Modelo de Gás Perfeito e Equação de Clapeyron

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CIÊNCIAS DA NATUREZA
E SUAS TECNOLOGIAS
F B O N L I N E . C O M . B R
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Professor(a): Douglas gomes
assunto: gases Perfeitos
frente: física iii
OSG.: 118278/17
AULA 09
EAD – MEDICINA 
Resumo Teórico
Modelo de gás perfeito
Com efeito, o “mundo real” apresenta uma complexidade que 
tornaria o seu estudo bastante complicado se considerássemos todas 
as variáveis que poderiam interferir em um fenômeno.
Portanto, quando vamos propor a observação de um 
determinado fenômeno, torna-se necessário adotar um modelo 
simplificado, escolhendo apenas algumas características que sejam 
viáveis de serem estudadas.
Para entendermos o comportamento dos gases, fazemos o uso 
das hipóteses da teoria cinética para gases perfeitos.
• uma porção de gás perfeito é constituída de um grande número 
de moléculas em movimento caótico;
• as moléculas são consideradas pontos materiais;
• todas as colisões são supostas elásticas;
• as colisões têm duração desprezível;
• entre duas colisões, as moléculas realizam M.R.U, ou seja, 
desprezam-se interações gravitacionais e forças intermoleculares;
• as forças intermoleculares só se manifestam durante as colisões;
• o estudo das colisões pode ser feito através da mecânica 
newtoniana.
Observa-se que os gases reais têm suas moléculas interagindo 
a distância. Portanto, para que essas interações sejam desprezíveis, 
é necessário que as moléculas estejam, em média, mais afastadas 
(gás rarefeito, sob baixa pressão) ou muito agitadas (grande temperatura, 
para que as interações sejam desprezíveis em relação ao movimento). 
Um gás real pode ter um comportamento próximo do ideal 
quando em altas temperaturas e baixas pressões.
Variáveis de estado de um gás perfeito
Uma vez que a quantidade de moléculas em uma porção de 
gás é demasiada numerosa, costuma-se utilizar o mol para quantificar 
a matéria.
Sendo N o número de moléculas, dizemos que a quantidade 
de matéria n corresponde a:
n
N=
×6 02 1023,
Onde: 
6 02 1023, ×
mol
 corresponde ao número de Avogadro (N
A
).
Número de mols (n)
n = m/M
Onde:
m é a massa do gás.
M é a massa molar do gás, ou seja, a massa de 6,02 · 1023 
moléculas do gás, onde N = 6,02 · 1023 representa o número de 
Avogadro.
Temperatura (T)
Conforme foi visto no início do nosso curso, a temperatura 
absoluta mede a energia cinética média de translação das moléculas 
dos corpos. No caso dos gases não é diferente.
No estudo da Termodinâmica, é necessário que sempre se 
utilize a escala Kelvin.
Volume (V)
Uma vez que os gases são extremamente expansíveis e 
compressíveis, eles acabam ocupando o volume do recipiente que 
os contém.
Recordemos algumas transformações de unidades:
1 L = 1 dm3 = 10–3 m3
1 m3 = 103 L
Pressão (p)
Definimos pressão como sendo a razão da força normal 
aplicada em uma superfície pela área onde essa força atua.
No caso dos gases, a pressão é exercida devido às colisões entre 
as moléculas e as paredes do recipiente. Por isso, todo gás confinado 
em um recipiente empurra suas paredes, exercendo pressão.
Recordemos algumas transformações de unidade:
1 atm = 76 cmHg = 105 Pa = 1 kgf/cm2
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Módulo de estudo
OSG.: 118278/17
Equação de Clapeyron
A equação de Clapeyron foi resultado da observação 
experimental das relações entre essas variáveis de estado do gás.
Para ilustrar isso, vamos analisar as relações entre a pressão 
exercida e as demais variáveis.
Pressão versus temperatura
Fixemos as demais variáveis de estado do gás.
Aquecendo-se o gás a uma maior temperatura, suas moléculas 
terão maior energia cinética, ficando, portanto, mais velozes. Dessa 
forma, as colisões com as paredes do recipiente serão mais violentas, 
aumentando a pressão.
p~T
(Lei de Charles – transformação isocórica)
Pressão versus Volume
Fixando-se as demais variáveis, o aumento de volume fará com 
que as moléculas, tendo maior espaço para transladar, colidam com 
menor frequência com as paredes do recipiente, reduzindo o valor da 
pressão. Assim, notamos que a pressão é inversamente proporcional 
ao volume.
p
V
~
1
(Lei de Boyle – transformação isotérmica)
Pressão versus Quantidade de matéria (N) / Número 
de moléculas (N)
Conforme mencionado anteriormente, a pressão exercida pelo 
gás nas paredes do recipiente se deve às colisões entre essas moléculas 
e essas paredes.
Sendo assim, havendo uma maior quantidade de matéria/
número de moléculas, haverá mais colisões, aumentando a pressão.
p~n ou p~N
Finalmente, a equação
Sintetizando essas relações, podemos escrever:
p
nT
V
~ ou p
NT
V
~
No estudo da matemática, verificamos que, em toda relação 
de proporção, temos uma constante de proporcionalidade, que nos 
permite escrever uma equação.
p R
nT
V
= ou p k
NT
V
=
R é conhecido como constante universal dos gases perfeitos.
R
atm J
mol
cal
mol
= = =0 082 8 31 2, ,�
molK K K
K é conhecido como constante de Boltzmann.
k
J
K
= ⋅ −1 38 10 23,
Essas equações são mais comumente representadas conforme 
abaixo.
pV = nRT ; pV = NkT
Comparando essas duas expressões, verificamos que:
nR = Nk
R = k · 6,02 · 1023
Nas CNTP (Condições Normais de Temperatura e 
Pressão):
p = 1 atm
T = 0 ºC = 273 K
1 mol de qualquer gás ocupa 22,4 L
Lei geral dos gases
Para uma determinada massa de gás perfeito, tem-se n 
constante. Logo, n · R é constante. Da equação de Clapeyron, 
obtém-se:
p V
T
p V
T
A A
A
B B
B
⋅ = ⋅ = constante
Transformação isotérmica
Mantém a temperatura constante.
T
EV2
Pa
C DEV1
T1
PaC
termômetro
Durante a transformação, a pressão do gás é inversamente 
proporcional ao volume.
Da lei geral dos gases, obtém-se:
p V p VA A B B⋅ = ⋅ = constante
Ou seja, a pressão é inversamente proporcional ao volume:
p
V
~
1
V = 6 dm4 (6 litros) V = 3 dm3 (3 litros) V = 2 dm3 (2 litros)
P = 100 kPa (0,987 atm)
P = 200 kPa (1,97 atm)
P = 300 kPa (2,96 atm)
(A) (B) (C)
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Módulo de estudo
Gráficos:
P
V0
T
0
T
0 V
P
Observação:
Quanto mais afastada dos eixos PxV for a curva isotérmica, 
maior será o valor da temperatura da transformação.
TA < TB
TA
TB
v0
P
Exercícios
01. (UVA/2009.2) Um recipiente contém 6 mols de um gás ideal. 
Após uma transformação verificou-se que o volume do gás 
quadruplicou, sua pressão reduziu-se à metade e sua temperatura 
triplicou. Quantos mols do gás escaparam do recipiente?
A) 1 mol B) 2 mols
C) 3 mols D) 4 mols
02. (Mackenzie) Uma massa de gás perfeito a 17 °C, que sofre uma 
transformação isotérmica, tem seu volume aumentado de 25%. 
A pressão final do gás, em relação à inicial, será:
A) 20% maior. B) 20% menor.
C) 25% menor. D) 80% menor.
E) 80% maior.
03. (Fuvest-SP) Uma bola de futebol impermeável e murcha é colocada 
sob uma campânula, num ambiente hermeticamente fechado. 
A seguir, extrai-se lentamente o ar da campânula até que a bola 
acabe por readquirir sua forma esférica. Ao longo do processo, 
a temperatura é mantida constante. Ao final do processo, 
tratando-se o ar como um gás perfeito, podemos afirmar que:
A) a pressão do ar dentro da bola diminuiu.
B) a pressão do ar dentro da bola aumentou.
C) a pressão do ar dentro da bola não mudou.
D) a densidade do ar dentro da bola aumentou.
04. (EPCar/2012) Um motorista calibra os pneus de um carro com uma 
pressão de 30 libras/pol2 a uma temperatura de 27 ºC. Após uma 
viagem, a temperatura deles subiu para 47 ºC. Desprezando-se a 
variação de volume dos pneus e sabendo-se que 10% da massa 
de ar contida em um dos pneus escapou pela válvula durante a 
viagem, a pressão do ar neste pneu, ao término desta viagem, 
em libras/pol2, é de, aproximadamente:
A) 25 B) 26
C) 29 D) 32
05. (Unesp/2012) Um frasco para medicamento, com capacidade 
de 50 mL, contém 35 mL de remédio, sendo o volume restante 
ocupado por ar. Uma enfermeira encaixa uma seringa nesse frasco 
e retira 10 mL do medicamento, sem que tenha entrado ou saído 
ar do frasco. Considere que duranteo processo a temperatura 
do sistema tenha permanecido constante e que o ar dentro do 
frasco possa ser considerado um gás ideal.
10 mL
ar
situação
final
situação
inicial
ar
35 mL
Na situação final em que a seringa com o medicamento ainda 
estava encaixada no frasco, a retirada dessa dose fez com que 
a pressão do ar dentro do frasco passasse a ser, em relação à 
pressão inicial:
A) 60% maior. B) 40% maior.
C) 60% menor. D) 40% menor.
E) 25% menor.
06. (EsPCEx/2011) O gráfico da P
V
A
Gráfico ilustrativo
CB
 
pressão (P) em função do 
volume (V) no desenho ao lado 
representa as transformações 
sofridas por um gás ideal. Do 
ponto A até o ponto B, o gás 
sof re uma t ransformação 
isotérmica; do ponto B até o ponto C, sofre uma transformação 
isobárica, e do ponto C até o ponto A, sofre uma transformação 
isovolumétrica.Considerando T
A
, T
B
 e T
C
 as temperaturas absolutas 
do gás nos pontos A, B e C, respectivamente, pode-se afirmar que:
A) T
A
 = T
B
 e T
B
 < T
C 
B) T
A
 = T
B
 e T
B
 > T
C
C) T
A
 = T
C
 e T
B
 > T
A 
D) T
A
 = T
C
 e T
B
 < T
A
E) T
A
 = T
B
 = T
C
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Módulo de estudo
OSG.: 118278/17
07. (Fuvest-SP) Um extintor de incêndio cilíndrico, contendo CO
2
, 
possui um medidor de pressão interna que, inicialmente, indica 
200 atm (dado: 1 atm = 105 N/m2). Com o tempo, parte do 
gás escapa, o extintor perde pressão e precisa ser recarregado. 
Considere que a temperatura permanece constante e o CO
2
, 
nessas condições, comporta-se como gás perfeito. Quando a 
pressão interna for igual a 160 atm, a porcentagem da massa 
inicial de gás que terá escapado corresponderá a:
A) 10% 
B) 20%
C) 40% 
D) 60%
E) 75%
08. (UEL) Uma amostra de gás perfeito foi submetida às transformações 
indicadas no diagrama PV a seguir. 
P(atm)
V(L)
10
10860
8
6
4
2
42
2
1
3
4
5
Nessa sequência de transformações, os estados de maior e de 
menor temperatura foram, respectivamente:
A) 1 e 2 
B) 1 e 3
C) 2 e 3 
D) 3 e 4
E) 3 e 5
09. (Fatec/2013) Uma das atrações de um parque de diversões é a 
barraca de tiro ao alvo, onde espingardas de ar comprimido lançam 
rolhas contra alvos, que podem ser derrubados. 
 Ao carregar uma dessas espingardas, um êmbolo comprime 120 mL 
de ar atmosférico sob pressão de 1 atm, reduzindo seu volume 
para 15 mL. A pressão do ar após a compressão será, em atm:
(Admita que o ar se comporte como um gás ideal e que o processo 
seja isotérmico.)
A) 0,2
B) 0,4
C) 4,0
D) 6,0
E) 8,0
10. (Unifesp) Um estudante contou ao seu professor de Física que 
colocou uma garrafa PET vazia, fechada, no freezer de sua casa. 
Depois de algum tempo, abriu o freezer e verificou que a garrafa 
estava amassada. Na primeira versão do estudante, o volume teria 
se reduzido de apenas 10% do volume inicial; em uma segunda 
versão, a redução do volume teria sido bem maior, de 50%. Para 
avaliar a veracidade dessa história, o professor aplicou à situação 
descrita a Lei Geral dos Gases Perfeitos, fazendo as seguintes 
hipóteses, que admitiu verdadeiras.
• a garrafa foi bem fechada, à temperatura ambiente de 
27 ºC, e não houve vazamento de ar;
• a temperatura do freezer era de –18 °C;
• houve tempo suficiente para o equilíbrio térmico;
• a pressão interna do freezer tem de ser menor do que a pressão 
ambiente (pressão atmosférica).
 Assim, o professor pôde concluir que o estudante
A) falou a verdade na primeira versão, pois só essa redução do 
volume é compatível com a condição de que a pressão interna 
do freezer seja menor do que a pressão ambiente.
B) falou a verdade na segunda versão, pois só essa redução do 
volume é compatível com a condição de que a pressão interna 
do freezer seja menor do que a pressão ambiente.
C) mentiu nas duas versões, pois ambas implicariam uma pressão 
interna do freezer maior do que a pressão ambiente.
D) mentiu nas duas versões, pois é impossível a diminuição do 
volume da garrafa, qualquer que seja a relação entre a pressão 
interna do freezer e a pressão ambiente.
E) mentiu nas duas versões, pois nessas condições a garrafa teria 
estufado ou até mesmo explodido, tendo em vista que a pressão 
interna do freezer é muito menor do que a pressão ambiente.
11. (PUC-SP) Uma câmara de volume constante contém um mol de 
gás ideal a uma pressão de 0,50 atm. Se a temperatura da câmara 
for mantida constante e mais dois mols do mesmo gás forem nela 
injetados, sua pressão final será
A) 1,50 atm B) 1,00 atm
C) 0,50 atm D) 1,75 atm
E) 0,75 atm
12. (Uece) Quatro recipientes metálicos, de capacidades diferentes, 
contêm oxigênio. Um manômetro acoplado a cada recipiente 
indica a pressão do gás. O conjunto está em equilíbrio térmico 
com o meio ambiente. 
1,0 atm 0,80 atm 0,40 atm 0,30 atm
I II III IV
20 � 30 � 40 � 50 �
Considere os valores das pressões e dos volumes indicados na 
ilustração e admita que o oxigênio comporta-se como um gás 
ideal. Pode-se concluir que o recipiente que contém maior número 
de moléculas de oxigênio é o da figura
A) I B) II
C) III D) IV
13. (UFRGS) Considere que certa quantidade de gás ideal, mantida 
a temperatura constante, está contida em um recipiente cujo 
volume pode ser variado.
Assinale a alternativa que melhor representa a variação da pressão 
(p) exercida pelo gás, em função da variação do volume (V) do 
recipiente. 
A) B)
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Módulo de estudo
C) D)
E)
14. (Uece) Em um gás ideal, a pressão, o volume e a temperatura são 
relacionados pela equação PV = nRT. Para esse gás, a razão entre 
a pressão e a temperatura é 
A) inversamente proporcional à densidade do gás. 
B) não depende da densidade do gás. 
C) diretamente proporcional ao quadrado da densidade do gás. 
D) diretamente proporcional à densidade do gás. 
15. (Uerj) Um mergulhador precisa encher seu tanque de mergulho, 
cuja capacidade é de 1,42 × 10–2 m3, a uma pressão de 140 atm 
e sob temperatura constante.
O volume de ar, em m3, necessário para essa operação, à pressão 
atmosférica de 1 atm, é aproximadamente igual a: 
A) 
1
4
 B) 
1
2
C) 2 D) 4
Resoluções
01. 
 Situação inicial do gás ideal Situação final do gás ideal
 Primeiramente vamos encontrar o número de mols que restou no 
recipiente (n):
 
Final ⇒ p · V = n · R · T
Inicial ⇒ p
o
 · V
o
 = n
o
 · R · t
⇒
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
⋅ = ⋅ ⋅
⇒ = ⇒ =
p
V n R T
p V n R T
n
n mols
o
o o
o o o o
2
4 3 2
1
3
6
4
 Logo, o número de mols que escaparam (n’) será:
 n’ = 6 mols – 4 mols ⇒ n’ = 2 mols
 Resposta: B
02. Cuidado. Nesse problema, o aluno pode se sentir tentado a 
pensar que, se numa transformação isotérmica pressão e volume 
são inversamente proporcionais, então um aumento de 25% no 
volume deve vir acompanhado de uma redução também de 25% 
na pressão. Isso está errado!
n mols
V
p
T
o
o
o
o
=






6 V V
p
p
T T
o
o
o
= ⋅
=
= ⋅






4
2
3
 Vamos às relações matemáticas: V
2
 = 1,25 · V
1
 (aumento de 25%)
 Mas:
 
p V p V p V p V
p p p p
1 1 2 2 1 1 2 1
2 1 1 1
1 25
1
1 25
0 80 80
= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒
= ⋅ = ⋅ =
,
,
, %
 Assim, a nova pressão terá o valor de 80% da pressão inicial.
 Portanto, houve uma redução de 20%.
 Resposta: B
03. À temperatura constante (isotérmica), se a pressão diminui (no 
caso, a externa), o volume aumenta, pois PV = constante. Se a 
bola aumenta de volume, a pressão interna da bola diminui para 
igualar a pressão externa que também diminuiu.
 Resposta: A
04. Pela equação de Clapeyron,R
p V
n T
p V
n T
= =1 1
1 1
2 2
2 2
.
 De acordo com o enunciado,
 T
1
 = 27 + 273 = 300 K (A equação de Clapeyron exige que a 
temperatura seja expressa na escala absoluta)
 T
2
 = 47 + 273 = 320 K
 P
1
 = 30 lbf/pol2
 n
2
 = 0,90 n
1
 (porque 10% do gás sai do pneu)
 V
2
 = V
1
 (porque o volume ocupado pelo gás que se encontra no 
pneu coincide com o volume do pneu: assim, como o volume 
do pneu permanece constante, pode-se dizer que o volume do 
gás presente emseu interior também será constante, apesar da 
variação do número de moléculas presentes ali dentro)
 Substituindo na equação anterior: 
30
300 0 9 320
1
1
2 1
1
V
n
p V
n
=
,
 P
2
 = 28,8 lbf/pol2 ≅ 29 lbf/pol2.
 Resposta: C
05. O volume inicial (V
0
) de ar no frasco é:
 V
0
 = 50 – 35 ⇒ V
0
 = 15 mL.
 Como foram retirados 10 mL de líquido e as paredes do frasco 
não murcharam, como indica a figura, o volume (V) ocupado pelo 
ar passa a ser:
 V = 15 + 10 ⇒ V = 25 mL. 
Sendo constante a temperatura, e p e p
0
 as respectivas pressões 
final e inicial do ar, aplicando a Lei Geral do Gases:
 
pV p V p p
p p p
= ⇒ = ⇒ = ⇒
⇒ = ⇒ =
0 0 0 0
0 0
25 15
15
25
0 6 60
( ) p ( ) p
, % p .
 Então, a pressão final é 40% menor em relação à pressão inicial.
 Resposta: D
06. Como a evolução AB é isotérmica, T
A
 = T
B
.
Como sabemos PV = nRT. Na evolução BC, o volume aumenta e 
a pressão fica constante.
Portanto, a temperatura aumenta: T
B
 < T
C
.
Lembre-se de que, numa expansão isobárica (pressão constante), 
o aumento do volume vem acompanhado de um aumento de 
temperatura, uma vez que a razão V/T é constante.
 Resposta: A
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Módulo de estudo
OSG.: 118278/17
07. Como o CO
2
 comporta-se como um gás perfeito, as suas variáveis 
de estado (P, V, T), entre a situação inicial, a 200 atm, e o estado 
final, a 160 atm, apresentam a seguinte igualdade:
 
P V
n T
P V
n T
i i
i i
f f
f f
=
 Nas condições apresentadas, têm-se:
 P
i
 = 200 atm
 P
f
 = 160 atm
 V
f
 = V
i
 T
f
 = T
i
Dessa maneira: 
200 160
0 8
n n
n n
i f
f i= ∴ = ⋅,
Assim, o número de mols do gás no interior do recipiente na 
situação final corresponde a 80% do número de mols do gás na 
situação inicial.
 Conclui-se, então, que 20% da massa inicial escaparam do 
recipiente.
 Resposta: B
08. De acordo com Clapeyron, T
p V
n R
=
⋅
⋅
.
 Assim, a temperatura de uma amostra gasosa ideal e inerte é 
proporcional ao produto (p · V).
 Logo, o estado, no gráfico, com o maior valor para o produto 
(p · V) corresponderá ao estado de maior temperatura.
 p
1
 ⋅ V
1
 = 10 · 2 = 20
 p
2
 ⋅ V
2
 = 7 · 4 = 28 → maior temperatura
 p
3
 ⋅ V
3
 = 4 · 2 = 08 → menor temperatura
 p
4
 ⋅ V
4
 = 3 · 5 = 15
 p
5
 ⋅ V
5
 = 2 · 8 = 16 
 Resposta: C
09. Como a expansão é isotérmica, pela Lei Geral dos Gases:
 
pV p V p
p V
V
p p atm= ⇒ = ⇒ =
⋅
⇒ =0 0
0 0 120 1
15
8 .
 Resposta: E
10. Aplicando-se a situação descrita à Lei Geral dos Gases Perfeitos:
 
p V
T
p V
T
em que
T K
T K
’ ’
’
,
’⋅
=
⋅ = −
=



18 255
27 300
ºC = 
ºC = 
 A veracidade de cada versão pode ser testada como segue:
 
p V p V
p p
’ ,
’ .
⋅
=
⋅
∴ ≅ ⋅
0 9
255 300
0,95
1ª versão
p V p V
p p
’ ,
’ , .
⋅
=
⋅
∴ ≅ ⋅
0 5
255 300
1 7
2ª versão
 Conclui-se que a segunda versão é falsa, pois contraria a hipótese 
de a pressão interna no freezer (p’) ser menor do que a pressão 
atmosférica ambiente (p).
 Resposta: A
11. Situação inicial:
 
p V n R T
V R Tc m amb
1 1 1 1
0 5 1
⋅ = ⋅ ⋅
⋅ = ⋅ ⋅, . .â
 Situação final:
 
p V n R T
p V R Tc m amb
2 2 2 2
2 1 2
⋅ = ⋅ ⋅
⋅ = + ⋅ ⋅â . .( )
 Dividindo as equações: 
p V
V
R T
R T
p atmc m
c m
amb
amb
2
20 5
3
1
15
⋅
⋅
=
⋅ ⋅
⋅ ⋅
→ =â
â
.
.
.
.,
,
 Resposta: A
12. De acordo com Clapeyron: n
p V
R T
=
⋅
⋅
.
 Já que todos os recipientes se encontram à mesma temperatura 
(T), o maior número de mols corresponde ao recipiente em que 
(p ⋅ V) é maior. Isso ocorre no recipiente II.
 Resposta: B
13. Em gases ideais mantidos à temperatura constante (processo 
isotérmico), a equação geral dos gases é simplificada para a Lei 
de Boyle:
pV
T
pV= ⇒ =constante constante
Assim, pressão e volume são inversamente proporcionais, logo 
temos um gráfico representativo de uma hipérbole. 
 Resposta: A
14. Sendo m a massa do gás, M a massa molar e d a sua densidade, 
têm-se:
n
m
M
d
m
V
V
m
D
P V nR T
P
T
nR
V
P
T
m
M
R
m
d
P
T
R
M
d
=
= ⇒ =






= ⇒ = ⇒
⇒ = ⇒ =
 
.
A expressão mostra que a razão entre a pressão e a temperatura 
absoluta é diretamente proporcional à densidade do gás. 
 Resposta: D
15. Considerando o processo isotérmico e comportamento de gás 
perfeito para o ar, da equação geral dos gases:
pV
T
p V
T
V
V
= ⇒ ⋅ × = ⋅ ⇒
⇒ = × ⇒ ≅
−
−
0 0
0
2
2
2
2 3
2
3
1 140 1,42 10 
198 10 m V 2 m . 
 Resposta: C
SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: DOUGLAS GOMES
naldo – REV.: Tatielly/Livia