16 17 18
18 17 15 16 14 18 18 16 15 14.
Calcule:
a) A variância amostral para esta distribuição.
b) Qual é o tipo de curtose que ocorre?
5 Um posto de saúde de certo bairro mantém um arquivo com o número de pacientes 
que procuram o consultório odontológico diariamente. Os dados obtidos no último 
mês foram os seguintes: 
3 4 3 4 5 1 6 3 4 5 3 4 
3 3 4 3 5 5 5 5 6 11 10 2 
1 2 3 1 5 2.
Calcule a variância amostral para esta distribuição. Há simetria? Por quê?
6 (MAGALHAES, 2010) O tempo de utilização de caixas eletrônicos depende de cada 
usuário e das operações efetuadas. Foram coletadas 26 medidas desse tempo 
(minutos):
1,1 1,2 1,7 1,5 0,9 1,3 1,4 1,6 1,7 1,6 1,0 0,8 1,5
1,3 1,7 1,6 1,4 1,2 1,2 1,0 0,9 1,8 1,7 1,5 1,3 1,5
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AVAL
IAÇÃ
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Prezado(a) acadêmico(a), agora que chegamos ao final 
da Unidade 2, você deverá fazer a Avaliação referente a esta 
unidade.
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UNIDADE 3
COrrELAÇÃO E rEgrESSÃO LINEAr
ObjETIvOS DE AprENDIzAgEm
 Nesta unidade vamos:
•	 apresentar o conceito de regressão linear;
•	 exibir o método dos mínimos quadrados para ajudar a reta de 
regressão;
•	 explicar como se dá a regressão múltipla;
•	 aprender a ajustar o plano de regressão múltipla.
TÓPICO 1 – CORRELAÇÃO
TÓPICO 2 – REGRESSÃO LINEAR
TÓPICO 3 – REGRESSÃO MÚLTIPLA
pLANO DE ESTUDOS
A Unidade 1 está dividida em três tópicos, contendo exemplos 
e, no final de cada um deles, há exercícios para lhe familiarizar com 
o assunto.
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CORRELAÇÃO
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 1
Muitas vezes, ao realizarmos uma pesquisa estatística, não nos interessa apenas o 
comportamento das variáveis isoladamente, mas sim, o comportamento de duas ou mais 
variáveis ao mesmo tempo. Por exemplo:
•	 A variação no valor do dólar em relação ao real afetou a importação de mercadorias?
•	 O aumento de investimento em turismo resultou em um aumento no fluxo de turistas?
•	 A quantidade de água adicionada à determinada marca de cimento afeta na qualidade do 
concreto resultante?
•	 O aumento salarial para funcionários de certa empresa afetou o volume de vendas?
•	 O investimento na compra de maquinário reverteu positivamente no lucro de uma empresa?
Neste tópico, aprenderemos a relacionar duas variáveis, e a verificar se há algum tipo 
de relação entre elas: se o comportamento de uma afeta o comportamento da outra.
UNIDADE 3
2 RELAÇÃO ENTRE VARIÁVEIS
Suponhamos que uma pesquisa detectou o número de vestibulares prestados por cada 
estudante antes da sua aprovação em determinada universidade. Para que a pesquisa ficasse 
mais completa, foi perguntado também a cada um dos estudantes se ele trabalhava na época 
ou não. Os dados obtidos com a pesquisa aplicada a 10 estudantes foram os seguintes:
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Onde X é a variável ‘número de vestibulares prestados antes da primeira aprovação’ e 
Y é a variável ‘trabalhava’. 
Imagina-se que o fato de trabalhar fora afete o desempenho do estudante nos 
vestibulares negativamente, ou seja, imagina-se que estas variáveis estejam relacionadas 
de alguma forma, mas olhando simplesmente para os dados sem agrupá-los, fica difícil tirar 
qualquer conclusão.
Uma tabela de dupla entrada poderia facilitar a análise. Para isso, vamos construir 
uma tabela auxiliar, contendo as possibilidades conjuntas de X e Y e a frequência observada 
de cada uma:
TABELA 47 – TABELA AUXILIAR PARA CONSTRUÇÃO DA 
TABELA DE DUPLA ENTRADA
(X, Y) ni
(1, sim) 3
(1, não) 4
(2, sim) 1
(2, não) 1
(3, sim) 1
(3, não) 0
TOTAL 10
FONTE: A autora.
Agora estamos em condições de construir uma tabela de dupla entrada:
TABELA48 – RELAÇÃO ENTRE VESTIBULARES PRESTADOS ANTES 
DA PRIMEIRA APROVAÇÃO E TRABALHO 
N ú m e r o d e 
v e s t i b u l a r e s 
prestados
Trabalhava na época
TOTAL
Sim Não
1 3 4 7
2 1 1 2
3 1 0 1
TOTAL 5 5 10
FONTE: A autora.
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A primeira e a última coluna nos dão o que chamamos de tabela marginal de X, e a 
primeira e a última linha nos dão a tabela marginal de Y.
xi ni yi ni
1 7 Sim 5
2 2 Não 5
3 1 TOTAL 10
TOTAL 10
Observe que nada mais são do que as distribuições de frequência das variáveis X e Y, 
respectivamente.
A tabela de dupla entrada permite então visualizar o comportamento das duas variáveis 
ao mesmo tempo. 
EXEMPLO: Em certa unidade de saúde, o comportamento conjunto dos casos mensais 
de sarampo (S) e difteria (D) foi o seguinte):
Dia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
S 0 1 1 3 0 2 2 1 2 1
D 3 2 2 2 3 2 1 2 2 1
Dia 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
S 1 1 2 0 0 1 1 2 3 1
D 2 2 3 2 1 2 2 1 3 2
Dia 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
S 0 1 2 1 0 0 0 1 1 2
D 2 2 2 1 2 1 1 1 3 3
FONTE: Adaptado de: Magalhães e Lima (2010)
Vamos construir a tabela auxiliar, contendo as possibilidades conjuntas de S e D e a 
frequência observada de cada uma. Os valores observados para a variável S (sarampo) foram 0, 
1, 2 e 3 respectivamente, enquanto para a variável D (difteria), foram 1, 2 e 3 respectivamente. 
A tabela auxiliar deve conter todas as combinações possíveis destes valores.
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TABELA 49 – TABELA AUXILIAR PARA CONSTRUÇÃO DA 
TABELA DE DUPLA ENTRADA
 (S, D) ni
(0, 1) 3
(0, 2) 3
(0,3) 2
(1, 1) 3
(1, 2) 9
(1,3) 1
(2,1) 2
(2,2) 3
(2,3) 2
(3,1) 0
(3,2) 1
(3, 3) 1
TOTAL 30
FONTE: A autora.
Agora estamos em condições de montar a tabela de dupla entrada:
TABELA 50 – RELAÇÃO ENTRE VARIÁVEIS
CASOS MENSAIS DE SARAMPO E DIFTERIA NA UNIDADE DE SAÚDE 
Difteria
Sarampo
TOTAL
0 1 2 3
1 3 3 2 0 8
2 3 9 3 1 16
3 2 1 2 1 6
TOTAL 8 13 7 2 30
FONTE: Magalhães e Lima (2010)
3 INDEPENDÊNCIA ENTRE VARIÁVEIS
Uma vez que sabemos esboçar a tabela de distribuição conjunta de duas variáveis, 
a pergunta que se coloca agora é: como saber se o comportamento de uma influência é o 
comportamento da outra? Será que há relação entre elas? Será que o comportamento de uma 
depende do comportamento da outra?
Estas perguntas são importantes porque, se as variáveis forem dependentes, podemos 
explicar como uma delas de comporta em função do desempenho da outra.
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Embora difíceis de responder por completo, há algumas maneiras de chegarmos a 
respostas parciais para estas questões.
Uma maneira de obter algum tipo de informações sobre dependência (ou independência) 
é observar o comportamento de uma das variáveis mantendo a outra constante. Se duas 
variáveis X e Y forem independentes, por exemplo, é esperado que o fato de X ser 2 ou 3 não 
afete o comportamento de Y.
 Vamos entender como fazer isso partindo do exemplo anterior, sobre o número de casos 
diários de sarampo e difteria observados na unidade de saúde. A tabela de distribuição conjunta nos 
fornece também o comportamento das variáveis por si só, por meio das distribuições marginais.
TABELA 51 – RELAÇÃO ENTRE VARIÁVEIS
CASOS MENSAIS DE SARAMPO E DIFTERIA NA UNIDADE DE SAÚDE 
Difteria
Sarampo
TOTAL
0 1 2 3
1 3 3 2 0 8
2 3 9 3 1 16
3 2 1 2 1 6
TOTAL 8 13 7 2 30
FONTE: Magalhães e Lima (2010).
Se o número de casos diários de sarampo, por exemplo, não interfere no número de 
casos diários de difteria, era de se esperar que o fato de terem 30 casos de sarampo, 8 ou 16 
não fizesse diferença: o comportamento da variável ‘difteria’ seria o mesmo, isto é, o número 
de casos seria proporcional.
Uma maneira de verificar esta relação é calcular as porcentagens dos casos de difteria 
em relação aos casos de sarampo. Para isso, mantém-se fixa a última linha da tabela e 
consideram-se aqueles valores como sendo 100% dos casos observados. Em seguida, calcula-
se quanto cada número de ocorrências na coluna representa sobre o número de casos de 
sarampo. Vamos fazer os cálculos para a primeira coluna – os outros são análogos.
Total de dias em que não houve ocorrências de sarampo: 8.
Para a primeira coluna, 8 corresponderá a 100%.
Nos dias em que não houve casos de sarampo, em 3 deles houve uma ocorrência de 
difteria, o que corresponde a 37,5% dos dias ((3/8)∙100%); em 3 deles houve duas ocorrências 
de difteria, o que corresponde a 37,5% dos dias ((3/8)∙100%); em 2 deles houve três ocorrências 
de difteria, o que corresponde a 25% dos dias.
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Pronto, já temos os dados da primeira coluna. Repetimos o procedimento para uma 
das colunas da tabela, obtendo os seguintes valores no final:
TABELA 52 – INDEPENDÊNCIA ENTRE VARIÁVEIS
CASOS MENSAIS DE SARAMPO E DIFTERIA NA UNIDADE DE SAÚDE 
Difteria
Sarampo
TOTAL
0 1 2 3
1 37,5% 23,1% 28,6% 0,0% 26,7%
2 37,5% 69,2% 42,8% 50,0% 53,3%
3 25,0% 7,7% 28,6% 50,0% 20,0%
TOTAL 100,0% 100,0% 100,0% 100,0% 100,0%
FONTE: A autora.
Se as variáveis fossem independentes, era de se esperar que o comportamento da última 
coluna fosse repetido, ou pelo menos muito próximo do comportamento das outras colunas 
(que o número de casos de sarampo não interferisse no comportamento dos casos diários 
de difteria). Entretanto, observe que o comportamento das variáveis é bem distinto. Portanto, 
podemos concluir que há, sim, algum tipo de dependência entre elas, isto é, o aparecimento 
de casos de sarampo, por alguma razão, interfere no número de aparecimentos de casos de 
difteria na unidade de saúde em questão.
EXEMPLO 2: Considere a seguinte tabela conjunta que apresenta o gênero dos turistas 
em relação à sua procedência (Adaptado de: Farhat; Elian (2006)).
TABELA 53 – PERFIL DOS TURISTAS DA REGIÃO 
Gênero
Região de Procedência
TOTAL
Perto Longe
Feminino 6 7 13
Masculino 4 5 9
TOTAL 10 12 22
FONTE: A autora.
Vamos ver se as variáveis estão relacionadas, isto é, se existe dependência entre as 
duas. Para isso, consideremos a tabela de porcentagens por coluna:
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TABELA 54 – PERFIL DOS TURISTAS DA REGIÃO 
Gênero
Região de Procedência
TOTAL
Perto Longe
Feminino 60,00% 58,33% 59,09%
Masculino 40,00% 41,67% 40,91%
TOTAL 100,00% 100,00% 100,00%
FONTE: A autora.
Embora os números sejam diferentes, observe que eles são muito próximos. É possível 
concluir que haja independência entre elas, ou seja, a região de procedência do turista nada 
tem a ver com o seu gênero.
Dificilmente, mesmo em caso de independência de variáveis, os valores das 
porcentagens em colunas diferentes serão exatamente iguais – estamos lidando com dados 
estatísticos. Assim, existem medidas matemáticas que nos dizem se as diferenças entre valores 
são suficientemente pequenas para concluirmos pela independência ou não entre as variáveis: 
uma delas é o Q2. Essas medidas fogem do escopo deste livro, mas você pode encontrar mais 
detalhes sobre o Q2 e sua análise em Magalhães e Lima (2010).
4 A CORRELAÇÃO
Embora tenhamos concluído pela dependência ou não de variáveis nos exemplos 
anteriores analisando a tabela de distribuição conjunta, não conseguimos medir esta 
dependência. Por exemplo, aparentemente, havia relação entre as variáveis ‘difteria’ e ‘sarampo’, 
mas que tipo de dependência há entre elas? Quando o número de casos de uma aumenta, o 
da outra também aumenta? Em que proporção isso acontece?
Conforme já dissemos, estas questões não são simples de responder,mas no caso de 
variáveis quantitativas, uma análise gráfica pode ajudar.
4.1 DIAGRAMA DE DISPERSÃO
Para iniciar nossa discussão, consideremos uma amostra aleatória das notas de Cálculo 
e Estatística de 12 estudantes do curso de Engenharia Elétrica de determinada universidade:
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TABELA 55 – GRÁFICO DE DISPERSÃO
Estudante Nota Cálculo Nota Estatística
1 4 5
2 6 7
3 7 8
4 6 5
5 9 9
6 8 8
7 8 5
8 2 4
9 2 5
10 5 4
11 4 6
12 9 8
FONTE: Novaes e Coutinho (2009)
Queremos saber se há relação entre o desempenho em Cálculo e Estatística. Para isso, 
vamos traçar o gráfico de dispersão entre as duas variáveis. O primeiro passo é definirmos 
qual das variáveis ocupará a posição do eixo das abscissas (eixo horizontal X) e qual ocupará 
a posição do eixo das ordenadas (eixo vertical Y). Vamos considerar a variável X como sendo 
‘nota de Cálculo’ e a variável Y como sendo ‘nota de Estatística’. Assim, os valores associados 
à nota de Cálculo comporão as coordenadas x e os valores associados à nota de Estatística 
comporão as coordenadas y no par ordenado (x, y).
FIGURA 37 – GRÁFICO DE DISPERSÃO
FONTE: Tabela 55
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O gráfico de dispersão dos dados anteriores nos mostra que há uma relação entre 
as notas em Estatística e Cálculo: aparentemente, os alunos com maiores notas em Cálculo 
obtêm melhores notas em Estatística e vice-versa. Assim, podemos arriscar a dizer que as 
variáveis são correlacionadas. 
Segundo Crespo (2009, p. 147), podemos dividir os casos de correlação entre variáveis 
em três:
•	Correlação linear positiva: quando o aumento da variável independente X 
implica um aumento na variável dependente Y.
•	Correlação linear negativa: quando o aumento da variável independente X 
implica uma diminuição na variável dependente Y.
•	Correlação não linear: quando parece ter algum tipo de relação entre as 
variáveis, em formato de ‘curva’.
FIGURA 38 – TIPOS DE CORRELAÇÃO
FONTE: Crespo (2009, p. 147)
Mas será que é possível medir esta correlação entre variáveis?
4.2 COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO
Vamos agora apresentar uma maneira de medir a correlação linear entre duas variáveis, 
chamado de coeficiente de correlação de Pearson, ou coeficiente de correlação linear.
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Formalmente, se X e Y são duas variáveis discretas definidas a partir do mesmo 
fenômeno, com valores atribuídos definimos o coeficiente de 
correlação de Pearson por:
UNI
O s í m b o l o s i g n i f i c a s o m a t ó r i o , o u s e j a , 
.
Note que a maior dependência que poderia ocorrer entre duas variáveis X e Y seria X 
se comportar exatamente como Y: cada aumento da variável X representasse um aumento 
de mesma quantidade de Y, ou uma diminuição de mesma quantidade de Y. Em termos de 
correlação, isto significa que Já no caso de X e Y serem independentes linearmente, 
r = 0. Segundo Oliveira (2010, p. 440), podemos considerar a seguinte escala para correlação: 
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Observe que a fórmula da correlação linear é bastante trabalhosa. Entretanto, podemos 
utilizar uma tabela auxiliar para ajudar no cálculo, assim como fizemos para calcular a variância. 
Voltando aos dados da Tabela 55, e lembrando que X representa a variável ‘nota em Cálculo’ 
e Y representa a variável ‘nota em Estatística’, construímos a seguinte tabela auxiliar:
TABELA 56 – TABELA AUXILIAR PARA O CÁLCULO DA CORRELAÇÃO
i
1 4 5 16 25 20
2 6 7 36 49 42
3 7 8 49 64 56
4 6 5 36 25 30
5 9 9 81 81 81
6 8 8 64 64 64
7 8 5 64 25 40
8 2 4 4 16 8
9 2 5 4 25 10
10 5 4 25 16 20
11 4 6 16 36 24
12 9 8 81 64 72
TOTAL 70 74 476 490 467
FONTE: A autora.
Da tabela auxiliar, temos:
Agora podemos calcular o coeficiente:
Observe que o valor encontrado para a correlação é relativamente alto, e é positivo. 
Isto significa que o aumento da variável X ‘notas em Cálculo’ implica um aumento considerável 
da variável Y ‘notas em Estatística’.
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EXEMPLO: A tabela a seguir exibe os dados sobre a quantidade vendida de certa 
mercadoria e os preços alcançados nos últimos meses. 
TABELA 57 – EXEMPLO DE CORRELAÇÃO LINEAR
Mês
Quantidade vendida (em 
milhares)
Preço (em dólares)
1 50,0 4,9
2 68,4 4,8
3 65,3 4,7
4 69,0 4,6
5 82,3 4,5
6 109,1 4,4
7 99,9 4,3
8 128,6 4,2
9 180,0 4,1
10 200,5 4,0
FONTE: Silver (2000)
Vamos montar o gráfico de dispersão para estas variáveis e calcular seu coeficiente de 
correlação linear. Interessa-nos descrever o comportamento do volume de vendas em relação 
ao preço - então o preço fará o papel da variável independente, enquanto o volume de vendas 
fará o papel da variável dependente.
FIGURA 39 – DISPERSÃO DAS VENDAS EM FUNÇÃO DO PREÇO
FONTE: Dados da Tabela 56
Aparentemente, há correlação entre as variáveis. Vamos calcular o coeficiente de 
correlação linear utilizando a tabela auxiliar.
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TABELA 58 – TABELA AUXILIAR PARA O CÁLCULO DA CORRELAÇÃO
i
1 4,9 50,0 24,0 2500,0 245,0
2 4,8 68,4 23,0 4678,6 328,3
3 4,7 65,3 22,1 4264,1 306,9
4 4,6 69,0 21,2 4761,0 317,4
5 4,5 82,3 20,3 6773,3 370,4
6 4,4 109,1 19,4 11902,8 480,0
7 4,3 99,9 18,5 9980,0 429,6
8 4,2 128,6 17,6 16538,0 540,1
9 4,1 180,0 16,8 32400,0 738,0
10 4,0 200,5 16,0 40200,3 802,0
TOTAL 44,5 1053,1 198,9 133998,0 4557,7
FONTE: A autora.
Da tabela auxiliar, temos:
n = 10
Substituindo estes valores na fórmula, encontramos r = - 0,93.
Podemos concluir que há uma alta correlação entre as variáveis, sendo que o crescimento 
de uma (preço) provoca o decrescimento da outra (vendas).
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RESUMO DO TÓPICO 1
Neste tópico estudamos o comportamento de duas variáveis ao mesmo tempo, 
procurando estabelecer relações. Mais precisamente, vimos que:
•	 Construir uma tabela de dupla entrada ajuda na apresentação dos dados de duas variáveis.
•	 Duas variáveis possuem dependência entre si se o comportamento de uma afeta o 
comportamento da outra.
•	 A tabela de porcentagens por coluna ajuda a verificar se há ou não dependência entre duas 
variáveis.
•	 Para variáveis quantitativas, utilizamos o diagrama de dispersão.
•	 Duas variáveis podem não estar correlacionadas, podem estar linearmente correlacionadas 
(positiva ou negativamente) ou podem estar não linearmente correlacionadas.
•	 O coeficiente de correlação de Pearson, denotado por r, nos indica se há correlação linear 
entre duas variáveis.
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AUT
OAT
IVID
ADE �
Vamos exercitar os conhecimentos adquiridos neste tópico? Resolva os seguintes 
exercícios:
1 Uma empresa deseja investigar quantos dos seus funcionários são fumantes e qual o 
seu perfil. Neste sentido, aplicou um questionário para seus 24 funcionários. A seguir, 
você pode ver o resultado da pesquisa:
In
di
ví
du
o
S
ex
o
H
áb
ito
 d
e 
fu
m
ar
Id
ad
e
E
sc
ol
ar
id
ad
e
C
ar
go
S
al
ár
io
 
(e
m
 R
$)
1 M Sim 18 Fundamental Ajudantes 900,00
2 M Não 17 Médio Ajudantes 1056,00
3 M Não 18 Médio Ajudantes 1356,00
4 M Não 19 Fundamental Ajudantes 1500,00
5 F Não 32 Superior Chefia 10500,00
6 F Não 35 Superior Chefia 11400,00
7 M Sim 15 Fundamental Ajudantes 1056,00
8 F Sim 17 Fundamental Ajudantes 1056,00
9 M Não 19 Médio Escriturários 2430,0010 M Não 20 Médio Escriturários 2550,00
11 F Não 22 Médio Escriturários 2940,00
12 M Sim 45 Superior Chefia 13500,00
13 M Sim 18 Fundamental Ajudantes 1110,00
14 M Não 17 Médio Ajudantes 1056,00
15 M Não 18 Médio Ajudantes 1350,00
16 M Não 19 Fundamental Ajudantes 1500,00
17 F Não 36 Superior Chefia 10500,00
18 F Não 35 Superior Chefia 11400,00
19 M Sim 15 Fundamental Ajudantes 1056,00
20 F Sim 17 Fundamental Ajudantes 1056,00
21 M Não 19 Médio Escriturários 2430,00
22 M Não 20 Médio Escriturários 2430,00
23 F Não 22 Médio Escriturários 2940,00
24 M Sim 40 Superior Chefia 13500,00
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Com base nos dados da tabela, monte as seguintes distribuições conjuntas e conclua 
se há dependência entre as variáveis:
a) Hábito de fumar em relação ao gênero.
b) Idade em relação ao hábito de fumar.
c) Idade em relação ao gênero.
d) Cargo em relação ao hábito de fumar.
e) Sexo em relação ao cargo.
f) Faixa salarial em relação ao hábito de fumar.
FONTE: Adaptado de: Farhat e Elian (2006)
2 Sabe-se que alguns supermercados colocam uma mercadoria em oferta e aumentam 
levemente o preço das outras que podem ser compradas como complemento. 
Assim, quem compra macarrão pode necessitar também do molho do tomate. Uma 
pesquisa teve o objetivo de observar se havia correlação entre o preço do macarrão 
em oferta e do molho de tomate em dez supermercados. Os preços praticados 
estão na tabela a seguir:
Preço do Macarrão Preço do molho de tomate
2,00 1,20
2,30 1,40
2,50 1,75
2,60 2,00
2,80 2,20
3,00 2,40
3,20 2,70
3,25 3,00
3,30 3,20
3,50 4,00
As duas séries de preços estão correlacionadas? Justifique.
 FONTE: Adaptado de: Novaes e Coutinho (2009)
3 A tabela a seguir apresenta os dados referentes a áreas de terrenos em metros 
quadrados com seus respectivos preços de venda em mil reais de uma determinada 
região de São Paulo.
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Área dos terrenos (m2) Preço de venda (mil reais)
40 42
60 58
60 58
60 70
80 80
100 90
115 100
130 102
138 130
150 130
160 140
Há correlação entre os dados? Justifique.
 FONTE: Adaptado de: Farhat e Elian (2006).
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REGRESSÃO LINEAR
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 2
Neste tópico daremos prosseguimento ao que começamos a estudar no tópico anterior. 
Lá, aprendemos a verificar se duas variáveis quantitativas possuem algum tipo de dependência 
entre si, ou seja, se há correlação entre elas.
Voltemos ao exemplo em que foram comparados o volume de vendas e o preço de 
determinada mercadoria. Traçamos o gráfico de dispersão da situação e calculamos sua 
correlação.
UNIDADE 3
FIGURA 40 – DISPERSÃO DAS VENDAS EM FUNÇÃO DO PREÇO
FONTE: A autora.
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Uma vez que há correlação linear entre as variáveis, nosso objetivo agora será encontrar 
a equação da reta que melhor descreve esta situação. De posse desta equação, poderemos 
utilizá-la para obter informações que não foram observadas diretamente, mas que podem ser 
obtidas da análise gráfica. Por exemplo, na pesquisa, não foi mencionada a quantidade de 
vendas se o preço da mercadoria fosse 5 dólares, mas se tivermos a equação da reta que 
melhor aproxima os pontos, poderemos encontrar uma aproximação muito boa para este valor. 
Do mesmo modo, se quisermos ter uma ideia da quantidade de vendas esperadas, caso o 
valor da mercadoria fosse de 3,5 dólares.
Vamos então aprender as técnicas para encontrarmos a reta que melhor aproxima os 
pontos observados. Esta técnica é conhecida como regressão linear e o método para encontrá-
la recebe o nome de método dos mínimos quadrados.
Queremos aproximar os dados do gráfico de dispersão por meio de uma reta, cuja 
equação é da forma y = α + β∙x, onde α é chamado de coeficiente linear da reta e β é chamado 
de coeficiente angular da reta. Estes valores α e β são constantes e são eles que a caracterizam: 
cada reta tem um valor para α e um valor para β fixos. Para traçar a reta, vamos então fornecendo 
valores para x (variável independente) e encontrando um único y tal que y = α + β∙x.
UNI
É importante lembrar que α e β são duas letras gregas, chamadas 
alfa e beta.
Voltemos agora para a nossa situação inicial e vamos traçar uma reta que, 
aparentemente, se aproxima de todos os pontos observados da melhor maneira possível 
(este procedimento se chama regressão linear). Provavelmente, nenhum dos pontos 
da amostra pertence à reta, conforme você pode observar. Assim, para cada da amostra, 
teremos , onde é o erro cometido – a distância entre a reta e cada 
- também chamado de resíduo.
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FIGURA 41 – RETA QUE MELHOR APROXIMA DOS DADOS E RESÍDUOS
FONTE: A autora.
O modelo de regressão linear supõe que a média dos valores deve ser zero. Como 
consequência, 
Assim, temos dois valores para serem encontrados, α e β.
Da matemática básica sabemos que, quando precisamos encontrar duas incógnitas, 
precisamos de um sistema com duas equações que as envolvam. O modelo de regressão 
linear nos forneceu uma das equações: Precisamos de mais uma relação entre 
α e β para podermos encontrá-los.
UNIDADE 3TÓPICO 2146
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2 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
Vamos encontrar outra relação que nos auxilie a encontrar os valores de α e β. 
Para que a média dos valores seja zero, temos que Como
n é o tamanho da amostra e, portanto, não é zero, Mas, para cada i, 
quem é ? 
Uma vez que se considerarmos veremos que 
 para cada i. Portanto, se a soma dos resíduos deve ser zero, 
Mas este fato não garante que a reta seja a mais próxima possível, pois o resíduo 
encontrado para certo i pode anular um resíduo encontrado para certo j (i ≠ j). Observe a situação:
FIGURA 42 – RESÍDUOS NA REGRESSÃO
FONTE: A autora.
Observe o desenho: os dois resíduos, embora grandes, possuem tamanho similar, mas 
sinais diferentes. Logo, quando forem somados, irão resultar em um número próximo de zero.
Para contornar este problema, ao invés de minimizar a soma dos resíduos, vamos 
minimizar a soma do quadrado dos resíduos. Assim, teremos apenas valores positivos 
envolvidos no cálculo e, para que a soma resulte em um valor próximo de zero, cada um dos 
resíduos precisa ser muito pequeno.
UNIDADE 3 TÓPICO 2 147
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O critério acima é conhecido como método dos mínimos quadrados.
Através desta suposição e através de cálculos matemáticos, chegam-se às seguintes 
equações: 
Ou, de maneira mais condensada:
UNI
Como estamos utilizando dados de uma amostra para encontrar 
a equação da reta que melhor aproxima os dados, na verdade, 
estamos estimando a verdadeira equação da reta. Por esta razão, 
escrevemos 
Vamos então calcular a regressão linear para o problema do volume de vendas em 
relação ao preço, utilizando o método dos mínimos quadrados. A mesma tabela auxiliar que 
montamos para calcular a correlação nos ajuda no cálculo das variáveis α e β.
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TABELA 59 – TABELA AUXILIAR PARA AJUSTE DE RETA
i
(preço) (vendas)
1 4,9 50,0 24,0 2500,0 245,0
2 4,8 68,4 23,0 4678,6 328,3
3 4,7 65,3 22,1 4264,1 306,9
4 4,6 69,0 21,2 4761,0 317,4
5 4,5 82,3 20,3 6773,3 370,4
6 4,4 109,1 19,4 11902,8 480,0
7 4,3 99,9 18,5 9980,0 429,6
8 4,2 128,6 17,6 16538,0 540,1
9 4,1 180,0 16,8 32400,0 738,0
10 4,0 200,5 16,040200,3 802,0
TOTAL 44,5 1053,1 198,9 133998,0 4557,7
FONTE: A autora. 
Assim,
Assim, a reta que melhor aproxima os dados da amostra é dada pela equação
EXEMPLO: Consideremos a situação proposta no tópico anterior, onde eram analisadas 
as notas em Estatística e em Cálculo obtidas pelos estudantes de Engenharia Elétrica de uma 
determinada universidade. Vimos que as variáveis X: nota em Cálculo e Y: nota em Estatística 
estavam correlacionadas linearmente. Vamos então utilizar o método de minimização dos 
quadrados para encontrar a reta que melhor aproxima os dados da amostra. A tabela auxiliar 
que construímos para calcular a correlação entre as variáveis era a seguinte: 
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TABELA 60 – TABELA AUXILIAR PARA AJUSTE DE RETA
i (Notas em 
Cálculo)
(Notas em 
Estatística)
1 4 5 16 25 20
2 6 7 36 49 42
3 7 8 49 64 56
4 6 5 36 25 30
5 9 9 81 81 81
6 8 8 64 64 64
7 8 5 64 25 40
8 2 4 4 16 8
9 2 5 4 25 10
10 5 4 25 16 20
11 4 6 16 36 24
12 9 8 81 64 72
TOTAL 70 74 476 490 467
FONTE: A autora.
Assim, a reta que melhor aproxima os dados da amostra é dada pela equação
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FIGURA 43 – RETA AJUSTADA – REGRESSÃO LINEAR
FONTE: A autora.
3 ANÁLISE DA REGRESSÃO LINEAR
A regressão linear é, portanto, a reta que melhor aproxima dos dados de uma amostra 
onde duas variáveis são analisadas conjuntamente. O que isto significa?
Voltemos ao exemplo anterior, das notas em Cálculo e em Estatística. O modelo de 
regressão linear nos forneceu a seguinte equação: Note que o valor 
de α – no caso, α = 3,121 – independe de X. Isto significa que mesmo sem nota em cálculo, é 
de se esperar que o aluno obtenha nota 3,122, ou seja, é a nota inicial em estatística segundo 
o modelo. Já a constante β – no caso, β = 0,522 – nos fornece a proporção com que Y varia 
quando X varia. Neste caso, cada alteração na nota de Cálculo (X) altera a nota de Estatística 
a uma proporção de 0,522 (ou 52,20%). 
É claro que a reta não descreve exatamente o comportamento da relação entre as 
variáveis, mas dá uma estimativa para o comportamento conjunto delas. No exemplo anterior, das 
notas em Cálculo e Estatística, se procurarmos a nota de Estatística (variável Y) correspondente 
à nota 6 em Cálculo (variável X) na reta, encontraremos ou seja, 
de acordo com a equação da reta, quem tem nota 6 em Cálculo obtém nota 6,25 em estatística. 
Por outro lado, na amostra, dois estudantes tiraram 6 em Cálculo: um tirou 5 em estatística e 
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o outro tirou 7! O fato dos valores observados serem diferentes do obtido via regressão não 
significa que houve erro no cálculo, pois são informações diferentes: o dado obtido via equação 
é uma estimativa.
Este exemplo ilustra o cuidado que devemos ter ao trabalharmos com a linearização: 
a regressão é uma estimativa que descreve o comportamento conjunto dos dados, mas não 
significa que podemos replicar os dados da amostra com ela.
Por outro lado, a equação é bastante útil para tirarmos informações sobre dados que 
não dispomos. 
3.1 INTERPOLAÇÃO E EXTRAPOLAÇÃO
Suponhamos que estivéssemos interessados em obter uma estimativa para a nota de 
um estudante que obteve 4,5 em Cálculo. Nenhum dos estudantes que fez parte da amostra 
obteve esta nota e, portanto, não podemos utilizar informações da tabela de distribuição. Por 
outro lado, podemos estimar um valor para ela através da equação da reta:
Assim, é estimado que este estudante tenha tirado 5,47, ou 5,5 em Estatística.
Note que, na amostra, os dados de x variavam de 2 a 9, ou seja, x pertence ao intervalo 
fechado [2, 9]. Portanto, embora não faça parte da amostra, x = 4,5 também pertence a este 
intervalo, pois é maior do que 2 e menor do que 9. Quando o valor y que pretendemos estimar 
estiver associado a um valor x pertencente ao intervalo de valores da amostra, damos nome 
a este processo de interpolação.
E se quiséssemos estimar a nota em estatística de um estudante que obteve 10 em 
Cálculo? Embora o valor 10 não faça parte do intervalo de valores para x da amostra, o fato de 
estarmos aproximando os dados por uma reta (regressão linear) implica podermos estimar a 
nota em estatística via equação. Neste caso, 
Assim, é estimado que o estudante que tenha nota 10 em Cálculo, tenha nota 8,3 em 
Estatística.
Quando o valor y que pretendemos estimar estiver associado a um valor x não 
pertencente ao intervalo de valores da amostra, damos nome a este processo de extrapolação.
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Para a interpolação, qualquer valor estudado é aceitável, uma vez que ele pertence ao 
intervalo da amostra; já no caso da extrapolação, precisamos ter alguns cuidados. Embora a 
reta esteja definida para qualquer número real (propriedade de reta), o significado da variável 
impõe restrições aos valores estudados. Por exemplo, no caso das notas de Cálculo, embora 
matematicamente possível, não tem sentido supormos notas superiores a 10 (supondo 10 a 
nota máxima) ou inferiores a 0.
EXEMPLO: Vamos voltar ao exemplo do volume de vendas associado ao preço da 
mercadoria. 
TABELA 61 – EXEMPLO DE CORRELAÇÃO LINEAR
Mês
Preço 
(em dólares)
Quantidade vendida 
(em milhares)
1 4,9 50,0
2 4,8 68,4
3 4,7 65,3
4 4,6 69,0
5 4,5 82,3
6 4,4 109,1
7 4,3 99,9
8 4,2 128,6
9 4,1 180,0
10 4,0 200,5
FONTE: Silver (2000)
Já realizamos a regressão linear para esta situação, e encontramos a seguinte equação 
da reta: 
Se quisermos estimar o volume de vendas caso o preço da mercadoria fosse de 6 
dólares, teríamos que 
Note que, embora os cálculos estejam corretos, o valor encontrado é negativo, o que 
não faz sentido, uma vez que a variável Y está associada a quantidades. Por outro lado, fica 
evidente que cobrar 6 dólares pela mercadoria seria inviável. Vamos encontrar o valor em 
dólares para o qual a quantidade vendida seria nula?
Nesse caso, y = 0.
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Assim, concluímos que a mercadoria não pode custar mais do que 5,12 dólares.
3.2 COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO
Outro ponto que merece destaque diz respeito à confiabilidade dos dados estimados via 
regressão linear. Como saber se eles são confiáveis? Segundo Crespo (2009), só faz sentido 
fazermos a regressão linear se há, de fato, correlação entre as variáveis e se esta correlação é 
relativamente alta. Por esta razão, o primeiro passo ao estudarmos duas variáveis conjuntamente 
é calcular a coeficiente de correlação linear entre elas. O coeficiente de correlação nos dá uma 
preciosa informação: ele fornece uma medida de quanto de uma variável é explicada linearmente 
pela outra variável. Esta medida se chama coeficiente de determinação (ou coeficiente de 
explicação), e corresponde a 
R2 = r2 
onde r é o coeficiente de correlação linear que já estudamos.
Aplicando ao exemplo anterior, sobre a quantidade de vendas em relação ao preço 
da mercadoria, havíamos concluído que, para este caso, r = - 0,93. Assim, o coeficiente de 
determinação é de R2 = (-0,93)2 = 0,8649. Segundo Silver (2000), este valor mostra que a 
proporção da variação de Y – no caso, a quantidade de vendas - explicada pelo modelo é 
de 0,8649, isto é, de 86,49%. Portanto, apenas (100% - 86,49%) = 13,51% da variação na 
quantidade de vendas é explicada por outros fatores que não a relação linear estabelecida 
pelo modelo com a variação do preço.
No caso da relação entre as notas em Cálculo e Estatística, r = 0,7403. Assim, R2 = 
(0,7403)2 = 0,5480. Assim, as notas em Estatística são explicadas pelo modelo de regressãolinear na proporção de 54,80%: 45,20% da variação nas notas de Estatística é explicada por 
outros fatores que não a relação linear estabelecida pelo modelo com as notas em Cálculo.
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RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, estudamos a regressão linear por meio do método dos mínimos 
quadrados. Mais precisamente, vimos que:
•	 Regressão linear consiste em traçar uma reta que se aproxime de todos os pontos observados 
da melhor maneira possível, cuja equação é da forma y = α + β∙x, onde α é chamado de 
coeficiente linear da reta e β é chamado de coeficiente angular da reta.
•	 Os valores α e β são constantes e são eles que caracterizam a reta e, portanto, são eles 
que devem ser encontrados.
•	 O método dos mínimos quadrados consiste em um método matemático que permite encontrar 
α e β, de modo que a soma dos quadrados dos resíduos seja a menor possível.
•	 Interpolação é o processo de, dado um valor para x pertencente ao intervalo da amostra, 
encontrar um valor estimado para y via regressão linear.
•	 Extrapolação é o processo de, dado um valor para x não pertencente ao intervalo da amostra, 
encontrar um valor estimado para y via regressão linear.
•	 Sempre é possível interpolar, mas é preciso cuidado na hora de extrapolar!
•	 O coeficiente de determinação é obtido através do coeficiente de correlação e nos fornece 
a proporção com que a variação da variável Y é explicada pelo modelo de regressão linear.
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1 Uma agência de turismo especializada em oferecer passeios opcionais para turistas 
que visitam determinada região está estudando a variação na adesão a determinado 
pacote quando são acrescentados ou tirados percursos do preço cobrado, obtendo 
as seguintes informações:
Preço ($) Número de adesões
10 50
15 51
20 48
25 43
30 42
35 45
40 39
45 38
50 40
55 34
60 32
70 30
90 25
a) Faça o gráfico de dispersão.
b) Há correlação linear entre os dados? Justifique.
c) Encontre a função matemática que explique a dependência entre o número de adesões 
e o preço do passeio opcional.
d) Estime o número de pessoas que farão o passeio opcional se o valor cobrado for de 
80 reais.
e) Encontre a proporção com que a variação no número de ações é explicada linearmente 
pelo preço da mesma.
FONTE: Adaptado de: Novaes e Coutinho (2009)
2 custo mensal de manutenção de determinado tipo de automóvel (excluindo-se 
combustível e troca de óleo) está sendo analisado em função da idade do veículo. 
Nove automóveis fabricados em diferentes anos tiveram o custo averiguado e os 
dados obtidos foram os seguintes:
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Idade do veículo (anos) Custo mensal (reais)
1 8
2 13
3 18
4 28
5 24
6 26
7 29
8 32
9 37
a) Trace o gráfico de dispersão.
b) Calcule o coeficiente de determinação.
c) Faça a regressão linear e encontre a equação da reta melhor ajustada.
d) Com base no modelo de regressão linear, qual é o custo mensal de um carro com 
12 anos de uso?
FONTE: Adaptado de: Magalhães e Lima (2010)
3 Uma indústria submete seus novos operários a um teste de aptidão (X) e três meses 
depois mede a produtividade destes operários (Y). Os resultados estão na tabela a seguir:
Operário Aptidão(X) Produtividade (Y)
A 22 45
B 25 37
C 15 25
D 19 40
E 22 33
F 18 30
a) Faça o diagrama de dispersão e calcule o coeficiente de correlação.
b) Encontre a equação da reta de regressão.
c) Para um indivíduo cujo resultado no teste de aptidão foi 20, qual é a produtividade 
esperada?
d) Para um indivíduo que obteve 28 no teste de produtividade, qual é o resultado no 
teste de aptidão?
FONTE: Adaptado de: Magalhães e Lima (2010)
4 Certa empresa, estudando a variação da demanda do seu produto em relação à 
variação de preço de venda (em unidades monetárias), obteve os seguintes dados: 
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Preço (u.m.) Demanda
38 350
42 325
50 297
56 270
59 256
63 246
70 238
80 223
95 215
110 208
a) Determine os coeficientes de correlação e de determinação entre as variáveis.
b) Encontre a equação da reta ajustada.
c) Se o preço de venda for 75 u.m., qual é a demanda estimada?
d) Se o preço de venda for de 110 u.m., qual é a demanda estimada?
e) Qual é o valor máximo de preço possível para que haja demanda?
FONTE: Adaptado de: Crespo (2009) 
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REGRESSÃO MÚLTIPLA
1 INTRODUÇÃO
TÓPICO 3
Nos tópicos anteriores, vimos que é possível medir a correlação linear entre duas 
variáveis e, se elas estiverem de fato correlacionadas, ajustar uma reta de regressão entre elas.
Algumas vezes, os problemas que queremos estudar envolvem mais de duas variáveis, 
e precisamos saber se a variação de uma influencia na variação das outras. Um bom exemplo 
disso é a composição de carteiras de investimento. Normalmente, há mais de uma ação na 
carteira, e o seu rendimento é afetado pelo rendimento das ações que a compõem. Nestes 
casos, é interessante para o investidor saber quanto a variação de retorno de cada ação interfere 
na variação de retorno da carteira em si. Dependendo da resposta, o investidor pode mexer na 
composição da carteira, seja pelo aporte de valores em determinada ação (a compra de mais 
ações de uma mesma companhia), seja a composição em si da carteira.
Neste tópico, iremos estudar a regressão múltipla, que consiste em encontrar uma 
equação matemática (no caso, a equação de um plano) que descreva o comportamento de 
uma variável em função de várias outras. Assim, podemos ver a regressão linear como um 
caso particular da regressão múltipla.
UNIDADE 3
2 O PLANO DE REGRESSÃO
Suponhamos que o volume de vendas de um produto de determinada empresa foi 
estabelecido em função de duas variáveis: custo total e gastos com publicidade em unidades 
monetárias. O quadro a seguir apresenta os dados observados:
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TABELA 62 – REGRESSÃO MÚLTIPLA
Período Vendas Custo Total
G a s t o s c o m 
publicidade
1 10 20 5
2 20 18 8
3 30 15 10
4 40 13 15
5 50 10 17
6 55 9 20
FONTE: Oliveira (2010).
Como queremos descrever o volume de vendas em função do custo total e do gasto 
com publicidade, consideraremos as vendas como sendo a variável dependente Y (pois ela 
depende das outras duas), e as outras duas variáveis como variáveis independentes X1 e X2 
respectivamente.
A ideia da regressão múltipla é encontrar a equação do plano Y = α + β1∙X1 + β2∙X2 que 
melhor aproxime os dados da amostra. Assim como na regressão linear, precisamos então 
encontrar valores para as constantes α, β1 e β2 que caracterizam este plano, e utilizaremos o 
que temos, isto é, os dados da amostra, para estimá-las. 
Novamente, é provável que nenhum dos pontos da amostra pertença 
ao plano (pelo menos um provavelmente não pertencerá). Assim, para cada i, teremos 
 onde é o erro cometido – a distância entre o plano e cada 
 – isto é, o resíduo.
 Assim, para cada i, 
Da mesma maneira que fizemos para regressão linear, queremos minimizar o erro 
cometido. Então vamos impor que a soma dos quadrados dos erros seja mínima, isto é, 
Através desta suposição e através de cálculos matemáticos, chega-se às seguintes 
equações:
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De acordo com Oliveira (2010), isolando α na terceira equação e substituindo seu valor 
nas demais, chegamos a uma maneiramais fácil de fazermos as contas:
Voltando ao nosso exemplo, vamos construir nossa tabela auxiliar:
TABELA 63 – TABELA AUXILIAR PARA REGRESSÃO MÚLTIPLA
i
1 10 20 5 400 25 200 50 100
2 20 18 8 324 64 360 160 144
3 30 15 10 225 100 450 300 150
4 40 13 15 169 225 520 600 195
5 50 10 17 100 289 500 850 170
6 55 9 20 81 400 495 1100 180
TOTAL 205 85 75 1299 1103 2525 3060 939
FONTE: A autora
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Assim,
Substituindo estes valores no sistema, temos que:
Ou ainda
Resolvendo este sistema, encontraremos Falta encontrarmos α.
Mas Logo
Portanto, a equação do plano estimado que minimiza os erros é dada por 
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Se estivermos interessados em estimar o volume de vendas, dado que o custo total foi 
17 e os gastos com propagando totalizaram 20 unidades monetárias, basta substituir estes 
valores na equação:
O mesmo processo feito para estudarmos o comportamento de uma variável estatística 
frente a outras duas pode ser estendido para três ou mais variáveis, entretanto, a dificuldade 
de trabalhar com os cálculos necessários para estimar a regressão é considerável. Nestes 
casos, um software estatístico, ou mesmo o Excel pode ajudar.
LEITURA COMPLEMENTAR
O USO DE DADOS DO IBGE PARA PESQUISAS
O IBGE é o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística, responsável de coletar e 
divulgar dados e informações sobre o país em diversos segmentos da sociedade, bem como dar 
subsídio para os governos federal, estadual e municipal na tomada de decisões. Seu objetivo 
principal é “retratar o Brasil com informações necessárias ao conhecimento da sua realidade 
e ao exercício da cidadania”, segundo o sítio eletrônico no qual ficam disponibilizados todos 
os dados.
Uma dica valiosa para quem gosta e se interessa por estatística é consultar o sitio 
eletrônico do IBGE (<www.ibge.gov.br>) e acessar o Brasil em Síntese. Este canal possibilita 
acesso a dados resumidos e pode servir para ilustrar, subsidiar ou mesmo nortear trabalhos e 
pesquisas na área da administração (e áreas afins).
O Brasil em Síntese reúne informações que permitem traçar um panorama nacional sob 
a forma de gráficos e tabelas, apresenta dados sobre território, população, educação, trabalho, 
habitação, agropecuária, indústria, comércio, serviços e contas nacionais.
FONTE: IBGE. Disponível em <http://brasilemsintese.ibge.gov.br/>. Acesso em: 7 fev. 2014.
A investigação sobre serviços vem crescendo imensamente nas últimas décadas no 
mundo inteiro, destacando-se pela representatividade no Produto Interno Bruto (PIB), 47,4%, 
em 2012. O avanço deste setor no processo de crescimento da economia é relevante devido 
a sua geração de renda e emprego. Trata-se de um setor heterogêneo, tanto no que se refere 
ao desempenho das empresas, como ao nível de integração aos processos de inovação e ao 
uso de tecnologia, apresentando ainda distintos perfis de ocupação de pessoal.
Neste contexto, a Pesquisa Anual de Serviços (PAS) fornece informações sobre a 
estrutura produtiva do setor de serviços formais não financeiros no Brasil, possibilitando diversos 
estudos e análises.
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O segmento de transportes, serviços auxiliares aos transportes e correio foi responsável 
pela maior parcela da receita operacional líquida gerada no setor de serviços em 2010. Em 
relação ao número de empresas, destacam-se os serviços prestados às famílias Além de sua 
expressividade em termos de receita operacional líquida e número de empresas, os serviços 
profissionais, administrativos e complementares representaram a maior parcela do valor 
adicionado, da massa salarial e do pessoal ocupado.
Analisando o período de 2007 a 2011, quando a economia apresentou uma redução 
da taxa de crescimento real2 no biênio 2008-2009 e uma recuperação no biênio posterior, 
observa-se um crescimento real de 31,6% da receita operacional líquida das empresas de 
serviços. Destacam-se quatro segmentos que alcançaram, no período, variação superior a 
este resultado: serviços de manutenção e reparação (63,0%); atividades imobiliárias (59,8%); 
serviços prestados principalmente às famílias e serviços profissionais, administrativos e 
complementares (ambos com 44,9%). A recuperação da economia baseou-se no dinamismo 
do mercado interno, com reflexos sobre o setor de serviços.
FONTE: IBGE. Disponível em <http://brasilemsintese.ibge.gov.br/servicos>. Acesso em: 7 fev. 2014.
Como você pode perceber, é possível e conveniente, além de confiável, utilizar nas 
suas pesquisas para trabalhos da graduação, ou mesmo de uma futura pós-graduação, dados 
do IBGE. Isto, dentre as cinco fases do método estatístico caracterizará uma coleta de dados 
indireta, pois você estará se apropriando de dados já coletados por alguém. Abaixo você 
pode conferir alguns exemplos de dados provenientes da pesquisa do IBGE acerca do setor 
de serviços. Observe que tais dados estão dispostos em quadros, porém no site do Brasil em 
Síntese (gerenciado pelo IBGE), há possibilidade de visualizar também o gráfico proveniente 
destes quadros. Optou-se por apresentar, nesta leitura, o formato quadro, por conta da fácil 
leitura e compreensão de todos os acadêmicos.
Exemplos de dados para utilização em pesquisas
No Quadro 1 você pode visualizar o número de empresas no segmento de serviços, 
no Quadro 2 o número de pessoas que atuam em cada segmento do setor de serviços e no 
Quadro 3 a receita obtida pelo total de empresas de cada segmento do setor de serviços.
Os dados apresentados são da pesquisa de 2010 realizada pelo IBGE e divulgada pelo 
Brasil em Síntese. Com base nestes dados você poderá enriquecer um trabalho para uma 
disciplina ou mesmo o seu Trabalho de Graduação, caso queira optar por um tema.
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Segmentos de serviços Número de empresas
Transportes, serviços auxiliares aos transportes e correios 147.022
Atividades imobiliárias 28.065
Serviços profissionais, administrativos e complementares 296.944
Outras atividades de serviços 30.434
Serviços prestados às famílias 310.958
Serviços de informação e comunicação 81.767
Serviços de manutenção e reparação 97.618
Total 992.808
FONTE: IBGE. Disponível em: <http://brasilemsintese.ibge.gov.br/servicos/numero-de-empresas-
por-segmento-de-servico>. Acesso em: 7 fev. 2014.
QUADRO 1 – NÚMERO DE EMPRESAS SEGUNDO O SEGMENTO DE SERVIÇO – BRASIL – 2010
QUADRO 2 – NÚMERO DE PESSOAS OCUPADAS SEGUNDO O SEGMENTO DE SERVIÇO (EM 
MIL) – BRASIL 2010
Segmentos de serviços Pessoal Ocupado
Serviços de informação e comunicação 800,542
Outras atividades de serviços 464,496
Serviços de manutenção e reparação 400,395
Serviços profissionais, administrativos e complementares 4.319,524
Serviços prestados às famílias 2.260,965
Transportes, serviços auxiliares aos transportes e correio 2.229,110
Atividades imobiliárias 146,754
Total 10.621,786
FONTE: IBGE. Disponível em <http://brasilemsintese.ibge.gov.br/servicos/pessoal-ocupado-por-
segmento-de-servico>. Acesso em: 7 fev. 2014.
QUADRO 3 – RECEITA (EM MIL R$) SEGUNDO O SEGMENTO DE SERVIÇO – BRASIL 
– 2010
Segmentos de serviços Receita
Serviços de manutenção e reparação 15.285,281
Atividades imobiliárias 19.845,671
Serviços profissionais, administrativos e complementares 220.799,533
Serviços de informação e comunicação 233.541,222
Transportes, serviços auxiliares aos transportes e correios 251.117,852
Outras atividades de serviços 42.480,303
Serviços prestados às famílias 86.237,865
Total 869.308,728
FONTE: IBGE. Disponível em <http://brasilemsintese.ibge.gov.br/servicos/receita-por-segmento-de-
servico>. Acesso em:7 fev. 2014.
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RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico, estudamos a regressão múltipla. Mais precisamente, vimos que: 
•	 A regressão múltipla consiste em encontrar uma equação matemática (no caso, a equação 
de um plano) que descreva o comportamento de uma variável em função de várias outras.
•	 A regressão linear como um caso particular da regressão múltipla.
•	 Aprendemos a calcular os coeficientes do plano de regressão.
•	 Vimos que a teoria desenvolvida para o caso de duas variáveis independentes pode ser 
expandida para três ou mais.
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Vamos praticar os conhecimentos adquiridos? Resolva os exercícios a 
seguir:
1 Você recebeu informações sobre a porcentagem de ações no mercado, preços como 
porcentagem dos preços médios do competidor, e gastos com propaganda como 
porcentagem dos preços médios do competidor, para uma linha específica de comida 
para gatos, nos últimos oito anos. Os dados obtidos seguem a seguir:
Período
A ç õ e s n o 
Mercado (%)
Preço Relativo
P r o p a g a n d a 
relativa
1 30 89 110
2 31 85 115
3 30,5 86,5 120
4 29 92 114
5 29,5 90 112
6 28,5 102 115
7 28 115 116
8 26 125 114
a) Encontre a regressão múltipla que melhor estima o comportamento das ações 
no mercado em relação às outras duas variáveis.
b) Se o preço relativo for de 120 e a propaganda for de 111, qual é a estimativa para 
a porcentagem de ações no mercado?
FONTE: Adaptado de: Silver (2000)
2 Um conjunto de experimentos foi realizado para determinar uma maneira de 
prever o tempo de cozimento y em junção de vários níveis de largura do forno e 
da temperatura do gás. Os dados obtidos foram os seguintes:
Experimento
Tempo de 
cozimento
L a r g u r a d o 
forno
Temperatura do 
gás
1 6,40 1,32 1,15
2 15,05 2,69 3,40
3 18,75 3,56 4,10
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4 30,25 4,41 8,75
5 44,85 5,35 14,82
6 48,94 6,20 15,15
7 51,55 7,12 15,32
8 61,50 8,87 18,18
9 100,44 9,80 35,19
10 111,42 10,65 40,40
Estime a equação da regressão múltipla.
FONTE: Adaptado de: Silver (2000)
3 Um estudo foi conduzido para determinar se o peso de um animal pode ser previsto 
depois de um período com base no seu peso inicial e na quantidade de ração que 
ele comeu. Os dados obtidos, em quilogramas, estão na tabela a seguir:
Animal Peso final Peso inicial Peso ração
1 95 42 272
2 77 33 226
3 80 33 259
4 100 45 292
5 97 39 311
6 70 36 183
7 50 32 173
8 80 41 236
9 92 40 230
10 84 38 235
a) Encontre a equação do plano que melhor ajuda os dados obtidos.
b) Dê uma previsão para o peso final do animal que tinha como peso inicial 35 
kg e foi alimentado com 250 kg de ração.
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AVAL
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Prezado(a) acadêmico(a), agora que chegamos ao final 
da Unidade 3, você deverá fazer a Avaliação referente a esta 
unidade.
UNIDADE 3TÓPICO 3170
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REFERÊNCIAS
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