Área Da Poligonal E Sequência De Cálculo Da Poligonal Fechada

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Sarah Valente Tavares Ceatec – Engenharia Civil 
 
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Área da Poligonal 
PRECISAMOS CONHECER AS COORDENADAS 
ORTOGONAIS DOS VÉRTICES (X, Y) 
 As coordenadas do ponto de partida e de chegada 
devem ser as mesmas 
 X1 = Xn Y1 = Yn (poligonal fechada) 
Método de Gauss (cálculo 
por determinantes) 
INTEGRAÇÃO DO CONTORNO: SOMA DAS ÁREAS 
DE TRAPÉZIOS; 
 As coordenadas do ponto de partida e de chegada 
devem ser as mesmas; 
 X1 = Xn Y1 = Yn 
 Xn . (Yn + 1) = 1  produto positive 
 Yn . (Xn + 1) = 2  produto negativo 
Obs.: Yn + 1  seguinte de Yn 
 Xn + 1  seguinte de Xn 
Área final: S = (1 - 2)/ 2 
Área do terreno: S = | 1 - 2| / 2 
Desenho da Planta e 
Redação do 
Memorial 
Desenho da planta 
DESENHO TOPOGRÁFICO: 
 Os vértices da poligonal e os pontos de referência mais 
importantes devem ser plotados segundo suas 
coordenadas retangulares (eixos X e Y); 
 Pontos de detalhes comuns (feições) devem 
ser plotados com o auxílio de escalímetro, 
compasso e transferidor (desenhos 
confeccionados manualmente); 
 Notação ou simbologia  deve constar na 
legenda; 
 Representação Planimétrica: 
 Elementos de dimensões razoáveis: contorno 
 Elementos de pequena dimensão: sinais 
convencionais 
 O desenho pode ser: 
 Monocromático  todo em tinta preta; 
 Policromático; 
 Azul  hidrografia 
 Vermelho  edificações, estradas, ruas, 
calçadas, caminhos.... 
 Verde  vegetação; 
 Preto  legenda, malha e toponímia; 
 No desenho devem constar: 
 Feições naturais e/ou artificiais (símbolos 
padronizados ou convenções) e sua respectiva 
toponímia; 
 Orientação verdadeira ou magnética; 
 Data do levantamento; 
 Escala; 
 Legenda e convenções utilizadas; 
 Título (do trabalho); 
 Área e perímetro; 
 Responsáveis pela execução; 
 
ESCALA: 
 Em função do tamanho da folha de papel a ser 
utilizado, do afastamento dos eixos 
coordenados, das folgas ou margens e da 
precisão requerida para o trabalho; 
 
MEMORIAL DESCRITIVO: 
 Documento da superfície levantada para o 
registro em cartório; 
 Sarah Valente Tavares Ceatec – Engenharia Civil 
 
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 Descrição pormenorizada da superfície: localização, 
confrontantes, área, perímetro, nome do proprietário; 
Avaliação de Áreas de 
Figuras Planas 
Impressas 
 Objetivo: informar ao engenheiro quais as áreas 
envolvidas por um determinado projeto 
Método da Decomposição 
 Determinação da área aproximada de uma figura 
qualquer de lados retilíneos delimitada sobre o papel e 
em qualquer escala; 
 Passo a passo: decompor a figura original em figuras 
geométricas conhecidas (triângulos, retângulos e 
trapézios); 
 Determinar as áreas dessas figuras (separadamente); 
 Área da figura original = somatório das áreas parciais 
 
Método dos Trapézios ou de 
Bezout 
 Avaliação de áreas extra poligonais (figuras 
decompostas de lados irregulares ou curvos  
delimitados por uma estrada, rio, lago) 
 Passo a passo: 
 Dividir a figura decomposta em vários trapézios de 
alturas de alturas (h) iguais 
 S = (bE/2 + bI) . h 
bE = b1 + bn (Soma das bases externas: trapézios 
extremos) 
bI = b2 + .... + b n-1 (Soma das bases internas) 
Obs.: A precisão da área obtida é tanto maior quanto 
menor for o valor de (h) 
 
Método do Gabarito 
 Avaliação rápida; 
 Figuras quaisquer (irregulares ou não) 
 Gabaritos: construídos sobre superfícies 
plásticas, transparentes, vidro ou papel; 
 2 tipos: por faixas e quadrículas; 
 
Por Faixas 
 Linhas horizontais traçadas a intervalos 
retangulares: 
 Espaçadas entre si de um mesmo valor 
gerando várias faixas consecutivas; 
 Passo a passo: 
 Posicionar o gabarito sobre a figura; 
 Com o auxílio de uma mesa de luz e uma 
régua medir o comprimento das linhas que 
interceptam os seus limites; 
 Área: função do espaçamento entre as linhas 
(h) e do comprimento das mesmas ao 
interceptar os limites da figura (b) para n 
números de linhas; 
 S = h . bi ( p/ i = 1,2, ... , n ) 
Obs.: A precisão é tanto maior quanto menor for o 
valor de (h). 
 
Quadrículas 
 Gabarito que consiste de linhas horizontais e 
verticais traçadas a intervalos regulares 
 Passo a passo: 
 Posicionar o gabarito sobre a figura; 
 Com o auxílio de uma mesa de luz, contar o 
número de quadrículas contidas pela mesma; 
 S = Sq . Qn 
Sq: área da quadrícula base 
Qn: número de quadrículas envolvidas 
Obs.: A precisão é tanto maior quanto menor for a 
área da quadrícula. 
 
 Sarah Valente Tavares Ceatec – Engenharia Civil 
 
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Método Mecânico ou 
Eletrônico 
 Utilização de aparelhos mecânicos ou eletrônicos 
Planímetro Polar 
 Duas hastes articuladas; 
 Um polo: extremidade da primeira haste, ponta seca 
presa a um peso (polo) e utilizada para a fixação da 
própria haste; 
 Um traçador: extremidade da segunda haste, lente 
(cujo centro é marcado por um ponto ou cruzeta); 
 Tambor: na articulação das duas hastes, graduado, 
conectado a um contador de voltas (integrante); 
Obs..: A principal diferença está no integrante: 
 Aparelho eletrônico: 
 Permite a entrada da escala da planta; 
 Escolha da unidade; 
 Automaticamente  valor da área num 
visor de LCD; 
 Aparelho mecânico: 
 Necessidade de ler o número de voltas que 
o aparelho deu ao percorrer o perímetro de 
uma determinada figura em função da 
escala da planta e calcular a área; 
 Utilização: 
 Sempre em superfície plana; 
 O polo pode ser fixado dentro ou fora (dependendo 
do seu tamanho); 
 As hastes devem ser dispostas de maneira a formar 
um ângulo (aproximadamente reto)  é possível 
verificar se o traçado contornará a figura; 
 Escolhe – se um ponto de partida para as medições; 
 O aparelho pode ser zerado neste ponto; 
 O contorno da figura com o traçador, no sentido 
horário, voltando ao ponto de partida; 
 Faz – se a leitura do tambor ou a leitura no visor; 
 Para a avaliação final da área, toma – se sempre a 
média de (no mínimo) 3 leituras com o planímetro; 
Obs.: Possibilidade de amarração de detalhes nos 
lados da poligonal: 
 Poligonal principal: levantamento dos limites de 
uma propriedade (calculada primeiro); 
 Poligonal Secundária: levantamento de detalhes 
inteiros  córregos e caminhos; iniciam e 
terminam em estacas da poligonal principal; 
calculada após os da principal; 
Obs.: Erro angular de 1 s  produz um 
deslocamento de 1 cm à distância de 2 km  
erro de 1 : 200 000 
 Trabalhos normais  erro médio de 1 : 1000 ou 
1 : 2000 
Sequência de Cálculo e 
de Ajuste Da 
Poligonal Fechada 
 Correção dos comprimentos; 
 Determinação do erro de fechamento angular 
pelos rumos ou pelos azimutes calculadas; 
 Determinação do erro de fechamento angular 
pelo somatório dos ângulos inteiros; 
Obs.: Estes 3 itens devem chegar no mesmo 
resultado. 
 Distribuição do erro de fechamento angular 
obtendo – se os rumos definidos; 
 Cálculo das coordenadas parciais (x,y); 
 Determinação dos erros de fechamento linear: 
 ex = erro nas abscissas 
 ey = erro nas ordenadas 
 1 : M = erro de fechamento linear relativo 
 M = P / Ef , sendo P o perímetro (Ef ² = (ex)² 
+ (ey)²  tolerância 
 Distribuição dos ex e ey e assim fechando – se 
o polígono; 
 Procura do ponto mais a oeste; 
 Cálculo das coordenadas totais (x,y); 
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 Cálculo da área do polígono; 
Levantamentos Altimétricos 
ou Nivelamento 
 Determina as diferenças de nível ou distâncias verticais 
entre os pontos do terreno 
 Transporte da cota ou altitude de um ponto 
conhecido (RN – Referência de Nível) para os pontos 
nivelados; 
Atitude (H) 
 Distância vertical deste ponto à superfície média dos 
mares (nível médio das águas do mar – no Geóide); 
 Cota verdadeira; 
 Nível verdadeiro; 
 Superfície de referência para a obtençãoda DV ou 
DN 
Cota (C) 
 Distância vertical deste ponto à uma superfície 
qualquer de referência (fictícia - não é o Geóide) 
 Pode estar situada abaixo ou acima da superfície 
determinada pelo nível médio dos mares; 
 Nível aparente (arbitrário); 
 Superfície de referência para a obtenção da DV ou 
DN; 
 Paralela ao nível verdadeiro; 
 Cota aparente; 
Obs.: Os valores de C e H não são iguais pois os níveis 
de referência são distintos; 
Obs.: Pé direito  medida entre o chão e a laje (medida 
vertical): perpendicular ao solo; 
 
Desnível (DN) 
 Altitude (ou cota) do ponto final – altitude (ou cota) do 
ponto inicial;