Educação matemática estratégias e seus desafios

Prévia do material em texto

EDUCAÇÃO MATEMÁTICA: 
ESTRATÉGIAS E DESAFIOS
W
BA
06
59
_v
1.
0
22 
© 2019 POR EDITORA E DISTRIBUIDORA EDUCACIONAL S.A.
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida 
de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia, gravação ou 
qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação, sem prévia autorização, 
por escrito, da Editora e Distribuidora Educacional S.A.
Presidente
Rodrigo Galindo
Vice-Presidente de Pós-Graduação e Educação Continuada
Paulo de Tarso Pires de Moraes
Conselho Acadêmico
Carlos Roberto Pagani Junior
Camila Braga de Oliveira Higa
Carolina Yaly
Giani Vendramel de Oliveira
Juliana Caramigo Gennarini
Nirse Ruscheinsky Breternitz
Priscila Pereira Silva
Tayra Carolina Nascimento Aleixo
Coordenador
Giani Vendramel de Oliveira
Revisor
Leonardo de Alcântara Moreira
Editorial
Alessandra Cristina Fahl
Beatriz Meloni Montefusco
Daniella Fernandes Haruze Manta
Hâmila Samai Franco dos Santos
Mariana de Campos Barroso
Paola Andressa Machado Leal
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
Jesus, Francis Roberta de
J58e Educação matemática: estratégias e desafios/ Francis 
 Roberta de Jesus, – Londrina: Editora e Distribuidora 
 Educacional S.A. 2019.
 120 p.
ISBN 978-85-522-1471-7
1. Educação matemática. 2. Educação. I. Jesus, Francis 
 Roberta de. Título. 
 CDD 370
Responsável pela ficha catalográfica: Thamiris Mantovani CRB-8/9491
2019
Editora e Distribuidora Educacional S.A.
Avenida Paris, 675 – Parque Residencial João Piza
CEP: 86041-100 — Londrina — PR
e-mail: editora.educacional@kroton.com.br
Homepage: http://www.kroton.com.br/
mailto:editora.educacional%40kroton.com.br?subject=
http://www.kroton.com.br/
3 3
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA: ESTRATÉGIAS E DESAFIOS 
SUMÁRIO
Apresentação da disciplina 4
Pensamento geométrico na relação de continuidade 
entre a Educação Infantil e o Ensino Fundamental 7
Princípio fundamental da contagem no Ensino Fundamental 32
Grandezas direta e indiretamente proporcionais 56
Produtos notáveis e fatoração 80
Desenvolvimento do pensamento algébrico 
no Ensino Fundamental II 104
O Enem e as condições atuais do Ensino Médio 129
Estratégias e desafios para o ensino da matemática na atualidade 154
44 
Apresentação da disciplina
A presente disciplina, intitulada Educação Matemática: Estratégias e 
Desafios, tem como principal objetivo discutir aspectos interessantes 
para as condições atuais do ensino e da educação básica brasileira. 
Essa discussão se faz importante pelo fato da ocorrência de uma 
reforma curricular muito recente da educação básica. A referida reforma 
reorganizou metas, objetivos e conteúdos designados para cada etapa 
educativa, resultando em alterações na legislação nacional que diz 
respeito à educação, em metas distintas para o Plano Nacional da 
Educação e o cumprimento da existência de uma base comum para o 
ensino empreendido em todos os sistemas de educação nacional.
A matemática não ficou excetuada dessa reorganização. Longe de 
fazermos algum juízo de valor, lidamos com o fato de que a educação 
matemática oferecida pelas instituições escolares tem sido alterada 
pelas determinações daquela reforma, estando fundamentada numa 
visão estrita de letramento, alinhada a políticas supranacionais de 
educação e de constituição social (BRASIL, 2018). Uma das mudanças 
empreendidas no ensino da matemática foi a designação do ensino de 
álgebra como campo específico do campo anteriormente designado 
por números e operações, que reuniam a aritmética num campo 
específico do conhecimento matemático. Outro exemplo de alteração foi 
a mudança do campo espaço e forma para geometria, e do tratamento 
da informação para probabilidade e estatística. Essas alterações podem 
ser vistas como um movimento de fortalecimento da presença da 
matemática no currículo formal e o estabelecimento da obrigatoriedade 
do ensino fundamental no desenvolvimento de competências e 
habilidades, procedimentos matemáticos, além de uma forte relação de 
acesso à tecnologia cada vez mais presente na sociedade atual.
Tendo esses aspectos em vista e a necessidade de uma educação 
direcionada para as necessidades da sociedade atual, em tempos pós-
modernos, a disciplina Educação Matemática: Estratégias e Desafios 
55 5
aborda aspectos interessantes para esse contexto de mudanças em 
curso. Portanto, instiga reflexões e problematizações pertinentes a 
essa situação, bem como à função social da matemática escolar, tais 
como a formação integral do sujeito, para a formação cidadã, como 
fundamentação para o trabalho, para o acesso ao ensino superior, 
dentre outras, que se encontram descritas abaixo nos eixos discutidos 
pela disciplina. 
A forma tal qual a disciplina se encontra organizada objetiva que 
você, estudante da pós-graduação e agente da educação, conheça e 
reflita sobre estratégias que possam ser usadas no cotidiano escolar 
para o desenvolvimento do pensamento algébrico, atuando de forma 
reflexiva sobre a formação dos alunos para as próximas etapas da 
sua formação, conhecendo e retomando estratégias que possam ser 
usadas para organizar o trabalho docente de modos mais dinâmicos 
e diversificados e que promovam ações de democratização da 
aprendizagem em matemática. 
Os materiais que compõem a disciplina nos moldes de Leituras 
Fundamentais são constituídos pelas seguintes temáticas centrais:
1. desenvolvimento do pensamento geométrico na relação de 
continuidade entre a educação infantil e o ensino fundamental; 
2. abordagem do princípio fundamental da contagem ao longo do 
ensino fundamental como instrumento para compreensão dos 
fenômenos multiplicativos e como fundamento necessário para a 
compreensão da análise combinatória no Ensino Médio;
3. compreensão das relações entre grandezas como possibilidade 
de construção do conhecimento intuitivo, proporcionando um 
processo de aprendizagem apoiado em práticas investigativas e de 
resolução das situações-problemas;
66 
4. abordagem dos tópicos de produtos notáveis e fatoração como 
estratégias de cálculo e fundamentos para estratégias de cálculos 
e compreensão de diferentes aspectos da álgebra ao longo do 
ensino fundamental e de modo relacionado à etapa conseguinte;
5. o desenvolvimento do pensamento algébrico ao longo de todo 
o ensino fundamental de modo articulado às demais áreas da 
matemática e para desenvolver aprendizagens significativas;
6. a problematização referente ao Exame Nacional do Ensino Médio 
e as relações que podem ser estabelecidas com a formação 
oferecida pela educação básica como um todo, considerando as 
especificidades de sua organização atual;
7. a apresentação e problematização de desafios para o ensino 
da matemática ao longo da educação básica de modo a 
estabelecer relações necessárias aos aspectos diversos da vida 
dos estudantes, apontando para o uso de estratégias didático-
metodológicas que signifiquem a ampliação da aprendizagem e da 
acessibilidade ao conhecimento matemático para todos.
Por meio desse percurso espera-se que o estudante de pós-graduação, 
como agente promotor de educação matemática, reflita sobre as 
práticas tradicionais e costumeiras empreendidas para o ensino da 
matemática, de modo que se constitua em agente transformador do 
ensino da matemática na atualidade, levando em consideração práticas 
de ensino que possam, de algum modo, tornar a aprendizagem mais 
efetiva, autônoma, dinâmica e ao alcance dos diferentes estudantes que 
compõem o público-alvo da educação básica. Realizem ótimos estudos!
77 7
Pensamento geométrico na 
relação de continuidade entre 
a Educação Infantil e o Ensino 
Fundamental 
Autora: Francis Roberta de Jesus
Objetivos
• Refletir sobre a necessidade de estratégias para 
potencializar o desenvolvimento do pensamento 
geométrico.
• Observar os conteúdos, competências e habilidadessob a perspectiva da continuidade entre diferentes 
níveis da educação básica.
• Abordar a temática do ensino de polígonos 
para fundamentação do desenvolvimento dos 
pensamentos geométrico e algébrico.
• Refletir sobre estratégias atuais para o ensino da 
geometria.
88 
1. Contextualização
Existem alguns aspectos da história da educação matemática que 
explicitam o lugar menor que era atribuído à geometria dentro das 
áreas da matemática abordadas nos contextos tanto curricular quanto 
escolar. Estudos históricos mostram que práticas de ensino enfatizavam 
fortemente a abordagem da aritmética ao longo de todo o período letivo 
e que discorriam sobre a geometria apenas quando houvesse tempo 
disponível. Essa realidade pertence a um passado não muito distante 
da atualidade. Portanto, é importante questionar sobre qual o lugar da 
geometria nos currículos escolares, seus objetivos, as funções na relação 
de integração, interdependência e continuidade entre as diferentes 
áreas da matemática e etapas da educação básica.
A abordagem escolar da geometria necessita do desenvolvimento do 
pensamento geométrico a partir de uma abordagem menos restrita e 
que mais valorize essa área de conhecimento. Considerando, inclusive, a 
importância que esse tipo de pensamento tem para o desenvolvimento 
de aprendizagens vinculadas a outras áreas da matemática, como a 
própria aritmética e a álgebra, por exemplo. 
Assim, problematizar o ensino de geometria partindo da etapa da 
educação infantil e alcançando o ensino fundamental, questionando 
como essa relação se dá de uma etapa para outra e se faz numa 
importante tarefa reflexiva, será progressivamente discutido na presente 
Leitura Fundamental.
2. A importância do pensamento geométrico
Lorenzato (1995, p. 4) afirma que muitos estudos necessitam ser 
realizados sobre o ensino de geometria e esses estudos estariam a cargo 
das investigações na área da educação matemática, a qual tem a missão 
de problematizar questões diversas.
99 9
Algumas delas são: tendo em vista as possíveis exigências do século XXI 
sobre seus cidadãos, qual deveria ser o currículo geométrico mínimo 
presente na educação? (LORENZATO; VILA, 1993). Qual é a Geometria 
necessária e conveniente para nós, brasileiros? Ela deveria ser a mesma 
para todo o continente brasileiro? Como aproveitar os recentes e enormes 
avanços tecnológicos, psicológicos e didáticos em favor do ensino e 
aprendizagem da Geometria? Onde colocar o ponto de equilíbrio dinâmico 
entre o intuitivo e o dedutivo, o concreto e o abstrato, o experimental e o 
lógico, tendo em vista uma aprendizagem significativa da Geometria?
O pensamento geométrico envolve ações fundamentais que abrangem 
a percepção em geral, sejam elas: a observação, a percepção e a 
construção relacionadas às figuras geométricas, à dimensão, à direção, 
ao sentido, à localização e à movimentação no espaço. Para tanto, é 
necessário que a aprendizagem seja avaliada conforme as condições 
de reconhecimento de figuras e possíveis classificações: planas, não 
planas, regulares, irregulares, polígonos, não polígonos, poliedros, não 
poliedros, fractais, etc., e as manipulações que produzem redução, 
ampliação, rotação, transformações, composição, deslocamentos ou 
decomposição dessas figuras.
Essas noções precisam ser abordadas desde as primeiras experiências 
da educação básica, problematizando a dimensão espacial e sua 
ocupação por objetos, sendo necessário classificar, a partir de critérios 
criados e estabelecidos, identificar, nomear, descrever, conhecer e 
compreender as principais propriedades desses corpos, o que requer 
a observação do mundo em que se vive, distinguindo as características 
atribuídas a cada uma das figuras e como se relacionam com aspectos 
do entorno dos contextos de vida, atribuindo-lhes significados, de modo 
que possam estabelecer semelhanças entre poliedros e embalagens, 
observação de superfícies, distinguir figuras planas de arredondadas 
e aquelas que rolam e que não rolam, a partir da observação e da 
interação que realizam cotidianamente com o/no mundo físico, 
por exemplo.
1010 
O aspecto da visualização toma grande importância para o ato 
observatório pelo qual a criança poderá, progressivamente, classificar 
figuras, nomeá-las e relacionar formatos e figuras geométricas como 
forma de leitura do mundo e de comunicação matemática, o que 
significa conhecer, familiarizar-se e fazer uso da linguagem geométrica. 
Tanto nos termos que compõem uma figura, tais como faces, arestas, 
lados, vértices, diagonais, ângulos internos e termos ligados às 
dimensões (comprimento, largura e altura), quanto nos termos que 
relacionam conceitos a medidas e posicionamentos de um polígono 
ou de um poliedro em relação a outro e ao relacionamento entre 
nomenclaturas às composições de polígonos e poliedros, por exemplo, 
o que possibilita projetar modos como classificação de polígonos, 
conceituações e adoção de critérios para identificação dessas figuras 
geométricas e identificando padrões matemáticos contribui para o 
desenvolvimento do pensamento geométrico em geral.
2.1 Na educação infantil
O Referencial Curricular Nacional para a Educação Infantil (RCNEI) 
aponta que a geometria desempenha um importante papel na formação 
intelectual da criança (BRASIL, 1998), tendo em vista serem seus 
conteúdos extremamente significativos para o desenvolvimento do 
seu raciocínio e de outros diversos saberes vinculados à matemática 
e a outras áreas de conhecimento. Isso pode ser exemplificado com a 
semelhança geométrica associada aos estudos de proporcionalidade 
como objetivo de aprofundamento da compreensão desse segundo 
conteúdo, produzindo influências sobre os modos de compreensão das 
realidades e dos contextos de que as crianças fazem parte.
Entretanto, na etapa da educação infantil, a formalização não deve 
ser antecipada, nem mesmo a preocupação com a sistematização dos 
conteúdos propostos deve tomar a centralidade das práticas didático-
pedagógicas em geometria. Pelo contrário, deverão estar voltadas às 
experiências que as vivências investigativas podem proporcionar, bem 
1111 11
como as aprendizagens dos conteúdos de geometria de modo situadas 
e significativo ao desenvolvimento do pensamento geométrico, estando 
vinculado às etapas tanto anteriores quanto posteriores àquelas em 
que os alunos se encontram. E também considerando as complexidades 
dos objetos de aprendizagem de geometria, as quais deverão estar 
adequadas para o momento da educação, do nível de compreensão e do 
desenvolvimento em que se encontram, de modo a valorizar a construção 
de noções básicas e elementares que contribuam para a elaboração de 
ideias fundamentais ao raciocínio e à compreensão geométricos.
ASSIMILE
O termo “educação integral” faz referência a uma 
perspectiva de desenvolvimento educacional que visa à 
formação humana de forma integral, o que quer dizer em 
sentido amplo e global. Reconhece a complexidade desse 
desenvolvimento de modo a criticar sua fragmentação 
nos aspectos físico, afetivo ou cognitivo e a valorizar uma 
visão que considera as plurais dimensões constitutivas 
do desenvolvimento humano, segundo a visão da 
potencialidade de desenvolvimentos plenos e singulares 
dos sujeitos envolvidos no processo educativo.
Sendo a primeira etapa da educação básica obrigatória a partir dos 
4 anos de idade, a educação infantil tem como objetivos o de iniciar 
e fundamentar aspectos relevantes para o desenvolvimento do 
pensamento geométrico. É o que a Base Nacional Comum Curricular 
(BRASIL, 2017) define como sendo “diferentes campos de experiência”, 
sendo eles: as relações consigo, com o outro e as organizações coletivas 
na infância; relações e linguagens corporais, gestuais e movimentos; 
relações com formas, sons, cores e traços; vivências com ênfase na fala, 
1212 
na escuta, nos diferentes modos de pensar, criar, imaginar e comunicar-se 
e, por fim, relações com quantidades, espaços, tempos, transformaçõese relações (BRASIL, 2017, p. 51). Por esse estabelecimento, o pensamento 
geométrico poderia ter lugar privilegiado no último campo de vivências, 
porém, poderá ser desenvolvido perpassando todos os demais, conforme 
a perspectiva de formação integral.
Esses campos de vivências apresentam possibilidades para 
problematizar tanto fenômenos socioculturais quanto naturais que 
envolvem as experiências das infâncias em diversos espaços (rua, bairro, 
cidade, etc.) e tempos (dia e noite; hoje, ontem e amanhã, etc.), o mundo 
físico (seu próprio corpo, os fenômenos atmosféricos, os animais, as 
plantas, as transformações da natureza, os diferentes tipos de materiais 
e as possibilidades de sua manipulação, etc.) e o mundo sociocultural (as 
relações de parentesco e sociais entre as pessoas que conhece; como 
vivem e em que trabalham essas pessoas; quais suas tradições e seus 
costumes; a diversidade entre elas, etc.). Além disso, nessas experiências 
e em muitas outras, as crianças também se deparam, frequentemente, 
com conhecimentos matemáticos (contagem, ordenação, relações 
entre quantidades, dimensões, medidas, comparação de pesos e de 
comprimentos, avaliação de distâncias, reconhecimento de formas 
geométricas, conhecimento e reconhecimento de numerais cardinais 
e ordinais etc.). Portanto, a Educação Infantil precisa promover 
experiências nas quais as crianças possam fazer observações, manipular 
objetos, investigar e explorar seu entorno, levantar hipóteses e consultar 
fontes de informação para buscar respostas às suas curiosidades e 
indagações. (BRASIL, 2017, p. 40-41).
2.2 Caminhando para o ensino fundamental
O caminho da etapa da educação infantil para o ensino fundamental 
necessita ser visto como um espaço de transição e um aspecto 
educacional que merece muita atenção, sobretudo no que se refere 
1313 13
ao pensamento geométrico. Na educação infantil, deverá estar 
disperso a práticas de pesquisa, de observação, de manipulação 
de objetos em geral, com uso de materiais manipulativos com fins 
educativos, de modo disseminado e significativo aos diferentes 
campos de vivências, porém vinculado às capacidades de classificar os 
polígonos, estabelecer relações de semelhança e diferenças, descrever 
determinadas características, descrever os diferentes polígonos 
segundo essas características, bem como identificá-los, agrupá-los, 
reconhecer diferentes representações de um mesmo polígono, realizar 
construções e estabelecer relações com outros tempos, espaços e 
transformações.
É necessário que a educação infantil desenvolva fundamentos 
impreteríveis para o aumento da complexidade do pensamento 
geométrico e que o ensino fundamental não rompa com o 
desenvolvimento anterior dessas complexidades, porém as retome, 
integre-as e dê continuidade, guardando a importância de relacioná-las 
aos demais conhecimentos em veiculação e aos objetivos de cada etapa 
educacional específica. Sendo assim, o caminho da educação infantil 
em direção ao ensino fundamental conta com que o aluno realize 
percursos de continuidades de sua escolarização e formação global em 
confronto à noção tradicional de fragmentação curricular, fragmentação 
da formação humana e fragmentação disciplinar dos conhecimentos 
veiculados no ambiente escolar. 
Ao longo da aprendizagem da temática polígonos, dificuldades 
podem ser antecipadas, tais como a identificação dos elementos 
que compõem os diferentes polígonos e a representação e/ou 
comunicação das diferentes propriedades de cada figura. Esses 
aspectos podem ser abordados pelo processo educativo por meio do 
oferecimento de oportunidades para experimentações, observações, 
registros, construções, desconstruções, movimentações no espaço 
1414 
de modo que a criança possa compreender aquelas mesmas 
propriedades e identificar os elementos constitutivos poligonais até 
mesmo na ausência dos modelos físicos, o que significa um grau 
determinado de abstração.
Ações tais como observação de objetos, relações entre os polígonos e 
objetos familiares, identificação de características comuns, nomeação 
de figura e construção de representações diversas unidas às práticas de 
sistematização com estabelecimento de relações entre as aprendizagens 
e linguagem própria e linguagem geométrica proporcionam a 
aprendizagem geométrica. Desse modo, o desenvolvimento do 
pensamento geométrico poderá ser efetivado numa relação de 
aprofundamentos e de continuidades, segundo as habilidades descritas 
no quadro abaixo.
Quadro I – Resumo das aprendizagens relacionadas ao desenvolvimento 
do pensamento geométrico na relação educação infantil-ensino 
fundamental. Desenvolvido com fundamento na base comum designada 
para cada etapa da educação básica
Etapa Aprendizagens
Educação infantil
- Identificar, nomear adequadamente e 
comparar as propriedades dos objetos, 
estabelecendo relações entre eles. (A)
- Interagir com o meio ambiente e com fenômenos 
naturais ou artificiais, demonstrando curiosidade 
e cuidado com relação a eles. (B)
- Utilizar vocabulário relativo às noções de grandeza 
(maior, menor, igual, etc.), espaço (dentro e fora) e 
medidas (comprido, curto, grosso, fino) como meio 
de comunicação de suas experiências. (C)
- Utilizar unidades de medida (dia e noite; dias, semanas, 
meses e ano) e noções de tempo (presente, passado 
e futuro; antes, agora e depois), para responder 
a necessidades e questões do cotidiano.(D) 
- Identificar e registrar quantidades por meio de diferentes 
formas de representação (contagens, desenhos, símbolos, 
escrita de números, organização de gráficos básicos, etc.).(E)
1515 15
Ensino fundamental – 
anos iniciais
- Localizar objetos e pessoas no espaço, utilizando 
diversos pontos de referência e vocabulário apropriado 
e indicação de mudanças de direção e sentido.(F)
- Reconhecer e fazer relações com objetos familiares 
do mundo físico – figuras geométricas espaciais. (G)
- Reconhecer formatos de faces de figuras geométricas 
espaciais – figuras geométricas planas.(H)
- Esboçar roteiros e plantas simples. (I)
- Reconhecer e caracterizar figuras geométricas espaciais 
(cubo, bloco retangular, pirâmide, cone, cilindro e esfera). (J)
- Reconhecer e caracterizar figuras geométricas planas 
(círculo, quadrado, retângulo e triângulo). (K)
- Reconhecer e analisar características e planificações 
de figuras geométricas espaciais (cubo, bloco 
retangular, pirâmide, cone, cilindro e esfera). (L)
- Reconhecer e analisar características de 
figuras geométricas planas (triângulo, quadrado, 
retângulo, trapézio e paralelogramo).
- Reconhecer e analisar congruência de figuras 
geométricas planas e seus ângulos. (M)
- Analisar situações de paralelismo e de perpendicularismo, 
inclusive em deslocamentos e localizações. (N)
- Reconhecer, representar, planificar e caracterizar figuras 
geométricas espaciais (prismas e pirâmides). (O)
- Identificar e classificar ângulos retos e não retos: 
uso de dobraduras, esquadros e softwares. (P)
- Analisar situações que envolvam simetria de reflexão. (Q)
- Reconhecer o plano cartesiano, suas coordenadas 
cartesianas (1º quadrante) e representações 
de deslocamentos nesse plano. (R)
- Ampliar e reduzir figuras poligonais em malhas 
quadriculadas: reconhecimento da congruência dos ângulos 
e da proporcionalidade dos lados correspondentes. (S)
Fonte: BRASIL, 2017.
Os itens identificados de “A” a “S” no quadro relacional entre as etapas 
da educação básica em questão expressam um percurso possível para 
o desenvolvimento do pensamento geométrico no que diz respeito 
ao ensino de polígonos para crianças. Com suas capacidades de 
compreensão e ao longo de um processo de formalização consoante a 
esses aspectos e segundo a lógica da ampliação e do aprofundamento 
dos conteúdos que compõem a abordagem escolar obrigatória mínima 
1616 
para o ensino de polígonos, passando por fronteiras mais fluidas e 
contínuas em relação às duas primeiras etapas que trabalham esse tema 
geométrico na educação básica, processo ilustradopela imagem abaixo:
Figura 1 – Abordagem curricular do ensino de polígonos
Fonte: imagem desenvolvida pela autora, com base na abordagem de ampliação e 
continuidade dos conteúdos poligonais a serem ensinados ao longo da educação infantil, 
em seu processo de continuidade na etapa seguinte.
2.3 Desenvolvimento do pensamento geométrico e organização 
do trabalho docente: relação importante para a aprendizagem
A fim de que os diferentes conteúdos designados curricularmente para 
cada etapa da educação básica sejam desenvolvidos em continuidade, 
e para que a aprendizagem seja vista como processo e o ensino como 
constituído necessariamente pelo planejamento de experiências em 
etapas comunicativas e construtivas de conhecimentos, é necessário 
que a organização do trabalho docente envolva o conhecimento das 
formas de aprendizagem dos alunos, do contexto educacional, social e 
cultural em que se encontram. Também é necessário o conhecimento do 
conteúdo que será abordado, conhecimento pedagógico do conteúdo, 
Complexidade 
Formalização
Educação 
Infantil
Ensino 
Fundamental
Conteúdos geométricos em que há expressão direta do objeto de ensino e de 
aprendizagem polígonos
Movimento de ampliação e de 
aprofundamento dos aspectos 
que deverão ser desenvolvidos 
com o objeto da aprendizagem 
relativa a figuras poligonais
Desenvolvimento 
do pensamento 
geométrico
1717 17
a saber, de estratégias, metodologias e de aproximações didáticas que 
permitam desenvolver por etapas o conteúdo que deverá ser ensinado, 
estabelecendo o nível de generalização, abstração e formalização que 
se possa alcançar com os alunos, considerando suas identidades de 
aprendizagens, estabelecimento de pontos, contextos e práticas de 
partida, de investigação e de problematização.
Cada um desses conhecimentos instrumentalizam a prática docente 
do ensino e valoriza os conteúdos específicos que apresentam a 
necessidade do conhecimento do professor para efetivar práticas de 
ensino significativas, pois envolvem a necessidade de a geometria passar 
por tratamento menos genérico e que problematize o ensino de cada 
um dos objetos de conhecimento que aparecem no currículo com o 
objetivo do desenvolvimento do modo de pensar geometricamente. 
Essa preocupação é necessária tanto do ponto de vista do sujeito que 
aprende quanto daquele que ensina.
Esses conhecimentos habilitam a criação de situações de aprendizagens 
à compreensão e uso das ações, argumentações e produções dos alunos 
para “ampliar a compreensão e expandir o leque de suas possibilidades 
interpretativas por meio do acesso a conexões poderosas e práticas 
apropriadas” (CARVALHO, 2017, p. 25), a fim de comunicar conceitos por 
meio da prática de ensino, que pode ser constituída por momentos de 
abordagem de “definições, algoritmos, metáforas, imagens, aplicações, 
gestos, entre outros” (COUTINHO; BARBOSA, 2016, apud CARVALHO, 
2017, p. 36), que são realizações não fixas, mas que emergem de 
diferentes escolhas a partir da necessidade de ensinar, seguindo 
objetivos específicos e segundo uma visão particular docente, que 
problematize as seguintes abordagens didáticas: Tema geral: estudo de 
polígonos/ Tema específico: estudo de quadrados.
1818 
Figura 2 – Abordagem de situação de aprendizagem
1. A partir de uma definição 
formal – polígono convexo 
cujos lados e ângulos são 
congruentes.
2. A partir de uma imagem 
específica ou, ainda, de uma 
representação geométrica 
daquela figura – desenho 
de um quadrilátero.
3. A partir de uma aplicação, um 
problema, contexto ou situação.
4. A partir de associações entre a 
figura a um objeto presente em 
contextos de uso cotidiano – faces de 
coletâneas embalagens –, envolvendo 
as dimensões matemáticas didático-
pedagógicas específica e a instituída.
Fonte: Elaborada pela autora, com base na obra de Carvalho (2017).
Nesse sentido, objetivar as habilidades de classificação de polígonos 
variados quanto ao ângulos e ao número de lados envolve a criação de 
procedimentos didáticos que motivem os alunos a classificar figuras 
planas, o que pode envolver:
Figura 2 – Aspectos envolvidos em um procedimento de ensino 
fundamentado nas diferentes dimensões de conhecimento que 
compõem a organização do trabalho docente e sua realização
Fonte: desenvolvida pela autora.
O procedimento acima envolve a perspectiva que abarca os itens 3 e 
4 acerca das práticas de ensino. Deverá ser norteado pelos objetivos 
da prática de ensino, considerando a necessidade de superar rupturas 
em relação ao conhecimento matemático, às etapas educacionais e 
envolver observação, manipulação, movimentação e deslocamento de 
objetos, análise de registros e representações diversas, uso de recursos 
didáticos, reflexão docente e discente sobre as atividades desenvolvidas, 
Situação- 
problema 
Prática social 
Contexto
Estabelecimento 
de critérios 
*Instituídos 
*Estabelecidos 
coletivamente
Exploração de 
figuras
Exploração de 
figuras
Revisão de 
conteúdos 
estudados 
anteriormente
Nomenclaturas 
Ângulos 
Lados 
Paralelismo 
Perpendicularismo 
Características
Classificação 
Composição 
Decomposição 
Medidas 
Área 
Simetria 
Perímetro
Quadriláteros 
Triângulos 
Poliedros 
Planificações 
Círculos 
Circunferências
1919 19
uso de tecnologias de apoio, as organizações coletivas dos alunos 
para compartilhamentos, discussões e argumentações em relação à 
linguagem matemática, à sistematização e à abstração progressivas 
(BRASIL, 2017). 
Assim, o pensamento funcional e as transformações geométricas 
associadas às representações, às construções e às interdependências 
se tornam essenciais para o desenvolvimento do pensamento 
geométrico e devem elencar características das formas tridimensionais 
e bidimensionais associadas a figuras espaciais e às suas planificações 
para que os alunos possam nomeá-las e comparar polígonos usando 
diferentes critérios e dimensionem espaços com a percepção de 
relações de tamanho e forma. Além disso, deverão interpretar, 
descrever e representar posições de movimentações no espaço a partir 
de análises, estudar simetrias, rotações e translações que favoreçam a 
compreensão de diferentes aspectos da geometria dinâmica.
Desse modo, ensinar geometria no ensino fundamental envolve 
considerar as relações entre o aluno e o saber geométrico por meio 
de experiências contextualizadas, da resolução de problemas e de 
aprendizagens situadas que conduzam a diferentes percursos para se 
pensar geometricamente e fazer matemática no contexto escolar com 
diferentes recursos.
Para investigarem uma situação que possam enfrentar, a partir do 
contexto situado da prática sociocultural de ir ao teatro, por exemplo, 
poderão deparar-se com uma situação semelhante a esta: os assentos 
estão dispostos em 12 fileiras e 8 colunas. Como essa situação 
poderia ser problematizada do ponto de vista geométrico? Como seria 
abordada, considerando os conhecimentos docentes de diferentes 
naturezas, a partir da perspectiva da organização de uma prática de 
ensino específica? Como levar em consideração as relações acima 
citadas? Como poderiam ser problematizados objetos de conhecimento 
relacionados à unidade temática dos polígonos? Como poderia ser 
2020 
articulada a outras áreas da matemática? Como associar essa situação 
à aritmética, aos conceitos de área, perímetro e a outras configurações 
retangulares semelhantes e diferentes, à classificação e à descrição de 
polígonos? E a outras situações-problemas significativas aos alunos? 
Como trabalhar conceitos relevantes para o desenvolvimento do 
pensamento geométrico e encadeá-los a outros já consolidados e outros 
ainda que necessitam ser introduzidos? Como adaptar a abordagem do 
problema a determinado estágio de determinada etapa da educação 
básica? Como segmentar etapas para o ensino dos conceitos em 
questão? Como contribuir para a percepção espacial da criança por 
diferentes pontos de vista? Como a situação proposta e o percurso 
trilhado contribuempara o desenvolvimento do raciocínio geométrico? 
Como pensar ou representar o espaço, uma figura ou um objeto na 
ausência do mesmo ou fora do campo sensível? Como as definições de 
ponto, de reta e de plano se relacionam com o campo perceptivo da 
criança a partir da situação dada?
Essas são questões que podem ser colocadas para todas e quaisquer 
situações de ensino, com o objetivo de indicar que tipos de 
metodologias e de práticas de ensino precisam ser problematizadas.
3. Uma ampliação possível: relações entre os 
pensamentos geométrico e algébrico
Figura 3 – Observação de triângulos presentes na imagem a partir das 
características do polígono
Fonte: elaborada pela autora.
2121 21
Tal como explicitado na introdução desta leitura, existe uma 
cultura de centralidade do ensino da matemática na abordagem do 
pensamento numérico e aritmético. Contudo, ser hábil nos conteúdos 
e procedimentos aritméticos não é suficiente para que os alunos da 
educação básica desenvolvam habilidades específicas do raciocínio 
geométrico. Nem mesmo colabora para a formação integral, pois, 
partindo de uma situação-exemplo em que poderiam ser questionados 
sobre quantos triângulos podem-se visualizar numa imagem tal como 
a que se encontra ao lado (Figura 3), os alunos poderão enfrentar 
desafios referentes ao fato de não terem sido apresentados números 
e nem medidas, exatamente pelo fato de a análise da imagem e uma 
possibilidade de devolutiva à questão dentro de um contexto situado 
exigir o estabelecimento de relações entre as imagens e um raciocínio 
visual que apresenta diferenças em relação ao aritmético, o que envolve 
também uma percepção específica, que evoque conceitos, elementos, 
características e a linguagem geométrica como fatores relevantes para o 
desenvolvimento desse tipo de pensamento, a saber, geométrico.
Em relação ao pensamento funcional, também necessário para 
analisar a imagem acima e dar uma devolutiva à questão feita, além 
da disposição e da apresentação das formas nela presentes, podem 
desempenhar o papel de apoio para a compreensão da situação, com 
certo grau de complexidade. Ao levar em conta a necessidade dos 
conhecimentos geométricos que permitam aos alunos reconhecer, 
identificar e descrever um determinado triângulo e triângulos em geral, 
além da habilidade de estabelecer relações entre polígonos e polígonos 
dessa classe. Essas possibilidades levam a concluir que a relação entre 
a álgebra e a geometria é um caminho possível para potencializar tanto 
o pensamento algébrico quanto o geométrico e de forma relacionada, 
consoante à visão da integralidade.
Considerando o caso do ensino dos elementos e das características 
poligonais como um exemplo, é possível construir e descrever aquelas 
mesmas figuras no plano cartesiano, definindo pontos, segmentos de reta 
2222 
e planos, a fim de que os alunos compreendam e distingam, inclusive, 
aspectos de figuras bi e tridimensionais, de modo a associarem aqueles 
elementos a eixos, direção, plano, sentido, por meio de coordenadas.
A relação entre padrões e regularidades também pode ser expressão 
do ensino de geometria interligado a outras áreas da matemática. Na 
relação com o pensamento algébrico, possibilitam o desenvolvimento 
dos aspectos de formalização e generalização e que podem ser 
observados em repetições cujas organizações são apresentadas como 
aspectos regulares organizados no espaço. Essas repetições organizadas 
espacialmente podem ser manipuladas e guiadas sintaticamente em 
relação à geometria e em relação à álgebra e podem ser expressadas 
tanto aritmeticamente quanto por meio de relações, e com o uso de uma 
linguagem específica que expresse essas relações de forma generalizada.
Branco (2008), fundamentada no trabalho de Zazkis e Liljedahl (2008), 
explicita a existência de padrões cíclicos que se apresentam em 
sequências de sons, sequências de formas, sequências de números e que 
podem ser traduzidos de uma situação para outra, permitindo verificar 
como essas repetições são formadas. Os últimos autores mostram um 
percurso de ensino em que crianças, mesmo muito pequenas, desde 
a educação infantil e ao longo do ensino fundamental, identificam a 
reapresentação de uma determinada unidade sequencial de elementos 
em padrões diversos, sendo essa repetição visível em um comprimento 
n. No caso, apresentam situações de ensino mostrando que no processo 
de desenvolvimento do pensamento geométrico apoiado no algébrico 
(vice-versa) pode-se conduzir um processo investigativo em que se pode 
questionar se é possível determinar o elemento conseguinte a partir do 
comprimento dado inicialmente, pelo que os alunos poderão observar 
uma igualdade entre cada elemento constituinte dos padrões e seus 
primeiros elementos, ou, ainda, entre cada elemento do padrão e o 
elemento numa posição anterior ao padrão dado. Essa situação permite 
a continuidade da sequência do padrão oferecido, pela percepção da 
unidade que se repete, a fim de determinar ordens dos elementos e 
2323 23
buscar regularidades, terminando por estabelecer generalizações, o que é 
progressivamente desenvolvido ao longo da educação básica e de forma 
apropriada em cada um de seus ciclos.
Paulus Gerdes é um teórico que realizou diversos estudos étnicos 
relevantes para a história da educação matemática. A partir da 
observação da prática sociocultural de cestarias em diferentes 
culturas de povos africanos, tais como em Moçambique, observou 
exaustivamente a produção de padrões e como se relacionavam às 
linguagens numérica, geométrica e algébrica, além de produzir análises 
diversas e categorias inovadoras de cálculos superiores. Verificou num 
contexto específico que através do entrelaçamento de tiras na produção 
de cestarias de diferentes culturas africanas, padrões são criados, sendo 
as figuras abaixo uma ilustração dessas práticas:
Figuras 4 e 5 – Ilustração do entrelaçamento de tiras, uma prática 
realizada por diversas culturas de povos africanos
 4 5
Fonte: GUERDES, 2012, p. 65.
Guerdes explicita em seus estudos que há a possibilidade de uma forte 
relação entre os contextos sociocultural e educacional, bem como de 
reconhecimento dos conhecimentos geométricos presentes nas práticas 
de cestarias, sendo possível a relação com o conhecimento algébrico. 
A mudança dos ângulos das dobras das tiras, por exemplo, é uma das 
problematizações empreendidas pelo pesquisador, que mostra que 
podem produzir diferentes dobragens, do mesmo modo que imagens 
e padrões distintos criados pelo efeito da variação angular sobre as 
tiras que compõem as cestas, o que poderá ser analisado a partir 
da quantidade de triângulos necessários para construir cada tipo de 
padrão, A e B, por exemplo. 
2424 
Problematizar a continuação das dobragens, quais seriam as próximas 
sequências, as posições ocupadas pelos triângulos ou determinar um 
elemento seguinte específico buscando uma regra que determina a 
sequência são relações que permitem ao aluno: (a) a identificação 
do reconhecimento da regularidade; (b) estabelecer relações entre 
a posição do elemento na sequência e a sua forma; (c) verificação 
do estabelecimento de uma correspondência entre as ordens e 
as figuras presentes no padrão; (d) a identificação do método de 
generalização para determinar elementos da sequência que não 
podem ser visualizados nas imagens e, por fim, (e) a identificação 
de um procedimento de generalização para a regra de formação da 
sequência (BRANCO, 2008). Pelo que se tornam competentes em utilizar 
modelos matemáticos para produzir representações que expressam 
compreensões sobre relações e variações quantitativas e qualitativas 
que vêm a ser os aspectos da alternância (variação de um conjunto 
ou como relação entre termos sucessivos dentro do próprio padrão 
fornecido) presente nos padrões com repetições, componente de 
progressões geométrica ou aritmética) e componente do aspecto 
simétrico do padrão, ou, ainda, o aspecto linear, nos casos expressos poran+b, por exemplo, em que se apresenta o estabelecimento de relações 
e de representação por meio de expressões. Esses aspectos mostram 
que a álgebra pode ter como procedimento de desenvolvimento desse 
tipo de raciocínio a exploração e transformação de padrões como 
ponto gerador de uso e da compreensão da sintaxe algébrica, o que 
pode ocorrer em situações de aprendizagens em que os alunos sejam 
incitados a produzir relações funcionais entre os padrões observados 
e as suas ordens, o que seria outro aspecto da ampliação e do 
aprofundamento relativos aos pensamentos geométrico e algébrico.
PARA SABER MAIS
Com o objetivo de aprofundar os estudos em relação à 
mobilização de conceitos matemáticos tomando diferentes 
práticas socioculturais como ponto de partida e unidades de 
2525 25
problematização em contextos de aprendizagem, a leitura 
da obra Etnomatemática: cultura, matemática, educação, de 
Paulus Gerdes, é indicada. Para acessar a obra, consulte as 
referências bibliográficas desta Leitura Fundamental.
4. Considerações finais
• Ao longo do percurso realizado nesta Leitura Fundamental, foi 
possível ter contato com discussões normativas, investigações 
e contribuições teóricas que apontam para a necessidade 
de atenção para os processos de ensino e condições de 
aprendizagem atuais da geometria. 
• Abordar o estatuto do ensino da geometria na educação infantil, 
no ensino fundamental e na mudança que caracteriza a passagem 
de um nível a outro de modo inter-relacionado e significativo, 
reflexões sobre a necessidade de estratégias para potencializar 
o desenvolvimento do pensamento geométrico sem deixar de 
abordar a temática do ensino de polígonos para fundamentação 
do desenvolvimento desse tipo de pensamento e do algébrico 
levou a refletir sobre estratégias para o ensino da geometria.
TEORIA EM PRÁTICA
Imagine que você trabalha em uma rede de ensino (privada, 
filantrópica ou pública) e se deparou com um convite 
feito pelo órgão responsável de supervisão e de gestão 
educacional dessa rede, solicitando uma ação formativa 
a um grupo de professores de matemática que trabalha 
com crianças de 4 a 12 anos de idade na educação formal. 
Dado seu aceite para ministrar a formação e passado o 
contexto de dificuldades de aprendizagem e para o ensino 
2626 
de geometria e de álgebra, planeje uma formação para este 
público-alvo docente.
Para seu planejamento, retome à seção 2.3 da presente 
Leitura Fundamental, considerando a necessidade de 
problematizar situações de sala de aula e da prática 
cotidiana escolar que contemple os questionamentos 
apresentados naquela sessão: como esta situação poderia 
ser problematizada do ponto de vista geométrico? 
Como seria abordada considerando os conhecimentos 
docentes de diferentes naturezas, a partir da perspectiva 
da organização de uma prática de ensino específica? 
Bons estudos!
VERIFICAÇÃO DE LEITURA
1. Por qual razão, dentre as listadas abaixo, a discussão 
sobre o ensino da geometria é uma ação educacional 
necessária na atualidade? Assinale a alternativa que 
aponta uma razão válida e real apontada pelos estudos 
da história da educação matemática.
a. Existem alguns aspectos da história da educação 
matemática que explicitam o lugar maior e 
privilegiado que era atribuído à geometria desde as 
primeiras organizações escolares brasileiras.
b. Estudos históricos mostram que práticas de ensino 
que enfatizavam fortemente a abordagem da 
geometria ao longo de todo o período letivo e que 
abordavam a álgebra apenas quando houvesse 
tempo disponível pertencem a um passado não muito 
distante da atualidade.
2727 27
c. Os questionamentos sobre qual o lugar da geometria 
nos currículos escolares, seus objetivos, as funções 
na relação de integração, interdependência é uma 
discussão desnecessária, tendo em vista a elevação 
dos índices de aprendizagem nos últimos 20 anos.
d. Existem alguns aspectos da história da educação 
matemática que explicitam o lugar indiferente 
atribuído à geometria nos currículos escolares, 
sendo este domínio menos importante para a 
formação cidadã.
e. Há aspectos da história da educação matemática 
que apontam para o lugar menor que era atribuído à 
geometria dentro das áreas da matemática abordadas 
nos contextos tanto curricular quanto escolar.
2. Assinale a alternativa que apresenta as ações 
fundamentais que o pensamento geométrico envolve, 
considerando a necessidade de desenvolvimentos 
impreteríveis dessas ações para potencializar o 
desenvolvimento do pensamento geométrico no 
percurso da educação básica.
a. Observação, percepção, classificação, construção e 
orientação espacial.
b. Síntese, análise, ordem, classes e orientações espacial.
c. Observação, classificação, ordem, seriação e 
orientação espacial.
d. Quantificação, visualização, cálculo mental e 
classificação. 
e. Observação, manipulação, construção, análise, 
argumentação e hipotetização.
2828 
3. Sobre a relação entre a etapa da educação infantil e a 
etapa do ensino fundamental na educação básica, é 
correto afirmar que:
a. É necessário que a educação infantil deixe de 
desenvolver fundamentos impreteríveis para 
o aumento da complexidade do pensamento 
geométrico, sendo esta função especificamente do 
ensino fundamental.
b. O ensino fundamental tem como objetivo romper com 
o desenvolvimento dos fundamentos impreteríveis 
para a diminuição da complexidade do pensamento.
c. A etapa da educação infantil tem a missão de iniciar 
o processo de desenvolvimento do pensamento 
geométrico, partindo das etapas de generalização, 
abstração e do uso da linguagem formal, com crianças 
de 4 a 5 anos, conforme normatiza a Base Nacional 
Comum Curricular.
d. A educação infantil tem como preocupação o 
desenvolvimento dos fundamentos impreteríveis 
para o aumento da complexidade do pensamento 
geométrico, que devem ser continuados ao longo do 
ensino fundamental, sob a perspectiva de retomada, 
ampliação e aprofundamento dos conceitos 
geométricos.
e. Pelo fato de as complexidades serem decrescentes, 
cada etapa da educação básica deverá preocupar-
se com seus objetivos específicos, sendo a transição 
de uma etapa a construções de percursos distintos e 
isolados na escolarização dos alunos, o que é natural 
ao ser humano.
2929 29
Referências bibliográficas
BRANCO, N. C. V. O estudo de padrões e regularidades no desenvolvimento do 
pensamento algébrico. 2008. 251 f. Dissertação (Mestrado). Lisboa: Universidade 
de Lisboa – Faculdade de Ciência – Departamento de educação – Área de 
Especialização em Didática da Matemática, 2008.
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: 
Matemática. Brasília, DF: MEC/SEF, 1997.
. Secretaria de Educação Fundamental. Referenciais Curriculares Nacionais 
de Educação Infantil. v. 3. Brasília, DF: MEC/SEF, 1998.
. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília: 
Secretaria de Educação Básica, 2017.
CARVALHO, H. A. F. de. Aprendendo a ensinar Geometria nos anos iniciais do 
ensino fundamental: um estudo com alunos de pedagogia do curso de uma 
universidade federal mineira. 2017. 192 f. Dissertação (Mestrado Profissional) 
– Departamento de Matemática, Universidade de Ciências Exatas e Biológicas, 
Universidade Federal de Ouro Preto, Ouro Preto, 2017.
DOBRÁNSZKY, E. A.; MONTEIRO, A. (Org.) Cotidiano escolar: questões de leitura, 
matemática e aprendizagem. Petrópolis: Vozes; Bragança Paulista: USF, 2002.
FIGUEIRA, C. et. al. Visualização e a geometria nos primeiros anos. Programa de 
Formação Contínua para Professores de 1° e 2° ciclos. São Paulo: IME-USP, 2007. 
FONSECA, M. C. F. R. et al. O ensino de Geometria na Escola Fundamental: 
três questões para a formação do professor dos ciclos iniciais. Belo Horizonte: 
Autêntica, 2002.
GERDES, P. Etnomatemática: cultura, matemática, educação. Moçambique: 
Lulu, 2012. Disponível em: http://www.etnomatematica.org/BOOKS_
Gerdes/etnomatem%C3%A1tica___cultura__matem%C3%A1tica__
educa%C3%A7%C3%A3o___colect%C3%A2nea_de_textos_1979_1991___ebook_.pdf.Acesso em: 15 fev. 2019.
JESUS, A. G. A motivação de aprender matemática no 9° ano do ensino 
fundamental: um estudo do potencial dos materiais manipulativos e da construção 
de objetos na aprendizagem de área de polígonos e volume de prismas. 2011. 314 f. 
Dissertação (Mestrado Profissional em Educação Matemática) – Instituto de Ciências 
Exatas e Biológicas (ICEB), Universidade Federal de Ouro Preto: UFOP, 2011.
KALLEFF, A. M. M.R. Vendo e entendendo poliedros: do desenho ao cálculo do 
volume através de quebra-cabeças e outros materiais concretos. Rio de Janeiro: 
EdUFF, 1998.
LORENZATO, S. Por que não ensinar geometria? Educação Matemática em Revista, 
Recife, v. 3, n. 4, p. 3-13, 1995. Disponível em: http://professoresdematematica.com.
br/wa_files/0_20POR_20QUE_20NAO_20ENSINAR_20GEOMETRIA.pdf. 
Acesso em: 15 fev. 2019.
http://www.etnomatematica.org/BOOKS_Gerdes/etnomatem%C3%A1tica___cultura__matem%C3%A1tica__educa%C3%A7%C3%A3o___colect%C3%A2nea_de_textos_1979_1991___ebook_.pdf
http://www.etnomatematica.org/BOOKS_Gerdes/etnomatem%C3%A1tica___cultura__matem%C3%A1tica__educa%C3%A7%C3%A3o___colect%C3%A2nea_de_textos_1979_1991___ebook_.pdf
http://www.etnomatematica.org/BOOKS_Gerdes/etnomatem%C3%A1tica___cultura__matem%C3%A1tica__educa%C3%A7%C3%A3o___colect%C3%A2nea_de_textos_1979_1991___ebook_.pdf
3030 
. Os “porquês” matemáticos dos alunos e as respostas dos professores, Pro-
posições, Campinas: Faculdade de Educação da Unicamp, v. 10, 1993.
. Para aprender matemática. São Paulo: Autores Associados, 2006. 
. Aprender e ensinar geometria. São Paulo: Mercado das Letras, 2015.
LORENZATO, S., VILA, M. C. Século XXI: qual matemática é recomendável? Zetetiké, 
Campinas: Unicamp, 1993.
MACHADO, N. J. Epistemologia e didática: a alegoria como norma e o 
conhecimento como rede. Tese (Livre Docência) – Faculdade de Educação da 
Universidade de São Paulo, São Paulo, 1994.
MIGUEL, A.; MIORIM, M. A. O ensino de matemática no primeiro grau. São Paulo: 
Atual, 1986.
MULLER, M. C.; LORENZATO, S. Geometria nos anos iniciais: sobre os conceitos de 
área e perímetro. In: Conferência Interamericana de Educação Matemática, 14, 
2015, Chiapas/México. Anais... Chiapas, México, 2015.
NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS OF MATHEMATICS. Principles and standards 
for school mathematics. Reston, Virgínia: National Council of Teachers of 
Mathematics, 2000.
ORTON, A.; ORTON, J. Pattern and Approach to Algebra. In: Orton, A. Pattern in 
teaching and Learning of Mathematics. London: Cassell, 1999. p.104-124.
SANTOS, A. O. dos; OLIVEIRA, G. S. de; GHELLI, K. G. M. Prática pedagógica de 
geometria na educação infantil. Cadernos da Fucamp, v. 16, n. 28, p. 95-108, 2017.
SMOLE. K. C. S. A matemática na educação infantil: a teoria das inteligências 
múltiplas na prática escolar. Porto Alegre: Artmed, 2000.
SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I.; CÂNDIDO, P. Figuras e formas. Porto Alegre: 
Artmed, 2003.
ZAZKIS, R., & LILJEDAHL, P. Generalization of patterns: the tension between algebraic 
thinking and algebraic notation. Educational Studies in Mathematics, vol.49, n.3 
p. 379-402, 2002.
Gabarito
Questão 1 – Resposta E
Existem alguns aspectos da história da educação matemática que 
explicitam o lugar menor que era atribuído à geometria dentro das 
áreas da matemática abordadas nos contextos tanto curricular 
quanto escolar. Estudos históricos mostram que práticas de ensino 
3131 31
que enfatizavam fortemente a abordagem da aritmética ao longo 
de todo o período letivo e que abordavam a geometria apenas 
quando houvesse tempo disponível pertencem a um passado não 
muito distante da atualidade. Portanto, questionar qual o lugar da 
geometria nos currículos escolares, seus objetivos, as funções na 
relação de integração, interdependência e continuidade entre as 
diferentes áreas da matemática e etapas da educação básica e para 
a formação humana e cidadã.
Questão 2 – Resposta A
O pensamento geométrico envolve ações fundamentais que 
abrangem a percepção em geral, sejam elas a observação, a 
percepção e a construção representativa relacionadas às figuras 
geométricas, à dimensão, à direção, ao sentido, à localização, à 
movimentação no espaço. Essas noções necessitam ser abordadas 
nas primeiras experiências da educação básica, problematizando a 
dimensão espacial e sua ocupação por objetos, sendo necessário 
classificar a partir de critérios criados e estabelecidos e identificar, 
nomear, descrever, conhecer e compreender as principais 
propriedades desses corpos, o que requer a observação do mundo 
em que se vive, distinguindo as características atribuídas a cada uma 
das figuras e como se relacionam com aspectos do entorno dos 
contextos de vida, atribuindo-lhes significados de diferentes ordens.
Questão 3 – Resposta D
É necessário que a educação infantil desenvolva fundamentos 
impreteríveis para o aumento da complexidade do pensamento 
geométrico e que o ensino fundamental não rompa com o 
desenvolvimento anterior dessas complexidades, porém as retome, 
integre e dê continuidade guardando a importância de relacioná-
las aos demais conhecimentos em veiculação e aos objetivos de 
cada etapa educacional específica. O caminho da educação infantil 
em direção ao ensino fundamental conta com que o aluno realize 
percursos de continuidades de sua escolarização.
323232 
Princípio fundamental da 
contagem no Ensino Fundamental
Autora: Francis Roberta de Jesus
Objetivos
• Conhecer o papel do princípio fundamental da 
contagem para o desenvolvimento do pensamento 
numérico e raciocínio lógico-matemático ao longo da 
educação básica.
• Compreender a importância de abordagens didático-
metodológicas para a promoção e identificação, 
caracterização, compreensão e generalização de 
fenômenos multiplicativos.
• Compreender a necessidade do estabelecimento de 
relações entre o princípio fundamental da contagem 
com fundamento para o desenvolvimento de 
habilidades necessárias ao longo do ensino médio.
3333 33
1. Contextualização
O tema central da presente Leitura Fundamental é de extrema 
importância para o alcance dos objetivos gerais de matemática para 
a educação básica, sobretudo do desenvolvimento da competência 
numérica. Essa competência está relacionada à formação, por meio 
da qual os alunos sejam capazes de realizar observações sistemáticas 
a ponto de questionar, buscar percursos e soluções, representar, 
comunicar informações referentes a aspectos quantitativos e 
qualitativos de/em diferentes contextos de práticas socioculturalmente 
estabelecidas. Um exemplo seria a solução de problemas de contagem, 
sendo o aluno capaz de apresentar de quantas maneiras diferentes se 
podem contar elementos de coleções diferentes, como contar essas 
coleções quando se apresentam restrições à situação apresentada e a 
comparação entre as contagens realizadas em ambos os casos, sendo 
possível a aplicação do Princípio Fundamental da Contagem como 
recurso, pelo que podem lançar mão de uma ferramenta matemática 
para modelar as situações distintas.
Compreendendo essas necessidades como um processo que pode 
ser contemplado em meio às funções educativas, conhecer o papel 
do Princípio Fundamental da Contagem no desenvolvimento da 
competência numérica e abordagem deste tema para a produção 
argumentativa em relação a diferentes fenômenos e problemas são 
fundamentais para o desenvolvimento de uma formação diversa e que 
problematize múltiplos contextos. Discussões sobre esses aspectos 
serão apresentadas adiante.
2. Princípio fundamental da contagem
O princípio fundamental da contagem (PFC) pode ser compreendido 
como um recurso para realizar contagem, de grande importância para 
o desenvolvimento da competência numérica de crianças, adolescentes 
3434 
e adultos, e influenciará suas capacidades de compreensão aritmética 
a procederem à resolução de problemas que envolvam as diferentes 
áreas da matemática. Dificuldades relativas à contagem poderão 
repercutir em dificuldades relativas aos diversos tipos de pensamento 
matemático,bem como lógico. A contagem estabelece a necessidade de 
compreensão dos seguintes aspectos:
• a noção de ordem;
• a noção de equivalência;
• diferentes sequências numéricas;
• diferentes modos de quantificar atributos;
• interpretação de argumentos fundamentados em quantidades;
• estimativas;
• cardinalidade;
• ordinalidade;
• contagem um a um;
• agrupamentos e comparações;
• cálculo mental;
• compreensão do funcionamento e manipulação de propriedades 
do sistema decimal de numeração (posicionalidade, composição, 
decomposição, ordens, classes, base decimal, potência, múltiplos, 
leitura e diferentes representações numéricas).
Ao longo do processo de compreensão desses princípios, os alunos 
desenvolverão capacidade cada vez mais abstrata de contagem, 
analisando, por exemplo, situações em que a ordem é determinante 
(situações de ordem estável) para a contagem e quando se faz 
irrelevante indicação de quantidades, indicação de ordem, organização 
de informações e identificação em diferentes situações cotidianas, ou, 
3535 35
ainda, situações matemáticas e cotidianas em que a contagem se faz 
necessária para compreender e atuar naquele determinado contexto. 
Para tanto, as noções relativas ao pensamento numérico, incluindo 
práticas de contagem, requerem uma noção aprofundada diante de 
tarefas que envolvam contagens simples, medições, combinações de 
elementos de conjuntos distintos, de problemas geométricos, de forma 
que reconheçam diferentes usos dos números com apoio das possíveis 
relações de contagem.
Diante dessas tarefas, os alunos deverão reconhecer qual tipo de 
contagem é necessária e como organizá-la, sendo os procedimentos 
combinatórios uma dessas possibilidades, a fim de determinar as 
combinações possíveis dentro da situação que estabelece uma referida 
tarefa e as quantidades de combinações possíveis ao contexto, 
respeitando os critérios que se apresentem logicamente como 
necessários. Um desses critérios é a análise da situação proposta 
de modo a verificar o tipo de relevância da ordem, as etapas, os 
agrupamentos ou fatos apresentados pela situação e modos de 
combiná-los, caso a relação de contagem necessária seja a de análise 
de possibilidades. Por exemplo: uma situação que envolve dois 
fatos que indicam que uma atividade possa ser realizada de a e b 
maneiras distintas, cuja combinação implicará a x b como o total de 
maneiras distintas de realização dessa tarefa. Indicando o produto 
entre as quantidades de elementos dos conjuntos a e b e a x b o total 
das combinações possíveis, ou seja, o produto entre os dois fatores 
independentes que caracterizaram a situação apresentada.
Assim, é possível afirmar que o PFC está relacionado a situações que 
envolvam possibilidades de um evento determinado ocorrer e que 
podem ser organizados de formas diferentes, de modos (pessoas numa 
fila, objetos em recipientes, categorias distintas), combinações (peças de 
roupas, sabores de sorvete, placas de automóveis, modelos de produtos, 
etc.). Sendo a estrutura elementar para atividades de combinações em 
que se tornam impreteríveis a análise e o desenvolvimento de técnicas 
de contagem e de organização das mesmas.
3636 
O PFC está encarregado de estudar habilidades de contagem, sempre 
contextualizadas, em uma situação de escolha ou de combinação. 
Considerando a seguinte situação: três amigos moram num mesmo 
bairro, sendo suas casas próximas. O amigo A deseja ir à casa de C, sendo 
que a casa de B se encontra entre as outras duas. Sabendo que não existe 
acesso direto e que existem três ruas diferentes que ligam diretamente a 
casa de A à casa de B e duas ruas que ligam a casa deste último à de C, de 
quantas maneiras diferentes é possível que A cumpra seu objetivo?
Figura 6 – Visualização de percurso
 Fonte: Elaborada pela autora.
Um modo de comumente utilizado para organizar a descrição dessas 
possibilidades é pela construção de Árvores de Possibilidades ou 
Diagrama de Possibilidades, como o exemplo seguinte:
Figura 7 – Esquema representativo de percurso
A
B
B
B
C
C
C
C
C
C
m
n
o
1
1
1
2
2
2
(m, 1)
(m, 2)
(n, 1)
(n, 2)
(o, 1)
(o, 2)
Fonte: Elaborado pela autora.
3737 37
As relações (m, 1), (m, 2), (n, 1), (n, 2), (o, 1) expressam as possibilidades de 
tomada de decisão sobre o caminho a seguir em dois momentos distintos: 
de A para B e de B para C. A organização das etapas mostra o princípio 
que as relaciona entre si ao considerar dois eventos diferentes, sendo 
que o primeiro evento pode ser realizado de três maneiras diferentes, 
e o segundo, de duas maneiras diferentes, a saber, com o princípio 
multiplicativo. Esse princípio relaciona parte da relação entre conjuntos de 
possibilidades constituídos por elementos finitos. No diagrama acima, é 
possível enumerar os elementos combinados em cada etapa; entretanto, 
o princípio multiplicativo permite realizar a contagem das possibilidades 
sem que haja necessidade de enumeração de cada elemento, compondo, 
assim, um recurso de facilitação da contagem. Solução semelhante 
poderia ter sido organizada por meio do recurso de uma tabela de dupla 
entrada, expressando que o evento apresenta dois estágios, sendo que na 
primeira existem m possibilidades e para cada uma delas, n possibilidades 
que compõem a segunda etapa, resultando na relação m x n maneiras 
distintas de o evento acontecer. E naquele caso, indica também adição de 
parcelas iguais e uma organização espacial que pode ser representada de 
forma retangular.
Assim, o PFC se refere ao princípio multiplicativo, à regra do produto, 
ao princípio combinatório indicador de quantas formas diferentes um 
evento pode acontecer, uma vez formado por estágios independentes 
e sucessivos. O PFC pode ser utilizado como recurso de resolução de 
problemas relacionados a contagem e problemas de tipo combinatório. 
Resolver problemas desse tipo é importante desde os anos iniciais da 
educação básica, pois exerce papel fundamental no desenvolvimento 
do raciocínio matemático, tendo em vista fazer parte da matemática 
discreta, uma área que mobiliza a necessidade de preocupação com 
modos de ensino que analisem conhecimentos prévios e comuns dos 
alunos, suas estratégias próprias de resolução de problemas.
O foco curricular da retomada do PFC ao longo de toda a educação básica 
aponta para a análise dos conhecimentos docentes sobre os usos desse 
recurso como estratégia de resolução de problemas de contagem e de 
3838 
situações combinatórias. Também sinaliza o conhecimento comum que 
o docente apresenta sobre o princípio, o conhecimento especializado 
que deve apresentar sobre o assunto e as relações necessária entre o 
princípio multiplicativo e as práticas de ensino, como também entre o 
conhecimento matemático e os currículos instituídos. É necessário ao 
professor compreender que o desenvolvimento dos conhecimentos, tanto 
docentes quanto discentes, partindo de problemas simples, tais como o 
dos caminhos, possibilita o alcance da condição superior em relação à 
complexidade, ao nível de abstração e à formalidade no ensino médio, 
que caracterizarão o campo da combinatória.
ASSIMILE
O trabalho com o PFC ao longo da educação básica deve 
ter os processos de generalizações que se apresentam 
nas etapas finais da educação, pois possibilitarão o 
reconhecimento da natureza multiplicativa de problemas de 
contagem e de combinatória. Isso facilitará a compreensão 
de situações em que PFC é válido como estratégia de 
solução, pois é uma estratégia de resolução de problemas e 
a base de fórmulas utilizadas no estudo de combinatória, e 
serve de base para a construção de procedimentos formais 
da análise combinatória por ser um princípio implícito na 
resolução dos problemas desse campo matemático.
3. PFC e análise combinatória
É necessário que as relações entre o PFC e outros tópicos diversos da 
matemática sejam estabelecidas de modo fundante ao longo de toda 
a educação básica. Ao longo de todo o ensino fundamental, os alunos 
deverãoaprofundar gradativamente a noção de número, pelo que é 
importante se depararem com tarefas como a resolução de problemas 
3939 39
de contagem simples, tal qual o exemplo apresentado na seção 2 e 
como o estabelecimento do número de agrupamentos possíveis quando 
cada elemento de uma coleção é combinado com todos os elementos de 
outra, utilizando estratégias e formas de registros pessoais e analisando 
quando essas estratégias se tornam insuficientes para cada situação. 
Ao longo do curso da escolarização, os alunos deverão se tornar capazes 
de resolver e elaborar aqueles tipos de problemas usando estratégias 
informais e depois convencionais de registros e de organização 
dos dados da situação, compreendendo quais estratégias são mais 
apropriadas para cada tipo de problema: desenhos, agrupamentos, 
listagens, operações aritméticas, esquemas, tabelas simples, tabelas de 
dupla entrada, diagramas, etc.
Os tipos de problemas também têm seus níveis de complexidade, 
aumentado em relação às condições para ocorrência dos eventos 
apresentados pelas situações-problemas, em relação à estratégia 
organizativa mais conveniente e em relação a como aplicar o princípio 
multiplicativo. É necessário também que aprenda a identificar o tipo 
específico de problema com que está se deparando, ou, ainda, que 
deverá investigar/problematizar. Os tipos principais de problemas 
combinatórios são propriamente os de combinação, arranjo, 
permutação – geralmente abordado ao longo do ensino médio – e os 
problemas de produto cartesiano – mais comumente abordados nos 
anos iniciais do ensino fundamental. Nos casos dos dois últimos tipos 
citados, estão em consonância as etapas de ensino cuja abordagem 
os últimos documentos curriculares brasileiros (BRASIL, 2018) indicam 
enfoque de modo mais alinhado aos conselhos internacionais de 
discussões do currículo de matemática para a educação básica.
Ainda no ensino fundamental, o princípio multiplicativo está relacionado 
a problemas que solicitam análises de chances de ocorrência de 
eventos aleatórios, cálculos de probabilidade de eventos equiprováveis, 
cálculo de probabilidade como a razão entre o número de resultados 
4040 
favoráveis e o total de resultados possíveis em um espaço amostral, 
cálculos de probabilidades por meio de repetições de um experimento 
e de cálculos de frequências de ocorrências de um determinado 
evento (BRASIL, 2018). Portanto, aparece relacionado à combinatória 
e à probabilidade. Isso mostra que o PFC é fundamento para a etapa 
do ensino médio, em que aparece de forma centralizada na análise 
e cálculos das probabilidades de eventos aleatórios. Esses eventos 
podem ser dependentes ou independentes na elaboração e resolução 
de problemas de contagem que envolvam agrupamentos ordenáveis 
ou não de elementos. O que envolve a análise da necessidade de 
usos específicos de estratégias de solução matemática por meio dos 
princípios multiplicativo e aditivo na identificação e na descrição de 
espaços amostrais de eventos aleatórios, realizando contagem das 
possibilidades e cálculos de probabilidades de ocorrências aleatórias 
sucessivas (BRASIL, 2018).
Assim, as situações-problemas não são específicas do trabalho 
combinatório e de contagem para o ensino fundamental e as fórmulas 
de introduções diretas e específicas para o trabalho do ensino médio. 
Porém, a partir de situações ofertadas em todas as etapas educativas, 
com aumento das classes e de ordens numéricas envolvidas, de 
modo relacionado a eventos, experimentos e contextos significativos, 
possibilitando o uso de estratégias diversas. Assim o pensamento 
combinatório é composto de modo diferente da aplicação sucessiva de 
fórmulas, as quais devem assumir o papel de resultados do processo de 
desenvolvimento desse tipo de pensamento, com o objetivo de tornar 
os cálculos mais rápidos e simplificá-los. Desse modo, a diversificação 
das estratégias de solução de situações combinatórias passa a ser uma 
dimensão importante de resistência ao ensino tradicional, que não 
requer reflexão, análise, criatividade nem mesmo criticidade.
Considerando que a complexidade e a superioridade do pensamento 
combinatório são gradativas, o PFC constitui uma estratégia-chave para 
o ensino de combinatória e para a compreensão de situações desse 
4141 41
campo, desde que abordado a partir das estratégias informais, servindo 
de base para a construção de um percurso crescente de formalização. 
Isso, pois, mediante a abordagem de conteúdos relacionados à 
combinatória, os alunos podem desenvolver estratégias diversas de 
resolução e compreender a natureza multiplicativa. Em relação àqueles 
tipos de problemas anteriormente citados, Lima (2015, p. 20-21) afirma 
que permitem aos alunos desenvolver, ao longo de toda a educação 
básica, capacidades relativas à quantificação de conjuntos de situações 
ou de objetos que fazem parte de um determinado conjunto, a partir 
de estratégias ou do uso de fórmulas específicas, com o objetivo de 
conhecer quantos eventos ou quantos elementos são possíveis ou 
prováveis de ocorrência numa dada situação. Acrescenta ainda que cada 
condição estabelecedora do tipo de problema combinatório indica uma 
forma específica de estratégia de organização dos dados e do raciocínio 
combinatório empreendido para analisar e solucionar a questão.
Assim, a relação entre o PFC e a análise combinatória está no fato 
de aquele constituir um recurso que pode ser aplicado a diferentes 
situações combinatórias, servindo de apoio para a construção de 
procedimentos e compreensões mais formais daquele campo de 
conhecimento, entendido como “um princípio implícito na resolução 
de todos os tipos de problemas combinatórios” (LIMA, 2015, p. 26). A 
partir desse modo de compreender o PFC, é possível entendê-lo como 
um fundamento das fórmulas empregadas em análise combinatória no 
ensino médio.
Como principais tipos de problemas combinatórios que fornecem base 
sólida para o desenvolvimento da análise combinatória, Lima (2015) 
apresenta os problemas de produto cartesiano, problemas de arranjo 
(condicionais ou não), problemas de permutação e os problemas 
de combinação (condicionais ou não). Nos casos de problemas que 
apresentam o aspecto da condicionalidade, o PFC é combinado com 
o princípio aditivo, como no caso da seguinte situação: “se A e B são 
dois conjuntos disjuntos, com p e q elementos, respectivamente, então 
A U B possui p + q elementos” (MORGADO et al., 1991 apud LIMA, 
4242 
2015, p. 26). Situação esta em que o princípio aditivo se apresenta 
como mais uma estratégia para solução de problemas de contagem e, 
mais especificamente, combinatórios, os quais estão necessariamente 
relacionados à aplicação do princípio multiplicativo.
Aqueles problemas devem ser analisados considerando a aplicação do 
PFC para combinações e possibilidades se:
• existem condições de escolha na situação-problema apresentada;
• no caso de as condições de escolha serem confirmadas, torná-las 
explícitas;
• classificar as condições apresentadas em condições de 
posicionamento dos elementos dos conjuntos envolvidos e que 
deverão ser relacionados pelas combinações solicitadas.
Em todas essas condições e situações combinatórias, o PFC se 
apresenta como um recurso para a análise das estruturas das relações 
discretas, a fim de demonstrar a existência de subconjuntos não vazios 
de conjuntos cujos elementos dados são finitos e satisfazem certas 
condições e para a classificação ou para a contagem de subconjuntos 
de um conjunto finito ao satisfazerem condições estabelecidas. 
Assim, permite quantificar subconjuntos ou conjuntos de situações 
ou de elementos selecionados a partir de determinadas estratégias, 
que podem, em grau mais elevado de abstração, ser comunicadas 
e argumentadas por meio de determinadas fórmulas. Alguns dos 
agrupamentos possíveis de elementos e de conjuntos podem 
ser simples, circulares (com repetições), ou, ainda, condicionais, 
reunindo uma série de procedimentosque possibilita a aproximação 
de elementos e construção de conteúdos conforme as condições 
dadas pela situação, que apresentam detalhes importantes sobre a 
regulamentação para agrupar os elementos ou os conjuntos dados. 
Essas regulamentações e diferentes tipos de situações combinatórias 
produzem agrupamentos e são objetos de ensino e de aprendizagem ao 
longo dos ensinos fundamental e médio, sendo alguns de seus tipos os 
que seguem abaixo: 
4343 43
Tabela 2 – Tipos de relações combinatórias
Tipo de 
problema/ 
situação/ 
agrupamento 
combinatório
Breve descrição Exemplo de problema
Representação 
fazendo uso do PFC
Pr
od
ut
os
 c
ar
te
si
an
os
Constituem determinados 
a partir da escolha 
de elementos de 
diferentes conjuntos. 
Assim, considerando 
dois conjuntos, A e B, 
o produto cartesiano 
é caracterizado pela 
relação A x B, portanto, 
pelos pares ordenados 
organizados com um 
elemento de A (abcissa) 
e por um elemento 
de B (ordenada).
Joaquim foi à 
livraria comprar seu 
material escolar. 
Para montar seu 
kit, a livraria lhe 
ofereceu: 3 modelos 
de caderno, 4 
modelos de lápis, 8 
modelos de borracha 
e 2 modelos de 
caneta azul. De 
quantas formas 
diferentes Joaquim 
pode montar seu kit?
3 . 4 . 8 . 2
Quantidade de 
modelos possíveis 
(QMP) de cadernos 
X QMP de lápis X 
QMP de borracha X 
QMP de canetas.
Ar
ra
nj
os
 s
im
pl
es
Os elementos são 
escolhidos a partir de 
um conjunto único, 
porém nem todos os 
elementos constituem as 
possibilidades a serem 
enumeradas. Neste caso, 
a ordem dos elementos 
escolhidos indica 
possibilidades distintas. 
Assim, constitui um grupo 
formado com n elementos 
escolhidos de uma coleção 
com m elementos, de 
forma que os n elementos 
sejam distintos entre 
si. Podem ser simples 
ou com repetições e os 
elementos não são todos 
utilizados na escolha de 
cada possibilidade.
Na final do 
campeonato de judô, 
5 meninas estão 
disputando os 3 
primeiros lugares do 
torneio. De quantas 
formas diferentes 
podemos ter os três 
primeiros colocados?
5 . 4 .3
Quantidade de 
meninas que podem 
ocupar o 1º lugar 
X quantidade de 
meninas que podem 
ocupar o 2º lugar 
X quantidade de 
meninas que podem 
ocupar o 3º lugar.
4444 
Co
m
bi
na
çã
o 
si
m
pl
es
São escolhidos alguns 
elementos de um 
conjunto único e a ordem 
em que os elementos 
aparecem não indica 
possibilidades distintas.
Um técnico tem 
que escolher, 
dentre 12 atletas, 
5 para compor a 
equipe titular de um 
time de basquete. 
Qual o total de 
possibilidades que 
o técnico tem para 
montar sua equipe?
12 . 11 . 10 . 9 . 8
5 . 4 . 3 . 2 . 1
Quantidade de 
escolhas para o 1º 
atleta X quantidade 
de escolhas para o 2º 
atleta X quantidade 
de escolhas para o 3º 
atleta X quantidade 
de escolhas para o 4º 
atleta X quantidade 
de escolhas para o 5º 
atleta. Após, divide-
se pela permutação 
dos elementos 
repetidos, no caso 
dos 5 atletas.
Pe
rm
ut
aç
ão
 s
im
pl
es
Todos os elementos 
do conjunto dado são 
tomados em ordens 
distintas. Assim, 
constituem agrupamentos 
com todos os p elementos 
distintos entre si pela 
ordem. Constitui um 
caso particular dos 
arranjos em que todos os 
elementos do conjunto 
dado são utilizados.
De quantos modos 
distintos 5 pessoas 
podem se posicionar 
em um banco 
de 5 lugares?
5 . 4 . 3 . 2 . 1
Quantidade de 
pessoas que podem 
ocupar a 1ª posição 
X quantidade de 
pessoas que podem 
ocupar a 2ª posição 
X quantidade de 
pessoas que podem 
ocupar a 3ª posição 
X quantidade de 
pessoas que podem 
ocupar a 4ª posição 
X quantidade de 
pessoas que podem 
ocupar a 5ª posição.
Ar
ra
nj
o 
co
nd
ic
io
na
l
É um arranjo em que 
todos os elementos 
aparecem em cada 
grupo de n elementos, 
porém existe uma 
condição que deve ser 
satisfeita em relação 
a alguns elementos. 
Ana, Júlia, Marcos, 
Pedro e Laís estão 
participando de 
uma corrida. De 
quantos modos 
diferentes podemos 
ter os 3 primeiros 
colocados se Julia 
sempre chegar em 
primeiro lugar?
1 . 4. 3
1º lugar ocupado por 
Júlia X quantidade 
de participantes que 
podem ocupar o 2º 
lugar X quantidade 
de participantes 
que podem ocupar 
o 3º lugar.
Fontes: LIMA; BORBA, 2014, p. 2.694; LIMA, 2015, p. 28.
4545 45
Conforme as discussões até aqui explicitam e com as informações 
relacionadas na tabela acima, fica evidente que o PFC pode ser 
instrumento para:
• demonstrar a existência de subconjuntos de elementos de 
um conjunto não vazio e finito dado e que satisfaçam certas 
circunstâncias;
• classificar ou contar subconjuntos de um conjunto não vazio e 
finito que satisfaçam certas circunstâncias;
• resolver diferentes tipos de problemas combinatórios, podendo 
ser problemas simples, problemas condicionais e que apresentam 
diferentes quantidades de etapas de escolha;
• obter técnicas básicas e muito eficientes de contagem.
Os diferentes tipos de situações combinatórias acima exemplificados 
expressam soluções que tomam o PFC como estratégia de resolução de 
problemas de contagem, o que é diverso do fato de partir de definições 
diretas, ou, ainda, de fórmulas, tais como: para produtos cartesianos: 
A x B = {( x , y )/x є A e y є B}, para arranjos simples A (m,n) = m!
(m–n)!
 , 
para situações de permutações simples P (m) = m! e para combinações 
simples, C (m,n) = 
m!
(m–n)! n!
. Embora seja um dos objetivos abordar 
fórmulas de modo a elevar o nível de superioridade do raciocínio 
combinatório por meio de métodos tais como o dedutivo, é necessário 
que a introdução dessa linguagem e o alcance e veiculação desses 
níveis de abstrações sejam realizados nos momentos apropriados. E 
que estejam conforme os conhecimentos docentes sobre: o conteúdo 
a ser ensinado, a didática do ensino da matemática e também sobre 
a lógica que opera sobre o currículo ao designar as etapas mais 
elevadas a manipulação de fórmulas (BRASIL, 2018), sem deixar de 
lado o desenvolvimento, aproveitamento, a problematização de alguns 
aspectos de generalizações por meio do uso de estratégias pessoais e 
diferentes suportes para organizações das práticas de contagens.
4646 
Com isso é possível verificar que, além de constituir fundamento para o 
desenvolvimento do raciocínio combinatório e além de ser uma estratégia 
para solução de problemas de contagem e combinatórios de diferentes 
tipos, é tomado por alguns autores como uma regra para solução dessas 
categorias de situações-problemas, denominada regra do produto.
Assim ficam claras as necessidades de distinguir cada tipo de problema, 
abordá-los a partir de situações com significado e considerar a 
complexidade gradual em relação à etapa escolar em que se encontram 
os desafios de aprender e de ensinar números, contagem e análise 
combinatória, processos em que o PFC aparece como instrumento, 
também passível de compreensão e de ensino.
4. Estratégias para ensino do PFC
Algumas estratégias para práticas de ensino que favoreçam já foram 
apontadas nas seções anteriores deste material, tais como a garantia de 
procedimentos de formalização e de sistematização de forma gradual 
de acordo com o nível específico de ensino, a recomendação do ensino 
de números que proceda ao ensino da combinatória, que a resolução 
de problemas seja central na análise que culminará em diferentes 
graus de argumentação matemática e que os problemas de contagem 
sejam abordados de forma a envolver o princípio multiplicativo, 
sendo trabalhados a partir de diferentes técnicas, como o diagrama 
de possibilidades, tabelas e esquemas, do mesmo modo que os 
problemas que envolvam arranjos, permutações e combinações, sem e 
posteriormente com o uso de fórmulas, partir das estratégias informais 
dos alunos, tomando o PFC como um fundamento para o ensino de 
análise combinatória. 
Para tanto, é necessário que o professor tenha conhecimento sobre 
como abordar o PFC ao longo de cada etapa da educação básica, em 
distintas situações combinatórias e de como este é articulado em 
4747 47
cada uma delas. É preciso apresentar