Matemática 1º - Semelhança de triângulo

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Assunto 1: Semelhança de Triângulos
Nesta APC retomaremos o estudo da trigonometria (do grego: "medida dos triângulos"), revendo e aprofundando a Trigonometria no triangulo retângulo. O conceito de proporcionalidade é a questão central nessa APC, portanto faremos uma revisão de Geometria Plana, Preparados?
Os triângulos e suas aplicações no cotidiano
Você já parou para imaginar como seria a nossa vida sem as formas triangulares?
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Já se perguntou sobre as utilidades delas para o mundo do trabalho ou já observou, nos espaços que você frequenta, onde estas formas estão presentes, como na sua casa? 
O conhecimento sobre triângulos é fundamental para diversos ramos das ciências e o domínio de suas propriedades é elemento essencial para entender suas utilidades.
Como você pode notar, é comum encontrar vários exemplos práticos do cotidiano, no qual estas formas peculiares estão presentes.
CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS
É importante lembrar também que um triângulo pode ser classificado “simultaneamente”, de acordo com seus lados e ângulos.
· Quanto às medidas dos lados
	
	
Equilátero: os três lados tem a mesma medida.
	
Isósceles: dois lados tem a mesma medida e um é diferente.
	
Escaleno: todos os lados possuem medidas diferentes.
Repare nos tracinhos circulados em cada triângulo.
· No triângulo equilátero todos os lados possuem um tracinho, isso indica que todos os lados são iguais. 
· No triângulo isósceles temos dois lados com dois tracinhos, o que indica que são iguais, e apenas um lado com um tracinho, demonstrando que ele tem a medida diferente das demais.
· No triângulo escaleno, todos os lados possuem medidas diferentes indicadas por quantidade de tracinhos diferentes. 
· Quanto às medidas dos ângulos
Agora que já sabemos sobre os ângulos (reto, acutângulo e obtusângulo) vamos ver suas aplicações em triângulos.
	
Acutângulo: os três ângulos são agudos, ou seja, medem menos que 90º.
	
Retângulo: tem um ângulo reto (90º) e dois agudos.
	
Obtusângulo: tem um ângulo obtuso (maior que 90º) e dois ângulos agudos.
Nomear os triângulos pelos lados não anula a sua nomeação ou classificação quanto aos ângulos.
Um triângulo pode ser Equilátero – Acutângulo, Isósceles – Retângulo, Escaleno – Obtusângulo, por exemplo.
CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS
Podemos dizer que dois triângulos são congruentes quando seus lados e seus ângulos correspondentes são respectivamente congruentes.
Lê-se: Lado do primeiro triângulo corresponde ao lado do segundo triângulo.
Ou o ângulo do primeiro triângulo corresponde ao ângulo do segundo triângulo.
Nesta representação acima, observe as marcações nos ângulos. Quando vimos os tipos de triângulos, a classificação pela medida dos lados representa com os tracinhos se um lado é ou não igual ao outro. Esta estratégia também pode ser empregada para informar se um ângulo é ou não de mesmo tamanho que o outro, isso porquê nem sempre o ângulo virá acompanhado de sua medida ou será possível utilizar um transferidor para se medi-lo. Desta forma, analisamos pelos risquinhos indicativos.
Para saber se dois triângulos são congruentes, não é preciso se reconhecer as medidas de todos os lados ou ângulos. Temos quatro casos específicos.
CASOS DE CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULO
1º Caso: L.A.L – Lado-Ângulo-Lado
Dois triângulos que possuem dois lados e o ângulo compreendido entre eles respectivamente congruentes são congruentes. Ou seja, eles apresentam lados de mesma medida e o ângulo entre eles também possui mesma medida.
ÂNGULO
ÂNGULO
LADO
LADO
LADO
LADO
2º Caso: A.L.A – Ângulo-Lado-Ângulo
Dois triângulos que possuem um lado e dois ângulos adjacentes a esse lado respectivamente congruentes são congruentes. Ou seja, dois triângulos apresentam dois ângulos e um lado iguais entre si.
LADO
LADO
ÂNGULO
ÂNGULO
ÂNGULO
ÂNGULO
3º Caso: A.L.A – Lado-Lado-Lado
Dois triângulos que possuem os três lados respectivamente congruentes são congruentes. Ou seja, dois triângulos apresentam todos os lados iguais entre si.
LADO
LADO
LADO
LADO
LADO
LADO
4º Caso: L.A.Ao – Lado-Ângulo-Ângulo oposto
Dois triângulos que possuem um lado, um ângulo adjacente e um ângulo oposto a esse lado respectivamente congruentes são congruentes. Ou seja, dois triângulos apresentam ângulo adjacente, lado e ângulo oposto iguais entre si.
O que diferencia esse quarto caso do segundo é a posição do ângulo. Se você observar a imagem do caso 2, os ângulos estão na mesma linha do lado, deste caso, um ângulo está na linha, o outro está em frente ao lado.
ÂNGULO
OPOSTO
ÂNGULO
OPOSTO
ÂNGULO
ÂNGULO
LADO
LADO
Exercícios para realizar no caderno:
1. Classifique os triângulos abaixo:
				QUANTO AOS LADOS		QUANTO AOS ÂNGULOS
			( ) Equilátero			 ( ) Acutângulo
			( ) Isósceles		 ( ) Obtusângulo
			( ) Escaleno			 ( ) Retângulo
				QUANTO AOS LADOS		QUANTO AOS ÂNGULOS
			( ) Equilátero			 ( ) Acutângulo
			( ) Isósceles			 ( ) Obtusângulo
			( ) Escaleno			 ( ) Retângulo
2. Classifique os triângulos abaixo quanto às medidas dos lados E dos ângulos.
	A
	B
	C
	
 
	
	
 
3. Na congruência de triângulos, estudamos quatro casos, são eles: L.L.L., L.A.L., A.L.A. e L.A.AO. Indique o caso de congruência nos pares de triângulos abaixo:
	a) 								c) 3 cm
3 cm
40º
60º
40º
60º
4 cm
3 cm
5 cm
4 cm
5 cm
3 cm
		
6 cm
30º
100º
6 cm
100º
30º
	b) 							d) 120º
4 cm
3 cm
120º
4 cm
3 cm
Assunto 2: Teorema de Tales
Tales e a semelhança:
Em uma viagem ao Egito, Tales de Mileto teria feito um cálculo surpreendente: descobriu a altura de uma pirâmide a partir do comprimento de sua sombra, com base em conceitos de proporcionalidades. 
· Próximo a pirâmide,Tales fincou um bastão no chão e esperou até o momento em que a sombra e o bastão tivessem o mesmo comprimento.
· Nesse instante, pediu a um de seus ajudantes que medisse imediatamente o comprimento da sombra da pirâmide.
Com base em seus conhecimentos sobre triângulos, ele concluiu que, quando a sombra do bastão tivesse o mesmo comprimento que o bastão, a sombra da pirâmide teria o mesmo comprimento que a altura da pirâmide. Mas ele levou em consideração que parte da sombra estava escondida, conforme mostra o desenho acima.
Teorema de Tales:
Cortando-se um feixe de retas paralelas por duas retas transversais, os segmentos determinados sobre uma transversal são proporcionais aos correspondentes determinados sobre a outra.
 Observe a situação abaixo:
Exemplo:
As redes de água e esgoto da Avenida Mato Grosso, na cidade de Campo Grande/MS, estão distribuídas conforme mostra a figura abaixo: 
Se as linhas azuis (transversais) representam passarelas para pedestres, paralelas entre si, e as linhas pontilhadas representam as tubulações de esgoto e água, respectivamente, qual o valor de “x” e qual das duas redes é a maior? 
200 = 250
300 X
200 . X = 300 . 250
200 X = 75.000
X = 75.000
200
X = 375 metros
A rede de água mede 500 metros, pois:
 200 + 300 = 500
Já a rede de esgoto mede 625 metros, porque:
250 + 375 = 625
Resposta: a rede de esgoto, pois, mede 125 metros a mais que a rede de água.
Exercícios para realizar no caderno:
4. Nas figuras, as retas r, s e t são paralelas. Determine o valor de x, como no exemplo acima:
5. Determine o valor de “x” na figura abaixo
Assunto
 
1
: 
Semelhança de Triângulos
 
 
 
Nest
a
 
APC retomaremos o estudo da trigonometria (do grego: "medida dos triângulos"), revendo e 
aprofundando a Trigonometria no triangulo retângulo. O conceito de proporcionalidade é a questão 
central nessa APC, portanto faremos uma revisão de Geometria Plana, P
reparados?
 
 
 
Os triângulos e suas aplicações no cotidiano
 
 
Você já parou para imaginar como seria a nossa vida sem as formas triangulares?
 
 
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Já se perguntou sobre as utilidades delas para o mundo do trabalho ou já observou, nos espaços 
que você 
frequenta, onde estas formas estão presentes
, como na sua casa
?O conhecimento sobre triângulos é fundamental para diversos ramos das ciências e o domínio de 
suas propriedades é elemento essencial para entender suas utilidades.
 
Como você pode 
notar, é comum encontrar vários exemplos práticos do cotidiano, no qual estas 
formas peculiares estão presentes.
 
 
 
CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS
 
É importante lembrar também que um triângulo pode ser classificado “simultaneamente”, de 
acordo com seus 
lados
 
e 
ângulos
.
 
 
·
 
Quanto às medidas dos lados
 
 
 
Equilátero
: os três lados 
tem a mesma medida.
 
 
Isósceles: 
dois lados 
tem a 
mesma medida
 
e um é 
diferente
.
 
 
Escaleno
: todos os lados 
possuem 
medidas diferentes.
 
 
Repare
 
nos tracinhos circulados em cada triângulo.
 
Assunto 1: Semelhança de Triângulos 
 
 
Nesta APC retomaremos o estudo da trigonometria (do grego: "medida dos triângulos"), revendo e 
aprofundando a Trigonometria no triangulo retângulo. O conceito de proporcionalidade é a questão 
central nessa APC, portanto faremos uma revisão de Geometria Plana, Preparados? 
 
 
Os triângulos e suas aplicações no cotidiano 
 
Você já parou para imaginar como seria a nossa vida sem as formas triangulares? 
 
? ? ? ? ? 
 
Já se perguntou sobre as utilidades delas para o mundo do trabalho ou já observou, nos espaços 
que você frequenta, onde estas formas estão presentes, como na sua casa? 
 
O conhecimento sobre triângulos é fundamental para diversos ramos das ciências e o domínio de 
suas propriedades é elemento essencial para entender suas utilidades. 
Como você pode notar, é comum encontrar vários exemplos práticos do cotidiano, no qual estas 
formas peculiares estão presentes. 
 
 
CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS 
É importante lembrar também que um triângulo pode ser classificado “simultaneamente”, de 
acordo com seus lados e ângulos. 
 
 Quanto às medidas dos lados 
 
 
Equilátero: os três lados 
tem a mesma medida. 
 
Isósceles: dois lados tem a 
mesma medida e um é 
diferente. 
 
Escaleno: todos os lados 
possuem medidas diferentes. 
 
Repare nos tracinhos circulados em cada triângulo.