Soma de vetores

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SOMA DE VETORES: POLÍGONO E PARALELOGRAMO 
 
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1.1.1 Ângulo entre dois vetores 
O ângulo entre dois vetores é obtido por meio dos seguintes passos: 
1. desenhe os dois vetores a partir de um mesmo ponto; 
2. destaque o menor ângulo entre eles. 
Veja o exemplo a seguir, entre os vetores a e b : 
 
No próximo exemplo, o menor ângulo é 0º (vetores com mesma direção e mesmo sentido: paralelos): 
 
No nosso último exemplo, os dois ângulos possíveis de serem escolhidos têm o mesmo valor: 180º. 
Isso ocorre quando os vetores têm a mesma direção, mas possuem sentidos contrários: são antiparalelos): 
 
1.1.2 Operações matemáticas vetoriais 
Da mesma forma que existem operações matemáticas para os números, há operações matemáticas 
para os vetores. Tais operações obedecem a regras diferentes, que serão estudadas a partir daqui. 
1.1.2.1 Soma de vetores 
Lembre-se da nossa ideia inicial a respeito de vetores: eles nos levam de um ponto A a um ponto B. 
Assim, proporcionam uma “condução” de um ponto a outro do espaço. A partir disso, serão abordadas 
 a soma por meio do método do polígono, 
 a diferença entre soma de vetores e soma de módulos de vetores, 
 
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 a comutatividade da soma e 
 a soma por meio do método do paralelogramo. 
1.1.2.1.1 Soma de vetores por meio do método do polígono 
Observe os vetores da figura a seguir. Note que eles estão todos “desconectados” uns dos outros. 
Quando se faz a soma de vetores, busca-se o resultado das diversas “conduções” que esses vetores podem 
proporcionar em sequência! Como assim? Veja a seguir: 
 
A fim de efetuar a soma, vamos escolher um ponto inicial do espaço (ponto P, por exemplo) a partir 
do qual vamos desenhar o primeiro vetor: 
 
Observe que o vetor a conduziu do ponto P até um outro ponto, o ponto Q. Vamos acrescentar 
(somar!) o vetor b , a partir desse ponto Q: 
 
Chega-se assim ao ponto S da figura. No nosso contexto, falta apenas o vetor c , que nos conduzirá 
ao ponto final W: 
 
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O vetor soma (que, agora vamos chamar R , sabendo que também é comum ser usada a letra S ) 
também é conhecido como vetor resultante. Isso ocorre porque ele representa a “condução” resultante do ponto 
inicial P ao ponto final W (ou você poderia pensar como um “atalho”): 
 
A notação utilizada para representar o vetor R em relação aos demais é: 
R a b c   
 
1.1.2.1.2 Diferença entre soma de vetores e soma de módulos de vetores 
Cuidado: Somar vetores é muito diferente de somar módulos de vetores! Observe o valor dos 
módulos de cada vetor envolvido no exemplo anterior (vamos utilizar o teorema de Pitágoras): 
 
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Em seguida, compare o valor total desses módulos (13,68) com o valor do módulo do vetor soma 
R : 
 
 
Dessa forma, ao definirmos que R a b c   , não podemos garantir que a soma dos módulos 
dos vetores a, b e c será igual ao módulo do vetor R . 
 
 
 
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1.1.2.1.3 A soma de vetores é uma operação comutativa 
O vetor soma, R , será o mesmo, independentemente da ordem adotada: 
 R a b c a c b b c a c b a            
 
Como se pode observar na figura, a alteração na ordem dos vetores envolvidos na soma não altera 
o resultado da soma. 
1.1.2.1.4 Soma por meio do método do paralelogramo 
Esse método só funciona com DOIS vetores. Caso haja mais vetores envolvidos, recomenta-se fazer 
várias somas aos pares. 
Esse método está relacionado à comutatividade da soma. 
Observe os vetores a e b a seguir: 
 
Agora observe que a ordem dos vetores não altera a soma S : 
 
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Há na figura anterior o caminho azul (a e b) e também o caminho roxo (b e a): ambos conduzem do 
ponto P ao ponto Q. Apaguemos então os vetores que estão em tonalidade mais clara: 
 
Consegue enxergar um paralelogramo? 
Agora vou listar os procedimentos desse método! 
1. Desenhe os vetores a e b a partir de um mesmo ponto (agora já não é mais um continuando 
o outro): 
 
2. Desenhe uma reta paralela ao vetor a a partir da extremidade do vetor b : 
 
3. Desenhe uma reta paralela ao vetor b a partir da extremidade do vetor a : 
 
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4. O vetor soma (ou vetor resultante) será aquele que parte do ponto que une os dois vetores até 
o ponto que une as retas, ou seja, corresponderá a uma diagonal do paralelogramo: 
 
É possível obter o módulo desse vetor soma S utilizando-se a lei dos cossenos com o sinal 
“trocado”: 
Se S a b  , 
então 
2 22
2 cosS a b a b    , ou simplesmente 
2 2 2 2 cosS a b ab    .