Soluções: Questões Winterle Geometria analítica

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Soluções: Questões Winterle Geometria analítica
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Autora:
Annie Gabrielle de Oliveira Silva
21 de fevereiro de 2021
annie.passeidireto@gmail.com
Quem sou eu?
Olá, meu nome é Annie e sou graduanda em geofísica pela Universidade Federal da Bahia e pré-vestibulanda
para o Instituto Tecnológico da Aeronáutica. Antes do pré-vestibular, era graduanda, concomitantemente
a geofísica, de engenharia elétrica pela Faculdade de Tecnologia e Ciência. Atualmente, atuo como tutora
de várias disciplinas e tenho certeza que podemos aprender muito. Sendo assim, bons estudos!
Questão 1: cap 4, questão 20
Determine m e n para que se tenha:
1. (m,n, 2) · (4,−1, 3) = −2
(m,n, 2) · (4,−1, 3) = −2
⇒ 4m− n+ 2 · 3 = −2
⇒ 4m− n = −8
⇒ n = 4m+ 8
2. (m,n, 2)× (4,−1, 3) = (8,−1,−11)
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
m n 2
4 −1 3
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ n 2−1 3
∣∣∣∣ i− ∣∣∣∣m 24 3
∣∣∣∣ j + ∣∣∣∣m n4 −1
∣∣∣∣ k = (8,−1,−11)
⇒ (3n+ 2)i− (3m− 8)j + (−m− 4n)k = (8,−1,−11)

3n+ 2 = 8⇒ 3n = 6 ∴ n = 2
−(3m− 8) = −1⇒ −3m+ 8 = −1⇒ 3m = 9 ∴ m = 3
−m− 4n = −11
3. (m,n, 2) · ((3, 1, 2)× (0, 1,−1)) = 9
∣∣∣∣∣∣
m n 2
3 1 2
0 1 −1
∣∣∣∣∣∣ = 9
⇒
∣∣∣∣∣∣
m n 2
3 1 2
0 1 −1
∣∣∣∣∣∣
m n
3 1
0 1
= m · 1 · (−1) + n · 2 · 0 + 2 · 3 · 1−(n · 3 · (−1) +m · 2 · 1 + 2 · 1 · 0) = 9
⇒ −m+ 6− (−3n+ 2m) = 9
⇒ −3m+ 6 + 3n = 9
⇒ 3(n−m) = 3
⇒ n−m = 1
∴ n = m+ 1
1
Questão 2: cap 5, questão 10
Os pontosM1(2,-1,3), M2(1,-3,0), M3(2,1,-5) são pontos médios de um triângulo ABC. Obter
equações paramétricas da reta que contém o lado cujo ponto médio é M1.
Figura 1: M2 e M3 são os pontos médios dos respectivos lados do triângulo e a reta mostrada na figura
os une.
Para calcular a reta que contêm o lado que contém M1, precisamos de um ponto e de um vetor diretor.
Pelo teorema da base média do triângulo, qualquer triângulo que possua um segmento ligado a dois pontos
médios de seus lados, terá esse segmento paralelo ao terceiro lado. Além disso, vale dizer que, vetores pa-
ralelos possuem representantes na mesma reta e com isso podem ser representados como combinação linear
um do outro(sendo assim, muitas vezes usamos os vetores diretores de retas paralelas as que desejamos
como vetores diretores das próprias retas).
Temos as coordenadas do ponto M1=(2,-1,3) e obteremos as coordenadas do vetor fazendo:
M3−M2 = (2, 1,−5)− (1,−3, 0) = (1, 4,−5)
Então teremos o sistema:
r :

x = 2 + 1 · t
y = −1 + 4 · t
z = 3− 5 · t
2
Questão 3: cap5, questao 19
Determinar as questões parmétricas e representar graficamente a reta que passa por:
A estrutura de uma equação paramétrica é dada abaixo. Onde,(x1, y1, z1) são as coordenadas de um
um ponto da reta e (a, b, c) são as coordenadas do vetor diretor.
r :

x = x1 + a · t
y = y1 + b · t
z = z1 + c · t
1. A(3,-2,4) e é paralela ao eixo dos x;
Vide Questão 2, quando uma reta é paralela a um eixo, utilizamos o vetor diretor da reta que é
paralela a que desejamos como seu vetor diretor.
vOX :(1,0,0) e A(3,-2,4), montamos:
r :

x = 3 + 1 · t
y = −2 + 0 · t
z = 4 + 0 · t
∴ r :

x = 3 + t
y = −2
z = 4
2. A(2,2,4) e é perpendicular ao plano XOZ;
Se uma reta é perpendicular ao plano XOZ, ela é paralela ao eixo y. Retas paralelas ao eixo coorde-
nado y possuem vetores diretores na forma ~vd = (0, 1, 0).
3
Então,
r :

x = 2 + 0 · t
y = 2 + 1 · t
z = 4 + 0 · t
∴ r :

x = 2
y = 2 + t
z = 4
3. A(-2,3,4) e é ortogonal ao mesmo tempo aos eixos dos x e dos y;
Se a reta é ortogonal a dois eixos ao mesmo tempo, ela é ortogonal ao plano que aos contém. sendo
assim, a reta é ortogonal ao plano XOY e paralela ao eixo z, possuindo o vetor diretor vd = (0, 0, 1).
Então,
r :

x = −2 + 0 · t
y = 3 + 0 · t
z = 4 + 1 · t
∴ r :

x = −2
y = 3
z = 4 + t
4. A(4,-1,3) e tem direção de 3~i− 2~j;
O ponto possui a direção do vetor ~v = 3~i−2~j, então suas coordenadas são dadas por: v = (3,−2, 0).
~i, ~j, ~k são os eixos unitários que tem as mesmas direções que os eixos, respectivamente, x, y e z.
Então, podemos representar a reta por:

r : x = 4 + 3 · t
y = −1 + (−2) · t
z = 3 + 0 · t
∴ r :

x = 4 + 3t
y = −1− 2t
z = 3
4
Figura 2: Observe que a que a reta será paralela ao eixo z.
5. A(3,-1,3) e B(3,3,4).
O vetor diretor entre duas retas é dado por
−−→
AB = B −A. Fazemos:
−−→
AB = (3, 3, 4)− (3,−1, 3) = (0, 4, 1)
Como temos dois pontos pertencentes a reta, podemos escolher entre A ou B para representá-la.
5
Pela resposta do livro, o ponto escolhido foi o A. Assim,
r :

x = 3 + 0 · t
y = −1 + 4 · t
z = 3 + 1 · t
∴ r :

x = 3
y = −1 + 4t
z = 3 + t
Questão 4: cap5, questao 26
Calcular o valor de m para que sejam concorrentes as seguintes retas:
Retas concorrentes são aquelas que apresentam apenas um ponto de intersecção entre elas. Sendo
assim, para esta questão, precisamos encontrar o valor de m dadas as respectivas igualdades para as
coordenadas x,y e z da reta.
1. r1 :
{
y = 2x− 5
z = −x+ 2
e r2 : x− 5 =
y
m
= z + 1
Com as equações das retas podemos montar o sistema:

y = 2x− 5 (1)
z = −x+ 2 (2)
x− 5 = y
m
= z + 1 (3)
Substituindo (2) em (3), temos:
6
x− 5 = z + 1
⇒ x− 5 = −x+ 2 + 1
⇒ 2x = 8 ∴ x = 4 (4)
Substituindo (4) em (1):
y = 2x− 5
⇒ y = 2 · 4− 5 ∴ y = 3 (5)
Substituindo (4) e (5) em um dos sitemas de (3):
x− 5 = y
m
⇒ 4− 5 = 3
m
⇒ −1 = 3
m
∴ m = −3
2. r1 :

x = m− t
y = 1 + t
z = 2t
e r2 :
x− 1
3
=
y + 2
1
=
z
−2
Escrevendo r2 como uma reta paramétrica, o vetor diretor da mesma é v2 = (3, 1,−2), o ponto
utilizado é dado por A=(1,-2,0), então:
r2 :

x = 1 + 3 · h
y = −2 + 1 · h
z = 0 + (−2) · h
⇒ r2 :

x = 1 + 3h
y = −2 + h
z = −2h
Como retas concorrentes possuem um ponto em comum, fazemos:

m− t = 1 + 3h
1 + t = −2 + h
2t = −2h⇒ t = −h
⇒

t = −h
1 + t = −2 + h⇒ 1− h = −2 + h⇒ 3 = 2h⇒ h = 3
2
m− t = 1 + 3h⇒ m+ h = 1 + 3h⇒ m = 1 + 2h⇒ m = 1 + 2 · 3
2
∴ m = 4
7