Semana - X

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Nome: ____________________________________________________ Turma: ______
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Nome: _________________________________________________ Turma: _______
Professor: Adriano Augusto Q. Chaves Data: ___/___/2020.
Semana 
Habilidades Objetos de conhecimento
(EF09MA09) Compreender os processos de
fatoração de expressões algébricas, com
base em suas relações com os produtos
notáveis, para resolver e elaborar problemas
que possam ser representados por equações
polinomiais do 2° grau.
Expressões algébricas: fatoração e
produtos notáveis.
Resolução de equações polinomiais do
2° grau por meio da fatoração.
Cálculo Algébrico
Variável:
É tudo que não tem valor fixo, ou seja que pode mudar. Observe as situações a
seguir e tente descobrir a variável em cada uma delas.
Situação 1:
Célia costura camisas para uma confecção. Seu salário depende do número de
camisas que costura no mês.
Explicando melhor:
Célia recebe R$ 200,00 fixos mais R$ 1,50 por camisa costurada.
• Se costurar 100 camisas no mês, quanto receberá ao final do mês?
Representando o salário de Célia por S:
S = 200 + (100).1,50
S = 200 + 150
S = 350 Logo o salário de Célia, neste mês será R$ 350,00.
• Se tivesse costurado 180 camisas, ela receberia ao final do mês:
S = 200 + (180).1,50
S = 200 + 270
S = 470 Neste caso Célia receberia R$ 470,00.
• Se Célia costurar n camisas no mês, qual será o valor de seu salário S?
Observe que usamos letras e operações para mostrar como o salário de Célia
depende do número de camisas costuradas no mês. Representando a situação anterior por
meio de letras e números escrevemos uma fórmula matemática.
O número de camisas n pode ser 50, 81, 120, 250, por exemplo.
Para cada valor de n, há um valor para o salário S.
Por isso, nessa fórmula, as letras n e S são chamadas de variáveis. Vimos que há
3
 S = 200 + n.1,50
uma interdependência na variação que apresentam.
• Para receber R$ 680,00 , quantas camisas Célia precisa entregar?
Basta substituir, na fórmula, S por 680:
680 = 200 + n.1,50
680 – 200 = n.1,50
480 = n.1,50
480 = n
1,50
n = 320
Se Célia costurar 320 camisas, receberá R$ 680,00.
Atividade 1 :
 Com base nas informações complete os valores que faltam na tabela a seguir.
S = 200 + 1,5.n
n S
170
800
392
As fórmulas matemáticas são usadas nas ciências e em muitas atividades humanas
para descrever a relação entre grandezas.
• Um médico, por exemplo, usa fórmulas para calcular a dose certa de remédio para
uma criança, de acordo com o peso e idade dela.
• Um engenheiro também utiliza fórmulas para projetar uma ponte, um prédio ou um
avião.
• Os economistas aplicam fórmulas para calcular a inflação do mês ou o rendimento
de uma aplicação financeira e por aí vai.
No exemplo de Célia, vimos que também podemos usar fórmulas para representar e
resolver situações do nosso cotidiano.
Veja outras situações:
Situação 2:
Renata vai fazer uma horta retangular nos fundos de sua casa. A horta terá 6 m de
comprimento, mas ela não decidiu ainda qual será a medida da largura.
Por isso chamou esta medida de x.
O perímetro P da horta depende da medida x da largura.
x 
6 m
Renata escreveu a fórmula:
P = 6 + x + 6 + x => P = 2x + 12
4
 S = 200 + n.1,50
Para cada medida escolhida para x , teremos uma medida para o perímetro da
horta. P e x são as variáveis da fórmula P = 2x + 12.
A fórmula mostra a interdependência na variação entre elas.
Renata tem 22 m de tela de arame para cercar a horta. Se a largura da horta for de
5,5 m , a tela será suficiente?
Se fizermos x = 5,5 m , teremos:
P = 2 . 5,5 + 12
P = 11 + 12 => P = 23
O perímetro seria de 23 m, ou seja, faltaria 1 m de tela para cercar a horta.
Para usar exatamente os 22 m de tela, qual deverá ser a largura da horta?
Neste caso, fazemos P = 22 na fórmula:
22 = 2x + 12.
22 -12 = 2x
10 = 2x
10 = x
 2
x = 5
Se a largura for de 5 m , Renata usará os 22 m de tela pra cercar a horta.
Atividade 2 :
Um computador foi programado para fazer uma sequencia de operações a partir de
um dado numérico. Basta digitar um número para que o computador opere e forneça o
resultado final.
A tabela a seguir mostra exemplos do resultado R apresentados pelo computador
quando se digita um número n.
Número digitado (n) Resultado apresentado
pelo computador (R)
8 15
5 9
3 5
2 3
-1 -3
-4 -9
Junte com um colega e tentem descobrir e escrever a fórmula que foi utilizada pelo
computador para calcular o R.
Atividade 3 : Responda ao que se pede em cada item.
3.1) Para calcular o volume V de um bloco retangular fazemos: V = c . l . a . 
a) Isso é uma fórmula?
b) O que são as letras V, c, l, e a ?
5
Obtivemos uma equação cuja incógnita é x.
c
a
l
c) Calcule o volume de um bloco retangular para c = 3cm, l = 5,2 cm e a = 4,5 cm.
3.2) 2x + 1 = 9 é uma fórmula ou uma equação?
Nesse caso x é uma incógnita ou uma variável?
Você pode determinar o valor de x?
3.3) Agora responda: 
a) Para que usamos letras em Matemática? 
b) Qual a utilidade das fórmulas?
c) E das equações?
Exercícios :
1) O senhor Hugo foi a uma agência de veículos e observou o seguinte cartaz:
ALUGAM-SE CARROS
Taxa Fixa R$ 200,00
Por dia R$ 150,00
Máximo 5 dias
Complete o custo que o senhor Hugo terá se alugar um carro por:
1 dia 200 + 150.1 = 350
2 dias 200 + 150.2 = _____
3 dias
4 dias
5 dias
2)Numa padaria está afixada a seguinte tabela:
Número de pães Preço a pagar (reais)
1 0,16
2 0,32
3 0,48
4 0,64
5 0,8
6 0,96
7 1,12
8 1,28
9 1,44
10 1,6
a) Qual o preço a pagar numa compra de 9
pães?
b)Quantos pães podem ser comprados com
R$ 1,12?
c) É possível gastar em pães exatamente R$
0,75?
d) Quais seriam os preços da tabela se cada
pão custasse 15 centavos?
6
3) Observe os cinco quadrados e faça o que se pede a seguir.
0,5 cm 1cm 2 cm 2,5 cm 3 cm
Observe as tabelas:
Tabela 1:
Comprimento do lado (em cm) l 0,5 1 2 2,5 3
Perímetro (em cm) P
Responda de acordo com a tabela 1.
a) O perímetro de um quadrado depende do comprimento do seu lado?
b) Qual a fórmula matemática que relaciona P e l no quadrado?
c) Como são chamadas as letras P e l?
Tabela 2:
Comprimento do lado (em cm) l 0,5 1 2 2,5 3
Área (em cm2) A
Responda de acordo com a tabela 2.
d) A área de um quadrado depende do comprimento do seu lado?
e) Qual a fórmula matemática que relaciona A e l no quadrado?
c) Como são chamadas as letras A e l?
4) Deseja-se fixar o comprimento e a largura de uma sala de modo que a sua área seja de
36 m2 .
a) Se a largura for 4 m, qual deverá ser o seu comprimento?
b) Se o comprimento for 12 m, qual deverá ser a sua largura?
c) Se a largura for chamada de x e o comprimento de y, qual a fórmula que relaciona y com
x?
7
5) Um motorista, para cobrar um frete, observa no hodômetro do caminhão o número de
quilômetros percorridos e utiliza a seguinte tabela:
km rodados Total a pagar
0 R$ 10,00
1 R$ 13,50
2 R$ 17,00
4 R$ 24,00
... ...
100 R$ 360,00
O total a pagar consiste em uma quantia fixa, que é de R$10,00 , mais uma quantia
que depende do número de quilômetros rodados.
a) Qual a fórmula que permite calcular o total y a pagar num frete de x quilômetros?
b) Qual o preço a ser pago num frete de 34 km?
c) Com R$ 311,00 pode-se pagar um frete de quantos quilômetros?
Expressões Algébricas
Veja o que Marcos disse:
A expressão numérica correspondente a essa sequência de operações
é :
(7 + 4).3 – 7 =
= 11.3 - 7
= 33 – 7
= 26
Juliana pensou em um número.
Representando o número pensado por x, a expressão que 
representa essa sequência de operações é:
( x + 4 ) . 3 - x
 Podemos aplicar a propriedade distributiva obtendo:
= 3x + 12 - x
= 3x - x + 12
= 2x + 12 Essa é uma expressão algébrica.
Seu valor numérico depende do valor atribuído a x, que é a variável da expressão.
Se x = 7 2.(7) + 12 = 14 + 12 = 26
O valor numérico da expressão é 26.
8
Somei 4 a 7. Multipliquei o resultado por 3 e subtraí 7.
Pensei em um número, somei 4 a ele, multipliquei o
 resultado por 3 e subtraí o próprionúmero.
Se x = - 3 2.(-3) + 12 = -6 + 12 = 6
O valor numérico da expressão é 6.
Se x = 
1
2
2.(
1
2
) + 12 = 1 + 12 = 13
O valor numérico da expressão é 13.
Uma expressão matemática contendo letras e números, ou somente letras, é uma
expressão algébrica.
• 4a3
• 5a + 3b – 2c
• 2
5
xy7x2
• 3(m – n) + 5m – 2(3m + 1) são exemplos de expressões algébricas.
Exercícios:
6) Pense e responda: Um CD custa x e um livro custa y. Quanto se paga por dois CDs e
três livros?
7) Quantas rodas há em:
a) 2 carros. b) 3 carros. c) 8 carros. d) x carros.
8) O número inicial de carros estacionados é y. Quantos serão depois de se colocar outro
carro?
9) Atualmente Paulo tem x anos. Diga o que significam as seguintes expressões:
a) 2x b) x – 2 c) x + 5 d) 2(x + 5)
10) A variável c representa o preço de uma camiseta e b o preço de um boné. O preço
pago por Mauro é representado pela expressão 5c + 2b.
a) O que Mauro comprou?
b) Quanto Mauro gastou, se cada camiseta tinha custado R$18,00 e cada boné R$ 7,00?
11) Para cada uma das figuras:
a) a b) a
 b b
 a a
 
 a a c c
 a d
a) Escreva as fórmula que permitem calcular esses perímetros.
9
b) Utilizando essas fórmulas , calcule esses perímetros quando:
a = 1,5 cm no caso do hexágono regular.No caso do hexágono irregular:
a = 5 cm
b = 2,5 cm
c = 3 cm
d = 9 cm.
12) Para x = 5, calcule o valor de:
a) 2x b) 9 - x c)3x + 1 d) x 2 e) 2x 3 - 1
13) Calcule o valor numérico da expressão b2−4ac , nos seguintes casos:
a) a = 1, b = -3 e c = 2 b) a = -4, b = 20 e c = - 25
c) a = 5, b = - 8 e c = 5 d) a = 1, b = - 5 e c = - 6
14) Uma indústria produz apenas dois tipos de camisas. O primeiro com preço de R$45,00
por unidade e o segundo com preço de R$ 67,00 por unidade. Se chamarmos de x a
quantidade vendida do primeiro tipo e de y a quantidade vendida do segundo tipo, qual a
expressão algébrica da venda desses dois artigos? Qual o valor se forem vendidos 200 e
300 unidades, respectivamente?
Monômios e polinômios
As expressões algébricas aparecem em fórmulas e equações. Por isso é importante
saber fazer cálculos com elas. Alguns você já sabe fazer, outros vai aprender agora.
Apesar de num primeiro momento achar complicado, você perceberá que as ideias são
semelhantes às usadas para operar com números.
Expressões algébricas que têm um único termo são chamados de monômios.
Eis alguns exemplos:
2xy 5 a3 - 9,02m2
 6
coeficiente parte literal coeficiente parte literal coeficiente parte literal
Monômios que têm a mesma parte literal são monômios semelhantes ou termos
semelhantes.
Nos monômios, entre os números e as letras só aparece a operação de
multiplicação.
As expressões a seguir são polinômios ( lembre-se: poli significa muitos).
10
5x2y + 4xy2 + xy - 2
9m3 + 7m2 + n3 + 6m2 – 2mn + 1
Polinômios com dois termos recebem o nome de binômios.
4x – 8y a2 – b3
−3
5
m1
Polinômios com três termos recebem o nome especial de trinômios.
 p2 – 2pq + q2 2m3 + m2 + 5m 6xyz + 5xz + 9yz
Agora atenção!
Expressões algébricas que possuem letras no denominador não são polinômios:
a
a2b
, por exemplo.
Essas expressões são chamadas de frações algébricas.
Exercícios
15) Quais são os termos da expressão a + 7b – 4c?
16) Escreva um monômio que traduza:
a) O dobro de x. b) A metade de x.
c) O triplo de x. d) A terça parte de x.
e) O simétrico de x. f) O quadrado de x.
17) Quais das seguintes expressões são monômios?
a) – x b) 7a – 4 c) 
−2
5
d) abc
e) a + b + c f) g) 2x2y h) 2x2 - y
18) Complete a tabela:
Monômio Coeficiente Parte literal
 3x4
 - 2a2
 a2
1 xy2
0,8 m
-
x
5
-6
11
2x1
x−3
am
3
Operações e expressões algébricas
Muitas vezes precisamos operar com expressões algébricas para simplificar
fórmulas. Veja como:
1º) A figura a seguir é composta por retângulos de medidas x e y, como este:
y
 x
O perímetro da figura anterior pode ser obtido somando-se as medidas de seus
lados:
Assim:
 x Perímetro = x + 2y + x + y + 2x + 3y
Podemos somar os termos semelhantes:
2y x + x + 2x = 4x e 2y + y + 3y = 6y e
3y x indicar de forma mais simples o perímetro:
Perímetro = 4x + 6y
 y
2x
E a área da figura?
Cada retângulo tem área A = x.y
Como a figura é composta por 4 desses retângulos, Afigura = 4.xy = 4xy
Uma outra maneira de calcular a mesma área seria decompor a figura em dois
retângulos:
Área da figura 1: A1 = 3y.x = 3xy
Área da figura 2: A2 = x.y = xy
Área de toda a figura: Afigura = A1 + A2
Afigura = 3xy + xy 
Afigura = 4xy
12
y
y
y
y
y
y
x
x
x x
A1
A2
3y
x
x
y
2º) Num loteamento, os quarteirões serão divididos em 4 terrenos. As medidas ainda não
foram escolhidas, por isso estão representadas por letras no desenho.
x y
2x
x
O perímetro desse quarteirão é :
P = x + y + 2x + x + x + y + 2x + x
Somando os termos semelhantes, a fórmula
fica:
P = 8x + 2y
E a área do quarteirão?
Podemos obter uma fórmula para expressá-la por dois caminhos diferentes:
1º) Somando as áreas dos 4 terrenos:
A = 2x2 + x2 + 2xy + xy ⇒ A = 3x2 + 3xy
 x + y
x y
2x 2x2 2xy
x x2 xy
2º) Multiplicando as medidas 3x e ( x + y) dos lados do quarteirão:
A = 3x(x + y) => A = 3x2 + 3xy
19) Em duplas, calculem a medida do perímetro e da área do quarteirão para x = 15 m e y =
20 m.
Adições e subtrações de expressões algébricas
Veja exemplos de cálculos (adições e subtrações) de expressões algébricas:
• 3x2 + 5y - 7x2 +4y = - 4x2 +9y
• 3m + 5n - 2m + 7m - 8n = 8m - 3n
• x
6
-
3x
2
+
y
4
=
=
2x
12
-
18x
12
+
3y
12
=
=
2x−18x3y
12
=
=
−16x3y
12
13
 Veja que reconhecendo e 
somando os termos 
semelhantes, a expressão 
ficou bem mais simples.
 3x
Multiplicamos um monômio por um binômio
aplicando a propriedade distributiva.
Somando ou subtraindo os termos
 semelhantes,escrevemos a 
expressão de uma forma mais
 simples e curta: dizemos que
reduzimos os termos semelhantes.
Escrevemos as frações num mesmo
denominador e então reduzimos os 
termos semelhantes.
• 9a2 + 5b2 – (3b2 - 2a2 + ab) =
= 9a2 + 5b2 – 3b2 + 2a2 – ab =
= 9a2 + 2a2+ 5b2 – 3b2 – ab
= 11a2 + 2b2 – ab
Exercícios
20) Qual o resultado das expressões algébricas:
a) a + a + a = b) a + a = c) 3a + 2a =
d) p + p + p + p+ p = e) p + p + p = f) 5p – 3p =
21) Simplifique as expressões, reduzindo os termos semelhantes:
a) 4m + m = b) – 7x – x = c) xy – 10xy = 
d) 0,5m2 – m2 = e) 6t – 4t – 2t = f) 15a + 10 – 3a =
g) xy2 + x2y + xy2 = h) – 9x + 5m + 7x – 2m = i) a + 1 + a – 7 =
j) 
3
8
x 1
2
x = k)
a
2
2a
3
x = l) 7 p−
3
5
p =
m) 2 x
3x 3x1
2
x = n) 
2
3
a1
6
−a
2
−1
9
= o) 3 a−6 a−
3
5
1
22)Escreva uma expressão simplificada que represente o perímetro de cada figura.
a) x b)
x x
2
3
x
 x + 11 5x
23) Calcule:
a) 9x - (5 – x) = b) 7x + (2 – 10x) – (x – 4) = c) 
1
2
a−c−1
2
c−3
4
a =
d) x2 – 1,5x + 2 + (-x2 + 2,3x – 6) = e) (x – 2y) + (2x + 2z – y) – (y + x – 3z) =
14
Eliminamos os parênteses e então
reduzimos os termos semelhantes
Multiplicações, divisões e potenciações de expressões algébricas
Nestas operações é preciso lembrar-se das propriedades das potenciações. Veja!
• 2x.3x= 2.3.x.x = 6x2
• 4y2.(-2y3) = 4.(-2).y2.y3 = -8y5
• 2y(y2 + 3) = 2y.y2 + 2y.3 = 2y3+ 6y
• 10x6 : 5x2 =
10x6
5x2
= 2x4
• 15m2n : 9m2 =
15m2 n
9m2
= 
5n
3
• (3x)2 = 3x . 3x = 3 . 3 . x . x = 9x2
• ( a3b4)2 = ( a3b4) . ( a3b4) = a3 . a3 . b4 . b4 = a6 . b8
Exercícios:
24) Calcule:
a) a . a . a = b) a . a = c) a2 . a3 =
d) p . p . p . p . p = e) p . p = f) p5 . p2 =
25) Observe a figura e escreva a medida da área do retângulo:
 y
x
2x
4y
 2x . 4y = 
a) Calcule a área de cada retângulo menor:
b) Calcule a área do retângulo maior:
c) Determine quantas vezes a área do retângulo menor cabe dentro do retângulo maior.
26) Calcule:
a) 2x.5x = b) 4y.3y2 = c) - 2x.7x = d) y.(- 5y)=
e) - 3a2.5ab= f) – x2.y2 = g) 4p2.( - 6q3) = h) (- 8a2c).(- 6ac) =
i) 6n .(- n).(- n) = j) 2a.(3a – 7) = k) (- 2x).5xy.x4= l) 2m(- m2 – m + 5) =
27) Efetue e simplifique:
a) 
1
4
y210−y  = b) 
−1
2
2a−8 =
15
xy
Cada retângulo 
menor tem largura x 
e comprimento y.
c) −5m−1,2−
4
5
m = d) 
x
6
⋅ x
2
−6x212 =
28) Calcule:
a) 4x2.4x2 = b) 2x3.5x2 = c) ( - 3x).(- 4x) =
d) (- 2x2).(- 2x).(- 2x4) = e) (3x2)3 = f)(-3x)2 =
29) Eleve ao quadrado cada um dos seguintes monômios:
a) – 9y b) 
2
3
m c) – 0,4x3 d) 
−4
5
xy2
30) Agora eleve ao quadrado os seguintes monômios:
a) y2 b) – y2 c) – 3 mn2 d) 
1
5
abc
31) Calcule:
a)5m2 : 2m = b)-5x3 : x = c) 15m2 : 3 = d) 10x7 : 8x5 =
e) 7m5:(-2m3)= f) 12x3y2:2xy= g)(-3ab3):(- ab2) = h)(- 8ac5):(16c2)=
32) A área do retângulo da figura é dada por 12y2. Qual a medida do menor lado deste
retângulo?
5y
33) Veja a figura:
3x
5 4x
a) Escreva a expressão que representa a área do retângulo branco.
b) Escreva a expressão que representa a área do retângulo cinza.
c) Escreva a expressão que representa a soma das áreas dos retângulos branco e cinza.
d) Calcule 3x(4x + 5).
e) Compare os resultados obtidos nos dois últimos itens.
16
34) Observe a figura e calcule mentalmente a sua área total.
3x
 y
 y
7x
35) Calcule:
a)10(4x + 5y) = b)5m(m – 4)= c) (x2 – y)x= d) – 3x(-2x - 6)=
36) Simplifique as expressões:
a)7x2 + 2(x2 -1) = b) 10 – 4(x – 3)= c) -9(2x – 1) + 15 =
d) 0,25(4m – 100) + 7m = e) 3x2 – x(2x – 7) + 1= 
Multiplicação de Polinômios
Vamos agora fazer um “parênteses” para relembrar as propriedades da potenciação
que nos ajudará no prosseguimento dos cálculos algébricos.
Sejam a e b números reais e m e n números racionais:
Definições: a0 = 1, (para a ≠ 0).
 a1 = a.
Propriedades da Potenciação:
P.1) am . an = am+ n – Multiplicação de potências de mesma base.
Exemplos:
a) 34 . 35 = 34+ 5 = 39 b)
c) (- 0,2)5 . (- 0,2)3= (- 0,2) 5+3 = (- 0,2)8 d) x42. x57= x42+57= x99
Exercício 37:
a) (– 2)3 . (– 2)7 = b)(–3)5.(–3).(–3)4 = c) (+9)3(+9) (+9)2 =
d) (–10)3.(–10).(–10)4 = e) y20 . y50 = f) =
g) (– 1,3)2 . (– 1,3)3= h) 120,3 . 120,8= i) =
j) (ab)5 . (ab) 8 = k) x½ . x¾ = l) =
P.2) am : an = am – n – Quociente de potências de mesma 
base.
Exemplos:
a) 59 : 56 = 59 - 6 = 53 b)
c) (– 2)7 : (– 2)3= (– 2) 7 - 3 = (– 2)4 d) a10: a8= a10 – 8 = a2
17
( 2
3
)
2
⋅( 2
3
)
5
=( 2
3
)
(2+5)
=( 2
3
)
7
(−3
4
)
5
⋅(−3
4
)
8
(+5
8
)
−3
⋅(+5
8
)
−6
(−1
3
)
7
÷(−1
3
)
4
=(−1
3
)
(7−4 )
=(−1
3
)
3
(−2
7
)
−2
⋅(−2
7
)
−3
Exercício 38:
a) (– 4)9: (– 4)6 = b) (+20)11: (+20)6 = c) ( – 13)20 : (–13)14 =
d) (– 2,5)7: (– 2,5)5 = e) (– 4,3)6: (– 4,3) = f) =
g) x8: x5 = h) y½ : y¾ = i) =
P.3) (am)n = am . n – Potência de potência
Exemplos:
a) [(– 2)4]5= (– 2)4.5 = (– 2)20 b)
c) [(– 0,4)5]3= (– 0,4) 5.3 = (– 0,4)15 d) (x4)7= x4.7= x28
Exercício 39:
a) [(– 2)2]3 = b)[(+7)4]3 = c) [(– 3)5]2= d)(x2)5 =
e) [(+ 5)6]4 = f)[– 8)7]10 = g) [(–10)4]6= h) = 
i) [(– 0,4)4]2 = j)[(1,6)2]3 = k) [(– 3,2)2]2= d) =
P.4) (a.b)m = am. bm – Potência do produto
Exemplos:
a) (2.3)2 = 2 2. 32 b) (23.3)4 = (23)4 34 = 2 12. 34 
c) [(– 3)5.(– 2)2]3= [(– 3)5]3.[(– 2)2]3 = (– 3)15.(– 2)6 
d) 
Exercício 40:
a) (42. 3)2 = b) (x2. 5)4 = c) (1,5 . 3)2= d) = 
e) [(– 2)2. 32]3 = f) (a3. x5)4 = g) [(– 0,5)4 . (2,3)2]3 = h) = 
P.5) a– m = - Potência de expoente negativo
Exemplos:
a) b) c) d)
Exercício41:
Calcule.
a) = b) = c) = d) =
e) = f) = g) = h) =
i) = j) = k) = l) =
18
[(−2
7
)
2
]
5
=(−2
7
)
(2⋅5)
=(−2
7
)
10
(+3
5
)
−3
÷(+3
5
)
−6
(−2
3
)
5
÷(−2
3
)
8
[(−5
9
)
2
]
3
[(+3
4
)
3
]
3
[(−2
7
)
2
⋅( 3
4
)
3
]
5
=(−2
7
)
2⋅5
⋅( 3
4
)
3.5
=(−2
7
)
10
⋅( 3
4
)
15
[(−2
7
)
2
⋅( 3
4
)
3
]
2
2−2= 1
22
=1
4
(−2)−2= 1
(−2)2
=1
4
(−3)−2= 1
(−3)2
=1
9
( 2
3
)
−2
= 1
( 2
3
)
2 =
1
( 4
9
)
=9
4
[(−1
4
)
2
⋅( 2
3
)
3
]
4
3−2 (−3)−2 (+3)−3 (−4)−2
5−2 (−6)−2 (−5)−3 (−4)−3
(−1
3
)
−2
(1
2
)
−1
( 1
−2
)
−1
(−4
5
)
−3
1
an
Agora podemos prosseguir...
Um terreno retangular de lados a e b teve suas medidas aumentadas para a + 5 e b 
+ 2.
b 2
a ab 2a
5 5b 10
A área do terreno é dada pela expressão (a + 5)(b + 2).
Ao mesmo tempo, a área do retângulo pode ser escrita como a soma das áreas das 
4 figuras em que ele foi dividido:
ab + 2a + 5b + 10
Então:
(a + 5)(b + 2)= ab + 2a + 5b + 10
De forma prática , distribuímos a multiplicação fazendo:
(a + 5)(b + 2) = a(b + 2) + 5(b + 2)
 = ab + 2a + 5b + 10
Veja outros exemplos:
a) (2x – 3)(x2 + 3x + 5) = 2x(x2 + 3x + 5) - 3(x2 + 3x + 5)
 = 2x3 + 6x2 + 10x - 3x2 - 9x -15
 = 2x3 + 3x2 + x -15
b) Uma fábrica produz blocos de cimento com medidas dadas por 3x + 2, 2x – 1 e x + 5.
Preencha a tabela para alguns valores de x:
 x 3x + 2 2x – 1 x + 5 Volume
1 3(1) + 2 = 5 2(1) – 1 = 1 1 + 5 = 6 5 . 1 . 6 = 30
2
3
4
Vamos escrever uma fórmula geral para o volume de qualquer um desses blocos:
V = (3x + 2)(2x – 1)(x + 5)
V = (6x2 – 3x + 4x - 2)(x + 5)
V = (6x2 + x - 2)(x + 5)
19
 x
 +
 5
 3x + 2
 2x
 - 
1
V = 6x3 + 30x2 + x2 + 5x – 2x – 10 Que reduzindo os termos semelhantes, fica
V = 6x3 + 31x2 + 3x – 10 
42) Substitua x por 1 nessa fórmula, faça os cálculos e confirme se o valor do volume é 
 V = 30, como na tabela. Faça o mesmo para x = 2.
43) Observe o retângulo:
x + 3
x + 4
a) O que significa para essa figura a expressão 2(x + 3) + 2(x + 4)?
b) E a expressão (x + 3)(x + 4)?
c) Escreva um polinômio que represente o perímetro e outro que represente a área desse 
retângulo.
44) Teste suas habilidades na multiplicação de polinômios:
a) (x + 2)(x + 3) = b) (a – 2)(a – 7) = 
c) (y + 6)(y – 6) = d) (2x – 5)(3x – 2) =
e) (1 – 2x)(4 + 3x) = f) (- x + 4)(x + 5) =
g) (2x + y)(x – y) = h) (xy – 7)(xy – 6) =
i) (x2 + 3x – 4)(x – 2) = j) (c3 + 4c2 + c)(c – 1) = 
k) ( -y2 + y – 3)( - y + 1) = l) (x3 – 2x2 + x +1)(x – 1) =
20
45) Observe o retângulo da figura:
3x – 5 x
4x
a) Escreva um polinômio que represente a medida da área em cinza escuro no retângulo.
b) Faça x = 5 cm e calcule essa área de dois modos diferentes,
46) Mostre que (x + y)(x2 – xy + y2) = x3 + y3
47) Escreva o polinômio que permite calcular a área da parte cinza da figura:
48) Mostre que (x – y)(x2 + xy + y2) = x3 – y3
49) Simplifique as expressões:
a)(x + 4)(x – 3) = b) (x + 3)(x + 4) =
c) 3x(x – 1) + (x + 2)(x + 5) = d) (x + 7)(x – 7) + (x – 1)(x + 2)=
21
4x - 3
3x 5 x
x
4
2
x
50) Considere o bloco retangular:
Escreva o polinômio que representa:
a) a soma do comprimento de todas as arestas do bloco;
b) a área da face em superior;
c) a área da face lateral esquerda;
d) a área da face de frente
e) a soma das áreas de todas as faces;
f) o volume do bloco.
Produtos Notáveis
Alguns produtos de binômios são chamados produtos notáveis porque:
• Aparecem com frequência em problemas.
• Apresentam padrões que permitem economizar cálculos.
I) Quadrado da soma de dois termos.
Como já diz o nome: vamos elevar ao quadrado a soma de dois termos. Veja!
• (a + b)2 = (a + b).(a + b) = a2 + ab + ab +b2
2ab
(a + b)2 = a2 + 2ab +b2
• (x + y)2 = (x + y).(x + y) = x2 + xy + xy + y2 
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
• (m + 3)2 = (m + 3).(m + 3) = m2 + m.3 + 3m + 32 = m2 + 2.3m + 9
(m + 3)2 = m2 + 6m + 9
Podemos notar um padrão nos produtos acima.
1. Você pode explicar com palavras esse padrão?
2. Aplique o padrão para obter (x + 5)2 sem usar a propriedade distributiva.
Exercícios
51) Complete a tabela:
a b (a + b)2 a2 + b2
5 3
0 6
3 -1
-1 4
22
3x
x
 x+
 2
 
a) O que você observa em relação aos resultados do quadrado da soma representado por
(a + b)2 e os resultados da soma de dois quadrados representado por a2 + b2? Os
resultados são sempre iguais? Explique.
52) Na figura há dois quadrados (A e B) e dois retângulos (C e D).
 5 3
5 5
3 3
 5 3
a) Qual a área do quadrado A?
b) Qual a área do quadrado B?
c) Qual a área do retângulo C?
d) Qual a área do retângulo D?
e) Os quadrados A e B e os retângulos C e D
são partes de um quadrado maior?
f) Quanto medemos lados desse quadrado
maior?
g) Qual a sua área?
h) Escreva a igualdade que mostra que a área do quadrado maior é igual à soma das áreas
dos quadrados A e B e dos retângulos C e D.
53) Efetue como achar melhor:
a) (x + 7)2 = b) (5 + 2m)2 = c) (a + 3x)2 =
d)(10x + y)2 = e) (5x2 + 1)2 = f) (11 + pq)2 =
g) (x + 0,4)2 = h)(2x + 1)2 = i) x12 
2
=
54) Simplifique as expressões:
a) (x + 1)2 + (x + 2)2 = b) (2x + 1)2 + (3x + 2)2 =
c) 5x - (2x + 3)2 = d) (x + 5)2 - x(x + 3) =
23
C B
A D
55) Uma lâmina quadrada de alumínio tem no seu interior uma perfuração quadrada, cujas
dimensões aparecem na figura. Determine a expressão simplificada que representa a área
não perfurada.
56) Observe como Roberta calculou o quadrado de 105:
1052 = (100 + 5)2 = 1002 + 2.100.5 + 52 = 10000 + 1000 + 25 = 11025
Calcule mentalmente:
a) 132 = b) 512 = c) 1032 =
II) Quadrado da diferença de dois termos.
O quadrado da diferença de dois termos também tem um padrão:
• (a – b)2 = (a – b).(a – b) = a.a – a.b – b.a + b.b = a2 – 2ab + b2 
- 2ab
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
• (x – y)2 = (x – y).(x – y) = x.x – x.y – x.y + y.y = x2 – 2xy + y2
• (7 – y)2 = (7 – y).(7 – y) = 7.7 – 7.y – 7.y + y.y = 72 – 2.7.y + y2
= 49 –14y + y2
Exercícios
57) Complete a tabela:
a b (a – b)2 a2 – b2
5 3
6 0
3 -1
-1 4
a) O que você observa em relação aos resultados do quadrado da diferença representado
por (a – b)2 e os resultados da diferença de dois quadrados representado por a2 – b2? Os
resultados são sempre iguais? Explique.
58) Efetue como achar melhor:
a) (m - 3)2 = b) (2a - 5)2 = c) (7 - 3c)2 =
24
2p + 6
 p + 2
d)(2 - x3)2 = e) (5x - 2y)2 = f) (xy - 10)2 =
g) (x - 0,2)2 = h)(2x - 1)2 = i) x−12 
2
=
59) Determine a área da parte colorida dos quadrados:
 3
a) b)
60) Simplifique as expressões:
a) (x – 4)2 – (x – 1)2 = b) (x + 1)2 – (x – 2)2 =
c) (- x + 3)2 – 2x(4 – x) = d) 1 [(x + 1)2 + (x – 1)2] =
 2
61) Calcule mentalmente:
a) 192= b) 992=
III) Produto da soma pela diferença de dois termos.
Usando mais uma vez a propriedade distributiva, vamos calcular produtos do tipo (a 
+ b)(a – b).
• (a + b)(a – b) = a2 – ab + ab – b2
Reduzindo os termos semelhantes...
• (a + b)(a – b) = a2 – b2
• (x + y)(x – y) = x2 – xy + xy – y2
= x2 – y2
Exercícios
62) Use a propriedade distributiva ou as fórmulas dos produtos notáveis. Efetue como 
achar melhor.
a) (x + 9)(x – 9)= b) (m -1)(m + 1)=
25
x
3
 x
3
x
3
 x
3
c) (3x + 5)(3x – 5)= d) (2 – 7x)(2 + 7x)=
e) (m2 – 6)(m2 + 6)= f) (- 2a + 5)(- 2a – 5)=
g) (0,3 – x)(0,3 + x)= h) x
1
3
x−1
3
 =
63) complete com o termo ou fator faltante:
a) (x + 10)( ________ ) = x2 – 100 b) (9 – a)( _______ ) = 81 – a2
c) ( ___ + 8)( ___ – 8) = y2 – ____ d) ( __ + __ )( __ – __ ) = m2 - 49
64) Simplifique as expressões:
a) (m – 1)2 – (m + 1)(m – 1) = b) (x + 4)(x – 4) – (x – 4)2 =
65) Veja como a Matemática pode lhe ajudar a fazer cálculos mais rápidos:
19.21 = (20 – 1)(20 + 1) Agora calcule mentalmente!
= 202 – 12 a) 51.49 =
= 400 – 1 b) 28.32 =
= 399 c) 103.97 =
66) Para cada figura, escreva uma expressão que represente a medida da área cinza:
a) b)
 x + 5
x – 5 
Fatoração
Observe como representamos o número 36:
36 = 4.9 Uma outra maneira:
Como 4 = 22 e 9 = 32 podemos escrever: 36 = 12.3 = 2.2.3.3
36 = 22..32 12
Nesse caso, 36 foi escrito como produto de fatores primos.
22..32 é a forma fatorada prima de 36.
Fatorar é escrever na forma de produto, ou seja como uma multiplicação. Muitos 
polinômios podem ser fatorados: podemos escrevê-los como produto de outros polinômios,
o que frequentemente permite simplificar expressões. Veja como:
26
 x
4
I)Fatoração colocando o Fator comum em evidência
A área (A) desse retângulo é A = 3a + 3b + 3c (soma das áreas das figuras que o 
compõem) ou A = 3(a + b + c) (produto do comprimento pela largura).
Então,
 3a + 3b + 3c = 3(a + b + c)
 polinômio forma fatorada
do polinômio
Repare que, nesse exemplo, 3 é fator comum a todos os termos do polinômio 3a
+ 3b +3c. Na forma fatorada, 3 aparece com destaque. Dizemos que o fator comum 3 foi
colocado em evidência.
Veja outro exemplo:
O polinômio que representa sua 
área é:
3x2 + 6xy
3.x.x 2.3.x.y
Nesse caso, o fator comum a todos os termos do polinômio é 3x. Colocando 3x em 
evidência, obtemos a forma fatorada do polinômio:
3x2 + 6xy = 3x(x + 2y)
Vamos fatorar mais alguns polinômios:
• 3x2y + 6xy2 – 2xy = xy(3x + 6y – 2) 3x2y : xy = 3x
 O fator comum é xy: 6xy2 : xy = 6y
 – 2xy : xy = – 2 
• 6a2 + 8a = 2a(3a + 4)
• 10p3 + 15p2 = 5p2(2p + 3)
II) Fatoração por agrupamento
Nesse caso não há fator comum a todos os termos. No entanto podemos agrupar os 
termos por fator comum a eles. Veja:
ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y)
 Observe que (x + y) é fator comum aos dois termos. 
Colocando-o em evidência fica:
ax + ay + bx + by = (x + y)(a + b)
27
 6xy : 3x = 2y 3x2: 3x = x
b c
3A
1
= ? A
3
= ?A2= ?
a
2y x
3
x
A
1
= ? A
2
= ?
Outro exemplo:
• xy2 + xy3 + 3 + 3y = xy2(1 + y) + 3(1 + y)
= (1 + y)(xy2 + 3)
Exercícios
67) Observe a figura:
 a b c
 5
A área total do retângulo é 5a + 5b + 5c. Qual
é a forma fatorada dessa expressão?
68) Indique duas fórmulas para o perímetro de cada uma das figuras:
a) m b) a
 b b
 n n
 m b b
 a
69) Fatore as expressões:
a) 7x2 – 28 = b) 33x + 22y – 55z = c) x6 + x7 + x8 =
d) 36ab + 24ab2 = e) 4a¶ +12¶b = f) 
3
7
a−3
7
b =
70) Use a fatoração e calcule:
a) 58.3 + 58.7 = b) 6.195 + 6.5 = c) 8.111 – 8.11 =
71) coloque em evidência o fator comum:
a) x(a + b) + y(a + b) = b) 2a(x – 1) – b(x – 1) =
72) Fatore os polinômios por agrupamento.
a) 7a – 7c + ma – mc = b) a3 + 3a2 + 2a + 6 = c) x3 – x2 + 5x – 5 =
73) Observe a figura:
 c d
a
b
a) Qual é a área de cada parte pintada de 
cinza?
b) Qual é a área total?
c) Qual é a forma fatorada da expressão 
obtida no item a?
28
Vamos aprender agora como desfazer produtos notáveis!
III) Fatoração da diferença de dois quadrados
Vimos que (a + b)(a – b) = a2 – b2 
Fazendo o caminho inverso, podemos fatorar uma diferença de quadrados:
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
Da mesma forma:
• x2 – y2 = (x + y)(x – y)
• 9a2 – 25 = (3a + 5)(3a – 5)
 (3a)2 52
• p2q2 – 49r2 = (pq + 7r)(pq – 7r)
 (pq)2 (7r)2
Veja onde podemos usar esse conhecimento:
20012 – 19992 = (2001 + 1999)(2001 – 1999) = 4000.2 = 8000
Legal, não é? As ferramentas da Matemática ajudam você a economizar cálculos!
74) Fatores:
a) x2 – 36 = b) 9x2 – 16 = c) 25 – a2 =
d) 1 – 81a2 = e) 100 – x2 = f) 36x4 – y6 =
g) 0,01x2 – 49 = h) 64m2 – 25x2 = i) 
x2
4
− y2 =
75) A área do retângulo da figura abaixo é dada por 9x2 – 4.
Qual a medida do menor lado desse
retângulo?
 3x + 2
76) Coloque antes o fator comum em evidência, e em seguida, fatore, se possível:
a) 17x2 – 17y2 = b) 2m4 – 50 = c) x3 – 25x = 
d) a2c – c = e) 
1
4
x 2−3
2
x = f) 
1
9
x2 y− 1
3
xy =
29
 Que podemos associar à área de
 um retângulo de lados (a + b) e (a - b)
77) Se x2 – y2 = 153 e x – y = 9, então qual é o valor de x + y?
78) Use a fatoração e calcule:
a) 1002 – 902 = b) 31752 – 31742 =
IV) Fatoração do trinômio quadrado perfeito
Você já sabe que
(a + b)2 = a2 + 2ab +b2
O trinômio obtido nesse produto notável é chamada de trinômio quadrado 
perfeito. Por que?
Com os termos deste trinômio formamos o quadrado de lado (a + b), lembra?
 a b
a
b
De forma semelhante, o produto notável (a – b)2 resulta num trinômio quadrado 
perfeito:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Agora faremos o inverso: vamos escrever o trinômio quadrado perfeito na sua forma 
fatorada.
 a2 + 2ab +b2 = (a + b)2
 a2 – 2ab + b2= (a – b)2
Nem sempre o trinômio é quadrado perfeito, por isso precisamos primeiro verificar 
se ele é quadrado perfeito, para então fatorá-lo da maneira vista.
Exemplos:
➢ a2 + 6a + 9
➢ Todo trinômio quadrado perfeito tem dois termos quadrados. Este trinômio os 
têm?
Sim: a2 que é quadradode a e 9 que é o quadrado de 3.
➢ O terceiro termo deve ser o dobro do produto de a por 3. De fato, 6a = 2.a.3 
Portanto, o trinômio a2 + 6a + 9 é quadrado perfeito e pode ser fatorado 
assim:
a2 + 6a + 9 = (a + 3)2
➢ 4x2 + xy + y2 tem dois termos quadrados: 4x2 que é o quadrado de 2x e y2 que é o 
quadrado de y. No entanto o terceiro termo do trinômio deveria ser 2.2x.y = 4xy, mas
é xy. Este trinômio não é quadrado perfeito.
➢ a2b2 + 25 – 10ab possui dois termos ao quadrado: a2b2 que é o quadrado de ab e 
25 que é o quadrado de 5. O terceiro termo do trinômio deveria ser 2.ab.5 = 10ab e 
30
 Somando a área do quadrado de lado x com a 
área do quadrado de lado y e com 2 vezes a área 
do retângulo de lados x e y, obtemos a área do 
quadrado de lado (x + y).
ab b2
a2 ab
de fato o é. O trinômio é quadrado perfeito e pode ser fatorado.
a2b2 + 25 – 10ab = (ab – 5)2
Exercícios
79) Observe a figura e responda:
A B a) Qual é a área do quadrado ABCD?
b) Qual é a medida do lado desse 
 quadrado?
D C c) Qual é a forma fatorada de x2 +10x + 25?
80) complete com = ou ≠ :
a) (a + 7)2 ____ a2 + 14a + 49 b) (a – 7)2 ____ a2 – 14a + 49
c) (3x – 7)2 ____ 9x2 – 4a + 12x d)(5x – 3)2 ____ 25x2 + 9 – 30x
81) Em cada caso, determine a expressão para a medida do lado do quadrado.
a) b)
82) Quando o polinômio dado for quadrado perfeito, fatore:
a) x2 + 2x + 1 = b) x2 – 2x + 1 = c) 1 – 6m + 9m2 =
d) x2 + 12x + 36 = e) 36a2 – 12ac + c2 = f) y4 + 4y2 + 4 =
g) a2 – 18a + 64 = h) x2 + 9 + 6x = i) x2 – 12xy + 36y2 =
83) Fatore:
a) x2 – x + 0,25 = b) 1−3x
9
4
x2 = c) a
2a 1
4
=
31
5x 25
x2 5x
Área =
 x2 + 6x + 9
Área =
 36y2 – 60y + 25
d) x
211x121
4
= e)25x2 + 10x + 1 = f) x
22
3
x 1
9
=
84) Fatore completamente:
a)5x5 + 10x4 + 5x3 = b) 12a2 + 60a + 75 = c) 
1
2
x 2 1
4
x 1
32
85) Resolva as equações:
a) (x + 1)2 – x2 = 17 b) x(x + 5) = (x + 1)2 + 26 c) (x – 4)2 = x2 – 40 
86) Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que encolherá após 
a primeira lavagem mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra as medidas
originais do forro e o tamanho do encolhimento (x) no comprimento e (y) na largura.
A expressão algébrica que representa a área do forro após ser lavado, ou seja, a área em 
cinza, é?
87) Observe as figuras:
x + 2
2x + 1
A diferença entre as áreas desse quadrados é 72. Qual é a diferença entre seus 
perímetros?
32
x
3
y
5
88) Determine as dimensões do terreno retangular representado a seguir.
33
( x + 6) m
( x - 6) mÁrea = 748 m2