Oscilacoes E Ondas

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CEFET - RJ
Uned Angra dos Reis
1 O oscilador harmônico
Figure 1: A natureza dá a b**** para o oscilador harmônico, segundo o professor Josué, homenageado neste ano
pela UFC
Sistemas oscilatórios dominam todas as áreas da fı́sica e das engenharias. Um pêndulo desviado de seu ponto
de equilı́brio tende a voltar àquela posição por forças restauradoras internas do material de que é feito. O som que
ouvimos é uma combinação extremamente cuidadosa entre oscilações de densidade, pressão e de deslocamento
de camadas de ar; exemplos devem ser infinitos e talvez o professor Josué esteja mesmo certo nesse sentido
A maneira usual que tratamos as oscilações no curso de fı́sica 1 foi o de descrever a energia potencial U(r) de
um sistema conservativo, o qual, próximo ao ponto de equilı́brio, pode ser aproximado em uma função parabólica,
admitindo soluções periódicas com ponto de eqiuilı́brio no ponto de mı́nimo do potencial U e com pontos de
retorno nos valores máximos alcançados para a energia potencial do sistema
Como exemplo, podemos tomar o caso de um sistema massa mola, onde para pequenos deslocamentos da
posição de equilı́brio a força é tida como restauradora
F(x) = −kx (1)
onde k é a constante elástica da mola enquanto x é o deslocamento, em metros, de uma massa na ponta da mola da
posição relaxada da mola. A energia potencial da mola é facilmente calculada com o auxı́lio da função trabalho,
que é igual ao negativo da energia potencial, dando que
U(x) =
1
2
kx2. (2)
A equação de movimento resultante pode ser obtida tanto por métodos de conservação de energia quanto pela
segunda lei de Newton, resultando em
m
d2x
dt2
= −kx (3)
Devido às configurações deste exemplo, ele é chamado de oscilador harmônico unidimensional e, observa-se,
muitos sistemas naturais obedecem a esse tipo de descrição, desde que os deslocamentos das quantidades fı́sicas
1
descritas sejam pequenas: no caso de um sistema massa-mola, se os deslocamentos não forem suficientemente
pequenos, pode ocorrer distorções ı̃rreversı́veis da mola e, assim, a força elástica dela já não deverá mais ser dada
pela lei de Hooke (1), de modo que precisaremos de formulações não lineares, as quais fogem dos objetivos deste
curso
O objetivo principal deste capı́tulo é o de estudar sistemas cujas equações sejam dadas na forma de (3) e que,
nos casos gerais, serão dadas na forma
ẍ+ω2x = 0 (4)
onde a frequêcia angular ω será especificada para cada problema em particular. A partir daı́, procuraremos as
soluções possı́veis para as equações na forma de (4) e o nosso trabalho será simplesmente ajustar as condições de
contorno de cada problema, encontrando ω e os valores para a amplitude de movimento e a fase inicial
1.1 Oscilações Harmônicas
Um lembrete: nos cursos de mecânica básica fomos capazes de concluir que o problema geral era o de encontrar
soluções para as equações de movimento de algum problema dado; encontrávamos as soluções gerais e, em
seguida, aplicávamos as condições de contorno para que as soluções ficassem unı́vocas, ou seja, só se referissem
àquele problema especı́fico
Aqui não é diferente. Tanto é que oscilações harmônicas são soluções, equações de movimento, de sistemas
conservativos e restauradores. Nos primeiros tópicos estudados, no caso de MRUV, a situação era dada por
d2x
dt2
= a (5)
onde a é uma aceleração constante. A solução dela é dada por
x(t) = x(0)+ v(0)t +
1
2
at2, (6)
onde as constantes x(0) e v(0) são obtidas com dados especı́ficos do problema:
x(0) = x0
dx
dt
(0) = v0
(7)
As soluções são dadas pelo método das equações diferenciais caracterı́sticas1, que consiste em supor uma
solução periódica para a solução da equação de movimento x(t)
x(t) = eiωt (8)
de modo que podemos facilmente substituir na equação de movimento (3), resultando em
mω2eωt = −keωt , (9)
de tal forma que obtemos a solução em termos de ω , que chamamos de frequêcia natural de oscilação
ω =
√
k
m
(10)
e então a solução pode ser dada por
x(t) = ei
√
k/mt . (11)
1É o método mais simples que se tem para resolver equações diferenciais de ordens 2 em diante; qualquer livro, por pior que seja, será
capaz de explicar esse método de maneira que tenhamos tudo o que precisamos
2
Observe agora uma outra situação: em vez de considerar a proposta de solução (8), use agora que
x(t) = e−iωt (12)
e observe que ela também satisfaz à equação diferencial (3). Dessa forma, tem-se duas soluções distintas que satis-
fazem uma mesma equação diferencial. Por isso, podemos invocar ao conceito de linearidade das soluções: se uma
equação diferencial tem x1 e x2 como soluções, então a solução geral da equação diferencial é uma combinação
linear entre as soluções encontradas. Assim, a solução geral para (3) é a combinação linear
x(t) = a1eiωt +a2e−iωt (13)
onde as constantes a1 e a2 são determinadas a partir das condições iniciais de cada problema especı́fico.
1.1.1 Exercı́cios
1. A fórmula de Euler: considere a equação diferencial
d f
dt
= λ f
f (0) = 1
(14)
(a) Mostre que f (t) = eit é solução e satisfaz à condição de contorno
(b) Mostre que f (t) = cos t + isen t também é solução e satisfaz à mesma equação diferencial
(c) Com a igualdade de condições dos dois itens anteriores, somos obrigados a concluir que se duas
funções satisfazem uma mesma equação diferencial e às mesmas condições de contorno, então as
funções são iguais, ou seja:
eix = cosx+ isenx (15)
que é a equação de Euler
(d) Mostre que f (x1 + x2) = f (x1) f (x2) para ambos os lados da equação de Euler
(e) Mostre que
e−ix = cosx− isenx (16)
(f) Mostre que
cos(x) = R
(
eix
)
=
1
2
(
eix + e−ix
)
sen(x) = I
(
eix
)
=
1
2i
(
eix− e−ix
) (17)
2. Forma polar de um número complexo: Das equações (17), temos uma maneira interessante de ver o número
complexo e±ix. Se considerarmos um eixo cartesiano onde a abscissa representaria a parte real e a ordenada
representasse a parte imaginária de um número complexo, então um ponto P = z neste plano poderia ser
decomposto por z = x+ iy = R(z)+ iI(z) ou ainda por ρ(cosθ + isenθ) onde ρ seria o módulo do número
complexo, dado por ρ =
√
x2 + y2. Um número complexo escrito na forma z= ρeiθ tem, então, duas partes,
onde ρ é definido como o módulo e eiθ é definida como a fase de um número complexo. Mostre que
(a) e±iπ/2 =±i
(b) e±iπ =−1
(c) e2iπ = 1
(d) z1z2 = r1eiθ1r2eiθ2 = r1r2ei(θ1+θ2)
3
Figure 2: Forma polar de um número complexo
(e)
z1
z2
=
r1
r2
ei(θ1−θ2)
(f) ea+ib = ea(cosb+ isenb)
(g)
d
dt
z =
dx
dt
+ i
dy
dt
3. Mostre que se a solução geral de um oscilador harmônico é dada por
x(t) = a1eiωt +a2e−iωt (18)
então essa mesma solução pode ser dada por
x(t) = acos(ωt)+bsen(ωt) (19)
e encontre a e b em termos de a1 e a2.
4. Suponha que as amplitues de oscilação a e b são tais que elas têm os mesmos valores máximos e mı́nimos,
”mas não na mesma hora”; uma maneira de usar essa informação é usar que a = Acosφb = −Asenφ (20)
onde φ é uma constante de fase a ser definida nas condições iniciais do problema. Use as informações acima
para encontrar que a solução geral (19) pode ser dada por
x(t) = Acos(ωt +φ) (21)
e encontre A, cosφ e senφ em termos de a e b
1.2 Interpretação Fı́sica dos parâmetros
Uma forma muito aceita das soluções para as equações de movimento dos hosciladores harmônicos é a dada na
forma (21), que é uma solução que oscila dentro do intervalo de valores máximos para |x(t), que são A e −A e,
por isso, A é chamado de amplitude de oscilação
4
Além do mais, a função cos(ωt +φ) é uma função periódica que perı́odo 2π no argumento ωt e, por isso, o
perı́odo de oscilação τ é dado por
2π = wτ ⇒ τ = 2π
ω
=
1
f
(22)
onde f é a frequêcia de oscilação da solução; a frequência f mede o númerode ciclos por segundo e, por isso,
sua unidade é o Hertz. Note a diferença sutil entre w e f : ω chama-se frequência angular - exatamente como a
velocidade angular no MCU - que também é medida em 1/s, mas não se costuma usar Hertz como unidade para
ω
Figure 3: Variação de φ no MHS
O argumento da função cosseno em (21)
θ(t) = ωt +φ (23)
chama-se fase do movimento e φ é nada mais que a fase inicial, a
fase quando t = 0. Para cada valor de φ tem-se um valor diferente
para o inicio da função em t = 0. Há onsiderações interessantes
quando comparamos as soluções de acordo com a defasagem rel-
ativa φ : quando a defasagem é φ = 0, temos oscilações coerentes;
quando duas oscilações estão defasadas por φ = π/2, observa-
mos que quando uma está no valor máximo, a outra é nula e
quando uma está no valor mı́nimo, −A, a outra também é nula,
por isso essa defasagem leva o nome de quadratura; quando a
defasagem é de φ = π , temos que para cada valor do argumento
de uma função, tem-se o oposto na outra e, por isso, chamamos
essa defasagem relativa de oposição de fase
Da frequência natural de oscilação dada em (10), tem-se que
ω
2 =
k
m
; (24)
como a constante elástica k é medida em Newtons por metros,
tem-se que as unidades de ω2 são dadas por Newtons po metro
vezes massa, que significa a quantidade de força restauradora por
unidade de deslocamento e por unidade de massa. Observe que ela
não depende da amplitude de oscilação. Esses comportamentos
servem também para sistemas oscilatórios em geral e podem ser
interpretados como: quanto maior a força restauradora por unidade de deslocamento do equilı́brio e quanto menor
a massa, mais rápidas são as oscilações
1.2.1 Ajuste das condições de contorno
A velocidade do oscilador harmônico é obtida através da equação (21) com
v(t) =
dx(t)
dt
= −ωAsen(ωt +φ) (25)
tal que para satisfazer as condições iniciais deve-se ter x(0) = Acosφv(0) = −ωAsenφ (26)
de modo que a solução geral (19) por
x(t) = x0 cos(ωt)+
v0
ω
sen(ωt) (27)
5
e onde encontra-se que 
A =
√
x20 +
v20
ω2
cosφ =
x0
A
senφ = − v0
ωA
(28)
Figure 4: Variação de φ no MHS
Observe agora a equação para a ve-
locidade do OHS dada em (25); ob-
serve que enquanto a posição é dada pela
função cosseno, a velocidade depende do
seno; observe também que cos(θ +π/2) =
−senθ . Analisando essas duas funções,
somos capazes de concluir que
As funções posição e velocidade no
MHS estão em quadratura, o que quer dizer
- veja a Figura (4) - que a velocidade
aparece adiantada em π/2 com relação
ao deslocamento; isso significa que nas
posições de deslocamento máximo, temos
as menores velocidades - caracterizando
as proximidades dos pontos de retorno -
e, vice versa, os máximos de velocidade
são os pontos mais próximos do ponto de
equilı́brio
Observa-se a mesma defasagem, quadratura,
entre as funções velocidade e aceleração;
isso significa dizer que os pontos de
maiores valores para velocidade são os
pontos de menores acelerações, ou seja,
menores valores para a força restauradora
elástica, caracterizando as proximidades
do ponto de equilı́brio; por outro lado, os
maiores valores para a aceleração - que são
os maiores valores para a força elástica -
ocorrem nos pontos de menores valores para a velocidade, caracterizando as proximidades dos pontos de retorno
Na mesma Figura, observa-se a mesma defasagem, quadratura, é observada entre as funções velocidade e
aceleração; isso quer dizer que . Interessante observar que a posição e a aceleração estão, assim, defasadas em
π , caracterizando uma oposição de fase: o máximo da aceleração implica num deslocamento máximo, mas em
sentido contrário; e, vice versa
1.2.2 Energia do oscilador
Pode-se calcular muito facilmente as energias cinéticas e potencial para o OHS:
K =
1
2
mv2 =
1
2
mω2A2sen 2(ωt +φ)
U =
1
2
kx2 =
1
2
mω2A2 cos2(ωt +φ)
(29)
6
onde, na equação para a energia potencial foi usado que ω2 = k/m. Somando membro a membro, tem-se a energia
total do sistema:
E = K +U
(30)
=
1
2
mω2A2 (31)
que é constante durante todo o movimento2. Observe que a energia total do OHS é proporcional: ao quadrado
da frequêcia, o que significa que quanto maior a frequência angular do OHS, mais energético ele é; e também
ao quadrado da amplitude, mostrando que quanto maior a amplitude, muito maior é a energia do oscilador. A
Figure 5: Balanço de energia cinética e potencial para osciladores harmônicos conhecidos: pêndulo simples e
sistema massa-mola
Figura (1.2.2) mostra o comportamento das energias mecânicas de dois osciladores harmônicos simples; levando
em conta que o sistema seja conservativo, encontramos uma maneira de visualizar o conceito de transformação de
energias mecânicas ∆K =−∆U
Se uma função f (s) é definida dentro de um intervalo definido e invariável, por exemplo, 0≤ s≤ τ , define-se
a média f (s) dessa função como
f (s) =
1
τ
∫
τ
0
f (s)ds. (32)
Com essa definição, é fácil mostrar que
K = U
=
1
2
E
=
1
4
mω2A2 (33)
2Claro, pois o sistema é conservativo!
7
o que quer dizer que a energia cinética média por unidade de perı́odo é igual à energia potencial média por unidade
de perı́odo; ambas médias são iguais, portanto, à metade da energia total do OHS
Pode-se encontrar a energia cinética para cada ponto no do OHS: sabendo que a energia total do OHS é igual
à energia potencial elástica do ponto de retorno, tem-se
E = K +U
⇒ K = E−U
K =
1
2
k(A2− x2) (34)
Figure 6: Variação de K e U no MHS
Observe a Gigura (6). Como o gráfico
da energia potencial U(x) é uma parábola
com concavidade para cima e com centro
no ponto de equilı́brio e limitada aos pon-
tos de retorno, a energia cinética K tem que
ser igual a uma parábola com concavidade
para baixo, também com centro no ponto
de equilı́brio e limitada aos pontos de re-
torno
Observe a equação (34). Lembrando
que
v =
dx
dt
,
pode-se encontrar a velocidade em qual-
quer ponto x por
v(x) =
√
k
m
√
A2− x2 (35)
mostrando que a velocidade chega a zero
quando x =±A, nos pontos de retorno.
1.3 Aplicações
É nesta parte que vemos a enorme quantidade de sistemas oscilatórios que têm equações de movimento dadas por
(3), começando de sistemas macroscópicos até a sistemas quânticos
1.3.1 O pêndulo de torção
Figure 7: Variação de K e U no MHS
Este é um dos dispositivos macroscópicos mais sensı́veis já de-
senvolvidos; já foi usado para, por exemplo, determinar o valor
da constante gravitacional G, no século XVII, com precisão na or-
dem de uma parte a cada 100 000. O dispositivo consiste de um
fio suspenso a um teto por uma das pontas enquanto que na outra
se tem um disco com graduação angular; nos casos em que se pre-
cisa de maior precisão, se coloca um espelho no disco de forma a
acusar o menor deslocamento angular possı́vel com instrumentos
de medidas óticos capazes de descobrir variações de tamanhos de
comprimento de arco da ordem de nanometros
Para qualquer deslocamento angular φ , existirá um torque
restaurador τ com resposta linear - semelhante à resposta da Lei
de Hooke - na forma
τ = −kφ (36)
8
onde k é o módulo de torção elástica que depende puramente do material, do comprimento e do diâmetro do fio; o
sinal negativo mostra que a força é sempre restauradora. Se o momento de inércia com relação ao eixo de rotação
que passa pelo centro do disco é I, então a “segunda lei de Newton” nos dá
Iφ̈ =−kφ , (37)
que é uma equação da forma de (4) onde a frequência angular é dada por
ω
2 =
k
I
(38)
As soluções são, então, dadas por
φ(t) = φ0 cos(ωt +ϕ) (39)
onde φ0 e ϕ são dadas por condições de contorno especı́ficas em cada problema
1.3.2 O pêndulo simples
Figure 8: Variação de K e U no MHS
O pêndulo simples consiste de uma partı́cula de massa
m presa a um fio inextesı́vel de comprimento l e que
oscila próximo ao pontode equilı́brio do sistema em
ângulos pequenos. Fora do ponto de equilı́brio, a
massa executa uma trajetória circular de raio l sob a
ação da força peso p = mg que, nesse caso, tem o pa-
pel de uma força restauradora. Aplicando a segunda
lei de Newton, tem-se duas equações de movimento,
sendo uma angular e outra radial, dadas por
mar =−mlθ̇ 2 = mgcosθ +m
v2
l
−T
maθ = mlθ̈ = −mgsenθ
(40)
Sobre essas equações, temos alguns fatos a consid-
erar:
1) que o fio do pêndulo é inextesı́vel, o que implica que
não haja variação radial, muito menos aceleração ra-
dial; por isso, a primeira das equações é nula, levando
ao fato de que a tensão no fio seja dada por
T = mgcosθ +m
v2
l
, (41)
onde o último termo é se refere à aceleração centrı́peta
devido ao movimento circular uniforme, mostrando
que a tensão na corda depende da posição angular do
pêndulo e da velocidade, dando que a tensão é maior
em θ = 0, exatamente onde a velocidade é a máxima
2) A equação angular tem a forma da equação (4)
com
ω =
√
g
l
(42)
que é a frequência angular de um pêndulo simples. Observe que a frequêcia independe da massa, mas somente do
comprimento l do fio. O perı́odo de oscilação do pêndulo é dado por
τ =
2π
ω
= 2π
√
l
g
, (43)
9
mostrano que o perı́odo de oscilação é independente da amplitude do movimento: isso quer dizer que pêndulos
constituı́dos de fios com os mesmos comprimentos teriam o mesmo perı́odo de oscilação mesmo se tiverem am-
plitudes de oscilações diferentes3
A energia cinétia do pêndulo é dada por
K =
1
2
mv2 =
1
2
ml2ω2 (44)
enquanto que a energia potencial é dada por
U = W0→θ =
∫
θ
0
mgsenθ ′ l dθ ′
= mgl (1− cosθ)
(45)
1.3.3 O pêndulo fı́sico
Figure 9: Variação de K e U no MHS
o pêndulo simples é uma idealização de um sistema
que executa um MHS e que em certas circunstâncias
têm condições difı́ceis de serem satisfeitas. Um
pêndulo fı́sico já considera que qualquer corpo rı́gido
suspenso por qualquer ponto pode executar movimen-
tos harmônicos simples em torno de um eixo horizon-
tal; este dispositivo também é chamado de pêndulo
composto. A situação fı́sica pode ser resumida em:
um corpo pendurado onde o centro de massa oscila em
torno de um ponto de equilı́brio
Seja G a posição do centro de massa de uma barra
a uma distância s do ponto de suspensão O. Se θ é o
ângulo formado entre o eixo que liga G a O em relação
ao eixo vertical, o torque τ com relação a O é
τ = −mgssenθ (46)
Se I é o momento de inércia do pêndulo com
relação ao eixo que passa por O, então a equação de
movimento resulta em
τ = Iα
τ = I
d2θ
dt2
⇒ I d
2θ
dt2
= −mgssenθ
⇒ I d
2θ
dt2
≈ −mgsθ (47)
que tem a mesma forma da equação (3); de fato, é
uma equação diferencial idêntica à do movimento do
pêndulo onde o comprimento do fio deve ser sub-
stituı́do por
l =
I
ms
(48)
3Desde que se respeite a condição de que senθ ≈ θ
10
1.3.4 O Pêndulo para grandes amplitudes de oscilação
Já vimos que se pode escrever a energia total do pêndulo, de fio inextensı́vel de comprimento l, apenas em termos
de θ :
E =
1
2
ml2θ̇ 2 +mgl(1− cosθ), −π < θ ≤ π. (49)
Nada impede que se trate todo o problema para os casos em que θ ∈ [−∞,∞], mas se o sistema for conservativo,
o balanço de energia será o mesmo para qualquer translação de ±2nπ, n ∈ N. Assim, as energias potencial e
cinética são funções periódicas de perı́odos 2π e continuam defasadas entre si por π/2. A força restauradora será
F(θ) = −∇U =− dU
d(lθ)
=−mgsenθ (50)
onde é possı́vel encontrar os pontos de equilı́brio em função de θ diretamente: F = 0⇒ θ = 0, π , cujas energias
de equilı́brio se obtêm fazendo dotθ = 0, obtendo E = 0 para θ = 0 e para θ = π tem-se
E = E0 = 2mgl; (51)
estes pontos de equilı́brio correspondem aos casos onde tem-se a situação de equilı́brio estável e quando o pêndulo
está sobre uma situação de equilı́brio instável, respectivamente. Na situação de equilı́brio estável, o pêndulo está
na posição mais baixa, com o fio na horizontal; na situação instável, ele está com o fio na vertical para cima, o que
chama a atenção à necessidade de usar uma haste ideal em vez de um fio, para que o fio não se dobre.
Para energias menores que 2mgl, o pêndulo oscila entre os pontos de retorno ±θ0. A energia total é dada por
E = mgl(1− cosθ0) (52)
e, na equação da energia total, encontra-se
mgl(1− cosθ0) =
1
2
ml2θ̇ 2 +mgl(1− cosθ)
⇒ 0 = 1
2
ml2θ̇ 2 +mgl(cosθ0− cosθ)
⇒ dθ
dt
= ±
√
2g
l
(cosθ0− cosθ) (53)
que é uma equação diferencial separável para θ em função de t, dando que
dt = ±
√
l
2g
dθ√
cosθ0− cosθ
. (54)
Aqui, o sinal positivo vale para metade do perı́odo, que pode ser entendido como de t0→ t0 + τ/2, como o tempo
gasto pelo pêndulo ir de −θ0→ θ0; o sinal positivo fica entendido como o tempo gasto para percorrer o caminho
contrário. Assim, a metade do tempo gasto pelo pêndulo no caminho −θ0→ θ dura o intervalo de tempo
∫ t0+τ/2
t0
dt =
√
l
2g
∫
θ0
−θ0
dθ√
cosθ0− cosθ
. (55)
Exercı́cio: Nos casos quem que a energia E << 2mgl, que equivale a dizer que θ0 << 1, pode-se aproximar o
cosseno por sua primeira ordem em séries de Taylor. Mostre que nesses casos o perı́odo do pêndulo pode ser dado
por
τ
2
=
√
l
g
∫
θ0
−θ0
dθ√
θ 2−θ 20
. (56)
11
A Eq. (56) tem solução dada por
τ = 2
√
l
g
[
sen−1
(
θ
θ0
)]θ0
−θ0
= 2π
√
l
g
. (57)
A tı́tulo de curiosidade, quando não for mais possı́vel fazer a aproximação θ0 << 1, será necessário fazer o uso
de integrais elı́pticas; estas são tabeladas e o método usado para estes resultados é feito através de séries de Taylor
para as funções nos integrandos. Estas correções de primeira ordem fornecem ao perı́odo a correção
τ ≈ 2π
√
l
g
(
1+
1
16
θ
2
0
)
. (58)
Assim, como o perı́odo começa a depender do valor da amplitude de oscilação, então ele deixa de ser isócrono.
1.4 Oscilações de um fluido em vasos comunicantes em forma de U
Figure 10: Vasos comunicantes.
Vasos comunicantes representam um grande problema para engenheiros
civis da área de urbanização quando se deparam com enchentes; já nós,
fı́sicos, nos divertimos. Seja uma quantidade de fluido de densidade ρ
em um vaso comunicante em formato de U inicialmente em equilı́brio e
de comprimento l; se uma quantidade de fluido é deslocada por uma das
colunas, então o sistema sai do equilı́brio inicial e começa a oscilar; para
tempos suficientemente curtos, pode-se desprezar o trabalho realizado
pela viscosidade da água com as paredes do vaso.
Considere a Figura (10) e suponha que uma porção de água sobe
uma altura z numa das paredes do tubo. A energia potencial garantida
ao sistema é igual à da porção de água, de massa mD de fluido deslocado
de sua posição de equilı́brio, que é dada por
U(z) = mgz = ρAzgz = ρAgz2. (59)
Ao descer da posição de altura máxima, todo o fluido é posto em movi-
mento e a energia cinética obtida por este fluido é dada por
1
2
mT
(
dz
dt
)2
=
1
2
ρAl
(
dz
dt
)2
. (60)
Como o sistema é conservativo, por hipótese, a energia total é dada por
E =
1
2
ρAl
(
dz
dt
)2
+ρAgz2. (61)
Se essa relação for comparada com a equação da energia de um oscilador harmônico, nota-se que seu conteúdo
fı́sico em nada se perde se for feita a correspondência θ→ z e com os ajustes: ρAg→ k/2=Mω2/2 com M = ρAl,
o que permite concluir que
ρAg =
1
2
ρAlω2 ⇒ ω2 = 2g
l
, (62)
mostrando que a oscilação corresponde à de um pêndulo simples suspenso por um fio de comprimento l/2. Este
resultado já era previsto por Newton.
1.5 Massas acopladas a uma mola
12
Figure 11: Massas acopladas.
Este é o primeiro caso a ser tratado onde se tem mais de um
corpo em movimento e onde eles estão em interação. A força
entre eles é elástica e, em ambos os casos, dirigidas ao centro
de massa. No caso ideal, assume-se que a mola seja ideal, que o
atrito das massas m1 e m2 à superfı́ciede contato é nulo e que todo
o movimento ocorra apenas em uma dimensão. Se l é o compri-
mento de equilı́brio da mola e as posições das massas sejam dadas
por x1 e x2 com relação a um referencial fixo externo O, então a
deformação da mola para qualquer instante é dada por
x = (x2− x1)− l (63)
e as forças sentidas por cada uma das massas são iguais e opostas
F1 = kx =−F2. (64)
As equações de movimento são  m1ẍ1 = kxm2ẍ2 = −kx
Exercı́cio: Lembrando da aplicação da primeira lei de Newton para sistemas de partı́culas onde na ausência
de forças externas, o sistema tenderá a manter seu estado dinâmico e sabendo que este sistema não tem qualquer
força externa atuando, mostre que a aceleração do centro de massa é nula.
Para resolver este problema, lembre-se que a determinação do centro de massa X é encontrada com
X =
m1x1 +m2x2
M
⇒ Ẍ = 0, (65)
onde M = m1 +m2. Multiplicando a primeira das Eq.s em (65) por m1, a segunda por m2 e somando-as, encontra-
se que
µ ẍ = −kx (66)
que é uma equação da forma de (3), com frequência angular dada por
ω =
√
k
µ
(67)
onde µ = m1m2/(m1 +m2) é a massa reduzida do sistema; nesta coordenada, o sistema se comporta como uma
partı́cula de coordenada x2− x1 presa a uma força central com origem no centro de massa; o CM permanece em
inércia enquanto as partı́culas oscilam em torno do centro de massa
Exercı́cio: Encontre as velocidades de cada uma das partı́culas
Exercı́cio: Mostre que a velocidade do centro de massa é nula
Exercı́cio: Mostre que a aceleração do centro de massa é nula
A energia cinética do sistema é a soma das energia cinéticas individuais com a energia cinética do centro de
massa, ou seja
K =
1
2 ∑
miv′
2
i +
1
2
mV 2 (68)
sendo que V é a velocidade do centro de massa4.
Exercı́cio: Escreva a energia cinética do sistema nas coordenadas do centro de massa. Para resolver esse
exercı́cio, é necessário que você escreva as coordenadas x1 e x2 em termos de X .
A energia total E do sistema é dada por
E = ECM +E ′ (69)
4Em todos os casos onde as coordenadas aparecerem com linha, x′, isso só quer dizer que essas coordenadas são relativas ao centro de
massa do sistema.
13
1.5.1 Para saber mais
Figure 12: Potencial de Lennard-Jones.
Este sistema de duas massas presas a uma mola mostra, como boa
aproximação, o comportamento de uma molécula diatômica; as
ligações quı́micas que a sustentam são experimentalmente medi-
dos de modo que obedecem à relação
U(r) = D
[(a
r
)12
−2
(a
r
)6]
. (70)
Observe na Figura (12) que nos pontos de energia mais baixa, o
sistema tem a energia potencial de uma parábola. Isso sugere que
pode-se aproximar este potencial por uma parábola centrada no
ponto de menor energia, o qual chamaremos de a. Os desloca-
mentos deste ponto de equilı́brio serão na forma
x = r−a. (71)
A aproximação seria, então, na forma
U(r) = −D+ 1
2
k(r−a)2. (72)
Qual seria a forma de k adequada? Para ver isso, podemos derivar as Eq.s (70) e (72) duas vezes e avaliá-las em
r = a. Fazendo isso, encontra-se
k = 72
D
a2
. (73)
Assim, a força restauradora relacionada a (72) que atua sobre o sistema
µ ẍ = F(x) = − d
dx
U(x) =−kx
de modo que o sistema oscila entre o ponto de equilı́brio, a, com frequência
ω =
√
k
µ
. (74)
Fı́sicos usam essas informações para, uma vez medidas as frequências ω de vibração das moléculas, encontra-se o
raio molecular e suas energias de dissociação. Na prática, para moléculas de carbono 12 e de oxigênio 16, tem-se
que a massa reduzida é da ordem de µ ≈ 1,16× 10−26kg e as frequências de vibração são da ordem de 1,4×
1014Hz, ou seja, radiações que estão na faixa da luz infravermelha. Mesmo que os resultados corretos necessitem
o emprego da fı́sica quântica, os resultados aproximativos apresentam qualitativamente bem os comportamentos
moleculares.
1.6 Superposição de MHSs
Há na natureza sistemas cujos movimentos são descritos como não somente MHS, mas como movimentos harmônicos
acoplados, resultando em trajetórias bem mais complexas se comparadas com as do pêndulo simples. Ocorre,
então, que o movimento geral pode ser descrito como a composição de movimentos harmônicos simples. As
formas dos movimentos resultantes dependem fortemente da relação entre os parâmetros e das direções
É aqui que vemos grandes vantagens em usar as variáveis complexas. Sabendo que
cos(ωt +φ) = Re
{
ei(ωt+φ)
}
, (75)
podemos fazer as composições de dois MHSs, x1 e x2 da forma
x1 + x2 = A1 cos(ω1t +φ1)+A2 cos(ω2t +φ2)
= A1Re
{
ei(ω1t+φ1)
}
+A2Re
{
ei(ω2t+φ2)
}
(76)
14
os quais ganham grandes simplificações quando as amplitudes A1 e A2 são iguais:
x1 + x2 = ARe
{
ei(ω1t+φ1)+ ei(ω2t+φ2)
}
(77)
e assim fica mais fácil de se considerar uma grande quantidade de casos
1.6.1 Mesmas direção e frequências, amplitudes gerais
Figure 13: Pêndulo duplo em fase
Neste caso, tem-se que o movimento resultante é dado por
x1 + x2 = Re
{
eiωt+φ1
(
A1 +A2eφ2−φ1
)}
(78)
No caso de um pêndulo duplo, o movimento do segundo pêndulo é de-
scrito pela composição dos dois movimentos acoplados; se os pêndulos têm
ângulos de abertura θ1 e θ2, respectivamente, e se eles estiverem em fase,
a Figura (13) mostra o comportamento desse movimento e a amplitude será
dada por
A = Re
{
A1 +A2ei(φ2−φ1)
}
(79)
Observe também que se as amplitudes e os ângulos forem iguais, o movi-
mento é reduzido ao movimento de um oscilador de comprimento igual a 2l
1.6.2 Mesma direção e frequências diferentes; batimentos
Sejam dois osciladores cujas equações de movimento sejam dadas por x1 = A1 cos(ω1t +φ1)x2 = A2 cos(ω2t +φ2) (80)
A diferença de fase entre os dois osciladores é dada por
θ2−θ1 = (ω2−ω1)t +φ2−φ1
de modo que pode-se tomar as defasagens nulas, sem perdas de generalidade. Observa-se que o movimento
resultante
x1 + x2 = Re
{
eiω1t + eiω2t
}
(81)
só será periódico em certas circustâncias: para que ele seja periódico, é necessário que haja um perı́odo τ onde o
sistema volte à sua posição inicial de forma que os osciladores tenham executado n1 e n2 oscilações, respectiva-
mente:
ω1t = 2n1π
ω2t = 2n2π
 ω1ω2 = τ2τ1 = n1n2 (82)
com n1 e n2 inteiros, de forma que
n1τ1 = n2τ2 = τ (83)
15