Séries Infinitas no Cálculo B

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA 
MTM- CÁLCULO B – PARA COMPUTAÇÃO 
SÉRIES INFINITAS 
1. INTRODUÇÃO 
 
Uma parte importante no estudo do Cálculo envolve a representação de funções como “somas 
infinitas”. Para entender esse assunto, precisamos que a operação usual de adição em 
conjuntos finitos de números seja estendida para conjuntos infinitos. Assim vamos utilizar um 
processo de limite através de seqüências. 
 
1.1. Idéia Intuitiva 
 
Exemplo 1: Considere um pedaço de fio com 2 m de comprimento e suponha que este seja 
cortado ao meio. Uma das partes é deixada de lado enquanto a outra é novamente cortada ao 
meio. Novamente um dos pedaços com ½ m de comprimento é posto de lado, enquanto que o 
outro é cortado ao meio, e então obtemos dois pedaços com ¼ m de comprimento cada um. 
Tomamos apenas um deles e dividindo-o ao meio, obtemos dois pedaços com 1/8 m de 
comprimento. Novamente, cortamos um dos pedaços ao meio. Se esse processo continuar 
indefinidamente, o número de metros na soma dos comprimentos dos pedaços separados 
pode ser considerado como a soma infinita: 
 
LL +++++++
−12
1
16
1
8
1
4
1
2
1
1
n
 
 
Qual o resultado da soma infinita acima? 
Se chamarmos de { }ns uma nova seqüência definida por nn aaaas ++++= L321 , 
teremos: 
LLL
M
++++++=+++=
++=++=
+=+=
==
−121
3213
212
11
2
1
8
1
4
1
2
1
1
4
1
2
1
1
2
1
1
1
nnn
aaas
aaas
aas
as
 
Exemplo 2: Podemos representar o número 
3
1
 como uma soma infinita de números reais, 
sabemos que ...33333,0
3
1
= então ...0003,0003,003,03,0
3
1
++++= . 
Analogamente podemos escrever uma seqüência de somas da seqüência acima. 
 
1.2. Séries Infinitas 
 
Definição 1.2.1: Se { }na é uma seqüência e nn aaaas ++++= L321 então a seqüência 
{ }ns é chamada de série infinita que pode ser denotada também por: 
∑
∞
=
=
1n
nn as onde, os números LL ,,,,, 321 naaaa são chamados de termos da série infinita. 
Os números LL ,,,,, 321 nssss são chamados de somas parciais da série infinita. 
Exemplo: 1) A série do exemplo1 ( corte do barbante ) pode ser escrita como a soma infinita: 
LL +++++++=
−
∞
=
−∑ 1
1
1
2
1
16
1
8
1
4
1
2
1
1
2
1
n
n
n
 
ATENÇÃO: Pode ocorrer confusão entre os conceitos de série e seqüência. Mas tenha em 
mente que uma série é uma expressão que representa uma soma infinita de números. Uma 
seqüência é uma coleção de números que estão em correspondência biunívoca com os inteiros 
positivos. 
 Exercícios: 
(1) Dada a série LL +
+
++++
)1(
1
4.3
1
3.2
1
2.1
1
nn
 
(a) Encontre 
654321 ,,,,, ssssss ; 
(b) Determine ns ; 
 
1.3. Convergência 
Definição 1.3.1: Uma série ∑
∞
=1n
na é convergente (ou converge) se a sua seqüência de somas 
parciais { }ns converge – isto é, se ssn
n
=
∞→
lim para algum número real s. O limite s é a soma 
da série ∑
∞
=1n
na e escrevemos LL +++++= nn aaaas 321 . 
A série ∑
∞
=1n
na é divergente (ou diverge) se { }ns diverge. Uma série divergente não tem soma. 
Ou seja, uma série infinita será convergente se e somente se a seqüência das somas parciais 
correspondentes for convergente. Se uma série infinita tiver uma soma S, dizemos também 
que a série convergirá para s. 
Exemplos: (1) Mostre que a série LL +
+
++++
)1(
1
4.3
1
3.2
1
2.1
1
nn
 converge e ache sua 
soma. 
(2) Dada a série ∑
+∞
=
−
1
)1(
n
n
 
(a) Encontre 654321 ,,,,, ssssss ; 
(b) Determine ns ; 
(c) Mostre que a série diverge. 
 
1.4 Séries Geométricas: 
Definição 1.4.1: Uma série é chamada de série geométrica se cada termo é obtido 
multiplicando-se o termo precedente por alguma constante fixada. Ou seja, se o termo inicial 
da série é a e cada termo é obtido multiplicando-se o termo precedente por r, então a série 
tem a forma: 
)0(
1
32 ≠++++++=∑
∞
=
aararararaar
k
kk
LL 
onde r é chamada de razão da série. 
Exemplos: Dadas as séries abaixo, identifique o primeiro termo e a razão. 
1) LL ++++++ k28421 
2) LL +−++−+− +
k
k
2
1
)1(
16
1
8
1
4
1
2
1 1
 
 
 
 
Definição 1.4.2: A Série definida por LL +++++++
n
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1 é chamada de série 
harmônica. 
A série LL +++++++
n
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1 é divergente. 
ATENÇÃO: Na maioria dos casos não é possível obter uma expressão para ns em termos de n; 
assim, precisamos de outros métodos para determinar se uma dada série infinita tem uma 
soma, ou seja, é convergente ou divergente. 
 
2. TEOREMAS SOBRE CONVERGÊNCIA DE SÉRIES 
 
Teorema 2.1: Uma série geométrica 
)0(
1
1321 ≠++++++=∑
∞
=
−−
aararararaar
k
kk
LL 
converge se 1|| <r e diverge se 1|| ≥r . 
A n-ésima soma parcial da série geométrica acima é dada por: 
)( 132 −++++= nn rrrras L 
Da identidade: 
)1)(1(1 132 −+++++−=− nn rrrrrr L 
Temos: 
)1(
)1(
r
ra
S
n
n −
−
= 
Se a série convergir, então a sua soma é 
r
a
ra
k
k
−
=∑
∞
= 11
 
Exemplo: Analise a Convergência das séries: 
a) LL +++++
−12 3
2
3
2
3
2
2
n
b) LL +++++
n10
6
006,006,06,0 
c) ∑
∞
=
+−
1
1
3)1(
n
n
 
A série Harmônica leva esse nome pois surge da conexão com os sons harmônicos produzidos 
pela vibração de uma corda musical. 
Teorema 2.2: Se uma série ∑
∞
=1n
na é convergente, então 0lim =∞→ nn
a 
Exemplo: 1) ∑
∞
=1 4
5
n
n
 
Mas atenção, a recíproca do teorema 2 nem sempre é verdadeira. Isto é, se 0lim =
∞→
n
n
a , então 
não é necessariamente verdadeiro que a série ∑
∞
=1n
na seja convergente. 
Exemplo: Já vimos que a série harmônica LL +++++++
n
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1 é divergente, mas 
observe que 0
1
lim =
∞→ nn
. 
Teorema 2.3: (i) Se 0lim ≠
∞→
n
n
a , então a série ∑
∞
=1n
na é divergente. 
(ii) Se 0lim =
∞→
n
n
a , então a série ∑
∞
=1n
na é convergente ou divergente. 
Exemplos: 1) Analise a convergência das séries: 
∑
∞
= +1 12n n
n
 ∑
∞
=1
2
1
n n
 ∑
∞
=1n
n
n
e
 
Teorema 2.4: Se ∑
∞
=1n
na e ∑
∞
=1n
nb são duas séries infinitas que diferem somente pelo seus m 
primeiros termos ( isto é, 
kk ba = se mk > ), então ambas convergem ou ambas divergem. 
Exemplo: Determine se a série infinita é convergente ou divergente ∑
∞
= +1 4
1
n n
 
Teorema 2.5: Seja c uma constante não-nula: 
(i) Se a série ∑
∞
=1n
na for convergente e sua soma for S, então a série ∑
∞
=1n
nca também será 
convergente e sua soma será cS. 
(ii) Se a série ∑
∞
=1n
na for divergente, então a série ∑
∞
=1n
nca também será divergente. 
Exemplo: Determine se a série ∑
∞
=1 4
1
n n
 é convergente ou divergente. 
Teorema 2.6: Se ∑
∞
=1n
na e ∑
∞
=1n
nb são séries infinitas convergentes com somas S e R, 
respectivamente, então: 
(i) ∑
∞
=
+
1
)(
n
nn ba é uma série convergente e sua soma é S + R; 
(ii) ∑
∞
=
−
1
)(
n
nn ba é uma série convergente e sua soma é S-R. 
Teorema 2.7: Se a série ∑
∞
=1n
na for convergente e a série ∑
∞
=1n
nb for divergente, então a série 
∑
∞
=
+
1
)(
n
nn ba será divergente. 
Exemplos: 1) Determine se a série ∑
∞
=





 +
1 4
1
4
1
n
nn
 é convergente ou divergente. 
2) Prove que a série seguinte converge e ache sua soma: ∑
∞
=
−





+
+1
13
2
)1(
7
n
nnn
 
 
Exercícios 
1. Dadas as séries abaixo: 
(i) Calcule S1, S2 e S3; 
(ii) Determine Sn; 
(iii) Determine a soma da série, se for convergente. 
a) ∑
∞
= ++
−
1 )32)(52(
2
n nn
 b) ∑
∞
=






−1
2
14
1
n n
 
 
2. Verifique se as seguintes séries geométricas convergem ou divergem: 
 
a) LL ++++
+14
3
4
3
3
n
 b) LL ++++
n)100(
37
0037,037,0 c) ∑
∞
=
−−
1
1
32
n
nn
 
 
3. Verifique a convergência das seguintes séries: 
a) LL +
++
+++
)4)(3(
1
6.5
1
5.4
1
nn
 b) LL +
+
+++
)1(
5
3.2
5
2.1
5
nn
 
4. Expresse as dizimas periódicas decimais, abaixo, como uma fração ordinária. 
 
a) ...33333,0 b) ...22727272727,0 c) ,...045454545,2 
5. Utilize séries conhecidas, convergentes ou divergentes, para determinar se a série é 
convergente ou divergente; no caso de convergência, determine a soma. 
a) ( )∑
∞
=
−− −
1
3
22
n
nn
 b) ∑
∞
=






+
+
1 )1(
1
8
1
n
n nn
 
6. Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, ache a soma. 
a) ∑
∞
= +1 2
1
n n
 b) ∑
∞
=1 2
3
n n
 c) ∑
∞
=






1 7
5
3
4
n
n
 d) 
∑
∞
=





 +
1 2
1
2
1
n
nn
 
e) ( )∑
∞
=
− +
1n
nn
ee f) ∑
∞
=





 −
1 3
1
2
1
n nn
 g) ∑
∞
=





 −
1 3
2
2
3
n nn
 h) 
∑
∞
=





 +
1 3
2
2
3
n
nn
 
7. Onde está o erro na seguinte “prova” de que a série divergente ( )∑
∞
=
+−
1
1
1
n
n
tem soma 
0? Prova: ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]∑
∞
=
+ =+++=+−++−++−+=−
1
1
00001111111
n
n
LL 
8. Deixa-se cair uma bola de borracha de uma altura de 10 metros. A bola repica 
aproximadamente metade da distância após a queda. Use uma série geométrica para 
aproximar o percurso total feito pela bola até o repouso completo. 
 
9. A trajetória de cada oscilação de um pêndulo é 0,93 do comprimento da trajetória da 
oscilação anterior (de um lado até o outro). Se a trajetória da primeira oscilação mede 
56 cm de comprimento e se a resistência do ar leva o pêndulo ao repouso, quanto 
mede o caminho percorrido pelo pêndulo até que ele pare? 
 
10. Um triângulo eqüilátero tem lados medindo 4 unidades de comprimento. Portanto, o 
seu perímetro é 12 unidades. Outro triângulo eqüilátero é construído com segmentos 
de reta traçados através dos pontos médios dos lados do primeiro triângulo. Esse 
triângulo tem lados medindo 2 unidades de comprimento e seu perímetro é de 6 
unidades. Se o procedimento puder ser repetido um número ilimitado de vezes, qual 
será o perímetro total de todos os triângulos formados? 
Respostas: 1. a) 
55
6
.
45
4
,
35
2
−−− ; 
)52(5
2
+n
n
; Converge para 
5
1
− ; b) 
7
3
.
5
2
,
3
1
; 
12 +n
n
; 
Converge para 
2
1
; 2. a) Converge para 4; b) Converge para 
99
37
; c) Diverge; 
3. a) Converge ; b) Converge; c) Diverge; d) Diverge; 4. a)
99
33
 ;b)
99
27
c) 
111
137
;5.a) Converge para 
7
6
; 
b) Converge para 
7
8
; 6.a) Divergente; b) Divergente; c) Converge para 
3
10
 ; d) Divergente; e) Diverge; 
f) Diverge; 
 
8. S= 4,06 m; 10. 24 unidades; 
 
 
 
 
 
3. SÉRIES DE TERMOS POSITIVOS 
 
Vimos que para estudar a convergência de uma série precisamos determinar o nmo. termo, ou 
seja Sn, para depois verificarmos a existência do limite n
n
S
∞→
lim . Infelizmente, a maioria dos 
casos, quase nunca é possível encontrar uma fórmula explicita para 
nS . Nesses casos, 
podemos analisar, não obstante, testes para a convergência ou divergência de uma série
∑
∞
=1n
na que utilizam o n
mo
 termo na . Tais testes não nos dão a soma S da série; apenas 
analisam a convergência desta. 
 
Definição 3.1.: Uma série ∑
∞
=1n
na tal que nan ∀≥ ,0 , é chamada de série de termos positivos. 
Exemplo: A série ∑
∞
=1
2
1
n n
 é uma serie de termos positivos. 
A convergência de uma série de termos positivos será útil para a analise de convergência de 
uma série arbitrária. 
 
Teorema 8: Uma série infinita de termos positivos será convergente se e somente se sua 
seqüência de somas parciais tiver um limitante superior. 
Exemplo: Analise a convergência da série: ∑
∞
=1 !
1
n n
 
Teorema 9 (Teste da Comparação): Sejam ∑
∞
=1n
na e ∑
∞
=1n
nb séries de termos positivos. 
(i) Se ∑
∞
=1n
nb converge e nn ba ≤ para todo inteiro positivo n, então ∑
∞
=1n
na converge. 
(ii) Se ∑
∞
=1n
nb diverge e nn ba ≥ para todo inteiro positivo n, então ∑
∞
=1n
na diverge 
 
Exemplo: Verifique a convergência das seguintes séries: 
 
a) ∑
∞
= +1 52
1
n
n
 b) ∑
∞
=1
1
n n
 
 
Em muitos casos o teste acima é um pouco difícil, quando temos que provar se nn ba ≥ ou 
nn ba ≤ , principalmente se na for uma expressão complicada. O seguinte teorema é em geral 
mais fácil de aplicar, porque, escolhida ∑
∞
=1n
nb basta calcular o limite quando 
Teorema 10 (Teste da Comparação com Limite): Sejam ∑
∞
=1n
na e ∑
∞
=1n
nb séries de termos 
positivos. 
(i) Se 0lim >=
∞→
c
b
a
n
n
x
, então ambas as séries convergem, ou ambas divergem. 
(ii) Se 0lim ==
∞→
c
b
a
n
n
x
, e se ∑
∞
=1n
nb converge, então ∑
∞
=1n
na também converge. 
(iii) Se ∞==
∞→
c
b
a
n
n
x
lim , e se ∑
∞
=1n
nb diverge, então ∑
∞
=1n
na também diverge. 
 
Exemplo: Verifique a convergência das seguintes séries: 
 
a) ∑
∞
= +1 13
4
n
n
 b) ∑
∞
=1
1
n n
 c) LL ++++++
−12
1
8
1
4
1
2
1
1
n
 
 
Teorema 11 : Se ∑
∞
=1n
na for uma série convergente de termos positivos, seus termos poderão 
ser agrupados de qualquer maneira, e a série resultante continuará convergente e com a 
mesma soma que a série original. 
 
Teorema 12 : Se ∑
∞
=1n
na for uma série convergente de termos positivos, a ordem dos termos 
pode ser rearranjada, e a série resultante também será convergente e terá a mesma soma que 
a série original. 
Definição 3.2: A série definida por LL ++++++
ppppp n
1
4
1
3
1
2
1
1
1
 é chamada de série p 
ou série hiper-harmônica. 
• Se 1=p a série p é a série harmônica, então diverge; 
• Se 1<p a série p diverge; 
• Se 1>p a série p converge. 
 
Exemplo: Verifique a convergência das seguintes séries: 
 
a) ∑
∞
=1
2
1
n n
 b) ∑
∞
=1
1
n n
 c) ∑
∞
= +1
3/12 )2(
1
n n
 
Teorema 13 (Teste da Integral): Seja f uma função continua, decrescente e com valores 
positivos para todo 1≥x . Então, a série infinita 
LL +++++=∑
∞
=
)()3()2()1()(
1
nffffnf
n
 
será convergente se a integral imprópria ∫
∞
1
)( dxxf existir, e será divergente se 
+∞=∫+∞→
b
b
dxxf
1
)(lim 
Exemplos: 1) Use o teste da integral para mostrar que a série harmônica é divergente. 
2) Determine se a série ∑
∞
=
−
1
2
n
n
ne converge ou diverge. 
OBS: Se em uma série infinita o índice do somatório começa com n=k em vez de n=1, temos 
então a seguinte modificação do teste da integral: 
Se f for uma função continua, decrescente e com valores positivos para todo kx ≥ . Então, a 
série infinita 
LL +++++=∑
∞
=
)()3()2()1()(
1
nffffnfn
 
será convergente se a integral imprópria ∫
∞
k
dxxf )( existir, e será divergente se 
+∞=∫+∞→
b
kb
dxxf )(lim 
Exemplo: Determine se a série ∑
∞
=2 ln
1
n nn
 converge ou diverge. 
 
Exercícios 
11. Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, ache a soma. 
a)∑
∞
=1
1
n
n
n
 b) ∑
∞
= +
+
1
2
52
13
n n
n
 c) ∑
∞
=1
2
3
cos
n
n
n
 
d) ∑
∞
= +1 )!2(
!
n n
n
 e)∑
∞
= +1
2
35n n
n
 f)∑
∞
= +1 74
1
n n
 
g) ∑
∞
=
−
1
2 3
n
n
en h)∑
∞
= +
+
1 31
21
n
n
n
 
4. SÉRIES ALTERNADAS 
 
Vamos considerar agora series infinitas que contêm termos positivos e termos negativos. 
Definição 4.1: As séries ∑
∞
=1n
na cujos termos se alternam entre positivo e negativo são 
chamadas de série alternadas. Assim, se Znan ∈∀> ,0 , então a série: 
( ) ( ) LL +−++−+−=− +
∞
=
+∑ nn
n
n
n
aaaaaa
1
4321
1
1
11 
e a série: ( ) ( ) LL +−++−+−=−∑
∞
=
n
n
n
n
n
aaaaa 11 321
1
 
São chamadas de séries alternadas. 
Exemplo: As seguintes séries são séries alternadas. 
a) ( )∑
∞
=
+−
1
1 1
1
n
n
n
 b) ( )∑
∞
=
−
1 !
1
1
n
n
n
 
 
Existe um teorema que fornece um teste para a analise da convergência de séries alternadas. 
Chamado de Teste de Leibniz ( formulado em 1705). 
Teorema 14 (Teste de séries alternadas): Uma série alternada ( )∑
∞
=
+−
1
1
1
n
n
n
a converge se as 
duas condições a seguir estiverem satisfeitas: 
(i) kaa kk ∀> + ,1 inteiro positivo. 
(ii) 0lim =
∞→
n
n
a 
Exemplo: Use o teste da série alternada para analisar a convergência das seguintes séries: 
a) ( )∑
∞
=
+−
1
1 1
1
n
n
n
 b) ( )∑
∞
= +
+
−
1 )1(
2
1
n
n
nn
n
 
Observação: 1) Se uma série violar a condição (ii) do teste de séries alternadas então a série 
deve divergir. 
2) Se (ii) for satisfeita, mas (i) não for satisfeita então a serie pode convergir ou divergir. 
Exemplo: Verifique a convergência das seguintes séries: 
a) ( )∑
∞
=
+
−
−
1
2
1
34
2
1
n
n
n
n
 b) ( )∑
∞
=
+
−
−
1
1
34
2
1
n
n
n
n
 
OBS: Se todos os termos de uma dada série infinita forem substituídos pelos seus valores 
absolutos e a série resultante for convergente, então dizemos que a série dada é 
absolutamente convergente. 
Definição 4.2: Dizemos que a série infinita ∑
∞
=1n
na será absolutamente convergente se a série 
∑
∞
=1n
na for convergente. 
Se uma série que é convergente, mas não absolutamente convergente é denominada 
condicionalmente convergente. 
 
Exemplo: Verifique se as seguintes séries sã absolutamente convergentes: 
a) ( )∑
∞
=
+−
1
1
3
2
1
n
n
n
 b) ( )∑
∞
=
+−
1
1 1
1
n
n
n
 
Teorema 15: Se a série infinita ∑
∞
=1n
na for absolutamente convergente ela será convergente e 
∑ ∑
∞
=
∞
=
≤
1 1n n
nn aa 
Exemplo: Determine se a série ∑
∞
=1
2
3
cos
n n
nπ
 
Teste da razão para determinar se uma série é absolutamente convergente. 
Teorema 16 ( Teste da Razão): Seja ∑
∞
=1n
na uma série infinita dada para a qual todo na é não-
nulo. Então: 
(i) Se 1lim 1 <=+
∞→
L
a
a
n
n
n
, a série dada é absolutamente convergente; 
(ii) Se 1lim 1 >=+
∞→
L
a
a
n
n
n
 ou se ∞=+
∞→
n
n
n a
a 1lim a série dada divergente; 
(iii) Se 1lim 1 =+
∞→
n
n
n a
a
, nenhuma conclusão pode ser tirada sobre a convergência série. 
 
Exemplos: 1) Determine a convergência absoluta das séries: 
a) ( )∑
∞
=
+−
1
1
2
1
n
n
n n
 b) ( )∑
∞
= +
+
−
1 )1(
2
1
n
n
nn
n
 
 
 OBS: O teste da razão não inclui todas as possibilidades para 
n
n
n a
a 1lim +
∞→
, pois é possível que o 
limite não exista e não seja ∞+ . Outro teste que pode resolver esse problema é o teste da 
raiz. 
 
 
 
Teorema 18 (Teste da Raiz): Seja ∑
∞
=1n
na uma série infinita para a qual todo na é diferente de 
zero. Então: 
(i) Se 1lim <=
∞→
Lan n
n
, a série dada é absolutamente convergente; 
(ii) Se 1lim >=
∞→
Lan n
n
 ou se +∞=
∞→
n
n
n
alim a série dada divergente; 
(iii) Se 1lim =
∞→
n
n
n
a , nenhuma conclusão pode ser tirada sobre a convergência série. 
 
Exercícios 
(1) Utilize, quando possível, o teste da integral para determinar se a série dada converge ou 
diverge. 
a) ∑
∞
= +1 12
1
n n
 b) ∑
∞
= +1
2/3)2(
1
n n
 c) ∑
∞
=1
ln
n n
 
(2) Determine se a série alternado dada é convergente ou divergente: 
a) ( )∑
∞
=
+−
1
1
2
1
1
n
n
n
 b) ( )∑
∞
=
+−
1
1
ln
1
1
n
n
n
 
c) ( )∑
∞
=
+−
1
2
1 ln
1
n
n
n
n
 d) ( )∑
∞
=
−
1
2
3
1
n
n
n
n
 
(3) Determine se a série dada é absolutamente convergente,condicionalmente 
convergente ou divergente. Prove a sua resposta. 
a) ∑
∞
=





−
1 3
2
n
n
 b) ( )∑
∞
=
∞+−
1 !
2
1
n
n
n
n
 
c) ∑
∞
=1
2
!n n
n
 d) ( )∑
∞
=
+
−
1
1
2
!
1
n
n
n n
 
Respostas: (1) D;b)C;c)D.(2)a) C;b)C;c)C;d)D.(3) a) Abs Convergente;b) Abs Convergente; c) Abs Convergente; d)Divergente;