Estática de um Corpo Extensor

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CIÊNCIAS DA NATUREZA
E SUAS TECNOLOGIAS
F B O N L I N E . C O M . B R
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PROFESSOR(A): ARTUR HENRIQUE
ASSUNTO: ESTÁTICA DE UM CORPO EXTENSO
FRENTE: FÍSICA IV
OSG.: 121070/17
AULA 17
EAD – MEDICINA
Resumo Teórico
Momento de uma Força
Representa a medida da tendência de uma força em rotacionar 
um corpo extenso em torno de um ponto fi xo.
te
zz
st
oc
k 
/1
23
RF
/E
as
yp
ix
Chave inglesa usada para apertar ou 
afrouxar porcas.
d (braço da força)
θ
O
polo
eixo de
F
rotação
Defi nindo o torque.
Analisando o momento de uma força no seu aspecto escalar, 
temos:
M
O
 = ± F ⋅ d ⋅ sen θ
Adotaremos o sinal – para o sentido horário e o sinal + para 
o sentido anti-horário.
Unidade do S.I.
(M) = newton ⋅ metro = N ⋅ m
Condições de equilíbrio
• Equilíbrio de translação
FR
� �
= 0 (equilíbrio translacional)
• Equilíbrio de rotação
M MH AH= ∑∑
Exercícios
01. (Uerj/2014) A fi gura abaixo ilustra uma ferramenta utilizada para 
apertar ou desapertar determinadas peças metálicas.
 Para apertar uma peça, aplicando-se a menor intensidade de 
força possível, essa ferramenta deve ser segurada de acordo com 
o esquema indicado em:
A) B) 
C) D) 
• (FGV-SP/2010) Texto para a questão 02:
Todo carrinho de
êmbolo
alavanca
menor
alavanca
maior
manete
 
churros possui um acessório 
peculiar que serve para injetar 
doce de leite nos churros. 
Nele, a força sobre um 
êmbolo, transmitida por 
alavancas, empurra o recheio 
para dentro do churro.
Em cada lado do 
recheador, há duas alavancas 
unidas por um pivô, uma 
delas, reta e horizontal, 
e a outra, parte vertical e 
parte transversal. A alavanca 
maior encontra na base do 
aparelho outro pivô e, na 
outra extremidade, um manete, onde é aplicada a força. A alavanca 
menor se conecta à extremidade do êmbolo que está em contato 
com o doce de leite, pronta para aplicar, no início do processo, uma 
força horizontal.
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MÓDULO DE ESTUDO
OSG.: 121070/17
02. (FGV-SP/2010) No momento em que vai rechear um churro, o 
vendedor posiciona sua mão sobre o manete e aplica sobre ele 
uma força de 2 N, constante, de direção e sentido indicados 
no esquema, desenhado sobre uma malha quadriculada, cujas 
unidades têm dimensões 1 cm × 1 cm.
2 N
1 cm
1 cm
 Se, devido a uma obstrução do canal de saída do recheio, o 
mecanismo não se move, desconsiderando-se as massas das 
alavancas e do manete, a intensidade da força que, nessa condição, 
o mecanismo aplica sobre o êmbolo, tem valor, em N, de:
A) 4 B) 6
C) 8 D) 12
E) 16
03. (Uespi) Para arrancar uma estaca do solo, é necessário puxá-la 
verticalmente para cima, com uma força de 180 kgf; esse esforço 
está acima da capacidade humana. Todavia, o dispositivo ilustrado 
na fi gura torna possível ao homem arrancar a estaca, desde que 
aplique uma força F, no mínimo, igual a:
Estaca
1,0 m2,0 m
A) 150 kgf B) 120 kgf
C) 90 kgf D) 60 kgf
E) 30 kgf
04. (Mackenzie – SP/2015.1)
2,40 m
F
�
2,00 m
O
 Uma cancela manual é constituída de uma barra homogênea AB de 
comprimento L = 2,40 m e massa M = 10,0 kg, está articulada no 
ponto O, em que o atrito é desprezível. A força F tem direção vertical 
e sentido descendente, como mostra a fi gura acima.
 Considerando a aceleração da gravidade g = 10,0 m/s2, a 
intensidade da força mínima que se deve aplicar em A para iniciar 
o movimento de subida da cancela é:
A) 150 N B) 175 N
C) 200 N D) 125 N
E) 100 N
05. (Mackenzie – SP/2005.1) Uma viga AB homogênea, de secção 
transversal uniforme, com peso 400 N e comprimento 5 m, é apoiada 
em um muro de 3,20 m de altura, como mostra a fi gura:
3,
20
 m
2,40 m
B
C
A
 A força que essa viga exerce sobre o muro, no ponto C, tem 
intensidade igual a: (Considere apenas o atrito entre a extremidade 
inferior da viga e o solo)
A) 150 N B) 200 N
C) 250 N D) 300 N
E) 350 N
06. (Fuvest-SP) A fi gura mostra uma barra homogênea AB, articulada 
em A, mantida em equilíbrio pela aplicação de uma força F
�
 em B. 
Qual o valor do ângulo α para o qual a intensidade de F
�
 é mínima?
HorizontalA
B
F
α
�
30°
A) 30° B) 45°
C) 90° D) 60°
E) 120°
07. (UFSM) Segundo o manual da moto Honda CG125, o valor 
aconselhado do torque, para apertar a porca do eixo dianteiro, 
sem danifi cá-la, é 60 N · m.
20 cm
F
�
 Usando uma chave de boca semelhante à da fi gura, a força que 
produzirá esse torque é:
A) 3,0 N B) 12,0 N
C) 30,0 N D) 60,0 N
E) 300,0 N
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MÓDULO DE ESTUDO
08. (PUC-PR) Uma senhora estava em sua casa, queria medir o peso 
de um determinado produto (P
x
) e não dispunha de uma balança. 
Recorreu a seu fi lho, um vestibulando, que sugeriu o seguinte. 
Temos um pacote de café, peso (P
c
) 10 N. Basta uma barra 
uniforme e um cabo de vassoura para servir de apoio, além de um 
cálculo, para mim, elementar. Com os dados da fi gura a seguir, 
o peso do produto desconhecido é:
0,12 m 0,03 m 0,09 m
Pc = 10 N Px
A) 10 N B) 40 N
C) 2,5 N D) 15 N
E) 20 N
09. (FGV-SP/2008) Usado no Antigo Egito para retirar água do rio 
Nilo, o shaduf pode ser visto como um ancestral do guindaste.
 Consistia de uma haste de madeira na qual em uma das extremidades 
era amarrado um balde, enquanto que na outra, uma grande pedra 
fazia o papel de contrapeso. A haste horizontal apoiava-se em outra 
verticalmente disposta e o operador, com suas mãos entre o extremo 
contendo o balde e o apoio (ponto P), exercia uma pequena força 
adicional para dar ao mecanismo sua mobilidade.
P
1,5 m 0,5 m 1,0 m
Dados:
Peso do balde e sua corda .................... 200 N
Peso da pedra e sua corda .................... 350 N
 Para o esquema apresentado, a força vertical que uma pessoa deve 
exercer sobre o ponto P, para que o shaduf fi que horizontalmente 
em equilíbrio, tem sentido
A) para baixo e intensidade de 100 N.
B) para baixo e intensidade de 50 N.
C) para cima e intensidade de 150 N.
D) para cima e intensidade de 100 N.
E) para cima e intensidade de 50 N.
10. (Vunesp/UNICID-SP/2011.2) Antes de ir para sua casa, após um 
dia de trabalho, um pedreiro deixou sobre uma tábua apoiada 
em dois cavaletes um latão de tinta, vazio, que utilizava para 
transportar o reboco utilizado na parede.
A
B
C
D
Tinta
Látex
TEX
Dados:
Aceleração da gravidade 10 m/s2
Massa da tábua (homogênea) 6 kg
Massa do latão vazio desprezível
Capacidade do latão 19 L
Distância de A a B 0,3 m
Distância de B a C 0,7 m
Distância de C a D 1,0 m
Densidade da água 1 kg/L
 No decorrer da noite, uma chuva intensa se precipitou, estendendo-se 
por várias horas. Chegando à obra no dia seguinte, o pedreiro notou 
que outro latão, sobre o chão, havia sido completamente preenchido 
com a água da chuva e logo lembrou do latão que havia abandonado 
sobre a tábua, que certamente
A) foi derrubado imediatamente após o volume de água nele 
acumulada ter ultrapassado os 10 litros.
B) foi derrubado imediatamente após o volume de água nele 
acumulada ter ultrapassado os 12 litros.
C) foi derrubado imediatamente após o volume de água nele 
acumulada ter ultrapassado os 14 litros.
D) foi derrubado imediatamente após o volume de água nele 
acumulada ter ultrapassado os 17 litros.
E) se encontrava na posição em que foi deixado, agora, 
completamente cheio de água.
11. (Vunesp/Uninove-SP/2008.2) Em uma cozinha, um forno micro-ondas de 
20 kg está apoiado em equilíbrio sobre uma prateleira horizontal 
de massa desprezível, sustentada por dois suportes verticais A e 
B, conforme fi gura.
A B
2,4 m
60 cm
 Admitindo que a massa do forno esteja distr ibuída 
uniformemente por seu volume e adotando g = 10 m/s2,
as intensidades das forças verticais N
A
 e N
B
, que os suportes 
exercem sobre a prateleira são:
A) N
A
 = 175 N e N
B
 = 25 N.
B) N
A
 = 150 N e N
B
 = 50 N.
C) N
A
 = 100 N e N
B
 = 100 N.
D) N
A
 = 50 N e N
B
 = 150 N.
E) N
A
 = 25 N e N
B
 = 175 N.
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MÓDULODE ESTUDO
OSG.: 121070/17
12. (Mackenzie – SP/2000.1)
54 kg
1,0 m
L L
0,5 m
1,5 m 2,0 m
36 kg 27 kg X
BA
54 kg
 Após uma aula sobre o “Princípio das Alavancas”, alguns 
estudantes resolveram testar seus conhecimentos em um 
“playground”, determinando a massa de um deles. Para tanto, 
quatro sentaram-se estrategicamente na gangorra homogênea 
acima, de secção transversal constante, com o ponto de apoio 
em seu centro, e atingiram o equilíbrio quando se encontravam 
sentados nas posições indicadas na fi gura. Desta forma, se esses 
estudantes assimilaram corretamente o tal princípio, chegaram à 
conclusão de que a massa desconhecida, do estudante sentado 
próximo à extremidade B, é
 Adote: g = 10 m/s2.
A) indeterminável, sem o conhecimento do comprimento da 
gangorra.
B) 108 kg.
C) 63 kg.
D) 54 kg.
E) 36 kg.
13. (Mackenzie-SP/2005.2) Um rapaz caminha sobre uma prancha 
homogênea e de secção transversal constante, no sentido 
de A para B, como mostra a fi gura. A prancha está apoiada 
sobre cavaletes. O gráfi co da intensidade da reação normal 
na extremidade B em função da distância (x), da qual o rapaz 
se encontra da extremidade A, é dado abaixo. Pelo exposto, 
concluímos que o peso do rapaz é de:
10m
A B
700N
NB(N)
100N
0 10
x(m)
A) 550 N B) 600 N
C) 650 N D) 700 N
E) 750 N
14. (PUC-MG/2008) Uma placa de publicidade, para ser colocada em 
local visível, foi afi xada com uma barra homogênea e rígida e um 
fi no cabo de aço à parede de um edifício, conforme ilustração.
PA
RE
D
E
A
C
PLACA
 Considerando-se a gravidade como 10 m/s2, o peso da placa 
como 200 N, o comprimento da barra como 8 m, sua massa como 
10 kg, a distância AC como 6 m e as demais massas desprezíveis, 
pode-se afi rmar que a força de tração sobre o cabo de aço é de 
(aproximadamente):
A) 417 N B) 870 N
C) 300 N D) 1200 N
15. (UFPB/2006) Um homem de 60 kg sobe por uma escada de
20 kg, que está com uma extremidade apoiada no chão 
e a outra em uma parede, como mostra a figura abaixo.
O coefi ciente de atrito estático entre a parede e a escada é nulo. 
Por ser também nulo o coefi ciente de atrito estático entre o chão 
e a escada, o homem prendeu o “pé” da escada à parede com 
um cabo que suporta uma tensão máxima de 800 N. Nessas 
condições, o degrau mais alto possível de ser alcançado pelo 
homem está a uma altura de: 
 Adote: g = 10 m/s2.
4 m
3 m
A) 0,5 m B) 1,0 m
C) 1,5 m D) 2,0 m
E) 2,5 m
Resoluções
01. O torque de uma força depende de dois fatores:
I. o comprimento do braço da força (d);
II. o ângulo entre a força (F) e o eixo de rotação.
 Assim, quanto maior a distância entre a força e o polo de rotação 
(O) e mais próximo de 90° for o ângulo em relação ao eixo de 
rotação, maior será o torque, como mostra a expressão:
M
O
 = ± F · d · sen θ
F
d
θ
 O que nos leva à alternativa D.
Resposta: D
5 F B O N L I N E . C O M . B R
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02. De acordo com a escala, vem:
2 N
1 cm
1 cm
4 cm
8 cm
F’
polo de rotação
 Não havendo rotação, temos:
∑M = 0 → 2 · 8,0 – F’ · 4,0 = 0 ∴ F’ = 4,0 N
Resposta: A
03. Como queremos saber o valor mínimo da força a ser aplicada pelo 
homem, vamos desprezar o peso da haste.
3,0 m
F
r 1,0 m
estacaF
r
Aplicando o equilíbrio rotacional, vem:
∑M = 0 → F · 3,0 – F
estaca
 · 1,0 = 0, {F
estaca
 = 180 kgf
F · 3,0 – 180 · 1,0 ∴ F = 60 kgf
 Deste modo, para arrancar a estaca deve-se aplicar uma força de 
intensidade maior que 60 kgf.
 Resposta: D
04. Como a barra é homogênea, o ponto de aplicação da força-peso 
é o seu centro geométrico, ou seja, a 1,20 m das extremidades.
A B
2,40 m
F
�
O
PB
1,20 m0,80 m0,40 m
 Aplicando a condição de equilíbrio rotacional, vem:
∑M
O
 = 0 → F · 0,40 = P
B
 · 0,80 , {P
B 
= M · g = 10 · 10 = 100 N
F · 0,40 = 100 · 0,8 ∴ F = 200 N
 Assim, para que a barra gire, devemos aplicar uma força de 
intensidade superior a 200 N.
 Resposta: C
05. Usando um pouco de geometria, chegamos às medidas da fi gura 
adiante:
3,
20
 m
2,40 m
B
C
A
5,
0
m
4,
0
m
NC
PvigaNA
1,50 m
f
at
θ
NC(y)
NC(x)
Aplicando as condições de equilíbrio para um corpo extenso, vem:
F
F f N
F N N P
R
x at C x
y A C y viga
� �
� � �� �
� �� � �= →
= → + =
= → + + =


∑
∑
0
0 0
0 0
( )
( )


=




∑MO 0
Desenvolvendo o equilíbrio rotacional, temos:
∑M
A
 = 0
P
viga
 · 1,5 – N
C
 · 4 = 0, onde P
viga
 = 400 N
400 · 1,5 – N
C
 · 4 = 0 ∴ N
C
 = 150 N
 Em concordância com a Terceira Lei de Newton, concluímos que 
intensidade da força que a viga exerce no muro é 150 N.
Resposta: A
06. Para que a força tenha intensidade mínima, o ângulo α entre a 
força e o eixo de rotação deve ser de 90º, pois:
 M
O
 = ± F · d · sen θ ⇒ ↓ =
⋅
F
M
d sen
o
o90
HorizontalA
B
F
α
�
30°
O que nos leva à alternativa C.
Resposta: C
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MÓDULO DE ESTUDO
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07. 
 Dados: 
M N m
d cm m
= ⋅
= ={ 6020 0 20,
M = F · d ⇒ 60 = F · 0,2 ∴ F = 300 N
Resposta: E
08. Para que o procedimento sugerido por seu fi lho tenha êxito, a 
senhora precisa garantir que o sistema permaneça em equilíbrio.
 Para isso, precisa garantir que a barra não gire, ou seja, 
∑M
cabo de vassoura
 = 0,
P
C
 · 0,12 – P
x 
· 0,03 = 0 ⇒ 10 · 0,12 – P
x
 · 0,03 = 0 ∴ P
x
 = 40 N
Resposta: B
09. Consideremos o diagrama de corpo livre abaixo:
P
1,5 m 0,5 m 1,0 m
F
 Pbalde = 200 N Ppedra = 350 N
Aplicando a condição de equilíbrio rotacional, vem:
∑M
apoio
 = 0
 200 · 1,5 – (F · 0,5 + 350 · 1,0) = 0 ⇒ 300 – 0,5 · F – 350 = 0 ∴ 
F = 100 N
 Logo, para manter o sistema em equilíbrio deve-se aplicar uma 
força vertical para cima com intensidade igual a 100 N.
Resposta: D
10. Diagrama de corpo livre para o problema.
B
Págua Ptábua
1,0 m0,7 m0,3 m
C
Apliquemos a condição de equilíbrio rotacional:
∑M
B
 = 0
P P
g m s
P m g N
P
gua t bua t bua t bua
g
á á á á
á
⋅ − ⋅ =
=
= ⋅ = ⋅ =0 3 0 7 0
10
6 10 60
2
, , ,
/
uua guam g N= ⋅ = ⋅ =



 á 19 10 190
 Determinemos o peso máximo de água para que a tábua não 
tombe:
P
água
 · 0,3 – 60 · 0,7 = 0 ∴ P
água 
= 140 N
 Assim, concluímos que a tábua tombou logo que o volume de 
água na lata ultrapassou os 14 L. 
Resposta: C
11. Como a distribuição de massa no micro-ondas é homogênea, 
o ponto de aplicação da força-peso é o seu próprio centro, ou 
seja, a 30 cm do ponto A, que adotamos como polo de rotação, 
conforme o DCL abaixo:
B
2,4 m
30 cm
Pmicro-ondas
NA NB
A
Dado g
m kg
s: m/s
2
micro-ondas
=
=



10
20
Apliquemos a condição de equilíbrio translacional:
F
F satisfeita
F N N P
R
x
y A B
� �
� �
� �= →
=
= → + =




∑
∑
0
0
0
( !)
micro-ondas
N
A
 + N
B
 = P
micro-ondas
 = 200 N
 Escolheremos o ponto A como polo, para aplicarmos a condição 
de equilíbrio rotacional:
∑M
A
 = 0
 –P
micro-ondas
 · 0,3 + N
B
 · 2,4 = 0 ⇒ –200 · 0,3 + N
B
 · 2,4 = 0 ∴ 
 ∴ N
B
 = 25 N 
Logo:
N
A
 + N
B
 = P
micro-ondas
 ⇒ N
A
 + 25 = 200 ∴ N
A
 = 175 N
Resposta: A
12. Seja o diagrama de corpo livre (DCL) para o problema, em que 
marcamos o peso de cada estudante:
1,5 m 2,0 m
2,5 m 2,5 m
1,0 m
L L
0,5 m
540 N 360 N
270 N 10 x
Aplicando a condição de equilíbrio rotacional, vem:
∑M
apoio
 = 0
540 · 2,5 + 360 · 1,5 – 270 · 2,0 – 10x · 2,5 = 0 ∴ x = 54 kg
Resposta: D
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13. Consideremos o DCL para o problema:
B
L = 10 m
x
5,0 m5,0 m
Prapaz Pprancha
NA NB
A
 Aplicando a condição de equilíbrio rotacional, tomando o ponto 
A como polo de rotação, vem:
∑M
A
 = 0
– P
rapaz
 · x – P
prancha
 · 5 + N
B
 · 10 = 0
Explicitando a força normal no ponto B (N
B
), temos:
N
P
x
P
B
rapaz prancha= ⋅ −
10 2
Tomando as coordenadas do gráfi co, vem:
x N
P P
P N
x m N
P
B
rapaz prancha
prancha
B
rap
= → = ⋅ − = ∴ =
= → =
0
10
0
2
100 200
10 aaz rapazP N
10
10
200
2
700 600⋅ − = ∴ =
Resposta: B
14. Considerando os dadosfornecidos e o ponto A como polo de 
rotação, temos:
PA
RE
D
E
A
C
6 m
10 m
θ
T Tsenθ
Pbarra = 100 N Pplaca = 200 N
4 m
8 m
∑M
A
 = 0
T · sen θ · 8,0 – (P
barra
 · 4,0 + P
placa
 · 8,0) = 0
T T N⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅( ) = ∴ ≈3
5
8 0 100 4 0 200 8 0 0 416 7, , , ,
 Resposta: A
15. Marcando todas as forças que atuam na escada, temos:
4 m
3 m
A
B
2 m2 m
y
NB
PE
PH
NA
x
T
Note que N
B
 = T = 800 N (Equilíbrio horizontal).
 Agora aplicaremos a condição de equilíbrio rotacional, tomando 
o ponto A como polo de rotação:
∑M
A
 = 0
− ⋅ − ⋅ + ⋅ =
= ⋅ = ⋅ =
= ⋅ = ⋅ =
=
P x P N
P m g N
P m g N
N T
H E B
H H
E E
B
2 3 0
60 10 600
20 10 200,
==



 800 N
Substituindo esses valores na expressão, vem:
− ⋅ − ⋅ + ⋅ = ∴ =600 200 2 800 3 0 10
3
x x m
 Para determinarmos a altura que o homem poderá subir, vamos 
usar uma semelhança de triângulos, como mostramos a seguir:
4 m
3 m
y
x
 
x y y
y m
4 3
10
3
4 3
2 5= ⇒ = ∴ = ,
 Resposta: E
SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: ARTUR HENRIQUE
DIGITAÇÃO: ESTEFANIA – REV.: ALEXSANDRA