01 MA COC Análise de Circuitos Elétricos

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ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS 
Marcos Costa Hunold 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
2 
 
 
SUMÁRIO 
 
1 INTRODUÇÃO AOS CIRCUITOS ELÉTRICOS ............................................... 3 
2 LEIS DE KIRCHHOFF E TEOREMAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS
 ................................................................................................................. 35 
3 UTILIZAÇÃO DE SIMULADORES APLICADOS AOS CIRCUITOS ELÉTRICOS 56 
4 ANÁLISE DE CIRCUITOS EM REGIME PERMANENTE SENOIDAL: 
PRELIMINARES ......................................................................................... 73 
5 ABORDAGEM FASORIAL DA ANÁLISE DE CIRCUITOS EM RPS ............... 100 
6 ANÁLISE DE TRANSITÓRIOS E RESPOSTA EM FREQUÊNCIA EM CIRCUITOS 
ELÉTRICOS .............................................................................................. 128 
 
 
, 
 
 
3 
 
 
1 INTRODUÇÃO AOS CIRCUITOS ELÉTRICOS 
Caros alunos, neste bloco apresentaremos as grandezas físicas que calculamos nos 
circuitos elétricos, os componentes utilizados em circuitos elétricos e sua simbologia, 
as leis e teoremas utilizados para cálculo das grandezas, inicialmente trabalhamos com 
tensões e correntes constantes, isto é, circuitos com tensão contínua ou corrente 
contínua. Depois, esse conceito é estendido para circuitos alimentados com outros 
tipos de sinais de entrada. Este momento fornece os conceitos básicos da engenharia 
elétrica. A partir deles é desenvolvida toda a análise de circuitos da engenharia 
elétrica. É fundamental que você, caro aluno, veja os exercícios resolvidos e faça os 
exercícios propostos que estão no Material de Apoio a fim de compreender como é 
feita a análise de circuitos elétricos. Quaisquer dúvidas que você tiver, consulte o tutor 
ou o professor responsável pela disciplina. 
 
1.1 Grandezas Físicas e Componentes de circuitos elétricos 
Nos circuitos elétricos temos alguns componentes através dos quais são avaliadas as 
grandezas elétricas. Esses componentes podem ser elementos passivos ou elementos 
ativos. Um elemento ativo é capaz de gerar e fornecer energia para os elementos 
passivos, que não geram energia, mas, eventualmente, dissipam ou absorvem energia 
para fornecê-la posteriormente. 
• Exemplos de elementos ativos: geradores, baterias, fontes de alimentação, 
amplificadores operacionais etc.; 
• Exemplos de elementos passivos: resistores, capacitores e indutores. 
As principais grandezas estudas nos circuitos elétricos são a corrente, tensão, potência, 
energia elétrica, resistência, capacitância e indutância. É comum ouvirmos as pessoas 
se referindo à tensão como voltagem e à corrente como amperagem. Na verdade, 
, 
 
 
4 
 
essas pessoas estão misturando os nomes das unidades com as grandezas físicas. 
Vejamos a definição de casa uma delas. 
 
Corrente elétrica 
É definida como o movimento de elétrons ao longo de uma seção de um fio. Unidade: 
Ampere (A). Como trata do movimento de elétrons, é associada às cargas elétricas que 
circulam por um fio ao longo do tempo, ou seja, a corrente elétrica I será dada por: 
I = Q/t 
Q é a carga elétrica (C – coulombs) e t é o tempo (em segundos). Esta definição é 
adequada quando a carga é constante. Se variar ao longo do tempo, trabalha-se com o 
valor instantâneo. 
 
Observações importantes: 
• Lembrar que: 1 coulomb corresponde à carga associada a 6,242 x 1018 elétrons. 
Assim, a carga de 1 elétron é 1,6 x 10-19 C; 
• Medir corrente: o amperímetro deve ser inserido em série ao circuito ou ao 
ramo do circuito no qual se deseja medir a corrente. Se a corrente entra no 
terminal I do multímetro e sai no COM (comum), a indicação será positiva. Se 
sair do terminal I e entrar no COM, a indicação será negativa; 
• Notação: se nos referimos à corrente em um determinado instante utilizamos 
i(t), quando trabalhamos em corrente contínua utilizamos a letra maiúscula I; 
• A corrente só existe pois nos fios de cobre existe um elétron livre na última 
camada de valência e existe a fonte de tensão (bateria, fontes de alimentação, 
gerador CC, pilhas, células fotovoltaicas etc.) que gera um potencial positivo 
(íons positivos) e um potencial negativo. Os elétrons caminham do negativo da 
fonte para o positivo. No entanto, o SENTIDO CONVENCIONAL adotado é que a 
corrente eletrônica é a das “cargas positivas”, ou seja, do positivo da fonte para 
, 
 
 
5 
 
o negativo. A figura 1.1 ilustra a corrente eletrônica para um circuito elétrico 
com uma fonte de tensão contínua, a pilha, e um resistor; 
• Se tratarmos da relação entre corrente e cargas que passam de forma 
instantânea, isto é, i(t) e q(t), observaremos que a variação da carga ao longo 
do tempo corresponde à corrente i(t), ou seja: 
𝒊(𝒕) =
𝒅𝒒(𝒕)
𝒅𝒕
 
 
Figura 1.1 – Circuito elétrico com representação do movimento de elétrons 
 
Tensão Elétrica 
Por experimentação, existe uma diferença de potencial de 1 volt (unidade da tensão) 
entre dois pontos, quando ocorre uma troca de energia de 1 Joule ao deslocarmos 
uma carga de 1 coulomb entre esses dois pontos. Assim associa-se a tensão à energia 
elétrica de forma direta e inversamente proporcional à carga, ou seja: 
V = W/Q 
W é a energia elétrica (J – joules) e Q é a carga elétrica (C – coulombs). Unidade: volts 
(V). 
Observações importantes: 
• Na bateria, ou pilha, representada na figura 1.1, reações químicas internas 
estabelecem o acúmulo de cargas negativas (elétrons) em um dos terminais e 
cargas positivas (íons positivos) no outro terminal. Esse posicionamento de 
cargas gera a diferença de potencial entre os terminais ou a TENSÃO; 
, 
 
 
6 
 
• Notação: E (para fontes de tensão) ou V (ou U) para quedas de tensão nos 
demais bipolos. Aqui vale a mesma observação para a corrente, isto é, 
utilizamos e(t) ou v(t) para a tensão instantânea da fonte e do bipolo, 
respectivamente, ou a tensão em um determinado instante; 
• Medir tensão: entre dois pontos (em PARALELO) o voltímetro deve ser 
utilizado, seja para um bipolo resistivo ou para uma fonte. O circuito não deve 
ser interrompido; 
• Podemos determinar a tensão em um determinado instante (tensão 
instantânea) e vale: 
𝒗(𝒕) =
𝒅𝒘
𝒅𝒒
 
 
Potência Elétrica 
Grandeza que mede quanto se absorve de energia em um determinado intervalo de 
tempo. É dada por: 
P = W/t 
W é a energia elétrica (J - joules) e t é o tempo (em segundos). Fazendo as devidas 
substituições de W (W=Q.V) e depois de Q (I=Q/t), temos: 
 
 P = V. I Unidade: watts (W) 
 
Energia elétrica 
 W = P.t Unidade: Wh (watt.hora) 
 
Note que a nossa conta de luz é dada normalmente em kWh, ou seja, cobra-se pela 
energia elétrica que consumimos ao longo de um período, normalmente de um mês. O 
“k” indica um múltiplo da unidade (1 kWh = 1000 Wh). 
, 
 
 
7 
 
Observações importantes: 
• Novamente aqui pode ser feito o cálculo da potência em um determinado 
instante de tempo (potência instantânea) e deduz-se que: 
𝒑(𝒕) =
𝒅𝒘(𝒕)
𝒅𝒕
=
𝒅𝒘(𝒕)
𝒅𝒒(𝒕)
.
𝒅𝒒(𝒕)
𝒅𝒊(𝒕)
= 𝒗(𝒕). 𝒊(𝒕) 
• Quanto ao sinal da potência com relação aos bipolos, deve-se obedecer ao fato 
de que existem duas convenções: uma do sinal ativo e outra do sinal passivo. 
Na convenção de sinal passivo, quando a corrente entra pelo terminal positivo 
(potencial positivo) de um elemento, define-se que a potência p = +vi e 
dizemos que o bipolo está absorvendo a potência. Se a corrente sai pelo 
terminal positivo, p = –vi, dizemos que o bipolo está fornecendo a potência; 
• Na convenção de sinal ativo quando a corrente sai do terminal positivo, p=+vi 
e o bipolo fornece a potência. Quando a corrente entra no terminal positivo, 
p=-vi e o bipolo absorve a potência em questão. 
 
Resistência, resistorese as Leis de Ohm 
A resistência é a oposição à passagem dos elétrons em um material, resultante das 
colisões entre elétrons e átomos do material, que converte energia elétrica em outra 
forma de energia (energia térmica, por exemplo no caso dos resistores, lâmpadas etc.). 
A segunda lei de ohm estabelece quais grandezas físicas estão relacionadas com a 
resistência de um condutor elétrico. Essa lei define a seguinte relação: 
R = ρ. L/A 
ρ é a resistividade do material, L é o comprimento e A é a área de seção transversal do 
condutor. A unidade da resistência é o ohm (Ω), daí podemos deduzir a unidade da 
resistividade. Note que a resistividade representa a oposição que um material oferece 
ao fluxo de cargas elétricas ou simplesmente à passagem da corrente. 
 
, 
 
 
8 
 
Existem bipolos que tem um comportamento linear entre a tensão e a corrente que 
passa. Esses elementos são chamados de bipolos ôhmicos, pois seguem a primeira lei 
de ohm. Daí resultam as relações: 
I = V/R ou V = R .I ou R = V/I 
R é a resistência do bipolo ôhmico, que é constante, V é a tensão e I é a corrente 
elétrica. Essa lei vale para sinais de tensão e corrente constantes ou para sinais 
variáveis no tempo. 
Observações importantes: 
1) Normalmente, pode-se estabelecer a relação entre potência e resistência. 
Substituindo na fórmula da potência, temos que: P = R . I 2 ou P = V 2 / R; 
2) Existem bipolos não-ôhmicos, que possuem um valor de resistência variável. A 
determinação de correntes e tensões em circuitos com bipolos ôhmicos e não-
ôhmicos é feita com métodos gráficos ou com a simplificação do 
comportamento do bipolo não-ôhmico. Isso será estudado mais adiante; 
3) Além da grandeza resistência, trabalha-se também com a Condutância (G), que 
representa o quanto um bipolo conduz de corrente elétrica. Sua unidade é o 
siemens (S) no S.I. ou o mho (℧), e é calculada por: 
 
𝑮 =
𝟏
𝑹
=
𝑰
𝑽
 
 
Os resistores são bipolos que seguem as leis de ohm. São feitos para suportarem uma 
determinada potência (resistores de 1/8 W, por exemplo, trabalham no máximo com a 
potência de 0,125W). Em circuitos elétricos, normalmente, apresentam-se os tipos de 
resistores, o código de cores e como se faz a medida de resistência: em paralelo ao 
resistor com ele desconectado do circuito. Isso já foi visto em Física Experimental II, 
inclusive foram vistos circuitos série e paralelo com resistores e fontes de tensão 
contínuas, e como calculam-se as correntes e tensões nestes circuitos utilizando o 
conceito de resistência equivalente. Faremos aqui uma breve revisão sobre esses 
circuitos através de exercícios. 
, 
 
 
9 
 
Simbologia para representação de resistores em esquemas elétricos: 
 
RESISTOR FÍSICO (exemplo) SIMBOLOGIA NO ESQUEMA 
ELÉTRICO 
 ou R 
 
Capacitância e capacitores 
Os capacitores são bipolos elétricos que possuem, de forma simplificada, duas placas 
metálicas separadas por um material dielétrico (isolante) de constante k e que 
armazenam cargas elétricas proporcionalmente à tensão que é aplicada. Existem, por 
exemplo, capacitores de placas paralelas e os cilíndricos. A relação de 
proporcionalidade está ligada a capacitância, cuja unidade é o Faraday (F). Ela 
depende da geometria do capacitor, ou seja, da distância entre as placas do capacitor, 
da área das placas e da constante dielétrica do material entre as placas. 
Por exemplo, um capacitor de 1 F, acumula, por exemplo, 1C quando sujeito a uma 
tensão de 1V. Isto não ocorre de forma instantânea, existe uma dinâmica, e isso pode 
ser compreendido em função da relação constitutiva do capacitor, que relaciona a 
tensão com a corrente, que é dada a seguir. 
Sabemos que: 
𝒒(𝒕) = 𝑪. 𝒗(𝒕) e 
𝒊(𝒕) =
𝒅𝒒(𝒕)
𝒅𝒕
 
Derivando a primeira equação e substituindo o valor de i(t), chega-se na relação 
constitutiva do capacitor, que vale: 
𝒊(𝒕) = 𝑪
𝒅𝒗(𝒕)
𝒅𝒕
 
, 
 
 
10 
 
A partir dessa relação podemos estudar o comportamento do capacitor quando 
associado a um circuito com outros componentes. Nos primeiros instantes de 
funcionamento, o capacitor se comporta como um “curto”, pois sua tensão é 
praticamente nula e a corrente é elevada. Com o passar do tempo, a corrente começa 
a cair e a tensão aumenta até o instante em que o capacitor fica totalmente carregado, 
e então sua corrente é nula e a tensão é máxima. Nesse instante, o capacitor se 
comporta como um “circuito aberto”. 
Simbologia para representação de capacitores em esquemas elétricos: 
CAPACITOR FÍSICO (exemplo) SIMBOLOGIA NO ESQUEMA ELÉTRICO 
 
 
 
Indutância e indutores 
Os indutores são bipolos que armazenam energia em seu campo magnético. Trata-se 
de uma bobina de fio condutor, conforme apresentado na figura a seguir, que mostra 
um indutor do tipo solenoide. O indutor, quando ocorre uma variação de corrente em 
seus terminais, produz uma força eletromotriz ou tensão para que a corrente 
permaneça a mesma. Essa tensão é diretamente proporcional à taxa de variação de 
corrente, que é igual a: 
𝒗𝑳(𝒕) = 𝑳
𝒅𝒊(𝒕)
𝒅𝒕
 
 
 
 
 
, 
 
 
11 
 
Como se observa na equação, a indutância, L, é a constante de proporcionalidade e é a 
propriedade que representa a oposição à mudança do fluxo de corrente através do 
indutor. Sua unidade é o henry (H) e, no caso de um solenoide, ela depende do 
número de espiras (N), da permeabilidade magnética do núcleo (µ), da área da seção 
transversal do fio (A) e do seu comprimento (l), conforme a equação: 
𝑳 =
𝑵𝟐𝝁𝑨
𝒍
 
 
Simbologia para representação de indutores em esquemas elétricos: 
INDUTOR FÍSICO (exemplo) SIMBOLOGIA NO ESQUEMA ELÉTRICO 
 
 L 
A partir da relação constitutiva do indutor, verifica-se que quando é aplicada uma 
tensão no indutor, o campo magnético gera uma tensão de mesmo valor ao da fonte, 
de forma a manter a corrente igual a zero. Desta forma, nos instantes iniciais, o 
indutor se comporta como um “circuito aberto” e, com o passar do tempo, vai 
reduzindo sua tensão e elevando a corrente que flui, até não apresentar mais o efeito 
magnético. Neste instante, o indutor se comporta como um fio, ou seja, um “curto 
circuito”. 
 
Fontes de alimentação 
As fontes de alimentação podem ser fontes de tensão ou fontes de corrente 
independentes ou dependentes. Na análise de circuitos podemos trabalhar com fontes 
de alimentação ideais ou reais. A seguir, ilustra-se os dois tipos de fontes e são 
, 
 
 
12 
 
fornecidas as curvas características destes componentes (curvas que relacionam a 
tensão e a corrente dos terminais das fontes), bem como a conversão entre elas. Além 
disso, apresentam-se as fontes dependentes (ou controladas) ideais que são um 
elemento ativo no qual a quantidade de energia é controlada por outra tensão ou 
corrente. Aqui, são apresentadas as fontes de alimentação com tensão contínua ou 
simplesmente CC. 
 
Fontes de tensão CC independentes 
• Fontes de Tensão Ideais 
Nesta fonte a tensão é mantida constante com o valor E, mesmo com a 
variação da corrente. Os símbolos utilizados dependem do tipo de tensão 
gerada. Se ela for constante no tempo (fonte de tensão CC) trabalha-se com a 
seguinte simbologia e curva característica: 
 
 Simbologia Curva característica 
 
_ 
U 
I 
U E RL 
 
I 
E 
+ 
 
 
Observações importantes: 
• A curva característica é um gráfico que relaciona a tensão com a 
variação da corrente no bipolo ou o valor da corrente com a variaçãoda 
tensão, isso depende do tipo de bipolo que se trabalha, no caso, do tipo 
de fonte de alimentação, isto é, fonte de tensão ou fonte de corrente; 
, 
 
 
13 
 
• A representação da fonte é feita com dois traços paralelos. O maior 
traço indica o terminal positivo e o menor o terminal negativo. No caso 
da fonte ideal, a tensão nos terminais da fonte, U é igual a tensão E; 
• Na eletrônica é muito comum trabalhar com a tensão da fonte igual a 
Vcc e representar parcialmente o circuito da figura acima. Define-se 
uma referência do circuito que em geral é o terminal negativo da fonte, 
e todas as tensões podem ser dadas com relação a essa referência. Se a 
fonte for simétrica, isto é, possui tensão positiva e negativa de mesma 
intensidade, a referência é o terminal entre as duas tensões, que é 
chamado de 0V. A figura abaixo representa o circuito na representação 
de malha fechada e simplificada. Devemos tomar o cuidado de não 
confundir a referência com o terra de um circuito, que tem por função 
proteger de choque um indivíduo que manipula um equipamento; 
 
 
_ 
E ou +Vcc 
 RL 
 
I 
+ 
E RL 
 
Esquemas elétricos 
equivalentes 
 
Símbolo de 
referência do 
circuito 
 
Esquema 
elétrico 
simplificado 
 
 
 
• Existe a possibilidade de trabalhar com um segundo símbolo para uma 
fonte de tensão CC que está representado a seguir; 
 
 
_ 
U E RL 
 
I 
+ 
 
 
 
, 
 
 
14 
 
• Fontes de Tensão Reais 
Aqui a tensão varia com o aumento da corrente. Utiliza-se uma equação 
matemática para representar este tipo de fonte com uma resistência interna 
(ri) em série com a tensão constante da fonte, conforme a simbologia dada a 
seguir. 
 
 Simbologia Curva característica 
 
E 
 ri 
 RL 
 
U 
U 
I 
I 
 Vri 
 
+ 
 
_ 
 
 
 
Equação da tensão nos terminais da fonte: 𝑼 = 𝑬 − 𝒓𝒊. 𝑰 
A dedução da fórmula acima vem da análise das tensões existentes no modelo 
da fonte. Temos a tensão total U que é dada pela soma de E com –Vri. Note que 
o sentido da tensão Vri é o contrário ao sentido das tensões E e U e ele é 
definido assim, pois o potencial positivo do bipolo é no terminal onde a 
corrente I entra. 
 
Fontes de corrente CC independentes 
• Fontes de corrente CC ideais 
Neste tipo de fonte, a corrente é mantida constante mesmo com a variação da 
tensão. A seguir representa-se a fonte associada a uma carga e a curva 
característica da fonte de corrente. 
 
 
, 
 
 
15 
 
 Simbologia Curva característica 
 I 
U 
U I RL 
 
I 
I 
 
 
• Fontes de corrente CC Reais 
Aqui a corrente varia com a variação da tensão. Utiliza-se um modelo 
matemático para representar este tipo de fonte com uma resistência interna 
(ri) em paralelo com a corrente constante da fonte, conforme a simbologia 
dada a seguir. 
 Simbologia Curva característica 
 IS 
U 
U I RL 
 
IS 
I 
ri 
 
 
Observação: na fonte de corrente ideal a tensão é definida pelo circuito e a 
corrente nos terminais da fonte sempre será o valor I. Já na fonte de corrente 
real, parte da corrente é desviada para a resistência interna. A fonte de 
corrente ideal tem sua resistência interna infinita. Vale a seguinte equação para 
esta fonte: 
𝑰𝑺 = 𝑰
𝒓𝒊
𝑹𝑳 + 𝒓𝒊
 
 
 
 
 
, 
 
 
16 
 
Conversão entre fontes de corrente e fontes de tensão 
 
 A fonte de tensão é convertida na fonte de corrente 
 
E 
 ri 
 RL 
 
 RL 
 
I=E/ri ri 
 
 
 
A conversão pode ser feita como demonstrado na figura acima, mas também pode ser 
feita no sentido contrário, ou seja, parte-se da fonte de corrente e determina-se a 
fonte de tensão em que: 
𝑬 = 𝑰. 𝒓𝒊 
 
Fontes dependentes ideais 
Fontes dependentes ideais são aquelas cujo controle da fonte depende de uma tensão 
ou corrente de algum outro elemento do circuito e a fonte pode ser de tensão ou de 
corrente. Assim, existem quatro tipos possíveis de fontes dependentes: 
1. Fonte de tensão controlada por tensão (FTCT*); 
2. Fonte de corrente controlada por tensão (FCCT); 
3. Fonte de corrente controlada por corrente (FCCC); 
4. Fonte de tensão controlada por corrente (FTCC). 
 
Fontes dependentes são úteis no modelamento matemático do comportamento de 
elementos como transistores, amplificadores operacionais e circuitos integrados 
diversos. No próximo item abordaremos exercícios com este tipo fonte e as demais 
fontes descritas. 
, 
 
 
17 
 
1.2 Circuitos elétricos: cálculo de tensões e correntes em associação série, paralela, 
mista, divisores de tensão e divisores de corrente 
Uma vez conhecidas as grandezas físicas principais e os componentes utilizados, 
propõe-se aqui uma diversidade de exercícios sobre circuitos elétricos com tensões e 
correntes constantes ou simplesmente tensão e corrente CC. Nesta análise 
trabalhamos com circuitos com uma fonte e resistores em associação série, paralela e 
mista, com os conceitos de resistência equivalente, fontes ideais e reais, fontes 
controladas, divisores de tensão e conversão entre fontes de tensão e de corrente. 
• Circuito básico: é dada a tensão da fonte CC ideal e o valor da resistência do 
resistor 
 
_ 
_ 
+ 
VR E R 
 
I 
+ 
 
Valem as relações do circuito utilizando a primeira lei de ohm e com isso 
determina-se a corrente no circuito: 
𝑰 =
𝑬
𝑹
 𝒆 𝑽𝑹 = 𝑬 = 𝑹. 𝑰 
Note a polaridade positiva (+), na qual a corrente entra no resistor, e a seta neste 
terminal. A corrente sempre entra no terminal positivo de um resistor. 
• Associação série de resistores: 
Podemos determinar o circuito equivalente de uma única resistência já que 
nesta associação a corrente é a mesma e a tensão da fonte é dividida entre 
cada resistor em função do valor das suas resistências. 
, 
 
 
18 
 
 
_ 
_ 
+ 
VReq E Req 
 
I 
+ 
Equivale a: 
E 
 R1 
 
R3 
 
 R2 
 
I 
VR2 
VR1 
VR3 
IREIRRREDaí
VVVE
IRVIRVIRV
eq
RRR
RRR
. e ).321(:
 :Vale
.3 e .2 ;.1 :ohm de lei Pela
321
321
=++=
++=
===
 
Conclusão: Generalizando, RnRRReq +++= ...21 . No circuito série a resistência 
equivalente é a soma das resistências dos resistores. 
Observação importante: a relação da tensão da fonte com as tensões nas resistências 
é dada pela lei das malhas de Kirchhoff que será apresentada mais adiante; 
• Associação paralela de resistores 
Nesta associação a corrente que sai da fonte é dividida em cada ramo no qual 
estão os resistores (fato determinado pela lei dos nós de Kirchhoff). Observa-se 
que a tensão em cada ramo é igual a tensão das fontes. O circuito a seguir 
ilustra essa associação e, em seguida, deduz-se como calcular a resistência 
equivalente. 
 
 E 
I I1 I2 I3 
R1 R2 R3 
VR2 VR3 
VR1 
Ramos 
 
, 
 
 
19 
 






++==






++=++=++=
======
3
1
2
1
1
11
 :Assim
3
1
2
1
1
1
.
321
321 que Vale
3
3 e 
2
2 ;
1
1 :então :Como
321
321
321
RRRE
I
R
RRR
E
R
V
R
V
R
V
IIIII
R
V
 I
R
V
 I
R
V
 IVVVE
eq
RRR
RRR
RRR
 
Conclusão: generalizando, temos: 






+++=
RnRRReq
1
...
2
1
1
11
 
 
• Associação mista de resistores 
Nestes circuitos, calcular a tensão ou corrente é um problema complexo que 
envolve a simplificação dos circuitos utilizando as resistências equivalentes 
parciais de cada parte do circuito. A solução não é trivial e exige bastante 
atenção por parte do aluno. A seguir, exemplifica-se uma solução de uma 
associação mista na qual se deseja calcular a potência de um resistor. 
 
Exemplo 1.1: Dado o circuito da figura a seguir, determine a potência no resistor de 
10Ω sabendo que a tensão da fonte é igual as 12V. 
 
E 
 20 
 
4010 
 
 70 
 
I 
 20 
 
I1 
I2 
 
Solução: devemos sempre calcular a resistência equivalente total para então 
determinar a corrente que sai da fonte e a partir daí, calcular as demais correntes e 
tensões nos circuitos das simplificações intermediárias para então determinar a tensão 
, 
 
 
20 
 
ou corrente no bipolo desejado (o que for mais conveniente), no caso, o resistor de 
10Ω. 
Primeira simplificação: O início é sempre a partir do ponto extremo ao da fonte. 
Observa-se que o resistor de 10Ω está em série com o de 20Ω. Daí surge a primeira 
simplificação: 
=+= 3020101eqR 
 
E 
 20 
 
40 
 
 Req1=30 
 
 70 
 
I 
I1 
I2 
 VReq2 
 
 
Segunda simplificação: agora temos a Req1 em paralelo com a resistência de 70Ω, para 
então determinar a Req2: 
===
+
=+=+= 21
10
210
210
10
210
73
30
1
70
11
70
11
22
12
eqeq
eqeq
RR
RR
 
 
E 
 20 
 
40 
 
 Req2=21 
 
I 
 VReq2 
 
 
Terceira Simplificação (Final): ficamos com três resistores em série, obtendo a Reqtotal e 
a corrente que sai da fonte. 
148mAou 148,0
81
12
81402120
A
V
R
E
I
R
eqtotal
eqtotal
=

==
=++=
 
, 
 
 
21 
 
 
E 
 Reqtotal=81 
 
I 
 
A partir daí, devemos analisar a forma mais fácil de obter a corrente ou tensão no 
resistor de 10Ω. Esta análise depende de experiência e capacidade de raciocinar para 
obter uma destas variáveis. 
Vejamos a seguinte linha de raciocínio: 
Observa-se no circuito da segunda simplificação que a corrente que sai da fonte I, 
permite determinar a tensão VReq2. Com essa tensão determina-se a corrente I2 no 
Req1 do circuito da primeira simplificação, que nada mais é que a corrente no resistor 
de 10Ω, pois trata-se de uma associação em série. Seguindo esta linha, determina-se a 
potência no resistor, fazendo: 
WmARI
A
V
R
V
I
VVmAIRV
eq
q
qeqq
107,0P)7,103(10P
103,7mAou 103,0
30
11,3
11,3148.21.
10
22
210
1
2Re
2
2Re22Re
===
=

==
===

 
 
Finalmente, observa-se nos cálculos somente a utilização da lei de ohm e a fórmula da 
potência utilizando a resistência e a corrente. 
Finalmente, apresenta-se uma análise de um DIVISOR DE TENSÃO e de um DIVISOR DE 
CORRENTE. 
Divisor de tensão: um divisor de tensão é um circuito utilizado para reduzir uma 
tensão utilizando resistores. Analisando o circuito abaixo, verifica-se que se quisermos, 
a partir de uma tensão, reduzir seu valor, devemos utilizar dois resistores e trabalhar 
, 
 
 
22 
 
com a tensão em qualquer um deles, normalmente utiliza-se o resistor ligado ao 
terminal negativo da fonte. 
 
VR2 
E 
 R1 
 
 R2 
 
I 
VR1 
 
 
........21
:ndoGeneraliza
21
 
21
 :corrente da valor o doSubstituin
.:V de Cálculo
21
II :I de Cálculo
2
222
22R2
RnRiRR
Ri
EV
RR
R
EV
RR
E
RV
IRV
RR
E
R
E
Ri
RR
R
eq
+++++
=
+
=
+
=
=
+
==
 
 
Note que, no caso de dois resistores, calcula-se VR2 utilizando no numerador o resistor 
R2, dividido pela soma das resistências. Um exemplo numérico é dado a seguir. 
Exemplo 2.1: Determine os valores de R1 e R2 da figura acima se quisermos obter de 
uma tensão de bateria de 12V, uma tensão de 5V, sem carga, ligada a resistência R2. 
SOLUÇÃO: neste exercício foram dadas as tensões e estão sendo cobrados os valores 
de R1 e R2. Isso gera uma relação entre R2 e R1, que possibilita escolher valores de 
resistência que atendam esta relação. 
==
====+
+
=
+
=
14kR2 :que vem, 101 adotarmos Se
24,112
5
7
12715212)21(5
21
125 
:se-obtem ,V e E de valoresos com 
21
2
 :relação Da
2
R22
kR
RRRRRRRRR
RR
R
RR
R
EVR
 
 
, 
 
 
23 
 
Divisor de corrente: este circuito serve para reduzir o valor de uma corrente utilizando 
resistores em ramos paralelos. A sua fórmula geral é obtida como vemos a seguir. 
 
Valem as seguintes relações: 
𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 𝑒 𝐼𝑖 =
𝑉𝑅𝑖
𝑅𝑖
 
𝐷𝑎í: 𝐼 =
𝑉𝑅1
𝑅1
+
𝑉𝑅2
𝑅2
 𝑚𝑎𝑠 𝑉𝑅1 = 𝑉𝑅2 = 𝐸 
𝐴𝑠𝑠𝑖𝑚: 𝐼 =
𝐸
𝑅1
+
𝐸
𝑅2
= 𝐸. (
1
𝑅1
+
1
𝑅2
) = 𝐸. (
𝑅1 + 𝑅2
𝑅1. 𝑅2
) ⟹ 𝐸 = 𝐼. (
𝑅1. 𝑅2
𝑅1 + 𝑅2
) 
𝑀𝑎𝑠: 𝐸 = 𝑉𝑅2 = 𝑅2. 𝐼2 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑅2. 𝐼2 = 𝐼. (
𝑅1. 𝑅2
𝑅1 + 𝑅2
) 
Simplificando, resulta em: 
𝑰𝟐 = 𝑰. (
𝑹𝟏
𝑹𝟏 + 𝑹𝟐
) 
 
Para três ou mais ramos criam-se mais termos no numerador, o que gera uma fórmula 
mais complexa. Note que para calcular I2, utiliza-se o resistor R1 no numerador, que é 
o resistor do outro ramo, dividido pela soma das resistências. 
Agora você deve resolver os exercícios que se encontram no material de apoio da 
disciplina e estão também na trilha de aprendizagem. Sugere-se utilizar as referências 
como elemento de estudo, pois elas também fazem parte do material da disciplina. 
 
 
, 
 
 
24 
 
1.3 Introdução às Leis de Kirchhoff 
As leis de Kirchhoff são utilizadas para resolver diversos problemas de circuitos da 
engenharia elétrica, tanto com os componentes aqui estudados, como para os 
componentes da eletrônica, tais como, transistores, diodos, amplificadores 
operacionais. No item anterior, nas associações série, paralelo e mista, foram 
utilizadas as duas leis de Kirchhoff, quando são somadas as tensões em um circuito 
série ou quando são somadas as correntes na associação paralela. Essas leis são muito 
úteis na solução de problemas de circuitos elétricos com várias fontes de alimentação 
e diversos ramos. 
Trabalha-se com duas leis: a lei das malhas e a lei dos nós. As equações obtidas podem 
ser dadas em função das correntes dos ramos ou das correntes das malhas. Aqui serão 
apresentadas as duas formas de análise. No próximo bloco será apresentada a forma 
matricial de se trabalhar com as duas leis de Kirchhoff. 
 
Lei das Malhas 
Para enunciar a lei das malhas primeiro deve ser explicado o que é uma malha. Trata-
se de um circuito fechado com os componentes aqui analisados. Um circuito série, 
como o do divisor de tensão apresentado anteriormente, é uma malha fechada. 
A lei das Malhas diz: “a somatória das tensões dos componentes de uma malha é 
igual a zero”. 
Isso implica que existem componentes com tensões positivas e outros com tensões 
negativas. Como determinamos o sinal da tensão de cada componente, quem terá o 
sinal positivo e negativo? Existem certas regras e convenções para estabelecer esse 
fato. Vejamos a lei sendo aplicada no circuito dado a seguir. 
 
 
, 
 
 
25 
 
Exemplo 3.1: Dado o circuito da figura a seguir, determine a tensão VA, sabendo que 
R1=R2=100Ω. 
 I 
R2 
 
R1 
 
E1 = 4V 
V 
 
E2 = 2 V 
 
+ 
 
+ 
 
VA 
 
A 
 
 
Solução: Trata-se de um único circuito fechado com duas fontes de tensão e dois 
resistores, ou seja, uma única malha. 
Procedimento: utilizar as correntes dos ramos. 
1) Definir o sentido das correntes dos ramos. Devemos inicialmente definir o 
sentido das correntes dos ramos. Nesse caso temos um único ramo e podemos 
colocar qualquer sentido, durante a solução, é possível um resultado com valor 
positivo ou negativo para corrente. No último caso, o negativo significa que o 
sentido da corrente é o contrário do adotado (vide o sentido adotado na figura 
acima); 
2) Definir o sentido das tensões dos bipolos passivos. Utilizaremos o fato de que 
a corrente entra no pólo positivo do bipolo. (vide o sentido das tensões nos 
resistores da figura e a polaridade); 
 
 I 
R2 
 
R1 
 
E1 = 4V 
V 
 
E2 = 2 V 
 
+ 
 
+ 
 
VA 
 
A 
 
VR1 VR2 
+ 
 
+ 
 
Iα 
_ 
 
_ 
 
_ 
 
_ 
 
 
 
, 
 
 
26 
 
3) Montagem da equação da malha: devemos definir uma corrente de 
circuitação, por exemplo, Iα, e definir o seu sentido de percurso. Por 
convenção, neste material, adota-se que essa corrente roda no sentido anti-
horário, conforme esquematizado na figura. Quando a corrente de circuitação 
entra no negativo do bipolo, a tensão adotada na equação será negativa e 
quando ele entrano terminal positivo, a tensão será positiva. 
Lei das malhas: 
∑ 𝑉𝑖 = 0
𝑚𝑎𝑙ℎ𝑎 𝐼𝛼
⇒ −𝐸1 + 𝑉𝑅1 + 𝑉𝑅2 − 𝐸2 = 0 
 
 Note o sentido negativo das tensões das fontes e o positivo das tensões dos 
resistores na equação. A corrente Iα entrou no negativo das fontes e no 
positivo dos resistores, daí o sinal selecionado. 
 Com a equação, determina-se a corrente I. Note que neste exercício a corrente 
I é igual a corrente de circuitação Iα. Assim, teremos uma equação em termos 
da corrente do ramo, que nesse caso é único. 
−𝐸1 + 𝑅1. 𝐼 + 𝑅2. 𝐼 − 𝐸2 = 0 ⇒ −4 + 100𝐼 + 100𝐼 − 2 = 0 ⇒ 200𝐼 = 6 
Finalmente: 𝐼 = 0,03𝐴 𝑜𝑢 30𝑚𝐴 
Com o valor de I, podemos calcular VR1 e com VR1 e E1, o valor de VA: 
VR1: 𝑉𝑅1 = 𝑅1. 𝐼 = 100.0,03 ⇒ 𝑉𝑅1 = 3𝑉 
VA: 𝑉𝐴 = 𝐸1 − 𝑉𝑅1 = 4 − 3 ⇒ 𝑉𝐴 = 1𝑉 
Na equação de VA, o valor de E1 é positivo pois está no mesmo sentido da 
tensão, enquanto VR1 está no sentido oposto, daí o sinal negativo na equação. É 
muito importante entender que, na verdade, estamos aplicando a lei das 
malhas, sem necessariamente termos o circuito fechado. Adiante, 
resolveremos um problema com mais malhas para entender melhor o processo 
de cálculo. 
, 
 
 
27 
 
Lei dos Nós 
Um nó é o encontro de três ou mais ramos. Sabendo disso, a Lei dos Nós é enunciada 
como: “A somatória das correntes em um nó é igual a zero”. 
Podemos enunciar de uma outra forma a Lei dos Nós: “A somatória das correntes que 
entram no Nó é igual a somatória das correntes que saem do Nó”. 
O exemplo 4.1 demonstra o funcionamento da Lei dos Nós e da Lei das Malhas. 
Inicialmente, faremos a análise com as correntes dos ramos e depois a análise com as 
correntes de circuitação. 
Exemplo 4.1: Dado o circuito da figura a seguir, utilizando a lei das malhas, determine 
as tensões e correntes dos ramos, sabendo que R1=R2=10 Ω e R3=R4=20 Ω. 
 
 I1 
R2 
 
R1 
 
E1 = 4V 
V 
 
E2 = 2 V 
 
+ 
 
+ 
 
R3 
 
E3=1V 
 
+ 
 
R4 
 
Ramo 1 Ramo2 Ramo 3 
 
Nó A 
 
 I2 
 I3 
 
 
I) Solução utilizando as correntes dos ramos: Nesta figura observamos três ramos, 
portanto temos três correntes de ramo: I1, I2 e I3. As três correntes podem ser 
associadas através do Nó A. Utilizaremos um procedimento geral para resolver este 
exercício, que é dado a seguir. 
1) Definir o sentido das correntes dos ramos: isso é feito de forma arbitrária e 
está representado na figura acima; 
2) Aplicar a lei dos nós definindo a primeira equação do circuito. Por convenção 
(escolha arbitrária), quando a corrente entra no nó ela terá sinal positivo na 
, 
 
 
28 
 
equação do nó A. E quando ela sai do nó, terá sinal negativo. Assim, no 
somatório, apenas I3 terá o sinal negativo, logo: 
 
Pela Lei dos Nós: ∑ 𝐼𝑖 = 0𝑁ó 𝐴 ⇒ +𝐼1 + 𝐼2 − 𝐼3 = 0 
 
 É importante observar que temos três incógnitas, logo, devemos ter três 
equações: uma da lei dos nós e duas das equações das malhas; 
3) Aplicação das leis das malhas. Neste exemplo, temos duas malhas com duas 
correntes de circuitação: a malha Iα e a malha Iβ. 
• Definir o sinal das tensões dos bipolos a partir das correntes dos ramos: 
 
 
 I1 
R2 
 
R1 
 
E1 = 4V 
V 
 
E2 =2V 
 
+ 
 
+ 
 
R3 
 
E3=1V 
 
+ 
 
R4 
 
Nó A 
 
 I2 
 I3 + 
 
+ 
 
+ 
 
+ 
 
_ 
 
_ 
 
_ 
 
_ 
 
_ 
 
_ 
 
_ 
 
VR1 VR2 
VR3 
VR4 
Iα Iβ 
 
 
Na figura acima podemos notar que a entrada da corrente I1 em R1, fornece o 
sinal positivo de VR1, e o mesmo ocorre para VR2, VR3 e VR4; 
 
• Com as correntes de circuitação definem-se os sinais das tensões nas equações 
de malha para a corrente de circuitação Iα e Iβ. 
 Malha de Iα: 
∑ 𝑉𝑖 = 0
𝑚𝑎𝑙ℎ𝑎 𝐼𝛼
⇒ −𝐸1 + 𝑉𝑅1 + 𝐸2 − 𝑉𝑅4 = 0 
, 
 
 
29 
 
Malha de Iβ: 
∑ 𝑉𝑖 = 0
𝑚𝑎𝑙ℎ𝑎 𝐼𝛽
⇒ −𝐸2 + 𝑉𝑅2 + 𝑉𝑅3 − 𝐸3 + 𝑉𝑅4 = 0 
Substituindo os valores das resistências em VR=R.I e substituindo nas duas 
equações de malha, temos que: 
10𝐼1 − 20𝐼2 = 2 
10𝐼3 + 20𝐼3 + 20𝐼2 = 3 
 
Agrupando-se as três equações e resolvendo o sistema por substituição 
teremos os valores das correntes. Assim: 
{
𝐼1 + 𝐼2 − 𝐼3 = 0 (1)
10𝐼1 − 20𝐼2 = 2 (2) 
30𝐼3 + 20𝐼2 = 3 (3)
 
Isolando I1 em (1) e substituindo em (2), obtém-se um sistema de segunda 
ordem dado por: 
𝐼1 = −𝐼2 + 𝐼3 = 0 
 
Em (2): 
10(−𝐼2 + 𝐼3) − 20𝐼2 = 2 ⇒ −30𝐼2 + 10𝐼3 = 2 
Sistema de duas equações: 
{
−30𝐼2 + 10𝐼3 = 2 (4) 
20𝐼2 + 30𝐼3 = 3 (5)
 
Podemos resolver este sistema pelo método da comparação. Multiplicando a 
equação (4) por -3 e somando à equação (5), determina-se I2: 
 
, 
 
 
30 
 
{
90𝐼2 − 30𝐼3 = −6 (4) 
20𝐼2 + 30𝐼3 = 3 + (5)
 
110𝐼2 + 0𝐼3 = −3 
Daí: 
𝐼2 = −
3
110
⇒ 𝐼2 = −0,027𝐴 
Indo em (5) com I2, resulta em: 
20. (−0,027) + 30𝐼3 = 3 ⇒ 30𝐼3 = 3 + 0,545 ⇒ 𝐼3 = 3,545/30 
𝐼3 = 0,118𝐴 
Finalmente: 
𝐼1 = −𝐼2 + 𝐼3 = −(−0,027) + 0118 ⇒ 𝐼1 = 0,145𝐴 
Como a corrente I2 resultou em um valor negativo, isso significa que o sentido 
de I2 é o oposto ao da figura acima. As tensões nos resistores são obtidas 
diretamente pelo produto da corrente do ramo pela resistência do bipolo: 
𝑉𝑅1 = 𝑅1. 𝐼1 = 10.0,145 ⇒ 𝑉𝑅1 = 1,45𝑉 
𝑉𝑅2 = 𝑅2. 𝐼3 = 10.0,118 ⇒ 𝑉𝑅2 = 1,18𝑉 
𝑉𝑅3 = 𝑅3. 𝐼3 = 20.0,118 ⇒ 𝑉𝑅3 = 2,36𝑉 
𝑉𝑅4 = 𝑅4. 𝐼2 = 20. (−0,027) ⇒ 𝑉𝑅4 = −0,54𝑉 
A tensão negativa em VR4 significa que o sentido da tensão ou a polaridade 
indicada na figura é ao contrário, não se alterando nenhum valor no cálculo. 
 
II) Solução utilizando as correntes das malhas: neste caso, trabalha-se com as 
correntes Iα e Iβ para compor as equações das malhas, o que reduz o número de 
incógnitas das equações para duas. 
 
, 
 
 
31 
 
Posteriormente, determinam-se as correntes dos ramos a partir das seguintes 
relações, obtidas pelo sentido das correntes de circuitação. 
 
Cálculo das correntes dos ramos: determinam-se as equações observando o 
circuito, dado o sentido das correntes de circuitação e das correntes dos ramos. 
𝐼1 = 𝐼𝛼; 𝐼2 = 𝐼𝛽 − 𝐼𝛼 𝑒 𝐼3 = 𝐼𝛽 
Observação importante: quando for aplicada a lei das malhas, considera-se que os 
resistores do ramo 1 tem a sua tensão associada à corrente Iα; no ramo 2 à 
corrente Iβ-Iα e no ramo 3 à corrente Iβ. 
 
 Iα 
R2 
 
R1 
 
E1 = 4V 
V 
 
E2 =2V 
 
+ 
 
+ 
 
R3 
 
E3=1V 
 
+ 
 
R4 
 
Nó A 
 
 Iβ-Iα 
 Iβ + 
 
+ 
 
+ 
 
+ 
 
_ 
 
_ 
 
_ 
 
_ 
 
_ 
 
_ 
 
_ 
 
VR1 VR2 
VR3 
VR4 
Iα Iβ 
 
Procedimento: 
1) Definição do sentido das correntes de circuitação: já estão definidas na figura 
acima; 
2) Definição da polaridade das tensões nos resistores ou outros bipolos passivos: 
não é necessário definir a polaridade das tensões utilizando as correntes dos 
ramos, mas sim a partir das correntes de circuitação. Há uma situação especial 
que ocorre quando o bipolo está entre as duas correntes, como no ramo 2, na 
qual adotou-se a polaridade em função do sentido da corrente Iβ; 
3) Aplicando a lei das malhas com as correntes de circuitação: valem as mesmas 
regras de sinal que foram adotadas na primeira solução. 
 
, 
 
 
32 
 
Malha de Iα: 
∑ 𝑉𝑖 = 0
𝑚𝑎𝑙ℎ𝑎 𝐼𝛼
⇒ −𝐸1 + 𝑉𝑅1 + 𝐸2 − 𝑉𝑅4 = 0 
 
Malha de Iβ: 
∑ 𝑉𝑖 = 0
𝑚𝑎𝑙ℎ𝑎 𝐼𝛽
⇒ −𝐸2 + 𝑉𝑅2 + 𝑉𝑅3 − 𝐸3 + 𝑉𝑅4 = 0 
Substituindo os valores das resistências em VR=R.I, em que I representa a 
corrente de circuitação em cada ramo, conforme explicado anteriormente, e 
substituindo nas duas equações de malha, temos que: 
10𝐼𝛼 − 20(𝐼𝛽 − 𝐼𝛼) = 2 ⇒ 10𝐼𝛼 − 20𝐼𝛽 + 20𝐼𝛼 = 2 
10𝐼𝛽 + 20𝐼𝛽 + 20(𝐼𝛽 − 𝐼𝛼) = 3 ⇒ 10𝐼𝛽 + 20𝐼𝛽 + 20𝐼𝛽 − 20𝐼𝛼 = 3 
Trabalhando as equações, obtemos o seguinte sistema de equações: 
{
30𝐼𝛼 − 20𝐼𝛽 = 2 (1)
−20𝐼𝛼 +50𝐼𝛽 = 3 (2) 
 
Resolvendo por substituição: isolamos Iβ na equação (1) e substituímos na 
equação (2): 
30𝐼𝛼 − 20𝐼𝛽 = 2 ⇒ −20𝐼𝛽 = 2 − 30𝐼𝛼 ⇒ 𝐼𝛽 =
30𝐼𝛼 − 2
20
 (3) 
 
Substituindo em (2): 
−20𝐼𝛼 + 50 (
30𝐼𝛼 − 2
20
) = 3 ⇒ −20𝐼𝛼 + 75𝐼𝛼 − 5 = 3 ⇒ 55𝐼𝛼 = 8 ⇒ 𝐼𝛼 =
8
55
 
𝐼𝛼 = 0,145𝐴 
 
, 
 
 
33 
 
Substituindo o valor de Iα na equação (3), determina-se Iβ: 
𝐼𝛽 =
30(0,145) − 2
20
⇒ 𝐼𝛽 =
4,36 − 2
20
⇒ 𝐼𝛽 =
2,36
20
 
𝐼𝛽 = 0,118 
Com as correntes de circuitação podemos calcular as tensões nos resistores: 
𝑉𝑅1 = 𝑅1. 𝐼𝛼 = 10.0,145 ⇒ 𝑉𝑅1 = 1,45𝑉 
𝑉𝑅2 = 𝑅2. 𝐼𝛽 = 10.0,118 ⇒ 𝑉𝑅2 = 1,18𝑉 
𝑉𝑅3 = 𝑅3. 𝐼𝛽 = 20.0,118 ⇒ 𝑉𝑅3 = 2,36𝑉 
𝑉𝑅4 = 𝑅4. (𝐼𝛽 − 𝐼𝛼) = 20. (0,118 − 0,145) = 20. (−0,027) ⇒ 
⇒ 𝑉𝑅4 = −0,54𝑉 
Podemos calculas as correntes dos ramos: 
𝐼1 = 𝐼𝛼 = 0,145𝐴 
𝐼2 = 𝐼𝛽 − 𝐼𝛼 = 0,118 − 0,145 ⇒ 𝐼2 = −0,027𝐴 
𝐼3 = 𝐼𝛽 = 0,145𝐴 
Você encontrará mais exercícios sobre as leis de Kirchhoff no material de apoio, nos 
quais são explorados circuitos com fontes de tensão e corrente e outros circuitos 
elétricos. 
 
Conclusão 
Neste bloco, vimos as grandezas físicas e os componentes que são utilizados em 
circuitos elétricos e como estabelecer os cálculos destas grandezas a partir das leis de 
ohm e das Leis de Kirchhoff em corrente contínua. A análise feita aqui pode ser 
estendida aos circuitos com outras fontes de alimentação. É importante que o aluno 
leia as referências bibliográficas e recomenda-se que faça os exercícios do material de 
, 
 
 
34 
 
apoio da trilha. Lembramos, que a trilha e este material são uma parte da disciplina. É 
importante que o aluno faça todos os exercícios recomendados e que, ao perceber 
dificuldades na solução, busque ajuda do tutor, do professor ou mesmo dos livros 
recomendados em cada bloco deste elemento textual. 
 
REFERÊNCIAS COMPLEMENTARES 
BOYLESTAD, R. L. Introdução à Análise de Circuitos Elétricos. 12ª Ed., São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2012. (e-book Pearson). 
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. 5ª ed., Porto 
Alegre: AMGH, 2013. (e-book Minha Biblioteca). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
35 
 
 
2 LEIS DE KIRCHHOFF E TEOREMAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS 
Olá, alunos! No bloco 1 vimos as Leis de Kirchhoff, neste bloco apresentaremos 
algumas aplicações dessas leis tão essenciais para análise de circuitos. Trabalharemos 
também com alguns teoremas que são aplicados em diversos circuitos da engenharia 
elétrica com o objetivo de simplificá-los, como o Teorema de Thevenin e o Teorema de 
Norton. Além destes, apresentaremos o teorema da Superposição. Enfim, neste bloco 
veremos as principais técnicas de análise de circuito em corrente contínua, 
determinando os valores das grandezas elétricas em qualquer ponto do circuito. 
 
2.1 Generalização das leis de Kirchhoff 
Após conhecer as leis de Kirchhoff, é possível desenvolver uma aplicação das leis de 
malhas e nós de forma mais intuitiva, em uma análise dessas leis. Pelo Procedimento 
Genérico da Lei de Kirchhoff, no qual aplicamos as leis na forma matricial, podemos 
determinar as correntes das malhas a partir de uma equação matricial que pode ser 
resolvida pela regra de Cramer seguindo os seguintes princípios de análise do circuito. 
As equações obtidas na Lei das malhas com as correntes de malha podem ser descritas 
na forma matricial por: 
𝑹𝒊 = 𝑽 
Sendo R a matriz de resistência, i o vetor de saída e V o vetor de entrada. 
[
𝑹𝟏𝟏 𝑹𝟏𝟐 …𝑹𝟏𝑵
𝑹𝟐𝟏 𝑹𝟐𝟐 …𝑹𝟐𝑵
𝑹𝑵𝟏 𝑹𝑵𝟐 …𝑹𝑵𝑵
] [
𝒊𝟏
𝒊𝟐
𝒊𝑵
] = [
𝑽𝟏
𝑽𝟐
𝑽𝑵
] 
Na qual: 
RNN = Soma das resistências na malha N; 
RNk = (sendo N≠k) Negativo da soma das resistências comuns entre malhas; 
iN = Corrente da malha N. É a incógnita que se deseja encontrar; 
VN = Soma de todas as fontes de tensão independentes na malha N. Considera-se aqui 
o sinal positivo quando a corrente de circuitação entrar no negativo das fontes. 
 
, 
 
 
36 
 
Essa análise pode ser feita também pela Lei dos Nós, principalmente quando se 
trabalha com fontes de corrente. Neste caso, para encontrar as correntes e formular o 
problema através dos nós, basta utilizar a lei de Ohm com o conceito do inverso da 
resistência, isto é, a condutância (G) para o cálculo de matriz. Pela lei de ohm, valem as 
seguintes relações: 
𝑽
𝑹
 = 𝒊 
𝟏
𝑹
 = 𝑮 
𝑮 𝑽 = 𝒊 
 
G é a condutância, V é a tensão e I é a corrente. 
 
E desta forma, a matriz de cada elemento resulta em: 
[
𝑮𝟏𝟏 𝑮𝟏𝟐 …𝑮𝟏𝑵
𝑮𝟐𝟏 𝑮𝟐𝟐 …𝑮𝟐𝑵
𝑮𝑵𝟏 𝑮𝑵𝟐 …𝑮𝑵𝑵
] [
𝑽𝟏
𝑽𝟐
𝑽𝑵
] = [
𝒊𝟏
𝒊𝟐
𝒊𝑵
] 
 
GNN = Soma das condutâncias conectadas no nó N; 
GNk = (sendo N≠k) Negativo da soma das condutâncias diretamente conectadas aos 
nós N e k; 
VN = Corrente no nó N. É a incógnita que se deseja encontrar; 
iN = Soma de todas as fontes de corrente independentes na malha N. 
 
Assim, é possível montar um sistema matricial cuja solução pode ser feita através de 
métodos como a regra de Cramer e até em programas de computador, como veremos 
a seguir. 
 
Regra de Cramer 
Os valores das incógnitas de um sistema linear são dados por frações cujo 
denominador é o determinante da matriz dos coeficientes das incógnitas e o 
numerador é o determinante da matriz dos coeficientes das incógnitas após a 
substituição de cada coluna pela coluna que representa os termos independentes do 
, 
 
 
37 
 
sistema. Utiliza-se o cálculo da determinante pois associa-se à matriz um valor escalar. 
Assim, o cálculo da determinante irá trazer ao aluno a solução de incógnitas do 
circuito, de forma a facilitar o cálculo que, de outro modo, seria bastante dispendioso. 
Este conjunto de medidas aplicadas à solução de sistemas é denominado regra de 
Cramer, em homenagem ao matemático suíço Gabriel Cramer. Seja o seguinte sistema: 
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝒄 
𝒅𝒙 + 𝒆𝒚 = 𝒇 
Em que “a”, “b”, “d” e “e” são incógnitas e “c” e “f” são termos independentes. É 
possível encontrar a solução, segundo Cramer, pela razão entre determinantes. 
𝒙 =
𝐝𝐞𝐭(𝑨)
𝐝𝐞𝐭(𝑪)
 
𝒚 =
𝐝𝐞𝐭(𝑩)
𝐝𝐞𝐭(𝑪)
 
 
Sendo “A”, “B” e “C” matrizes formadas seguindo as seguintes regras de sistemas 
lineares. A matriz “A” define “x” e é formada pelas constantes que multiplicam “x” e os 
termos independentes. 
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝒄 
𝒅𝒙 + 𝒆𝒚 = 𝒇 
𝑨 = [
𝒄 𝒃
𝒇 𝒆
] 
A matriz “B” será utilizada para definir “y”, e igualmente no exemplo acima, deve-se 
incluir os valores que multiplicam “y” e os respectivos termos independentes. 
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝒄 
𝒅𝒙 + 𝒆𝒚 = 𝒇 
𝑩 = [
𝒂 𝒄
𝒅 𝒇] 
Por fim, a matriz “C” deverá constar tantos os termos que multiplicam “x” quanto os 
termos que multiplicam “y” pois deverá representar todas as incógnitas do sistema. 
 
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝒄 
𝒅𝒙 + 𝒆𝒚 = 𝒇 
, 
 
 
38 
 
𝑪 = [
𝒂 𝒃
𝒅 𝒆
] 
 
Então, o aluno poderá calcular as razões dos determinantes encontrando os valores 
das incógnitas do sistema. Vejamos um exemplo prático. 
Exemplo 2.2: O circuito abaixo possui três fontes. O teorema de superposição de 
fontes implicaria calcular o circuito três vezes, o que seria dispendioso. 
 
 
É possível, através de uma mera análise do circuito, verificar por inspeção das malhas, 
os valores de resistência, tensão e corrente, utilizando-se da regra de Cramer. O 
circuito acima possui um nó de referência e duas malhas a se considerar. 
 
 
Apenas por inspeção, percebe-se que na malha 1, as tensões que estão atuantes 
podem ser definidas como a tensão de 6V da fonte, a tensão sobre o resistor de 2Ω na 
horizontal em relação a i1, do resistor de 2Ω na vertical, em relação a i1 e i2. Verifique 
que a matriz terá quantas linhas e quantas malhas forem verificadas. 
[
𝑹𝟏𝟏 𝑹𝟏𝟐
𝑹𝟐𝟏 𝑹𝟐𝟐
] [
𝒊𝟏
𝒊𝟐
] = [
𝑽𝟏
𝑽𝟐
] 
 
i1 i2 
, 
 
 
39 
 
Na malha 1: 
R11 = 2+2 = 4 
R12 = -2 
V1= 6-4 = 2Na malha 2: 
R21 = -2 
R22 = 2+4 = 6 
V2= 4+2 = 6 
Veja que a análise quanto às fontes considera a direção da corrente de malha 
(circuitação no sentido anti-horário) atribuída como recomenda à lei de malhas. 
[
𝟒 −𝟐
−𝟐 𝟔
] [
𝒊𝟏
𝒊𝟐
] = [
𝟐
𝟔
] 
 
Aplicando a regra de Cramer: 
 
𝑫𝒊𝟏 = [
𝟐 −𝟐
𝟔 𝟔
] = (𝟐 𝒙 𝟔) − [(−𝟐)𝒙𝟔] = 𝟐𝟒 
𝑫𝒊𝟐 = [
𝟒 𝟐
−𝟐 𝟔
] = (𝟒 𝒙 𝟔) − [(−𝟐)𝒙𝟐] = 𝟐𝟖 
𝑫 = [
𝟒 −𝟐
−𝟐 𝟔
] = (𝟒 𝒙 𝟔) − [(−𝟐)𝒙(−𝟐)] = 𝟐𝟎 
𝒊𝟏 =
𝐝𝐞𝐭(𝑫𝒊𝟏)
𝐝𝐞𝐭(𝑫)
=
𝟐𝟒
𝟐𝟎
= 𝟏, 𝟐 𝑨 
 
𝒊𝟐 =
𝐝𝐞𝐭(𝑫𝒊𝟐)
𝐝𝐞𝐭(𝑫)
=
𝟐𝟖
𝟐𝟎
= 𝟏, 𝟒 𝑨 
 
, 
 
 
40 
 
Como as correntes de malha são iguais as correntes dos ramos, para os ramos 1 e 2, 
resta calcular a corrente do ramo 3 (ramo central), conforme indicado na figura a 
seguir. Assim, a partir da análise nodal, no nó A, teremos: 
 
i1=i2+i3 
i3=1,2-1,4=-0,2A ou i3=-200mA 
 
 
 
 
O valor da corrente i3 é negativo porque o sentido que foi adotado no exercício está 
invertido. 
Para facilitar o cálculo, o aluno poderá utilizar o software de computação matemática 
(online e com licença open source) Octave®, disponível no site: https://octave-
online.net/ (é necessário realizar cadastro). Nele, uma versão online do software de 
programação pode ser acessada sem que o aluno tenha que precise instalá-lo em sua 
máquina, podendo realizar o acesso de qualquer sistema computacional conectado à 
internet. 
Para solução no Octave®, o mesmo princípio deve ser seguido. No Octave® será criada 
a matriz “A” utilizando-se da seguinte sintaxe: 
A = [a,b;c,d] 
O resultado será: 
𝒂 𝒃
𝒄 𝒅
 
Veja que o “;” troca a linha e a “,” troca a coluna da matriz. O determinante é 
verificado com o comando det(). 
 
https://octave-online.net/
https://octave-online.net/
, 
 
 
41 
 
Para obter o resultado da determinante da matriz “A” e gravá-lo na variável X, 
utilizamos o seguinte comando: 
x=det(A) 
Busca-se substituir uma linha ou coluna de uma matriz da seguinte maneira. Onde 
temos (coluna,linha) e utiliza-se : e o número para indicar a posição. 
Por exemplo, para substituir a segunda coluna do vetor A pelo vetor [e,f]: 
A(:,2)=[e,f] 
O que resulta em: 
𝒂 𝒆
𝒄 𝒇 
Assim, o cálculo do exercício-exemplo anterior terá as seguintes linhas de programa no 
Octave®. 
 
Contudo, um método mais rápido de resolver a regra de Cramer é o produto da matriz 
inversa de R pela matriz V. A matriz inversa de R pode ser obtida tanto adicionando o 
expoente -1 (R^-1) quanto com a sintaxe inv(R). 
, 
 
 
42 
 
 
 
Além dessa ferramenta, podemos utilizar outro software online que funciona como um 
simulador de circuitos elétricos tipo SPICE (Simulation Program With Integrated Circuit 
Emphasis), o MULTISIM®. O software é de licença open source, muito intuitivo e de fácil 
utilização, orientado aos objetos. Para iniciar a simulação, acesse o site: 
https://www.multisim.com e faça seu cadastro. Clique em create circuit para começar. 
Basta selecionar os elementos do circuito no quadro do lado esquerdo e arrastar até o 
plano quadriculado para montar o circuito. 
 
https://www.multisim.com/
, 
 
 
43 
 
 
Para conectar os elementos do circuito, basta clicar sobre o terminal do elemento e 
arrastar até o terminal do próximo elemento conectado. 
 
 
Você pode alterar os atributos dos elementos ativos e passivos clicando sobre o 
atributo. Uma tela de ajustes e configurações irá aparecer. 
 
 
Vamos ao circuito. Monte o circuito do exercício-exemplo. Adicione o símbolo GND 
para referência do programa no circuito. E adicione os pontos de prova para tomada 
de medida de corrente nos pontos i1, i2 e i3. Cuidado com a posição da fonte V3. 
, 
 
 
44 
 
 
 
Ao clicar em na parte superior da tela, o programa iniciará a simulação. 
 
 
Para solucionar um circuito com fontes de corrente, é utilizada a análise do nó, 
construindo a matriz G das condutâncias, o vetor i das correntes que chegam e saem 
dos nós considerados e determinando as tensões dos nós com relação a uma 
referência do circuito, obtendo, como foi visto, a equação matricial: 
𝑮. 𝑽 = 𝒊 
O exemplo a seguir ilustra uma aplicação desta técnica. 
Exemplo 2.2: no circuito abaixo, determine o valor das tensões indicadas, em relação a 
referência dada, v1, v2, v3 e v4. 
 
 
 
, 
 
 
45 
 
Utiliza-se da indutância e as matrizes serão 
as seguintes. 
 
𝐺11 = 
1
5
+
1
10
= 0,3 𝐺22 = 
1
5
+
1
8
+
1
1
= 1,325 
𝐺33 =
1
8
+
1
8
+
1
4
= 0,5 𝐺44 = 
1
8
+
1
2
+
1
1
= 1,625 
𝐺13 = 𝐺14 = 0 𝐺12 = −
1
5
= −0,2 
 
𝐺21 = −0,2 𝐺23 = −
1
8
= −0,125 𝐺24 = −
1
1
= −1 
𝐺31 = 0 𝐺32 = −0,125 𝐺34 = −
1
8
= −0,125 
𝐺41 = 0 𝐺42 = −1 𝐺43 = −0,125 
 
 
O vetor corrente i será formado pelo seguinte cálculo: considera-se positiva, a corrente 
da fonte que entra no nó e negativa a corrente da fonte que sai do nó. Assim, teremos: 
i1=3 i2=-1-2-=-3 i3=0 i4=2+4=6 
A equação matricial fica igual a: 
[
0,3
−0,2
0
0
 
−0,2
1,325
−0,125
−1
 
0
−0,125
0,5
−0,125
 
0
−1
−0,125
1,625
] [
𝑉1
𝑉2
𝑉3
𝑉4
] = [
3
−3
0
6
] 
Utilizando o Octave®, podemos obter os valores da matriz V, fazendo: 
𝑮. 𝑽 = 𝒊 ⇒ 𝑽 = 𝑮−𝟏. 𝒊 
 
 
 
 
 
, 
 
 
46 
 
Solução da equação matricial no octave: 
 
 
V1=13,8966V V2= 5,8499V V3=3,3479V V4=7,5467V 
Podemos obter o mesmo resultado no programa de simulação MULTISIM®, montando 
o circuito: 
 
 
, 
 
 
47 
 
2.2 Teorema da Superposição de Fontes 
Como foi descrito no bloco 1, os elementos de um circuito podem ser classificados, 
segundo a sua função, em elementos ativos e passivos. Os elementos ativos do circuito 
são aqueles que fornecem potência ao mesmo e os elementos passivos dissipam 
potência. As fontes do circuito são elementos ativos que fornecem a potência 
necessária ao circuito. Assim podemos considerar sua importância e relevância no 
circuito com a relação às fontes de tensão e corrente, e ainda, fontes dependentes e 
independentes. 
Quando temos mais de uma fonte independente no circuito, podemos analisar os seus 
efeitos elétricos no circuito de forma isolada. Isso é feito anulando as fontes e 
mantendo uma das fontes em funcionamento. O princípio da superposição afirma que 
a tensão (ou a corrente) em um elemento em um circuito linear é a soma algébrica das 
tensões (ou das correntes) naquele elemento em virtude da atuação isolada de cada 
uma das fontes independentes. 
A) consideramos uma fonte por vez, enquanto todas as demais fontes estão 
desligadas. Isso implica substituir cada fonte de tensão por 0V (um curto-
circuito) e cada fonte de corrente por 0A (um circuito aberto); 
B) As fontes dependentes são deixadas intactas pois dependem das características 
do circuito. 
Passo a passo: 
• Desative todas as fontes independentes, exceto uma delas. Encontre a 
saída para esta fonte (tensão ou corrente); 
• Repita a etapa anterior para cada fonte independente; 
• Encontre o valor total pela soma algébrica das contribuições em razão 
das fontes independentes. 
 
, 
 
 
48 
 
Vejamos, então, o exemplo a seguir. 
Exemplo 3.2: Use o teorema da superposição para encontrar v no circuito abaixo. 
 
 
Primeiramente, o aluno deve selecionar uma das fontes que será analisada no circuito 
e desligar ou suprimir todas as outras. Para este exercício, escolhemos a fonte de 
tensão. Assim, a fonte de corrente será substituída por um circuito aberto. 
 
Agora, o que temos é um divisor de tensão, e a tensão “V1” 
é aquela no resistor de 4Ω. Assim, o cálculo da tensão em 
função da fonte de 6V pode ser verificado por: 
𝑽 = 𝑽𝒊𝒏.
𝑹𝟐
𝑹𝟏 + 𝑹𝟐
 
𝑽𝟏 = 𝟔.
𝟒
𝟖 + 𝟒
= 𝟐𝑽 
Então, desliga-se a fonte de tensão, o que se assemelha a um curto-circuito, e religa-se 
a de corrente. 
 
Essa configuração se assemelha a um divisor de 
corrente,e sua fórmula para encontrar o valor da 
corrente que passa pelo resistor de 4Ω, é a seguinte: 
𝑰𝟒𝛀 = 𝑰𝒊𝒏.
𝑹𝟏
𝑹𝟏 + 𝑹𝟐
 
, 
 
 
49 
 
𝑰𝟒𝛀 = 𝟑.
𝟖
𝟖 + 𝟒
= 𝟐𝑨 
Utilizando ainda a lei de Ohm, é possível encontrar a tensão no resistor (V2) pela 
passagem da corrente. 
𝑽 = 𝑹𝑰 
𝑽𝟐 = 𝟒. 𝟐 = 𝟖𝑽 
 Então, são somadas as duas tensões, já que possuem os mesmos polos. 
𝑽𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝑽𝟏 + 𝑽𝟐 = 𝟐 + 𝟖 = 𝟏𝟎𝑽 
O aluno poderá conferir os efeitos das duas fontes sobre o resistor de 4Ω utilizando o 
MULTISIM®: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3 Teoremas de análise de circuitos elétricos: Teorema de Thévenin e Norton 
Teorema de Thévenin 
Lèon Charles Thévenin (1857-1926), um engenheiro telegrafista francês, em busca de 
compreender melhor as características de circuitos complexos, e na intenção de 
aplicar a lei de Ohm a esses circuitos, desenvolveu um teorema bastante interessante, 
muito aplicado na área da elétrica. O engenheiro estabeleceu que qualquer circuito 
linear visto de um ponto pode ser representado por uma fonte de tensão (igual à 
tensão do ponto em circuito aberto) em série com uma impedância (igual à 
, 
 
 
50 
 
impedância do circuito vista deste ponto). Assim, deu origem ao que chamamos de 
Circuito Equivalente de Thévenin. O exemplo 4.2 ilustra a aplicação deste teorema. 
Exemplo 4.2: dado o circuito a seguir, formado por uma fonte de tensão e uma de 
corrente, ambas independentes. Deseja-se saber quais são as características elétricas 
no resistor R1 de 1kΩ. Para tanto, vamos aplicar o teorema de Thévenin a fim de obter 
uma única fonte (Eth) em série com um resistor (Rth). 
 
Retira-se o resistor R1 do circuito e no 
lugar, mantém-se como um circuito 
aberto. 
 
 
Pode-se verificar, então, a presença de uma 
tensão que será aplicada sobre o resistor R1, 
Vca ou Eth. 
Para determinar esta tensão, analisamos a 
malha com a corrente i1, verificando o nó 
circulado em azul (note que não haverá 
corrente no resistor de 3kΩ). 
Na malha, obtém-se a equação: 
−𝟒 + 𝑽𝟐𝒌 + 𝑽𝒄𝒂 = 𝟎 ⇒ 𝑽𝒄𝒂 = 𝟒 − 𝟐. 𝟏𝟎
𝟑. 𝒊𝟏 
Mas pelo nó, determina-se que i1 = -2mA. Então: 
𝑽𝒄𝒂 = 𝟒 − 𝟐. 𝟏𝟎
𝟑. (−𝟐. 𝟏𝟎−𝟑) = 𝟖𝑽 
 
 
 
 
, 
 
 
51 
 
Desligam-se todas as fontes do circuito para analisar a 
resistência equivalente ou de Thévenin (Rth), vista a 
partir dos terminais onde estava o resistor R1. Observa-
se duas resistências em série. Assim: 
𝑹𝒕𝒉 = 𝟐𝒌 + 𝟑𝒌 = 𝟓𝒌𝛀 
 
Portanto, temos a tensão e resistência para o Circuito Equivalente de Thévenin. Ou 
seja, trata-se de um circuito equivalente, no qual os efeitos elétricos percebidos pelo 
resistor R1 serão os mesmos que o circuito original. 
 
Em análise no MULTISIM®, veja que ambos os circuitos possuem exatamente as 
mesmas características elétricas no resistor de 1kΩ, quais sejam, 1,33V e 1,33mA. 
 
 
Teorema de Norton 
Edward Lawry Norton (1898-1983), engenheiro e cientista norte-americano, realizou 
diversos estudos sobre análise de circuitos enquanto trabalhava na Bell Labs. Em um 
desses estudos, afirma que qualquer coleção de fontes de tensão, fontes de corrente, 
, 
 
 
52 
 
e resistores, com dois terminais, é eletricamente equivalente a uma fonte de corrente 
ideal “I”, em paralelo com um único resistor “R”. Essa configuração foi denominada 
“Circuito Equivalente de Norton” e é muito útil para reduzirmos circuitos maiores a um 
circuito equivalente com apenas dois elementos a partir de um determinado ponto, 
quando se deseja, por exemplo, saber as grandezas elétricas como tensão, corrente ou 
potência. No mesmo momento em que Norton publicou seu trabalho, um engenheiro 
alemão chamado Hans Ferdinand Mayer (1895-1980) publicou conclusões 
equivalentes, portanto, em muitos lugares, este teorema é conhecido como Teorema 
de Mayer-Norton. 
Assim como foi feito no teorema de Thévenin, para melhor compreensão, 
trabalharemos com o exemplo 4.2. 
Exemplo 4.2: O circuito abaixo é formado por uma fonte de tensão e uma de corrente, 
ambas independentes. Deseja-se saber quais são as características elétricas no resistor 
R1 de 1kΩ, utilizando o teorema de Norton. 
 
Igualmente ao Circuito Equivalente de Thévenin, 
retira-se o resistor em análise R1. Contudo, em 
seu lugar, é colocado um curto-circuito, já que o 
que se deseja é a análise da corrente Icc ou IN. 
 
O aluno verificará então duas malhas, e a 
presença de i1 e i2 no nó em amarelo. A corrente 
IN ou icc é a própria corrente de malha i2 que 
também é a corrente do ramo do curto-circuito. 
Aplicando a lei das malhas com as correntes de circuitação: 
−4 + 𝑉2𝑘 − 𝑉2𝑚 = 0 ⇒ 2000𝑖1 − 𝑉2𝑚 = 4 ⇒ 𝑉2𝑚 = 2000𝑖1 − 4 (1) 
𝑉2𝑚 + 𝑉3𝑘 = 0 ⇒ 3000𝑖2 + 𝑉2𝑚 = 0 (2) 
, 
 
 
53 
 
Substituindo (1) em (2), temos que: 
𝟐𝟎𝟎𝟎𝒊𝟏 + 𝟑𝟎𝟎𝟎𝒊𝟐 = 𝟒 
Lembrando que a diferença das correntes de circuitação fornece a corrente no ramo 
central: 
𝒊𝟏 − 𝒊𝟐 = −𝟐𝒎 𝒐𝒖 − 𝟎, 𝟎𝟎𝟐 
Temos, então, um sistema de equações: 
{
2000𝑖1 + 3000𝑖2 = 4 
𝑖1 − 𝑖2 = −0,002 (. −2000)
 ⇒ {
2000𝑖1 + 3000𝑖2 = 4 
−2000𝑖1 + 2000𝑖2 = 4 +
 
Por comparação: 0𝑖1 + 5000𝑖2 = 8 ⇒ 𝑖2 = 𝑖𝑐𝑐 = 1,6𝑚𝐴 
 
Finalmente, calcula-se a resistência equivalente ou resistência de Norton (RN), 
lembrando que é a resistência equivalente vista pelos terminais no qual estava o 
resistor R1. A fonte de tensão de 4V é substituída por um curto e a fonte de corrente 
por um circuito aberto. Verificam-se dois resistores em série, conforme a figura a dada 
a seguir. 
 
 
 
 
Então, o Circuito Equivalente de Norton será 
formado por uma fonte de corrente de 1,6mA 
e um resistor em paralelo de 5kΩ. 
 
, 
 
 
54 
 
Em análise no MULTISIM®, veja que ambos os circuitos possuem exatamente as 
mesmas características elétricas no resistor de 1kΩ, quais sejam, 1,33V e 1,33mA. 
 
 
 
Conclusão 
Neste bloco foi possível analisar um circuito por inspeção e regra de Cramer na 
Generalização das leis de Kirchhoff. Vimos também como podemos simplificar um 
circuito através dos teoremas de Thévenin e de Norton, bem como analisar um circuito 
através do teorema da superposição. Aprendemos a utilizar dois softwares 
extremamente versáteis, o Octave® que possui sintaxe muito próxima do MATLAB® e o 
software MULTISIM®, um software do tipo SPICE, ambos de licença open source e em 
nuvem. 
 
REFERÊNCIAS 
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. 5ª ed., Porto 
Alegre: AMGH, 2013. (e-book Minha Biblioteca). 
 
REFERÊNCIAS COMPLEMENTARES 
BOYLESTAD, R. L. Introdução à Análise de Circuitos Elétricos. 12ª Ed., São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2012. (e-book Pearson). 
, 
 
 
55 
 
IRWIN, J. D.; NELMS, R. M. Análise básica de circuitos para engenharia. 10ª Ed., Rio de 
Janeiro: LTC, 2013. (e-book Minha Biblioteca). 
MARIOTTO, P. A. Análise de circuitos elétricos. São Paulo: Prentice Hall, 2003. (e-book 
Pearson). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
56 
 
 
3 UTILIZAÇÃO DE SIMULADORES APLICADOS AOS CIRCUITOS ELÉTRICOS 
Olá, alunos! No bloco 1 vimos as Leis de Kirchhoff e as Leis de Ohm, no bloco 2 
desenvolvemos teoremas de análise de circuitos em CC. Neste bloco, apresentaremos 
algumas aplicações de software de simulação para a solução de circuitos. Sabe-se que 
a profissão exige, além da certeza dos resultados, velocidade em apresentar soluções. 
Portanto, veremos as principais versatilidades do software MULTISIM® da National 
Instruments. 
 
3.1 Tutorial básico sobre o simulador MULTISIM® 
O simulador MULTISIM® é uma ferramenta SPICE (Programa de Simulação com Ênfase 
em Circuito Integrado), com a vantagem de ser open source e totalmente funcional em 
nuvem (online). Trata-se de uma ferramenta de grande versatilidade, como o aluno 
poderá ver abaixo. 
Para iniciar, acesse o site: https://www.multisim.com/. As vantagens já começam 
nestaetapa, pois o software é executado totalmente de forma online independente do 
sistema operacional e da memória do computador, já que ele não rodará no seu 
computador nem será instalado nele. 
Após acessar o site, inscreva-se clicando em sign up. 
 
 
 
 
 
 
https://www.multisim.com/
, 
 
 
57 
 
Figura 3.1 – Clique em sign up 
 
 
Ao clicar em sign up, você deverá criar uma conta da National Instruments, colocando 
seu login, nome, sobrenome, atividade, empresa, seu e-mail e senha (oito caracteres). 
Após inserir todas as suas informações, clique em criar conta. 
Você receberá um e-mail de confirmação, e então, poderá efetuar o login no site. Uma 
vez feito login, clique em create circuit para iniciar o circuito. Você verá a tela de 
trabalho abaixo, na qual haverá basicamente três estruturas: 
A) Barra superior de configuração de exibição entre gráficos e esquema, o botão 
de simulação e opções; 
B) Barra lateral esquerda com os componentes na forma de objetos e; 
C) Área de trabalho. 
 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
58 
 
Figura 3.2 – Tela de trabalho 
 
 
Vamos analisar a barra lateral esquerda (A). Nela estão os objetos que serão 
trabalhados na área de trabalho (C). 
 
Figura 3.3 – Barra lateral 
 
 
Cada um desses objetos é um menu de opções contendo subitens. 
, 
 
 
59 
 
Figura 3.4 – Análise e anotações 
 
Provas para aferir tensão, corrente, nível digital e fazer anotações. 
 
Figura 3.5 – Conectores 
 
Conectores, inclusive referência GND. 
 
Figura 3.6 – Fontes 
 
 
Fontes AC, DC e outras diversas fontes de sinal. 
 
 
 
, 
 
 
60 
 
Figura 3.7 – Passivo 
 
Elementos passivos. 
 
Figura 3.8 – Analógico 
 
Elementos analógicos, com o amplificador operacional e o CI555. 
 
Figura 3.9 – Diodos 
 
Diodos. 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
61 
 
Figura 3.10 – Transistores 
 
Transistores. 
Figura 3.11 – Indicadores 
 
Indicadores. 
 
Figura 3.12 – Botões e chaves 
 
Botões e chaves. 
 
 
 
 
 
, 
 
 
62 
 
Figura 3.13 – Blocos de modelagem 
 
Blocos de modelagem. 
 
Figura 3.14 - Potência 
 
Potência. 
 
Figura 3.15 - Portas digitais 
 
Portas digitais. 
A utilização dos objetos baseia-se em clicar, arrastar e soltar. Assim, vamos montar um 
circuito simples para experimentar a interface. Construa o seguinte circuito. Para 
conectar os componentes, clique em seus terminais onde se formará a conexão. 
 
 
, 
 
 
63 
 
 
Ao arrastar e soltar a fonte e o resistor, ambos 
receberão respectivamente os nomes V1 e R1. 
Cada conexão também será identificada. Para 
inserir o resistor mais rapidamente, utilize-se 
do atalho de teclado R. 
 
 
Feche o circuito, adicione na parte de 
baixo, na trilha 0, a referência GND 
como ao lado e o ponto de prova de 
tensão PR1 para efetuar a medição de 
tensão. Na barra superior, clique no 
botão para iniciar a simulação. 
 
 
 
Perceba que a prova irá apresentar 
o valor de tensão, que neste 
circuito é o próprio valor da fonte 
de tensão, qual seja, 5V. 
 
 
Termine a simulação clicando no botão . E então, vamos alterar as configurações 
dos elementos do circuito. Você poderá fazer isso de duas maneiras. Para ajustes 
rápidos, basta clicar sobre os valores dos objetos. Uma série de configurações rápidas 
poderão ser feitas. Inclusive, com botões de rolagem que auxiliam muito em caso de 
touchscreen. 
, 
 
 
64 
 
 
 
 
Clique no valor da resistência 
1kΩ e altere para 2kΩ. 
 
 
 
 
 
 
Para acessar configurações mais avançadas, clique na engrenagem na barra superior à 
esquerda, ou clique duas vezes no elemento do circuito. Clique duas vezes na prova de 
tensão, e mude para medidor de tensão e corrente (V/A). 
 
 
 
 
, 
 
 
65 
 
Clique em para iniciar a simulação. 
Veja que o valor de corrente 
aparece junto ao valor de 
tensão. Vamos agora executar 
alguns exercícios para verificar 
a funcionalidade do software 
com corrente contínua, 
alternada e lógica digital. 
 
 
3.2 Exercícios com circuitos em CC 
Em corrente contínua, vamos aplicar alguns conceitos do MULTISIM® para simular o 
controle de corrente por um transistor NPN, variando a corrente de base, e o uso de 
divisores de tensão para múltiplos botões em uma entrada I/O de um 
microcontrolador. 
 
Controle de corrente por meio de um transistor 
Agora, vamos simular um circuito em corrente contínua para controlar a intensidade 
do brilho de um LED. Inicialmente, deveremos calcular o valor do resistor de proteção 
do LED. A fonte utilizada será de 9V em corrente contínua. Os LEDs costumam ter em 
média 2V à 2,5V podendo variar 0,5V segundo a cor do LED, e 20mA. Assim, 
poderemos calcular o resistor da seguinte forma. 
𝑅 =
𝑉𝑡 − 𝑉𝐿𝐸𝐷
𝐼
=
9 − 2
0,02
= 350Ω 
Utilizaremos também um transistor NPN e seu resistor de base será um 
potenciômetro, no qual varia a corrente de base, iremos variar a corrente que sai no 
emissor e alimenta o LED. 
, 
 
 
66 
 
 
Monte o circuito ao lado. Não se 
esqueça de ajustar os valores do 
resistor e de adicionar o ponto de 
prova para tensão e corrente (V/A). 
 
 
 
 
 
Inicie a simulação na barra superior. E 
então, clique no valor percentual do 
potenciômetro, localizado abaixo do 
valor de resistência. Aparecerá uma 
barra para ajuste do valor percentual 
de resistência do potenciômetro. 
Verifique que o brilho do LED diminui 
quando o valor do resistor de base 
(potenciômetro) diminui. Isto ocorre 
porque a saída do transistor, ou seja, sua corrente no emissor, depende da corrente na 
base que é requerida pelo resistor de base. 
 
Múltiplos botões em uma só entrada analógica 
Uma das maiores dificuldades em aplicações com microcontroladores é a quantidade 
de portas I/O existentes. Os microcontroladores ATMega possuem muitas portas, mas 
microcontroladores de baixos gastos energéticos e dimensões reduzidas possuem 
menos portas (Exemplo: Attiny). Existe uma maneira de utilizar uma só porta analógica 
para o controle de todo um painel de botões, variando a tensão por meio de 
resistores. Essa técnica utiliza-se do divisor de tensão para oferecer valores diferentes 
, 
 
 
67 
 
de tensão para cada botão, permitindo ao microcontrolador distinguir qual botão 
encontra-se pressionado. 
𝑽𝒐𝒖𝒕 = 𝑽𝒊𝒏
𝑹𝟏
𝑹𝟏 + 𝑹𝟐
 
 
Monte o circuito ao lado. Veja 
que, ao apertar o botão S4, 
forma-se um divisor de tensão 
com R1=R2=1kΩ, o que divide 
a tensão por 2 (2,5V). O botão 
S3 forma um divisor com 
R1=1kΩ e R2=2kΩ (1,666V). O 
botão S2 está sujeito a R1=1kΩ 
e R2=3kΩ (1,25V) e o S1 a 
R1=1kΩ e R4=4kΩ (1V). Dessa 
forma, o microcontrolador irá 
definir a função a ser 
executada segundo a tensão 
verificada em sua porta I/O. 
 
 
3.3 Exercícios com circuitos em CA em regime permanente 
Para circuitos em corrente alternada, iremos simular um circuito retificador de onda 
completa como conversor de corrente alternada para corrente contínua. E um circuito 
básico de modulação ASK. 
 
 
 
, 
 
 
68 
 
Conversor CA/CC 
Um meio de converter uma tensão em corrente alternada em uma em corrente 
contínua é a utilização do retificador de onda completa. Para simular um retificador, 
monte o circuito abaixo. 
 
 
O transformador deve possuir relação 1:10. A presença da chave é somente para 
demonstrar os efeitos do capacitor no circuito. O resistor R2 representa uma carga a 
qual o retificador está conectado, então seu valor de resistência não importa. 
Agora, vamos conhecer uma nova funcionalidade do MULTISIM®. Aperte o botão na 
barra superior da interface. Você verá a forma de onda que consta nas provas PR1, PR2 
e PR3. Utilize o botão trigger para selecionar single e obter uma amostra da onda 
gerada. 
 
, 
 
 
69 
 
 
Ao clicar em você poderá selecionar qual ponta da prova deseja amostrar. 
Selecionando as provas PR2 e PR3, você terá duas ondas defasadas em 180°. Isto étípico dos transformadores com center tape como o utilizado na simulação. 
Selecione a prova PR1. Ela mostra a onda que sai após passar pelos diodos 
retificadores. Verifique que ela inverte a amplitude de uma das ondas e a une em uma 
só onda com valores positivos, porém variáveis no tempo. 
 
, 
 
 
70 
 
 
Agora, no circuito, feche a chave S1 que conecta o capacitor no circuito, paralelo à 
fonte. Verifique que a onda que antes era uma onda retificada, agora comporta-se 
como uma corrente contínua. 
 
 
Isso ocorre porque o capacitor é carregado quando a onda sobe rumo ao valor de pico, 
e descarrega quando ela tende a zero, mantendo um valor contínuo que será o valor 
eficaz da onda senoidal. 
 
 
, 
 
 
71 
 
Moduador ASK 
Em telecomunicações, a modulação ASK para envio de mensagens digitais é uma 
forma muito utilizada. 
 
Monte o circuito ao lado. 
Cuidado com as conexões 
do circuito 555 e com os 
valores dos componentes. 
O circuito oscilador 
biestável formado pelo 
CI555 cria um sinal 
modulante digital formado 
por um pulso que cria uma 
onda quadrada. Trata-se 
de um sinal digital binário. 
A fonte de tensão alternada cria um sinal senoidal que é inserido por meio do 
transistor que cria a modulação. Este transistor é o responsável pelo chaveamento. 
Clique em Graphics, e então você poderá ver os sinais gerados. Ajuste a divisão do 
período em Time/Div e a amplitude em Voltage(V). 
 
, 
 
 
72 
 
Perceba, em laranja, o sinal da informação. Este sinal pode ser um sinal de áudio ou 
qualquer outro sinal. A onda modulante está em verde e é um sinal digital binário. O 
sinal ASK resultante é amostrado em azul. 
 
Conclusão 
Neste bloco, foi possível conhecer o software MULTISIM®, um software do tipo SPICE, 
de licença open source e em nuvem. Por meio de um rápido tutorial, aprendemos a 
simular circuitos em corrente contínua e alternada. Verificamos as alterações 
provocadas por divisores de tensão, verificamos o papel dos diodos e capacitores em 
um circuito retificador de onda completa, e analisamos a modulação de um sinal ASK 
formado e como ele pode ser formado simplificadamente. 
 
REFERÊNCIAS COMPLEMENTARES 
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. 5ª ed., Porto 
Alegre: AMGH, 2013. (e-book Minha Biblioteca). 
BOYLESTAD, R. L. Introdução à Análise de Circuitos Elétricos. 12ª Ed., São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2012. (e-book Pearson). 
 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
73 
 
 
4 ANÁLISE DE CIRCUITOS EM REGIME PERMANENTE SENOIDAL: 
PRELIMINARES 
Olá, alunos! Neste bloco apresentaremos os sinais de alimentação periódicos utilizados 
em circuitos elétricos, como a onda quadrada, dente de serra e outros tipos de sinais, 
avaliando o valor médio destes sinais e o valor eficaz. Em especial, apresenta-se o sinal 
senoidal e todas as suas particularidades. Para calcular as grandezas físicas 
utilizaremos a análise fasorial, que necessita do conhecimento dos números 
complexos. E, finalmente, veremos a dedução das equações diferenciais obtidas para o 
cálculo destas grandezas. 
 
4.1 Introdução aos sinais periódicos. Sinais senoidais de tensão e corrente. 
As fontes de alimentação de componentes eletrônicos, para que um circuito cumpra a 
sua função, em geral, são de tensão e corrente contínuas. Porém, na geração de 
energia trabalha-se com sinais oscilatórios representados matematicamente por 
funções trigonométricas como a função senoidal ou cossenoidal. Estes sinais e outras 
formas de onda utilizadas na eletrônica, tais como, a onda quadrada, a onda triangular 
e o dente de serra, são sinais periódicos. Tais sinais, embora tenham formas 
diferentes, tem uma característica comum, se repetem após um determinado tempo, 
que é chamado de Período, normalmente representado com a letra P ou T. 
Podemos, hoje em dia, criar sinais periódicos de acordo com as nossas necessidades a 
partir da tecnologia existente. Mas, os sinais apontados acima ainda são muito 
utilizados. A seguir apresentam-se estes sinais, com suas funções matemáticas e 
demonstra-se como são calculados os valores médio e eficaz de um sinal. A 
importância do cálculo do valor eficaz fica evidente quando se utiliza um multímetro 
para medir um sinal de tensão ou corrente alternada. Como apontar um valor de um 
sinal que varia de forma senoidal? A solução foi a medida de um valor fixo que permita 
avaliar, através da matemática, como o sinal varia no tempo. O valor escolhido foi o 
Valor Eficaz. O valor médio também é importante, pois podemos avaliar se um sinal 
, 
 
 
74 
 
periódico pode ou não gerar energia para girar um motor CC, por exemplo, quando 
trabalhamos com amplificadores do tipo PWM com pulsos de largura variável de alta 
frequência aplicados ao motor CC. 
 
Sinais Periódicos ou Formas de Onda Periódicas 
Na matemática aplicada à engenharia, sinais ou formas de onda periódicas são aquelas 
que se repetem continuamente após um certo intervalo de tempo, denominado 
Período, utiliza-se as letras P ou T para representar essa grandeza. Entende-se a forma 
de onda como o gráfico de corrente, tensão ou outra grandeza elétrica em função de 
outra variável como o tempo, argumento da função ou da velocidade angular no caso 
da função seno. A seguir são representadas algumas formas de ondas periódicas e sua 
função matemática associada. 
Matematicamente, um sinal periódico u(t) é periódico com período T se: 
𝒖(𝒕) = 𝒖(𝒕 + 𝑻), para todo t. 
Observação: Podemos assumir valores negativos para o tempo, mas nos gráficos a 
seguir são feitas representações de amplitude para t ≥ 0 e a forma de onda é definida 
em função de um período T. 
Onda quadrada 
Esta forma de onda tem seu gráfico dado na figura a seguir. A função matemática que 
representa de forma genérica a onda quadrada é dada por: 
𝑓(𝑡) = {
𝐴 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑡 <
𝑇
2
−𝐴 𝑝𝑎𝑟𝑎 
𝑇
2
≤ 𝑡 < 𝑇 
 e 𝑓(𝑡) = 𝑓(𝑡 + 𝑇) 
 
 
 
 
 
 
 
 
f(t) 
𝑻
𝟐
 T 2T 𝟑𝑻
𝟐
 
A 
-A 
, 
 
 
75 
 
Dente de Serra 
Uma representação matemática do dente de serra é dada por: 
𝑓(𝑡) = {
𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑡 <
𝑇
2
𝑡 − 𝑇 𝑝𝑎𝑟𝑎 
𝑇
2
≤ 𝑡 < 𝑇 
 e 𝑓(𝑡) = 𝑓(𝑡 + 𝑇) 
Seu gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onda triangular 
A representação da onda triangular é dada por: 
𝑓(𝑡) = {
𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑡 <
𝑇
2
−𝑡 + 𝑇 𝑝𝑎𝑟𝑎 
𝑇
2
≤ 𝑡 < 𝑇 
 e 𝑓(𝑡) = 𝑓(𝑡 + 𝑇) 
 
E seu gráfico é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onda tipo pulso 
A onda tipo pulso apresentada a seguir pode ser expressa por: 
𝑓(𝑡) = {
𝐴 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑡 < 𝑛𝑇 
 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛𝑇 ≤ 𝑡 < 𝑇 
 e 𝑓(𝑡) = 𝑓(𝑡 + 𝑇) 
 
f(t) 
t 𝑻
𝟐
 
T 2T 𝟑𝑻
𝟐
 
𝑻
𝟐
 
−
𝑻
𝟐
 
 
f(t) 
t 𝑻
𝟐
 
𝑻
𝟐
 
T 2T 𝟑𝑻
𝟐
 
, 
 
 
76 
 
O valor de n pode variar de valores acima de zero até o valor próximo de 1 (0 < n < 1). 
O gráfico do pulso será dado na figura abaixo para n=0,25. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: a onda tipo pulso é muito utilizada nos sinais de amplificadores de 
potência tipo PWM (Pulse Width Modulation). Por exemplo, a placa do Arduíno Uno 
tem saídas pulsadas em alta frequência (f=10KHz ou T=10ms) nas quais varia o valor de 
n de zero (tensão média aplicada nula) a 1 (tensão média de 5volts). Assim, essa 
tensão é aplicada a um drive PWM que varia a tensão do motor CC de 0V até a sua 
tensão nominal, utilizando o valor médio da onda pulsada. 
 
Onda Senoidal 
A onda senoidal é o sinal periódico mais importante para a análise de circuitos 
elétricos em corrente alternada, pois os geradores elétricos produzem um sinal 
elétrico oscilatório que matematicamente é representado por funções trigonométricas 
como o seno ou cosseno (na verdade, o cosseno pode ser visto como uma senóide 
defasada de 90o). É um sinal periódico com determinadas características, a saber: 
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