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Universidade Federal de Sergipe 
Departamento de Engenharia Mecânica 
Disciplina: Mecânica dos Materiais 2017-2 
Prof. André Luiz Costa 
 
Lista de Exercícios para Prova 3 
 
 
Tensões e Planos Principais 
 
1. Para o estado de tensões indicado, determine: 
as tensões normais principais, os planos 
principais, a máxima tensão de cisalhamento no 
plano ab, a tensão de cisalhamento máxima, e 
faça um desenho do elemento de volume sujeito 
a essas tensões. 
a) x = -60 MPa, y = -40 MPa, xy = 35 MPa 
b) x = 16 MPa, y = -48 MPa, xy = -60 MPa 
c) x = 24 MPa, y = 14 MPa, xy = 12 MPa 
d) x = 100 MPa, y = -200 MPa 
e) x = 100 MPa, y = -200 MPa, xy = 150 MPa 
f) x = -100 MPa, y = -200 MPa, xy = 150 MPa 
 
Cargas Combinadas 
 
2. O eixo maciço está sujeito a torque, momento 
fletor e força de cisalhamento como mostra a 
figura. Determine as tensões principais e a tensão 
de cisalhamento máxima que agem nos 
pontos A e B. 
Resposta: Ponto A: σ1 = 5.50MPa, σ2 = 0.00MPa, 
σ3 = −0.611MPa, τmax (plano ab) = 3.06 MPa 
Ponto B: σ1 = 1,29MPa, σ2 = 0.00MPa, 
σ3 = −1,29MPa, τmax (plano ab) = 1,29 MPa 
 
 
3. Duas forças são aplicadas ao tubo AB como 
mostrado. Sabendo que o tubo tem diâmetros 
interno e externo iguais a 35 mm e 42 mm, 
respectivamente, determine os estados de tensão 
nos pontos a e b. 
Resposta: ponto a: y = 20,4 MPa, yx = 14,34 MPa 
Ponto b: y = -21,5 MPa, yz = 19,98 MPa 
 
 
 
4. O parafuso mostrado tem 6 mm de diâmetro e 
está preso em seu suporte em C. Se uma força de 
90 N for aplicada à chave para apertá-lo, 
determine as tensões principais e a tensão de 
cisalhamento máxima absoluta desenvolvidas na 
haste do parafuso nos pontos A e B. Faça um 
desenho dos elementos de volume sujeitos a 
essas tensões. 
Resposta: Ponto A: σ1 = 441,63MPa, σ2 = 0.00MPa, 
σ3 = −229,42MPa, τmax (plano ab) = 335,53MPa 
Ponto B: σ1 = 314,07MPa, σ2 = 0.00MPa, 
σ3 = −314,07MPa, τmax (plano ab) = 314,07MPa 
 
Matheus Oliveira
Realce
achei 18,11mpa verificar com a resposta de outra pessoa e ver o que eu errei.
Matheus Oliveira
Realce
Matheus Oliveira
Realce
Matheus Oliveira
Realce
Matheus Oliveira
Realce
 
 
 
5. Uma barra AB é soldada no centro de uma peça 
cilíndrica BD de raio r = 20 mm. Duas forças P1 = -
15 kN e P2 = -18 kN são aplicadas no ponto A 
como mostrado na figura. Determine para os 
pontos K e H: a) o estado de tensões, b) as 
tensões e planos principais, c) a máxima tensão de 
cisalhamento e o plano em que ocorre. 
Respostas: 
Ponto K: a) x = 107,4 MPa, xy = -52,5 MPa, 
b) σ1 = 128,8 MPa, σ2 = 0.00MPa, σ3 = −21.4 MPa, 
p = -22,2
o, c) τmax (plano ab)= 75,1 MPa, s = 22,8
o 
 
 
 
 
6. Duas forças são aplicadas no topo de um 
cilindro de 65 mm de diâmetro. Determine as 
tensões principais e a tensão de cisalhamento 
máxima nos pontos H e K. 
Resposta: ponto H: 30,0 MPa, -30,0 MPa, 30 MPa, 
Ponto K: 7,02 MPa, -96,0 MPa, 51,5 MPa 
 
 
 
7. O tubo de aço AB tem 72 mm de diâmetro 
externo e espessura de parede de 5 mm. Sabendo 
que o braço CDE está rigidamente preso ao tubo, 
determine as tensões principais, os planos 
principais, e a máxima tensão de cisalhamento no 
ponto H. 
Resposta: 55,0 MPa, -55,0 MPa, 55,0 MPa 
 
 
 
 
8. Um torque T = 12 kN.m é aplicado na 
extremidade de um tanque contendo ar 
comprimido sob 8 MPa de pressão. Sabendo que 
o tanque tem 180 mm de diâmetro interno e 
espessura de parede de 12 mm, determine a 
tensão normal máxima e a tensão de 
cisalhamento máxima no tanque. 
Resposta: max = 68,64 MPa, max = 34,32 MPa 
 
Matheus Oliveira
Realce
Matheus Oliveira
Realce
Matheus Oliveira
Realce
Matheus Oliveira
Realce
Matheus Oliveira
Nota
51,24
 
 
9. Considere o tanque do problema anterior. Para 
uma pressão máxima de 8 MPa, determine o 
torque aplicado T para o qual a tensão normal 
máxima é de 75 MPa. 
Resposta: 17,06 kN.m 
 
10. A serra foi ajustada com uma força de tração 
de 40 N. Determine o estado de tensão nos 
pontos A e B no arco de serra. 
Resposta: ponto A: x = 123,3 MPa 
 ponto B: y = 62,5 MPa 
 
 
 
11. O tanque de ar comprimido AB tem 250 mm 
de diâmetro externo e 8 mm de espessura de 
parede. Ele tem um colar na extremidade B pelo 
qual é aplicado uma força de 40 kN na direção 
horizontal. Sabendo que a pressão interna é de 
5 MPa, determine a máxima tensão normal e a 
máxima tensão de cisalhamento no ponto K. 
Resposta: 77,4 MPa, 38,7 MPa 
 
 
 
 
Critérios de Falha 
 
12. O estado plano de tensões mostrado ocorre 
em um ponto crítico de um componente de 
máquina feito de aço com esc = 250 MPa. 
Determine o coeficiente de segurança em relação 
ao escoamento usando: a) critério de falha de 
Tresca, b) critério de falha de Von Mises. (faça 
também usando o método gráfico). 
Resposta: a) 1,92, b) 2,19 
 
 
13. O estado plano de tensões mostrado ocorre 
em um ponto crítico de um componente de 
máquina feito de aço com esc = 250 MPa. 
Determine o coeficiente de segurança em relação 
ao escoamento usando: a) critério de falha de 
Tresca, b) critério de falha de Von Mises. (faça 
também usando o método gráfico). 
Resposta: a) 1,74, b) 2,00 
Matheus Oliveira
Realce
Matheus Oliveira
Realce
 
 
14. O eixo tem diâmetro de 36 mm é feito de aço 
com esc = 250 MPa. Determine o torque T para o 
qual a falha ocorre quando P = 200 kN, a) usando 
o critério de máxima tensão de cisalhamento, 
b) usando o critério da máxima energia de 
distorção. 
Resposta: a) 708,13 N.m; b) 
 
 
 
15. Considere um eixo de aço sujeito às forças 
mostradas na figura. Determine o diâmetro do 
eixo usando o critério de falha de Von Mises. 
(despreze o efeito do esforço cortante). 
Dados: P = 1000 N, T = 500 N.m, esc = 500 MPa, 
coeficiente de segurança = 2,5. 
Resposta: 28,3 mm 
 
 
 
 
 
16. Considere um eixo de aço sujeito às forças 
mostradas na figura. Determine o diâmetro do 
eixo usando o critério de falha de Von Mises. 
Dados: P = 1000 N, T = 500 N.m, esc = 500 MPa, 
coeficiente de segurança = 2,5. 
Resposta: 29 mm 
 
 
 
 
17. Considere uma broca de furadeira manual sob 
a ação de forças como mostrado na figura abaixo. 
O diâmetro interno da boca é de 3 mm. Qual deve 
ser a tensão de escoamento do material? 
Considere o ponto A como crítico e despreza 
concentração de tensões. Use CS = 3,0 e o critério 
de falha de Von Mises. Resposta: 1,14 GPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matheus Oliveira
Realce
Matheus Oliveira
Realce
Matheus Oliveira
Realce
Matheus Oliveira
Nota
28,96mm
18. A chave da figura abaixo deve suportar as 
forças indicadas. Determine a tensão de 
escoamento mínima do material. Considere 
CS = 1,5 e fator concentração de tensões para 
flexão no ponto A igual a 1,8. Use o critério de 
falha de Von Mises. 
Resposta: 72 MPa 
 
 
 
19. A chave da figura abaixo deve suportar as 
forças indicadas. Determine a tensão de 
escoamento mínima do material. Considere 
CS = 1,5 e fator concentração de tensões para 
flexão no ponto A igual a 1,8. Use o critério de 
falha de Von Mises nos pontos A e B. 
 
 
Vasos de Pressão 
 
20. Um tanque esférico de gás tem raio interno 
r = 1,5 m. Se for submetido a um pressão interna 
p = 300 kPa, determine a espessura exigida para 
que a tensão normal máxima não ultrapasse 
12 MPa. 
Resposta: 18,8 mm 
 
21. Um tanque esférico pressurizado deverá ser 
fabricado com chapa de aço com 12 mm de 
espessura. Se for submetido a um pressão interna 
p = 1,4 MPa, determine seu raio externo para que 
a tensão normal máxima não ultrapasse 105 MPa. 
Resposta: 18,88 m 
22. A figura mostra duas alternativas para apoiar 
o cilindro de parede fina. Determine o estado de 
tensão na parede do cilindro para ambas as 
alternativas, se o pistão P provocar uma tensão 
interna de 0,5 MPa. A paredetem espessura de 
6 mm, e o diâmetro interno do cilindro é 200 mm. 
Resposta: (a) 1 = 8,33 MPa, 2 = 0 MPa 
 (b) 1 = 8,33 MPa, 2 = 4,17 MPa 
 
 
 
23. O tanque do compressor de ar está sujeito a 
uma pressão interna de 0,63 MPa. Se o diâmetro 
interno do tanque for 550 mm e a espessura da 
parede for 6 mm, determine as componentes da 
tensão que agem no ponto A. Desenhe um 
elemento de volume do material nesse ponto e 
mostre os resultados no elemento. 
Resposta: 1 = 28,88 MPa, 2 = 14,44 MPa 
 
 
 
 
24. O tubo de extremidade aberta tem parede de 
espessura 2 mm e diâmetro interno de 40 mm. 
a) Calcule a pressão que o gelo exerceu na parede 
interna do tubo para provocar a ruptura mostrada 
na figura. A tensão máxima que o material pode 
suportar na temperatura de congelamento é 
max = 360 MPa. b) Mostre as tensões atuando 
num elemento de volume imediatamente antes 
do tubo falhar. 
Resposta: a) p = 36 MPa, 
 b) 1 = 360 MPa, 2 = 0 MPa 
 
 
 
 
25. Um tubo tem diâmetro interno de 100 mm e 
parede com espessura de 5 mm. Se esse tubo 
transportar água corrente sob pressão de 
0,42 MPa, a) determine o estado de tensões nas 
paredes do tubo. b) Se o fluxo de água for 
impedido pelo fechamento de uma válvula, 
determine o novo estado de tensões no tubo 
(despreze o peso da água). 
Resposta: a) 1 = 4,2 MPa, 2 = 0 MPa 
 b) 1 = 4,2 MPa, 2 = 2,1 MPa 
 
26. Um vaso de pressão esférico tem 250 mm de 
diâmetro externo e parede com 6 mm de 
espessura. O material do vaso é aço com 
esc = 400 MPa. Se a pressão interna máxima for 
de 8 MPa, qual o fator de segurança do 
equipamento. 
Resposta: 5,04 
 
27. Um vaso de pressão esférico com diâmetro 
externo de 900 mm deve ser fabricado de aço 
com sesc = 400 MPa. Sabendo que a pressão 
máxima pode chegar a 3,5 MPa e o fator de 
segurança deve ser 4,0, determine a menor 
espessura da chapa usada para fabricação. 
Resposta: 7,74 mm 
 
28. Um recipiente esférico de gás tendo diâmetro 
externo de 5 m e parede com espessura de 
24 mm é feito de aço com E = 200 GPa e  = 0,29. 
Sabendo que a pressão máxima é 1,8 MPa, 
determine: a) a tensão normal máxima, b) o 
aumento no diâmetro do recipiente. 
Resposta: a) 92,85 MPa, b) 1,649 mm 
 
 
 
29. Quando preenchido até sua capacidade 
máxima, um tanque despressurizado com 8 m de 
diâmetro externo contém 15,5 m de coluna de 
água. Sabendo que a porção mais baixa do tanque 
tem parede com espessura de 16 mm, determine 
a tensão normal máxima e a tensão de 
cisalhamento máxima no tanque. 
(use água = 1 g/cm
3, g = 10 m/s2) 
Resposta: 1 = 37,9 MPa, max = 18,93 MPa 
 
30. O tanque da figura tem raio interno de 
600 mm e espessura de parede de 12 mm. 
O tanque está cheio até a boca de água 
(água = 1000 kg/m
3). Se o tanque for feito de aço 
(aço = 7800 kg/m
3), determine o estado de tensão 
no ponto A. A parte superior do tanque é aberta. 
Resposta: 1 = 490,5 kPa, 2 = 76,5 kPa 
 
 
 
**** FIM ****