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Serais Aviador
 
SUCESSÕES E SÉRIES DE FUNÇÕES, INTEGRAIS IMPRÓPRIOS E FUNÇÕES EULERIANAS
Curso de Licenciatura em ensino de Matemática 
	
Universidade Rovuma
Nampula
2021
Serais Aviador
SUCESSÕES E SÉRIES DE FUNÇÕES, INTEGRAIS IMPRÓPRIOS E FUNÇÕES EULERIANAS
 (
Trabalho individual de carácter avaliativo da cadeira de 
Análise Harmónica
, Curso de licenciatura em
 ensino de Matemática
, UniRovuma- Delegação de Nampula, Faculdade d
e Ciências Naturais, Matemática
 e
 Estatística
,
 
Departamento de
 
Ensino À Distância d
e Nampula
, Centro de Recursos de 
Nacala
, orientado pelo docente:
MSc. Emílio António 
)
Universidade Rovuma
Nampula
2021 
 (
ii
)Índice
Introdução	4
1. As Sucessões e Séries de Funções, Integrais impróprios e Funções Eulerianas	5
1. Sucessões de funções	5
1.1. Conceito de sucessão de funções e três exemplos	5
1.2. Convergência pontual e convergência uniforme de sucessões de função	6
1.2.1. Convergência pontual de sucessão de funções	6
1.2.2. Convergência uniforme de sequência de funções	7
2. Série de Funções	9
2.1. Conceito de série de função e três exemplos	9
2.2 Convergência pontual, uniforme e seus critérios para as convergências	10
2.2.1. Convergência pontual de séries de funções	10
2.2.2. Convergência Uniforme de Séries de Funções	11
2.2.3. Critérios para convergência	12
2.3 Propriedades de convergências	13
2.4 Propriedades das derivadas e dos integrais para séries de funções	13
2.5. Convergência das séries de potências e dar três exemplos	13
2.6 Integração de séries de potências e dar três exemplos	15
2.7. Representação adequada de uma função pela série de potências	17
2.8. Série de Taylor	17
2.9. Série de Mac-Laurin	18
2.10. Resolução de equações diferencia usando séries de potências	18
3. Integrais impróprios	19
3.1. Integrais impróprios da 1ª, 2ª e 3ª espécie	19
3.2. Classificação de integrais impróprios	19
3.2.1. Integral Imprópria com Descontinuidade Infinita (1ª espécie)	19
3.2.1.1. Integrais Definidas em Intervalos Ilimitados (1ª espécie)	21
3.2.2. Integral Imprópria com Intervalo de Integração Infinito (2ª espécie)	22
3.2.2.1. Integral de Dirichlet	22
3.2.3. Integrais Impróprios Mistos (3ª espécie)	23
Propriedades Algébricas	25
4. Funções Eulerianas	26
4.1. Definição integral da função Gama	26
4.2. Propriedades básicas, factorial, gráfico, derivada logarítmica (função digama)	27
4.3. Fórmula de Stirling	28
4.4. Definição e propriedades da função Beta	28
Conclusão	30
Referências bibliográficas	31
3
Introdução
O presente trabalho da cadeira de Análise Harmónica fala sobre: “Sucessões e Séries de Funções, Integrais impróprios e Funções Eulerianas”. O interesse por esta temática se deu, fundamentalmente, devido a necessidade de saber sobre . 
O trabalho tem como objectivos: 
· Geral: compreender as Sucessões e Séries de Funções, Integrais impróprios e Funções Eulerianas; que se desdobra nos seguintes objectivos, 
· Específicos:
i. Definir sucessões e Séries de Funções, Integrais impróprios e Funções Eulerianas;
ii. Estudar a convergência pontual e convergência uniforme de sucessões e Séries de Funções e Integrais impróprios;
iii. Classificar integrais impróprios;
iv. Identificar as propriedades básicas, factorial, gráfico, derivada logarítmica (função digama).
Para a elaboração deste trabalho a metodologia usada consistiu na revisão bibliográfica de obras electrónicas, conforme a lista que consta nas referências bibliográficas.
Quanto a estrutura, o trabalho compreende capa, contra capa, índice, esta introdução, o desenvolvimento – que contem os detalhes referentes as Sucessões e Séries de Funções, Integrais impróprios e Funções Eulerianas, segue-se a conclusão que contem os aspectos observados durante a realização do trabalho e termina com uma referência bibliográfica. 
1. As Sucessões e Séries de Funções, Integrais impróprios e Funções Eulerianas
1. Sucessões de funções 
1.1. Conceito de sucessão de funções e três exemplos
Seja A um subconjunto de R. A aplicação que cada natural n fizermos corresponder uma função fn : A R será dita sequência de funções.
As funções fn : A R serão ditas termos da sequência (no caso, n-ésimo termo da sequência).
Notação: A sequência de funções acima será indicada por: (fn)n N; nN; ou. (HARSHBARGER & REYNOLDS, 2006).
Exemplo:
1. Consideremos a sequência nN onde A = , é dada por ; N, cujos gráficos dos quatro primeiros termos estão na figura abaixo.
Figura 1: os 4 primeiros termos de 
Fonte: (HARSHBARGER & REYNOLDS, 2006)
2. Consideremos a sequência nN onde A = IR e é dada por ; IR, cujos gráficos , e encontram-se na figura abaixo.
Figura 2: os 3 primeiros termos de 
Fonte: (HARSHBARGER & REYNOLDS, 2006)
1.2. Convergência pontual e convergência uniforme de sucessões de função
1.2.1. Convergência pontual de sucessão de funções 
Dada uma sequencia de funções nN, , fixando-se obtemos uma sequencia numérica nN que pode ou não ser uma sequencia numérica convergente.
Baseado nisto temos a seguinte definição:
Definição: Dada a sequência de funções nN definidas em e . Diremos que a sequência de funções nN converge em se a sequência numérica nN for convergente (isto é, existe ).
Se para cada , a sequencia numérica nN for convergente para então diremos que a sequência de funções nN converge pontualmente (ou ponto a ponto) para a função em A (isto é, ) para cada (HARSHBARGER & REYNOLDS, 2006).
Neste caso escreveremos em A ou pontualmente em A.
Observações:
1. Observemos que está univocamente determinada, isto é, é de facto uma função.
2. Da definição de convergência de sequências numéricas temos: em A se, e somente se, dado , para cada , existe , , tal que para temos .
3. Este tipo de convergência de sequência de funções é chamada de convergência pontual ou convergência ponto a ponto.
Exemplo:
1. 
Consideremos a sequência nN onde A = R e é dada por . Fixado temos que .
Logo, tomando-se dada por , temos que em A = R (isto é, converge pontualmente para e A). A figura abaixo ilustra o caso.
Figura: convergência pontual de 
Fonte: Lima (1999)
Na definição da convergência pontual podemos observar que o obtido depende, me geral, do e do fixado. Será que não podemos eliminar a dependência do em relação a ? A resposta em geral é não.
1.2.2. Convergência uniforme de sequência de funções 
Quando pudermos tomar N0 independente de x0 temos a:
Definição: Diremos que uma sequência de funções nN definidas em (isto é, ) converge uniformemente em para uma função se dado existir tal que se temos , para todo A. 
Neste caso escreveremos em A.
Observações:
1. Notemos que escrever é equivalente a escrever ou ainda, . Assim, a sequencia de funções nN satisfaz a condição acima se, e somente se, seu gráfico está contido no “tubinho” de raio em torno do gráfico da função .
Figura: convergência uniforme de sequências de funções 
Fonte: Lima (1999)
Logo, do ponto de vista acima, uniformemente em A se dado existir um tal que para todo o gráfico das funções estão dentro do “tubinho” de raio em torno do gráfico da função .
2. Segue imediatamente das definições que convergência uniforme implica em convergência pontual, isto é, se uma sequência de funções (fn) nN converge uniformemente em A para uma função f então (fn)nN converge pontualmente para f em A.
A recíproca é falsa, isto é, existem sequências de funções (fn)nN que converge pontualmente para em A mas a convergência não é uniforme.
2. Série de Funções 
A maior parte das aplicações que temos em vista para os resultados anteriores envolvem séries de funções. Relembra-se que o estudo de uma série corresponde ao estudo da respectiva sucessão de somas parciais. Portanto é natural dizermos que uma série de funções converge uniformemente para a sua soma num dado conjunto se a respectiva sucessão de somas parciais convergir uniformemente nesse conjunto.
2.1. Conceito de série de função e três exemplos
Segundo Lima (1999: 243) chama-se série de funções a uma expressão que se pode escrever na forma 
,
com , funçõesreais de variável real, todas definidas no mesmo intervalo [a, b].
Observações:
1. 
Observemos que a série de funções pode ser olhada como uma soma infinita de funções, isto é, A.
2. 
A sequência de funções nN (que é a série) também será denominada de sequência das somas parciais da série . Cada termo dessa sequência (ou da série), Sn, será dito soma parcial de ordem n da série . As funções serão ditas termos da série .
Exemplo:
Seja a sequência de funções (fn) nN dada por , e N. Então, a serie de funções (Sn) nN terá como termos:
Ou seja,
2.2 Convergência pontual, uniforme e seus critérios para as convergências
2.2.1. Convergência pontual de séries de funções 
Lembremos que podemos estudar a convergência de uma sequências de funções de, pelo menos dos modos: convergência pontual e convergência uniforme.
Como uma série de funções é uma sequência de funções “especial” podemos estudar sua convergência nesses dois sentidos.
Mais especificamente, temos a:
Definição: Considere a sequência de funções (fn)nN definia em A R.
Diremos que a série de funções onde a converge pontualmente para f em A se a sequencia de funções (Sn) nN converge pontualmente para , isto é, se para cada x A a série numérica converge para . (LIMA, 1999).
Neste caso diremos que é a soma da série e denotaremos
 em A.
Observação:
No caso acima, símbolo denotará duas coisas diferentes, a saber: a série de funções (Sn) n N (isto é, a sequência das somas parciais associada a mesma) e a função que é a sua soma (o limite da sequência das somas parciais), caso exista.
Exemplo:
1. Seja a sequência de funções (fn) n 0N dada por fn(x) = xn, x [0; 1] e n 0N.
Então a série de funções é convergente pontualmente em [0; 1[ pois para cada x0 [0;1[ fixado a série numérica é uma série geométrica de razão x0 [0; 1[, portanto convergente.
Além disso, sabemos que neste caso, , , x [0; 1[, ou seja, a soma da série será a função f(x) = , x [0; 1[.
A série de funções não é pontualmente convergente em x = 1, ou seja, pontualmente para x [0; 1[.
2.2.2. Convergência Uniforme de Séries de Funções
Definição: Diremos que a série de funções converge uniformemente para f em A se a sequência de funções (Sn) n N converge uniformemente para f em A.
Antes de exibirmos alguns exemplos de convergência de séries de funções daremos alguns resultados que serão úteis em várias situações.
O primeiro deles é consequência imediata dos resultados vistos sobre convergência uniforme de sequência de funções, a saber:
Corolário: Considere série de funções uniformemente convergente para a função f em [a; b] (isto é, f =onde a convergência é uniforme em [a; b]).
1. Se cada uma das funções fn for contínua em [a; b], para todo n N, então f será contínua em [a; b], isto é, 
ou ainda
2. Se f e as forem continuas em [a; b], para todo n N, então
isto é, 
ou ainda, a série pode ser integrada termo a termo.
3. Suponha que as fn sejam continuamente diferenciáveis em [a; b] para todo n N.
Se para algum x0 [a; b] a série numérica converge e a série de funções converge uniformemente para uma função g em [a; b] então a série converge uniformemente para uma função f em [a; b], onde f é continuamente diferenciável em [a; b] e f ’ = g, isto é, 
Ou,
Ou seja, a série pode ser derivada termo a termo.
2.2.3. Critérios para convergência 
Teorema: (critério de Weierstrass)
Consideremos a série de funções , definida no intervalo [a, b]. Se:
· 
Existem constantes tais que ;
· 
A série numérica é convergente, 
Então a série é absolutamente convergente em [a, b].
2.3 Propriedades de convergências
Chama-se domínio de convergência de uma série de funções ao conjunto dos valores de x para os quais a série converge.
2.4 Propriedades das derivadas e dos integrais para séries de funções 
Sejam a, b IR tais que e uma serie de funções continuas em [a, b]. se a serie converge uniformemente em [a, b] para a função f: [a, b] R, então a função f é integrável em [a, b] e tem-se:
2.5. Convergência das séries de potências e dar três exemplos 
Uma série de potências em é uma série da forma:
Onde são os coeficientes da série, é um número real fixado e é uma variável.
Uma série é convergente se a sua sequência de somas parciais converge, isto é,
 Onde é um número real. Se divergir a série não tem soma e será considerada divergente.
Exemplo 1: Analise a convergência de .
Solução:
A série , converge trivialmente em . Porém, diverge nos demais valores de , pois pelo teste da razão, temos:
, para todo .
Exemplo 2: Analise a convergência da série .
Solução:
A série é convergente para todo real, pois pelo teste da razão temos:
Portanto, a série é absolutamente convergente para todo real, logo é convergente.
Exemplo 3: analise a série .
Solução: a série é convergente se , pois é uma série geométrica e converge para o número , ou seja,
Se .
Observações:
Dos três exemplos acima nota-se que existem 3 possibilidades para convergência de potências. Assim, sendo uma série de potências então exactamente uma e apenas uma das três condições é valida:
· Ela é apenas convergente quando ;
· Ela é absolutamente convergente quando ;
· Existe um número real maior que 0, tal que a série é absolutamente convergente para os valores de quando e divergente se .
O número real IR é o raio de convergência da série. No caso 1 temos e no caso 2 temos . No caso 3 não podemos afirmar nada em relação aos extremos do intervalo, portanto os valores de nos quais a série converge serão observados nas seguintes possibilidades: , , , .
Em casos em que a série esteja na forma , trocamos por e as condições tornam-se:
· Ela é apenas convergente quando ;
· Ela é absolutamente convergente quando ;
· Existe um número real maior que 0, tal que a série é absolutamente convergente para os valores de quando e divergente se .
Podemos definir uma função a partir de uma série de potências da seguinte forma: o domínio de é o intervalo de convergência da série e, para cada do domínio definimos como a soma da série em . Assim, se uma função é definida por:
Dizemos que essa é uma representação de por uma série de potências. Dessa forma as funções assim definidas possuem propriedades análogas aos polinómios. 
2.6 Integração de séries de potências e dar três exemplos
Seja uma série de potência cujo raio de convergência é R > 0. Então, se for a função definida por será integrável em todo sub-intervalo fechado de e calculamos a integral de integrando termo a termo a série de potências, isto é, se está em , então 
E o raio de convergência da série resultante também será R.
Exemplos:
1. A função , é representada pela série 
Com domínio . Na figura abaixo, podemos observar a convergência das somas parciais nesse intervalo e a divergência fora dele.
 Figura: gráfico das somas parciais da série da função .
Fonte: Swokowski (1991)
2. Para determinar a série de potências que representa a função podemos fazer a substituição por na série do acima. Portanto, se temos
Dessa forma, como e , temos que ao integrarmos a série termo a termo obtemos, para ,
Devemos verificar o que ocorre nos extremos do intervalo de convergência. Se , temos que , é uma série convergente, pelo critério da série alternada. De facto, sendo o termo geral percebemos que e . O mesmo ocorre para . Portanto, concluímos que para , temos:
Na figura abaixo, podemos visualizar o comportamento de algumas somas parciais:
Figura: gráfico da função e de somas parciais de sua série
Fonte:
Estamos representando uma série de potências através de uma série geométrica conhecida e por técnicas de derivação e integração termo a termo.
2.7. Representação adequada de uma função pela série de potências
Neste item, vamos considerar o problema seguinte: dada uma função com derivadas de todas as ordens, como representá-la por uma série de potências?
2.8. Série de Taylor 
Seja f uma função que admite derivadas de todas as ordens no ponto a. Chama-se série de Taylor de f em a a série , ou seja, à série.
2.9. Série de Mac-Laurin 
No caso em que na expressão acima a = 0, a série é designada por série de Maclaurin de f.
Exemplo:
Por exemplo, as funções e têm as derivadas de todas as ordens dadas por e , respectivamente.
As correspondentes séries de Taylor no ponto a = 0 (ou séries de Mac-Laurin) são, respectivamente,
e
O facto de podermos escrever a série de Taylor de uma função num ponto (o que se verifica para qualquer função indefinidamente derivável nesse ponto) não garante que a função seja soma dessa série, mesmo no intervalo de convergência desta, como se verifica no exemplo que se segue.
Teorema: seja uma função que admite derivadas de todas as ordens num intervalo centrado em , então: , para todo x∈I tal que,
, sendo um número compreendido entre e .
Nota bem: para , é chamado resto de Lagrange da função f.
Se existir duas constantes C e M tais que então .
2.10. Resolução de equações diferencia usando séries de potências 
3. Integrais impróprios 
O conceito de integral definida só vale para função contínua num intervalo fechado e limitado [a, b], porém, quando não é contínua em [a, b] isso nem sempre acontece. Assim, a fórmula para calcular a área do gráfico pode ser adaptada para funções impróprias.
Segundo Swokowski (1991) há dois tipos ou espécies de funções impróprias:
· Uma integral definida e dita imprópria quando a função tem uma descontinuidade infinita em [a; b]. A função integranda e descontinua em um ponto c tal que c ∈ [a, b].
· Uma integral definida e dita imprópria quando o intervalo de integração e infinito. Funções definidas em intervalos do tipo [a, +∞[, ]−∞, b] ou ]−∞, +∞[, ou seja para todo x ≥ a ou x ≤ b ou para todo x ∈ R, respectivamente.
As integrais destas funções são chamadas integrais impróprias. As integrais impróprias são de grande utilidade em diversos ramos da Matemática como por exemplo, na solução de equações diferenciais ordinárias via transformadas de Laplace e no estudo das probabilidades, em Estatística.
3.1. Integrais impróprios da 1ª, 2ª e 3ª espécie 
· Integrais impróprios de 1ª espécie – quando o intervalo de integração não é limitado (isto é, pelo menos um dos extremos de integração é infinito) mas a função é limitada em qualquer seu sub-intervalo limitado;
· Integrais impróprios de 2ª espécie – quando o intervalo de integração é limitado, mas a função integranda não é limitada no intervalo de integração; 
· Dizem-se integrais impróprios mistos (3ª espécie) os integrais que têm situações dos dois tipos anteriores (ou seja, o intervalo de integração é ilimitado e existe um seu sub-intervalo limitado no qual a função é ilimitada).
3.2. Classificação de integrais impróprios
3.2.1. Integral Imprópria com Descontinuidade Infinita (1ª espécie)
Analisaremos, a partir de agora, algumas situações que permitem a extensão dos conceitos de integral definida fazendo uso, inicialmente, dos conhecimentos do cálculo de áreas sob curva. Para exemplificar, tomemos a seguinte função: f(x) = x2, 1 < x ≤ 2
Embora sendo y = f(x) continua no intervalo dado, o conceito de área sob curva não pode ser aplicado uma vez que a função dada não esta definida num intervalo fechado. Mas observe que para um número α [1, 2] tem-se o intervalo fechado [α, 2], portanto para esse intervalo vale a propriedade da soma da área do gráfico, pois, abrange o conceito de integral definida.
Como o valor de α foi escolhido arbitrariamente no intervalo ]1, 2], pode-se aproxima-lo o mais próximo possível de 1 quanto queríamos. Vale dizer que está implícita, neste facto, a noção de limite e, assim, podemos definir para o caso em questão o seguinte:
Definição
Seja uma função contínua em ]a, b], e um número, tal que, . Nessas condições, se existir o limite e o mesmo for finito, então existirá a Integral Imprópria de de a até b, denotada por e além disso:
Quando a Integral Imprópria existe dizemos, também, que ela é Convergente.
Em caso contrário dizemos que a Integral Imprópria é Divergente. Definições similares à Definição anterior podem ser formuladas para funções contínuas em intervalos da forma [a, b[ e ]a, b[, assim como para intervalos nos quais um dos extremos, ou os dois, forem infinitos. Para o caso em que a função está definida num intervalo aberto, seja de extremos finitos ou não, deve-se tomar um cuidado especial, como o exemplo a seguir irá esclarecer.
Exemplo
Dada a função f(x) = x² + 1, definida no intervalo ]1,3[, calcular a integral imprópria de 1 até 3.
A solução, para casos como esses, envolve a escolha de um valor qualquer no intervalo ]1, 3[ e o cálculo da integral imprópria como soma de duas outras integrais, também, impróprias. Para tanto, seja c um número tal que 1 < c < 3 e, assim, teremos:
As integrais do segundo membro da igualdade anterior são ambas impróprias, sendo a primeira referente ao intervalo ]1, c] e a segunda ao intervalo [c,3[.
Como a escolha de é livre podemos, por exemplo, tomar e, assim, teremos:
ou para ]1,c...,2,...d,3[ ou .
Assim:
Observe que o conceito de integral imprópria está embasado no conceito de integral definida.
Regra: deve-se resolver apenas um problema por integral e sempre num extremo.
· Se o problema é em pertencente ao interior do intervalo [a, b], 
 sendo convergente se ambos o forem (sendo o seu valor a soma).
· 
Se o problema é em ambos os extremos, com d ∈ ]a, b[, sendo convergente se ambos o forem (sendo o seu valor a soma).
3.2.1.1. Integrais Definidas em Intervalos Ilimitados (1ª espécie)
Antes de enunciar as definições estudemos o seguinte problema: Calcular a área da região A determinada pelo gráfico de y =1/x², x 1 e o eixo dos .
Primeiramente note que a região A é ilimitada e não é claro o significado de “área” de uma tal região.
3.2.2. Integral Imprópria com Intervalo de Integração Infinito (2ª espécie)
Seja f uma função integrável em todo o sub-intervalo fechado e limitado de [a,+∞[, isto é, todo [a, β], com .
Chama-se integral imprópria da função em [a, +[ a integral 
Caso o limite exista e seja finito, diz-se o integral impróprio é convergente, sendo esse seu valor.
Caso contrário, isto é, se o limite não existe ou não for finito, diz-se que o integral impróprio é divergente
Observação: Nas condições da definição anterior, é simplesmente , sendo o integral indefinido de .
3.2.2.1. Integral de Dirichlet
Analogamente:
Seja f uma função integrável em todo o sub-intervalo fechado e limitado de ] –∞ , b], isto é, todo [α, b], com b.
Chama-se integral imprópria da função em ] –∞ , b] a integral 
Caso o limite exista e seja finito, diz-se que o integral impróprio é convergente.
Caso contrário, isto é, se o limite não existir ou não for finito, diz-se que o integral impróprio é divergente.
Definição: Seja f uma função integrável em todo o intervalo fechado e limitado de R. Diz-se que o integral impróprio é convergente se, para algum , forem convergentes ambos os integrais impróprios e . Nesse caso, 
Se algum dos integrais impróprios for divergente, é divergente.
Nota 1: Nunca se trabalha com dois problemas num integral impróprio, parte-se de modo a termos um problema por integral.
Nota 2: Se ambos os integrais e forem divergentes, por definição é divergente.
Nota 3: É fácil verificar que a convergência ou divergência de , bem como o seu valor, é independente do valor considerado.
3.2.3. Integrais Impróprios Mistos (3ª espécie)
Se o integral impróprio for misto, ou seja, se o intervalo for ilimitado e a função for ilimitada nesse intervalo, aplica-se o raciocínio anterior de modo a termos sempre um problema por integral e sempre num extremo.
O integral impróprio misto é convergente se todos os integrais impróprios em que foi decomposto o forem (e o seu valor será a soma do valor desses integrais).
Se algum dos integrais impróprios em que foi decomposto for divergente, o integral impróprio misto é divergente.
Em suma:
Os integrais impróprios de 1ª espécie são da forma: 
sendo uma função contínua em [a, +[ Ou, sendo uma função contínua em [–, b[. Assim,desde que o limite exista.
 desde que o limite exista.
Para analisar a convergência do integral, utilizamos os seguintes critérios:
1. Se o limite existir e for finito, diz‐se que o integral impróprio é convergente.
2. Se o limite não existir ou for infinito, diz‐se que o integral impróprio é divergente.
Os integrais impróprios de 2ª espécie são aqueles em que a função integranda é ilimitada num único extremo do intervalo de integração [a, b] (a, b IR, a < b), ou seja,
 é contínua em [a, b[ e ,
Onde: desde que o limite exista.
ou,
 é contínua em ]a, b] e .
Onde: desde que o limite exista.
Se os limites anteriores existirem e forem finitos, diz‐se que o integral impróprio de 2ª espécie é convergente, caso contrário diz‐se que o integral é divergente.
Propriedades Algébricas
Proposição: Se f e g são funções integráveis em todo o intervalo [a, ], com ≥ a, então:
1. 
Se e são convergente, tem-se que + é convergente e = + 
2. 
Se é convergente e , tem-se é convergente e .
Observação: Tal como no caso das séries:
· Se um dos integrais é convergente e o outro divergente, então a soma é divergente.
· Se ambos os integrais são divergentes, nada se pode concluir.
Note-se esta situação não entra em contradição com a definição de .São questões diferentes.
Observação: Propriedades análogas são válidas para os outros casos de integrais impróprias. 
Exemplos:
4. Funções Eulerianas 	
4.1. Definição integral da função Gama
Função gama é toda função do tipo ; .
As formas de recorrência mais usadas são dadas por:
Figura: função Gamma 
Fonte:
Exemplo 1: Prove que 0! = 1
Solução: 
 
Exemplo 2: calcule a integral .
Solução: Comparando a integral com a função gama vemos que
Temos n = 3 e, usando a seguinte propriedade (n + 1) = n! E, encontramos o resultado
 (3) = (2 + 1) = 2! = 1 ・ 1 = 2
4.2. Propriedades básicas, factorial, gráfico, derivada logarítmica (função digama)
· Fórmula de reflexão (complementar)
· Fórmula de duplicação 
· Fórmula da multiplicação de Gauss
· Produto 
· Coeficiente binomial 
Se , então: 
· Derivada da função gamma
Onde é chamada de constante de Euler-Mascheroni
Para 
Exemplo: Usando a relação complementar , prove que .
Solução: 
Função digama ou função psi 
Define-se por 
Quando , porque
Onde é chamada de constante de Euler-Mascheroni.
4.3. Fórmula de Stirling
Se n é grande, então: .
Se n é inteiro, 
Porque o factor .
4.4. Definição e propriedades da função Beta
Uma função beta é aquela do tipo . A função Beta goza as seguintes propriedades:
· 
Relação entre a função beta e gamma: ;
· 
Comutativa: ;
· 
Relação complementar: . 
A função beta pode assumir outras formas de acordo com a transformação
· 
para 
· 
para 
Exemplo: calcule .
Solução: comparando a função beta verifica-se que: 
 e 
Conclusão 
Conclui-se que os integrais impróprios importa destacar que elas estendem a noção de integral a intervalos não limitados e/ou funções não limitadas. As integrais impróprias são o resultado da aplicação da teoria dos limites à teoria de integrais. Os exercícios que envolvem integrais impróprias requerem habilidades na integração e no cálculo de limites.
Integrais definidas em que um ou ambos os limites de integração tendem ao infinito não podem ser resolvidas por meio da Fórmula de Newton-Leibniz, visto que esta requer o cálculo da primitiva em valores determinados. Tais integrais são chamadas integrais impróprias. 
Neste trabalho falou-se de limites, derivadas e integrais de uma sucessão e o de continuidade de uma função num ponto só que desta vez consideramos uma sucessão de funções contínuas com um domínio comum, o seu limite ponto a ponto e a questão de saber se, quando este limite existir, se podemos garantir a continuidade da função limite.
Relembra-se que o estudo de uma série corresponde ao estudo da respectiva sucessão de somas parciais. Portanto é natural dizermos que uma série de funções converge uniformemente para a sua soma num dado conjunto se a respectiva sucessão de somas parciais convergir uniformemente nesse conjunto. 
 
Referências bibliográficas 
Harshbarger, R. J. , Reynolds, J. J. Matemática Aplicada – Administração, Economia e 	Ciências Sociais e Biológicas, Mc Graw Hill, 2006.
Lima, L. E.; Curso de Análise, Vol.2, Projecto Euclides, Nona Edição, 1999.
Malta I., Pesco, S., Lopes, H.; Cálculo a uma variável, Vol. II, Derivada e Integral; Editora 	PUC Rio, 2002.
Swokowski; Cálculo com Geometria Analítica, Vol.1 , Makron Books, 1991.
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