Lista 1 resolvida - Álgebra linear

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1. Seja V = {x ∈ R : x > 0}. Definimos a soma de dois elementos u e v de V como sendo a
multiplicação usual de números reais (por exemplo, se u = 2 e v = 9, então u+v := 2 ·9 = 18).
Definimos também o produto de um número real α por um elemento v de V como sendo vα
(por exemplo, se α = −1
2
e v = 9, temos que α · v := 9− 12 = 1
3
). V equipado com essas
operações é um espaço vetorial sobre R.
a. Determine quem é o vetor nulo 0V. (justifique sua resposta)
Temos que 0V = 1 pois, dado v ∈ V temos que v + 1 := v · 1 = v para todo v ∈ V.
b. Determine uma base para V. (justifique sua resposta)
Temos que {2} é uma base para V pois,
Se α · 2 = 0V então, 2α = 1, de onde segue que α · ln(2) = ln(1) = 0 logo, α = 0. Assim, {2} é
L.I.
Analogamente, seja v ∈ V. Temos que v = 2α com α = log2(v). Portanto, v = α · 2. Assim,
{2} gera o espaço V.
2. Seja W = {
(
2a a+ 2b
0 a− b
)
: a, b ∈ R} ⊆MR(2, 2).
a. Mostre que W é subespaço de V;
Temos que,
1) 0MR(2,2) =
(
0 0
0 0
)
=
(
2a a+ 2b
0 a− b
)
com a = b = 0. Portanto, 0MR(2,2) ∈W.
2) Dados A =
(
2a1 a1 + 2b1
0 a1 − b1
)
, B =
(
2a2 a2 + 2b2
0 a2 − b2
)
∈W temos que,
A+B =
(
2a1 a1 + 2b1
0 a1 − b1
)
+
(
2a2 a2 + 2b2
0 a2 − b2
)
=
(
2a1 + 2a2 (a1 + 2b1) + (a2 + 2b2)
0 + 0 (a1 − b1) + (a2 − b2)
)
=
=
(
2(a1 + a2) (a1 + a2) + 2(b1 + b2)
0 (a1 + a2)− (b1 + b2)
)
=
(
2a a+ 2b
0 a− b
)
com a = a1 + a2 e b = b1 + b2. Portanto, A+B ∈W.
3) Dados A =
(
2a1 a1 + 2b1
0 a1 − b1
)
∈W e α ∈ R temos que,
α · A = α ·
(
2a1 a1 + 2b1
0 a1 − b1
)
=
(
α · 2a1 α · (a1 + 2b1)
α · 0 α · (a1 − b1)
)
=
(
2a a+ 2b
0 a− b
)
,
com a = α · a1 e b = α · b1. Portanto, α · A ∈W.
1
Lista 1 - Álgebra Linear
Segue de 1), 2) e 3) que W é subespaço de MR(2, 2).
b.
(
0 −2
0 1
)
∈W? (justifique)
Temos que M =
(
0 −2
0 1
)
=
(
2a a+ 2b
0 a− b
)
, com a = 0 e b = −1. Logo, M ∈W.
c.
(
0 2
0 3
)
∈W? (justifique)
Para que a matriz N =
(
0 2
0 3
)
pertença a W, devem existir a, b ∈ R tais que,
(
0 2
0 3
)
=
(
2a a+ 2b
0 a− b
)
ou seja, 2a = 0, a + 2b = 2 e a− b = 3. Devemos ter então que, a = 0, b = 1 e b = −3, mas
isso é imposśıvel pois 1 6= −3. Logo, N /∈W.
d. Determine a dimensão de W. (justifique)
Dado A =
(
2a a+ 2b
0 a− b
)
∈W temos que,
A =
(
2a a
0 a
)
+
(
0 2b
0 −b
)
= a ·
(
2 1
0 1
)
+ b ·
(
0 2
0 −1
)
Logo, W =
[(
2 1
0 1
)
,
(
0 2
0 −1
)]
Temos também que E =
{(
2 1
0 1
)
,
(
0 2
0 −1
)}
é L.I. pois, sejam α, β ∈ R tais que,
α ·
(
2 1
0 1
)
+ β ·
(
0 2
0 −1
)
=
(
0 0
0 0
)
então, 2α = 0, α + 2β = 0 e α− β = 0. Mas disso segue que α = β = 0.
Desta forma, como E é L.I. e gera W segue que E é uma base para W. Logo, dim(W) = 2.
3. Sejam E = {(1, 0), (0, 1)}, F = {(−1, 1), (1, 1)}, G = {(
√
3, 1), (
√
3,−1)} e H = {(2, 0), (0, 2)}
bases ordenadas de R2.
a. Determine as matrizes de mudança de base,
i) [I]FE; [I]
F
E =
(
−1 1
1 1
)
ii) [I]EF ; [I]
E
F =
(
−1
2
1
2
1
2
1
2
)
iii) [I]EG; [I]
E
G =
(
1
2
√
3
1
2
1
2
√
3
−1
2
)
iv) [I]EH . [I]
E
H =
(
1
2
0
0 1
2
)
b. Determine as coordenadas de v = (3,−2) em relação às bases,
2
i) E; [v]E =
(
3
−2
)
ii) F ; [v]F = [I]
E
F · [v]E =
(
−1
2
1
2
1
2
1
2
)
·
(
3
−2
)
=
(
−5
2
1
2
)
iii) G; [v]G = [I]
E
G · [v]E =
(
1
2
√
3
1
2
1
2
√
3
−1
2
)
·
(
3
−2
)
=
(√
3−2
2√
3+2
2
)
iv) H. [v]H = [I]
E
H · [v]E =
(
1
2
0
0 1
2
)
·
(
3
−2
)
=
(
3
2
−1
)
c. As coordenadas de um vetor v em relação à base F são dadas por [v]F =
(
4
0
)
. Quais são
as coordenadas de v em relação à base,
i) E; [v]E = [I]
F
E · [v]F =
(
−1 1
1 1
)
·
(
4
0
)
=
(
−4
4
)
ii) G; [v]G = [I]
E
G · [v]E =
(
1
2
√
3
1
2
1
2
√
3
−1
2
)
·
(
−4
4
)
=
(
− 2√
3
+ 2
− 2√
3
− 2
)
iii) H. [v]H = [I]
E
H · [v]E =
(
1
2
0
0 1
2
)
·
(
−4
4
)
=
(
−2
2
)
4. Seja V um espaço vetorial.
a. Mostre que, se {v1, v2, . . . , vn} é um conjunto LD de V então {v1, v2, . . . , vn, w} é também
um conjunto LD de V, qualquer que seja o vetor w ∈ V;
Como {v1, v2, . . . , vn} é LD, existem números α1, α2, . . . , αn não todos nulos, tais que
α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn = 0V
Assim, temos que,
β1v1 + β2v2 + · · ·+ βnvn + βn+1w = 0V
sendo β1 = α1, β2 = α2, ... , βn = αn e βn+1 = 0. Como os números β1, β2, . . . , βn+1 não são
todos nulos, segue que {v1, v2, . . . , vn, w} é LD.
b. Mostre que, se β = {v1, v2, . . . , vn} é LI então β − {vj} = {v1, v2, . . . , vj−1, vj+1, . . . , vn} é
também um conjunto LI de V, qualquer que seja j = 1, 2, . . . , n.
Se β − {vj} não é LI, então β − {vj} é LD. Segue então do item a) (tomando w = vj) que β
é LD, o que é um absurdo, pois por hipótese, β é LI. Portanto, conclui-se que β − {vj} é LI
qualquer que seja j = 1, 2, 3, . . . , n.
• Demonstração alternativa (direta)
Suponha que β = {v1, v2, . . . , vn} é LI e suponha que
α1v1 + α2v2 + · · ·+ αj−1vj−1 + αj+1vj+1 + · · ·+ αnvn = OV
segue então que, α1v1 + α2v2 + · · · + αj−1vj−1 + 0vj + αj+1vj+1 + · · · + αnvn = OV, ou seja,
fazendo β1 = α1, β2 = α2, · · · , βj−1 = αj−1, βj = 0, βj+1 = αj+1, . . . , βn = αn teremos
β1v1 + β2v2 + · · ·+ βj−1vj−1 + βjvj + βj+1vj+1 + · · ·+ βnvn = OV
como β = {v1, v2, . . . , vn} é LI, conclui-se que β1 = β2 = · · · = βn = 0, ou seja, α1 = α2 =
· · · = αj−1 = αj+1 = · · · = αn = 0. Logo, o conjunto β − {vj} é LI.
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