AN_EE_13_14_Res

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HERMANO R. MAIA 
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ANÁLISE NUMÉRICA – EXAME SUBSTITUIÇÃO 2014.06.26 – RESOLUÇÃO 
1. 
Matrizes após eliminação de Gauss com Pivotagem Parcial: 
A= 
 
B= 
 
Soluções: x1=-0.1898 x2=0.4410 x3=-0.0590 x4=-0.0615 
 
2.a) 
ℓ0(𝑥) =
(𝑥 − 2.15)
(2.1 − 2.15)
(𝑥 − 2.2)
(2.1 − 2.2)
(𝑥 − 2.205)
(2.1 − 2.205)
 
ℓ1(𝑥) =
(𝑥 − 2.1)
(2.15 − 2.1)
(𝑥 − 2.2)
(2.15 − 2.2)
(𝑥 − 2.205)
(2.15 − 2.205)
 
ℓ2(𝑥) =
(𝑥 − 2.1)
(2.2 − 2.1)
(𝑥 − 2.15)
(2.2 − 2.15)
(𝑥 − 2.205)
(2.2 − 2.205)
 
ℓ3(𝑥) =
(𝑥 − 2.1)
(2.205 − 2.1)
(𝑥 − 2.15)
(2.205 − 2.15)
(𝑥 − 2.2)
(2.205 − 2.2)
 
 
𝑃3(𝑥) = 1.533 ℓ0(𝑥) + 1.614 ℓ1(𝑥) + 1.698 ℓ2(𝑥) + 1.707 ℓ3(𝑥) 
 
2.b) 
𝑃3(𝑥) = 1.6302 
 
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2.c) 
|𝐸| ≤
max
𝑥𝜖[2.1; 2.205]
|𝑓(4)(𝑥)|
4!
|2.16 − 2.1||2.16 − 2.15||2.16 − 2.2||2.16 − 2.205| 
|𝐸| ≤
1/(2.12)
4!
|2.16 − 2.1||2.16 − 2.15||2.16 − 2.2||2.16 − 2.205| 
|𝐸| ≤ 1.02 × 10−8 
|𝐸| ≤ 1 × 10−8 
 
 
3.a) 
i xi f(xi) 
0 1 0.00000 
1 1.2 0.21879 
2 1.4 0.47106 
3 1.6 0.75201 
4 1.8 1.05802 
5 2.0 1.38629 
6 2.2 1.73461 
7 2.4 2.10112 
8 2.6 2.48433 
9 2.8 2.88293 
0.21879 + 0.47106 + 0.75201 + 1.05802 + 1.38629 + 1.73461 + 2.10112 + 2.48433 + 2.88293 = 10.20623 
𝐼 =
0.2
2
(0.00000 + 2.88293 + 2 × 10.20623) = 2.32954 
 
3.b) 
|𝐸| ≤ max
𝑥𝜖[1; 2.8]
|𝑓′′(𝑥)| |2.8 − 1|
0.22
12
 
|𝐸| ≤ 1 × 1.8 ×
0.22
12
 
|𝐸| ≤ 1 × 1.8 ×
0.22
12
 
|𝐸| ≤ 0.006 
|𝐸| ≤ 6 × 10−3 
 
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4.a) 
𝑓(𝑥) = √1 − (𝑥 − 0.5)2 − 𝑥 
𝑓′(𝑥) = −
𝑥 − 0.5
√1 − (𝑥 − 0.5)2
− 1 
𝑓′′(𝑥) =
1
(𝑥2 − 𝑥 − 0.75)√1 − (𝑥 − 0.5)2
 
 
1 − (𝑥 − 0.5)2 ≥ 0 ⇔ 𝑥 𝜖 [−0.5; 1.5] 
função é contínua no intervalo ] − 0.5; 1.5[ 
 
4.b) 
Verificam-se todas as condições de convergência para o intervalo indicado. 
 
4.c) 
Foram necessárias 3 iterações. 
𝑥3 = 0.91144 ± 6 × 10
−6 
 
5. 
 Substituir linha 5, por o seguinte bloco de instruções: 
for i=1:n 
s=0; 
for j=1:i-1 
s=s+a(i,j)*x0(j); 
end 
for j=i+1:n 
s=s+a(i,j)*x0(j); 
end 
x(i)= (b(i)-s)/a(i,i); 
end 
 
 
 Substituir linha 1, pela seguinte linha: 
function [ x,est_erro_v,k ] = jacobi( a,b,n,x0,erro_max,itermax ) 
 
 Substituir linha 6, pela seguinte linha: 
erro=norm(x-x0,inf)/norm(x,inf); 
 
 Substituir linha 12, pela seguinte linha: 
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6. 
Principais etapas da resolução (resolução não exaustiva): 
Aplicando o logaritmo neperiano: 
ln(ℎ(𝑥)) = ln (𝑎𝑥𝑏) 
ln(ℎ(𝑥)) = ln(𝑎) + ln (𝑥𝑏) 
ln(ℎ(𝑥)) = ln(𝑎) + 𝑏 ∙ ln (𝑥) 
Fazendo A=ln(a), Y=ln(h(x)) e X=ln(x), obtém-se o seguinte sistema de equações: 
[
 
 
 
 
 ∑1
𝑚
𝑖=1
∑𝑋𝑖
𝑚
𝑖=1
∑𝑋𝑖
𝑚
𝑖=1
∑𝑋𝑖
2
𝑚
𝑖=1 ]
 
 
 
 
 
(
𝐴
𝑏
) =
(
 
 
 
∑𝑌𝑖
𝑚
𝑖=1
∑𝑌𝑖 ∙ 𝑋𝑖
𝑚
𝑖=1 )
 
 
 
 
Resolvendo pelo método de eliminação de Gauss, com pivotagem parcial, e aplicando substituição 
inversa, obtém-se os valores de A e de b. 
Como 𝑎 = 𝑒𝐴, obtém-se a função do tipo 𝑎𝑥𝑏, que, no sentido dos mínimos quadrados, melhor 
aproxima a tabela de m pontos. 
 
 
7. 
Hipótese intervém quando se usa o teorema do valor médio (ou dos acréscimos finitos), o qual 
pressupõe que f(x) seja contínua em [a,b]. 
(é desejável expor a demonstração) 
 
 
8. 
function [ w ] = MatVec( A,v,n,m ) 
 
for i=1:n 
 aux=0; 
 for j=1:m 
 aux=aux+A(i,j)*v(j); 
 end 
 w(i)=aux; 
end 
 
end