Livro Matemática Financeira

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MATEMÁTICA 
FINANCEIRA
Adriana Claudia Schmidt 
Análise de investimentos
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Explicar a relação entre orçamento de capital e investimentos.
  Analisar as técnicas de orçamento de capital.
  Relacionar a análise de investimentos com o gerenciamento de riscos 
em organizações.
Introdução
A melhor escolha do método utilizado para a análise de investimento 
compreende não apenas as alternativas entre dois ou mais investimentos, 
mas também se um único investimento é viável ou não. Para a tomada 
de decisão, deve-se levar em consideração os valores quantitativos. Exis-
tem vários métodos para análise de investimentos, mas nem todos são 
confiáveis.
Neste capítulo, você conhecerá os métodos de investimentos que se 
baseiam na equivalência de capitais. Além disso, conhecerá as melho-
res técnicas e métodos de análise de investimentos que a matemática 
financeira aborda, e, por fim, relacionará a análise de investimentos com 
o gerenciamento de riscos em organizações.
A importância de estimar valores de 
investimentos
É preciso entender o que é orçamento de capital para estabelecer quais os 
melhores investimentos a serem realizados. Empreender é necessário, e, 
para tanto, é preciso investir, de modo que se deve realizar uma análise dos 
investimentos, efetuar um orçamento de capital, estimar os valores a serem 
empregados, bem como avaliar o retorno dos fl uxos de caixa, a fi m de verifi car 
se o investimento será viável ou não.
Para Gitman (2010), o orçamento de capital é o processo de avaliação e 
seleção de investimentos de longo prazo condizente com o objetivo empresa-
rial de maximizar a riqueza dos proprietários. As empresas costumam fazer 
muitos tipos de investimento de longo prazo, mas os mais comuns entre as 
indústrias são os ativos imobilizados, que abrangem terrenos, instalações e 
equipamentos. Esses ativos, às vezes chamados de ativos geradores de lucros, 
costumam dar base à rentabilidade e ao valor do negócio.
Após realizar um orçamento de capital, será possível avaliar os investimentos, 
processo este que determinará a viabilidade das aquisições necessárias. As em-
presas estão sempre fazendo investimentos, e vários são os motivos para investir, 
como, por exemplo, aquisição de novos equipamentos, ampliação, reforma de 
ativos imobilizados, entre outros. Gitman (2010, p. 327) descreve que o processo 
de orçamento compreende cinco etapas distintas, mas correlacionadas:
1. Geração de proposta. Propostas são feitas em todos os níveis organizacionais 
e revistas pelo financeiro;
2. Revisão e análise. Realizam-se revisões e análises mais detidas para avaliar 
a adequação e a viabilidade econômica das propostas. Uma vez concluída a 
análise, um relatório resumido é submetido aos tomadores de decisão.
3. Tomada de decisão. As empresas costumam delegar a tomada de decisões 
em investimentos de capital com base em tetos de valor. De modo geral, é 
necessário obter autorização do conselho de administração para dispêndios 
além de um determinado valor.
4. Implementação. Depois da aprovação, os investimentos são realizados e os 
projetos, implementados. Os dispêndios em projetos em grande parte muitas 
vezes ocorrem por etapas.
5. Acompanhamento. Os resultados são monitorados e os custos e benefícios 
efetivos, comparados com as expectativas. Poderá ser necessário tomar algu-
mas providências, se os resultados efetivos forem diferentes dos projetados.
Contudo, o orçamento de capital viabiliza que a tomada de decisão seja 
plausível, objetivando o melhor aproveitamento de recursos e impedindo o 
uso inadequado destes e prováveis prejuízos.
Conforme Gitman (2010), é necessário que as empresas concluam o desen-
volvimento dos fluxos de caixa relevantes, uma vez que servem para deter-
minar se um projeto é aceitável ou para fazer uma classificação de projetos. 
Há diversas técnicas para realizar essas análises, mas as abordagens mais 
comuns envolvem a integração de procedimentos de valor do dinheiro no 
tempo, considerações quanto a risco e retorno e conceitos de avaliação para 
selecionar investimentos de capital condizentes com o objetivo da empresa 
de maximizar a riqueza dos proprietários.
Análise de investimentos2
Praticamente toda intervenção financeira é avaliada em termos de fluxo de 
caixa, os quais consistem na comparação dos valores presentes, calculados sob 
o regime de juros compostos, a partir de uma dada taxa de juros, das saídas 
e entradas de caixa. Para Brom e Baliam (2007, p. 3):
[...] um processo de decisão empresarial inicia-se quando uma situação qualquer 
apresenta um problema ou uma oportunidade que exige uma escolha entre as 
alternativas existentes. Se não houver alternativas, não há decisão a ser toma-
da. Constatada a existência de alternativas, e conhecidas as particularidades 
de cada uma, o passo seguinte do processo de decisão empresarial consiste 
na análise delas, com o apoio de métodos objetivos somados à experiência 
pessoal do tomador de decisões. A escolha da melhor alternativa, que, nas 
empresas, deve ser aquela que oferece a melhor relação entre custo e benefício 
(com risco aceitável), configura a tomada de decisão, a qual provocará uma 
ação específica.
Para Assaf Neto (2012, p. 158), “[...] a taxa interna de retorno (TIR) e o 
valor presente líquido (VPL) são os métodos com maior utilização e rigor 
conceitual nas análises das operações financeiras (aplicações e captações) e 
de projetos de investimento”. 
O principal intuito das análises de investimentos é estabelecer uma linha 
de raciocínio financeiro para que sejam tomadas as melhores decisões.
Optar pela realização de bons projetos de investimento pode ser o fator 
determinante para o sucesso da maioria dos negócios. Realizar a avaliação de 
um projeto é a forma ideal para a tomada de decisão, tendo o conhecimento 
de que o valor do dinheiro se altera ao longo do tempo, em decorrência do 
valor dos juros e da moeda.
Avaliação entre métodos de análise de investimentos
Para Dal Zot e Castro (2015), a análise de investimentos pode ser conside-
rada como um conjunto de critérios que as empresas utilizam na tomada de 
decisão ao realizar investimentos, visando, principalmente, à reposição de 
ativos existentes (em particular instalações e equipamentos), ao lançamento 
de novos produtos e à redução de custos. O processo consiste em decidir se 
um projeto vale a pena (se o retorno sobre o investimento é mais interessante 
que aplicações no mercado fi nanceiro) ou optar por um entre vários projetos 
de investimento alternativos.
Considerar o dinheiro ao longo do tempo influencia diretamente a qualidade 
da avaliação. Para se ter um bom rendimento, é necessário estabelecer o que se 
3Análise de investimentos
chama de taxa mínima de atratividade (TMA). Essa taxa expressará a rentabilidade 
mínima que se espera do projeto, é o mínimo de rentabilidade que faz o projeto 
valer a pena do ponto de vista econômico. Três elementos formam a taxa mínima 
de atratividade: o custo de capital do projeto, a taxa do custo de capital e a infla-
ção, juntamente ao risco. O custo de capital do projeto influencia diretamente a 
viabilidade do projeto, sendo importante considerar diferentes opções de capital, 
seja próprio, de terceiros ou uma composição dos dois. A taxa do custo de capital 
pode ser obtida por meio da fórmula do custo médio ponderado de capital (CMPC), 
e a inflação e o risco também podem ser incorporados à TMA para análise.
A análise de investimento é realizada a partir dos fluxos de caixa do projeto, 
os quais podem ser avaliados a partir de três indicadores:
  valor presente líquido (VPL);
  taxa interna de retorno (TIR);
  Payback – tempo de recuperação do investimento.
O método do VPL positivo mostra que o projeto é rentável acima da TMA. O 
método da TIR calcula a taxa para o qual o VPL do projeto é igual a zero. Esse 
valor deve ser utilizado como auxiliar ao VPL eem comparação com a TMA. 
Um valor da TIR acima do valor da TMA significa que o projeto é rentável 
acima da taxa mínima desejada. O método payback, por sua vez, mostra em 
quanto tempo o investimento inicial será recuperado. Ele pode ser calculado 
de forma simples ou descontado. A forma descontada considera o valor do 
dinheiro no tempo, ao contrário da simples, que não considera as variações 
que o dinheiro sofre com o tempo, podendo comprometer o estudo do projeto.
Para Assaf Neto (2012), uma possibilidade de investimento de capital, 
quando tratada individualmente, é classificada de maneira econômica se 
apresentar um VPL positivo, ou uma TIR superior ou, no mínimo, igual à taxa 
mínima de retorno requerida, ou IL maior ou igual a 1,0, ou ainda uma TR 
positiva. Sendo que IL é o índice de lucratividade, ajustado pela semelhança 
entre o valor presente dos fluxos de entrada de caixa e os de saída, e TR é a 
taxa de rentabilidade, que se fundamenta na relação entre o VPL, determinado 
a partir da taxa de atratividade, e o valor presente dos desembolsos de capital.
Ainda conforme Assaf Neto (2012), ao se considerar a comparação com 
alternativas com investimentos não independentes, podem ocorrer situações 
conflitantes, em que os métodos de análise não revelam a mesma indicação 
econômica. As razões que explicam essa divergência dos métodos são: dispa-
ridade de tamanho dos investimentos e diferenças com relação à evolução dos 
fluxos de caixa ao longo do tempo. Na circunstância de conflito, a técnica do 
Análise de investimentos4
VPL é aceita como o que determina as melhores recomendações. A utilização 
da TIR identifica algumas limitações em relação à escolha das alternativas, 
não indicando, necessariamente, a melhor alternativa.
Para realização final da tomada de decisão, de realizar ou não o inves-
timento, deve-se considerar o maior número de fatores possíveis, utilizando 
os indicadores do VPL, da TIR e do payback em conjunto com a análise de 
cenários, fatores sociais, políticos, econômicos, entre outros, que podem 
influenciar na análise de investimento.
Indicadores de análise de investimentos
A análise de investimentos se fundamenta em processos fi nanceiros para 
verifi car qual a melhor forma de investimento entre as diversas alternativas 
reais. Ao se conferir os dados, equações e cálculos referentes ao ativo, é pos-
sível distinguir se existe rentabilidade ou não, de quanto ela pode ser e se o 
investimento está ou não sendo viável. Logo, pode-se garantir que essa análise é 
indispensável ao se avaliar a realização de um investimento, pois ela comprova 
ser um ótimo instrumento de apoio na decisão do investidor. Tendo em vista 
que todo investimento possui riscos envolvidos, a análise de investimentos 
contribuirá para minimizá-los, tornando a ação de investir mais lucrativa em 
longo prazo. Os métodos mais comuns para a análise de investimentos são 
VPL, TIR e payback, abordados individualmente nas seções a seguir.
Taxa interna de retorno 
A taxa interna de retorno (TIR) é um dos métodos de análise de investimentos. 
Conforme Assaf Neto (2012), a TIR é a taxa de juros (desconto) que iguala, em 
determinado momento do tempo, o valor presente das entradas (recebimentos) com 
o das saídas (pagamentos) previstas de caixa. Em geral, adota-se a data de início 
da operação (momento zero) como a data focal de comparação dos fl uxos de caixa. 
O fluxo de caixa no momento zero é normalmente representado pelo valor 
do investimento, empréstimo ou financiamento, e os demais fluxos de caixa 
indicam os valores das receitas ou prestações devidas. Para Assaf Neto (2012), 
a TIR pode ser calculada da seguinte forma:
ou
5Análise de investimentos
onde:
FC0 = valor do fluxo de caixa no momento zero;
FCj = fluxos previstos de entradas ou saídas de caixa em cada período
de tempo;
i = taxa interna de retorno.
Para ter uma interpretação clara e objetiva dessa análise de investimento, 
acompanhe o desenvolvimento do Exemplo 1.
Exemplo 1
Uma empresa pretende investir na compra de novos equipamentos no valor de R$ 
75.000,00. Mas, ao mesmo tempo, existe uma aplicação paralela que rende 8% ao ano, 
e estima-se que o investimento trará, durante 6 anos, receitas anuais de: R$ 9.000,00, R$ 
10.000,00, R$ 15.000,00, R$ 18.000,00, R$ 15.000,00 e R$ 12.500,00. Ao fim desse prazo, a 
empresa pretende vender o equipamento por R$ 15.000,00, devido à desvalorização. 
Calcule a TIR dessa situação:
Resolva, na calculadora HP-12C, da seguinte forma:
75.000 CHS g CF0 (valor do investimento, valor que sai da empresa, por isso negativo CHS)
9.000 g CFJ (entrada no fluxo de caixa)
10.000 g CFJ (entrada no fluxo de caixa)
15.000 g CFJ (entrada no fluxo de caixa)
18.000 g CFJ (entrada no fluxo de caixa)
15.000 g CFJ (entrada no fluxo de caixa)
27.500 g CFJ (entrada no fluxo de caixa [12.500 + 150.00])
5,94% f IRR (taxa interna de retorno – TIR)
A TIR encontrada nessa situação é de 5,94% ao ano, sendo que esta taxa é inferior à 
taxa de mercado, que é de 8% ao ano. Logo, esse investimento não é viável, pois a TIR 
deve ser pelo menos igual à taxa de mercado para que se possa realizar o investimento.
Análise de investimentos6
Para realizar o cálculo da TIR pela fórmula, seria necessário utilizar tenta-
tiva e erro, ou seja, testar valores e verificar os resultados até zerar a equação, 
o que tornaria quase impossível o cálculo de uma equação de grau alto.
Observe o que aconteceria com o cálculo do Exemplo 1:
Logo, para realizar os cálculos da TIR, o indicado é o uso de calculadoras 
financeiras ou planilhas no Excel, pois, pela fórmula, fica inviável o cálculo.
Em um fluxo de caixa, o somatório das prestações supera o valor financiado. Se o 
somatório for inferior ao valor financiado, a taxa de juros será negativa, ou seja, a TIR 
será negativa, e isso aponta que, financeiramente, o projeto/investimento é inviável.
Pode-se concluir, ainda, que a TIR é uma taxa i onde o VPL (valor presente 
líquido) é igual a zero, ou seja, torna o valor presente dos fluxos de caixa igual 
ao investimento realizado.
Método do valor presente líquido 
O método do valor presente líquido (VPL) é considerado uma das técnicas 
mais aprimoradas, por avaliar, em seu cálculo, o valor do dinheiro no tempo e 
poder ser aproveitada em qualquer tipo de rendimento. Conforme Veras (2005, 
p. 234), “[...] o método do valor presente consiste em calcular o valor presente 
líquido do fl uxo de caixa (saldo das entradas e saídas de caixa) do investimento 
que está sendo analisado utilizando a taxa de atratividade do investidor”. 
E ainda, se o VPL encontrado for zero, a taxa i de renda do investimento 
coincidirá com a taxa ia de atratividade que foi utilizada; se o VPL for positivo, 
7Análise de investimentos
isso indica que a taxa de renda que o investimento proporciona ultrapassa a taxa 
de atratividade ia, logo o investimento analisado interessa ao investidor; e se o 
VPL for negativo, isso indica o quanto falta para que a renda do investimento 
alcance a renda esperada.
Para Assaf Neto (2012), o método do VPL para análise dos fluxos de caixa 
é obtido pela diferença entre o valor presente dos benefícios (ou pagamentos) 
previstos de caixa e o valor presente do fluxo de caixa inicial. O cálculo do 
VPL é expresso pela seguinte fórmula:
Ou
onde:
FCj = valor de entrada ou saída de caixa em cada intervalo de tempo;
FC0 = fluxo de caixa no momento zero (momento inicial), podendo ser inves-
timento, empréstimo ou financiamento.
Para o cálculo do VPL na calculadora HP-12C, utiliza-se a tecla NPV (net 
present value). Comparando-se o VPL com a TIR no cálculo do VPL, a taxa a 
ser empregada na atualização dos fluxos de caixa já vem definida. O cálculo 
do VPL identifica o resultado econômico da alternativa financeira, expressa 
em moeda atualizada.
O Exemplo 2 traz uma situação do cálculo do VPL.
Exemplo 2
Uma empresa pretende fazer um investimento no valor de R$ 375.000,00, do qual se 
espera retornos anuais de caixade R$ 125.000,00 no primeiro ano, R$ 160.000,00 no 
segundo ano, R$ 190.000,00 no terceiro ano e R$ 140.000,00 no quarto ano. A taxa de 
desconto a ser aplicada aos fluxos de caixa do investimento é de 10% ao ano. Verifique 
se esse investimento é rentável para a empresa utilizando o método do VPL.
Análise de investimentos8
Assim, pode-se concluir que, quando o VPL for maior do que zero, o inves-
timento é viável, pois ele é capaz de recompensar e cobrir o capital investido 
de forma satisfatória. Se ele for igual a zero, o resultado é indiferente, pois 
mostra que o investimento não representará nem lucro nem prejuízo de capital. 
Já quando o VPL for menor que zero, conclui-se que o investimento é inviável, 
pois os seus ganhos futuros não serão aceitáveis para uma rentabilidade acima 
do custo de ocasião.
Ao avaliar dois projetos, é viável que se dê prioridade ao que apresentar o maior VPL, 
mesmo que a TIR seja menor, pois o mais importante é a maximização da riqueza, de 
modo que o VPL deve ter sempre preferência.
Solução:
Pela calculadora HP-12C:
375.000 CHS g CF0 (valor do investimento, valor que sai da empresa, por isso negativo CHS)
125.000 g CFJ (entrada no fluxo de caixa)
160.000 g CFJ (entrada no fluxo de caixa)
190.000 g CFJ (entrada no fluxo de caixa)
140.000 g CFJ (entrada no fluxo de caixa)
10 i (taxa)
109.239,46 f NPV (valor presente líquido – VPL)
Pela fórmula:
Como o VPL é superior a zero, a alternativa de investimento oferece uma taxa de 
rentabilidade anual superior a 10%, indicando que o investimento é rentável.
9Análise de investimentos
Payback
Payback é um dos índices utilizados para avaliar investimentos, é o prazo de 
retorno. Trata-se de quanto tempo se leva para ter retorno em determinado 
investimento. É importante tanto para quem busca investimento rápido como 
para quem tem pouco valor para investir.
Existem dois tipos de cálculo de payback: simples e descontado. No cál-
culo de payback simples, depois de projetados os resultados esperados, é o 
momento em que esses resultados somados se igualam ao valor investido. Essa 
situação pode ser verificada no fluxo de caixa em que uma empresa investe 
R$ 250.000,00 e projeta os próximos quatro anos de resultados, ou seja, uma 
saída de R$ 250.000,00 e os resultados em cada um dos anos: R$ 125.000,00 
no primeiro ano, também R$ 125.000,00 no segundo ano, R$150.000,00 no 
terceiro ano e R$ 200.000,00 no quarto ano. Nessa avaliação, a soma dos dois 
primeiros anos totaliza R$ 250.000,00, ou seja, o payback é de dois anos, 
ou melhor, a empresa levou dois anos para recuperar o investimento de R$ 
250.000,00.
Já o payback descontado segue o mesmo raciocínio, o que muda é que os 
resultados não são avaliados, os resultados são projetados pelo valor nominal, 
pelo valor futuro trazido para o valor presente conforme a TMA, que representa 
o mínimo que o investidor se propõe a ganhar quando faz um investimento. 
Imagine, então, o mesmo investimento de R$ 250.000,00 realizado por uma 
empresa a uma TMA de 15% ao ano. Os valores dos fluxos de cada ano terão 
de ser trazidos para o valor presente, o que é representado na Figura 1.
Figura 1. Fluxo de caixa.
Análise de investimentos10
Para encontrar o payback descontado, utiliza-se a fórmula do valor presente 
no juro composto:
Observe a situação representada no quadro a seguir, considerando a taxa 
de 15% ao ano:
Ano Fluxo R$ Fluxo descontado R$ Saldo
0 250.000,00 - 250.000,00 - 250.000,00 
1 125.000,00 108.695,65 - 141.304,35
2 125.000,00 94.517,96 - 46.786,39
3 150.000,00 98.627,43 51.841,04
4 200.000,00 114.350,65 166.191,69
Pela apresentação do quadro, verifica-se que, do segundo para o terceiro 
ano, o saldo deixa de ser negativo e passa a ser positivo, o que ocorre exa-
tamente entre a transição do segundo e o terceiro anos. Se, no terceiro ano, 
o saldo fosse zero, seria exatamente nesse momento o retorno. Para saber 
exatamente em que período o investidor tem seu investimento retornado, 
utiliza-se a seguinte fórmula:
  Payback descontado = 
  Payback descontado = 
  Payback descontado = 2,47
Aproximadamente 2 anos e 6 meses, ou exatamente 2 anos, 5 meses e 19 
dias para se ter o retorno do investimento, sendo que no payback simples o 
retorno foi de 2 anos.
O payback é um dos métodos mais básicos para se avaliar a viabilidade 
de um investimento. Seu cálculo é bastante simples e sua determinação prin-
cipal é que, quanto mais tempo o investidor precisar esperar para reaver o 
investimento, menos atrativo ele fica, e maior é a possibilidade de prejuízo.
11Análise de investimentos
Aquisições e análise de riscos
Todo investimento tem seus riscos, os quais estão diretamente relacionados 
com o investimento realizado e o retorno esperado. Assim, quanto maior o 
investimento, maior pode ser o risco.
Risco pode ser definido como chance de insucesso, em outras palavras, é 
o quanto você pode perder em uma operação, ao passo que retorno é o quanto 
se tem a ganhar em um investimento. Existem vários tipos de riscos, os quais 
são determinados de acordo com cada investimento. Os dois principais tipos 
de risco são o risco sistemático e o não sistemático. 
Risco sistemático
Conforme Higgins (2014), o risco sistêmico refl ete a exposição a eventos que 
afetam a economia como um todo, como mudanças das taxas de juros e ciclos 
de negócio, e que não possam ser reduzidos por meio de diversifi cação.
Risco não sistemático
É um risco que está em cada investimento realizado, detém-se mais em detalhes. 
Para Higgins (2014), o risco não sistêmico refl ete eventos especifi camente liga-
dos ao investimento, como incêndios e processos judiciais, os quais podem ser 
eliminados por meio de diversifi cação. Os riscos mais comuns em investimentos 
são: risco de crédito, risco de liquidez, risco de mercado e risco operacional. 
Risco de crédito envolve emprestar dinheiro e não conseguir receber esse 
dinheiro de volta. Um exemplo de risco de crédito é aplicar em títulos em certo 
banco, e esse banco “quebra”, de modo que dificilmente você terá esse valor 
de volta. O risco de liquidez envolve fazer um investimento e não conseguir 
se desfazer dele. Por exemplo, a compra de um imóvel, ou seja, você compra 
um imóvel, o põe à venda e não consegue vender. Assim, ou você espera o 
imóvel ser vendido, ou baixa o valor deste para poder vendê-lo. O risco de 
mercado, por sua vez, abrange o mercado como um todo. A exemplo de um 
investimento bancário em um período em que os bancos estão indo mal, ou 
quando o governo impõe impostos aos bancos, o que afeta esse setor. Por fim, 
risco operacional é a dificuldade que se pode encontrar dentro de um sistema 
ou até mesmo operacionalizando um investimento. Um exemplo corriqueiro 
dessa situação é você estar vendendo ações que estão em alta pela internet 
quando esta cai; quando a internet volta, a ação já está com o valor lá embaixo, 
ou seja, você perde dinheiro por um problema de operacionalização.
Análise de investimentos12
Esses são os principais tipos de riscos que se pode encontrar em investi-
mentos, e é preciso estar atento a cada um deles, pois os riscos serão diferentes 
para cada tipo de investimento e, às vezes, estão escondidos dentro de cada 
investimento. Portanto, quando uma empresa investe, ela deve estimar os 
riscos desse investimento. 
Para Higgins (2014), a avaliação do risco depende da percepção dos ad-
ministradores que participam da decisão, do conhecimento que eles têm dos 
aspectos econômicos do setor e de sua compreensão das ramificações do 
investimento. Análise de sensibilidade, análise de cenário e simulações são 
favoráveis para fazer avaliações quanto ao risco do investimento, visto que 
ajudam a analisar de maneira sistemática os riscos e os efeitos dobre o retorno 
do investimento.
É importante que se administre esses riscos, para que as perdas sejam 
minimizadas. Assim, é preciso avaliar, identificar e coletar informações para 
que se adote a decisão certa. Conhecer apenaso retorno do investimento não é 
suficiente, é preciso conhecer os riscos envolvidos e como estes influenciam o 
valor ao longo do tempo. Por isso a importância do orçamento de capital, pois 
é ele quem avalia os principais recursos para cada alternativa de investimento, 
bem como os retornos aguardados e seus prováveis riscos, analisando a real 
viabilidade de um projeto para a escolha da melhor alternativa.
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 12. ed. São Paulo: Atlas, 2012.
BROM, L. G.; BALIAN, J. E. A. Análise de investimentos e capital de giro: conceitos e apli-
cações. São Paulo: Saraiva, 2007.
DAL ZOT, W.; CASTRO, M. L. Matemática financeira: fundamentos e aplicações. Porto 
Alegre: Bookman, 2015.
GITMAN, L. J. Princípios de administração financeira. 12. ed. São Paulo: Pearson Prentice 
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HIGGINS, R. C. Análise para administração financeira. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014.
VERAS, L. L. Matemática financeira. 5. ed. São Paulo: Atlas, 2005.
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