Condução Transiente Com Fluxo Constante

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Condução Transiente Com Fluxo Constante 
 
Lays Bernardi Vieira Machado, Luís Felipe Guimarães Maçulo, Romulo Soares de 
Souza, Tayara Alvarenga Fernandes, Victor Hugo Prucoli. 
 
laysbvm@gmail.com, lfelipeguimaraesm@gmail.com, romulosdesouza@gmail.com, 
tay.alvarenga.1@gmail.com, viictor.h.ap@gmail.com. 
Engenharia Mecânica - Universidade Federal do Rio de Janeiro – Macaé, Av. Aluízio 
da Silva Gomes, 50 - Novo Cavaleiros, Macaé - RJ, CEP 27930-560 – Brasil 
 
Palavras-chave: condução transiente, fluxo constante, calor, tempo, barra cilíndrica 
 
Resumo: O trabalho apresenta um estudo sobre a condução transiente, realizado por 
um comparativo entre uma solução analítica através do método de um sólido semi-infinito pela 
solução exata e uma simulação de elementos finitos do resfriamento de um cilindro de aço 1020 
no software ANSYS. 
A primeira etapa de resfriamento é feita através de um banho em água a 330ºC. Os 
resultados analíticos encontrados através de solução exata mostraram que a barra demorou cerca 
de 4 horas para alcançar a temperatura desejada. Em seguida, a barra é resfriada a temperatura 
ambiente de 25ºC. 
 
Introdução 
 
Este trabalho aborda um estudo sobre a condução transiente através da simulação e do 
cálculo analítico da distribuição de calor nas duas etapas de resfriamento durante um processo 
de austêmpera de aço SAE1020. O método consiste primeiro no aquecimento do aço a uma 
temperatura onde ele irá alcançar a fase austenítica, depois ele é resfriado rapidamente e 
mantido em uma faixa de temperatura de 260 a 400°C para transformação da austenita em 
bainita e a temperatura desse banho varia de acordo com a característica final desejada, por 
último, temos o resfriamento da peça em temperatura ambiente. Neste estudo, analisaremos as 
etapas do resfriamento, mediante o controle da velocidade de arrefecimento. O processo traz 
como vantagem um maior controle sobre o produto final, e influenciando algumas 
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características do material como usinabilidade do material, aumento na ductilidade e 
tenacidade, redução de dureza e produzir microestrutura desejada em aço, entre outras. 
Quando tratamos de uma condução transiente temos a temperatura de um sistema 
variando no decorrer do tempo e espaço. As variações continuarão a ocorrer até que uma 
distribuição de temperaturas alcance o regime estacionário. 
O “fluxo de calor” é o parâmetro utilizado para expressar a condução de calor ao longo 
de um corpo, ou seja, ele expressa a quantidade de calor que atravessa o corpo em um dado 
tempo. A condução térmica, somente, acontece quando há uma diferença de temperatura em 
pontos distintos. No fluxo estacionário, ao analisarmos o balanço de energia, temos que a 
quantidade de calor que entra no corpo é a mesma que sai e, portanto, temos que a temperatura 
em pontos distintos do corpo é constante. 
 
1 Metodologia 
 
A solução analítica se dará através do modelo de solução exata para um cilindro 
infinito e a análise numérica se dará por meio do software Ansys. A simulação será utilizada 
para a comparação dos dados encontrados nas soluções analíticas. 
O Ansys tem como premissa o Método de Elementos Finitos a fim de rodar as 
simulações. A ideia básica do método consiste em utilizar como parâmetros as variáveis nodais 
de um número infinito de pontos previamente escolhidos, denominados de nós. 
No cálculo analítico, calculamos levando em conta as dimensões da peça e, portanto, 
assumimos que temos um cilindro infinito. Para esse cálculo utilizamos a condição de contorno 
de fluxo térmico constante na superfície. E como condição inicial usamos a temperatura no 
centro para T(x,0)=Ti. 
 Separamos o cálculo em duas etapas, sendo: “Etapa 1 - Resfriamento Controlado” e 
“Etapa 2 - Resfriamento Ambiente”. A Etapa 1 acontece com o mergulho da peça em um tanque 
com água e a Etapa 2 com a peça mantida em temperatura ambiente até que ela atinja o 
equilíbrio. 
 
1.1 Modelo Analítico 
 
 A tabela 1 representa todos os parâmetros utilizados no cálculo referente a 
solução analítica de ambas as etapas do processo de resfriamento do aço: 
 
 
Parâmetros do Cilindro de Aço 
1020 
Notação Valor Unidade de 
Medida 
Comprimento L 5 m 
Raio R 0,5 m 
Raio Corrigido 𝑟𝑜 0,25 m 
Temperatura Interna - Etapa 1 𝑇𝐼 1133 K 
Temperatura Interna - Etapa 2 𝑇𝐼 603 K 
Temperatura Infinito - Etapa 1 𝑇𝐼𝑛𝑓 603 K 
Temperatura Infinito - Etapa 2 𝑇𝐼𝑛𝑓 298 K 
Condutividade Térmica do Aço 𝑘𝐴ç𝑜 51,9 W/mK 
Densidade Aço ρ 7832 kg/m³ 
Difusividade Térmica 𝛼 0,000013569266 m²/s 
Parâmetros do Ar 
 Notação Valor Unidade de 
Medida 
Temperatura Ambiente 𝑇𝑉𝑖𝑧 298 K 
Coeficiente Convectivo ℎ𝐴𝑟 55 W/m²K 
Calor Específico do aço 𝑐𝑝 486 J/kgK 
 Tabela 1 
 
1.1.1 Etapa 1 - Resfriamento Controlado 
 
Nessa etapa temos o resfriamento da peça em banho de água, que segue depois de ter 
sido aquecida em um forno. Portanto, a peça tem a temperatura inicial de 1133K (960°C) e 
desejamos atingir a temperatura final de 603K (330°C). 
Para o cálculo da temperatura utilizamos a solução exata de um cilindro infinito, dado 
por: 
 
Onde 𝐶𝑛 e 𝜁 são as raízes transcendentais: 
 
Para o cálculo de Biot (Bi) temos 
 
 
Como a água a uma temperatura elevada tem troca de fase, temos que o coeficiente 
convectivo (h) tende ao infinito. Consequentemente, ao calcularmos Biot(Bi) vemos que este 
também tenderá ao infinito. Portanto, Bi=∞. 
De acordo com a tabela B.3 (Apêndice B - INCROPERA) temos: 
 
Bi 𝜁1 𝜁2 𝜁3 𝜁4 
∞ 1,5708 4,7124 7,8540 10,9956 
Tabela 2 
 
Aplicando os valores encontrados para 𝜁 em 𝐶𝑛, temos: 
 
𝑪𝟏 𝑪𝟐 𝑪𝟑 𝑪𝟒 
1,273239545 -0,4244131816 0,254679089 -0,1818913635 
 Tabela 3 
 
 Para calcular o Número de Fourier (Fo), utilizamos: 
 
 
 Ao substituir todos os parâmetros em θ0* temos os seguintes dados em relação ao 
tempo: 
 
Tempo (s) Fo 𝑪𝟏exp 𝑪𝟐exp 𝑪𝟑exp 𝑪𝟒exp Somatório 
(𝛉𝟎*) 
1200 0,2605299073 0,669469072 -0,001303684 2,66962E-08 -3,802E-15 0,668165414 
2400 0,5210598146 0,35200669 -4,00457E-06 2,79872E-15 -7,94715E-29 0,352002686 
3600 0,7815897219 0,18508504 -1,2301E-08 2,93407E-22 -1,66116E-42 0,185085028 
4800 1,042119629 0,097317673 -3,77853E-11 3,07596E-29 -3,47225E-56 0,097317673 
6000 1,302649536 0,051169611 -1,16066E-13 3,22471E-36 -7,25788E-70 0,051169611 
7200 1,563179444 0,02690497 -3,56525E-16 3,38065E-43 -1,51708E-83 0,02690497 
8400 1,823709351 0,014146627 -1,09515E-18 3,54413E-50 -3,17109E-97 0,014146627 
9600 2,084239258 0,007438294 -3,36401E-21 3,71552E-57 -6,6284E-111 0,007438294 
10800 2,344769166 0,003911053 -1,03334E-23 3,8952E-64 -1,3855E-124 0,003911053 
12180 2,644378559 0,001867399 -1,3327E-26 3,66536E-72 -2,5694E-140 0,001867399 
Tabela 4 
 
Temos que θ0* é dado pela seguinte fórmula, ao isolar 𝑇0, achamos: 
 
 
Tempo (s) 1200 2400 3600 4800 6000 7200 8400 9600 10800 12180 
𝑻𝟎 (°C) 866,54 612,66 478,62 408,15 371,09 351,60 351,60 335,97 333,14 330,98 
Tabela 5 
 
 
Para o cálculo do fluxo térmico, utilizamos a tabela 5.2b (transferência de calor 
transiente para casos de fluxo térmico nas superfícies constantes), através do cálculo de fluxo 
térmico de forma adimensional (q*) para cilindro infinito: 
 
 
 
 
 
 
Isolando o 𝑞𝑠” da equação acima, temos o fluxo térmico: 
 
Tempo 
(s) 
1200 2400 3600 4800 6000 7200 8400 9600 10800 12180 
 q* 1,29692 0,77392 0,55152 0,42841 0,35023 0,29618 0,25658 0,22632 0,20245 0,18055 
𝒒𝒔” 
(W/m²) 
-47352 -55179 -49451 -42549 -36563 -31711 -27832 -24717 -22188 -19828 
Tabela 6 
 
1.1.1 Etapa 2 - Resfriamento Ambiente 
 
Nessa etapa temos o resfriamento da peça no ambiente, que segue depois de ter sido 
resfriada no banho em água. Então, a peça tem a temperatura inicial de 603K (330°C) e 
desejamosatingir a temperatura final do ambiente de 298K (25°C). 
 Analogamente a etapa 1, utilizaremos o mesmo raciocínio e, consequentemente, 
o mesmo passo a passo. 
 A maior diferença nessa etapa está no cálculo do número de Biot, já que aqui 
estamos falando do ar e não temos o coeficiente convectivo (har) tendendo ao infinito. Sendo 
assim, ao aplicar a fórmula de Biot, achamos: 
Bi=0,26493 
 
Usando a mesma tabela B.3, temos a seguinte interpolação para achar 𝜁: 
 
Bi 𝜁1 𝜁2 𝜁3 𝜁4 
0,2 0,4328 3,2039 6,3148 9,4459 
 
0,26493 0,4905899807 3,223509634 6,324994412 9,452782852 
0,3 0,5218 3,2341 6,3305 9,4565 
 Tabela 7 
 
e 
 
𝑪𝟏 𝑪𝟐 𝑪𝟑 𝑪𝟒 
1,039866516 -0,04951521565 0,01312974256 -0,005906950863 
 Tabela 8 
 
Tempo 
(s) 
Fo C1exp C2exp C3exp C4exp Somatório 
(𝛉𝟎*) 
11100 2,409901642 0,58221282 -6,59828E-13 1,77078E-44 -1,7852E-96 0,58221282 
22200 4,819803285 0,325976231 -8,7927E-24 2,3882E-86 -5,3953E-190 0,325976231 
33300 7,229704927 0,182511445 -1,17169E-34 3,2209E-128 -1,6306E-283 0,182511445 
44400 9,63960657 0,102186677 -1,56137E-45 4,344E-170 0 0,102186677 
55500 12,04950821 0,057213491 -2,08064E-56 5,8586E-212 0 0,057213491 
66600 14,45940985 0,032033369 -2,77261E-67 7,9013E-254 0 0,032033369 
77700 16,8693115 0,017935223 -3,69472E-78 1,0656E-295 0 0,017935223 
88800 19,27921314 0,010041786 -4,92349E-89 0 0 0,010041786 
99900 21,68911478 0,005622314 -6,5609E-100 0 0 0,005622314 
111000 24,09901642 0,003147888 -8,7429E-111 0 0 0,003147888 
Tabela 9 
 
Tempo 
(s) 
11100 22200 33300 44400 55500 66600 77700 88800 99900 111000 
 q* 0,19725 0,10112 0,06798 0,05121 315,45 0,03428 0,02942 0,02577 0,2292 0,02064 
𝒒𝒔” 
(W/m²) 
-5217,8 -4315,4 -3519,0 -2910,9 -2451,7 -2101,2 -1829,5 -1615,2 -1443,1 -1302,8 
 𝑻𝟎 
(°C) 
475,57 397,42 356,66 329,17 315,45 307,77 303,47 301,06 299,71 298,96 
Tabela 10 
 
1.2 Modelo Numérico 
 
O desenvolvimento da análise numérica da Transferência de Calor pelo MEF segue as 
mesmas premissas observadas em modelos estruturais, utilizando conceitos e metodologias 
aplicadas em análises estáticas e dinâmicas, tais como a representação matemática dos 
elementos por funções de forma. 
 Entretanto, os modelos numéricos empregados em simulações térmicas apresentam 
uma menor complexidade em relação aos estruturais devido a características físicas dos 
fenômenos estudados. Por exemplo, as malhas numéricas possuem um único grau de liberdade 
 
por nó (temperatura), consequentemente a quantidade de equações a ser resolvida é menor em 
comparação com uma malha estrutural com a mesma quantidade de elementos, onde cada nó 
possui três ou seis graus de liberdade (translações e rotações, em elementos de casca ou viga). 
Além disso, resultados de boa qualidade podem ser obtidos mesmo com malhas mais grosseiras, 
devido ao comportamento linear da condução e pelo fato dos elementos não se deformarem em 
uma análise exclusivamente térmica. 
Assim, simulações feitas através do software Ansys da Transferência de Calor para 
nosso processo possuem solução tipicamente rápida, com baixo esforço computacional. As 
figuras abaixo estão relacionadas com o modelo criado na simulação do nosso caso. 
 
 
(a) (b) 
Figura 1: (a) Simulação do perfil de temperatura ao concluir a Etapa 1 e (b) ao concluir a 
Etapa 2. 
 
Resultados 
Após determinar, pelo método analítico, as temperaturas no interior do cilindro 
durante etapa 1, resfriamento em imersão na água, temos os gráficos: 
 
 
 
Figura 2: Gráfico Temperatura (K) x Tempo (s) referente ao resfriamento do cilindro imerso em água. 
 
 
Figura 3: Gráfico Fluxo Térmico (W/m²) x Tempo (s) referente ao resfriamento do cilindro imerso em 
água. 
 
 Já para a solução analítica da etapa 2, resfriamento livre com temperatura 
ambiente, temos os gráficos: 
 
 
 
Figura 4: Gráfico Temperatura (K) x Tempo (s) referente ao resfriamento do cilindro no ambiente. 
 
 
Figura 5: Gráfico Fluxo Térmico (W/m²) x Tempo (s) referente ao resfriamento do cilindro no 
ambiente. 
 
 Para a análise numérica por meio da simulação, temos na primeira etapa as 
seguintes curvas: 
 
 
 
Figura 6: Gráfico Temperatura (K) x Tempo (s) referente ao resfriamento do cilindro imerso em água 
para a simulação. A curva verde é a medição da temperatura na superfície e a vermelha é medida no 
centro do cilindro. 
 
 
Figura 7: Gráfico Fluxo Térmico (W/m²) x Tempo (s) referente ao resfriamento do cilindro imerso em 
água para a simulação. 
 
 Já na etapa 2, vemos: 
 
 
Figura 8: Gráfico Temperatura(K) x Tempo (s) referente ao resfriamento do cilindro no ambiente para a 
simulação. A curva verde é a medição da temperatura na superfície e a vermelha é medida no centro do 
cilindro. 
 
 
Figura 9: Gráfico Fluxo Térmico (W/m²) x Tempo (s) referente ao resfriamento do cilindro no ambiente 
para a simulação. 
 
Conclusão 
 
 O problema de transferência de calor em um cilindro maciço de aço 1020 
sofrendo o resfriamento em regime transiente foi resolvido nas duas etapas pelo método 
analítico considerando solução exata por sistemas radiais com convecção. 
 
Uma solução numérica foi proposta através do software Ansys envolvendo esquema 
de Elementos Finitos. 
O método numérico mostrou-se adequado para uma comparação com os resultados 
obtidos com a solução analítica desenvolvida. Os perfis de temperaturas analisados no ponto 
central da barra mostram um pequeno acréscimo do tempo na região central: 
• Pela solução analítica o tempo da etapa 1 do resfriamento foi: 14.280s 
• Pela solução numérica o tempo da etapa 1 do resfriamento foi: 8000s 
• Pela solução analítica o tempo da etapa 2 do resfriamento foi: 109.440s 
• Pela solução numérica o tempo da etapa 2 do resfriamento foi: 110.000s 
 Logo, quando todas as formulações e dados do processo e dos materiais são 
inseridos em aplicativos computacionais, devidamente validados, os modelos tornam-se muito 
úteis para melhor conhecimento e ajuste do processo. 
 
Referências 
 
INCROPERA, Frank & BERGMAN, Theodore L & LAVINE, Adrienne. 
Fundamentos de transferência de calor e de massa. 7. ed. Grupo GEN LTC, 2019. 
 
LUZ, Gerson. Aço Carbono SAE 1020 propriedades. Blog Materiais, [s. l], 
2017. Disponível em <https://www.materiais.gelsonluz.com/2017/10/aco-sae-1020-
propriedades-mecanicas.html>. Acesso em 03.11.2020 
 
MARINHO, Ivy J. P. Projeto de estruturas metálicas de arquibancadas reutilizáveis via 
ANSYS. Disponível em <https://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/5111/5111_1.PDF> ; Acesso 
em 11.11.2020 
SILVA, Roberto. Análise térmica pelo Método de Elementos Finitos. Disponível em 
<https://www.esss.co/blog/analise-termica-pelo-metodo-de-elementos-finitos>. Acesso em 8.11.2020 
https://www.materiais.gelsonluz.com/2017/10/aco-sae-1020-propriedades-mecanicas.html
https://www.materiais.gelsonluz.com/2017/10/aco-sae-1020-propriedades-mecanicas.html
https://www.esss.co/blog/analise-termica-pelo-metodo-de-elementos-finitos