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João guilherme resende oliveira
Séries de Maclaurin e Taylor
Rosana
Abril 2017
1. Introdução
1.1 Introdução à Série de Potências 
A série de potências é um modo natural de construir funções analíticas e um dos instrumentos mais importantes no tratamento dessas funções é primordial para se entender a Série de Taylor . Por exemplo :	, a série de potência com raio de convergência não nulo define uma função por . O objetivo agora é estudar o processo inverso. Ou seja, começando com uma função , nós tentaremos encontrar uma série de potencias que convirjam para ela; isto é, tentando expandir como uma séria de potencias. Embora uma expressão em série de potências nem sempre possa ser obtida, a maioria das séries de potencias no cálculo pode ser representada como soma de serie de potencias convergentes.
Suponha que uma função pode ser expandida em uma serie de potências, ou seja para . 
Então pela propriedade da derivada, é diferenciável no intervalo . E temos : para .
Assim não é somente diferenciável, mas a derivada de de pode ela mesma ser expandida em uma serie de potências. Logo, podemos novamente derivar . para .
Isso nos permite continuar derivando a função: ; ; ;
e assim por diante, para O modelo aqui descrito é trivial evidentemente para 
Algo interessante acontece na fórmula acima quando , todos os termos da série infinita se reduzem a zero, exceto o primeiro termo (para o qual ), já que todos os termos depois do primeiro contém o fator . Portanto: ;
Segue- se que ; daí os coeficientes da série de potências são dados pela mesma fórmula que os coeficientes do polinômio de Taylor para .
2. Série de Taylor
Antes de iniciarmos a definição de série de Taylor ou Polinômio de Taylor, devemos observar uma definição importante sobre Função infinitamente diferenciável.
2.1 Definição 1
Uma função definida em um intervalo aberto é dita ser infinitamente diferenciável em se tem derivadas de todas as ordens em .
O polinômio de Taylor de grau  de uma função em torno de um ponto fixo, digamos  , é o polinômio que interpola a função e suas derivadas até a ordem  no ponto  . Ou seja, os valores da função e de suas derivadas, até ordem  , no ponto  coincide com os valores do polinômio e suas derivadas de ordens correspondentes neste mesmo ponto. É claro que, para que seja possível falar de um polinômio de grau  é necessário que a função em questão possa ser derivada pelo menos  vezes no ponto desejado. 
Três informações são portanto necessárias para especificar um polinômio: a função, o ponto e o grau. Frequentemente a função e o ponto estão implícitos na discussão e costuma-se indicar apenas o grau na notação para o polinômio, por exemplo ,  . Da definição do polinômio de Taylor de grau  de uma função  em torno do ponto é fácil desenvolver a fórmula de construção do polinômio. .
Com uma simples prova por indução, podemos observar a semelhança do polinômio de Taylor com sua série.
 = 					 
 = 					 
 = 					 
 = 				 
 							 
 = 				 	
2.2 Definição 2
Seja a função infinitamente diferenciável em um intervalo aberto e seja α um número em . Então, a série de Taylor para em é a série de potências. onde para k = 0,1,2,3.... (1)
A série de Taylor para  em  define um outro tipo de série, denominado de Série de Maclaurin para  . Observe que não a há implicação na definição 2 de que a série de Taylor de  realmente convirja para . Também observe que a distinção entre o  polinômio de Taylor para  em , .
O primeiro é um polinômio de grau no máximo, enquanto o último é uma série infinita. De fato, é a soma parcial da série de Taylor.
 2.3 Expansão de uma função na sua série de Taylor
O Teorema de Expansão de uma função na sua série de Taylor é muito importante, pois retrata a relação intima entre série e função. 
Seja uma função  infinitamente diferenciável em algum intervalo aberto contendo o número . Suponha que exista um número positivo  e uma constante positiva  tal que:
 (2)
se verifica para todos os valores de  no intervalo  e todos os inteiros positivos  . Então  pode ser desenvolvida numa série de Taylor;
 (3)
se verifica para todos os valores de nos intervalos  x
Conclusão e considerações
De maneira geral a série de Mclaurin e Taylor são utilizadas para convergir uma função uniformemente em torno do ponto dado na função. E dessa meneira construir um polinômio, com certo grau k, tal que este vá ser uma boa aproximação para certa função.
Referências 
https://www.mar.mil.br/dhn/dhn/ead/pages/matematica/unidade10/explica.htm. 
Thomas, George B. Jr.; Finney, Ross L. (1996), Calculus and Analytic Geometry (9th ed.), Addison Wesley, ISBN 0-201-53174-7 (em inglês).
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