Aula 02 - A antiderivada e a integral indefinida

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• META:
Apresentar o conceito de antiderivada e integral indefinida.
• OBJETIVO:
Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de:
 Entender o conceito de antidiferenciação.
 Compreender e aplicar propriedades da integral indefinida.
• PRÉ-REQUISITOS:
Derivação de funções a uma variável real.
 Aula 02: A Integral Indefinida.
 Problema:
Um móvel tem sua velocidade 𝑣, em cm/s, modelada pela função 𝑣 𝑡 = 𝑡3 − 2𝑡2 + 10, em
que 𝑡 é dado em s.
a) Determine a aceleração 𝑎 da partícula no instante 𝑡 = 5 s.
b) Determine a função 𝑠(𝑡) que modela a posição do móvel sabendo que 𝑠 4 = 90.
 A Integral Indefinida:
Definição: Dizemos que uma função 𝐹 é uma antiderivada de uma função 𝑓 em um
intervalo aberto se 𝐹’(𝑥) = 𝑓(𝑥) em cada 𝑥 do intervalo.
Exemplo: Prove, para cada caso, que 𝐹 é a antiderivada de 𝑓.
a) 𝐹 𝑥 =
1
3
𝑥3, 𝑓 𝑥 = 𝑥2;
b) 𝐹 𝑥 = 𝑒4𝑥, 𝑓 𝑥 = 4𝑒4𝑥;
c) 𝐹 𝑥 = 𝑥 sen 𝑥, 𝑓 𝑥 = sen 𝑥 + 𝑥 cos 𝑥
 A Integral Indefinida:
Teorema: Se 𝐹(𝑥) for qualquer antiderivada de 𝑓(𝑥) em um intervalo aberto, então, dada
qualquer constante 𝐶, a função 𝐹 𝑥 + 𝐶 é também uma antiderivada de 𝑓(𝑥) nesse
intervalo. Além disso, cada antiderivada de 𝑓(𝑥) no intervalo pode ser expressa na forma
𝐹 𝑥 + 𝐶, escolhendo-se apropriadamente a constante 𝐶.
O processo de encontrar antiderivadas é denominado antiderivação,
antidiferenciação, ou ainda, INTEGRAÇÃO.
 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶
A integral de 𝑓(𝑥) em relação a 𝑥 é igual a 𝐹(𝑥) mais uma constante.
 Integração de Potências:
Para integrar uma potência em 𝑥 (diferente de −1), some 1 ao expoente e divida
pela nova potência encontrada.
Exemplo:
a) 𝑥4 𝑑𝑥 =
b) 𝑥−5 𝑑𝑥 =
c) 
5
𝑥4 𝑑𝑥 =
 Propriedades da integral indefinida:
A integral indefinida apresenta algumas propriedades operatórias que
descreveremos em seguida:
Exemplo:
 Fórmulas de integrais básicas:
 Integração por Substituição:
O método da substituição pode ser motivado examinando-se a regra da cadeia.
𝑑
𝑑𝑥
𝐹 𝑔 𝑥 = 𝐹′ 𝑔(𝑥) 𝑔′(𝑥)
Sendo assim, 𝑑 𝐹 𝑔 𝑥 = 𝐹′ 𝑔(𝑥) 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑔 𝑥 + 𝐶
Ou, ainda, uma vez que 𝐹 é antiderivada de f, 𝑓 𝑔 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑔 𝑥 + 𝐶
Tomando 𝑢 = 𝑔′(𝑥) e escrevendo 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑔′(𝑥), temos a notação diferencial 𝑑𝑢 = 𝑔
′ 𝑥 𝑑𝑥.
Disso, escrevemos
 𝑓 𝑢 𝑑𝑢 = 𝐹 𝑢 + 𝐶
 Exemplo: 
1) Calcule, utilizando o método da substituição, as integrais abaixo:
a) 2𝑥(𝑥2 + 1)50 𝑑𝑥 =
b) cos(5𝑥 + 1) 𝑑𝑥 =
c) 
𝑑𝑥
1
3
𝑥−8
5 =
 Roteiro para a substituição u:
Passo 1 – Procure alguma composição 𝑓(𝑔 𝑥 ) dentro do integrando para o qual a
substituição
𝑢 = 𝑔 𝑥 , 𝑑𝑢 = 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥
produza uma integral expressa inteiramente em termos de 𝑢 e de 𝑑𝑢. Isso pode
ou não ser possível.
Passo 2 – Se o passo 1 tiver sido completado com sucesso, tente calcular a integral
resultante em termos de 𝑢. Novamente, isso pode ou não ser possível.
Passo 3 – Se o passo 2 tiver sido completado com sucesso, substitua 𝑢 por 𝑔(𝑥) para
expressar a resposta final em termos de 𝑥.
 Exemplo: 
2) Suponha que uma população p de rãs em um lago está estimada no começo de 2010 em 100
000, e que o modelo de crescimento para a população 𝑝(𝑡) supõe que a taxa de crescimento
(em milhares) após 𝑡 anos será de 𝑝′ 𝑡 = 3 + 0,12𝑡
3
2. Estime a população projetada para o
começo do ano 2015.
 Exemplo: 
3) Suponha que uma barra de metal uniforme tenha 50 cm de comprimento e esteja isolada
lateralmente, enquanto as temperaturas nos extremos sejam mantidas a 25 e 85 °C,
respectivamente. Suponha que o eixo 𝑥 seja escolhido conforme a figura abaixo e que a
temperatura 𝑇(𝑥) em cada ponto 𝑥 satisfaça a equação.
𝑑2𝑇
𝑑𝑥2
= 0
Encontre 𝑇(𝑥) para 0 ≤ 𝑥 ≤ 50.
Cálculo Integral – Bibliografia
• STEWART, James. Cálculo. 6.ed. Editora Cengage
Learning vol. 1.
• ANTON, Howard; BIVIS, Iri; DAVIS, Stephen. - Cálculo, 
Vol. I - oitava edição - Editora Harbra.