Aula 08-Entropia-1

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Universidade Federal do ABC
Profa. Dr. José Rubens Maiorino
BC1309
Termodinâmica Aplicada
BC1309BC1309
Termodinâmica AplicadaTermodinâmica Aplicada
EntropiaEntropiaEntropia
BC1309_Termodinâmica Aplicada
EntropiaEntropiaEntropia
BC1309_Termodinâmica Aplicada
DefiniDefiniçção de Entropia;ão de Entropia;
PrincPrincíípio de Gerapio de Geraçção de Entropia;ão de Entropia;
Desigualdade de ClausiusDesigualdade de Clausius
BalanBalançço de Entropia em um Volume de Controle;o de Entropia em um Volume de Controle;
Entropia de Substâncias Puras e Gases Ideais;Entropia de Substâncias Puras e Gases Ideais;
Processos Processos IsoentrIsoentróópicospicos;;
Eficiências Eficiências IsoentrIsoentróópicaspicas de Equipamentos.de Equipamentos.
Entropia e CaosEntropia e Caos-- Termodinâmica Termodinâmica EstatisticaEstatistica
Desigualdade de ClausiusDesigualdade de ClausiusDesigualdade de Clausius
BC1309_Termodinâmica Aplicada
Desigualdade de ClausiusDesigualdade de ClausiusDesigualdade de Clausius
BC1309_Termiodinâmica Aplicada
A desigualdade de Clausius foi enunciado pelo físico alemão 
Rudolf Clausius em 1865. É um outro corolário da 
2ª Lei da Termodinâmica e fornece a base para a definição da 
propriedade termodinâmica ENTROPIAENTROPIA. 
A desigualdade de Clausius mostra que a integral cíclica da razão entre o 
diferencial de calor e a temperatura de fronteira do sistema é sempre menor 
ou igual a zero. 
A integral cíclica representa a somatória de todas as trocas de calor ao 
longo do ciclo termodinâmico em cada ponto da fronteira do sistema e, 
conseqüentemente, em relação as temperaturas de fronteira.
0
T
Q
SC
≤⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ δ∫
Desigualdade de Clausius
Demonstração
Desigualdade de ClausiusDesigualdade de Clausius
DemonstraDemonstraççãoão
• Considere um ciclo reversível( Carnot) 
operando entre os reservatórios térmicos TH e 
TL
0
T
Q ,0
:sreversivei ciclos todosPara :Conclusão
0
T
Q
:reversivel é ciclo o e ,constantes são T e T Como
0
LH
=≥
=−=
>−=
∫∫
∫
∫
δδ
δ
δ
eQ
T
Q
T
Q
QQQ
L
L
H
H
LH
Nota: O sinal = aparece do fato
Que se integral cíclica de δQ→0,
(TH→TL ), enquanto o ciclo é
reversível, a integral cíclica de
δQ/T permanece nula.
Desigualdade de Clausius
Demonstração
Desigualdade de ClausiusDesigualdade de Clausius
DemonstraDemonstraççãoão
Consideremos agora um ciclo de motor térmico Irreversível 
operando nas mesmas TH e TL  do motor reversível, então pela 
segunda Lei: Wirr<Wrev. Como QH‐QL=W para ciclos reversíveis 
ou irreversíveis, concluímos que: QH‐QL,irr<QH‐QL,rev, e 
portanto: QL,irr>QL,irr,. Consequentemente para o motor 
irreversível:
0 e ,0Q
:anteriores razões mesmas Pelas
0
0
,
.
<≥
<−=
>−=
∫∫
∫
∫
T
Q
T
Q
T
Q
T
Q
QQQ
L
irrL
H
H
irrLH
δδ
δ
δ
Desigualdade de Clausius
Demonstração
Desigualdade de ClausiusDesigualdade de Clausius
DemonstraDemonstraççãoão
Para completar a demonstração da desigualdade de Clausius, 
esta também deve ser valida para os ciclos de refrigeração. A 
demonstração é análoga, exceto que neste caso não existe o 
caso limite em que a integral cíclica de δQ→0. Assim para 
todos ciclos de refrigeração irreversíveis:  
0,0 ≤< ∫∫ T
QQ δδ
BC1309_Termodinâmica Aplicada
Desigualdade de ClausiusDesigualdade de ClausiusDesigualdade de Clausius
BC1309_Termodinâmica Aplicada
≤
δ 0
T
Q
Desigualdade de Clausius:
Esta desigualdade é válida para todos os ciclos termodinâmicos, reversíveis e 
irreversíveis, incluindo os ciclos de refrigeração.
Desigualdade de ClausiusDesigualdade de ClausiusDesigualdade de Clausius
BC1309_Termodinâmica Aplicada
∫ =
δ 0
T
Q
Se não ocorrem irreversibilidades no interior do sistema e no 
dispositivo cíclico reversível, então o ciclo pelo qual o sistema 
combinado passou é internamente reversível, podendo ser revertido.
No caso do ciclo reverso, todas as quantidades tem a mesma 
magnitude, mas com sinal oposto.
Assim, o trabalho WC que não poderia ser uma quantidade positiva 
no caso normal, não pode ser uma quantidade negativa no caso 
reverso; portanto:
Desigualdade de ClausiusDesigualdade de ClausiusDesigualdade de Clausius
BC1309_Termodinâmica Aplicada
A A igualdadeigualdade na desigualdade de Clna desigualdade de Clausius ausius vale vale 
para os ciclos totalmente ou apenas para os ciclos totalmente ou apenas 
internamente internamente reversreversííveisveis, assim como a , assim como a 
desigualdadedesigualdade vale para os ciclosvale para os ciclos irreversirreversííveisveis..
Desigualdade de Clausius‐ ExemploDesigualdade de ClausiusDesigualdade de Clausius‐‐ ExemploExemplo
kgkJ
CTkgkJhhq
CTkgkJhhq
T
Q
T
QQ
T
Q
T
T
Q
T
Q
rcondensadocaldeira
/1087
)2,27397,53(
4,1898
)2,27397,164(
3,2066
T
Q
97,53;/4,1898
97,164;/3,2066
: trabalhode fluido de kg 1 doConsideran
11
T
Q
T
Q
:rcondensado no e caldeira na
 locais, dois em do transferiécalor ciclo Neste
0
314
4
3
0
112
2
1
2
4
3
1
2
14
3
2
2
1
1
−=
+
−
+
=
=−=−=
==−=
+=+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
∫
∫∫∫
∫∫∫
δ
δδδ
δδδ
BC1309_Termodinâmica Aplicada
Definição de EntropiaDefiniDefiniçção de Entropiaão de Entropia
BC1309_Termodinâmica Aplicaa
Definição de EntropiaDefiniDefiniçção de Entropiaão de Entropia
BC1309_Termodinâmica Aplicada
A
B
C
1
2
Definição de EntropiaDefiniDefiniçção de Entropiaão de Entropia
BC1309_Termodinâmica Aplicada
0
T
Q
T
Q 1
2
B
2
1
A =
δ
+
δ
∫∫
Considerando os processos A e B separadamente:
0=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ∫
revT
Qδ
Partindo de :
(1)
(2)0
T
Q
T
Q 1
2
C
2
1
A =
δ
+
δ
∫∫
Considerando os processos A e C separadamente:
Definição de EntropiaDefiniDefiniçção de Entropiaão de Entropia
BC1309_Termodinâmica Aplicada
Subtraindo (1) de (2):
0
T
Q
T
Q
T
Q
T
Q 1
2
C
2
1
A
1
2
B
2
1
A =
δ
−
δ
−
δ
+
δ
∫∫∫∫
∫∫ ⎟⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ δ=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ δ 1
2 C
1
2 B T
Q
T
Q
Simplificando:
A “quantidadequantidade” é a mesma para qualquer processo!
T
Qδ
Definição de EntropiaDefiniDefiniçção de Entropiaão de Entropia
BC1309_Termodinâmica Aplicada
Assim, podeAssim, pode--se definir uma nova propriedade se definir uma nova propriedade 
termodinâmica, a termodinâmica, a ENTROPIAENTROPIA..
∫ ⎟⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ δ=−
2
1 rev
12 T
QSS
S: entropia total – [kJ/K]
s: entropia específica – [kJ/kg.K]
Definição de EntropiaDefiniDefiniçção de Entropiaão de Entropia
BC1309_Termodinâmica Aplicada
Processo IrreversProcesso Irreversíívelvel
Processo ReversProcesso Reversíívelvel
0,30,3 0,70,7
∆∆S = SS = S22 –– SS11 = 0,4 = 0,4 kJkJ/K/K
A variaA variaçção de entropia entre ão de entropia entre 
dois estados especificados dois estados especificados 
éé a mesma, seja o processo a mesma, seja o processo 
reversreversíível ou irreversvel ou irreversíível.vel.
Entropia de Substâncias PurasEntropia de Substâncias PurasEntropia de Substâncias Puras
BC1309_Termodinâmica Aplicada
( ) vl xssx1s +−=Para uma mistura saturada:
A determinação da entropiaentropia segue o mesmo padrão de outras 
propriedades termodinâmicas para uma substância pura.
Entropia de Substâncias PurasEntropia de Substâncias Puras
BC1309_Termodinâmica Aplicada
VARIAÇÃO DA ENTROPIA
PROCESSOS REVERSIVEIS 
• Ciclo de Carnot
)121(
)14321(ciclo do térmicaeficiênciaA 
co)(isoentópiadiabatico Trabalho de ciaTransferên :4 Processo
3)-b-a-4-3 4;-3 linha abaixo área(
)fria(T fonte a para isotérmicoCalor de ciaTransferên :43 Processo
ico)(isoentrópreversivel adiabatico trabalhode ciaTransferên :32 Processo
1)-a-b-2-1 2;-1 linha abaixo área(1
:)quente(T fonte isotérmicocalor de ciaTransferên :21 Processo
th
4
34
334
L
2
1
2
12
112
H
−−−−
−−−−
===
→
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=−
→
→
==⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=−
→
∫
∫∫
abarea
area
Q
W
T
Q
T
QSS
T
QQ
TT
QSS
H
liq
Lrev
HHrev
η
δ
δδ
BC1309_Termodinâmica Aplicada
VARIAÇÃO DA ENTROPIA
PROCESSOS IRREVERSIVEIS 
elirreversiv processo um para dedesigualda a e 
reversivel processo um para valeigualdadea onde
:epropriedad uma é entropia a e reversivel éA caminho o Como
1 da equação 2 a Subtraindo
)(0
T
Q :elIrreversiv Processo
0
T
Q :Reversivel Processo
2
112
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
00
1
2
2
1
1
2
2
1
∫
∫∫∫∫∫
∫∫
∫∫∫
∫∫∫
≥−
≥→⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛>→==⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛>⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛→
<⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
T
QSS
T
QdS
T
QdSdSdS
T
Q
T
Q
T
Q
Clausius
T
Q
T
Q
T
Q
T
Q
C
CCA
A
CA
BC
BA
δ
δδδ
δδ
δδδ
δδδ
BC1309_Termodinâmica Aplicada
Duas relações termodinâmicas(Gibbs)
• TdS=dU+PdV
• TdS=dH‐VdP
Demonstração:
VdPdHTdS
VdPPdVdUdHPVUH
PdVdUTdSPdVWTdSQ
WdUQ
−=
++=→+=
+=→==
+=
dU, dosubstituin ,
 e ,
Lei Primeira ,
δδ
δδ
BC1309_Termodinâmica Aplicada
Princípio da Geração de EntropiaPrincPrincíípio da Gerapio da Geraçção de Entropiaão de Entropia
BC1309_Termodinâmica Aplicada
Princípio de Geração de EntropiaPrincPrincíípio de Gerapio de Geraçção de Entropiaão de Entropia
BC1309_Termodinâmica Aplicada
IrreversibilidadesIrreversibilidades como atrito, mistura, reações químicas, 
transferência de calor com uma diferença de temperatura 
finita , expansão não-resistida, compressão ou expansão 
em não equilíbrio sempre fazem aumentar a entropia de aumentar a entropia de 
um sistemaum sistema e a gerageraçção de entropiaão de entropia é uma medida da 
entropia criada por tais efeitos durante um processo.
Princípio de Geração de EntropiaPrincPrincíípio de Gerapio de Geraçção de Entropiaão de Entropia
BC1309_Termodinâmica Aplicada
I
R
1
2
R: processo reversível 
I: processo irreversível ou reversível
Princípio de Geração de EntropiaPrincPrincíípio de Gerapio de Geraçção de Entropiaão de Entropia
BC1309_Termodinâmica Aplicada
Partindo da equação da desigualdade de Clausius, temos:
0
T
Q
≤⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ δ∫
Aplicando-a para o ciclo temos:
0
1
2
2
1
≤⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+ ∫∫
revT
Q
T
Q δδ
Processo reversível ou irreversível Processo internamente reversível
Princípio de Geração de EntropiaPrincPrincíípio de Gerapio de Geraçção de Entropiaão de Entropia
BC1309_Termodinâmica Aplicada
Para um processo internamente reversível temos:
∫
δ
=−
1
2
21 T
QSS
Substituindo temos:
0
T
QSS
2
1
21 ≤
δ
+− ∫ ou ∫
δ
≥−
2
1
12 T
QSS
Na forma diferencial temos:
T
QdS δ≥
Princípio de Geração de EntropiaPrincPrincíípio de Gerapio de Geraçção de Entropiaão de Entropia
BC1309_Termodinâmica Aplicada
Escrevendo a equação como igualdade, define-se o termo 
Sger (entropia gerada durante o processo), assim :
ou gerST
QSSS +=−=∆ ∫
2
1
12
δ
gerST
QdS +δ=
Para satisfazer a desigualdade de Clausius, a geração de entropia 
não pode ser negativa; logo:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<
=
>
)impossívelprocesso(0
)reversívelprocesso(0
)elirreversívprocesso(0
Sger
Princípio de Geração de EntropiaPrincPrincíípio de Gerapio de Geraçção de Entropiaão de Entropia
Algumas observaAlgumas observaçções sobre a geraões sobre a geraçção de entropia:ão de entropia:
Processos podem ocorrer em determinada direção e não em qualquerqualquer
direção. 
Um processo deve ocorrer na direção compatível com o princípio de 
aumento da entropia, ou seja Sger ≥ 0. Processos que violem esse princípio 
são ditos impossíveis.
A entropia é uma propriedade que não se conserva, e não existe um 
princípio de conservação de entropia. A entropia é conservada somente em 
processos reversíveis idealizados e sempre aumenta nos processos reais.
A geração de entropia é uma medida da magnitude das irreversibilidades 
presentes durante um processo. 
BC1309_Termodinâmica Aplicada
Balanço de EntropiaBalanBalançço de Entropiao de Entropia
BC1309_Termodinâmica Aplicada
Balanço de EntropiaBalanBalançço de Entropiao de Entropia
BC1309_Termodnâmica Aplicada
22ªª Lei da TermodinâmicaLei da Termodinâmica:
A entropia pode ser criada, mas não pode ser destruA entropia pode ser criada, mas não pode ser destruíída!da!
PrincPrincíípio do Aumento da Entropia:pio do Aumento da Entropia:
a variação de entropia de um sistema durante um processo é
igual à transferência líquida de entropia através da fronteira do 
sistema mais a entropia gerada dentro do sistema.
Balanço de EntropiaBalanBalançço de Entropiao de Entropia
BC1309_termodinâmica Aplicada
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
entropiade
totalEntrada
‐
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
entropiade
totalSaída
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
gerada
totalEntropia
+
= ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
totalentropia
daVariação
Balanço de Entropia e Energia
Exemplo
BalanBalançço de Entropia e Energiao de Entropia e Energia
ExemploExemplo
Mudança=entrada ‐ saída+geração
a)Energia:
(E2‐E1)A=Qa‐Wa‐QB+Wb
(E2‐E1)B=Qb‐Wb‐Qc+Wc
(E2‐E1)C=Qc+Wa‐Qa‐Wc
Somando:(E2‐E1)A+(E2‐E1)B+(E2‐E1)C=0
b)Entropia:
(S2‐S1)A=∫δQa/Ta‐∫δQb/Tb+S,Ager
(S2‐S1)B=∫δQb/Tb‐∫δQc/Tc+S,Bger
(S2‐S1)C=∫δQc/Tc‐∫δQa/Ta+S,Cger
Somando: 
(S2—S1)total=S,Ager+S,Bger+S,Cger>0
BC1309_Termodinâmica Aplicada
Mecanismos de Transferência de 
Entropia
Mecanismos de Transferência de Mecanismos de Transferência de 
EntropiaEntropia
BC1309_Termodinâmica Aplicada
Transferência de EntropiaTransferência de EntropiaTransferência de Entropia
BC1309_Termodinâmica Aplicada
A transferência de entropia pode ocorrer através de 
duas formas:
Transferência de calor:
∑∫ ≅
δ
=
k
k
2
1
calor T
Q
T
QS
Fluxo de massa:
msSmassa =
SistemaSistema
Volume de ControleVolume de Controle
Volume de ControleVolume de Controle
Transferência de entropia resultante Transferência de entropia resultante 
da transferência de calor!da transferência de calor!
Massa contMassa contéém entropia e energia!m entropia e energia!
Transferência de EntropiaTransferência de EntropiaTransferência de Entropia
BC1309_Termodinâmica Aplicada
TrabalhoTrabalho (energia organizada) é livre de entropialivre de entropia e não 
há transferência de entropia pelo trabalho!
Transferência de calorTransferência de calor é uma interação de energia 
acompanhada pela transferência de entropia acompanhada pela transferência de entropia e 
trabalho trabalho é uma interação de energia não acompanhada não acompanhada 
pela transferência de entropiapela transferência de entropia.
Portanto, nenhuma entropia nenhuma entropia éé trocada entre um sistema trocada entre um sistema 
e sua vizinhane sua vizinhançça durante uma interaa durante uma interaçção de trabalhoão de trabalho.
Transferência de EntropiaTransferência de EntropiaTransferência de Entropia
BC1309_Termodinâmica Aplicada
A quantidade de energia A quantidade de energia éé sempre sempre 
preservada durante um processo real preservada durante um processo real 
(1(1ªª Lei da Termodinâmica), Lei da Termodinâmica), 
mas a qualidade deve diminuir mas a qualidade deve diminuir 
(2(2ªª Lei da Termodinâmica).Lei da Termodinâmica).
3ª Lei da Termodinâmica33ªª Lei da TermodinâmicaLei da Termodinâmica
BC1309_Termodinâmica Aplicada
3ª Lei da Termodinâmica33ªª Lei da TermodinâmicaLei da Termodinâmica
BC1309_Termodinâmica Aplicada
A entropia de uma substância cristalina pura A entropia de uma substância cristalina pura 
àà temperatura zero absoluto temperatura zero absoluto éé zero, uma vez zero, uma vez 
que não hque não háá incerteza sobre o estado das incerteza sobre o estado das 
molmolééculas (entropia absoluta).culas (entropia absoluta).
Balanço de EntropiaBalanBalançço de Entropiao de Entropia
BC1309_Termodinâmica Aplicada
Para um sistema temos:
Para um volume de controle:
Ou escrita na forma temporal:
sistemager
k
k SS
T
Q
∆=+∑
VCgerssee
k
k SSsmsm
T
Q
∆=+−+ ∑∑∑
dt
dSSsmsm
T
Q vc
gerssee
k
k =+−+ ∑∑∑ &&&
&
Outras Expressões para EntropiaOutras Expressões para EntropiaOutras Expressões para Entropia
BC1309_Termodinàmica Aplicada
Da primeira lei da termodinâmica:
duWQ =δ−δ
Considerando:
pdvW =δ TdsQ =δ
Assim:
dupdvTds =−
T
pdv
T
duds +=
Outras Expressões para EntropiaOutras Expressões para EntropiaOutras Expressões para Entropia
BC1309_Termodinâmica Aplicada
pvuh +=
vdppdvdudh++=
vdppdvpdvTdsdh ++−= vdpTdsdh +=
T
vdpds
T
dh
+=
T
vdp
T
dhds −=
Desde que:
Derivando:
Substituindo em :
dupdvTds =−
Entropia para Gases IdeaisEntropia para Gases IdeaisEntropia para Gases Ideais
BC1309_Termodinâmica Aplicada
Partindo de:
Para um gás ideal, temos que:
Assim:
T
pdv
T
duds +=
dTcdu v= RTPv =e
v
dvR
T
dTcds v += , ou seja,
)/ln()/ln(
:constante especificocalor de caso no
12120,12
2
1
2
1
12
vvRTTcss
v
dvR
T
dTcss
v
v
+=−
+=− ∫∫
Entropia para Gases IdeaisEntropia para Gases IdeaisEntropia para Gases Ideais
BC1309_Termodinâmica Aplicada
Partindo de:
Para um gás ideal, temos que:
Assim:
P
dPv
T
dhds −=
dTcdh P=
P
dPR
T
dTcds P −=
)/ln()/ln(
constante,for especificocalor o Se
12120,12
2
1
2
1
12
PPRTTcss
P
dPR
T
dTcss
P
P
−=−
−=− ∫∫
, ou seja,
Processos IsoentrópicosProcessos Processos IsoentrIsoentróópicospicos
BC1309_Termodinâmica Aplicada
Há vários processos em engenharia que podem ser 
considerados isoentrópicos (adiabáticos e reversíveis). Há
várias formas de se calcular o estado de saída a partir das 
condições de entrada e das características do equipamento, 
como veremos a seguir:
Uso de diagramas (T x s ou h x s);Uso de diagramas (T x s ou h x s);
Uso de tabelas (em forma grUso de tabelas (em forma grááfica ou atravfica ou atravéés de software);s de software);
Uso do modelo de gUso do modelo de gáás ideal.s ideal.
Processos Isoentrópicos- Gás IdealProcessos Processos IsoentrIsoentróópicospicos-- GGáás Ideals Ideal
BC1309_Termodinâmica Aplicada
Partindo-se da expressão:
∫∫ +=−
2
1
2
1
v12 v
dvR
T
dTcss
Considerando que o cv seja constante e para um 
processo isentrópico, onde SS22 –– SS11 = 0= 0. 
Para gases ideais também é possível considerar:
Rcc vp =−
v
p
c
c
k =e
Processos Isoentrópicos- Gás IdealProcessos Processos IsoentrIsoentróópicospicos-- GGáás Ideals Ideal
BC1309_Termodinâmica Aplicada
1
2
1
2
v v
vlnR
T
Tlnc0 +=
1
2
1
2
v v
vlnR
T
Tlnc −=
R
1
2
c
1
2
v
vln
T
Tln
v −
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
R
2
1
c
1
2
v
v
T
T v
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ vpv cc
2
1
c
1
2
v
v
T
T
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
v
vp
v
v
c
cc
2
1
c
c
1
2
v
v
T
T
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
1k
2
1
1
2
v
v
T
T
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Rearranjando temos:
Processos Isoentrópicos- Gás IdealProcessos Processos IsoentrIsoentróópicospicos-- GGáás Ideals Ideal
BC1309_Termodinâmica Aplicada
Da expressão: ∫∫ −=−
2
1
2
1
p12 p
dpR
T
dTcss
1
2
1
2
p p
plnR
T
Tlnc =
R
1
2
c
1
2
p
pln
T
Tln
p
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
pp
p
c
R
1
2
c
c
1
2
p
p
T
T
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ p
vp
c
cc
1
2
1
2
p
p
T
T
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
k
11
1
2
1
2
p
p
T
T
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ k
1k
1
2
1
2
p
p
T
T
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Rearranjando temos:
Processos Isoentrópicos- Gás IdealProcessos Processos IsoentrIsoentróópicospicos-- GGáás Ideals Ideal
BC1309_Termodinâmica Aplicada
Igualando-se as duas expressões, obtemos a relação já
conhecida para o processo adiabático em gases ideais: 
1k
2
1
1
2
v
v
T
T
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ k
1k
1
2
1
2
p
p
T
T
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛e
k
kk
p
p
v
v
1
1
2
1
2
1
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ k
1
1
2
1k
1k
2
1
p
p
v
v
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
−
k
1
1
2
2
1
p
p
v
v
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
1
2
k
2
1
p
p
v
v Cpvk =
Processo Politrópico Reversível para 
um gás ideal
• PVn=constante=P1V1=P2V2Isobárico,n=0
Isotérmico, n=1
Isoentrópico, n=k
Isocórico,, infinito
1,
1
)(
1
.
.,
 trabalho,o ideal gas um Para
,
1211222
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
/)1(
1
2
1
2
2
1
1
2
≠
−
−
=
−
−
==
==
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
∫
∫
−−
n
n
TTmR
n
VPVP
V
dVconstW
constPVPdVW
V
V
P
P
T
Tmas
V
V
P
P
n
n
nnnn
Eficiência IsoentrópicaEficiência Eficiência IsoentrIsoentróópicapica
BC1309_Termodinâmica Aplicada
Eficiência IsoentrópicaEficiência Eficiência IsoentrIsoentróópicapica
BC1309_Termodin?amica Aplicadao
Eficiência Eficiência isoentrisoentróópicapica é a medida do desvio (devido às 
irreversibilidades) entre os processos reais e os processos idealizados 
correspondentes de dispositivos sob condições de escoamento em 
regime permanente e adiabático (processo processo isoentrisoentróópicopico).
Envolve uma comparação entre o desempenho realdesempenho real de um 
equipamento e o desempenhodesempenho que seria atingido em circunstâncias circunstâncias 
idealizadasidealizadas para o mesmo estado inicial e a mesma pressão de saída:
TurbinaTurbina: razãorazão entre o trabalho espectrabalho especíífico real e o fico real e o isoentrisoentróópicopico. 
Compressores e BombasCompressores e Bombas: razãorazão entre o trabalho trabalho isoentrisoentróópicopico e o reale o real.
BocalBocal: razãorazão entre a energia cinenergia cinéética real e a tica real e a isoentrisoentróópicapica.
Eficiência Isoentrópica - TurbinaEficiência Eficiência IsoentrIsoentróópicapica -- TurbinaTurbina
T
s
1
2s
2
P1
P2
T1
T2
T2s
Ws
W
( )21p21 TTchhW −=−=
s21
21
s21
21
1s TT
TT
hh
hh
W
W
−
−
=
−
−
==η
( )S21pS21S TTchhW −=−=
BC1309_Termodinâmica Aplicada
Eficiência IsoentrópicaEficiência Eficiência IsoentrIsoentróópicapica
BC1309_Termodinâmica Aplicada
Compressores e Bombas:
12
1s2s
hh
hh
W
W
−
−
==η
Bocais:
s
2
s2
2
2
2
V
2
V
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=η
Entropia e Caos
Ponto de vista microscópico
BC1309_Termodinâmica Aplicada
O que é Entropia 
• Primeira Lei→ENERGIA(conservação)
• Segunda Lei→ENTROPIA( aumento)
• O que é Energia? Capacidade do sistema realizar 
trabalho( movimento+potencial de forças)
• O que é entropia? Tendência natural dos fenômenos 
naturais  evoluírem. Direção do processo. Mudança 
de um estado menos provável para um mais 
provável( Termodinâmica Estatística). Desordem e 
Caos. 
BC1309_Termodinâmica Aplicada
Entropia
Termodinâmica Estatística
• As propriedades macroscópicas como U e S são valores 
médios das propriedades microscópicas( átomos e moléculas 
em movimento e interagindo entre si)‐Mecânica Quântica. 
• Existe um numero diferente de configurações possíveis para 
um determinado estado  que constitui uma incerteza , ou 
caos, do sistema. O numero de configurações possíveis, w, é
chamado de probabilidade termodinâmica , e cada um deles é
igualmente possível:   
S.maior õesconfiguraç de numero omaior Quanto
 caos. ao e incerteza à orelacionad esta S
Boltzman de constante a ék ;ln wkS =
BC1309_Termodinâmica Aplicada
Exemplo Analógico
Admita que existam 4 objetos 
idênticos dotados de apenas  uma 
forma de energia, por exemplo a 
energia potencial que estes ocupam 
em um edifício.Na figura e na matriz 
ilustra‐se possíveis configurações. 
Assuma que um objeto que esteja no 
10 andar possua uma unidade de 
energia potencial, e assim por diante. 
Energia pode ser adicionada( calor), e 
mudar o estado do sistema. Desta 
forma a entropia seria associada ao 
logaritmo do numero de possíveis 
estados. Calor muda o estado 
alterando o andar ocupado pelos 
objetos e trabalho altera o edifício 
alterando por exemplo o numero de 
andares(não altera a entropia). Já
Energia interna seria a soma das 
energias potenciais dos objetos.  
121
22
112
13
ANDAR 0 1 2 3 4
BC1309_Termodinâmica Aplicada
ExercíciosExercExercíícioscios
ExercíciosExercExercíícioscios
1) Oxigênio é aquecido de 300 a 1500 K. Admita que, durante o processo de 
aquecimento, a pressão é reduzida de 200 a 150 kPa. Determine a variação de 
entropia específica durante este processo. (1,558 kJ/kg.K)
2) Um conjunto cilindro-pistão contém um quilograma de ar. Inicialmente, a pressão 
e a temperatura são iguais a 400 kPa e 600 K. O ar é então expandidoaté a pressão 
de 150 kPa num processo adiabático e reversível. Determine o trabalho realizado 
pelo ar. (105,2 kJ)
3) Nitrogênio é comprimido reversivelmente , num conjunto cilindro-pistão, de 100 
kPa e 20ºC até 500 kPa. Durante o processo de compressão, a relação entre a 
pressão e o volume é pV1,3 = constante. Calcule o trabalho necessário e o calor 
transferido, por quilograma de nitrogênio. (-125,9 kJ/kg; -31,6 kJ/kg)
4) Vapor de água entra numa turbina a 300ºC, pressão de 1 MPa e com velocidade 
de 50 m/s. O vapor sai da turbina a pressão de 150 kPa e com uma velocidade de 
200 m/s. Determine o trabalho específico realizado pelo vapor que escoa na turbina, 
admitindo que o processo seja adiabático e reversível. (383,48 kJ/kg)
ExercíciosExercExercíícioscios
5) Considere o escoamento de vapor de água num bocal. O vapor entra no bocal a 
1MPa, 300ºC e com velocidade de 30 m/s. A pressão do vapor na saída do bocal é
0,3 MPa. Admitindo que o escoamento seja adiabático, reversível e em regime 
permanente, determine a velocidade do vapor na seção de saída do bocal. (735,5 m/s)
6) Ar é comprimido, num compressor centrifugo, da condição atmosférica, 290 K e 
100 kPa, até a pressão de 1MPa. Admitindo que o processo é adiabático e reversível 
e que as variações das energia cinética e potencial são desprezíveis; calcule o 
trabalho especifico no processo de compressão e a temperatura do ar na seção de 
descarga do compressor. (-270,82 kJ/kg; 559,88 K)
7) Uma turbina é alimentada com vapor de água a pressão de 1MPa e 300ºC. O 
vapor sai da turbina a pressão de 15 kPa. O trabalho produzido pela turbina foi 
determinado, obtendo o vapor de 600 kJ por kg de vapor que escoa na turbina. 
Determine a eficiência isoentrópica da turbina. (80,90%)
8) Um turbocompressor automotivo é alimentado com ar a 100 kPa e 300 K. A 
pressão na seção de descarga do equipamento é 150 kPa. Sabendo que a eficiência 
isentrópica deste compressor é de 70%, determine o trabalho necessário para 
comprimir um quilograma de ar neste equipamento. Qual é a temperatura na seção 
de descarga do turbocompressor? (-52,75 kJ/kg; 336,8 K)