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Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 1
VIBRAÇÕES 
MECÂNICAS
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 2
SISTEMAS CONTÍNUOS: 
SOLUÇÃO EXATA
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MPD-42 3
Sistemas contínuos: solução exata 
Introdução
Sistemas discretos e sistemas contínuos 
representam dois tipos de sistemas 
diferentes?
Ambos são meras representações matemáticas 
de sistemas fisicamente idênticos
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Sistemas contínuos: solução exata 
Introdução
Diferença básica: 
Sistemas discretos têm um número finito de 
graus de liberdade
Sistemas contínuos têm infinitos graus de 
liberdade
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Sistemas contínuos: solução exata 
Introdução
O índice i é associado a uma massa 
concentrada. Em contrapartida, uma 
coordenada espacial x identifica a posição 
de um elemento infinitesimal .
Consistente com esse fato sistemas discretos 
são governados por equações diferenciais 
ordinárias e sistemas contínuos por 
equações diferenciais parciais.
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Sistemas contínuos: solução exata 
Introdução
Tipos de sistemas contínuos
• Fios em vibração transversal (2 a ordem)
• Barras em vibração axial (2 a ordem)
• Eixos em torção dinâmica (2 a ordem)
• Vigas em flexão dinâmica (4 a ordem)
Soluções exatas só são possíveis em tipos 
especialmente simples de sistemas contínuos 
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Sistemas contínuos: solução exata 
Sistema discreto × sistema contínuo
Existe uma relação bastante estreita entre 
sistemas discretos e sistemas contínuos. 
Vibração transversal de um fio 
1) Sistema discreto (análise limite)
2) Sistema contínuo
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Sistemas contínuos: solução exata 
Sistema discreto × sistema contínuo
mi
mi+1
mi−1
Fi
Fi+1
Fi−1
…
…
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Sistemas contínuos: solução exata 
Sistema discreto × sistema contínuo
Fi
Ti
Ti−1
Fi+1
Fi−1
vi−1
vi
vi+1
Ti = tensão no fio
Fi = força externa
∆xi−1 ∆xi
2
2
1
1
1
1
dt
vd
mF
x
vv
T
x
vv
T iii
i
ii
i
i
ii
i =+∆
−−
∆
−
−
−
−
+
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Sistemas contínuos: solução exata 
Sistema discreto × sistema contínuo
2
2
1
1
1
1
 dt
vd
mF
x
vv
T
x
vv
T iii
i
ii
i
i
ii
i =+∆
−−
∆
−
−
−
−
+
Equações válidas para i = 1,...,n quando
v0(t) = vn+1(t) = 0. Outras condições de contorno 
podem também ser consideradas.
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Sistemas contínuos: solução exata 
Sistema discreto × sistema contínuo
111 e −−+ ∆=−∆=− iiiiii vvvvvv
2
2
1
1
1 dt
vd
mF
x
v
T
x
v
T iii
i
i
i
i
i
i =+∆
∆−
∆
∆
−
−
−
2
2
dt
vd
x
m
x
F
x
v
T
x
i
i
i
i
i
i
i
i
i ∆
=
∆
+





∆
∆
∆
∆
Equações incrementais nas componentes 
verticais da força de tração
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Sistemas contínuos: solução exata 
Sistema discreto × sistema contínuo
2
2
 
),(
)(),(
 
),(
)(
 t
txv
xtxf
x
txv
xT
x ∂
∂=+



∂
∂
∂
∂ ρ
Se o número de massas mi cresce 
indefinidamente ( n → ∞) as massas mi e as 
distâncias ∆xi e ∆vi tendem a zero. No limite,
onde f(x, t) é a força externa distribuída por 
unidade de comprimento e ρ(x) a densidade de 
massa por unidade de comprimento.
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Sistemas contínuos: solução exata 
Sistema discreto × sistema contínuo
x
v(x,t)
f (x,t)
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Sistemas contínuos: solução exata 
Sistema discreto × sistema contínuo
T(x)
θ(x)
T(x) + dT(x)
θ(x) + dθ(x)
dx
f (x,t)
x
v
x
 
 
)(
∂
∂=θ
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Sistemas contínuos: solução exata 
Sistema discreto × sistema contínuo
2
2
2
2
 
),(
)(),(
 
 
 
 
 
 
 
t
txv
dxxdxtxf
x
v
Tdx
x
v
x
v
dx
x
T
T
∂
∂=+
∂
∂−





∂
∂+
∂
∂




∂
∂+ ρ
Lei de Newton para a componente vertical:
Desprezando termos de 2 a ordem:
2
2
 
),(
)(),( 
 
),( 
)(
 t
txv
xtxf
x
txv
xT
x ∂
∂=+



∂
∂
∂
∂ ρ
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Sistemas contínuos: solução exata 
Sistema discreto × sistema contínuo
Através de um processo limite partiu -se de um 
sistema discreto para um contínuo. No 
entanto, o mais comum é seguir o caminho 
inverso de tal forma que um sistema físico 
contínuo seja aproximado matematicamente 
por um sistema discreto.
Se os parâmetros forem não -uniformemente 
distribu ídos o procedimento de aproximação 
deve ser capaz de levar isso em conta.
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Sistemas contínuos: solução exata 
Vibração livre: o problema de auto -valor
2
2
 
),(
)( 
 
),( 
)(
 t
txv
x
x
txv
xT
x ∂
∂=



∂
∂
∂
∂ ρ
0),(),0( == tLvtv
)()0,(
)()0,(
0
0
xvxv
xvxv
ɺɺ =
=
Condição de valor inicial:
Condição de contorno:
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Sistemas contínuos: solução exata 
Vibração livre: o problema de auto -valor
Investiga-se a possibilidade de movimento 
síncrono, isto é, a forma do fio não muda com 
o tempo, somente a amplitude do movimento. 
Matematicamente procura-se um solu ção na 
forma separável: v(x, t) = V(x) F(t)
Se v(x, t) representa uma oscilação harmônica 
e estável então F(t) deve ser limitada para 
qualquer instante de tempo.
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Sistemas contínuos: solução exata 
Vibração livre: o problema de auto -valor
2
2
 
)(
)(
1
 
 
)( 
)(
 )()(
1
td
tFd
tFxd
xVd
xT
xd
d
xVx
=



ρ
O lado esquerdo depende somente do espaço 
enquanto o lado direito depende somente do 
tempo. Para tanto,
2
2
2
 
)(
)(
1
 
 
)( 
)(
 )()(
1 ω
ρ
−==



td
tFd
tFxd
xVd
xT
xd
d
xVx
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Sistemas contínuos: solução exata 
Vibração livre: o problema de auto -valor
0)(
 
)(
)()( 
 
)( 
)(
 
2
2
2
2
=+
−=



tF
td
tFd
xVx
xd
xVd
xT
xd
d
ω
ρω
O sinal de ω2 foi selecionado de forma que F(t)
não apresentasse termos exponenciais.
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Sistemas contínuos: solução exata 
Vibração livre: o problema de auto -valor
A fun ção F(t) = C cos(ωt−φ) é síncrona. Resta 
saber se os padrões de deslocamento V(x) são 
tamb ém possíveis.
0)()0(
)()( 
 
)( 
)(
 
2
==
−=



LVV
xVx
xd
xVd
xT
xd
d ρω
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Sistemas contínuos: solução exata 
Vibração livre: o problema de auto -valor
A constante ω permanece indeterminada. O 
problema consiste em se encontrar os valores 
de ω que levem a solu ções não triviais de V(x).
Observação: se V(x) for solu ção então αV(x) 
tamb ém será solu ção.
)()( 
 
)( 
)(
 
2 xVx
xd
xVd
xT
xd
d ρω−=



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Sistemas contínuos: solução exata 
Vibração livre: o problema de auto -valor
Aplicação das condições de contorno leva à
equação característica do problema de auto -
valor cuja solu ção fornece um n úmero infinito 
de freq üências naturais ωr e modos naturais 
Vr(x) associados.
Em geral, ArVr(x) é solu ção do problema. Ar 
pode ser única se a ortogonalidade dos 
modos for levada em conta. 
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Sistemas contínuos: solução exata 
Exemplo: o problema de auto -valor
Resolva o problema de auto -valor associado 
com a vibração de um fio uniforme fixo em x = 0
e x = L e esboce a forma dos três primeiros 
modos de vibração. A tensão T no fio é
constante.
0)()0(
com0)(
 
)( 222
2
2
==
==+
LVV
T
xV
xd
xVd ρωββ
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Sistemas contínuos: solução exata 
Exemplo: o problema de auto -valor
)cos()(sin )( xBxAxV ββ +=
0)0( =V 0=B
) (sin )( xAxV β=0)( =LV 0)(sin =Lβ πβ rLr = L
xr
AxV rr
π
sin )( =
Equação 
característica
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Sistemas contínuos: solução exata 
Exemplo: o problema de auto -valor
x/L
y/
A
0 0.25 0.5 0.75 1
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
modo 1
modo 2
modo 3
v/
A
x/L
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Sistemas contínuos: solução exata 
Exemplo: o problema do cabo suspenso
Formule o problema de auto -valor associado à
vibração lateral de um cabo uniforme suspenso 
sob ação da gravidade.
g L
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Sistemas contínuos: solução exata 
Barra em vibração axial
A vibração axial livre de uma barra é descrita 
pela mesma equação diferencial que o 
problema do fio em vibração transversal.
Substituir:
ρ(x) por m(x) = massa por unidade de comprimento
T(x) por EA(x) = rigidez axial
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Sistemas contínuos: solução exata 
Barra em vibração axial
0)()0(
)()( 
 
)( 
)(
 
)()(),(
2
==
−=



=
LUU
xUxm
xd
xUd
xEA
xd
d
tFxUtxu
ω
x
L
u(x,t)
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Sistemas contínuos: solução exata 
Barra em vibração axial
k k k k 2k2k M M M M M
















=
















−
−−
−−
−−
−
=
10000
01000
00100
00010
00001
5
][
31000
12100
01210
00121
00013
5
][
mL
m
L
EA
k
L/10 L/10L/5 L/5 L/5 L/5
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Sistemas contínuos: solução exata 
Barra em vibração axial
x/L
V
1/
A
0.0 0.3 0.5 0.8 1.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
Modo 1
x/L
V
2/
A
0.0 0.3 0.5 0.8 1.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
Modo 2
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MPD-42 32
Sistemas contínuos: solução exata 
Barra em vibração axial
x/L
V
3/
A
0.0 0.3 0.5 0.8 1.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
Modo 3
x/L
V
4/
A
0.0 0.3 0.5 0.8 1.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
Modo 4
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Sistemas contínuos: solução exata 
Barra em vibração axial
Freqüências
Modo exato aprox.
1 3.1416 3.0902
2 6.2832 5.8779
3 9.4248 8.0902
4 12.566 9.5106
5 15.708 10.000EA
mL2 ωω =
x/L
V
5/
A
0.0 0.3 0.5 0.8 1.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
Modo 5
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Sistemas contínuos: solução exata 
Barra em vibração axial
As freq üências do modelo aproximado são 
mais baixas que as do modelo exato devido à
concentração de massa no centro da barra.
Obviamente a utilização de mais massas 
concentradas leva a melhores resultados do 
modelo aproximado.
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Sistemas contínuos: solução exata 
Exercícios
Considere uma barra uniforme em vibração axial que 
possui os dois extremos livres e ache os três prime iros 
modos de vibração.
L
u(x,t)
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Sistemas contínuos: solução exata 
Exercícios
Obter as equação do movimento e as condições de 
contorno de uma barra fixada em x = 0 e conectada a 
uma mola em x = L.
L
u(x,t)
EA(x), m(x)
k
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Sistemas contínuos: solução exata 
Exercícios
Obter as equação do movimento e as condições de 
contorno de uma barra fixada em x = 0 e suportando 
uma massa concentrada em x = L.
L
u(x,t)
EA(x), m(x)
M
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Sistemas contínuos: solução exata 
Exercícios
Obter as equação do movimento e as condições de 
contorno de uma barra uniforme fixada em x = 0 e 
suportando uma massa concentrada em um ponto 
interno localizado em x = a.
a
(EA)1, m1
M
b
(EA)2, m2
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Sistemas contínuos: solução exata 
Viga em flexão dinâmica
As equações dinâmicas de fios em vibração 
transversal e barras em vibração axial são 
idênticas nas suas formas. Ambas levam a 
equações de segunda ordem.
No caso de vibração de vigas em flexão as 
equações são de quarta ordem.
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Sistemas contínuos: solução exata 
Viga em flexão dinâmica
f(x,t)
x
y
L
f(x,t)dx
dx
M Q Q+dQ
M+dM
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MPD-42 41
Sistemas contínuos: solução exata 
Viga em flexão dinâmica
0
2
),(
 
),( 
),(),(
 
),( 
),(
 
),( 
)(),(),(
 
),( 
),(
2
2 
=+



∂
∂++−



∂
∂+
∂
∂=+−



∂
∂+
dx
dxtxfdxdx
x
txQ
txQtxMdx
x
txM
txM
t
txv
dxxmdxtxftxQdx
x
txQ
txQ
0),(
 
),( 
 
),( 
)(),(
 
),( 
2
2 
=+
∂
∂
∂
∂=+
∂
∂
txQ
x
txM
t
txv
xmtxf
x
txQ
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MPD-42 42
Sistemas contínuos: solução exata 
Viga em flexão dinâmica
2
2 
2
2 
 
),( 
)(),(
 
),( 
 
t
txv
xmtxf
x
txM
∂
∂=+
∂
∂−
Teoria b ásica de flexão de vigas:
2
2 ),(
)(),(
x
txv
xEItxM
∂
∂=
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MPD-42 43
Sistemas contínuos: solução exata 
Viga em flexão dinâmica
2
2 
2
2 
2
2 
 
),( 
)(),(
 
),( 
)(
 
 
 
t
txv
xmtxf
x
txv
xEI
x ∂
∂=+





∂
∂
∂
∂−
A equação contém derivadas em relação a x
até quarta ordem.
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MPD-42 44
Sistemas contínuos: solução exata 
Viga em flexão dinâmica
Condições de contorno:
0
 
),( 
,0),0(
0
=
∂
∂=
=xx
txv
tvEngaste:
Apoio simples: 0 
),(
)(,0),0(
0
2
2 
=
∂
∂=
=xx
txv
xEItv
Livre: 0
 
),(
)(
 
,0
 
),(
)(
0
2
2 
0
2
2 
=





∂
∂
∂
∂=
∂
∂
== xx x
txv
xEI
xx
txv
xEI
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Sistemas contínuos: solução exata 
Viga em flexão dinâmica
As condições de contorno de engastamento e 
uma de apoio simples estão relacionadas à
geometria do problema e, por isso, são 
chamadas condições de contorno geom étricas.
As condições de contorno de extremo livre e 
uma de apoio simples estão relacionadas aos 
balan ços de força e momento e são chamadas 
condições de contorno naturais.
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MPD-42 46
)()( 
 
)(
)(
 
)()(),(
2 
2
2 
2
2 
xVxm
xd
xVd
xEI
xd
d
tFxVtxv
ω=





=
L
Sistemas contínuos: solução exata 
Viga em flexão dinâmica
f(x,t)
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Sistemas contínuos: solução exata 
Viga em flexão dinâmica
0
 
),(
)(,0),(
0
 
),(
)(,0),0(
2
2 
0
2
2 
==
==
=
=
Lx
x
xd
txvd
xEItLv
xd
txvd
xEItv
Condições de contorno:
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Sistemas contínuos: solução exata 
Viga em flexão dinâmica
0
 
)(
,0)(
0
 
)(
,0)0(
com0)(
)(
2
2 
0
2
2 
2 
4 4 
4 
4 
==
==
==−
=
=
Lx
x
xd
xVd
LV
xd
xVd
V
EI
m
xV
dx
xVd ωββ
Viga uniforme: EI(x)=EI e m(x)=m
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Sistemas contínuos: solução exata 
Viga em flexão dinâmica
xCxCxCxCxV cosh sinh cos sin )( 4321 ββββ +++=
Solu ção geral:
[ ]xCxCxCxC
dx
xdV
 sinh cosh sin cos 
)(
4321 βββββ ++−=
[ ]xCxCxCxC
dx
xVd
 cosh sinh cos sin 
)(
4321
2 
2 
2 
βββββ ++−−=
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MPD-42 50
Sistemas contínuos: solução exata 
Viga em flexão dinâmica
Aplicação de condições de contorno:
 0
 
)(
e0)0(
0
2
2 
==
=xxd
xVd
V 042 ==CC
0 sinh sin 
0 sinh sin 
31
31
=+−
=+
LCLC
LCLC
ββ
ββ
0 sin =Lβ πβ rLr = 
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Sistemas contínuos: solução exata 
Viga em flexão dinâmica
Freqüências naturais e modos de vibração
4 
2)(
mL
EI
rr πω = L
xr
AxV rr
π
sin )( =
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L
EI, m
[
]) cosh )(cos cosh (cos
)sinh sin )(sinh sin ()(
xxLL
xxLLAxV
rrrr
rrrrrr
ββββ
ββββ
−+
+−−=
1 cosh cos −=LLββ
Sistemas contínuos: solução exata 
Exercício
Considere uma viga uniforme em balanço. Encontre a 
equação diferencial de movimento e a equação 
característica da flexão dinâmica.
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MPD-42 53
Sistemas contínuos: solução exata 
Exercício
Uma viga em flexão dinâmica está apoiada numa 
fundação elástica de rigidez distribuída k. Encontre a 
equação diferencial de movimento e a equação 
característica.
L
EI(x), m(x)
k
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MPD-42 54
Sistemas contínuos: solução exata 
Ortogonalidade de modos
Em sistemas discretos h á ortogonalidade dos 
modos de vibração em relação às matrizes de 
massa e rigidez.
No caso de sistemas contínuos tamb ém existe 
um tipo de ortogonalidade dos modos.
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 55
Sistemas contínuos: solução exata 
Ortogonalidade de modos
Sistema discreto com matriz de massa diagonal:
sruumumu
n
i
isiris
T
r ≠==∑
=
com0}]{[}{
1
Processo limite fazendo n → ∞
srdxxuxux
L
sr ≠=∫ com0)()()(
0
ρ
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 56
Sistemas contínuos: solução exata 
Ortogonalidade de modos
Barras: ortogonalidade com relação à massa
)()(
)(
)( 
)()(
)(
)( 
2
2
xUx
dx
xdU
xEA
dx
d
xUx
dx
xdU
xEA
dx
d
ss
s
rr
r
ρω
ρω
−=



−=



Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 57
Sistemas contínuos: solução exata 
Ortogonalidade de modos
∫∫
∫
−=
−


=



L
srr
L
rs
L
r
s
L
r
s
dxxUxUxdx
dx
xdU
dx
xdU
xEA
dx
xdU
xUxEAdx
dx
xdU
xEA
dx
d
xU
0
2
0
00
)()()(
)()(
)( 
)(
)()( 
)(
)( )(
ρω
Multiplicação por Us(x):
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 58
Sistemas contínuos: solução exata 
Ortogonalidade de modos
∫∫
∫
−=
−


=



L
rss
L
sr
L
s
r
L
s
r
dxxUxUxdx
dx
xdU
dx
xdU
xEA
dx
xdU
xUxEAdx
dx
xdU
xEA
dx
d
xU
0
2
0
00
)()()(
)()(
)( 
)(
)()( 
)(
)( )(
ρω
Multiplicação por Ur(x):
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 59
Sistemas contínuos: solução exata 
Ortogonalidade de modos
L
r
s
L
s
r
L
rssr dx
xdU
xUxEA
dx
xdU
xUxEAdxxUxUx
000
22 )()()( 
)(
)()( )()()()( 


−


=− ∫ρωω
Subtração:
Aplicação das condições de contorno:
sr ωω ≠ 0)()()(
0
=∫
L
sr dxxUxUxρsr ≠
Auto -fun ções ortogonais com relação a ρ(x)
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 60
Sistemas contínuos: solução exata 
Ortogonalidade de modos
Barras: ortogonalidade com relação à rigidez
0)()()(
)(
)( )(
0
2
0
=−=



∫∫
L
srr
L
r
s dxxUxUxdxdx
xdU
xEA
dx
d
xU ρω
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 61
Sistemas contínuos: solução exata 
Ortogonalidade de modos
Barras: normalização dos modos



≠
=
==∫ sr
sr
dxxUxUx rs
L
sr se 0
 se 1
)()()(
0
δρ
2
0
)()(
)( rrs
L
sr dx
dx
xdU
dx
xdU
xEA ωδ=∫
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 62
Sistemas contínuos: solução exata 
Ortogonalidade de modos
Matriz [k] positiva 
semi-definida
Matriz [m] positiva 
definida
Matrizes [m] e [k] 
simétricas
Índices r e s podem 
ser trocados
Sistema discretoSistema contínuo
0 )()(
0
2 >∫
L
r dxxUxρ
0 
)(
)( 
0
2
≥





∫
L
r dx
dx
xdU
xEA
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 63
Sistemas contínuos: solução exata 
Exercício
Uma barra está engastada em x = 0 e suportada por 
uma mola linear de rigidez k em x = L. Prove 
ortogonalidade dos modos de vibração.
L
EA(x), ρ(x)
k
x
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 64
Sistemas contínuos: solução exata 
Ortogonalidade de modos
Vigas: ortogonalidade com relação à massa:
)()(
)(
)(
)()(
)(
)(
2
2 
2 
2 
2 
2
2 
2 
2 
2 
xVxm
dx
xVd
xEI
dx
d
xVxm
dx
xVd
xEI
dx
d
ss
s
rr
r
ω
ω
=





=





Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 65
Sistemas contínuos: solução exata 
Ortogonalidade de modos
∫∫
∫
=
+






−












=





L
srr
L
sr
L
rs
L
r
s
L
r
s
dxxVxVxmdx
dx
xVd
dx
xVd
xEI
dx
xVd
xEI
dx
xdV
dx
xVd
xEI
dx
d
xV
dx
dx
xVd
xEI
dx
d
xV
0
2
0
2 
2 
2 
2 
0
2 
2 
0
2 
2 
0
2 
2 
2 
2 
)()()(
)()(
)(
)(
)(
)()(
)()(
)(
)()(
ω
Multiplicação por Vs(x):
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 66
Sistemas contínuos: solução exata 
Ortogonalidade de modos
∫∫
∫
=
+






−












=





L
srs
L
sr
L
sr
L
s
r
L
s
r
dxxVxVxmdx
dx
xVd
dx
xVd
xEI
dx
xVd
xEI
dx
xdV
dx
xVd
xEI
dx
d
xV
dx
dx
xVd
xEI
dx
d
xV
0
2
0
2 
2 
2 
2 
0
2 
2 
0
2 
2 
0
2 
2 
2 
2 
)()()(
)()(
)(
)(
)(
)()(
)()(
)(
)()(
ω
Multiplicação por Vr(x):
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 67
Sistemas contínuos: solução exata 
Ortogonalidade de modos
( )
L
sr
L
s
r
L
rs
L
r
s
L
srsr
dx
xVd
xEI
dx
xdV
dx
xVd
xEI
dx
d
xV
dx
xVd
xEI
dx
xdV
dx
xVd
xEI
dx
d
xV
dxxVxVxm
0
2 
2 
0
2 
2 
0
2 
2 
0
2 
2 
0
22
)(
)(
)()(
)()(
)(
)(
)()(
)()(
)()()(






+












−






−












=− ∫ωω
Subtração:
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 68
Sistemas contínuos: solução exata 
Ortogonalidade de modos
Aplicação das condições de contorno:
( ) 0)()()(
0
2 2 =− ∫
L
srsr dxxVxVxmωω
sr ωω ≠ 0)()()(
0
=∫
L
sr dxxVxVxmsr ≠
Auto -fun ções ortogonais com relação a m(x)
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 69
Sistemas contínuos: solução exata 
Ortogonalidade de modos
Vigas: ortogonalidade com relação à rigidez
0)()()(
)(
)()(
0
2
0
2 
2 
2 
2 
==





∫∫
L
srr
L
r
s dxxVxVxmdxdx
xVd
xEI
dx
d
xV ω
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 70
Sistemas contínuos: solução exata 
Ortogonalidade de modos
Vigas: ortogonalidade com relação à rigidez
0
)()(
)(
)()(
)(
)(
)(
)()(
)()(
)(
)()(
0
2 
2 
2 
2 
0
2 
2 
2 
2 
0
2 
2 
0
2 
2 
0
2 
2 
2 
2 
==
+






−












=





∫∫
∫
L
sr
L
sr
L
rs
L
r
s
L
r
s
dx
dx
xVd
dx
xVd
xEIdx
dx
xVd
dx
xVd
xEI
dx
xVd
xEI
dx
xdV
dx
xVd
xEI
dx
d
xV
dx
dx
xVd
xEI
dx
d
xV
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 71
Sistemas contínuos: solução exata 
Ortogonalidade de modos
Vigas: ortogonalidade com relação à rigidez
srdx
dx
xVd
dx
xVd
xEI
L
sr ≠=∫ com0
)()(
)(
0
2 
2 
2 
2 
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 72
Sistemas contínuos: solução exata 
Ortogonalidade de modos
Vigas: normalização dos modos



≠
=
==∫ sr
sr
dxxVxVxm rs
L
sr se 0
 se 1
)()()(
0
δ
2
0
2 
2 
2 
2 )()(
)( rrs
L
sr dx
dx
xVd
dx
xVd
xEI ωδ=∫
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 73
Sistemas contínuos: solução exata 
Ortogonalidade de modos
Matriz [k] positiva 
semi-definida
Matriz [m] positiva 
definida
Matrizes [m] e [k] 
simétricas
Índices r e s podem 
ser trocados
Sistema discretoSistema contínuo
0 )()(
0
2 >∫
L
r dxxVxm
0 
)(
)(
0
2
2 
2 
≥





∫
L
r dx
dx
xVd
xEI
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 74
Sistemas contínuos: solução exata 
Exercício
Uma viga em flexão dinâmica está engastada em x = 0 e 
suportada por uma mola linear de rigidez k em x = L. 
Prove ortogonalidade dos modos de vibração.
L
EI(x), m(x)
kx
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 75
Sistemas contínuos: solução exata 
Análise modal de resposta forçada
Sistema de segunda ordem no espaço
),(
 
),( 
)(
 
),(
)(
2
2
txf
x
txu
xT
xt
txu
x =



∂
∂
∂
∂−
∂
∂ρ
Uso de base modal para representar a solu ção
∑
∞
=
=
1
)()(),(
n
nn xUtFtxu
InstitutoTecnológico de Aeronáutica
MPD-42 76
Sistemas contínuos: solução exata 
Análise modal de resposta forçada
Substituir solu ção na equação do movimento
),( 
1
2
2
txfF
x
U
T
xt
F
U
n
n
nn
n =











∂
∂
∂
∂−
∂
∂
∑
∞
=
ρ
Multiplicação por Um(x) e integração ao longo de L
∫∑∫ =











∂
∂
∂
∂−
∂
∂∞
=
L
m
n
L
n
n
m
n
nm dxUtxfdxFx
U
T
x
U
t
F
UU
01 0
2
2
),(ρ
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 77
Sistemas contínuos: solução exata 
Análise modal de resposta forçada
Uso de ortogonalidade das auto -fun ções
)()(),(
0
2
2
2
tfdxxUtxfF
t
F
n
L
nnn
n ==+
∂
∂
∫ω
)() sin() cos()(
)() cos() sin()(
21
21
tftctctF
tftctctF
pnnnnnnnn
pnnnnnn
ɺɺ +−=
++=
ωωωω
ωω
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 78
Sistemas contínuos: solução exata 
Análise modal de resposta forçada
Condições iniciais
∑∑
∞
=
∞
=
====
1
0
1
0 )()()0,(,)()()0,(
n
nn
n
nn xUbxvxuxUaxuxu ɺ
npnnn
n
npnnn
n
nm
npnn
n
npnn
n
nn
bfcxUfcxUFxv
afcxUfcxUFxu
=+⇒+==
=+⇒+==
∑∑
∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
)0()()]0([ )()0()(
)0()()]0([ )()0()(
1
1
1
1
0
2
1
2
1
0
ɺɺɺ ωω
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 79
Sistemas contínuos: solução exata 
Análise modal de resposta forçada
Solu ção final
∑
∑
∞
=
∞
=








+−+
−
=++=
1
1
21
)()() cos())(() sin(
)(
 
)()]() cos() sin([ ),(
n
npnnpnnn
n
pnn
n
npnnnnn
xUtfttfat
tfb
xUtftctctxu
ωω
ω
ωω
ɺ
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 80
Sistemas contínuos: solução exata 
Análise modal de resposta forçada
Fio uniforme em vibração transversal forçada
),(
 
),( 
 
),(
2
2
2
2
txf
x
txu
T
t
txu =
∂
∂−
∂
∂ρ
Força aplicada no ponto x = x0: f(x,t) = F0δ(x − x0)δ(t)
Condições iniciais nulas: u(x,0) = 0, u(x,0) = 0
Condições de contorno: u(0,t) = u(L,t) = 0
Modos de vibração: Un(x) = (Lρ/2)−1/2sin(nπx/L)
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 81
Sistemas contínuos: solução exata 
Análise modal de resposta forçada
Fio em vibração transversal forçada
)()( sin
2
 sin
2
 
 sin
2
)()()(),(
00
1
2
2
2
11
txxF
L
xn
LL
xn
L
F
L
n
T
t
F
L
xn
L
tFxUtFtxu
n
n
n
n
n
n
nn
δδπ
ρ
π
ρ
πρ
π
ρ
−




=


















+
∂
∂





==
∑
∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
Multiplicação por (Lρ/2)−1/2sin(mπx/L) e integração ao longo de L





=−




=




+
∂
∂
∫
= L
xn
L
tFdxtxxF
L
xn
L
F
L
nT
t
F L
x
n
n 0
0
0
00
2
2
2
 sin
2
)()()( sin
2
 
π
ρ
δδδπ
ρ
π
ρ
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 82
Sistemas contínuos: solução exata 
Análise modal de resposta forçada
Fio em vibração transversal forçada
Fazendo ωn2 = Tn2π 2/(ρL2)
)( sin
2 0
0
2
2
2
t
L
xn
F
L
F
t
F
nn
n δπ
ρ
ω 




=+
∂
∂
Solução para resposta impulsiva sob condições iniciais nulas
)sin( sin
2
)( 00 t
L
xnF
L
tF n
n
n ω
π
ωρ





=
Solução final: ∑∑
∞
=
∞
=











==
1
00
1
 sin)sin( sin
2
)()(),(
n
n
nn
nn L
xn
t
L
xnF
L
xUtFtxu
πωπ
ωρ
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 83
Sistemas contínuos: solução exata 
A equação da onda
2
2
 
),(
)(
 
),(
)(
 t
txv
x
x
txv
xT
x ∂
∂=



∂
∂
∂
∂ ρ
Fio em vibração transversal livre
Fio uniforme sob tensão constante
ρ
T
c
t
txv
cx
txv =
∂
∂=
∂
∂
com
 
),(1
 
),(
2
2
22
2
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 84
Sistemas contínuos: solução exata 
A equação da onda
A equação da onda em uma dimensão
2
2
22
2
 
),(1
 
),(
t
txv
cx
txv
∂
∂=
∂
∂
c é a velocidade de propagação. Solu ção geral:
)()(),( 21 ctxFctxFtxv ++−=
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 85
Sistemas contínuos: solução exata 
A equação da onda
F1(x − ct) ⇒ propagação na direção positiva de x
F2(x + ct) ⇒ propagação na direção negativa de x
Onda senoidal:
)2(sin )(
2
sin ),( txkActxAtxv ωπ
λ
π −=−=
onde λ é o comprimento de onda, k = 1/λ é o 
número de onda e ω = 2π / λ é a freq üência.
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 86
Sistemas contínuos: solução exata 
A equação da onda
Movimento gerado pela superposição de duas 
ondas senoidais idênticas propagando -se em 
direções contrárias.
) cos()2(sin 2)2(sin )2(sin ),( txkAtxkAtxkAtxv ωπωπωπ =++−=
As duas ondas combinam -se para formar uma 
única onda estacion ária cujo padrão de 
movimento oscila na freq üência ω.
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 87
Sistemas contínuos: solução exata 
A equação da onda
A equação da onda contendo derivadas de 
segunda ordem no espaço vale para as an álises 
de fios, barras e eixos mas não para vigas.
Problemas de vibração livre sem amortecimento 
são caracterizados por solu ções que 
representam ondas estacion árias.
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 88
Sistemas contínuos: solução exata 
Quociente de Rayleigh
Assim como o quociente de Rayleigh pode ser 
definido para sistemas discretos h á uma 
definição para sistemas contínuos.
L
u(x,t)
Seja a barra em vibração axial com um extremo 
livre.
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 89
Sistemas contínuos: solução exata 
Quociente de Rayleigh
0
)(
)()0(
)()( 
 
)( 
)(
 
2
==
−=



dx
LdU
LEAU
xUxm
xd
xUd
xEA
xd
d ω
∫
∫
∫
∫ 





=



−
== L
L
L
L
dxxUxm
dx
xd
xUd
xEA
dxxUxm
dx
xd
xUd
xEA
dx
d
xU
0
2 
0
2
0
2 
02
)()(
 
)( 
)(
)()(
 
)( 
)()(
ωλ
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MPD-42 90
Sistemas contínuos: solução exata 
Quociente de Rayleigh
∑
∞
=
=
1
)()(
i
ii xUcxU
∫ =
L
ijji dxxUxUxm
0
)()()( δ ∫ =
L
ijj
ji dx
dx
xdU
dx
xdU
xEA
0
)()(
)( δλ
∑
∑
∞
=
∞
==
1
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