Matriz de Rede de Dois Acessos

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Universidade Federal de Santa Maria – Campus Cachoeira do Sul 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matriz de redes de dois acessos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nome: Gustavo Lenhardt Steffen / César Teixeira Pacheco 
Matrícula: 201820317 /201821365 
Disciplina: Circuitos Elétricos II 
Profª: Celso Becker Tischer 
 
Cachoeira do Sul, 2020 
 
 
 
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Introdução 
 
 Os bipolos são dispositivos com dois terminais condutores, ou um acesso 
elétrico, sendo que o mesmo estabelece uma relação entre as grandezas corrente 
(através do dipolo) e tensão (entre seus terminais). 
 Bipolo simples, nos quais essa relação depende de um fenômeno físico 
predominante (condução de cargas elétricas; armazenamento de energia em campos 
elétricos ou magnéticos), têm modelos simples (resistores, capacitores e indutores). A 
complexidade aumenta se o bipolo for constituído por uma associação de bipolos 
simples, sem com dois terminais condutores. 
 O quadripolo, por sua vez, contém quatro polos e representa uma estrutura de 
dois acessos. Costuma-se chamar um dos acessos de entrada e o outro de saída. A 
ideia de quadripolo visa a estender a de bipolo. Enquanto o bipolo tem uma tensão e 
uma corrente no total, o quadripolo tem uma tensão e uma corrente associada a cada 
um dos dois acessos. 
 Analisando o circuito do quadripolo, é possível calcular a admitância e a 
impedância do circuito por meio de matrizes associadas as tensões e correntes dos 
terminais, sendo essas deduções demonstrada no desenvolvimento do trabalho. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Desenvolvimento 
 
 Um bipolo contém dois polos, onde há uma tensão V e pelos quais passa uma 
corrente I e é completamente caracterizado por algum parâmetro que relaciona a tensão 
com a corrente. No caso de um bipolo linear, essa relação é dada por uma impedância 
ou admitância. 
 
Figura 01: Símbolo utilizado para um bipolo. 
 O bipolo é uma estrutura aberta: seu comportamento é descrito por uma equação 
de duas variáveis. Para determinação dessas variáveis é necessário fechar o bipolo. 
Nesses casos, uma das variáveis é imposta pela fonte, o bipolo determina a outra. Em 
um caso mais geral, um bipolo é fechado por outro bipolo. As duas variáveis são 
determinadas por um sistema de duas equações e duas incógnitas, como pode ser 
visualizado na imagem a seguir. 
 
Figura 02: Bipolos fechados 
 O conceito de bipolo, como um circuito de dois terminais condutores, pode ser 
estendido a dispositivos com mais terminais condutores, desta forma podemos obter 
quadripolos, como é possível visualizar abaixo. 
 
Figura 03: Símbolo utilizado para um quadripolo. 
 Em um quadripolo é obedecida uma condição sobre as correntes: 
“A corrente que sai pelo terminal 1’ é igual a corrente que entra pelo terminal 1. 
Em consequência a corrente que sai pelo terminal 2’ é igual a corrente que entra pelo 
terminal 2.” 
 
 
 
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 Comumente, chamamos o acesso 1,1’ de entrada e o acesso 2,2’ de saída. O 
quadripolo é também uma estrutura aberta, para determinação das tensões e correntes, 
é necessário fechar os acessos. 
 Por meio de quadripolos, podemos representar muitos dispositivos práticos e 
equipamentos. Um amplificador de áudio tem uma entrada, onde se pode ligar um 
microfone ou outra fonte de sinal sonoro, e uma saída, onde se pode ligar um alto-
falante. Em um transformador o primário atua como entrada, sendo ligado à rede 
elétrica, e o secundário atua como saída, sendo conectado a um equipamento elétrico. 
Esses dois equipamentos exemplificam a aplicação do conceito de quadripolos. Muitas 
vezes, dispositivos eletrônicos como os transistores são considerados quadripolos. Um 
transistor tem três terminais, base, emissor e coletor. Na representação como um 
quadripolo, um dos terminais é comum a entrada e a saída, podendo ser representado 
pela figura a seguir. 
 
 
Figura 04: Transistor como um quadripolo. 
- Matriz de Impedância 
 Uma forma de representar um quadripolo é através da matriz impedância (Z). 
Neste caso, as tensões V1 e V2 são dadas em função das correntes I1 e I2. 
[
V1
V2
] = [
Z11 Z12
Z21 Z22
] . [
I1
I2
] 
 Podemos determinar as impedâncias através de: 
• Z11 = [
V1
I1
]
I2=0
 → Impedância de entrada com saída em aberto; 
• Z12 = [
V1
I2
]
I1=0
 → Transimpedância da porta 1 para 2 com entrada em aberto; 
• Z21 = [
V2
I1
]
I2=0
 → Transimpedância da porta 2 para 1 com saída em aberto; 
• Z22 = [
V2
I2
]
I1=0
 → Impedância de saída com entrada em aberto. 
 
 
 
 
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- Matriz de Admitância 
 Outra representação é dada pela matriz admitância (Y). Neste caso, as correntes 
I1 e I2 são dadas em função das tensões V1 e V2. 
[
I1
I2
] = [
y11 y12
𝑦21 𝑦22
] . [
V1
V2
] 
 Podemos determinar as impedâncias através de: 
• y11 = [
𝐼1
V1
]
V2=0
 → Admitância de entrada com saída em curto; 
• y12 = [
I1
V2
]
V1=0
 → Transadmitância da porta 1 para 2 com entrada em curto; 
• y21 = [
I2
𝑉1
]
V2=0
 → Transadmitância da porta 2 para 1 com saída em curto; 
• y22 = [
I2
V2
]
V1=0
 → Admitância de saída com entrada em curto. 
- Relação entre matrizes impedância e admitância 
 Como a matriz impedância Z e a matriz admitância Y são tais que, sendo V = [V1 
V2]T e I = [I1 I2]T. 
V = ZI e I = YV 
Temos que Y = Z-1 
 Essa última relação só é válida se a matriz Z for inversível. Há quadripolos que 
só podem ser representados por uma das duas matrizes (Z e Y), que é o caso de a 
matriz em questão não ser inversível. 
- Exemplo de um cálculo de matriz impedância e matriz admitância 
 Determinação das matrizes para o quadripolo abaixo: 
 
Figura 05: Exemplo. 
 Para representação mais clara, serão colocadas fontes de tensão nos dois 
acessos. 
 
 
 
6 
 
Figura 05: Exemplo. 
 Para determinação da matriz impedância: 
Z11 = [
V1
I1
]
I2=0
 
 Redesenhando o circuito: 
 
Figura 05: Exemplo. 
 Com a saída em aberto, e arbitrando o valor de 1V para a fonte de tensão, a 
corrente I1 será: 
I1 =
1V
1||3
=
1
3
4⁄
=
4
3
 
 Calculando Z11 temos: 
Z11 = [
𝑉1
𝐼1
] =
1
4
3⁄
=
3
4
𝛺 
 Como o circuito é simétrico, Z22 é igual a Z11. 
Z22 =
3
4
𝛺 
 Para determinação da matriz impedância: 
Z12 = [
V1
I2
]
I1=0
 
 Redesenhando o circuito: 
 
 
 
7 
 
Figura 05: Exemplo. 
 Com a entrada em aberto, e arbitrando o valor de 1V para a fonte de tensão, a 
corrente I2 será: 
I2 =
1V
1||3
=
1
3
4⁄
=
4
3
 
 E a tensão V1 será igual a: 
V1 = 1.
1
1 + 2
=
1
3
 V 
 Calculando Z12 temos: 
Z12 = [
𝑉1
𝐼2
] =
1
3⁄
4
3⁄
=
1
4
𝛺 
 Como o circuito é simétrico, Z21 é igual a Z12. 
Z21 =
1
4
𝛺 
 Desta forma a matriz impedância é: 
Z = [
3
4⁄ Ω
1
4⁄ Ω
1
4⁄ Ω
3
4⁄ Ω
] 
 Para o cálculo da matriz admitância, podemos usar a propriedade: 
Y = Z−1 
[
1 0
0 1
] = [
3
4⁄
1
4⁄
1
4⁄
3
4⁄
]. [
a b
c d
] 
[
3a
4⁄ +
1c
4⁄
3b
4⁄ +
1d
4⁄
1a
4⁄ +
3c
4⁄
1b
4⁄ +
3d
4⁄
] 
 
 
 
8 
{
3a
4⁄ +
1c
4⁄ = 1
1a
4⁄ +
3c
4⁄ = 0
→ a = 3/2 e c = -1/2 
{
3b
4⁄ +
1d
4⁄ = 0
1b
4⁄ +
3d
4⁄ = 1
→ b = -1/2 e d = 3/2 
 Desta forma, a matriz admitância é dada por: 
Y = Z−1 = [
3
2⁄ Ω
−1
2⁄ Ω
−1
2⁄ Ω
3
2⁄ Ω
] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
Conclusão 
 
 Através do estudo sobre quadripolos e o entendimento de suas matrizes, tanto 
de impedância quanto de admitância fica clara a sua utilidade em condensar toda 
estrutura de um circuito linear em modelo de quatro parâmetros, desta forma, se torna 
mais fácil realizar a análise de quadripolos maiores compostos por associações de 
quadripolos mais simples. 
 Podemos representar a matriz impedância de um quadripolo através de: 
[
V1
V2
] = [
Z11 Z12
Z21 Z22
] . [
I1
I2
] 
 Neste caso as tensões V1 e V2 são dadas em função das correntes I1 e I2. 
 E também a matriz admitância é representada através de: 
[
I1
I2
] = [
y11 y12
𝑦21𝑦22
] . [
V1
V2
] 
 Neste caso as correntes I1 e I2 são dadas em função das tensões V1 e V2. 
 Sendo possível também relacionar as duas matrizes através da seguinte relação: 
Y = Z−1 
 Portanto, com o estudo dos quadripolos, é possível verificar sua importância, 
descrevendo circuitos, muitas vezes complexos, em circuitos mais simples, dados 
através de quatro parâmetros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Referências Bibliográficas 
 
• Burian, Y. & Lyra, A.C.C., Circuitos elétricos, Prentice-Hall Brasil, 2006; 
• Alexander, C., M. Sadiku, and M. Sadiku. "Fundamentals of Electric Circuits, 
2000."(Capítulo 19).